Electromagnétisme 1 - Polytech 2ème année - Past Paper PDF

Électromagnétisme 1 Parcours des élèves ingénieurs Polytech 2ème année Bacem BEN HASSINE - [email protected] Hassan CHAMAS - [email protected] Didier TRICHET - [email protected] Thomas LEPETIT - [email protected]...

Électromagnétisme 1 Parcours des élèves ingénieurs Polytech 2ème année Bacem BEN HASSINE - [email protected] Hassan CHAMAS - [email protected] Didier TRICHET - [email protected] Thomas LEPETIT - [email protected] Espace Madoc du cours Electromagnétisme 1 2 Table des matières Introduction générale 5 0.1 Philosophie du cours................................ 5 0.2 Supports - Bibliographie.............................. 5 0.3 Connaissances et compétences attendues..................... 5 0.4 Pré-requis...................................... 6 1 Bases de l’électrostatique 9 1.1 Introduction..................................... 9 1.1.1 Le champ électromagnétique et ses sources............... 9 1.1.2 Constitution de la matière......................... 10 1.1.3 Les interactions fondamentales...................... 12 1.1.4 Modélisation des distributions de charges................ 13 1.1.5 Intégration des densités.......................... 16 1.2 Champ électrostatique............................... 16 1.2.1 Loi de Coulomb et principe de superposition.............. 16 1.2.2 Champ et densité de charges....................... 19 1.2.3 Propriétés du champ électrostatique................... 21 1.2.4 Le théorème de Gauss........................... 24 1.3 Potentiel électrostatique.............................. 25 1.4 Bilan et équations................................. 27 1.4.1 L’équation de poisson........................... 27 1.4.2 Bilan..................................... 28 2 Conducteurs en équilibres électrostatique 29 2.1 Modélisation.................................... 29 2.1.1 Modèle physique des conducteurs..................... 29 2.1.2 Conducteurs en équilibres......................... 29 2.2 Propriétés des conducteurs en équilibre...................... 30 2.2.1 Champ et pression locale à la surface................... 30 2.2.2 Potentiel d’un conducteur en équilibre.................. 30 2.2.3 Influence de conducteurs chargés..................... 31 2.3 Applications..................................... 32 2.3.1 Effet de pointe............................... 32 2.3.2 Cage de Faraday.............................. 32 2.3.3 Condensateurs............................... 33 3 Bases de la magnétostatique 37 3.1 Introduction..................................... 37 3.2 Champ magnétostatique.............................. 37 3  Electromagnétisme 1 TABLE DES MATIÈRES 3.2.1 Force magnétique & champ magnétique................. 37 3.2.2 Loi de Biot et Savart............................ 38 3.2.3 Propriétés du champ magnétique..................... 39 3.3 Théorème d’Ampère................................ 39 3.4 Bilan......................................... 41 3.4.1 Potentiel vecteur.............................. 41 3.4.2 Les équations magnétostatiques...................... 42 4 Énergie électrostatique 43 4.1 Énergie potentielle d’interaction.......................... 43 4.1.1 Énergie potentielle d’une charge..................... 43 4.1.2 Énergie potentielle d’un système de charges............... 44 4.2 Énergie emmagasinée dans les conducteurs chargés............... 45 4.3 Localisation de l’énergie.............................. 46 4.4 Électrostatisme dans les milieux diélectriques (traité en TD).......... 47 4 Introduction générale 0.1 Philosophie du cours Ce cours a pour but de vous permettre d’appréhender les méthodes de calculs (directes et indirectes à travers les théorèmes de Gauss et Ampère) de champs électrostatiques et ma- gnétiques à partir de l’étude de leurs sources (densités de charges et de courant). Il aborde également la notion d’énergie électromagnétique et quelques applications comme le conden- sateur. Ce cours traite donc également d’analyse vectorielle, et l’objectif est que vous puissiez comprendre la signification physique des opérateurs utilisés, mener des calculs intégrales de manière efficace, et savoir passer d’une description à l’échelle locale à une description à l’échelle macroscopique. Les compétences développées dans le cadre de ce cours pourront être utilisées dans de nombreux autres domaines de la physique et de l’ingénierie. 0.2 Supports - Bibliographie Le polycopié a été rédigé par Thomas Lepetit, maître de conférences à Polytech Nantes. Si vous trouvez une erreur dans ce polycopié merci d’envoyer un courriel pointant cette erreur à [email protected]. Le cours n’est vraiment complet qu’avec les explications fournies en amphi, et référencées tout au long du poly par cette indication : Explication 0.1 (Description de l’explication) Pour approfondir les notions que nous allons découvrir ensemble, de très bons ouvrages sont disponibles, notamment à la bibliothèque universitaire : — Électromagnétisme 1ère année ? J.M. Brébec ? Collection Hprépa ? Hachette Sup — Électromagnétisme 1 - J.P. Faroux ? Collection J’intègre - Dunod — Physique ? C. More ? Collection Tec&Doc - Lavoisier — Le cours de Physique de Feynman - Électromagnétisme 1 ; R. Feynman, R. Leighton, M. Sands ; Dunod (2014) 0.3 Connaissances et compétences attendues Les connaissances principales que vous devrez maîtriser à la fin de ce cours : — Les différentes échelles de description (microscopique, mésoscopique, macroscopique) 5  Electromagnétisme 1 0.4. Pré-requis — La notion de densité vu comme un nivelage glissant à l’échelle mésoscopique d’une grandeur définie à l’échelle microscopique — La force de Coulomb (composante électrique de la force de Lorentz) pour une charge ponctuelle et la formule du calcul direct du champ électrique créé par une distribution de charge modélisée par une densité (linéïque, surfacique ou volumique) — Le principe de Curie — La notion de ligne et de tube de champ — La formule donnant la discontinuité du champ électrique à la traversé d’une surface chargée et le théorème de Coulomb qui en découle — Les équations locales de Maxwell en statique — Le lien entre le potentiel et le champ électrique (les deux formes du lien) — L’équation de Poisson — La notion de conducteur à l’équilibre électrostatique — La notion de capacité d’un conducteur et d’un condensateur — Les lois d’association des condensateurs — La composante magnétique de la force de Lorentz — Les propriétés de symétrie des champs magnétostatique et électrostatique — Les théorèmes de Gauss et d’Ampère Voici une liste (exhaustive) des savoir-faire sur lequel vous pourrez être interrogés : — Utilisation des opérateurs vectoriels (divergence, gradient) si les formules sont données — Utilisation du théorème de superposition — Calcul d’une charge par intégration d’un distribution de charge (linéïque, surfacique ou volumique) — Utilisation des symétries et des invariances pour déterminer la forme (dépendance aux variables et vecteur directeur) du champ électrique — Application du théorème de Gauss sur une géométrie classique — Calcul direct du champ électrique ou du potentiel électrique par intégration de la loi de Coulomb sur la distribution de charge — Utilisation des discontinuités à la traversée d’une surface portant des charges surfa- ciques — Calcul d’une tension à partir du champ électrique — Calcul de la capacité d’un condensateur — Calcul d’un courant par intégration d’un distribution de courant (surfacique ou volu- mique) — Utilisation des symétries et des invariances pour déterminer la forme (dépendance aux variables et vecteur directeur) du champ magnétique — Application du théorème d’Ampère sur une géométrie classique — Calcul direct du champ magnétique par intégration de la loi de Biot et Savart sur la distribution de courant — Utilisation des discontinuités à la traversée d’une surface parcourue par des courants surfaciques 0.4 Pré-requis Avant d’aborder ce cours il est vivement conseillé de maîtriser le repérage d’un point dans les 3 repères de projection cartésien, cylindrique et sphérique. La notion de déplace- ment élémentaire dans ces différents repère est également primordiale, car c’est à partir de 6  Electromagnétisme 1 0.4. Pré-requis cette notion que seront construits les vecteurs surfaces élémentaires nécessaires aux calculs de flux, ainsi que les volumes élémentaires nécessaires à l’intégration de densités volumiques de charges. Ces notions ont été abordées en phase d’accueil. Des animations ont néanmoins été pro- duites pour vous aider à visualiser ces notions. Pour les différents repères de projection et la généralisation de la notion d’intégrale à plusieurs variables voici le lien des supports numériques : Pour la notion de flux voici le lien des supports numériques : 7 Electromagnétisme 1 0.4. Pré-requis 8 Chapitre 1 Bases de l’électrostatique 1.1 Introduction 1.1.1 Le champ électromagnétique et ses sources L’interaction entre des charges fixes dans un référentiel Galiléen donne lieu à l’étude des phénomènes électrostatiques. Si ces mêmes charges sont en mouvement mais de façon permanente (courants établis permanents), on parle de phénomènes magnétostatiques. Ces phénomènes dits statiques sont l’objet du cours EMG1 au semestre 3. Ils nous permettront de nous familiariser avec les notions de champs et d’énergie électromagnétique dans un cadre simple où il n’y a pas de dépendance temporelle. Si la position des charges et/ou la répartition des courants dépendent du temps, il y a apparition d’un champ électromagnétique. Ce couple inextricable {E,⃗ B} ⃗ constitue une onde électromagnétique. Elle se propage en transportant une certaine énergie, au même titre que le mouvement d’un caillou tombant dans l’eau induit une onde mécanique à sa surface (dé- formation du milieu, on parle d’onde mécanique) qui se propage loin du point d’impact. Ces vagues transportent bien de l’énergie puisque des usines houlomotrices existent et produisent de l’énergie 1. Ces phénomènes de propagation d’ondes seront vus au semestre 4, en EMG2. L’électromagnétisme n’est pas seulement un problème d’interaction à distance entre des charges et/ou des courant. L’onde électromagnétique possède une certaine autonomie vis-à- vis de ses sources car elle se propage loin des sources. Si l’on reprend l’analogie avec le caillou, une fois que celui-ci est tombé au fond de l’eau, la vague continue de se propager loin du point d’impact. Dans le cas de l’onde électromagnétique, il n’y a pas d’absorption d’énergie par le vide et l’onde se propage à l’infini (et à la vitesse c = 3.108 m.s−1 ) si elle ne ren- contre pas de matière. Nous baignons donc en permanence dans un fond électromagnétique continu. L’interaction rayonnement-matière (ou onde-matière), qui traduit les phénomènes de dispersion, d’absorption, de rayonnement à l’équilibre thermodynamique (corps noir) ou de propagation dans les milieux amplificateurs (laser), ne sera pas (ou peu) abordée dans le cadre de nos cours. L’étude des ondes électromagnétiques permet de traiter avec un même cadre conceptuel l’étude des ondes radio ou micro-ondes, de la lumière infra-rouge, visible ou ultra-violette ou encore des rayons X ou gamma. → − → − Les champs électrique E et magnétique B sont liés entre eux et à leurs sources par les 1. Voir par exemple "Falcão et al, Wave energy utilization : A review of the technologies, Renewable and Sustainable Energy Reviews 14, 899-918 (2010)" 9  Electromagnétisme 1 1.1. Introduction → − → − équations de Maxwell, mettant bien en évidence le couplage entre E et B : ⃗ = ρ ⃗ ·E    ∇ ε0 Maxwell-Gauss ⃗ ·B ⃗ =0   ∇  Maxwell-Flux  ⃗ ×E ∇ ⃗ = − ∂ B⃗ Maxwell-Faraday   ∂t  ⃗ ⃗ ⃗ ∇ × B = µ0⃗ȷ + µ0 ε0 ∂∂tE  Maxwell-Ampère Avec ∇⃗ l’opérateur Nabla, et ⃗j et ρ les densités de courant et de charge de la distribution (les sources), introduite section 1.1.4. Moyennant quelques opérations sur ces équations (voir cours d’optique ondulatoire cor- → − → − respondant sur l’équation de d’Alembert), on peut démontrer que le couple { E , B } vérifient des équations dites de propagation, décrivant le phénomène de propagation à la vitesse v de l’énergie de l’onde correspondante :  ⃗ ⃗ − 12 ∂ 2 E ∆E v ∂t2 =0 2B⃗ (1.1) ⃗ − 2 ∆B 1 ∂ =0 v ∂t2 1.1.2 Constitution de la matière Particules élémentaires En physique des particules, on distingue des particules élémentaires et des particules com- posées (hadrons) comme les nucléons (protons ou neutrons, formés à partir de quarks). Les particules sont classées en fonctions de leurs propriétés, ou observables quantiques (relié à un opérateur quantique), comme la masse, la charge électrique, le spin, l’énergie, ect... La masse et la charge électrique ont des équivalents "classiques", à savoir que la propriété d’un système à l’échelle macroscopique représente la somme des propriétés élémentaires (ici masse ou charge) des particules qui composent le système étudié. Le spin n’a pas d’équivalent "classique". Il est toutefois souvent assimilé au moment cinétique ou à la rotation d’un astre sur lui-même, comme dans l’expression « résonance spin-orbite ». Enfin, le moment cinétique intrinsèque (de spin) et le moment magnétique intrinsèque (de spin) sont tous deux confon- dus sous le terme de « spin ». Comme d’autres observables quantiques, sa mesure donne des valeurs discrètes. On peut classer toutes les particules en deux grandes familles : — Les fermions, qui ont une valeur de spin demi-entière (1/2, 3/2 ou 5/2), obéissent à la statistique de Fermi-Dirac (et en particulier au principe d’exclusion de Pauli) et sont les constituants de la matière. — Les bosons, qui ont une valeur de spin entière (0, 1 ou 2), obéissent à la statistique de Bose-Einstein et sont les vecteurs des interactions fondamentales. Le tableau 1.1 résume le classement des différentes particules élémentaires. 10  Electromagnétisme 1 1.1. Introduction Electrons : e− Chargés Muon : µ− (charge -1) Tauon : τ − Leptons Electronique : Neutrinos νe (charge=0) Muonique : νµ Fermions Tauonique : ντ up : u Charge +2/3 Charm : c Top : t Quarks down : d Charge -1/3 Strange : s Particules Bottom : b élémentaires Interaction électromagné- Photon : γ tique Bosons de Boson Z 0 jauge Interaction Bosons Boson W − faible Boson W + Interaction Gluon forte Interaction Autres gravitation- Graviton bosons nelle Interaction Boson de électro-faible Higgs Table 1.1 – Particulaires élémentaires 11  Electromagnétisme 1 1.1. Introduction Notion de charge élémentaire La charge élémentaire correspond à la charge électrique, au signe près, des constituants de l’atome. Les quarks sont censés posséder une charge électrique fractionnaire mais sont confinés à l’intérieur d’hadrons (ex : protons, neutrons), particules dont la charge est un multiple de la charge élémentaire, et n’ont pour l’instant jamais été détectés séparément. La constante de Faraday F est définie comme le produit de la charge élémentaire e par le nombre d’Avogadro Na. Charge électrique des constituants de l’atome : — Proton = +e — Neutron = 0 (neutre) — Electron = −e Avec e = 1, 602.10−19 C la charge élémentaire La valeur de cette charge élémentaire, dans le système SI, est donnée par : h = 6, 626 × 10−34 J · s, constante de Planck ;  s  2hα   α = 7, 297 × 10−3 , constante de structure fine ;  e= µ0 c  µ0 = 4π × 10−7 H · m−1 , perméabilité magnétique du vide ;  8 −1   c = 2, 997 × 10 m · s , vitesse de la lumière dans le vide. Charge à l’échelle de l’atome L’atome est constitué d’un noyau autour duquel "gra- vitent" des électrons. le noyau est constitué de nucléons, eux-même constitués d’autres particules élémentaires, les quarks. Comme nous le verrons par la suite, l’interaction électromagnétique interviendra sur les corps chargés électriquement. Les protons (hadrons), particules elles-mêmes composées de quarks (fermions), compose en partie le noyau des atomes et possèdent une charge électrique non nulle. Cependant à l’échelle de l’atome (stable et non ionisé) cette charge est exactement compensée par la charge des électrons (fermions). Afin qu’un atome possède une charge élec- trique non nulle, il faut donc qu’il perde ou gagne des électrons ou des protons. La cohésion du noyau est assurée par l’interaction forte qui, comme nous le verrons par la suite, est très importante et empêche, dans presque tous les cas, le gain ou la perte de proton. Une charge non nulle sera donc le fruit du gain ou de la perte d’électrons au niveau des atomes du sys- tème étudié. Finalement la charge totale Q d’un atome sera donnée par la relation : Q = e(Np − Ne ), avec e la charge élémentaire, et Np et Ne le nombre de protons (fixe) et d’électrons (variable) de l’atome. 1.1.3 Les interactions fondamentales Les quatre interactions fondamentales régissent les lois de la physique et se manifestent par des forces fondamentales. Les puissances de ces forces fondamentales sont normalement très différentes, mais si l’énergie cinétique des particules augmente, les puissances deviennent 12  Electromagnétisme 1 1.1. Introduction du même ordre de grandeur. On pense que les quatre forces avaient la même puissance aux énergies extrêmement élevées qui étaient en jeu juste après le Big Bang. En théorie quantique des champs, ces forces sont décrites par l’échange de bosons virtuels (voir les schémas ci-dessous) : le modèle standard décrit les interactions forte, faible et élec- tromagnétique, mais une théorie quantique des champs n’a pas encore pu être élaborée pour la gravitation (bien que les ondes gravitationnelles aient été mise en évidence récemment, le boson virtuel serait alors un graviton). — Gravitationnelle — Très longue portée — Agit sur tous types de corps — Electromagnétique — Très longue portée — Agit sur tous les corps chargés — 1037 fois plus forte que l’interaction G — Forte — Très courte portée (10−15 m) — Agit sur les quarks (cohésion du noyau) — 100 fois plus forte que l’interaction EM — Faible — Très courte portée (10−17 m) — Agit entre quarks et leptons (radioactivité) — 105 fois plus faible que l’interaction forte L’objet de ce cours est l’étude de l’interaction électromagnétique, s’appliquant à l’en- semble des corps chargés, se traduisant par une force électromagnétique. On introduira alors la notion de champ électromagnétique permettant de traduire en tout point de l’espace, l’effet de l’interaction électromagnétique sur un corps chargé. 1.1.4 Modélisation des distributions de charges Problématique de l’échelle d’observation : On va chercher à modéliser par une fonc- tion de l’espace la distribution de charge. Il s’agira d’un champ scalaire qui associera à tout point P de la distribution une information sur la charge locale. Les charges étant discrètes (élémentaires), la charge locale sera alors la somme algébrique des charges élémentaires présentes dans une petit volume centré en P. Ce volume doit être suf- fisamment petit pour qu’à notre échelle (échelle dite macroscopique) nous puissions prendre en compte les variations éventuelles de la distribution de charge, mais suffisamment grand pour avoir suffisamment de charges discrètes pour en faire la somme. Le volume à considérer sera alors intermédiaire entre l’échelle microscopique (à l’échelle des charges élémentaires) et macroscopique (notre échelle). On appelle cette échelle intermé- diaire l’échelle mésoscopique. Ces échelles sont résumées ci-dessous : — Microscopique - matière discontinue — d ≃ 10nm (atome 0,1nm) — échelle du "point" — étude des comportements d’ensemble difficile 13  Electromagnétisme 1 1.1. Introduction — Mésoscopique — échelle intermédiaire (locale) permettant un lissage de la valeur d’une grandeur (ex la charge) variant continument — Description en terme de milieux continus — Macroscopique — Inhomogénéités non prises en compte — adaptée à notre échelle Notion de densité Si l’on cherche à décrire la répartition des charges dans un volume V (échelle macroscopique, non infinitésimale), nous allons utiliser un point P afin de pouvoir décrire les éventuelles inhomogénéités au sein du volume V , comme illustré sur la figure ci- dessous. Si l’on regarde exactement au point P (échelle microscopique), il ne peut y avoir que trois cas. Soit il n’y a pas de charge (cas le plus probable), soit il y a une charge élémentaire positive +e, soit il y a une charge élémentaire négative −e. A l’échelle du point P il n’est donc pas possible de savoir si, localement, il a plus ou moins de charges qu’à un autre point P ′ du volume V. Pour remédier à ce problème, nous allons prendre un volume infinitésimal d3 V (échelle mé- soscopique) dans lequel nous allons faire la somme des charges élémentaires positives +qp et négatives qn présentes au sein de ce volume. Il est à noter que toutes les charges positives (ou négatives) n’ont pas nécessairement la même valeur et dépendent de l’état de charge local de l’atome en question. Cette quantité de charges élémentaires présente au sein du volume infinitésimal d3 V se nomme la charge infinitésimale δ 3 q. Nous pourrions donc décrire la distribution de charge par un champ scalaire qui à tout point P renverrait la quantité de charge infinitésimale δ 3 q(P ). La plupart des physiciens préfèrent décrire la distribution de charge à l’aide d’un autre champ scalaire appelé densité volumique de charge, désignant la teneur en charges dans un volume infinitésimal centré au point consi- déré. Elle s’exprime en [C.m−3 ]. Cette grandeur, comme nous le verrons par la suite, est très utile pour remonter à la charge totale contenue dans un volume V par simple intégration sur l’ensemble des points du volume V. 14  Electromagnétisme 1 1.1. Introduction A retenir A une échelle macroscopique les distributions de charges sont modélisées à l’aide d’une grandeur lissée (moyennée) à une échelle mésoscopique → la densité de charge ρ, permettant la description des charges en terme de milieux continus. δ 3 q(P ) ρ(P ) = d3 V Point sur les notations : — quantité : On représentera une quantité infinitésimale (issue d’éléments discrets/élémentaires) par la lettre grecque δ. Pour passer de l’échelle locale à macroscopique
on utilise l’opé- rateur intégral comme la somme d’éléments discrets. Ex : Q = D δq où D représente la distribution de charges — Différence/différentielle : On représentera une différence infinitésimale entre 2 états (pouvant être décrite par la différentielle d’une fonction d’état) par la lettre d. Pour passer de l’échelle locale à macroscopique on utilise l’opérateur intégral comme l’aire sous la courbe de la fonction décrivant la grandeur considérée et le calcul fera intervenir une primitive prise entre deux états. — Le degré infinitésimal : La puissance 3 dans le volume infinitésimal d3 V implique qu’il résulte du produit de 3 distances infinitésimales prise à l’échelle mésoscopique. En cartésien on aura ainsi d3 V = dx.dy.dz. On peut très bien avoir un volume infinitésimal de degré inférieur. Par exemple d2 V = A.dy.dz est de degré 2 si A est une distance prise à l’échelle macroscopique. Le degré infinitésimal donne le nombre de dimensions selon laquelle nous devons intégrer une grandeur locale pour obtenir une grandeur macroscopique. C’est très pratique ! Cas des distributions surfaciques ou linéïques : Dans certains cas, lorsque une ou deux des dimensions de la distributions deviennent négligeables (devant la ou les autres di- mensions de l’espace) on pourra modéliser la distribution sous forme de densité surfacique ou linéïque. Cela permettra de simplifier certains calculs mais introduira également des di- vergences en certains points ! Modélisation de la distribution sous forme de densité (attention les notations sur les sché- mas sont moins rigoureuses que ce que nous utilisons) : — Charges volumiques — δ 3 q = ρd3 V — ρ[C.m−3 ] — Charges surfaciques — δ 2 q = σd2 S — σ[C.m−2 ] 15  Electromagnétisme 1 1.2. Champ électrostatique — Charges linéïques — δq = λdl — λ[C.m−1 ] 1.1.5 Intégration des densités Il est possible de passer de l’échelle locale (valable en un point P) à l’échelle macroscopique (pour un ensemble de points P contenus dans un volume V ). Il faut alors intégrer. Retrouver la charge totale Q contenue dans un volume V revient à sommer les charges infinitésimales contenues dans tous les volumes infinitésimaux d3 V constituant le volume V. C’est comme si on avait "découpé" le volume V en petits volumes d3 V , et que l’on sommait les charges contenues dans chacun des petits volumes. On a alors :  Q= δ3q D δ 3 q(P ) Or, la charge infinitésimale est liée à la notion de densité par la relation ρ(P ) = d3 V , on a donc :   3 Q= δ q= ρ(P ).d3 V D P ∈V Exemple uniforme : Considérons un cylindre de rayon R et de hauteur H chargé unifor- mément avec une densité volumique de charge ρ0. La charge totale contenue dans le cylindre est de :   R  2π  H r2 R 2π H R2 Q= ρ0 rdrdθdz = ρ0 rdr dθ dz = ρ0 [ ]0 [θ]0 [z]0 = ρ0 2πH Vcyl 0 0 0 2 2 Finalement on retrouve bien le produit de la densité uniforme par le volume du cylindre : Q = ρ0 πR2 H Exemple non uniforme : Retrouver la charge contenue dans le cylindre si la densité volumique de charge s’exprime à présent : r z ρ(P ) = ρ0 RH 1.2 Champ électrostatique 1.2.1 Loi de Coulomb et principe de superposition Charles-Augustin Coulomb, né le 14 juin 1736 à Angoulême et mort le 23 août 1806 à Paris, est un officier, ingénieur et physicien français ayant mis en évidence expérimentalement la force fondamentale d’interaction électrique entre deux charges. Il utilisa une balance de torsion (voir Fig.1.1) pour modéliser cette force, l’angle de torsion entre les deux boules chargés étant proportionnel à l’intensité de la Force (en N). Charles-Augustin Coulomb donne son nom à l’unité dérivée du SI pour la charge élec- trique. Le coulomb est la quantité d’électricité traversant une section d’un conducteur par- couru par un courant d’intensité de un ampère pendant une seconde, 1C = 1A.s, et équivaut à 6, 24.1018 charges élémentaires. 16  Electromagnétisme 1 1.2. Champ électrostatique Figure 1.1 – Charles-Augustin Coulomb (à gauche), et sa balance de torsion lui ayant permis de mettre en évidence expérimentalement la force fondamentale d’interaction électrique entre deux charges Expérimentalement la force est : — inversement proportionnelle à la distance au carré entre les charges — proportionnelle à q1 — proportionnelle à q2 — dirigée suivant la ligne définies par les 2 charges Modélisation mathématique : −−→ q1 q2 F1/2 = k × ×− u→ 12 A1 A22  −−→  F1/2 : force exercée par la charge 1 sur la charge 2     en Newton (N). k = 4πϵ 1 = 9 × 109 SI : constante de Coulomb.     0 ϵ0 : permittivité du vide.   q1 , q2 : charge électrique en Coulomb (C).    distanceA1 A2 entre les charges en mètre (m).  −−−→  − u→ A1 A2 12 = A A : vecteur unitaire qui permet de donner la direction     1 2 de la force d’interaction. −−→ −−→ Cette force obéit au principe d’action et de réaction de Newton. Alors : F1/2 = −F2/1 Explication 1.1 (Ordre de grandeur) Champ créé par une charge ponctuelle −−−→ On introduit la notion de champ électrique E(M ). Cette grandeur, vectorielle, va per- mettre de traduire, là où elle est définie, la force que subirait une charge test q au point M considéré. Ce champ contient dans son expression, l’origine de la force subie par la charge test, ici la charge ponctuelle Q. On parle de source du champ (et de la force électrique associée). 17  Electromagnétisme 1 1.2. Champ électrostatique  ⃗ (M ) =1 qQ ⃗  F ⃗uP M = q E(M )   4πϵ0 P M 2 ⃗ Q ⃗uP M  E(M )= [V/M]   4πϵ0 P M 2 Champ créé par une charge ponctuelle −−→ PM Dans la mesure où ⃗uP M = on peut écrire le champ en M créé par la charge PM ponctuelle en P de 2 manière : −−→ ⃗ Q ⃗uP M Q PM E(M ) = = 4πϵ0 P M 2 4πϵ0 P M 3 Si on place la charge ponctuelle au centre du repère sphérique (P=0) on a donc P M = OM = r et ⃗uP M = ⃗ur et finalement : ⃗ Q u⃗r E(M )= 4πϵ0 r2 Explication 1.2 (Notion de champ) Champ créé par un ensemble discret de charges Le champ électrique obéit au principe de superposition linéaire. Ce principe permet de traduire les phénomènes d’écrantage, ou d’augmentation de la force subie par la charge test lorsque s’accumulent des charges de même signe à proximité. La Force sur M résultant de l’interac- tion avec n particules de charge Qi est la somme des forces élementaires : ⃗ (M ) = Pn → −   F Pn ⃗ ⃗ i=1 Fi (M ) = q i=1 Ei = q E(M )  ⃗ Qi ⃗uPi M ) = ni=1 P  E(M  2 4πϵ0 Pi M Champ créé par une distribution "continue" de charge On reprend l’exemple de notre volume chargé contenant des charges positives et négatives. On divise alors cet espace en une somme discrète de petits volumes ∆Vi , contenant chacun un ensemble de charges ∆Qi. 18  Electromagnétisme 1 1.2. Champ électrostatique En réutilisant la formule du champ créé par une charge ponctuelle, chacun de ces ensembles de charges donnera lieu à un champ : ⃗ i (M ) = ∆Qi ⃗uPi M E 4πϵ0 Pi M 2 D’après le principe de superposition : n n ⃗ X ⃗ i (M ) = X ∆Qi ⃗uPi M E(M )= E i=1 i=1 4πϵ0 Pi M 2 On comprend aisément que cette manière de procéder donnera des résultats "satisfaisant" si le volume ∆Vi centré sur le point Pi n’est pas trop grand, si bien que l’ensemble des charges contenues dans ce volume donneront lieu à un champ élémentaire porté par un vecteur unitaire "proche" de ⃗uPi M. En réalité, si nous voulons être rigoureux, ce volume doit tendre vers un point à l’échelle macroscopique, et ce n’est qu’à l’échelle mésoscopique que ce point deviendra un petit volume (cas de la section suivante). 1.2.2 Champ et densité de charges Distribution volumique des charges Nous reprenons le cas précédent mais en faisant tendre les volumes ∆Vi vers des volumes infinitésimaux d3 V : 19  Electromagnétisme 1 1.2. Champ électrostatique Attention ! ρ(P ), P M et ⃗uP M s’expriment en fonction de coordonnées de l’espace (où se trouve le point P au cours de l’intégration). Champ créé par une distribution volumique de charge ⃗ On peut introduire le champ infinitésimal δ 3 E(M ) créé au point M par la charge 3 infinitésimale δ q(P ) en P : −−→ ⃗ δ 3 q(P ) ⃗uP M δ 3 q(P ) P M δ 3 E(M )= = 4πϵ0 P M 2 4πϵ0 P M 3 On peut également réutiliser la notion de densité volumique de charges : δ 3 q(P ) = ρ(P )d3 V Le champ total résulte de l’intégration de tous les champs infinitésimaux sur le volume (généralisation de la notion de somme), finalement :    −−→ ⃗ )= ⃗ ρ(P )d3 V ⃗uP M ρ(P )d3 V P M E(M δ 3 E(M )= = P ∈V P ∈V 4πϵ0 P M 2 P ∈V 4πϵ0 P M 3 Généralisation à tous les types de distributions — Pour une distribution surfacique : δ 2 q = σd2 S, on a donc :   −−→ ⃗ σ(P )d2 S ⃗uP M σ(P )d2 S P M E(M )= = P ∈S 4πϵ0 P M 2 P ∈S 4πϵ0 P M 3 — Pour une distribution linéïque : δq = λdl, on a donc :   −−→ ⃗ λ(P )dl ⃗uP M λ(P )dl P M E(M )= = P ∈L 4πϵ0 P M 2 P ∈L 4πϵ0 P M 3 Pour vous aider à visualiser comment est construit le champ électrique et à quoi il peut ressembler, vous pouvez visualiser des animations sur ces supports numériques : 20  Electromagnétisme 1 1.2. Champ électrostatique −−−→ Attention le champ E(M ) n’est pas défini en un point des sources si ces sources sont modélisées par une densité surfacique ou linéïque de charge. Explication 1.3 (Problématique des densités surfaciques ou linéïques) 1.2.3 Propriétés du champ électrostatique Le champ est continuellement tangent à des courbes appelées lignes de champs, orientées dans le sens du champ. −−−→ −−−→ → − Equation : dOM ∧ E(M ) = 0 Explication 1.4 (Calcul en coordonnées cartésienne) Lignes de champs Deux lignes de champs ne se coupent pas en un point −−−−→ M où le champs ES (M ) est défini et non nul. En M soit : — Champ nul (point d’arrêt) — Champ non défini (présence charge ponctuelle ou surface ou ligne chargée) 21  Electromagnétisme 1 1.2. Champ électrostatique Exemples de lignes de champs Principe de Curie Le principe de Curie est un principe que l’on retrouve dans de nombreux domaines de la Physique et qui facilite l’étude de nombreux phénomènes. Principe de Curie Dans une expérience les effets présentent au moins les symétries des causes Nous allons nous servir de ce principe afin de simplifier l’étude et la détermination du champ électrique créé par une distribution de charge donnée. En effet, dans le cas général (ex en coord. cartésienne), le champ électrique s’écrit : −−−−−−→ E(x, y, z) = Ex (x, y, z)→ − ex + Ey (x, y, z)→ − ey + Ez (x, y, z)→ − ez Le calcul intégral, à partir des formules précédentes, peut vite devenir très pénible. L’enjeu est alors d’étudier les symétries et les invariances des sources, afin d’en tirer des informations et des simplifications dans l’expression du champ électrique induit par ces sources. Explication 1.5 (Étude des symétries et des invariances ) Symétries élémentaires −−−→ — Plan de symétrie : E(M ) appartient à tout plan de symétrie de la distribution passant par M −−−→ — Plan d’anti-symétrie : E(M ) est perpendiculaire à tout plan d’anti-symétrie de la distribution passant par M Invariances élémentaires −→ — Invariance par translation suivant un axe Oz : Le champ (ses coord.) devient indépendant de la coord. z −→ — Invariance par rotation autour d’un axe Oz : Le champ devient indépendant de la coord. angulaire θ (en cylindrique) 22  Electromagnétisme 1 1.2. Champ électrostatique — Invariance par rotation autour de tout axe passant par O : Il s’agit de la symétrie sphérique, le champ devient alors indépendant des coord. angulaires θ et φ (en sphérique) Circulation Nous introduisons ici la circulation du champ électrostatique. Nous verrons par la suite que cette grandeur est étroitement liée à une autre grandeur physique bien connue : le poten- tiel électrique. Nous remarquerons que la circulation d’un vecteur, opération mathématique consistant à intégrer point par point le long d’un chemin le produit scalaire de ce vecteur par le vecteur déplacement élémentaire, a déjà été vu en mécanique. En effet la circulation d’un vecteur force se nomme travail. Définition
B→ − → − Circulation : CAB = A E. dl Explication 1.6 (Circulation du champ d’une charge ponctuelle) ⃗ S pour ne pas le confondre avec le La circulation du champ électrostatique (noté ici E champ électrique variable dans le temps pour lequel cette propriété n’est plus valable) est conservative (indép. du chemin suivi). −→ → − ∀ contour fermé Γ, Γ ES. dl =0 Discontinuité à la traversée d’une surface chargée Nous avons vu précédemment que le champ électrique n’était pas défini au niveau des surfaces portant des charges modélisées par une densité surfacique σ. Une conséquence est que de part et d’autre de cette surface chargée, le champ électrique est différent. On parle de discontinuité à la traversée d’une surface chargée, le champ est bien non défini sur la surface. Explication 1.7 (Champ créé par un disque uniformément chargé) Voici le théorème général, duquel découlera plus tard le théorème de Coulomb : −−−−−→ −−−−−→ Appelons E2 (M2 ) et E1 (M1 ) les champs électrostatiques de part et d’autre d’une surface chargée (modélisée par une densité surfacique de charge σ(M )), au voisinage de cette surface (On a M1 → M et M2 → M ), alors : −−−−−→ −−−−−→ σ(M ) −→ E2 (M2 ) − E1 (M1 ) = n12 ϵ0 23  Electromagnétisme 1 1.2. Champ électrostatique 1.2.4 Le théorème de Gauss Le théorème de Gauss est une technique analytique permettant de calculer le champ électrostatique. Expression intégrale du théorème de Gauss : → − Le flux de E sortant d’une surface fermée SG entourant un volume VSG est égal à la somme des charges à l’intérieur de ce volume divisée par ε0.
 δq ⃗ ⃗= P ∈D∩VSG Qint Φ= E(M ).d2 S = SG ϵ0 ϵ0
— δq représente les charges contenues à la fois dans la distribution de charge P ∈D∩VSG et dans le volume VSG intérieur à la surface fermée de Gauss SG. On parle de charges intérieures (Qint ) à la surface de Gauss, mais on intègre uniquement sur les points du volume de Gauss où il y a effectivement des charges ; → − — Les charges extérieures à la surface n’interviennent pas dans l’expression du flux de E sortant de SG , cela ne signifie pas qu’elles n’interviennent pas sur le champ lui-même. — Le théorème de Gauss est une méthode classique pour le calcul du champ électro- statique, mais il faut faire des choix judicieux de surfaces SG dans un système de coordonnées adéquat avec au préalable une étude des symétries et des inva- riances. — Le théorème de Gauss n’est utilisable facilement que pour des distributions-sources présentant un haut degré de symétrie. — Le théorème de Gauss permet de déterminer le champ électrique créé par une distri- bution source. Le champ électrique est donc l’inconnue et il n’est donc pas possible de déterminer une primitive de la fonction le décrivant. La fonction M → E(M ⃗ ) décrivant le champ électrique ne doit donc nécessairement dépendre que d’une variable spatiale au maximum afin de pouvoir la sortir de l’intégrale double (flux). Méthodologie pour appliquer le théorème de Gauss 1. Étude des symétries de la distribution source pour déterminer le vecteur direc- ⃗ teur de E. 2. Étude des invariances de la distribution source pour déterminer de quelle va- riable dépend le champ électrique. 3. Choix de la surface de Gauss SG et de la ou les surfaces élémentaires d2 Si associées. Le vecteur directeur permet de choisir la surface de Gauss à utiliser car les surfaces élémentaires ne peuvent être que colinéaires ou orthogonales à ce vecteur directeur afin que le calcul du flux élémentaire soit possible, soit ⃗ 2S δ 2 Φ = E.d ⃗ = E.d2 S ou δ 2 Φ = 0, respectivement. La surface élémentaire ne peut pas contenir la différentielle de la variable dont dépend le champ électrique. 24  Electromagnétisme 1 1.3. Potentiel électrostatique 4. Calcul du flux total du champ électronique à travers la surface de Gauss : Φ = ⃗ 2⃗ SG E(M ).d S. Le résultat doit faire apparaitre l’inconnue cherchée, c’est à dire la partie scalaire du champ électrique E(M ) lui même ! 5. Calcul de la charge totale Qint contenue dans le volume VSG s’appuyant sur la surface de Gauss SG par intégration spatiale de la densité de charge. Les bornes d’intégration sont toujours de 0 à l’endroit où se trouve la surface de Gauss, mais peuvent se réduire à un sous domaine spatial s’il n’ a pas de charges partout dans le volume VSG Qint 6. Application du théorème avec l’égalité Φ = et établissement de l’expression ϵ0 de E(M ). On connait déjà le vecteur directeur donc on a bien E(M ⃗ ) Expression locale du théorème de Gauss : L’expression locale du théorème de Gauss et l’utilisation du théorème d’Ostrogradski permettent de trouver l’équation de Maxwell-Gauss. ⃗: Le théorème d’Ostrogradski nous dit que quel que soit le vecteur A   A(P ⃗= ⃗ )d2 S ⃗ )d3 V div A(P P ∈S P ∈V On a alors :    ⃗ 2S ⃗= ⃗ )d3 V = ρ(P ) 3 Ed div(E(P d V P ∈S P ∈V P ∈V ε0 Par identification il vient ∀M de l’espace (ou P ou tout autre lettre bien sûr !) : ⃗ ρ(M ) Équation de Maxwell-Gauss : div E(M )= ε0 Explication 1.8 (TD-cours : Calcul du champ créé par un fil infini) Pour vous aider à appréhender le théorème de Gauss (signification, invariances, symétries et calculs associés sur des exemples animés, vous pouvez regarder ces supports numériques : 1.3 Potentiel électrostatique → − Rappel : la circulation CAB de E est conservative donc ne dépend pas du chemin suivi entre A et B. En conséquence, on peut définir une fonction M → V (M ) de l’espace, appelée 25  Electromagnétisme 1 1.3. Potentiel électrostatique Potentiel Électrostatique, définie à une constante près, afin de quantifier la circulation du champ entre ces deux points :  B −−−→ → − V (A) − V (B) = E(M ) · dl A Écriture sous forme différentielle : −−−→ → − dV (M ) = −E(M ) · dl → − Le champ électrique E est ainsi un champ de gradient, on dit qu’il dérive du potentiel : −−−→ −−→ E(M ) = −grad(V (M )) Explication 1.9 (Cas de la charge ponctuelle)) Remarques : — Le potentiel V est une fonction scalaire : elle permet donc l’utilisation d’additions et de soustractions. — Sa valeur n’est définie qu’à une constante près qui dépend du choix du point de référence. Par contre, les différences de potentiel sont, elles, parfaitement définies, la référence n’intervenant plus. — La plupart du temps, on choisit V∞ = 0 s’il n’y a pas de charges à l’infini, alors :  M − → → − V (M ) = − E · dl ∞ Explication 1.10 (Lien avec l’énergie (travail de la force d’interaction)) Potentiel d’une distribution de charges : — Distribution linéique de charges λ :  1 λ(P )dl V (M ) = 4πε0 P ∈L PM — Distribution surfacique de charges σ :  1 σ(P )d2 S V (M ) = 4πε0 P ∈S PM — Distribution volumique de charges ρ :  1 ρ(P )d3 V V (M ) = 4πε0 P ∈V PM Explication 1.11 (Retour sur le disque uniformément chargé) 26  Electromagnétisme 1 1.4. Bilan et équations Propriétés : — Le potentiel est continu quand il est défini. — Le champ est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles. — Les lignes de champs sont orientées dans le sens des potentiels décroissants Explication 1.12 (Surface équipotentielles et lignes de champs) 1.4 Bilan et équations 1.4.1 L’équation de poisson → − ρ div E = (1.2) ε0 → − −−→ E = −gradV (1.3)  −−→  ρ (2) → (1) ⇒ div −gradV = ε0 −−→  or div gradΦ = ∇ · (∇Φ) = ∆Φ Ce qui permet d’écrire l’équation de Poisson : ρ ∆V = − ε0 Remarque : L’équation de Poisson est une expression locale sous forme différentielle du potentiel électrostatique. En coordonnées cartésiennes l’équation de Poisson donne : ∂2V ∂2V ∂2V ρ 2 + 2 + 2 =− ∂x ∂y ∂z ε0 S’il n’y à pas de charge localement (ρ = 0), alors l’équation de Poisson est une équation de Laplace : ∆V = 0 Pour résoudre ces équations, les conditions aux limites doivent être connues. 27  Electromagnétisme 1 1.4. Bilan et équations 1.4.2 Bilan Équations locales Équations intégrales (→ − −−→ E (M ) = −gradV (M ) n
B→ − → − ⇒ V (A) − V (B) = ⃗ E (M ) · dl ⃗ dV = − E (M ) · dl A → − ρ(M ) − −− → →  ρ 3 div E (M ) = ⇒ S E · d2 S = V d V ε0 ε0 ρ(M ) ∇2 V (M ) = − ε0 28 Chapitre 2 Conducteurs en équilibres électrostatique 2.1 Modélisation 2.1.1 Modèle physique des conducteurs Définition Les conducteurs (parfaits) sont des milieux où existent des charges libres, c’est à dire pouvant être mise en mouvement sous l’action d’un champ électrique. Les isolants (parfaits) sont des milieux dans lesquels les charges sont fixes. En réalité : — Bons conducteurs (métaux, électrolytes) — Mauvais conducteurs (diamant, plastique, verre, air, eau pure) — Semi-conducteurs (silicium, germanium) Dans le cadre de ce cours : Conducteur = conducteur parfait et isolant = isolant parfait 2.1.2 Conducteurs en équilibres Explication 2.1 (Réalisation d’un équilibre) — Un conducteur est dit en équilibre électrostatique quand la répartition de charges est stationnaire (indépendante du temps). On a quand même des mouvements aléa- toire, mais tel que ρ(M ) reste constant. — Le champ électrique à l’intérieur d’un conducteur en équilibre est forcement nul. — Le potentiel à l’intérieur d’un conducteur en équilibre est constant. — Il n’y a pas de charges à l’intérieur d’un conducteur en équilibre — la distribution de charge est superficielle, on utilise des distributions surfaciques. 29  Electromagnétisme 1 2.2. Propriétés des conducteurs en équilibre 2.2 Propriétés des conducteurs en équilibre 2.2.1 Champ et pression locale à la surface Théorème de Coulomb Nous avons vue qu’à la traversée d’une surface chargée : Et 1 = Et 2 ⃗ int = ⃗0 on obtient Et ext = 0 Puisque E ⃗ 1) = σ ⃗2 − E Nous avons également vue que : ⃗n12 · (E ε0 ⃗ à la surface d’un conducteur répond Ces deux propriétés permettent de conclure que E au critère suivant : ⃗ ext (M ) = σ(M ) ⃗nS E ε0 Explication 2.2 (Démonstration détaillée) Pression électrostatique Lignes de champ électrique - - - + - E=0 - + V = cst + - - ρ=0 + + - + On peut définir une pression électrostatique p s’exerçant localement en tout point de la surface du conducteur chargé. Elle est liée à la force généré par le champ extérieur à dS (c’est à dire le champ créé par la surface du conducteur hormis dS) −−−−→ − → dF (M ).n s σ 2 (M ) p(M ) = = dS 2ε0 2 ε0 E (M ) p(M ) = 2 Explication 2.3 (TD-cours : Démonstration détaillée) 2.2.2 Potentiel d’un conducteur en équilibre On a vu que le potentiel était continu à la traversée d’une surface chargée. 30  Electromagnétisme 1 2.2. Propriétés des conducteurs en équilibre → − −−→ −−→ De plus, E = −grad(V ) et Eint = ⃗0. Alors Vint = V0 dans le conducteur et Vsurf = V0 à la surface par continuité. La surface d’un conducteur est une surface équipotentielle. ⇒ Deux conducteurs reliés entre eux par un fil seront donc au même potentiel. 2.2.3 Influence de conducteurs chargés Influence partielle entre deux conducteurs + + + - + + - + + + Q2 = 0 Q1 > 0 + - + + + + - + + + + - + Définition : On nomme tube de champ l’espace délimité par deux lignes de champ ⃗ ⊥ Slat et E Le flux sortant d’un tube de champ est nul (E ⃗ int = ⃗0). Le théorème de Gauss permet de conclure que les charges contenues de part et d’autre d’un tube de champ sont égales et opposées. Explication 2.4 (Théorème des éléments correspondants) Ici l’influence est dite partielle car seule une partie des lignes de champ issues du solide 1 aboutit au solide 2. Influence totale Si un conducteur entoure totalement un autre, il y a correspondance totale entre les charges des surfaces en vis à vis. On parle alors d’influence totale. - + - + - - - + - Q1 < 0 - - + + - - + - - - + Q2 = 0 - 31  Electromagnétisme 1 2.3. Applications 2.3 Applications 2.3.1 Effet de pointe Quel est le principe du paratonnerre ? Il y a-t-il d’autres applications à l’effet de pointe ? Modélisons un pointe par deux boules de rayons différents (R1 >> R2 ) reliées par un fil conducteur : Pour simplifier le problème on néglige l’influence entre les boules et ce qui se passe dans le conducteur. On a V1 = V2 = V. V A la surface des sphères de rayon Ri , le champ vaut : Ei = Ri Explication 2.5 (Démonstration détaillée du champ lié à l’effet de pointe) Si le rayon de courbure de la pointe (ici R2 ) est très petit le champ à la surface de la pointe peut devenir très grand ! 2.3.2 Cage de Faraday 32  Electromagnétisme 1 2.3. Applications Cage de Faraday au palais de la découverte (Paris) Explication 2.6 (Champ/potentiel à l’intérieur d’une cavité de conducteur) 2.3.3 Condensateurs Capacité d’un conducteur isolé + + + + + + + + + + + + + + V Si un conducteur  est porté au potentiel V, il apparait alors à sa surface une charge q définie par : q = S σdS On observe une relation de linéarité entre la charge portée et le potentiel du conducteur ρ (ce qui peut être démontré à partir de l’équation locale ∇2 V = − ). ε0 On nomme le coefficient de proportionnalité, noté C, la capacité du corps conducteur. Il se mesure en farad. q C= V Cette capacité dépend de la géométrie du conducteur (ce qui entraine que seuls quelques cas simple peuvent être résolus analytiquement) Explication 2.7 (TD-cours : capacité de la boule chargée) Définition : On nomme condensateur l’assemblage de deux conducteurs en influence totale. Assemblage de deux conducteurs en influence totale formant un condensateur (plan à gauche et sphérique à droite) 33  Electromagnétisme 1 2.3. Applications Capacité d’un condensateur Un condensateur est un dispositif pour emmagasiner des charges. On a Q1 = −Q2 donc ∥Q1 ∥ = ∥Q2 ∥ = Q Pour une différence de potentiel ∆V entre les deux conducteurs (armatures) on définit : Q C= [F ] ∆V Association série de condensateurs C1 C2 C3 +Q -Q +Q -Q +Q -Q V1 V2 V3 V Soit 3 condensateurs, C1 , C2 et C3 , disposés en série et V une ddp appliquée aux bornes du circuit. La charge se conserve d’un condensateur à l’autre. Chaque condensateur aura une arma- ture avec une charge +Q et l’autre avec une charge -Q. ⇒ Q = C1 V1 = C2 V2 = C3 V3 où V1 V2 V3 sont respectivement les ddp aux bornes de C1 C2 et C3. ⇒ V1 + V2 + V3 = V Q Q Q Q On en déduit que + + =V = C1 C2 C3 C 1 1 1 1 d’où = + + C C1 C2 C3 En généralisant le raisonnement précédent on obtient la formulation suivante : 1 P 1 Assemblage en série : = ni C Ci Association parallèle de condensateurs 34  Electromagnétisme 1 2.3. Applications Q1 Q2 Q3 C1 C2 C3 V Soit 3 condensateurs, C1 , C2 et C3 , disposés en parallèle et V une ddp appliquée aux bornes du circuit. Chaque condensateur possède une charge qui lui est propre. Q1 = C1 V1 Q2 = C2 V2 Q3 = C3 V3 ⇒ Q = C1 V + C2 V + C3 V On en déduit que C = C1 + C2 + C3 En généralisant le raisonnement précédent on obtient la formulation suivante : Assemblage en parallèle : C = Σi Ci 35 Electromagnétisme 1 2.3. Applications 36 Chapitre 3 Bases de la magnétostatique 3.1 Introduction Un peu d’histoire : Les propriétés magnétiques de certains matériaux (aimant) sont connues depuis au moins Thalès de Millet (600 av. J-C) : La magnétite (oxyde de fer), est une pierre "abondante" près de la ville de Magnésie, en Grèce antique. On ne fait pas grand chose de ces aimants jusqu’en 1044 où la boussole (de navigation) est inventée (Chine). Ce n’est qu’en 1819 que Oersted (Danois) découvre un lien entre le magnétisme et l’électricité. Définition : Magnétostatique Étude des phénomènes magnétiques stationnaires (indépendant du temps) Ce que l’on verra ici restera valable dans le cas des régimes lentement variables Explication 3.1 (Approximation des régimes quasi-statiques) Nous nous limiterons à l’étude des champs magnétiques créés par des courants 3.2 Champ magnétostatique 3.2.1 Force magnétique & champ magnétique Force de Lorentz : On s’aperçoit que la force électrostatique ne permet pas à elle seule de comprendre les interactions entre les charges électriques. Force de Lorentz   F⃗/q (M ) = q E(M ⃗ ⃗ ) + ⃗v (M ) ∧ B(M ) F⃗e = q E, ⃗ la force électrique et E ⃗ le champ électrique. F⃗m = q⃗v ∧ B, ⃗ la force magnétique et B ⃗ le champ magnétique. 37  Electromagnétisme 1 3.2. Champ magnétostatique ⃗ B) L’ensemble (E, ⃗ forme le champ électromagnétique. Travail de la force magnétique : Le travail de F⃗m vaut Wm = F⃗m · ⃗v dt = q⃗v ∧ B ⃗ · ⃗v dt Wm = 0 La force magnétique ne modifie par l’énergie cinétique d’une charge : ||⃗v || = cst Force de Laplace : ⃗ : Autre manifestation du champ B Force de Laplace ⃗ parcouru par un courant I et plongé dans un Force que subit un élément de circuit dl ⃗ champ B : → − → − ⃗ d F (M ) = I(M ) dl ∧ B Unité et ordre de grandeur : Le champ magnétique B ⃗ se mesure en Tesla [T] ou en −2 volt-seconde par mètre carré [V.s.m ]. On peut également utiliser le Gauss [G] (1G = 10−4 T ). Corps humain ≈ 10−15 T Champ magnétique terrestre (France) ≈ 10−5 T Aimant permanent ≈ 1T Electro-aimants les plus puissants ≈ 50T 3.2.2 Loi de Biot et Savart Explication 3.2 (Notion d’élément de courant) ⃗ ), Nous postulons que l’expression de la contribution d’un élément de courant δ C(P −−−→ situé au point P, au champ total B(M ) créé en M par une distribution de courants est donnée par la loi de Biot et Savart : −−→ −−−−→ µ0 ⃗ PM δB(M ) = δC(P ) ∧ 4π PM3 Le coefficient µ0 , appelé perméabilité du vide, vaut exactement µ0 = 4π.10−7 H.m−1 38  Electromagnétisme 1 3.3. Théorème d’Ampère ⃗ créé par une distribution de courant Expression de B −−−→ µ0  −−−−→ — Distribution volumique : B(M ) = ⃗ )d3 V ∧ uP →M j(P 4π D PM2 −−−→ µ0  −−−−→ — Distribution surfacique : B(M ) = j(P⃗ )d2 S ∧ uP →M 4π D PM2 −−−→ µ0
⃗ − u−−−→ P →M — Distribution filiforme : B(M ) = I dl ∧ 4π D PM2 3.2.3 Propriétés du champ magnétique Topographie du champ magnétique −−−→ ⃗ ⃗ Equation des lignes de champ : dOM ∧ B =0 Symétries & Invariances — B⃗ est perpendiculaire à tout plan-miroir π de la distribution de courant −−−−→ — Au point M’ symétrique de M par rapport à π, B(M ′ ) est l’opposé du symétrique de −−−→ B(M ) ⃗ est contenu dans tout plan-antimiroir π ∗ de la distribution de courant — B −−−−→ −−−→ — Au point M’ symétrique de M par rapport à π ∗ , B(M ′ ) est le symétrique de B(M ) — Concernant les invariances, on raisonnera comme pour le champ électrostatique 3.3 Théorème d’Ampère Le théorème d’Ampère (dont la démonstration est fastidieuse) est à la magnétostatique ce qu’est le théorème de Gauss à l’électrostatique. Théorème d’Ampère  B(P ⃗ = µ0 ⃗ ).dl ⃗ ⃗j(P ).d2 S P ∈C P ∈S 39  Electromagnétisme 1 3.3. Théorème d’Ampère ⃗ le long d’un contour fermé, aux sources de courant Ce théorème relie la circulation de B, traversant la surface définie par ce contour. Tout comme le théorème de Gauss, ce théorème est exploitable que dans les problèmes comportant un haut niveau de symétrie et d’invariance qu’il faudra étudier préalablement. Le théorème d’Ampère peut être écrit sous sa forme locale en exploitant le théorème de Stokes. Théorème d’Ampère - forme locale −→ ⃗ rotB(M ) = µ0⃗j(M ) Exercice d’application : Fil infini Calcul du champ magnétique généré par un fil circulaire infini en utilisant le théorème d’Ampère. I B M r c 1. Choix du repère ⇒ cylindrique ⃗ = B(r) 2. Étude des invariances ⇒ B ⃗ 3. Étude des symétries et antisymétries ⇒ ⃗ = B(r)⃗eθ B 4. Choix d’un contour ⇒ Cercle centré sur le fil passant par M (de rayon r) 5. B ⃗ = B2πr ⃗ · dl C  6. µ0 ⃗ = −µ0 I ⃗j.dS S ⃗ = − µ0 I ⃗eθ B 2πr Exercice d’application : Boucle de courant Calcul du champ magnétique généré un solénoide infini. I L M c B 1. Choix du repère ⇒ cylindrique ⃗ = B(r) 2. Étude des invariances ⇒ B ⃗ 3. Étude des symétries et antisymétries ⇒ ⃗ = −B(r)⃗ez B 4. choix d’un contour ⇒ Rectangle passant par M 40  Electromagnétisme 1 3.4. Bilan 5. B ⃗ = BL ⃗ · dl C  6. µ0 ⃗ = µ0 IN ⃗j.dS S ⃗ = − µ0 IN ⃗ez B L Conservation du flux magnétique : ⃗ à partir de sa Le calcul de la divergence de B formulation permet de montrer que Conservation du flux - forme locale ⃗ div B(M )=0 Sa forme intégrale (Th. Green-Ostrogradsky) s’écrit Conservation du flux - forme intégrale  ⃗ ) · d⃗2 S = 0 B(P P ∈S 3.4 Bilan 3.4.1 Potentiel vecteur En électrostatique, on observe l’intérêt de définir le potentiel électrique : Équation locale ⃗ = −− E −→ gradV B ⃗ ⃗ Équation intégrale A E · dl = VA − VB Ce concept est transposable au champ magnétique, a ceci près que B ⃗ est un pseudo ⃗ vecteur. On exploite alors la propriété div B = 0 pour construire un champ de vecteur, appelé potentiel vecteur, noté A : B⃗ =− →⃗ rotA On peut démontrer que l’équation suivante permet de calculer A.  ⃗ ⃗ µ0 j(P ) 3 A(M )= −−→ d V 4π τ PM Cette équation est comparable à celle permettant de calculer V. 41  Electromagnétisme 1 3.4. Bilan 3.4.2 Les équations magnétostatiques Électrostatique Magnétostatique
ρ 3
⃗ · d2 S E ⃗= d V B ⃗ = µ0⃗jd2 S ⃗ · dl ⃗ S V ε0 C S ⃗ = ρ −→ ⃗ div E rotB = µ0⃗j ε0 E ⃗ =0 ⃗ · dl B⃗ · d2 S ⃗=0 C S −→ ⃗ ⃗ ⃗ =0 rotE = 0 div B
B ⃗ = VA − VB ⃗ · dl E A ⃗ = −− E −→ gradV ⃗ =− B →⃗ rotA 42 Chapitre 4 Énergie électrostatique 4.1 Énergie potentielle d’interaction 4.1.1 Énergie potentielle d’une charge un peu de sémantique... Définition : énergie potentielle L’énergie potentielle d’un système physique est l’énergie liée à l’interaction d’une force conservative, qui a le potentiel (d’où le nom) de se transformer en énergie cinétique. Définition : force conservative Une force est dite conservative lorsque le travail produit par cette force est indépendant du chemin suivi par son point d’action. Une charge isolée ne peut pas avoir d’énergie potentielle. Il lui faut nécessairement une autre charge avec laquelle interagir. Dans le cas de deux charges, l’énergie potentielle du système correspond à : - L’énergie de q’ dans le champ de q - L’énergie de q dans le champ de q’ - L’énergie du système isolé q-q’  r qq ′ ξ= F⃗ · d⃗l = ∞ 4πε0 r ξ [Joule], l’énergie potentiel du système q-q’ L’énergie nécessaire pour placer une charge q en M dans un champ de potentiel vaut :  M ξq (M ) = −F⃗q · d⃗l ∞  M ξq (M ) = ⃗ · d⃗l −q E ∞ 43  Electromagnétisme 1 4.1. Énergie potentielle d’interaction  M ξq (M ) = q dV ∞ énergie électrique d’une charge ponctuelle ξq (M ) = qV (M ) 4.1.2 Énergie potentielle d’un système de charges Distribution de charges ponctuelles Soit un système de charges ponctuelles décrites par leur position Mi et leur charge qi. Calculons le travail pour réaliser ce système à partir de rien : Plaçons q1 en M1 : W1 = 0 q1 q2 1 Plaçons q2 en M2 : W2 = k avec k = M1 M 2 4πε0 q1 q2 q2 q3 Plaçons à présent q3 en M3 : W3 = k( + ) M1 M 3 M 2 M3 Arrêtons nous là et regardons l’expression de l’énergie : Wtot = ξ = W1 + W2 + W3 q2 q3 q1 q3 q1 Ce qui peut s’écrire 2ξ = k[q1 ( + ) + q2 ( + ) + q3 ( + M 1 M2 M 1 M3 M1 M 2 M2 M 3 M1 M 3 q2 )] M2 M 3 1 ou encore ξ = (q1 V1 + q2 V2 + q3 V3 ) 2 En généralisant on obtient : Énergie d’un système de charges ponctuelles n 1X ξ= qi V i 2 i=1 Distribution continue de charges En exploitant ce qui vient d’être trouvé et en l’adap- tant à des distributions continues, on obtient la formulation suivante : Energie d’une distribution de charges  1 ξ= V dq 2 espace charge Ce qui se traduit 1
En linéaire (dq = λdl) par ξ= V λdl 2 L 1  En surfacique (dq = σd2 S) par ξ= V σd2 S 2 S 1 En volumique (dq = ρd3 V ) par ξ= V ρd3 V 2 V 44  Electromagnétisme 1 4.2. Énergie emmagasinée dans les conducteurs chargés Exercice d’application : Énergie d’une boule chargée Soit B1 une boule uniformé- ment chargée. 1
ξ B1 = ρV d3 V 2 B1 ρR2 r2 Le potentiel à l’intérieur de la sphère est : V =