FC4b-Probabilités-final PDF

Probabilités Professeur : OLLIER FC N°4b Date : 19/09/2023 I. FORMULE DE BAYES ✪✪✪ ...................................................................................................................................................... 1 II. VARIABLE ALEATOIRE ..........................................

Probabilités Professeur : OLLIER FC N°4b Date : 19/09/2023 I. FORMULE DE BAYES ✪✪✪ ...................................................................................................................................................... 1 II. VARIABLE ALEATOIRE ............................................................................................................................................................. 2 1. DEFINITION ............................................................................................................................................................................ 2 2. DENSITE (DISTRIBUTION) DE PROBABILITE D’UNE VARIABLE ALEATOIRE ................................................................................................... 3 3. FONCTION DE REPARTITION ........................................................................................................................................................ 6 4. ESPERANCE D’UNE VARIABLE ALEATOIRE ✪✪✪ .............................................................................................................................. 7 5. VARIANCE D’UNE VARIABLE ALEATOIRE .......................................................................................................................................... 9 6. COVARIANCE ENTRE DEUX VARIABLES ALEATOIRES ✪✪✪ ................................................................................................................ 10 7. RELATION ENTRE VARIANCE ET COVARIANCE ................................................................................................................................. 11 En cas de questions sur ce cours, vous pouvez écrire à l’adresse suivante : [email protected] Les règles de courtoisies sont à respecter lors de l’envoi d’un mail. L’équipe des tuteurs se réserve le droit de répondre ou non à un mail. En cas de questions récurrentes, les tuteurs pourront faire un point lors des colles hebdomadaires. I. Formule de Bayes ✪✪✪ FORMULE DE BAYES • Permet de passer de P(B/A) à P(A/B) : Principe • Soient A et B deux événements : o Formule de Bayes : P(A/B) = P(B/A) x P(A) / P(B) o Formule utilisée pour les calculs de survie (cours vu plus tard dans l’année) • Durant l’hiver, la probabilité pour qu’une personne ait la grippe est de 30%. Le diagnostic clinique est posé lorsque la personne présente les symptômes suivants : courbatures, fièvre subite, signes respiratoires. La probabilité pour qu’une personne présente ces symptômes est de 40%. On sait aussi qu’une personne ayant la grippe a 80 chances sur 100 d’avoir ces symptômes. • Questions : Exercice 1. Quelle est la probabilité d’avoir la grippe et de présenter les symptômes décrits cidessus ? 2. Quelle est la probabilité d’avoir la grippe sachant qu’on présente les symptômes cidessus ? ℙ(𝑆 +) = 0,4 ℙ(𝐺 +) = 0,3 ℙ(𝑆 + |𝐺 +) = 0,8 • Correction : 1. ℙ(𝑮 +∩ 𝑺 +) = ℙ(𝑆 + |𝐺 +) × ℙ(𝐺 +) = 0,8 × 0,3 = 0,24 Le terme « et » signifie qu’il s’agit d’une intersection. ℙ(𝑆+|𝐺+)×ℙ(𝐺+) 0,8×0,3 2. ℙ(𝑮 + |𝑺 +) = = 0,4 = 0,6 ℙ(𝑆+) o Le terme « sachant » signifie qu’il s’agit d’une probabilité conditionnelle 1 II. Variable aléatoire 1. Définition VARIABLE ALEATOIRE • Dans de nombreuses situations, on n’est pas intéressé directement par le résultat d’une expérience aléatoire, mais par une fonction de ce résultat. Problématique Expérience aléatoire • Résultat d’un lancer au jeu de la roulette. • Tirer une personne parmi la population française. Grandeur d’intérêt • Gain associé au résultat. • Glycémie de la personne tirée. • Une variable aléatoire X est une application qui relie l’expérience aléatoire à un nombre. De plus, il s’agit d’une fonction définie par X : Ω → DX. • On note DX l’ensemble des valeurs que X peut prendre après réalisation de l’expérience. • Ω : Univers Définition • DX : domaine de définition de X • A chaque fois que l’on reproduit l’expérience, on obtient une réalisation de X que l’on note x : o x (réalisation) est un nombre o X (variable aléatoire) est une fonction o ATTENTION à ne pas confondre les deux ! • Expérience aléatoire : « Tirer une personne parmi la population française » o Ω = {1, ..., 66 990 000} • Variable aléatoire X : « Mesurer la glycémie » o X : Ω → ℝ+ Exemple o ℝ+ car la glycémie est une variable réelle non dénombrable continue positive. • Expérience effectuée 3 fois : o 1ère réalisation : ω1 = 10 038, x1 = X(ω1) = 0.9g/L o 2ie réalisation : ω2 = 1 231, x2 = X(ω2) = 0.87g/L o 3ie réalisation : ω3 = 230 071, x3 = X(ω3) = 1.4g/L Les variables aléatoires discrètes possèdent un domaine D X fini ou dénombrable. Différents types Variable aléatoire discrète • Exemples : o « Nombre de personnes diabétiques » DX = ℕ ▪ ℕ = entiers naturels o « Succès/échec d’un traitement » DX = {0,1} 2 ▪ Échec = 0 ▪ Succès = 1 Les variables aléatoires continues possèdent un domaine D X infini nondénombrable. Variable aléatoire continue • Exemple : o « Glycémie mesurée » : DX = ℝ+ 2. Densité (distribution) de probabilité d’une variable aléatoire DENSITE DE PROBABILITE • La densité (distribution) de probabilité (notée fx) d’une variable aléatoire X décrit : o Quelles valeurs sont prises par la variable. Définition o Avec quelle probabilité ces valeurs sont prises. • La densité de probabilité d’une variable aléatoire est une fonction. Une variable aléatoire X est entièrement caractérisée par sa distribution de probabilité fX. • Théorie des probabilités : Différence entre la théorie des probabilités et la statistique o 𝑓𝑋 connue o Objectif : Caractériser X (𝔼[𝑋], 𝕍𝑎𝑟[𝑋], probabilité de dépassement d’un seuil …). • Statistique : o 𝑓𝑋 inconnue o Objectif : Caractériser fX à partir d’observations (réalisations) de la variable aléatoire de la variable X. • Soit X une variable aléatoire avec un domaine fini ou dénombrable : DX = {x1, ···,xN} Densité de probabilité d’une variable aléatoire discrète • On appelle densité de probabilité de X la fonction 𝒇𝒙 suivante : 𝒇𝑿 (𝒙) = { • Avec : ℙ(𝑿 = 𝒙) 𝒔𝒊 𝒙 ∈ 𝑫𝑿 𝟎 𝒔𝒊 𝒙 ∉ 𝑫𝑿 𝟎 ≤ ℙ(𝑿 = 𝒙𝒊) ≤ 𝟏 𝑵 𝑵 ∑ 𝒇𝑿 (𝒙𝒊 ) = ∑ ℙ(𝑿 = 𝒙𝒊 ) = 𝟏 𝒊=𝟏 𝒊=𝟏 3 • Considérons le lancer de deux dés équilibrés, et notons X la variable aléatoire : o « Somme des valeurs obtenues » • L’univers de l’expérience aléatoire et le domaine de X correspondent à 𝛺 = {1,2,3,4,5,6} × {1,2,3,4,5,6} 𝐷𝑋 = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} • Quelle est la densité de la probabilité de X ? o Avec X la variable aléatoire, on peut déterminer la probabilité de tous les éléments de DX. Il faut donc calculer la probabilité de chaque élément. ▪ Pour rechercher la probabilité d’obtenir 2 on pose : 1 P(X=2) = P({(1,1)})= 36 ▪ Pour calculer la probabilité d’obtenir 3 on pose : 2 P(X = 3) = P({(2,1),(1,2)}) = 36 ▪ Pour calculer la probabilité d’obtenir 7 on pose : 6 (5,2); (2,5); (3,4) ℙ(𝑋 = 7) = ℙ ({ )= (4,3); (1,6); (6,1) 36 ▪ À chaque fois on calcule le cardinal de l’évènement divisé par le cardinal de l’univers Exemple o On peut représenter les résultats par une représentation graphique : 𝑓𝑋 (𝑥 ) = 1 𝑠𝑖 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 { 𝑥=2 𝑠𝑖 𝑥=3 𝑠𝑖 𝑥=4 𝑠𝑖 𝑥=5 𝑠𝑖 𝑥=6 𝑠𝑖 𝑥=7 𝑠𝑖 𝑥=8 𝑠𝑖 𝑥=9 𝑠𝑖 𝑥 = 10 𝑠𝑖 𝑥 = 11 𝑠𝑖 𝑥 = 12 4 • On appelle densité de probabilité de X la fonction fx tel que : 𝒃 ℙ(𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃) = ∫𝒂 𝒇𝑿 (𝒙)𝒅𝒙 • Avec 𝒇𝑿 (𝒙) ≥ 𝟎 ∞ ∀𝒙 ∈ 𝑫𝑿 ∫ 𝒇𝑿 (𝒙)𝒅𝒙 = 𝟏 −∞ Exemple avec une loi uniforme • Une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [𝑎, 𝑏] se note : X~𝓤(𝒂, 𝒃). • La densité de X est alors : 𝒇𝑿 (𝒙) = 𝟏 {𝒃 − 𝒂 si x ∈ [𝒂, 𝒃] 𝟎 • Avec a, b ∈ ℝ les bornes de l’intervalle. • Une variable X qui suit une loi normale se note : X~𝓝(𝝁, 𝝈𝟐 ) Densité de probabilité d’une variable aléatoire continue • La densité de X est alors : Exemple avec une loi normale 1 𝑓𝑋 (𝑥 ) = − 1(𝑥−𝜇)2 2 𝜎2 𝑒 𝜎√2𝜋 • Deux paramètres 𝝁 𝒆𝒕 𝝈𝟐 : o 𝝁 ∶ Moyenne de X, règle la position de la courbe o 𝝈𝟐 : variance de X, règle l’étalement de la courbe • Une variable X qui suit une loi de Student se note 𝑿~𝓣(𝝊) • La densité de X est alors (ne pas l’apprendre): 𝜈+1) 𝑓𝑋 (𝑥 ) = Exemple avec la loi de Student 1 𝛤( 2 𝜈 √𝜈𝜋 𝛤( ) 2 (1 + 𝑥 2 −𝜈+1 𝜈 ) 2 • Le paramètre de 𝜈 correspond au nombre de degrés de liberté. • Plus le degré de liberté augmente, plus la loi de Student se rapproche (converge) de la densité de probabilité d’une loi normale. • Loi souvent utilisée pour les tests et intervalles de confiance. 5 3. Fonction de répartition FONCTION DE REPARTITION • Fonction de répartition d’une variable aléatoire X = probabilité que cette variable aléatoire soit inférieure ou égale à X • Définie par : 𝑭𝑿 (𝒙) = ℙ(𝑿 ≤ 𝒙) o Pour une variable aléatoire discrète : 𝑭𝑿 (𝒄) = ∑𝒙𝒊|𝒙𝒊≤𝒄 ℙ(𝑿 = 𝑥𝑖 ) 𝒄 o Pour une variable aléatoire continu : 𝑭𝑿 (𝒄) = ∫−∞ 𝒇𝑿 (𝒙)𝒅𝒙 • Le prof a précisé qu’il ne demandera pas le calcul d’intégrale. 𝐹𝑋 (𝑐) = ∑𝑥𝑖|𝑥𝑖≤𝑐 ℙ(𝑋 = 𝑥𝑖), ∀𝑐 ∈ {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Définition Exemple somme de lancé de deux dés Exemple : loi uniforme sur l’intervalle [𝒂, 𝒃] Propriétés de la fonction de répartition 0 , 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑎 𝑥−𝑎 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝐹𝑋 (𝑥) = { 𝑏−𝑎 1, 𝑠𝑖 𝑥 > 𝑏 • Fx est une fonction croissante (𝑎 ≤ 𝑏 ⟹ 𝐹𝑋 (𝑎) ≤ 𝐹𝑋 (𝑏)). • ℙ(𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃) = 𝑭𝑿 (𝒃) − 𝑭𝑿 (𝒂) 6 4. Espérance d’une variable aléatoire ✪✪✪ Cette partie de cours fait souvent l’objet de calculs au concours et est surtout primordiale pour pouvoir comprendre la prochaine partie des biostatistiques sur les lois de probabilités et la corrélation. ESPERANCE D’UNE VARIABLE ALEATOIRE • Espérance de la variable aléatoire X = valeur moyenne des valeurs prises par X • Définie par : 𝔼[𝑋] = 𝜇𝑋 = 𝜇 • Correspond à la somme de toutes les valeurs prises par X pondérées par leur probabilité • Selon les variables aléatoires continues ou discrètes les formules changent : o Variable aléatoire discrète : 𝑵 𝔼[𝑿] = ∑ ℙ(𝑿 = 𝒙𝒊 ) × 𝒙𝒊 o Variable aléatoire continue : 𝒊=𝟏 +∞ 𝔼[ 𝑿 ] = ∫ Définition 𝒙𝒇𝑿 (𝒙)𝒅𝒙 −∞ • Formule de l’espérance (utiliser la probabilité de chaque évènement) : 𝑁 𝐸[𝑿] = ∑ ℙ(𝑋 = 𝑥𝑖 ) × 𝑥𝑖 𝑖=1 = Exemple de la somme des dés 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 ×2+ ×3+ ×4+ ×5+ ×6+ ×7+ ×8+ ×9+ × 10 + × 11 + × 12 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 = 7,56 7 • X est une variable aléatoire distribuée uniformément sur l’intervalle a;b • Démonstration de la formule de l’espérance pour une variable uniforme : 1 𝑓𝑋 (𝑥 ) = {𝑏 − 𝑎 , 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛 +∞ Exemple pour une variable aléatoire uniforme 𝐸 [𝑿] = ∫ 𝑏 𝑥𝑓𝑋 (𝑥 )𝑑𝑥 −∞ 𝑏 𝑏 1 1 𝑥² ] = ∫ 𝑥𝑓𝑋 (𝑥 )𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = [ 𝑏−𝑎 2𝑏 − 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 1 𝑏2 − 𝑎² 1 (𝑏 − 𝑎)(𝑎 + 𝑏) 𝒃 + 𝒂 = = = 2 𝑏−𝑎 2 𝑏−𝑎 𝟐 • Formule finale : 𝐴+𝐵 2 o Utilisée pour calculer les espérances dans le cas d’une variable aléatoire uniforme. 𝔼[ 𝑋 ] = La démonstration entière n’est pas à retenir. • Si la variable X suit une loi normale 𝑋~𝒩(𝜇, 𝜎 2 ) 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝔼⟦𝑋⟧ = 𝜇. • Espérance : paramètre de position (règle la position de la densité). Exemple pour une loi normale • Propriétés • Densité : visible par l’abscisse du point le plus haut de la courbe (= le maximum de la courbe). Soit deux variables X et Y et des constantes a ; b dans ℝ on peut établir des propriétés telles que : 𝚬[𝑿 + 𝒀] = EX + EY 𝑬[𝒂𝑿] = 𝒂𝑬[𝑿] 𝑬[𝑿 + 𝑩] = 𝑬[𝑿] + 𝒃 8 5. Variance d’une variable aléatoire VARIANCE D’UNE VARIABLE ALEATOIRE • Mesure la dispersion (variabilité) d’une variable aléatoire. Variance Ecart-type • Variance d’une variable aléatoire X = nombre positif défini par : 𝕍𝒂𝒓[𝑿] = 𝔼[(𝔼[𝑿] − 𝑿)𝟐 ] = 𝔼[𝑿𝟐 ] − 𝔼[𝑿]² • Défini par : 𝝈𝒙 = √𝕍𝒂𝒓[𝑿] • Différent en fonction du type de variable aléatoire : o Variables aléatoires discrètes : Calcul de la variance 𝕍𝒂𝒓[𝑿]=∑𝑵 𝒊=𝟏 ℙ(𝑿 = 𝒙𝒊 ) × (𝒙𝒊 − 𝔼 [𝑿])² o Variables aléatoires continues : +∞ 𝕍𝒂𝒓[𝑿] = ∫−∞ (𝒙 − 𝔼[𝑿])𝟐 𝒇𝑿 (𝒙)𝒅𝒙 • Soient deux variables X et Y et une constante c dans R : Propriétés de la variance 𝐕𝐚𝐫𝐜 = 𝟎 𝐕𝐚𝐫𝐜𝐗 = 𝐜² 𝐕𝐚𝐫𝐗 𝐕𝐚𝐫𝐜 + 𝐗 = 𝐕𝐚𝐫𝐗 • Si la variable aléatoire suit une loi normale (X~𝒩(𝜇, 𝜎 2 )) alors : o VarX = 𝜎 2 • Variance de X (Var[X]) : règle l’étalement de la courbe. • Plus 𝜎 2 est grand plus la plage des valeurs que x peut prendre est grande. Variable aléatoire suivant la loi normale Exemple • Sur la courbe on voit que l’étalement est plus grand et donc le nombre possible de valeurs est plus important lui aussi. • X est une variable aléatoire distribuée uniformément sur l’intervalle a ; b : 𝟏 Variable aléatoire uniforme 𝒇𝒙 (𝒙) = {𝒃 − 𝒂 𝟎 • Variance de X : si x ∈ [𝒂, 𝒃] +∞ 𝑽𝒂𝒓[𝑿] = ∫ 𝑥 2 𝑓𝑋 (𝑥 )𝑑𝑥 − 𝐸 [𝑋]2 −∞ 2 𝑥 𝑎+𝑏 2 =∫ 𝑑𝑥 − ( ) 2 𝑎 𝑏−𝑎 𝑏 9 (𝒃 − 𝒂)² 𝟏𝟐 • Seule la formule finale en gras est à apprendre. = • Savoir repérer à quelle variable vous êtes confrontés et ainsi choisir la formule de la variance et de l’espérance en fonction. • Pour répondre à ce type de QCM il est important de savoir différencier loi normale et loi uniforme pour bien utiliser le formulaire. 6. Covariance entre deux variables aléatoires ✪✪✪ COVARIANCE Définition • Covariance entre deux variables : mesure la part de dépendance linéaire entre X et Y. • Attention c’est bien la dépendance linéaire ! Il existe d’autre type de dépendance (carré, log ...) • Covariance entre deux variables aléatoires quantitatives (X, Y) définie par : Cov(X, Y) = 𝔼([𝑿 − 𝔼(𝑿)][𝒀 − 𝔼(𝒀)]) = 𝔼(𝑿𝒀) − 𝔼(𝑿)𝔼(𝒀) Interprétation de la covariance entre 2 variables aléatoires • Il n’y a pas de relation linéaire entre X et Y. Cov(X, Y) = 0 • (Cela ne veut pas dire qu’il n’y a aucune relation, il existe des relations qui ne sont pas linéaires). Cov(X , Y) > 0 • En moyenne, Y augmente quand X augmente. Cov(X , Y) < 0 • En moyenne, Y diminue quand X augmente. Covariance 10 7. Relation entre variance et covariance RELATION ENTRE VARIANCE ET COVARIANCE Si a et b sont deux constantes • 𝕍ar[aX + bY] = a2𝕍ar[X] + b2𝕍ar[Y] + 2ab x Cov(X,Y) • Cov(X,Y) = 0 Si X et Y sont indépendantes • 𝕍ar [aX + bY] = a2𝕍ar[X] + b2𝕍ar[Y] • Le prof a insisté sur le fait qu’il ne poserait pas de questions sur les démonstrations ni sur les formules qui ne sont pas dans le formulaire. Cependant, elles sont vraiment importantes pour la compréhension de ce cours et des prochains. 11