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Probabilités Professeur : OLLIER Professeur :? FC FCN°4 N° ? Date : Date 12/09/2023 :? SOMMAIRE I. INTRODUCTION ....................................................................................................................................................................... 1 II. MODELE PRO...

Probabilités Professeur : OLLIER Professeur :? FC FCN°4 N° ? Date : Date 12/09/2023 :? SOMMAIRE I. INTRODUCTION ....................................................................................................................................................................... 1 II. MODELE PROBABILISTE ET CALCUL DES PROBABILITES ........................................................................................................... 2 III. NOTION D’INDEPENDANCE.................................................................................................................................................... 5 IV. PROBABILITE CONDITIONNELLE............................................................................................................................................. 6 V. EXERCICES .............................................................................................................................................................................. 7 En cas de questions sur ce cours, vous pouvez écrire à l’adresse suivante : [email protected] Les règles de courtoisies sont à respecter lors de l’envoi d’un mail. L’équipe des tuteurs se réserve le droit de répondre ou non à un mail. En cas de questions récurrentes, les tuteurs pourront faire un point lors des colles hebdomadaires. I. Introduction Ce cours est abstrait et théorique. Le vocabulaire employé est très important. Les exemples d’application vus en cours sont à bien comprendre pour le concours. THEORIE DES PROBABILITES Généralités • Fournit un cadre mathématique pour décrire les phénomènes aléatoires. • Permet d’effectuer des calculs théoriques. Exemples de phénomènes aléatoires STATISTIQUES • Analyse de mesures (observations) réalisées sur des individus. • Basée sur la modélisation probabiliste des observations. • Les probabilités sont nées de l’étude des jeux de hasard afin de maximiser les gains d’un joueur. • Les cours des actions en bourse qui fluctuent aléatoirement. • L’activité électrique d’un neurone avec des potentiels d’actions générés aléatoirement. • La survie des patients atteints d’un cancer. 1 II. Modèle probabiliste et calcul des probabilités MODELE PROBABILISTE 3 ELEMENTS NECESSAIRES POUR LE DECRIRE • Ensemble de tous les résultats possibles dans une expérience aléatoire. • 3 grands types d’univers : Fini : {x1,…, xk} • Ex : L’expérience A est « une personne lance simultanément deux dés cubiques à 6 faces et note la valeur obtenue sur la face supérieure de chaque dé ». • Ω = {1,2,3,4,5,6}2 = {(1,1), (1,2), …, (3,6), …, (6,6)} • On peut numéroter ses éléments jusqu’à l’infini. Univers (Ω) Infini dénombrable : {x1,…, xn, xn+1, …} • Ex : L’expérience B est « Une personne compte le nombre de patients se présentant aux urgences du CHU en une journée ». • Ω = ℕ = {1, 2, 3, 4, …, 100, 101, 102, …}, la modélisation est possible théoriquement à l’infini. • Impossible de décrire l’ensemble sous la forme d’une liste numérotée (ex : intervalle [0,1]). Infini nondénombrable • Ex : L’expérience C est « Temps de survie de patients ayant un cancer du côlon ». • Ω = Ensemble des réels positifs (ℝ+ ). • Ensemble de résultats associés à une probabilité. • Événement lié à une expérience aléatoire : ensemble dont les éléments sont des résultats possibles pour cette expérience. • Ex : On reprend l’expérience A citée plus haut : Événements o L’événement « Le second lancer est un 6 » contient les résultats {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6)}. o L’événement « Le résultat est un double 6 » contient le seul résultat {(6,6)} = événement unitaire. o L’événement « Le premier lancer est supérieur au second » : {(m,n) Є Ω : m > n}. Mesure de probabilité (P) • Permet d’attribuer à chaque événement une probabilité de réalisation. 2 OPERATIONS SUR LES EVENEMENTS • Réunion de deux événements A et B : événement qui se réalise si et seulement si l’événement A ou l’événement B ou les deux se réalisent. • Noté « U » Réunion • Retenez bien le « ou » • Exemple : En reprenant l’expérience A on crée deux événements : o L’événement A : « La somme des lancers vaut 4 » : {(1,3), (3,1), (2,2)} o L’événement B : « La somme des lancers vaut 3 » : {(1,2), (2,1)} → Réunion de ces deux événements : A U B = {(1,3), (3,1), (2,2), (1,2), (2,1)} • Intersection de deux événements A et B : événement qui se réalise si et seulement si l’événement A et l’événement B se réalisent. • Noté « ∩ » Intersection • Retenez bien le « et » • Exemple : En reprenant l’expérience A on crée deux événements : o L’événement A : « Le second lancer est un 4 » : {(m,4) Є Ω : m Є {1, 2, 3, 4, 5, 6}} o L’événement B : « Le premier lancer est supérieur au second » : {(m,n) Є Ω : m>n} → Intersection de ces deux événements : A ∩ B = {(5,4), (6,4)} • Complémentaire d’un événement A : événement qui se réalise si et seulement si l’événement A ne se réalise pas. • Tout l’univers Ω sauf A Complémentaire • Noté « Ā » • Exemple : toujours avec l’expérience A : o L’événement A est « Le lancer est impair » : {1, 3, 5} o L’événement Ā est « Le lacer est pair » : {2, 4, 6} • Des événements sont incompatibles s’ils ne peuvent se réaliser en même temps. Incompatibilité • Ainsi A ∩ B = Ø • Exemple : Les événements « Le second lancer est un 6 » et « Le premier lancer est supérieur au second » sont incompatibles car mutuellement exclusifs. 3 • L’événement B implique A si la réalisation de B entraîne nécessairement la réalisation de A, c’est-à-dire que tous les résultats de B font partie de A. Implication • Notée avec la flèche « => ». • Exemple : Nous pouvons voir avec les événements A « La somme des deux lancers est paire » et B « Les deux lancers sont pairs » que B implique A. MESURE DE PROBABILITE Probabilités • Fonction notée P attribuant à tout événement A de l’univers une valeur P(A). • P (A) : probabilité que A se réalise. • 0 ≤ P(A) ≤ 1 pour tout événement A Propriétés des • P(Ω) = 1 probabilités ✪ • P(Ø) = 0 • A ⊂ B => P(A) ≤ P(B) • P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) • Si A et B sont disjoints (ou indépendants), P(A U B) = P(A) + P(B) (ne pas confondre indépendants et incompatibles) • P(Ā) = 1 – P(A) • Soit Ω un univers fini, on peut alors l’écrire sous la forme Ω = {ω1, …, ωn}. • On note card(Ω) le nombre d’éléments de Ω. Equiprobabilité • Parfois, lorsque Ω est un univers fini, les probabilités de chaque événement élémentaire {ωi} (constitué d’un seul élément comme « tirer un 6 » -> {6}) sont toutes identiques ainsi : 1 o P(ωi) = 𝑐𝑎𝑟𝑑 (Ω) • La probabilité d’un événement A peut être calculée de la façon suivante : 𝑐𝑎𝑟𝑑 (A) o P(A) = 𝑐𝑎𝑟𝑑 (Ω) • Lancer d’un dé équilibré à 6 faces : o Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ▪ (card(Ω) = 6) o Les événements élémentaires sont équiprobables : 1 P(ω) = 6 pour tout ω Є {1, 2, 3, 4, 5, 6}. o Pour l’événement A « le lancer est impair » Exemples ▪ A = {1, 3, 5} 𝑐𝑎𝑟𝑑 (A) 3 ▪ P(A) = 𝑐𝑎𝑟𝑑 (Ω) = 6 = 0.5 o Attention ! Plusieurs P sont possibles pour un même univers ! • Lancer d’un dé non-équilibré : o Hypothèse d’équiprobabilité pas réaliste ⇒ même Ω mais PE ≠ PNE. 4 • Dé équilibré VS dé non équilibré : o Bien calculer les différentes probabilités en regardant de quoi on parle (un dé non-équilibré peut avoir une probabilité de tomber sur le 6 qui vaut 0,5). o Ex : calculer A = « Obtenir une valeur inférieure à 4 ou une valeur paire ». → Réunion de deux événements B et C avec : ▪ B « Obtenir une valeur inférieure à 4 » ▪ C « Obtenir une valeur paire » → P(A) = P(B U C) = P(B) + P(C) - P(B ∩ C) = P( {1,2,3}) + P({2,4,6}) - P( 2) 3 3 1 5 ▪ Pour un dé équilibré on a P(A) = 6 + 6 − 6 = 6 ▪ Pour un dé non équilibré on a P(A) = 0,3 + 0,7 - 0,1 = 0,9 III. Notion d’indépendance INDEPENDANCE ET INCOMPATIBILITE /!\ NE PAS LES CONFONDRE • Deux évènements A et B sont dit indépendants si lorsque l‘on reçoit l’information que B s’est produit, cela ne modifie pas la probabilité de A. • Des événements indépendants n’apportent pas d‘information l’un sur l’autre. Indépendance • Ex : Evénement A « Avoir la grippe » totalement indépendant de l’événement B « Boire du Coca-Cola ». A et B sont indépendants si : P(A ∩ B)= P(A) × P(B) • Soit 2 événements : o A « L’enfant à naître est une fille ». Incompatibilité o B « L’enfant à naître est un garçon ». • Événements incompatibles mais pas indépendants : o P(A ∩ B) = 0 et P(A) × P(B) = 0,5 × 0,5 = 0,25 → P(A ∩ B) ≠ P(A) × P(B) 5 IV. Probabilité conditionnelle PROBABILITE CONDITIONNELLE • Dans une certaine population, on étudie un événement A et sa probabilité P(A) de se réaliser. o Exemple : A = « Présence d’une bronchopneumopathie chronique obstructive (BPCO) » • Que devient P(A) si on se restreint à une sous-population présentant un signe S ? o Exemple de sous population : « Individus avec une toux chronique ». → On introduit un événement B conditionnant, qui définit la sous-population. ▪ Exemple : B = « Présenter une toux chronique » Principe → On s’intéresse alors à la probabilité de A sachant que l’événement B est réalisé = probabilité de A parmi les individus qui ont le signe S (événement B) → « Probabilité d’avoir une BPCO sachant que l’on a une toux chronique ». • Cette probabilité appelée probabilité conditionnelle de A sachant B se note : P(A|B) (considérez que le slash veut dire « sachant »). • Attention : Ne pas confondre : o Si B ≠ Ω alors P(A|B) ≠ P(A ∩ B) car ▪ P(A|B) : probabilité de A dans la sous population définie par B ▪ P(A ∩ B) : probabilité de A ∩ B au sein de la population entière o Si B = Ω la sous population est la population générale → mêmes probabilités • On prend l’expérience d’un lancer de dé équilibré o A = « Le résultat est 2 » o B = « Le lancé est pair » Exemple 𝑐𝑎𝑟𝑑 (A) 1 ▪ P(A|B) = 𝑐𝑎𝑟𝑑 (Ω) = 3 1 ▪ P(A ∩ B) = P({2}) = 6 → P(A|B) ≠ P(A ∩ B) P(A|B) = 𝐏(𝐀 ∩ 𝐁) 𝐏(𝐁) ✪ 6 V. Exercices EXERCICE • Considérons les évènements suivants : o Evènement A : « Avoir un cancer de l’œsophage ». o Evènement B : « Être fumeur et ne pas consommer d’alcool ». o Evènement C : « Consommer de l’alcool et ne pas fumer ». o Evènement D : « Être fumeur et consommer de l’alcool ». Énoncé • Vous avez à votre disposition les probabilités suivantes : o P(B) = 21% o P(C) = 10% o P(D) = 55% o P(AꓵB) = 0,42% o P(AꓵC) = 0,17% o P(AꓵD) = 6,5% • Calculez la probabilité d’avoir une tumeur de l’œsophage sachant : o Que l’on fume et que l’on ne boit pas. o Qu’on boit mais qu’on ne fume pas. o Qu’on boit et qu’on fume. • Probabilité d’avoir une tumeur de l’œsophage sachant que l’on fume et que l’on ne boit pas : ℙ(𝐴 ∩ 𝐵) 0,0042 = = 2,0% ℙ(𝐵) 0,21 • Probabilité d’avoir une tumeur de l’œsophage sachant que l’on boit mais qu’on ne fume pas : ℙ(𝑨|𝑩) = Correction ℙ(𝐴 ∩ 𝐶) 0,0017 = = 1,7% ℙ(𝐶) 0,1 • Probabilité d’avoir une tumeur de l’œsophage sachant que l’on fume et que l’on boit : ℙ(𝑨|𝑪) = ℙ(𝐴 ∩ 𝐷) 0,065 = = 11,8% ℙ(𝐷) 0,55 (Attention lors du calcul remettez les pourcentages en nombres décimaux) ℙ(𝑨|𝑫) = 7