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Électromagnétisme Professeur : SCHNEIDER FC N°6a Date : 04/10/2023 SOMMAIRE I. PRODUIT VECTORIEL................................................................................................................................................................ 1 II. GENERALITES ........................

Électromagnétisme Professeur : SCHNEIDER FC N°6a Date : 04/10/2023 SOMMAIRE I. PRODUIT VECTORIEL................................................................................................................................................................ 1 II. GENERALITES .......................................................................................................................................................................... 4 III. INTRODUCTION ..................................................................................................................................................................... 5 IV. CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR UNE CHARGE EN MOUVEMENT ......................................................................................... 7 V. SUPERPOSITION ..................................................................................................................................................................... 8 VI. DISTRIBUTIONS CONTINUES DE CHARGES EN MOUVEMENT ................................................................................................. 9 VII. CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR UN CIRCUIT ELECTRIQUE ................................................................................................ 10 1. LOI DE BIOT ET SAVART ........................................................................................................................................................... 10 2. REGLE DE SYMETRIE INVARIANCE ............................................................................................................................................... 11 VIII. EXEMPLE DU FIL INFINI ...................................................................................................................................................... 12 IX. EXEMPLE DE LA SPIRE CIRCULAIRE....................................................................................................................................... 13 X. EXEMPLE DU SOLENOÏDE ...................................................................................................................................................... 13 XI. RESUME............................................................................................................................................................................... 14 En cas de questions sur ce cours, vous pouvez écrire à l’adresse suivante : [email protected] Les règles de courtoisies sont à respecter lors de l’envoi d’un mail. L’équipe des tuteurs se réserve le droit de répondre ou non à un mail. En cas de questions récurrentes, les tuteurs pourront faire un point lors des colles hebdomadaires. I. Produit vectoriel • Le produit vectoriel est un outil mathématique qui permet de multiplier 2 vecteurs, ce qui donne un vecteur (attention différente du produit scalaire qui donne un scalaire). • En fait ce qui nous intéresse c’est de trouver le sens du vecteur z qui peut partir soit en haut soit en bas (par rapport au plan). Définition LES DIFFERENTS MOYENS MNEMOTECHNIQUES • ⚠ Il faut toujours utiliser la main droite sinon le résultat donné sera inversé. • On pose notre main à plat (sur votre table) vous devez voir le dos de votre main, • Faites un angle droit avec votre pouce et votre index, • Pointer enfin votre majeur vers le sol, • Vous mettez le premier vecteur du produit vectoriel sur l’index (ici 𝑣⃗), le second (ici 𝑤 ⃗⃗⃗) sur le majeur et le sens du vecteur résultant est donné par le pouce (𝑧⃗). Règle de la main droite • Ici le pouce se rapproche de nous donc 𝑧⃗ se rapproche de nous. 1 • On utilise un symbole différent si le vecteur s’approche ou s’éloigne de nous : Symbole • Conseil : c’est comme si le vecteur était une flèche, si elle vient vers vous, vous voyez un point, si elle s’éloigne vous voyez une croix. • On met le milieu du manche à l’origine des 2 vecteurs • On visse avec sa main droite • Du premier vecteur au 2eme Le tirebouchon de Maxwell • Il faut voir le plus petit angle pour s’enfoncer o→ Si le tire-bouchon tourne dans le sens des aiguilles d’une montre (sens horaire) il s’enfonce, donc le vecteur s’éloigne de nous, o → Si le tire-bouchon tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (sens anti-horaire) il enlève le bouchon, le vecteur vient vers nous. • Le premier vecteur passe des pieds jusqu’à la tête du bonhomme • Il regarde le second vecteur • Sa main gauche indique le produit vectoriel Le bonhomme d’ampère (On peut utiliser un fluo, en s’imaginant qu’il tend son bras gauche, et que le bouchon est la tête) 2 EXEMPLES Champ ⃗⃗ • Le champ magnétique crée par une charge en mouvement : ⃗𝑩 = 𝝁𝟎 𝒒 𝟒𝝅𝒓𝟐 ⃗⃗⃗⃗𝒖 ⃗⃗ 𝒗 magnétique⃗⃗⃗⃗ 𝑩 Technique de la main droite Tire-bouchon de Maxwell Bonhomme d’Ampère ⚠ Champ magnétique crée par un circuit électrique • Pour trouver le champ magnétique, on met 𝑣⃗ sur l’index et 𝑢 ⃗⃗ sur le majeur. ⃗⃗ s’éloigne. • Notre pouce s’éloigne donc 𝐵 • Quand on tourne dans le petit angle entre 𝑣⃗ et 𝑢 ⃗⃗, on est dans le ⃗⃗ s’éloigne. sens horaire donc 𝐵 • On aligne le corps du bonhomme sur le vecteur 𝑣⃗ (avec la tête en haut). • Il doit regarder 𝑢 ⃗⃗: on voit que le bras gauche du bonhomme ⃗⃗ s’éloigne. s’éloigne, donc 𝐵 Attention, la charge q peut être négative ce qui change le sens du vecteur 𝐵 (M). ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est : Le vecteur champ magnétique élémentaire 𝑑𝐵 ⃗⃗⃗⃗ ;⃗⃗⃗⃗) • Perpendiculaire au plan (𝑑𝑙 𝑢 • Attention à l’orientation : o Règle de la main droite o Tire-bouchon de Maxwell o Bonhomme d’ampère ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) (sens du courant : des pieds à la tête, regarde M -> main gauche : sens de 𝑑𝐵 3 II. Généralités ⃗⃗, toute région de l’espace où, soit une aiguille • On appelle champ magnétique ⃗𝑩 alimentée, soit un circuit fermé parcouru par un courant électrique (ou soit une particule chargée q en mouvement à la vitesse 𝑣⃗) est soumise à une force magnétique. • C’est le 3e type de champ (après les champs gravitationnel et électrique). • On appelle ligne de champ magnétique la courbe de l’espace telle qu’en chaque point ⃗⃗ soit tangent. le vecteur 𝐵 Champ magnétique ⃗𝑩 ⃗⃗ 4 III. Introduction • q1 particule chargée dans un point de l’espace M1 • q2 particule chargée dans un point de l’espace M2 Intro • F1/2 est la force exercée par la particule de charge q1 sur la particule de charge q2 • E1 le champ électrostatique créé par q1 • u un vecteur unitaire le long de la droite reliant les 2 charges • Cela est vrai pour les particules chargées et immobiles. • Cette relation nécessite d’être corrigée pour les particules en mouvements. • Si on suppose que les charges q1 et q2 sont en mouvement, animées respectivement par des vitesses v1 et v2. • L’application de la force n’est pas instantanée car rien ne peut se propager plus vite que la vitesse de la lumière. Le temps (dt) pris pour l’application de la force induit un retard. • Pendant le temps dt, la particule q2 parcourt une distance v2.dt et se trouve au temps t+dt au point M2 (t+dt). Limites de la loi de Coulomb • Lorsque q2 ressent les effets électrostatiques dus à q1, q2 ne se trouve plus au même point de l’espace. Ce qui impliquerait que E1 ne soit pas radial, E1(t) ne pointe plus vers q1 et ne dépende pas de la distance r(t). • La loi de Coulomb nous donne E1(t) ce qui est faux et doit donc être corrigé lorsque les particules sont en mouvement. • La force totale exercée par q1 sur q2 s’exprime : • Le deuxième terme qui apparaît dépend des vitesses des deux particules ainsi que de c : la vitesse de propagation de la lumière. Il s’agit de la contribution d’un champ magnétique crée par q1. • La force totale exercée par q1 sur q2, implique la force électrostatique et une force magnétique lorsque les particules sont en mouvement soit : 5 • La force magnétique est une correction en (v/c)2 à la force de Coulomb. Cette expression est valable lorsque v << c (ce qui est le cas des électrons qui nous entourent). 6 IV. Champ magnétique crée par une charge en mouvement • Le champ magnétique crée en un point M par une particule P de charge q et dotée d’une vitesse 𝑣⃗ est : Champ magnétique ⃗𝑩 ⃗⃗ Crée par une charge en mouvement • 𝜇0 . 𝜀0 . 𝐶 2 = 1 : c’est le lien entre magnétisme, électricité et lumière • 𝜀0 ∼ 10−9 /36 𝜋 𝑆𝐼 (Permittivité) c= 3.10 8 m/s (Vitesse lumière) • Unité : le Tesla (T) dans le système international, le Gauss (G) est également utilisé. 1G = 10-4 T • Champ interstellaire = µG • Champ terrestre = 0,4 G • Aimant ordinaire = 10 mT Ordre de grandeur • Électro-aimant = T • IRM standard = 1,5T • IRM avancée = 3T • Etoile à neutrons = 108T 7 V. Superposition • Comme pour le champ électrostatique, le principe de superposition s’applique au champ magnétique. Principe de superposition • Si on considère deux particules chargées en mouvement, alors le champ magnétique en un point M quelconque de l’espace sera la somme des champs crées par chaque particule. Rappel D’abord on cherche B1 : Puis on cherche B2 : Exemple B2 étant plus petit que B1 (car sa vitesse est plus faible), le champ total pointe vers B1 : ⃗⃗(M) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵 𝐵1 (M) + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵2 (M) • Considérons N particules de charges qi situées en des points Pi et de vitesse 𝑣𝑖 ⃗⃗⃗⃗. ⃗⃗ crée en un point M est la somme vectorielle des champs • Le champ magnétique total 𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ crées par chaque particule : 𝐵𝑖 Propriétés ⃗⃗(M) = 𝐵 ⃗⃗(M) = 𝐵 µ0 4𝜋 ∑𝑁 𝑖=1 µ0 4𝜋 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗𝑖 ˄𝑃 𝑞𝑖 .𝑣 𝑖̇ 𝑀 ∑𝑁 𝑖=1 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖𝑃 𝑖̇ 𝑀 ‖ ⃗⃗𝑖 ˄𝑢 ⃗⃗⃗⃗⃗𝑖̇ 𝑞𝑖 .𝑣 𝑟𝑖 2 8 VI. Distributions continues de charges en mouvement • Lorsque le nombre de particules est important dans un volume V et que la distance PM est importante par rapport à l’espacement inter-particulaire alors il est préférable d’utiliser une description continue. Principe • On considère ici un volume élémentaire dV, doté une charge élémentaire dq, situé autour d’un point P’ quelconque d’une distribution de charges en mouvement dont la vitesse moyenne est 𝑣⃗. • Considérons pv la densité volumique de charge à l’intérieur de cette distribution. Alors : 𝑑𝑞 = 𝑝𝑣 𝑑𝑉 dq . 𝑣⃗ = 𝑝𝑣 . 𝑣⃗. 𝑑𝑉 et • Or, nous savons que le vecteur densité de charge s’exprime : Démonstration Soit 𝑗⃗ = 𝑝𝑣 𝑣⃗ 𝑑𝑞. 𝑣⃗ = 𝑗⃗. 𝑑𝑉 que nous pouvons remplacer ci-dessous : ⃗⃗(M) = 𝐵 ⃗⃗(M) = 𝐵 µ0 ∭ 4𝜋 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑗⃗(𝑃’)˄𝑃’𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ ‖𝑃’𝑀 3 µ0 ∫ 4𝜋 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗˄𝑃’𝑀 𝑑𝑞.𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ ‖𝑃’𝑀 3 𝑑𝑉 9 VII. Champ magnétique crée par un circuit électrique 1. Loi de Biot et Savart • La loi de Biot et Savart permet d’exprimer le champ magnétique crée par un circuit électrique fermé. • Un circuit électrique étant constitué d’un fil conducteur, nous pouvons appliquer la formule précédente à ce cas de figure en considérant dV = dS.dl où dS est un élément de surface transverse situé en P’ et dl un élément de longueur du fil. Définition • On suppose que l’échelle spatiale est importante comparée à la section du fil conducteur, c’est-à-dire que PM << PP’ soit PM ~ P’M. • On aura donc : ⃗⃗ = 𝐵 Démonstration µ0 4𝜋 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝐵 = ∮ ⃗⃗⃗⃗⃗˄𝑢 𝐼.𝑑𝑙 ⃗⃗ avec 𝑟2 ⃗⃗⃗⃗⃗˄𝑢 µ0 𝐼 𝑑𝑙 ⃗⃗ 4𝜋 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ 𝑟 = ‖𝑃𝑀 𝑢 ⃗⃗ = 𝑟2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖𝑃𝑀 µ0 : perméabilité du vide ⃗⃗ = µ0 ∮ 𝐵 4𝜋 ⃗⃗⃗⃗⃗ ˄𝑢 𝐼.𝑑𝑙 ⃗⃗ 𝑟2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝐵 µ0 𝐼 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 ˄𝑢 ⃗⃗ 4𝜋 𝑟2 Exemple 10 • Le tire-bouchon de Maxwell : o On visse de gauche à droite pour un tire-bouchon o Il faut voir le plus petit angle pour s’enfoncer • Le bonhomme d’ampère (surligneur) : o Sens du courant des pieds à la tête o Le faire regarder M (dans la direction de u) Moyen mnémotechnique ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ o Tendre sa main gauche pour trouver le sens de 𝑑𝐵 • La technique de la main droite : o Le pouce = premier terme de la formule ici 𝑣⃗ o L’index = deuxième terme de la formule ici 𝑢 ⃗⃗ ⃗⃗ o Le majeur est le résultat ici 𝐵 (Ps : le prof n’utilise pas les mêmes doigts) 2. Règle de symétrie invariance • S’il existe une droite telle que la translation selon cette droite laisse la distribution de charges inchangée, alors le champ magnétique sur cet axe ne dépend pas de cette coordonnée. • S’il existe un axe de rotation (symétrie) autour d’une distribution de charges, alors la rotation autour de cet axe laisse la valeur du champ inchangée. La norme du champ magnétique ne dépend pas de l’angle de rotation. • Si une distribution de charges admet un plan de symétrie alors le champ magnétique est perpendiculaire au plan de symétrie. Règles • Si la distribution de charges admet un plan d’antisymétrie, le champ magnétique résultant appartient nécessairement à ce plan. ⃗⃗ l’est aussi. • Si 𝑗⃗ est invariant par rotation autour d’un axe, 𝐵 ⃗⃗ est toroïdal (porté pat u𝛩). • Si 𝑗⃗ est poloïdal (porté par 𝑢𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗ ou 𝑢𝑧 ⃗⃗⃗⃗⃗), 𝐵 ⃗⃗ est poloïdal. • Si 𝑗⃗ est toroïdal, 𝐵 • Si le système de courant possède un plan de symétrie, alors 𝑗⃗ est contenu dans ce plan et b lui est perpendiculaire. • Poloïdal c’est selon une droite. • Toroïdale c’est selon un anneau. 11 VIII. Exemple du fil infini Soit un fil rectiligne, infini, parcouru par un courant I permanent. • Quelle est la direction de 𝑑𝐵 au point M ? 𝑑𝐵 est dans la direction de 𝑢𝜃. On remarque que tous les 𝑑𝐵 crées au point M par les éléments 𝑑𝑙 sont dirigés dans le même sens. Il suffira d’ajouter leurs normes. Exemple 1 • Quelle est la direction de 𝑑𝐵 au point M’distant de r du fil mais différent de M ? 𝑗 est poloïdal (porté par 𝑢𝑧) donc 𝐵 est toroïdal ⃗⃗(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝐵(𝑟, 𝜃, 𝑧)⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵 𝑢𝑟 + 𝐵(𝑟, 𝜃, 𝑧)⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝜃 + 𝐵 (𝑟, 𝜃, 𝑧)⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑧 ⃗⃗(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝐵(𝑟) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵 𝑢𝜃 Chaque 𝑑𝑙 crée un champ élémentaire 𝑑𝐵. Le champ total est l’intégrale de tous les 𝑑𝐵. • Soit un fil rectiligne, infini, parcouru par un courant I permanent. • Au point M, situé à une distance r du fil, le champ magnétique est toroïdal et de valeur : Exemple 2 ⃗⃗‖ = ‖𝐵 µ0 𝐼 2𝜋𝑟 12 IX. Exemple de la spire circulaire • Soit une spire circulaire, de rayon R, parcourue par un courant I permanent. Exemple • Sur l’axe (z) de la spire, le champ magnétique a pour valeur. : ⃗⃗‖ = ‖𝐵 Moyen mnémotechnique µ0 𝐼 𝑅2 2 (𝑅 2 + 𝑧 2 )3⁄2 • On utilise la main droite, on place la main dans le sens de I avec les doigts dans la même direction et en levant le pouce il indique le sens du B. X. Exemple du solénoïde • Un solénoïde est un enroulement hélicoïdal d’un fil conducteur aboutissant à une bobine épaisse de longueur L et constitué de N spires (ou n=N/L, nombre de spires par unité de longueur). Exemple • Chaque spire est parcourue par un courant permanent I. Sur l’axe (z) d’un solénoïde infiniment long, le champ magnétique a pour valeur: ⃗⃗‖ = µ0𝑛𝐼 ‖𝐵 Moyen mnémotechnique • De la même façon que pour la spire, on place sa main dans le sens du solénoïde (la paume là où rentre I et les doigts ou sort I). • Et en tendant le pouce il indique la direction de B. 13 XI. Résumé Champ magnétique crée par une charge en mouvement ⃗⃗(M) = 𝐵 µ0 𝑞 4𝜋 𝑟2 𝑣⃗˄𝑢 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ et 𝑢 r = ‖𝑃𝑀 ⃗⃗ = où ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖𝑃𝑀 µ0 = 4𝜋10−7 𝐻/𝑚 𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ µ0 𝑞𝑖 . 𝑣⃗𝑖 ˄𝑃 𝑖̇ 𝑀 ⃗⃗ 𝐵 (M) = ∑ 3 4𝜋 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑖=1 ‖𝑃𝑖̇ 𝑀‖ Principe de superposition Distributions continues de charges en mouvement ⃗⃗(M) = 𝐵 ⃗⃗ = 𝐵 µ0 4𝜋 µ0 ∭ 4𝜋 ∮ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑗⃗(𝑃’)˄𝑃’𝑀 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖𝑃’𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗ ˄𝑢 ⃗⃗ 𝐼.𝑑𝑙 𝑑𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝐵 = 𝑟2 ⃗⃗⃗⃗⃗ ˄𝑢 ⃗⃗ µ0 𝐼 𝑑𝑙 4𝜋 𝑟2 Loi de Biot et Savart Fil infini Solénoïde Spire circulaire ⃗⃗‖ = ‖𝐵 µ0 𝐼 2𝜋𝑟 ⃗⃗‖ = µ0 𝑛𝐼 ‖𝐵 ⃗⃗‖ = ‖𝐵 µ0 𝐼 𝑅2 2 (𝑅 2 + 𝑧 2 )3⁄2 14