Análisis Matemático II - Unidad 1 PDF

UNPSJB – Facultad de Ingeniería ANALISIS MATEMÁTICO II 1. Funciones de varias variables Recuerde que una función de una variable 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x en el subconjunto X de los números reales, denominado el dominio de f , uno y solo un número rea...

UNPSJB – Facultad de Ingeniería ANALISIS MATEMÁTICO II 1. Funciones de varias variables Recuerde que una función de una variable 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x en el subconjunto X de los números reales, denominado el dominio de f , uno y solo un número real y en otro conjunto de números reales Y. 𝑓: 𝑋 ⊆ 𝑅 → 𝑌 En este caso decíamos que 𝑓 es una función real (las imágenes de 𝑓(𝑥)son números reales) de una variable real 𝑥 ∈ 𝑋. Ahora vamos a considerar funciones cuyas imágenes son también números reales, pero cuyo dominio será un subconjunto del espacio 𝑅. Es decir, funciones del tipo 𝑓: 𝐷 ⊆ 𝑅 → 𝑅 llamadas funciones reales de n variables reales (viendo a los puntos de 𝑅 con n-adas de números reales –las variables de la función), o bien, funciones reales de variable vectorial (viendo los elementos de 𝑅 como vectores). Muchas funciones dependen de más de una variable independiente. Por ejemplo: El área de un rectángulo (que es un valor real) depende (es función) de su base b y su altura h. Así, si S es el conjunto de todos los rectángulos, podemos formar la función 𝑓: 𝑆 → 𝑅 que asocia a cada triángulo S, su área. De otro modo, podemos acomodar en parejas ordenadas los valores de la base y altura de cada rectángulo en S, de tal manera que la función 𝑓 tomara la pareja (𝑏, ℎ) ∈ 𝑅 × 𝑅 y le asociara un número real 𝑓(𝑏, ℎ) = 𝑏ℎ = 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑏 𝑦 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ℎ. Esto lo escribimos como 𝑓: 𝐷 ⊆ 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑏, ℎ) = 𝑏ℎ. En este caso la función 𝑓 solamente acepta valores positivos de b y h. Decimos entonces que el dominio D de 𝑓, que es un subconjunto de𝑅 , estará formado por aquellas parejas cuyas coordenadas sean positivas. En física se encuentran también muchos ejemplos de funciones reales que dependen de más de una variable. El volumen V de un globo inflado depende de la presión P del aire que contiene y de la temperatura T. Así el número real V es función de P y T. De hecho 𝑉: 𝑈 ⊆ 𝑅 → 𝑅, 𝑉(𝑃, 𝑇) = = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑜 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (ley general de los gases ideales). Ampliaremos aquí las ideas básicas del cálculo de una variable a funciones de más variables. Las funciones con valores reales de varias variables independientes reales se definen de manera similar a las funciones de una sola variable. Los puntos en el dominio son pares ordenados (ternas, cuaternas,…, n-adas) de números reales, y los valores del rango son números reales. Definición: Suponga que D es un conjunto de n-adas de números reales (𝑥 , 𝑥 , …. , 𝑥 ). Una función de valores reales 𝑓 en D es una regla que asigna un único número real (individual) 𝑤 = 𝑓(𝑥 , 𝑥 , …. , 𝑥 ) a cada elemento en D. El conjunto D es el dominio de la función. El conjunto de valores w asignados por 𝑓 es el rango de la función. El símbolo 𝑤 es la variable 1 UNPSJB – Facultad de Ingeniería ANALISIS MATEMÁTICO II dependiente de 𝑓, y se dice qué 𝑓es una función de n variables independientes 𝑥 , 𝑥 , …. , 𝑥. Tambien llamamos a las 𝑥 variable de entrada de la función y a 𝑤 la variable de salida de la función. Usaremos indistintamente las notaciones 𝑓(𝑥 , 𝑥 , …. , 𝑥 ) 𝑜 𝑓(𝑥⃗) para denotar la imagen bajo 𝑓 del vector 𝑥⃗ = (𝑥 , 𝑥 , …. , 𝑥 ) ∈ 𝑅. Es usual, en una función 𝑓: 𝐷 ⊆ 𝑅 → 𝑅, dar simplemente la regla 𝑧 = 𝑓(𝑥⃗) por medio de la cual se asocia a cada vector 𝑥⃗ ∈ 𝐷, el número real 𝑧 = 𝑓(𝑥⃗) y no dar explícitamente el dominio 𝐷 de 𝑓.En tal caso se debe entender que el dominio de 𝑓 es el mayor subconjunto D del espacio 𝑅 para el cual la regla 𝑓(𝑥⃗) tenga sentido con 𝑥⃗ ∈ 𝐷 (llamado dominio natural de la función 𝑓. En particular, una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada par ordenado de números reales (𝑥, 𝑦)en el subconjunto del plano 𝑥𝑦 uno y solo un número real 𝑧 en el conjunto 𝑅 de números reales. El dominio de 𝑓 es el subconjunto de 𝑅 en el cual está definida la función es decir, que el dominio de una función de dos variables se representa como una región del plano. El dominio natural de una función de dos variables es el conjunto de todos aquellos puntos del plano para los cuales 𝑓(𝑥, 𝑦)es un número real bien definido. La imagen de 𝑓 es el subconjunto de R formado por los valores que toma la función 𝑓. Escribimos 𝑓: 𝐷 ⊆ 𝑅 → 𝑅. Para (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 = 𝐷𝑜𝑚𝑓 se suele escribir 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), donde queda explícitamente definido que z es el valor que toma la función 𝑓 al evaluarla en el par ordenado(𝑥, 𝑦). Las variables x e y son llamadas variables independientes, y z es la variable dependiente. Por ejemplo dada 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 𝑥 el resultado de evaluar 𝑓 en (-1,1) es 𝑓(−1,1) = 0 y en 𝑓 en (1,2) vale 𝑓(1,2) = 1 pero no es posible evaluar 𝑓 en (2,1), este punto no pertenece al dominio de 𝑓. A continuación mencionamos algunas funciones típicas de dos variables. Ejemplo 1.1: La función nula 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 esta definida para todo (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 , su imagen es el conjunto {0}. Ejemplo 1.2: La función constante 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 (siendo c una constante real fija) tiene dominio 𝑅 e imagen {𝑐}. Ejemplo 1.3: La regla de la forma 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 (con a, b y c constantes) se denomina función lineal. ¿Cuál es su dominio e imagen? 2 UNPSJB – Facultad de Ingeniería ANALISIS MATEMÁTICO II Otros tipos de funciones incluyen las funciones polinomiales de dos variables (como, por ejemplo, las funciones cuadráticas cuya forma generales 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑦 + 𝑎 𝑥𝑦 + 𝑏 𝑥 + 𝑏 𝑦 + 𝑐 ); funciones racionales, que son cocientes de polinomios en x e y; funciones trigonométricas; funciones logarítmicas; funciones exponenciales; etc. De ejemplos para cada tipo. Ejemplo 1.4: Describir el dominio y la imagen de 𝑓(𝑥, 𝑦) =. Si es posible evaluar 𝑓 en , 0 , (1,0), (1,1)𝑦 (0,0). Observamos que la expresión racional está bien definida siempre que el denominador 𝑥 + 𝑦 ≠ 0 , lo que implica que x e y no pueden ser simultáneamente cero. Por lo tanto, el dominio natural es el conjunto 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 + 𝑦 ≠ 0 } = 𝑅 − {(0,0)}. La imagen de 𝑓 está formada por los valores 𝑧= para todo (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0). Observamos que 𝑧 puede adoptar cualquier valor real, por lo cual la 𝐼𝑚(𝑓) = 𝑅. Como , 0 , (1,0), (1,1) pertenecen al dominio de la función 𝑓 , podemos evaluar 𝑓 en esos puntos. −1 −1 2 1 1 1 𝑓 ,0 = = −2, 𝑓(1,0) = = 1 , 𝑓(1,1) = = 2 −1 1 +0 1 +1 2 2 +0 Pero no se puede evaluar 𝑓 en (0,0). Ejemplo1.5: La función de dos variables 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 𝑥 , su dominio es el conjunto de todos los pares (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 para los cuales la expresión 𝑦 − 𝑥 es un número real bien definido, luego el radicando 𝑦 − 𝑥 no puede ser negativo, con lo cual 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 : 𝑦 ≥ 𝑥 } Gráficamente, en el plano xy, dicho conjunto corresponde a los puntos de la parábola 𝑦 = 𝑥 y todos los puntos por encima de este. Por otro lado a partir de la definición de la expresión de 𝑓 podemos ver que esta función no toma nunca valores negativos, pero si cero o cualquier valor positivo, o sea 𝐼𝑚(𝑓) = [0, +∞). 3 UNPSJB – Facultad de Ingeniería ANALISIS MATEMÁTICO II Representaciones graficas Para funciones 𝑓: 𝐷 ⊆ 𝑅 → 𝑅 , la gráfica de f es el subconjunto de 𝑅 que consta de los puntos (𝑥, 𝑓(𝑥)) en el plano para 𝑥 ∈ 𝐷. Este subconjunto se puede pensar como una curva en 𝑅.Esto se escribe simbólicamente, como 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎(𝑓) = {(𝑥, 𝑓(𝑥)) ∈ 𝑅 : 𝑥 ∈ 𝐷}. Definición: Se llama grafica de una función 𝑓 de dos variables al conjunto de todos aquellos puntos del espacio con coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) tales que (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) y 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). La grafica de una función de dos variables se representa como una superficie en el espacio. 𝐺𝑟𝑎𝑓(𝑓) = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)} = {(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)): (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)} Ejemplo 1.6: La función nula 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 tiene como grafica el plano coordenado xy, cuya ecuación es 𝑧 = 0. Ejemplo 1.7: La función constante 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 se representa gráficamente como el plano (horizontal) de ecuación 𝑧 = 𝑐. 4 UNPSJB – Facultad de Ingeniería ANALISIS MATEMÁTICO II Ejemplo 1.8: Describir el dominio y la imagen de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 16 − 𝑥 − 𝑦.Señalar el dominio de 𝑓 como una región del plano xy y representar la gráfica de f como una superficie en el espacio. El dominio de 𝑓 es el conjunto: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 : 16 − 𝑥 − 𝑦 ≥ 0} = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 : 𝑥 + 𝑦 ≤ 16} Que corresponde a un círculo de centro en el origen y radio 4, para puntos fuera de ese círculo la función no está definida. La imagen de 𝑓 es el conjunto de todos los valores que toma la función, en este caso entre 0 (cuando (𝑥, 𝑦) pertenece a la circunferencia, frontera del dominio) y 4 (cuando (𝑥, 𝑦) = (0,0) únicamente). a) Dominio de 𝑓 b) Superficie grafica de 𝑓 Para reconocer cual es esta superficie, podemos elevar al cuadrado ambos miembros de la igualdad 𝑧 = 16 − 𝑥 − 𝑦 ⟹ 𝑧 = 16 − 𝑥 − 𝑦 teniendo en cuenta que 𝑧 ≥ 0, luego 𝑧 + 𝑥 + 𝑦 = 16 siendo 𝑧 ≥ 0. En relación a este ejercicio ¿cuál es la función de dos variables cuya grafica es la mitad inferior de la superficie esférica? La superficie completa de una esfera ¿puede ser la gráfica de una función de dos variables? ¿Por qué? Reflexione y explique cuáles de las superficies cuádricas vistas en el Modulo 0 pueden ser la gráfica de una función de dos variables; dé un criterio gráfico general para que una superficie 5 UNPSJB – Facultad de Ingeniería ANALISIS MATEMÁTICO II en el espacio sea gráfica de una función de dos variables (recuerde el “criterio de la recta vertical” en Análisis Matemático I). Curvas de Nivel- Representación en el dominio de la función Hay dos maneras habituales de dibujar los valores de una función 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Una es trazar y etiquetar las curvas en el dominio donde 𝑓 asume un valor constante. La otra es dibujar la superficie 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) en el espacio. Definición: Se llama curva de nivel k de una función 𝑓 de dos variables al conjunto de todos los puntos del dominio con coordenadas (𝑥, 𝑦) tales que 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘, siendo k una constante que pertenece a la imagen de 𝑓. Llamando 𝐶 a la curva de nivel k, entonces: 𝐶 = {(𝑥, 𝑦): (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘} Para cada 𝑘 ∈ 𝐼𝑚(𝑓) La idea es análoga a la usada para preparar mapas de contornos, donde se trazan líneas para representar altitudes constantes; caminar a lo largo de dicha línea significara caminar en una curva de nivel. En el caso de una colina sobre el plano xy, una gráfica de todas las curvas de nivel nos da una buena idea de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) que representa la altura de la colina en los puntos (𝑥, 𝑦). Ejemplo 1.9: La función contante 𝑓: 𝑅 → 𝑅: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 tiene como grafica el plano horizontal 𝑧 = 2 en 𝑅. La curva de nivel de valor k es vacía si 𝑘 ≠ 2 y es todo el plano xy si 𝑘 = 2. 6 UNPSJB – Facultad de Ingeniería ANALISIS MATEMÁTICO II Ejemplo 1.10: Grafique 𝑓(𝑥, 𝑦) = 100 − 𝑥 − 𝑦 y trace las curvas de nivel para 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0, 𝑓(𝑥, 𝑦) = 51 y 𝑓(𝑥, 𝑦) = 75 en el dominio de 𝑓 en el plano. El dominio de 𝑓 es el plano xy, y el rango de f es el conjunto de números reales menores o iguales a 100. La grafica es el paraboloide 𝑧 = 100 − 𝑥 − 𝑦 , la porción positiva. La curva de nivel 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 es el conjunto de puntos en el plano xy para los cuales 𝑓(𝑥, 𝑦) = 100 − 𝑥 − 𝑦 = 0 o 𝑥 + 𝑦 = 100, lo cual es una circunferencia de radio 10 con centro en el origen. De manera similar, las curvas de nivel 𝑓(𝑥, 𝑦) = 51 y 𝑓(𝑥, 𝑦) = 75 son las circunferencias 𝑓(𝑥, 𝑦) = 100 − 𝑥 − 𝑦 = 51 o 𝑥 + 𝑦 = 49 𝑓(𝑥, 𝑦) = 100 − 𝑥 − 𝑦 = 75 o 𝑥 + 𝑦 = 25 La curva de nivel 𝑓(𝑥, 𝑦) = 100 solo consta del origen (es solo una curva de nivel). Si 𝑥 + 𝑦 > 100 entonces los valores de 𝑓(𝑥, 𝑦) son negativos. Por ejemplo, la circunferencia 𝑥 + 𝑦 = 144 , la cual es una circunferencia de radio 12 con centro en el origen, da un valor constante 𝑓(𝑥, 𝑦) = −44, y es una curva de nivel de 𝑓. La curva en el espacio donde el plano 𝑧 = 𝑐 corta a la superficie 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) está formada por los puntos que representan el valor de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘. Esta curva se llama curva de contorno 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 para distinguirla de la curva de nivel 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 en el dominio de 𝑓. Por construcción, para los pares (𝑥, 𝑦) del dominio que forman una dada curva de nivel, la función 𝑓 toma el mismo valor. Luego ,la curva de nivel k muestra todos los pares del dominio donde la gráfica de f tiene nivel o “altura” k.A partir de las curvas de nivel rotuladas con su nivel o altura de función, se puede inferir la gráfica de la función, elevando mentalmente cada curva de nivel hasta la altura apropiada. Si se hiciera este procedimiento para todas las curvas de nivel con 𝐶 con 𝑘 ∈ 𝐼𝑚(𝑓) , juntas conformarían la gráfica de 𝑓. La curva de nivel k de una función 𝑓(𝑥, 𝑦) es precisamente la proyección en el plano xy de la traza horizontal 𝑧 = 𝑘 de la superficie que es gráfica de 𝑓. 7 UNPSJB – Facultad de Ingeniería ANALISIS MATEMÁTICO II Dicho de otra forma, si se dibujan curvas de nivel de una función y se visualizan como si se elevaran hasta el nivel que indica k, es posible trazar mentalmente una gráfica. Por ejemplo: la superficie será empinada donde las curvas de nivel se aproximan mucho y será más plana donde están más separadas. ¿Qué ejemplos conocemos de curvas de nivel? En los mapas topográficos, por ejemplo se trazan curvas de nivel de regiones montañosas. En este caso las curvas de nivel unen puntos de la región que tienen la misma altura respecto del nivel del mar. Otro ejemplo son las isotermas correspondientes a una región. Si pensamos en un mapa meteorológico que indique por ejemplo las temperaturas promedios del mes de marzo, las isotermas son curvas imaginarias en un planisferio que van conectando los lugares del mundo que tienen la misma temperatura promedio en ese mes. Del mismo modo las isobaras conectan sitios de igual presión. ¿Qué otro ejemplos conoce? Es común en este tipo de mapas, utilizar una escala de colores, interprete que representa. Funciones escalares de tres variables: Definición: una función real 𝑓 de tres variables es una regla que asigna a cada terna ordenada de números reales (𝑥, 𝑦, 𝑧) un único número real 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) en el conjunto R de números reales. El dominio de 𝑓 es el subconjunto de 𝑅 en el cual está definida la función es decir, que el dominio de una función de tres variables se representa como una región sólida del espacio. El dominio natural de una función de tres variables es el conjunto de todos aquellos puntos del espacio para los cuales 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) es un número real bien definido. La imagen de 𝑓 es el subconjunto de R formado por los valores que toma la función 𝑓. Escribimos 𝑓: 𝐸 ⊆ 𝑅 → 𝑅 para (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐸 = 𝐷𝑜𝑚𝑓 se suele escribir 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), donde queda explícitamente definido que w es el valor que toma la función 𝑓 al evaluarla en el par ordenado(𝑥, 𝑦, 𝑧). Las variables x , y,z son llamadas variables independientes, y w es la variable dependiente. Por ejemplo, el valor de evaluar 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 +𝑦 +𝑧 en el punto (3, 0,4) es 𝑓(3,0,4) = √3 + 0 + 4 = √25 = 5. 8 UNPSJB – Facultad de Ingeniería ANALISIS MATEMÁTICO II ¿Cómo se expresan la función nula, una función constante y una función lineal de tres variables? Dé otros ejemplos y analice dominio e imagen. Superficies de nivel: representación en el dominio de la función Definición: Se llama superficie de nivel k de una función 𝑓 de tres variables al conjunto de todos los puntos del dominio de 𝑓 con coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) tales que 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘 , siendo k una constante que pertenece a la imagen de 𝑓. Llamando 𝑆 a la curva de nivel k, entonces: 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘} Para cada 𝑘 ∈ 𝐼𝑚(𝑓) Ejemplo 1.11: Describir las superficies de nivel de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 Dado que 𝐼𝑚(𝑓) = [0, +∞) , consideramos las superficies de nivel con 𝑘 ≥ 0. Para ello hacemos 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘, con lo cual reemplazando la función queda una superficie 𝑆 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑘, que representan esferas con centro en el origen y radio √𝑘 y si 𝑘 = 0 obtenemos el punto (0, 0,0). Las regiones en el plano pueden tener puntos interiores y puntos frontera, tal como los intervalos en la recta real. Los intervalos cerrados [𝑎, 𝑏] incluyen sus puntos frontera, los intervalos abiertos (𝑎, 𝑏)no incluyen sus puntos frontera y los intervalos [𝑎, 𝑏) no son abiertos ni cerrados. Iniciamos la discusión definiendo el análogo bidimensional de lo que era un intervalo de l recta. Usando la fórmula de distancia entre dos puntos (𝑥, 𝑦) y (𝑎, 𝑏) en el plano, podemos definir disco abierto de centro en (𝑎, 𝑏) y radio 𝛿 > 0, como el conjunto: 𝐷 (𝑎, 𝑏), 𝛿 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 : (𝑥 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑏) 0, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0 tal que si 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) , entonces 0 < |𝑥 − 𝑥 | < 𝛿 ⟹ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 Nos preguntamos ¿Cómo se acerca x al número 𝑥 ? Al ser 𝑓 una función de una variable solo hay dos direcciones o caminos posibles para llegar al numero 𝑥 :desde la izquierda o desde la derecha de 𝑥.Si el límite por la izquierda lim → 𝑓(𝑥) = 𝐿, es distinto del límite por la derecha lim → 𝑓(𝑥) = 𝐿 , entonces el límite de la función cuando x se acerca a 𝑥 no existe, mientras que si ambos limites laterales existen y coinciden entonces la función tiene ese límite. Para funciones de varias variables, aunque el concepto de límite es similar al visto para una variable, el cálculo es un poco más elaborado. Límite de una función de dos variables Sea 𝑓: 𝐷 ⊆ 𝑅 → 𝑅 , se dice que la función de dos variables 𝑓(𝑥, 𝑦) tiene límite L (número real) cuando (𝑥, 𝑦) tiende a (𝑥 , 𝑦 )si para todos los puntos de coordenadas (𝑥, 𝑦) suficientemente cercanos al punto (𝑥 , 𝑦 ) , los valores de 𝑓(𝑥, 𝑦)son arbitrariamente próximos al número L. La definición es similar a la del límite para una variable. Sin embargo, si tenemos en cuenta que 𝑓 es una función de dos variables, entonces (𝑥, 𝑦) podrá acercarse al punto (𝑥 , 𝑦 ) desde muchas direcciones. 11 UNPSJB – Facultad de Ingeniería ANALISIS MATEMÁTICO II Definición: Se dice que una función 𝑓(𝑥, 𝑦) tiene límite L cuando(𝑥, 𝑦) tiende (𝑥 , 𝑦 ) es decir lim( , )→( , ) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 si para cada numero ∈> 0 , ∃ 𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∀(𝑥, 𝑦): (𝑥, 𝑦)𝜖𝐷𝑜𝑚(𝑓)𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 0 < (𝑥 − 𝑥 ) + (𝑦 − 𝑦 ) < 𝛿 Implica |𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿| < 𝜀 La definición de limite dice, entonces que la distancia entre 𝑓(𝑥, 𝑦) y L es arbitrariamente pequeña siempre que la distancia entre (𝑥, 𝑦) y (𝑥 , 𝑦 ) sea suficientemente pequeña. El punto (𝑥 , 𝑦 ) puede no pertenecer al 𝐷𝑜𝑚(𝑓) , el único requisito es que los (𝑥, 𝑦)varíen en el dominio de 𝑓. Como vemos, la definición se refiere sólo a la distancia entre (𝑥, 𝑦) y (𝑥 , 𝑦 ), y no dice nada sobre la dirección de acercamiento. Por lo tanto, si existe el límite, 𝑓(𝑥, 𝑦)debe acercarse al mismo número L independientemente de cómo(𝑥, 𝑦) se acerque a (𝑥 , 𝑦 ). Obviamente, resulta imposible analizar todos los caminos que llegan a(𝑥 , 𝑦 ), para ver a qué valor tiende 𝑓 por cada uno de ellos. Tendríamos que construir todas las curvas que pasan por (𝑥 , 𝑦 ) y evaluar 𝑓 en los puntos de esas curvas. Como en las funciones de una variable, es posible demostrar que: lim( , )→( , )𝑥 =𝑥 , lim( , )→( , )𝑦 =𝑦 y : lim( , )→( , ) 𝑘 = 𝑘 (𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑘) Propiedades de los límites de funciones de dos variables Las reglas de límites para funciones de una variable se extienden a funciones de dos variables. Proposición: Criterio del “sándwich” Si existen funciones 𝑔(𝑥, 𝑦) y ℎ(𝑥, 𝑦) tales que 𝑔(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ ℎ(𝑥, 𝑦) para todo (𝑥, 𝑦) ≠ (𝑥 , 𝑦 ), y si lim( , )→( , ) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑖𝑚( , )→( , ) ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝐿 entonces lim( , )→( , ) 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝐿 Ejemplo 2.1: Calcular lim( , )→( , ) 𝑦 𝑠𝑒𝑛 Considerando que −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 ≤ 1 para todo 𝑥 ≠ 0, se cumple la siguiente desigualdad −𝑦 ≤ 𝑦 𝑠𝑒𝑛 ≤ 𝑦. Si definimos 𝑔(𝑥, 𝑦) = −𝑦 y ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑦 tenemos entonces que 12 UNPSJB – Facultad de Ingeniería ANALISIS MATEMÁTICO II lim 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥, 𝑦) = 0, por lo tanto aplicando el criterio tenemos que ( , )→( , ) ( , )→( , ) lim( , )→( , ) 𝑦 𝑠𝑒𝑛 = 0. Teorema: Sean 𝑓, 𝑔: 𝐷 ⊆ 𝑅 → 𝑅 dos funciones definidas en el abierto D de 𝑅 y 𝑐 ∈ 𝑅 Supongamos que lim( , )→( , ) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 y lim( , )→( , ) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑀. Entonces: 1. lim( , )→( , ) (𝑓 + 𝑔)(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑖𝑚( , )→( , ) 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦) = lim( , )→( , ) 𝑓(𝑥, 𝑦) + lim( , )→( , ) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝐿 + 𝑀. 2. lim( , )→( , ) (𝑓𝑔)(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑔(𝑥, 𝑦) = (lim( , )→( , ) 𝑓(𝑥, 𝑦))(lim → 𝑔(𝑥, 𝑦)) = 𝐿. 𝑀 ( , )→( , ) 3. Si M ≠ 0, entonces lim 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑓 𝑓(𝑥, 𝑦) ( , )→( , ) 𝐿 lim (𝑥, 𝑦) = lim = = ( , )→( , )𝑔 ( , )→( , ) 𝑔(𝑥, 𝑦) lim 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑀 ( , )→( , ) ( , ) Además si M=0 y L≠ 0 entonces lim( , )→( , ) ( , ) no existe. 4. lim( , )→ , 𝑐. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐. 𝐿 Ejemplo 2.2: a) Calcular, si existe el límite de 𝑓(𝑥, 𝑦) = cuando (𝑥, 𝑦) → (2, −1). b) Encontrar el límite de 𝑓(𝑥, 𝑦) = cuando (𝑥, 𝑦) → (0,0) y cuando (𝑥, 𝑦) → (1,1) √ √ a) La función 𝑓(𝑥, 𝑦) = es una función racional que está bien definida en (2, −1). Por lo tanto podemos calcular el límite de la función aplicando la propiedad 3) del teorema y por lo tanto lim = −4 (el valor del limite se obtiene por ( , )→( , ) evaluación directa de los polinomios del numerador y el denominador por estar bien definida en (2,-1) ) b) En este caso notemos que √𝑥 − 𝑦 tiende a cero cuando (𝑥, 𝑦) → (0,0) , por lo tanto no podemos usar la regla del cociente. Por otro lado el numerador también se anula. Si multiplicamos numerador y denominador por √𝑥 + 𝑦 (fuera de (0,0) no se anula) podemos calcular el limite como : 𝑥 −𝑥𝑦 𝑥 − 𝑥 𝑦 √𝑥 + 𝑦 𝑥(𝑥 − 𝑦)(√𝑥 + 𝑦) lim = 𝑙𝑖𝑚. = 𝑙𝑖𝑚 ( , )→( , ) √𝑥 − 𝑦 ( , )→( , ) √𝑥 − 𝑦 √𝑥 + 𝑦 ( , )→( , ) (√𝑥 − 𝑦)(√𝑥 + 𝑦) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 √𝑥 + 𝑦 = 0 ( , )→( , ) Justificar los pasos que faltan. Observar que el cálculo del límite sigue las mismas ideas que aprendieron en Análisis Matemático I. Similar razonamiento puede realizar para calcular el límite para (𝑥, 𝑦) → (1,1). 13 UNPSJB – Facultad de Ingeniería ANALISIS MATEMÁTICO II  Ejemplo 2.3: Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) = , esta función está definida en 𝑅 − {(0,0)}. Queremos estudiar lim( , )→( , ) 𝑓(𝑥, 𝑦). Es decir queremos ver cómo se comportan los valores de f(x,y) cuando (x,y) está cerca de (0,0). Vemos que si calculamos el límite cuando ambas variables tienden a (0,0) es indeterminado. Una manera de tener “candidatos” al valor de límite (si éste existe) es hacer tender (x,y) tienda a ( 0,0) por medio de un camino concreto dado por una curva 𝑦 = 𝜑(𝑥) que pasa por el origen. En tal caso, si el límite lim( , )→( , ) 𝑓(𝑥, 𝑦) existe y vale L, y el límite lim → 𝑓(𝑥, 𝜑(𝑥)) existe, éste debe valer L. La ventaja de este planteamiento es que el último límite es el de una función de una sola variable x, el cual podemos calcular sin mucha dificultad. Observemos que la estructura lógica de las observaciones hechas anteriormente: si existe el lim( , )→( , ) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 , y si el lim → 𝑓(𝑥, 𝜑(𝑥)) existe, éste debe valer L. En el caso que nos ocupa, poniendo y = 0 (el eje x) tenemos: 𝑥. (0) lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = lim 𝑓(𝑥, 0) = lim =0 ( , )→( , ) → → 𝑥 +0  Analice el caso en que se acerca por el eje y. Esto no significa que lim( , )→( , ) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0.Lo que significa es que si nos acercamos al origen por el eje x, los valores de la función f(x,y) se acercan a cero. Hagamos lo mismo por el camino y = x (ecuación de la recta que pasa por (0,0)) ( ) lim( , )→( , ) 𝑓(𝑥, 𝑦) = lim → 𝑓(𝑥, 𝑥) = lim = → Es claro entonces que lim( , )→( , ) no existe, no puede ser cero pues los puntos del tipo (x,x) con x muy pequeño son vecinos íntimos del origen y sin embargo f(x,x) no es vecino íntimo de cero; por la misma razón no puede ser ½ , pues los puntos (x,0), con x muy pequeño son vecinos íntimos del origen pero f(x,0) no es vecino íntimo de ½. Como resumen del ejemplo anterior diremos: una condición necesaria (no suficiente) para que el lim( , )→( , Exista y sea L , es que si los límites lim → 𝑓(𝑥, 𝜑(𝑥)) y ) 𝑓(𝑥, 𝑦) lim → 𝑓(𝑥, 𝜇(𝑥)) existen (donde 𝑦 = 𝜑(𝑥) , 𝑦 = 𝜇(𝑥) son curvas que pasan por (a,b)) , deben valer L.  Muestre con un ejemplo por que la condición no es suficiente. Los límites calculados, a lo largo de los ejes x e y son llamados límites reiterados. Analizando el ejemplo podemos definir para una función de dos variables x e y dos límites sucesivos o reiterados: 14 UNPSJB – Facultad de Ingeniería ANALISIS MATEMÁTICO II lim lim f ( x, y )  lim  ( y )  L1 y y0 x x0 y y0 lim lim f ( x, y)  lim  ( x)  L2 x x0 y y0 x x0 Definición: Decir que el límite sucesivo de f cuando x 𝑥 e y 𝑦 , es L1, y se escribe: lim → lim → 𝑓(𝑥, 𝑦) = lim → 𝜓(𝑦) = 𝐿 significa que si se consideran todos los valores fijos de y para los cuales existe el límite lim → 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝜓(𝑦), la función 𝜓(𝑦), tiene límite y es lim → 𝜓(𝑦) = 𝐿. Decir que el límite sucesivo de f cuando x 𝑥 e y 𝑦 , es L2 , lim → lim → 𝑓(𝑥, 𝑦) = lim → 𝜙(𝑥) = 𝐿 y se escribe: significa que si se consideran todos los valores fijos de x para los cuales existe el límite lim → 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝜙(𝑥) , la función 𝜙(𝑥) tiene límite y es lim  ( x)  L2 x x0 Estas definiciones permiten enunciar el siguiente teorema. Teorema: Sea 𝑓: 𝑈 ⊂ 𝑅 → 𝑅, y (a,b) un punto de acumulación de su dominio. Si existe lim( , )→( , ) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 y existe 𝐿 = lim → lim → 𝑓(𝑥, 𝑦) entonces ambos son iguales. Corolario: Si ambos límites reiterados existen y son distintos, el límite doble no existe. Observación: Si los límites sucesivos existen y son iguales el límite doble puede o no existir, pero si existe es igual a los sucesivos. Ejemplo 2.4: lim (6 x 2  2 y  1)  1  ( x , y ) ( 0, 0 ) L1  lim lim ( 6 x 2  2 y  1)  lim ( 2 y  1)  1 y 0 x 0 y0 𝐿 = lim lim (6𝑥 − 2𝑦 + 1) = lim (6𝑥 + 1) = 1 → → → L1 = L2 y también iguales al límite doble 15 UNPSJB – Facultad de Ingeniería ANALISIS MATEMÁTICO II. 2x 2  y 2 0 lim ( x , y ) ( 0, 0 ) x 2  y 2  , analizando simultáneamente se genera la indeterminación 0 Calculemos los límites sucesivos o reiterados: 2x2  y2 y2 L1  lim lim  lim 1 y0 x0 x2  y2 y 0 y 2 2x 2  y 2 2x2 L2  lim lim  lim 2 x0 y0 x 2  y 2 x0 x 2 L1  L2 implica que el límite doble no existe.  Estudiemos el lim( , )→( , )  Calcular los límites iterados. Si nos acercamos al origen por una recta del tipo y = kx, obtenemos: 𝑥 𝑦 𝑥 (𝑘𝑥) 𝑘 lim ⏞ = lim = → = lim 𝑥=0 ( , )→( , )𝑥 + 𝑦 → 𝑥 + (𝑘𝑥) → 1+𝑘 Esto no prueba que el valor del límite sea cero. Lo que nos dice es que si tal límite existe, éste debe ser cero. Un argumento que concluye que el límite de hecho existe y vale cero, requiere la aplicación directa de la definición. Criterio de dos trayectorias para demostrar la inexistencia de un límite Si una función 𝑓(𝑥, 𝑦)tiene limites diferentes a lo largo de dos trayectorias distintas en el dominio de f cuando (𝑥, 𝑦) tiende a (𝑥 , 𝑦 ) , entonces lim( , )→( , ) 𝑓(𝑥, 𝑦). Ejemplo 2.5: Demuestre que la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = (figura) no tiene límite cuando (𝑥, 𝑦) → (0,0). El límite no se puede obtener por sustitución directa, la cual da la indeterminación 0/0. *Vea que sucede con los límites reiterados) 16 UNPSJB – Facultad de Ingeniería ANALISIS MATEMÁTICO II Examinamos los valores de 𝑓 a lo largo de las curvas que terminan en (0,0). A lo largo de la curva 𝑦 = 𝑘𝑥 , 𝑥 ≠ 0, la función tiene el valor constante. 2𝑥 (𝑘𝑥 ) 2𝑘𝑥 2𝑘𝑥 2𝑘 𝑓(𝑥, 𝑘𝑥 ) = = = = 𝑥 + (𝑘𝑥 ) 𝑥 +𝑘 𝑥 𝑥 (1 + 𝑘 ) 1 + 𝑘 2𝑘 lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = ( , )→( , ) 1+𝑘 Este límite varía con la trayectoria de acercamiento. Si (𝑥, 𝑦) tiende a (0,0) a lo largo de la parábola 𝑦 = 𝑥 , (k=1) el límite es 1. Si (𝑥, 𝑦) tiende a (0,0) a lo largo de la parábola 𝑦 = 2𝑥 , (k=2) el límite es 4/5. Por lo tanto f no tiene límite conforme (𝑥, 𝑦) tiende a (0,0). Puede demostrarse que la función tiene límite 0 a lo largo de cada trayectoria 𝑦 = 𝑚𝑥. Con lo cual concluimos de que el hecho de que las aproximaciones por líneas rectas a (𝑥 , 𝑦 ) tengan el mismo limite no implica que exista el límite en (𝑥 , 𝑦 ). Ejemplo 2.6: Calcular si existe lim( , )→( , ) 𝑥 + 𝑦 ln(𝑥 + 𝑦 ) 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 Calculamos el límite mediante un cambio de coordenadas polares 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 considerando que (𝑥, 𝑦) → (0,0) es equivalente a 𝑟 → 0 para cualquier 𝜃. Por lo tanto: lim 𝑥 + 𝑦 ln(𝑥 + 𝑦 ) = lim 𝑟 ln(𝑟 ) = 𝑙𝑖𝑚 2𝑟 𝑙𝑛(𝑟) = 0 ( , )→( , ) → → El último límite es un caso de límite indeterminado de una variable estudiado en Análisis Matemático I. Resumen de estrategias: Para saber si una función 𝑓(𝑥, 𝑦) tiene límite cuando (𝑥, 𝑦) se acerca a (𝑥 , 𝑦 ), podemos hallarlo:  Por evaluación directa para una función polinomial o racional (y en general, para cualquier función continua como veremos a continuación): Si (𝑥 , 𝑦 ) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) entonces 𝑓 tiene límite 𝐿 = 𝑓(𝑥 , 𝑦 ).  Simplificando la expresión de f, de modo que se pueda evaluar directamente la expresión simplificada en (𝑥 , 𝑦 ).  Por comparación (criterio de sándwich) acotando inferior y superiormente la función en un disco alrededor de (𝑥 , 𝑦 ), si la función que acota inferiormente y la que acota superiormente tienen ambas limite L , entonces f tiene límite L.  Planteando el acercamiento a (𝑥 , 𝑦 ) por distintas curvas en el dominio de f que conducen a dicho punto. Dependiendo de los resultados que se obtienen : 17 UNPSJB – Facultad de Ingeniería ANALISIS MATEMÁTICO II *Si por caminos distintos da valores diferentes, entonces se puede asegurar que f no tiene límite. * Si por los caminos propuestos da el mismo valor L, se puede sospechar que ese podría ser el límite; en este caso se debe justificar que el límite es L, usando por ejemplo, la definición de límite.  Utilizando coordenadas polares para transformar el límite en términos de 𝑟 𝑦 𝜃. 3. Continuidad de funciones de dos variables Sabemos que el concepto de función continua de una variable está asociado a la idea intuitiva de una función cuya grafica es una curva sin saltos, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel. Esta noción de continuidad se generaliza a funciones de varias variables. Así, para funciones de dos variables el concepto de continuidad está basado en la idea intuitiva de una función cuya grafica es una superficie sin huecos ni rupturas. Definición: (continuidad en un punto) Sea 𝑓: 𝑈 ⊆ 𝑅 → 𝑅 una función definida en el abierto 𝑈 𝑑𝑒 𝑅 y sea (𝑥 , 𝑦 ) 𝜖 𝑈.Se dice que f es una función continua en (𝑥 , 𝑦 ) si lim( , )→( ) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥 , 𝑦 ). Si la función f no es continua en 𝑥 , se dice que es discontinua en ese punto. Observación: como en el caso de una sola variable, cuando la función es discontinua en un punto (𝑥 , 𝑦 ) de su dominio, pero existe lim( , )→( ) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 , es posible redefinir la función de manera tal que la nueva función resulte continua en el punto., haciendo 𝐿 = 𝑓(𝑥 , 𝑦 Usando las propiedades de los limites se puede mostrar que las sumas, productos y cocientes, así como la composición, de funciones continuas son continuas en sus dominios. Por ejemplo, Una función polinómica 𝑓: 𝑈 ⊆ 𝑅 → 𝑅 es continua en cualquier punto (𝑥 , 𝑦 ) en 𝑅 , la función exponencial, seno o coseno de cualquier polinomio en x e y también son funciones continuas en 𝑅 , la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥 + 𝑦 ) es continua en todo el plano salvo el origen donde no está definida y no tiene límite finito. Definición: Sea 𝑓: 𝑈 ⊆ 𝑅 → 𝑅 una función definida en el abierto 𝑈 𝑑𝑒 𝑅 es continua respecto de su primera variable (o respecto de su segunda variable) en el punto (𝑥 , 𝑦 ) 𝜖 𝑈 , si la función 𝜃(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦 ) es continua en 𝑥 (si la función =𝜑(𝑦) = 𝑓(𝑥 , 𝑦) es continua en 𝑦 , respectivamente. Es evidente que la continuidad de la función implica la continuidad respecto de cada una de las variables pero no al contrario. 18 UNPSJB – Facultad de Ingeniería ANALISIS MATEMÁTICO II  La función 𝑓: 𝑈 ⊆ 𝑅 → 𝑅, definida como : 𝑥𝑦 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 0 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) = (0,0) Es discontinua en (0,0) pues el límite no existe, ejemplo 2.3. Sin embargo podemos decir que esta función es continua en (0,0) respecto de cada una de las variables independientes. Se verifica que: 𝑓(𝑥, 0) = 0 ∀𝑥 ∈ 𝑅 𝑦 lim → 𝑓(𝑥, 0) = 0 = 𝑓(0,0) 𝑓(0, 𝑦) = 0 ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑦 lim 𝑓(0, 𝑦) = 0 = 𝑓(0,0) → Sin embargo no es continua en (0,0) como función de las dos variables. 19  Análisis Matemático II 3. Derivadas parciales Recordemos que para una función de una variable definida en el intervalo abierto I de R, se define la derivada de f en , denotada por , como el valor del límite: cuando éste existe (en cuyo caso decimos f es diferenciable en ). Si es el ritmo de cambio instantáneo de la función respecto de x en el punto. Ejemplo 3.1: Si representa la temperatura de un objeto en un instante , da el ritmo de cambio de la temperatura con respecto al tiempo. Generalizaremos esta idea. Consideremos una lámina de metal con la forma de una región Supongamos que la temperatura en cada punto viene dada por (como la temperatura solo depende de la posición, estamos suponiendo que se mantiene constante en el tiempo). Interesa conocer el ritmo de cambio de en la dirección en el punto. En otras palabras, si nos movemos por un segmento de recta horizontal desde hasta. ¿Cuál es el ritmo de cambio de la temperatura respecto de la distancia horizontal ? Sobre este segmento, es constante ( de modo que el ritmo de cambio en el segmento viene dado por:. Para calcular el ritmo instantáneo tomamos el límite para cuando. Como y fijamos una de las variables ( , llamamos derivada parcial de con respecto de en el punto y la denotamos:. Así pues, da el ritmo instantáneo de cambio de con respecto a (esto es en la dirección ) en el punto. Análogamente si nos desplazamos por un segmento de recta vertical desde hasta ; el ritmo de cambio de en ese segmento es :. 19  Análisis Matemático II El ritmo instantáneo de cambio de con respecto a (esto es en la dirección ) en el punto en la dirección viene dado por :. En este caso mantenemos fijo el valor de y la llamamos derivada parcial de con respecto a en el punto denotado por:. Definición: La derivada parcial de z= f(x,y) respecto a x se denota por y se define como en todos los valores x e y donde el límite existe. La derivada parcial de z= f(x,y) respecto a x se denota por y se define como en todos los valores x e y donde el límite existe. Interpretación geométrica: Sea un conjunto abierto. La intersección de nos da la curva C de ecuación: Da la pendiente de la recta tangente a la curva que se obtiene al interceptar el grafico de la superficie z = f(x,y) con el plano y=b en el punto (a,b). La derivada parcial proporciona la tasa de cambio de con respecto a cuando se mantiene fija en el valor b. 20  Análisis Matemático II Análogamente es la pendiente de la recta tangente a la curva que se obtiene al interceptar el grafico de la superficie z = f(x,y) con el plano x=a en el punto. ¿Cómo hacemos para derivar?  La idea es derivar respecto de cada una de las variables independientes.  Necesitamos definir el cociente incremental para cada variable.  Necesitamos incrementar cada variable en forma separada.  Para fijar ideas tomemos y sea el incremento de cada variable. Cuando incrementamos en la variable x tenemos que Cuando incrementamos en la variable y tenemos: Así otra forma de escribir las derivadas parciales en el punto es: y Observación: De la definición sigue que derivar respecto de una de las variables consiste en dejar la otra constante y derivar la función como si fuera de una sola variable. 21  Análisis Matemático II f f  2 Ejemplo 3.1: Dada la función f(x,y) = x + y ,calcular (2,1) y (2,1) mediante las x y definiciones correspondientes. Notación: Ahora no podemos usar la notación f ´ para las derivadas, porque al haber varias variables ¿Qué derivada parcial representa f ´? Para escribiremos: A fines prácticos para calcular las derivadas parciales es posible aplicar las reglas de derivación válidas para funciones de una variable (manteniendo a la otra variable fija, considerándola como si fuera una constante).  Ejemplo 3.2: Hallar aplicando reglas de derivación, las derivadas parciales de: a) en (1,0) b). a) b) 22  Análisis Matemático II Derivadas Parciales de funciones de más de dos variables Las derivadas parciales también se definen para funciones de tres o más variables. Por ejemplo, si f es una función de tres variables x, y y z, entonces su derivada parcial con f f ( x  h, y, z )  f ( x, y, z ) respecto a x está definida como: ( x, y, z )  lim x h 0 x Y se calcula considerando constantes y derivando con respecto a. w Si , x se interpreta como la razón de cambio de w con respecto a x cuando y y z se conservan fijas. En general, sea una función definida en un conjunto U de y sea ⃗⃗⃗⃗ en U. Se define la derivada de f con respecto a su i-ésima variable en el punto x0, denotada por , como el límite, si éste existe: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Observaciones:  Si existe ⃗⃗⃗⃗ decimos que f es derivable con respecto a en ⃗⃗⃗⃗.  Si existe ⃗⃗⃗⃗ decimos que f es derivable en ⃗⃗⃗⃗  Si f es continua f derivable. Por ejemplo √ en (0,0) es continua y no derivable.  , ejemplo { no es continua y si es derivable. Por lo tanto: Derivadas parciales iteradas: Definición: Sea , decimos que f es de clase en si f y todas las derivadas hasta el orden k existen y son continuas en un entorno de x. Si k=0, f es de clase , es equivalente a decir que f es continua en un entorno de ese punto. 23  Análisis Matemático II Sea de clase esto significa que existen y son continuas. Si estas derivadas, a su vez, tienen derivadas parciales continuas decimos que f es de clase , asimismo, si decimos que f es de clase , significa que f tiene derivadas parciales iteradas continuas de tercer orden, y así sucesivamente. A continuación, unos ejemplos de cómo se escriben estas derivadas de orden superior: ( ) ( ) ( ) ( ) Por supuesto que el proceso puede repetirse para las derivadas de tercer orden y así sucesivamente. Si f es una función solo de x y y , y si son continuas al tomar las segundas derivadas parciales , obtenemos cuatro funciones : Todas estas se llaman derivadas parciales iteradas, mientras que se llaman derivadas parciales mixtas.  Ejemplo3.3: Hallar las segundas derivadas parciales de a) En estos ejemplos notar que los pares de las derivadas mixtas tales como: son iguales. Este hecho lo afirma el siguiente teorema para funciones f(x,y) de dos variables , pero la demostración se puede extender con facilidad a funciones de n variables. 24  Análisis Matemático II Teorema: Si es de clase C2 entonces las derivadas parciales mixtas son iguales, esto es :. Fue Leonhard Euler, en 1734, quien probó por primera vez este teorema, en relación con sus estudios de hidrodinámica. Para una función C3, de , ,etc. En otras palabras, podemos calcular derivadas parciales iteradas en el orden que nos plazca. Aplicaciones: Buena parte de las leyes de la naturaleza fueron descritas en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias (ecuaciones que incluyen las derivadas de funciones de una sola variable, como , donde esta dada por la ley de gravitación de Newton), o ecuaciones diferenciales parciales, esto es, ecuaciones que incluyen derivadas parciales de funciones.No estudiaremos aquí las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales parciales , pero si , a modo de práctica , comprobaremos que una función dada y sus derivadas verifican cierta ecuación diferencial. Ecuación del calor. A principios del siglo diecinueve el matemático francés Joseph Fourier (1768-1830) inicio el estudio del calor. El flujo del calor tenia obvias aplicaciones, tanto a problemas industriales como científicos: por ejemplo , una mejor comprensión del fenómeno haría posible que la fundición de metales fuera más eficiente permitiendo a los científicos a determinar la temperatura de un cuerpo dada la temperatura en su frontera, y así, aproximar la temperatura en el interior de la tierra. Sea un cuerpo homogéneo representado por alguna región en el 3-espacio. Denotamos por la temperatura del cuerpo en el punto en el tiempo. Fourier probo, basado en algunos principios físicos, que debe satisfacer la ecuación diferencial parcial llamada la ecuación de calor, ( ) donde es una constante cuyo valor depende de la conductividad del material que compone al cuerpo. Fourier uso esta ecuación para resolver problemas de conducción de calor. De hecho, sus investigaciones de las soluciones de la ecuación lo condujeron al descubrimiento de un nuevo concepto matemático, llamado ahora series de Fourier. La ecuación de potencial. El potencial gravitacional (llamado con frecuencia potencial de Newton) de una masa en un punto provocado por una masa puntual colocado en el origen está dado por donde es una constante, es la distancia al cuadrado de al origen;.El potencial satisface la √ ecuación. Esta ecuación se conoce como ecuación de Laplace. Pierre Simon Laplace (1749-1827) realizo trabajos sobre atracción gravitacional de masas no puntuales y fue el primero en considerar la ecuación relacionada con la atracción gravitacional. 25  Análisis Matemático II Presento argumentos (más tarde se mostró que eran incorrectos) acerca de que la ecuación se cumplía para cualquier cuerpo y cualquier punto ya sea dentro o fuera del cuerpo. Ecuación de la onda. La ecuación lineal de la onda en el espacio tiene la forma (1).La ecuación de onda unidimensional fue deducida alrededor de 1727 por John Bernoulli; y varios años después por Jean Le Rond d’Alembert en el estudio para determinar el movimiento de una cuerda vibrante (como la de un violín). La ecuación (1) se volvió muy útil para estudiar tanto cuerpos vibrantes como elasticidad. Esta ecuación surge también en el estudio de la propagación de radiación electromagnética y de ondas de sonido. Teorema del valor medio: Sea una función con derivadas parciales finitas en un entorno del punto (a,b) interior al dominio. Si el punto pertenece a dicho entorno entonces f = x. fx (x0 + 1x , y0 + y) + y. fx (x0, y0 + 2y) con 0 < 1 < 1 y 0 < 2 < 1 Demostración: Consideremos la función f y los puntos (x0 , y0) y (x0 + x , y0 + y) interiores a C en las condiciones mencionadas en el enunciado. Se trata de evaluar el incremento: f = f (x0 + x , y0 + y) – f (x0, y0) Sumamos y restamos al segundo miembro el valor de la función en el punto (x0 , y0 + y), y agrupando convenientemente resulta: f = [f (x0 + x , y0 + y) – f(x0 , y0 + y )] + [f(x0 , y0 + y )– f (x0, y0)] Aplicando a cada uno de los sumandos el teorema del valor medio para una variable es: f = x. fx (x0 + 1x , y0 + y) + y. fy (x0, y0 + 2y) con 0 < 1 < 1 y 0 < 2 < 1 26  Análisis Matemático II Observación: Se puede considerar el teorema del valor medio tomando los puntos intermedios de los otros lados del rectángulo resultando el incremento de la función de la forma. f = x. fx (x0 + 1x , y0) + y. fy (x0 + x , y0 + 2y) con 0 < 1 < 1 y 0 < 2 < 1 Ejemplo: Hallar los puntos intermedios del teorema del valor medio para f(x,y) = 3x2 + 2y2 entre (2,1) y (2.01,1.02) f = f(2 + x,1 + y) – f(2,1) = 3.( 2 + x)2 + 2.( 1 + y)2 – 14 f = f(2 + x,1 + y) – f(2,1) = 12 + 12x + 3x2 + 2 + 4y + 2y2 – 14 f = 12x + 3x2 + 4y + 2y2 (1) fx (x, y) = 6x  fx (2 + 1x , 1) = 6.(2 + 1x) = 12 + 61x fy (x, y) = 4y  fy (2 + x , 1 + 2y) = 4.(1 + 2y) = 4 + 42y Luego, por el teorema del valor medio: f = x. fx (2 + 1x , 1) + y. fy(2 + x , 1 + 2y ) = x.( 12 + 61x) + y.( 4 + 42y) f = 12x + 61x2 + 4y + 42y2 (2) Comparando (1) y (2) , 12x + 3x2 + 4y + 2y2 = 12x + 61x2 + 4y + 42y2 3x2 + 2y2 = 61x2 + 42y2 Por lo tanto, 3 = 61 y 2 = 42  1 = 1/2 y 2 = 1/2 Luego, considerando los valores de los incrementos x = 2.01 – 2 = 0.01; y = 1.02 – 1 = 0.02 y los de 1 y 2, las coordenadas de los puntos intermedios son: 27  Análisis Matemático II (2 + 1x , 1) = (2 + 1/2.0.01, 1) = (2.005,1) (2 + x , 1 + 2y ) = (2 + 0.01, 1 + 0.02) = (2.01, 1.01) 28  Análisis Matemático II 4. Funciones Diferenciables –Diferenciales Planos tangentes y aproximaciones lineales: Sea 𝑓: 𝑈 ⊂ 𝑅 → 𝑅 , 𝑈 un conjunto abierto, (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑈 y queremos determinar un plano, de tal manera que:  dicho plano pase por (𝑎, 𝑏, 𝑐) siendo 𝑐 = 𝑓(𝑎, 𝑏).  Sea tangente al gráfico de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) en (𝑎, 𝑏).  Sea la mejor aproximación lineal a f en un entorno de (𝑎, 𝑏) en algún sentido. Sea entonces la ecuación de dicho plano: 𝐴 (𝑥 − 𝑎) + 𝐵(𝑦 − 𝑏) + 𝐶(𝑧 − 𝑐) = 0 ¿Cómo debemos elegir A, B y C de manera que el plano NO debe ser vertical? Podemos suponer 𝐶 ≠ 0. Supongamos que una superficie S tiene la ecuación 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), donde las primeras derivadas de f son continuas y sea 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) un punto sobre S. 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Sean las curvas 𝐶 = y𝐶 = 𝑦=𝑏 𝑥=𝑎 El punto 𝑃 esta en 𝐶 𝑦 𝐶. Sean 𝑇 𝑦 𝑇 las rectas tangentes a 𝐶 𝑦 𝐶 en el punto 𝑃. Entonces el plano tangente a la superficie S en el punto 𝑃 es el plano que contiene las rectas tangentes T1 y T2. El plano tangente a S en 𝑃 es el formado por todas las posibles rectas tangentes en 𝑃 a curvas que están en S y pasan por 𝑃. El plano tangente en 𝑃 es el plano que se aproxima más a la superficie S en el punto 𝑃. Sabemos que cualquier plano que pase por el punto 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) tiene una ecuación de la forma 𝐴(𝑥 − 𝑎) + 𝐵(𝑦 − 𝑏) + 𝐶(𝑧 − 𝑐) = 0 Al dividir miembro a miembro de la ecuación por 𝐶 y al hacer 𝑚 = , 𝑛= , podemos escribirla en la forma: (𝑧 − 𝑐) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) + 𝑛(𝑦 − 𝑏) (1) Si dicha ecuación representa el plano tangente en P, entonces su intersección con el plano 𝑦 = 𝑏 debe ser la recta tangente T1. Al hacer 𝑦 = 𝑏 en la ecuación (1) resulta: (𝑧 − 𝑐) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) 𝑦=𝑏 y reconocemos como las ecuaciones de una recta con pendiente m, pero sabemos que la pendiente de T1 es 𝑓 (𝑎, 𝑏) , por consiguiente 𝑚 = 𝑓 (𝑎, 𝑏). Del mismo modo, poniendo x = a en la ecuación (1), obtenemos (𝑧 − 𝑐) = 𝑛(𝑦 − 𝑏) que debe representar la recta tangente T2, de modo que 𝑛 = 𝑓 (𝑎, 𝑏). Definición: Supongamos que 𝑓 tiene derivadas parciales continuas. La ecuación del plano tangente a la superficie 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) en el punto 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) es: (𝑧 − 𝑐) = 𝑓 (𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓 (𝑎, 𝑏)(𝑦 − 𝑏) (2) 29  Análisis Matemático II Ejemplo 4.1: Hallar el plano tangente de 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 en el punto (1, 0 ,1). Las derivadas parciales son: (𝑥, 𝑦) = 2𝑥 y (𝑥, 𝑦) = 4𝑦 en el punto (1,0) tenemos que (1,0) = 2 , (1,0) = 0. Luego la ecuación del plano tangente es: (𝑧 − 1) = 2(𝑥 − 1) ⇒ 𝑧 = 2𝑥 − 1. Nuestra definición de diferenciabilidad dirá, que el plano dado por la ecuación (2) es una “buena aproximación “cerca de (𝑎, 𝑏). Para tener una idea de lo que significa una buena aproximación, regresemos por un momento al cálculo en una variable. Si f es diferenciable en el punto 𝑎 , entonces sabemos que: ( ∆ ) ( ) lim∆ → ∆ = 𝑓´(𝑎) ( ) ( ) Si 𝑥 = 𝑎 + ∆𝑥 y reescribimos esto como: lim → = 𝑓´(𝑎) Usando el límite trivial lim → 𝑓´(𝑎) = 𝑓´(𝑎) podemos reescribir la ecuación anterior como: ( ) ( ) lim = lim → 𝑓´(𝑎) → 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) lim − 𝑓´(𝑎) = 0 → 𝑥−𝑎 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) − 𝑓´(𝑎)(𝑥 − 𝑎) lim =0 → 𝑥−𝑎 Así la recta tangente 𝐿 que pasa por (𝑎, 𝑓(𝑎)) con pendiente 𝑓´(𝑎) está cerca de f en el sentido de que la diferencia entre 𝑓(𝑥) y 𝐿(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓´(𝑎)(𝑥 − 𝑎) se hace cero aun al dividir entre 𝑥 − 𝑎 cuando 𝑥 va hacia 𝑎. Esta es la idea de “buena aproximación”que adaptaremos para funciones de varias variables, reemplazando la recta tangente por el plano tangente de ecuación (2). 30  Análisis Matemático II Definición: Sea 𝑓: 𝑅 → 𝑅. Decimos que f es diferenciable en (𝑎, 𝑏) si 𝑦 existen en ( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( ) (𝑎, 𝑏) y si: ‖( , ) ( , )‖ → 0 (3) Cuando (𝑥, 𝑦) → (𝑎, 𝑏). Esta ecuación expresa el significado que damos cuando decimos que 𝑓(𝑎, 𝑏) + (𝑎, 𝑏) (𝑥 − 𝑎) + (𝑎, 𝑏) (𝑦 − 𝑏) es una buena aproximación a la función f. La expresión (3) puede escribirse como: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑎, 𝑏) − (𝑎, 𝑏) (𝑥 − 𝑎) − (𝑎, 𝑏) (𝑦 − 𝑏) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 lim =0 ( , )→( , ) (𝑥 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑏) Escribamos 𝐷𝑓(𝑎, 𝑏) para la matriz renglón (𝑎, 𝑏) (𝑎, 𝑏) , entonces, la definición de diferenciabilidad afirma que: 𝑥−𝑎 𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝐷𝑓(𝑎, 𝑏) 𝑦 − 𝑏 = 𝑓(𝑎, 𝑏) + (𝑎, 𝑏) (𝑥 − 𝑎) + (𝑎, 𝑏) (𝑦 − 𝑏) (4) es nuestra buena aproximación de 𝑓 cerca de (𝑎, 𝑏). Como antes “buena “se toma en el sentido de que la expresión (4) difiere de 𝑓(𝑥, 𝑦)en alguna cantidad pequeña multiplicada por (𝑥 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑏). Decimos que la expresión (4) es la mejor aproximación lineal de f cerca de (𝑎, 𝑏). ( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( ) A partir de lim( , )→( , ) ( ) ( ) =0 y utilizando las propiedades de límite finito esta última igualdad se expresa como: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑎, 𝑏) = (𝑎, 𝑏) (𝑥 − 𝑎) − (𝑎, 𝑏) (𝑦 − 𝑏) +∈ (𝑥 − 𝑎) +∈ (𝑦 − 𝑏) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 lim( , )→( , ) ∈ (𝑥 − 𝑎) = 0 𝑦 lim( , )→( , ) ∈ (𝑦 − 𝑏) = 0 (4) Si ahora consideramos una función de dos variables 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) y supongamos que x cambia de 𝑎 , 𝑎 + ∆𝑥 y que y varia de 𝑏 𝑎 𝑏 + ∆𝑦 entonces el incremento es: ∆𝑧 = 𝑓(𝑎 + ∆𝑥, 𝑏 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑎, 𝑏) Por lo tanto el incremento representa el cambio en el valor de f cuando (𝑥, 𝑦) cambia de(𝑎, 𝑏) a (𝑎 + ∆𝑥 , 𝑏 + ∆𝑦). 31  Análisis Matemático II Utilizando estas definiciones: Definición: Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) entonces f es diferenciable en (𝑎, 𝑏) si ∆𝑧 puede expresarse en la forma: ∆𝑧 = (𝑎, 𝑏) ∆𝑥 − (𝑎, 𝑏) ∆𝑦 +∈ ∆𝑥 +∈ ∆𝑦 Donde ∈ → 0 , ∈ → 0 conforme (∆𝑥, ∆𝑦) → (0,0). Ejemplo 4.2: probar que la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 3𝑦 es diferenciable en todo punto del plano. Llamando 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) el incremento de z en un punto arbitrario (𝑥, 𝑦) del plano es : ∆𝑧 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦) = [(𝑥 + ∆𝑥) + 3(𝑦 + ∆𝑦)] − (𝑥 + 3𝑦) = 𝑥 + 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥 + 3𝑦 + 3∆𝑦 − 𝑥 − 3𝑦 = 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥 + 3∆𝑦 = 2𝑥(∆𝑥) + 3(∆𝑦) + ∆𝑥(∆𝑥) + 0(∆𝑦) = 𝑓 (𝑥, 𝑦)∆𝑥 + 𝑓 (𝑥, 𝑦)∆𝑦 +∈ ∆𝑥 +∈ ∆𝑦 Donde ∈ = ∆𝑥 𝑦 ∈ =0. Como ∈ → 0 𝑦 ∈ → 0 cuando (∆𝑥, ∆𝑦) → (0,0) , se sigue que f es diferenciable en todos los puntos del plano. Debe tenerse cuidado al consultar textos de matemáticas, ya que en muchos de ellos se utiliza el término “diferenciable” en el caso de una variable como sinónimo de derivable. Con ese convenio, una función de una variable resulta ser diferenciable simplemente por tener derivada. Bien al contrario, para que una función de dos variables sea diferenciable, no basta que existan sus derivadas parciales 𝑓 , 𝑓. El próximo teorema proporciona condiciones suficientes para garantizar la diferenciablidad de una función de dos variables. Condición suficiente para la diferenciablidad: Teorema: Si las derivadas parciales 𝑓 𝑦 𝑓 existen cerca de (𝑎, 𝑏) y son continuas en (𝑎, 𝑏) entonces f es diferenciable en (𝑎, 𝑏). Demostración: Sea ∆𝑧 = 𝑓(𝑎 + ∆𝑥, 𝑏 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑎, 𝑏) para demostrar que f es diferenciables en un punto (a,b) tenemos que poder escribir : ∆𝑧 = (𝑎, 𝑏) ∆𝑥 − (𝑎, 𝑏) ∆𝑦 +∈ ∆𝑥 +∈ ∆𝑦 Donde ∈ → 0 , ∈ → 0 conforme (∆𝑥, ∆𝑦) → (0,0). 32  Análisis Matemático II De acuerdo con la figura escribimos: ∆𝑧 = [𝑓(𝑎 + ∆𝑥, 𝑏 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑎, 𝑏 + ∆𝑦)] + [𝑓(𝑎, 𝑏 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑎, 𝑏)] (1) Podemos definir la función de una variable: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑏 + ∆𝑦), está definida en el intervalo [𝑎, 𝑎 + ∆𝑥] y 𝑔´(𝑥) = 𝑓 (𝑥, 𝑏 + ∆𝑦). Si aplicamos el T.V.M. de una variable a g tenemos : 𝑔(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑎) = 𝑔´(𝑢)∆𝑥 , donde u es algún numero entre 𝑎 𝑦 𝑎 + ∆𝑥. En términos de f esta ecuación se puede escribir como: 𝑓(𝑎 + ∆𝑥, 𝑏 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑎, 𝑏 + ∆𝑦) = 𝑓 (𝑢, 𝑏 + ∆𝑦)∆𝑥 (2) es la primera parte de la ecuación (1). Para la segunda parte tenemos que: ℎ(𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑦) , h es una función de una variable definida en el intervalo [𝑏, 𝑏 + ∆𝑦] y ℎ´(𝑦) = 𝑓 (𝑎, 𝑦). Aplicando el teorema del valor medio a h tenemos que: ℎ(𝑏 + ∆𝑦) − ℎ(𝑏) = ℎ´(𝑣) ∆ 𝑦 , donde v está entre b y 𝑏 + ∆𝑦. En términos de f se convierten en: 𝑓(𝑎, 𝑏 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑓 (𝑎, 𝑣)∆𝑦. Sustituyendo en la ecuación (1) tenemos que: ∆𝑧 = 𝑓 (𝑢, 𝑏 + ∆𝑦)∆𝑥 + 𝑓 (𝑎, 𝑣)∆𝑦 Si sumamos y restamos 𝑓 (𝑎, 𝑏)∆𝑥 𝑦 𝑓 (𝑎, 𝑏)∆𝑦 tenemos que: ∆𝑧 = 𝑓 (𝑎, 𝑏)∆𝑥 + 𝑓 (𝑢, 𝑏 + ∆𝑦)∆𝑥 − 𝑓 (𝑎, 𝑏)∆𝑥 + 𝑓 (𝑎, 𝑏)∆𝑦 + 𝑓 (𝑎, 𝑣)∆𝑦 − 𝑓 (𝑎, 𝑏)∆𝑦 Agrupando tenemos que: ∆𝑧 = 𝑓 (𝑎, 𝑏)∆𝑥 + [𝑓 (𝑢, 𝑏 + ∆𝑦) − 𝑓 (𝑎, 𝑏)]∆𝑥 + 𝑓 (𝑎, 𝑏)∆𝑦 + [𝑓 (𝑎, 𝑣) − 𝑓 (𝑎, 𝑏)]∆𝑦 Si llamamos ∈ = 𝑓 (𝑢, 𝑏 + ∆𝑦) − 𝑓 (𝑎, 𝑏) y ∈ = 𝑓 (𝑎, 𝑣) − 𝑓 (𝑎, 𝑏) tenemos que (𝑢, 𝑏 + ∆𝑦) → (𝑎, 𝑏) (Pues u está definida en [𝑎 , 𝑎 + ∆𝑥] y (𝑎, 𝑣) → (𝑎, 𝑏) (v está entre [𝑏, 𝑏 + ∆𝑦]). Cuando (∆𝑥, ∆𝑦) → (0,0) y como 𝑓 𝑦 𝑓 son continuas en (𝑎, 𝑏) , tenemos que ∈ → 0 𝑦 ∈ → 0 cuando (∆𝑥, ∆𝑦) → (0,0). Por lo tanto f es diferenciable en (𝑎, 𝑏). Notemos que: 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑠 ⟹ 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 ⟹ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 33  Análisis Matemático II Observaciones:  Si f es diferenciable en (𝑎, 𝑏) el plano tangente es la mejor aproximación lineal a f en un entorno de dicho punto.  Para que exista el plano tangente a la gráfica de f en (𝑎, 𝑏) la función debe ser diferenciable en dicho punto. Ejemplo 4.3: Demuestre que 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 es diferenciable en (1,0). Tenemos que: 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑒 + 𝑥𝑦𝑒 y 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑒 son funciones continuas pues: 𝑓 (1,0) = 1 𝑦 lim( , )→( , ) 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 1 y 𝑓 (1,0) = 1 𝑦 lim( , )→( , ) 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 1 Por lo tanto f es diferenciable en (1,0). Diferenciales: Para funciones de una variable 𝑦 = 𝑓(𝑥) definimos la 𝑑𝑥 como una variable independiente, es decir 𝑑𝑥 puede recibir el valor de cualquier número real. La diferencial dy se define como 𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥. ∆𝑦 representa el cambio de la altura de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) y 𝑑𝑦 representa el cambio en la altura de la recta tangente cuando x varia una cantidad igual a 𝑑𝑥 = ∆𝑥. Para una función de dos variables 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) definimos los diferenciales 𝑑𝑥 y 𝑑𝑦 como las variables independientes, es decir, se les puede dar cualquier valor. La diferencial de z ,𝑑𝑧, también llamada diferencial total se define mediante : 𝑑𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 Algunas veces se utiliza la notación 𝑑𝑓 en lugar de 𝑑𝑧. Como la aproximación lineal (del plano tangente) era: 34  Análisis Matemático II 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑎, 𝑏) = (𝑎, 𝑏) (𝑥 − 𝑎) − (𝑎, 𝑏) (𝑦 − 𝑏) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 SI (𝑥 − 𝑎) = ∆𝑥, (𝑦 − 𝑏) = ∆𝑦 tenemos que: 𝑓(𝑥, 𝑦) ≈ 𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝑑𝑧 𝑑𝑧 = representa el cambio de altura de la función hasta el plano tangente. ∆𝑧 = el cambio de altura de la superficie. Ejemplo 4.4: a) Si z = f(x,y) = x2 + 3xy – y2, encontrar el diferencial dz. b) Si x cambia de 2 a 2,05 e y cambia de 3 a 2,96, comparar los valores de z y dz. Solución: a) 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = (2𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (3𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦 b) Si 𝑥 = 2, 𝑑𝑥 = ∆𝑥 = 0.05 , 𝑦 = 3, 𝑑𝑦 = ∆𝑦 = −0.04 , obtenemos: dz = (2.2 + 3.3) 0,05 + (3.2 – 2.3) (-0,04) = 0,65 El incremento de z es: z = f(2,05;2,96) – f(2,3)= [(2,05)2 + 3(2,05).(2,96) – (2,96)2] – [ 22 + 3.2.3 – 32] = 0,6449 Observemos que z  dz , pues 0,6449  0,65 y dz – z  0,0051 35  Análisis Matemático II 1,98 Ejemplo 4.5: Aproximar 2,0 1 Proponemos 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 , (𝑎, 𝑏) = (2,2), 𝑑𝑥 = ∆𝑥 = 0.01, 𝑑𝑦 = ∆𝑦 = −0.02 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑦𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑦 Si (𝑎, 𝑏) = (2,2), 𝑑𝑥 = ∆𝑥 = 0.01, 𝑑𝑦 = ∆𝑦 = −0.02 entonces: dz = 2.22 – 1.0,01 + 22. ln2. (-0,02)  -0,0154 z = f(a + x, b + y) – f(a,b) = f(2,01;1,98) – f(2,2) = 2,011,98 – 22 = 2,011,98 – 4 Luego, como z  dz, resulta que z = 2,011,98 – 4  -0,0154  dz y por consiguiente: 2,011,98  -0,0154 + 4 , 2,011,98 3,9846 Como consecuencias de las definiciones de diferenciabilidad se cumplen: Teoremas: 1.- Si f es diferenciable en (𝑎, 𝑏), interior a su dominio, entonces f tiene derivadas parciales en (𝑎, 𝑏) 2.- Si f es diferenciable en (𝑎, 𝑏), interior a su dominio, entonces f es continua en (𝑎, 𝑏). Observación: si f no es continua en (𝑎, 𝑏) entonces f no es diferenciable en (𝑎, 𝑏). Observación: Se puede generalizar el concepto de diferenciabilidad a funciones 𝑓: 𝑈 ⊂ 𝑅 → 𝑅 Definida en el conjunto abierto U de 𝑅 será diferenciable en 𝑥 ∈ 𝑈 si se da la transformación lineal 𝑓 ´ (𝑥 ): 𝑅 → 𝑅 cuya representación matricial es la matriz 1 x n: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝐽𝑓(𝑥 ) = (𝑥 ) (𝑥 ) … … ….. (𝑥 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Tal que: 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 ) + 𝑓 ´ (𝑥 ) (𝑥 − 𝑥 ) + ‖𝑥 − 𝑥 ‖𝑍(𝑥 − 𝑥 ) donde lim 𝑍(𝑥 − 𝑥 ) = 0 → 36  Análisis Matemático II 𝑥 −𝑥 ⎛ −𝑥 ⎞ 𝑥 Luego 𝑓 ´ (𝑥 ) (𝑥 − 𝑥 ) = (𝑥 ) (𝑥 ) … … ….. (𝑥 ) ⎜. ⎟=. ⎝𝑥 − 𝑥 ⎠ = (𝑥 )(𝑥 − 𝑥 ) + (𝑥 )(𝑥 − 𝑥 )+…………+ (𝑥 ) (𝑥 − 𝑥 ) Si tomamos 𝑑 = (𝑥 − 𝑥 ) tenemos que: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑓 ´ (𝑥 ) (𝑥 − 𝑥 ) = (𝑥 )𝑑𝑥 + (𝑥 )𝑑𝑥 + ⋯ …. + (𝑥 )𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Esta expresión recibe el nombre de diferencial total de la función y es utilizado en la resolución de problemas de aplicación. Diferenciales sucesivos: Consideremos una función diferenciable f, de las variables x e y, la expresión de la diferencial total de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es, como sabemos: ( , ) ( , ) 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 O bien 𝑑𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 que es función de , 𝑥, 𝑦, 𝑑𝑥 , 𝑑𝑦 ( pues = 𝑓 (𝑥, 𝑦) y = 𝑓 (𝑥, 𝑦) son funciones de 𝑥 e 𝑦 ) Ahora bien, si 𝑥 e 𝑦 son variables independientes, se conviene que las diferenciales (o incrementos arbitrarios) 𝑑𝑥 y 𝑑𝑦 son constantes. Resulta entonces que, si 𝑓 (𝑥, 𝑦) y 𝑓 (𝑥, 𝑦) admiten derivadas parciales continuas, 𝑑𝑓(𝑥, 𝑦) es una función diferenciable y su diferencial se llama diferencial segunda de f y se escribe d2f(x,y). En símbolos: 𝑑 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑑[𝑑𝑓(𝑥, 𝑦)] Desarrollando:  ( df )  ( df ) 2 f 2 f 2 f 2 f d2 f  dx  dy  ( dx  dy ) dx  ( dx  dy ) x y x x yx  xy  yy supuesta la continuidad de las derivadas parciales segundas, las derivadas parciales cruzadas son iguales, entonces resulta: 37  Análisis Matemático II 2 f 2 2 f 2 f 2 d2 f  dx  2 dxdy  dy x 2 xy y 2 expresión que tiene marcada analogía con el desarrollo del cuadrado de un binomio y que ( 2)    suele representarse como cuadrado simbólico, así: d f   dx  2 dy  f  x y  Ponemos (2) para indicar que es un cuadrado simbólico; para las derivadas indican el orden de las mismas y para los incrementos indican potencias efectivas. Si existen y son continuas las derivadas terceras en el punto considerado se tendrá: ( 3)    d f  d (d f )   dx  dy  3 2 f  x y  3 f 3 3 f 3 f 3 f 3 resultando: d f 3 dx  3 2 dx dy  2 dxdy  3 dy 2 x 3 x y xy 2 y ( n)    Análogamente se define y se obtiene: d f   dx  dy  n f  x y  El mismo concepto se extiende para las diferenciales de más de dos variables independientes. Por ejemplo, si f es función de tres variables independientes. x, y, z resulta: ( 3)     d f   dx  dy  dz  3 f  x y z  La diferenciabilidad y los diferenciales se definen de manera similar para funciones de más de dos variables. Si 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), entonces el incremento de w es: ∆𝑤 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 + ∆𝑦, 𝑧 + ∆𝑧) − 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) La diferencial dw está definida en términos de los diferenciales dx, dy y dz de las variables w w w independientes, por: dw  dx  dy  dz x y z 38  Análisis Matemático II 5. Regla de la Cadena En Análisis Matemático I se consideró la composición de una función de una variable con otra función también de una variable: la composición de con da , que depende de la variable. Para obtener la derivada de una función compuesta (siempre que las funciones que se componen sean derivables), utilizamos la regla de la cadena: O escrito de otra forma ( ). En el contexto de las funciones de varias variables, también podemos hacer composiciones pero ahora las opciones son diversas. Veamos diferentes formas de composición entre funciones de varias variables, y las reglas de derivación correspondientes en cada caso. Teorema: Sea son funciones derivables y es una función diferenciable de. Entonces: [ ( )] ( ) ( ) Demostración: Llamemos ( ) , entonces por definición de derivada tenemos: ( ) [ ( )] Para simplificar, denotamos y ( ) y así se tiene que: [ ( )] Por ser f diferenciable tenemos que: Tomando el límite para , resulta: [ ( )] (1) Notemos que: 39  Análisis Matemático II Además, al ser e derivables, son continuas y En consecuencia, como cuando , se tiene que: Y de (1) se deduce que [ ( )] Ejemplo 5.1: Dadas , hallar la derivada de ( ). En primer lugar, calculamos Ahora aplicando la regla de la cadena del teorema anterior, obtenemos: Regla de la cadena para derivadas parciales Para una función compuesta de dos variables donde se esperarían naturalmente dos fórmulas análogas a (1), ya que y por ello pueden calcularse tanto como. La regla de la cadena para funciones de dos variables se resume en el siguiente teorema. Teorema: Si es diferenciable y tiene derivadas parciales continuas, entonces: y (2) z z Ejemplo 5.2: Si , donde hallar s y t. 40  Análisis Matemático II Generalizaciones: Los resultados dados en (1) y (2) se generalizan de inmediato a cualquier número de variables. Si es diferenciable en y si son funciones diferenciables de una sola variable t, entonces (1) del teorema se convierte en De manera similar si y cada una de las variables son funciones de k variables , entonces bajo las mismas suposiciones que en el teorema anterior Diagramas de árbol: Los resultados en (1) y (2) pueden memorizarse en términos de diagrama de árbol. u x t x v z z y t y u v Para calcular por ejemplo, leemos el diagrama empezando desde z y siguiendo las dos trayectorias que llevan a x y a y. Después seguimos las trayectorias que conducen a u, multiplicamos las derivadas parciales en cada trayectoria y luego sumamos los productos. 2 2 2 2 Ejemplo 5.3: Si g(s,t) = f(s – t , t – s ) y f es diferenciable, mostrar que g satisface la ecuación: g g t s 0 s t Sea x = s2 – t2 y y = t2 – s2. Entonces g(s,t) = f(x,y) y la regla de la cadena define: g f x f y f f g f x f y f f   (2s)  (2s)   (2t )  (2t ) s x s y s = x y , t x t y t = x y g g  f f  f f Por lo tanto, t s   2st  2st   (2st  2st )  0 s t  x y  x y 41  Análisis Matemático II 6. Funciones implícitas Decimos que es función implícita de en un entorno del punto cuando está dada por una ecuación y puede asegurarse que es posible hallar una función f tal que en dicho entorno. Una ecuación del tipo no siempre define implícitamente a. Podemos pensar que como la curva de nivel de ; luego las preguntas son:  ¿Existe tal que { tiene intersección no vacía?  Si la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, ¿es o en un entorno de dicho punto? Ejemplos 6.1:  1) La ecuación no se satisface en ningún punto del plano y en consecuencia no define ninguna función (o ).  2) La ecuación solo se satisface en el origen , con lo que no definirá implícitamente ninguna función.  3) La ecuación se satisface para (1,0), (0,1),…. Si define a y como función implícita de x ,y en este caso es posible expresar a y como función explicita de x: √  4) La ecuación define a y como función implícita de x: para cada , es una ecuación de grado impar en y que tiene al menos una solución. En este caso no es posible expresar y explícitamente en términos de funciones elementales de x (no es posible, en general, expresar las raíces de una ecuación de quinto grado, o superior, mediante expresiones radicales de sus coeficientes, o sea, expresiones compuestas de las cuatro operaciones). En caso de que las respuestas anteriores sean afirmativas, ¿bajo qué condiciones es diferenciable la función que F define implícitamente? Vemos pues, que una ecuación puede o no definir implícitamente una función , y en caso de hacerlo puede o no ser posible expresar y en función de x explícitamente en términos de funciones elementales. El siguiente teorema nos da la respuesta a todas estas preguntas. 42  Análisis Matemático II Teorema de la función implícita: Sea una función de dos variables que satisface las siguientes condiciones: 1º) 2º) es continua y derivable en. 3º) La derivada parcial existe en un entorno de y cumple que. Entonces: tal que y su derivada viene dada por: dy F (x , y ) f '( x0 )   x 0 0 dx Fy ( x0 , y0 ) Suponiendo demostrada la existencia de esta función y su derivabilidad podemos decir: Si en es diferenciable en , considerando como variable independiente y como función compuesta de por intermedio de , nula en el intervalo , luego su derivada es nula, es decir: d ( F ( x, f ( x)) F dx F dy . .  Fx ' FY '. y '  0 dx x dx x dx Fy ( x0 , y0 )  0 y suponiendo que resulta: dy F '( x , y ) y0 '  f '( x0 )   x 0 0 dx ( x0 , y0 ) Fy '( x0 , y0 ) Donde el valor de la derivada de la función implícita, dada por esta última expresión, se obtiene sin necesidad de saber despejar en la expresión de la función considerada. Observaciones: El teorema da condiciones suficientes, esto es si alguna de las hipótesis del teorema falla esto no implica que no sea posible hallar. Es un teorema de existencia y unicidad, es decir garantiza que existe la función f definida en un entorno de , aunque no de un método para hallarla en forma explícita. Por ello dice que si define implícitamente a y en función de x en un entorno de. El teorema es local, esto es, vale en un entorno del punto dado y puede ser que no pueda aplicarse en otro punto. Ejemplo 6.2: En el teorema particular de la función implícita, es importante reconocer la necesidad de tomar vecindades U y V suficientemente pequeñas. Por ejemplo, considerar la ecuación: 43  Análisis Matemático II esto es. Aquí tenemos que , de modo que se puede aplicar el teorema de la función implícita a un punto que satisfaga la ecuación. Así cerca de dichos puntos, es una función única de. Esta función es √. Notemos que está definida solo para | | (U no debe ser muy grande) y es única solo cerca de (V no debe ser muy grande). Estos hechos y el que no exista en , son claros a partir del hecho de que define un circulo en el plano xz. Es importante saber que podemos extender esta noción a funciones de varias variables definidas de forma implícita como sigue. Supongamos que define implícitamente una función , con diferenciable. Entonces podemos hallar las derivadas parciales por la regla de la cadena. En efecto llamemos la regla de la cadena permite escribir: Por ser , , además ya que x e y son variables independientes) , tenemos : supuesto que , podemos despejar Análogamente, derivando w respecto a y se obtiene Siempre que , de manera muy similar al caso de dos variables, el teorema de la función implícita para funciones de tres variables asegura que si son continuas en un entorno que contiene al punto donde la ecuación define implícitamente a z como función de x e y en un entorno de. 44  Análisis Matemático II Luego la ecuación del plano tangente a la superficie dada por la ecuación en se puede escribir de la siguiente manera: Entonces nos queda: Ejemplo 6.3: ¿Cerca de cuales puntos es posible representar la superficie como grafica de una función diferenciable ? Aquí tomamos e intentamos despejar de para presentarlo como función de. Por teorema de la función implícita es posible hacerlo cerca de un punto si , esto es, si lo cual significa a su vez que 45  Análisis Matemático II 7. Funciones vectoriales Definición: Una trayectoria en es una función [ ]. Si tiene derivadas continuas k-ésimas ( decimos que es una trayectoria. Llamamos curva de a la imagen de. Si [ ] , ( ( ( ( ( entonces ( ( ( son las componentes (o funciones coordenadas) de y a ( se lo denomina vector posición para cada [ ]. Análogamente para el caso de [ ]. ( ( ( ( ( , ( ( ( ( ( 𝜎(𝑡 𝜎(𝑏 𝜎(𝑎 Observaciones: Cuando el parámetro t varía en su dominio, el punto extremo o final del vector (ubicado en posición canónica) genera una curva C llamada curva paramétrica. El sentido de la curva paramétrica C está dado por el