Variables Aleatorias Discretas

Variable Aleatoria Discreta

• Una variable aleatoria representa un valor que depende del resultado de un evento aleatorio, por lo que no es fija, sino que cambia según el experimento.
• En una Variable Aleatoria Discreta, el resultado puede ser un número finito o infinito de valores específicos, con cada valor teniendo una probabilidad asociada.
• La suma de todas las probabilidades en una variable aleatoria discreta debe ser 1.
• La Distribución de Probabilidad es el conjunto de pares (X_1, P_i) en donde P_i es la probabilidad de que la variable discreta tome el valor X_1.
• El espacio muestral discreto es un conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio donde los resultados son contables y pueden tener un número finito o infinito de valores.
• Ejemplos: El número de personas en un automóvil en un estudio de tráfico, o el número de veces que aparece un número al lanzar un dado.
• La historia de las variables aleatorias discretas está relacionada con el desarrollo de la teoría de la probabilidad desde el siglo XVII, con formalizaciones más rigurosas en el siglo XX.
• Funciones de Distribución Discreta:
  • Distribución de Bernoulli: Modelo de una prueba con dos posibles resultados: éxito (probabilidad p) y fracaso (probabilidad 1-p).
  • Distribución Binomial: Describe el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes, donde cada uno tiene una probabilidad p de éxito.
  • Distribución de Poisson: Modela el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio fijo, con eventos independientes y a una tasa constante.
  • Distribución Uniforme Discreta: Todos los valores posibles tienen la misma probabilidad de ocurrir, típica en situaciones donde se elige aleatoriamente un valor de un conjunto finito.
• Propiedades:
  • Media (valor esperado): Es el promedio ponderado de los valores que puede tomar la variable aleatoria.
  • Varianza: Mide la dispersión de los valores alrededor de la media.
  • Percentiles: Indican los valores porcentuales que dividen la distribución.

Variable Aleatoria Continua

• Una Variable Aleatoria Continua puede tomar cualquier valor dentro de un rango, a diferencia de las discretas. Ejemplos son el tiempo o la altura.
• Las variables continuas no se pueden enumerar, y la probabilidad de que tome un valor exacto es 0.
• Se utiliza una Función de Densidad de Probabilidad (FDP) para describir cómo se distribuyen sus valores.
• La Función de Distribución Acumulada (FDA) representa la probabilidad acumulada de que una variable continua tome un valor menor o igual a un punto específico. Es una función no decreciente.
• Propiedades en común con las variables discretas:
  • Tanto las variables discretas como las continuas comparten la importancia de la media y la varianza para describir la distribución de los valores.
  • Las distribuciones deben sumar 1, asegurando que la variable tome algún valor dentro de su rango posible.
• Distribuciones continuas importantes:
  • Distribución Normal (Gaussiana): Tiene una forma de campana simétrica y es muy utilizada en fenómenos naturales como altura o peso.
  • Distribución Exponencial: Modela el tiempo entre eventos aleatorios e independientes, por ejemplo, el tiempo de espera entre clientes en una tienda.
  • Distribución Uniforme Continua: Todos los valores dentro de un intervalo tienen la misma probabilidad de ocurrir.
  • Distribución Gamma: Generaliza la exponencial para modelar el tiempo hasta que ocurran varios eventos independientes.
  • Distribución Beta: Se utiliza para modelar proporciones o probabilidades, ideal cuando los valores están acotados entre 0 y 1.
• Características:
  • Pueden tomar cualquier valor dentro de un rango dado.
  • Se define en términos de intervalos.
  • Su probabilidad de que tome un valor específico es cero.
  • Su función de distribución acumulada es continua.
  • Aplicaciones de las distribuciones continuas: Se usan en áreas como ingeniería, estadística, economía y biología para modelar fenómenos como tiempos de espera, alturas, pesos, etc.
• Historia de las Variables Aleatorias Continuas:
  • La historia del desarrollo de las variables aleatorias continuas es un proceso gradual, especialmente durante los siglos XVII y XVIII.
  • Matemáticos destacados como Fermat y Pascal sentaron las bases de la teoría de la probabilidad; De Moivre desarrollo la distribución normal.