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Options exotiques Nicole El Karoui,∗ Monique Jeanblanc† April 18, 2000 1 Introduction Les options exotiques sont des produits complexes, qui constituent un marché d’une réelle importance dep...

Options exotiques Nicole El Karoui,∗ Monique Jeanblanc† April 18, 2000 1 Introduction Les options exotiques sont des produits complexes, qui constituent un marché d’une réelle importance depuis les années 1990. Leur nom vise surtout à les différencier des options standards européennes ou américaines. Ce sont des options qui ne sont traitées que sur les marchés de gré à gré (Over the Counter) à la différence des options standards traitées dans les marchés organisés. Elles visent à répondre à des besoins spécifiques d’assurance des grands groupes financiers, des compagnies d’assurance, fonds de pension, etc... La notion d’exotisme est bien sûr toute relative, car au fur et à mesure qu’un produit financier devient très liquide il perd progressivement son caractère d’exotisme. L’intérêt pour les options exotiques provient de la réduction de l’investissement par rapport à l’option classique qu’elles offrent souvent. Les options barrières sont un exemple d’une telle réduction, puisque l’option pourra être exercée dans un nombre de configurations moindre que l’option classique, par exemple seulement si le sous- jacent est passé en dessous d’une barrière définie dans le contrat. Pour le vendeur de l’option, la principale difficulté sera de mettre en place une stratégie de couverture efficace, car le delta de telles options présente souvent des discontinuités, notamment au voisinage de la barrière. Nous nous intéressons particuliérement aux options barrières et aux options look- backs. De manière assez surprenante, il existe des formules fermées pour le prix de telles options, qui reposent sur un principe de symétrie bien connu des proba- bilistes. Elles ont été obtenues par Reiner pour les options barrières et par Conze et Visvanathan pour les lookbacks. Peter Carr est le premier à avoir montré comment ce principe, appliqué directement à un sous-jacent log-normal sans coût de portage permet de définir un prix et une couverture statique d’options barrière. Nous reprenons les mêmes idées, en montrant comment elles s’étendent à un sous- jacent log-normal quelconque. Les options barrières binaires nous servent de transi- ∗ CMAP, Ecole Polytechnique. 91128 Palaiseau Cedex, France † Université d’Evry-Val-d’Essonne, Boulevard F. Mitterrand, 91025 Evry Cedex, France. 1  2 tion pour l’obtention des formules fermées pour les barrières et les look-backs et de plus elles nous permettent de proposer des stratégies de couverture quasi-statiques. 2 Symétrie Call-Put, Delta de couverture 2.1 Formules de symétrie Call-Put La célèbre formule de Black et Scholes écrite sur un sous-jacent avec taux d’intérêt r et dividende q, de dynamique dXt = Xt [(r − q)dt + σdWt ] donne le prix à la date t d’un Call de prix d’exercice K de maturité T , lorsque le sous-jacent vaut x à la date t " à !# " à !# −q(T −t) xe−q(T −t) −r(T −t) xe−q(T −t) Call (t, x, K) = xe N d1 − Ke N d0 Ke−r(T −t) Ke−r(T −t) (2.1) et celui d’un Put " à !# " à !# −r(T −t) Ke−r(T −t) −q(T −t) Ke−r(T −t) Put (t, x, K) = Ke N d1 − xe N d0 xe−q(T −t) xe−q(T −t) (2.2) avec 1 1 √ d1 (α) = √ Ln(α) + σ T − t σ T −t 2 √ d0 (α) = d1 (α) − σ T − t. Comme d’habitude, N désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et (Wt , t ≥ 0) est un mouvement Brownien. Si σ est une fonction déterminis- te, il convient de modifier la définition de d1 et de d0 par 1 1 d1 (α) = Ln(α) + Σt,T Σt,T 2 d0 (α) = d1 (α) − Σt,T Z T avec Σ2t,T = σ 2 (s)ds. t Nous rappellons que le Call (resp. le Put) sont des fonctions homogènes λCall (t, x, K) = Call (t, λx, λK); λPut (t, x, K) = Put (t, λx, λK) , (2.3) et que les Delta qui sont la dérivée de l’option par rapport au sous jacent, sont  3 donnés par " à !# −q(T −t) xe−q(T −t) DeltaC(t, x, K) = e N d1 Ke−r(T −t) " à !# Ke−r(T −t) DeltaP(t, x, K) = −e−q(T −t) N d0 xe−q(T −t) et vérifient DeltaC (t, x, K) = DeltaC (t, λx, λK), DeltaP (t, x, K) = DeltaP (t, λx, λK). (2.4) Nous utiliserons souvent que d1 (α) = −d0 (1/α). Dans toutes les formules, nous notons le temps courant en première variable, la valeur du sous jacent en seconde variable, et la valeur du strike en troisième variable. Ainsi, Call (t, K, x) désigne le prix d’un call sur un sous jacent de valeur K, de strike x. Lorsque le temps considéré est 0, nous ne le faisons pas apparaı̂tre. Au moyen des formules explicites (2.1, 2.2), on obtient le résultat suivant Proposition 2.1 La formule de symétrie entre Call et Put s’écrit Call(t, Ke−µ(T −t) , x) = Put(t, xe−µ(T −t) , K) (2.5) où µ est le coût de portage µ = r − q. En utilisant l’homogéneité du prix du Call on obtient Call (t, x, K) = e−µ(T −t) Put(t, K, xe2µ(T −t) ) (2.6) Put (t, x, K) = e−µ(T −t) Call(t, K, xe2µ(T −t) ) (2.7) 2.1.1 Les options binaires et les Delta de couverture Parmi les options exotiques récemment mises sur le marché, les options binaires sont les plus simples. En théorie, elles ne présentent pas de difficultés d’évaluation, mais la couverture est délicate, car la fonction de couverture est discontinue au voisinage du prix d’exercice. Un Call binaire (BinC ) est une option qui paye 1FF si le sous-jacent est supérieur au strike, et 0 sinon. De même un Put binaire est une option qui paye 1FF si le sous-jacent est inférieur au strike, et 0 sinon. 1 Le Call binaire est donc la limite quand h → 0 du Call-spread [C(T, K)−C(T, K + h h)], c’est à dire l’opposé de la dérivée par rapport au strike d’un Call. De même, le Put binaire est la dérivée du Put par rapport au strike. Il est bien connu que le prix d’un Call binaire (resp. d’un put binaire) est " à !# −r(T −t) xeµ(T −t) BinC(t, x, K) = e N d0 (2.8) K · µ ¶¸ −r(T −t) K BinP (t, x, K) = e N d1 (2.9) xeµ(T −t)  4 En dérivant la formule de symétrie (2.6) par rapport à la variable K, on obtient les formules de symétris suivante et des stratégies de replication statique pour les Delta: Proposition 2.2 BinC(t, x, K) = −e−µ(T −t) DeltaP(t, K, xe2µ(T −t) ) (2.10) BinP(t, x, K) = e−µ(T −t) DeltaC(t, K, xe2µ(T −t) (2.11) Les Delta sont replicables au moyen de portefeuillles statiques 1 DeltaC (t, x, K) = [Call (t, x, K) + KBinC (t, x, K)] x (2.12) 1 DeltaP (t, x, K) = [Put (t, x, K) − KBinP (t, x, K)] x 3 Options barrières : caractéristiques générales Les options barrières sont un nom générique donné aux produits dérivés dont les payoffs dépendent du fait que le sous-jacent a atteint ou non un niveau donné (ou barrière) durant la durée de vie de l’option. Les plus courantes sont knock-out options : L’option expire automatiquement quand le sous-jacent touche une ou plusieurs barrières prédéterminées. knock-in options : L’option est activée si les barrières sont touchées. Par ailleurs, ces options barrières sont structurées comme des puts ou calls européens. Par exemple Un DOC (down-and-out Call) de strike K, de barrière H et maturité T est l’option d’acheter le sous-jacent au prix K au temps T si le sous-jacent ne descend jamais en-dessous de H. Un UOC (up-and-out Call) possède les mêmes caractéristiques, mais la barrière est montante. Un DIC (down-and-in Call) est activé si le sous-jacent passe au-dessous de la barrière. Un UIC (up-and-in Call) est activé si le sous-jacent passe au-dessus de la barrière. Les mêmes définitions s’appliquent aux puts et aux options binaires. Par exemple Un DIP est un (down-and-in Put).  5 Un BinDIC est un Call binaire, qui n’est activé que si le sous-jacent passe au-dessous de la barrière. Un DIB (down-and-in Bond) est un produit qui paye 1FF à l’échéance si la barrière a été touchée. Les options barrières sont spécialement utilisées sur le marché des changes. Elles constituent environ 10% de l’activité de ce domaine. Exemple : Une grande entreprise doit périodiquement convertir en marks ses revenus perçus en dollars. Etant donné la faiblesse du Dollar, l’entreprise craint une forte dépréciation de ses revenus en Marks, et cherche à acquérir un put (en dollars sur le mark) expi- rant dans 6 mois. Si le change mark-dollar est de 1,4225, la valeur d’un put de prix d’exercice 1,42 de maturité 6 mois est de $ 0,039. Si l’entreprise achète un DIP au niveau H = 1, 27 la valeur de l’option 0,011 est presque 4 fois moindre. Les options barrières peuvent être classées selon la valeur intrinsèque à la barrière : Une option barrière qui est en dehors de la monnaie lorsque la barrière est touchée, (par exemple, pour un DIC telle que K ≥ H la valeur intrinsèque (x − K)+ est nulle pour x = H) est appellée une regular option. Une option barrière qui est dans la monnaie lorsque la barrière est touchée, (par exemple, pour un DIC telle que K < H la valeur intrinsèque (x − K)+ est non nulle pour x = H) est appellée une reverse option. Certaines options barrières sont assorties d’une compensation, le rebate, sous forme de cash si l’option est out. Le prix du rebate est celui d’une option binaire à barrière. En particulier, le rebate est souvent choisi pour qu’il y ait continuité des payof à maturité à la barrière, soit si le payoff est f (ST ) en T , on choisit un rebate de f (H) à la barrière. Remarquons que par arbitrage, être long d’une option in et d’une option out est équivalent à détenir une option standard, dite encore vanilla. Il suffit donc d’étudier les options in. 4 Evaluation et couverture de l’option DIC regu- lar sur sous-jacent martingale Nous étudions le cas où l’option barrière est écrite sur un sous-jacent sans coût de portage. Elle est payée si le prix du sous-jacent est passé en dessous d’une certaine barrière H ≤ K.  6 La dynamique du sous-jacent est une martingale de volatilité déterministe, soit dMt = Mt σ(t)dWt. Dans toute cette section, la date t de négociation de l’option et celle de l’échéance T , ainsi que la volatilité de référence ne seront rappellées dans les prix d’options barrières ou d’options classiques qu’en cas d’ambiguité. La valeur du sous-jacent à la date t de négociation est notée x. Nous désignons par DICM (x, K, H) le prix de l’option DIC, par CallM (x, K) le prix du Call standard sur le sous-jacent Martingale. Comme le coût de portage est nul, la formule de symétrie (2.5) s’écrit CallM (t, x, K) = PutM (t, K, x). (4.1) 4.1 Evaluation de l’option DIC regular sans coût de portage Les résultats de ce paragraphe ont été essentiellement mis en évidence par Peter Carr. Comme l’option est une DIC regular (K ≥ H), la barrière est inférieure au strike par hypothèse. Proposition 4.1 Considérons une option DIC regular sur un sous-jacent sans coût de portage. a) Son prix est donné par (i) Pour x ≤ H, DICM (x, K, H) = CallM (x, K). (4.2) (ii) Pour x ≥ H, K H2 x DICM (x, K, H) = PutM (x, ) = CallM (H, K ). (4.3) H K H b) La replication statique est constituée, (i) pour x ≥ H, de K/H Puts de strike H 2 /K (ii) d’un Call pour x ≤ H. Démonstration :(i) Lorsque la valeur x du sous-jacent (à la date t) est inférieure à la barrière H, la contrainte est réalisée, l’option est donc une option vanilla classique, et la formule (4.2) en résulte. (ii) Lorsque la valeur du sous-jacent (à la date t) est supérieure à la barrière, il existe encore une formule explicite pour l’option DICM. Nous désignons par TH = inf{s ≥ t ; Xs ≤ H} (4.4) le premier instant après t où le sous-jacent passe en-dessous de la barrière.  7 Pour évaluer l’option à la date t, nous pouvons par arbitrage choisir d’évaluer l’option à la date TH pour TH < T puis donner un prix en t pour ce flux aléatoire payé en TH. A la barrière, le niveau du sous-jacent est connu, seule la maturité restante T − TH est aléatoire et l’option DIC M est équivalente à un CallM (TH , H, K, T ). Comme le sous-jacent est martingale, et la volatilité déterministe, la dynamique du sous-jacent initialisé au temps aléatoire TH et au point H, est, conditionnellement à l’observation du passé jusqu’en TH à distribution log-normale. La formule de symétrie (4.1) et l’homogénéité du prix du Put montrent que K H2 CallM (TH , H, K) = PutM (TH , H, ) H K H2 L’option qui à la barrière vaut PutM (TH , H, , T ) est un Down and In Put. Par K K H2 suite, l’option DICM (x, K, H) est équivalente à options DIPM (x, , H). H K H2 A l’échéance, le Put a de la valeur seulement si le sous-jacent est inférieur à , K quantité inférieure à H puisque H ≤ K. La barrière H a donc été atteinte durant la vie de l’option avec une probabilité 1; la barrière n’a donc plus d’influence sur le prix. H2 H2 L’option barrière DIPM (x, , H) est donc égale à l’option vanilla PutM (x, ) pour K K H ≤ K d’où le résultat. Il reste à utiliser une nouvelle fois la formule de symétrie pour conclure. 2 Proposition 4.2 Pour x ≥ H, l’option binaire BinDIC vérifie, x Kx BinDICM (x, K, H) = BinCM (H, ) (4.5) H H K Kx Ke−rT H2 DeltaDICM (x, K, H) = − BinCM (H, )=− N (d0 ( )). (4.6) H H H xK La BinDIC est replicable par un portefeuille dynamique de DeltaP x H2 BinDICM (x, K, H) = − DeltaP(x, ). (4.7) H K Le prix de l’option binaire DIB est donné par xe−rT H H DIBM (x, H) = N (d0 ( )) + N (d1 ( )). H x x Démonstration : La formule concernant les options binaires est obtenue par dérivation par rapport à K des premiers et troisièmes termes de la formule (4.3) en ∂ remarquant que BinDICM (x, K, H) = − DICM (x, K, H). Celle sur le Delta est ∂K obtenue en dérivant les premiers et deuxièmes termes de la formule (4.3) par rapport  8 à x. L’option binaire DIB vaut 1 si la barrière est touchée avant T , soit DIBM (x, H) = BinDICM (x, H, H) + BinPM (x, H) x = BinCM (H, x) + BinPM (x, H) H x H H = e−rT [ N (d0 ( )) + N (d1 ( ))]. H x x Notons que cette quantité est plus petite que 1. 2 On obtient de la même façon le prix d’un Put binaire : Proposition 4.3 Le prix d’un Up and In Put regular (H ≥ K) sur un sous jacent sans coût de portage est donné par (i) Pour x ≥ H, UIPM (x, K, H) = PutM (x, K), K H2 (ii) Pour x ≤ H, UIPM (x, K, H) = CallM (x, ). H K 4.2 Couverture de l’option DIC regular K L’option DIC regular est réplicable statiquement par Puts tant que le sous-jacent H est au dessus de la barrière et par un Call standard ensuite. A la barrière, la symétrie Call-Put garantit qu’il n’y a pas de discontinuité du prix. Il n’en est pas de même du delta de couverture qui admet une limite à droite donnée d’après (4.6) par Ke−rT H ∆+ DICM (H, K, H) = − N (d0 ( )) H K alors que, d’après (4.2) la limite à gauche est donnée par H ∆− DICM (H, K, H) = DeltaCM (H, K) = N (d1 ( )) K Par suite, le delta de couverture n’est pas continu à la barrière, et admet un saut négatif, égal à la probabilité pour qu’un sous jacent issu de K franchisse la barrière avant T e−rT H H [∆+ − ∆− ]DICM (H, K, H) = − [KN (d0 ( )) + HN (d1 ( ))] H K K M = −DIB (K, H). (4.8) Le saut est donc toujours plus petit que 1 en valeur absolue. 4.3 Version mathématisée des résultats précédents Nous considérons un sous-jacent martingale (Mt , t ≥ 0), c’st-à-dire sans coût de portage, de volatilité déterministe σ = (σ(t), t ≥ 0) sous la probabilité risque-neutre Q, soit dMt = Mt σ(t)dWt , M0 = x. (4.9)  9 Remarquons que si M1 et M2 vérifient (4.9) avec x2 M1 (0) = x1 , M2 (0) = x2 M2 (t) = M1 (t). (4.10) x1 Comme d’habitude, le prix d’une option d’achat (de vente) et celui d’une option binaire sont donnés par CallM (x, K, T ) = e−rT EQ [(MT − K)+ ] PutM (x, K, T ) = e−rT EQ [(MT − K)− ] BinCM (x, K, T ) = e−rT Q[MT ≥ K] BinPM (x, K, T ) = e−rT Q[MT ≤ K]. Les options barrières ont des pay-offs de la même forme, lorsque le sous-jacent est passé au-dessous d’une certaine frontière. Introduisons le premier temps de passage en dessous de la frontière et les événements qui traduisent que la frontière a été franchie, TH = inf{t; Mt ≤ H} inf(∅) = +∞ {TH ≤ T } = { inf Mt ≤ H}. 0≤t≤T Les prix à l’émission des options barrières et des options binaires associées sont liés flux terminaux par les relations erT DICM (x, K, H) = EQ [1{TH ≤T } (MT − K)+ ] erT BinDICM (x, K, H) = Q[{TH ≤ T } ∩ {MT ≥ K}] = Q[{ inf Mt ≤ H} ∩ {MT ≥ K}]. 0≤t≤T 4.3.1 Loi jointe du minimum et du sous jacent d’un Brownien géomé- trique martingale Les formules précédentes donnent la loi jointe du couple (inf 0≤t≤T Mt , MT ) et donc la loi du minimum. Proposition 4.4 Soit (Mt , t ≥ 0) un sous-jacent martingale log normal sous la probabilité Q dMt = Mt σ(t)dWt , M0 = x de condition initiale x avec x ≥ H. Pour tout K ≥ H, la loi du couple (inf t≤T Mt , MT ) est donnée par " à !# x Kx2 x H2 Q(inf Mt ≤ H, MT ≥ K) = Q(MT ≥ ) = N d0 ) t≤T H H2 H Kx et celle du minimum inf t≤T Xt est x H H Q(inf Mt ≤ H) = N (d0 ( )) + N (d1 ( )) t≤T H x x  10 Si nous écrivons barrière et strike en pourcentage de la valeur initiale, nous obtenons que 1 k Q(inf Mt ≤ h, MT ≥ k|M0 = 1) = Q(MT ≥ 2 |M0 = 1) t≤T H h Cette formule est l’analogue pour les martingales exponentielles du principe de symétrie obtenu pour le mouvement Brownien. En passant au logarithme, quand σ est constant, on peut d’ailleurs retrouver la formule pour le Brownien avec drift : P (WT − νT ≥ α, inf (Wt − νt) ≤ β) = e−2νβ P (WT − νT ≥ α − 2β) 0≤t≤T. L’étude des prix à la date t permet de calculer les distributions conditionnelles du minimum et du sous jacent. Pour ce faire, nous avons besoin de distinguer la valeur courante du sous-jacent, soit Mt = y, du minimum réalisé sur la période (0, t), soit m = inf s≤t Ms (avec m ≤ y). Ceci nous permet de distinguer le cas où l’option a été activée (m ≤ H) du cas où elle ne l’a pas été (m > H). Dans ce dernier cas, l’événement inf 0≤u≤T Mu ≤ H est identique à l’événement inf t≤u≤T Mu ≤ H. De même, l’égalité sur les options binaires Mt KMt BinDICM (t, Mt , K, H) = BinCM (H, ) H H se traduit en utilisant (4.10) par les égalités suivantes, valables sur sur {TH ≥ t}, Q({TH ≤ T } ∩ {MT ≥ K}|Ft ] = Q[{ inf Mu ≤ H} ∩ {MT ≥ K}|Ft ] t≤u≤T Mt H KMt Mt H2 = Q[MT ≥ |Ft ] = N (d0 ( )) (4.11) H Mt H H KMt L’égalité (4.11) nous donne la fonction de répartition conditionnelle de la loi du couple (inf 0≤t≤T Mt , MT ), sur {TH ≥ t}, comme une fonction dérivable. Pour simplifier les écritures des densités, nous noterons x = Mt et m = inf 0 H et K ≥ H. H H Pour x < H, BinDICX (x, K, H) = BinCX (x, K). En utilisant ces égalités pour k ∈ [0, xK] et K ≥ 1, on obtient XT + MinC X (x, K) = CallX (x, xK) + xKE[(ln ) ] xK soit, en notant CallLnX (x, K) le prix d’un call de payoff (Ln(MT ) − LnK)+ MinCX (x, K) = CallX (x, xK) + xKCallLnX (x, xK)  17 Si le sous-jacent est lognormal, comme dans (5.1), on obtient en utilisant le coefficient γ tel que S = xM 1/γ Z xK Z xK µ ¶γ X k xK k BinDIC (x, k, )dk = BinCX ( , xK)dk 0 K 0 k K 1/γ De l’indentité BinC(x, K) = e−rT Q(xMT > K), on déduit ÃZ ! Z xK k xK µ xK ¶γ X −rT BinDIC (x, k, )dk = e E 1k>xKX −1 dk 0 K 0 k T µZ ∞ ¶ = e−rT (xK)γ E k −γ 1xK>k>xK 2 X −1 dk 0 T γ (xK) = e−rT E[((xK)1−γ − (xK 2 XT−1 )1−γ )+ ] 1−γ xK K 1−γ + = e−rT E[(1 − ( ) ) ]. 1−γ XT 2µ En utilisant la formule d’Itô et 1 − γ = σ2 2µ d(Xtγ−1 ) = Xtγ−1 [µdt − dWt ] σ on obtient Kσ 2 2µ MinCX (x, K) = x[CallX (1, K; µ, σ) + PutX (K 1−γ , 1; µ, )] 2µ σ où PutX (x, K, µ, σ) désigne un put sur un sous jacent de cout de portage µ et de volatiité σ. Le prix à la date t est MinX (t, x, K) = MinX (Xt , Kmt ) où mt = mins≤t Xs. References Carr, P. and Ellis, K. and Gupta, V. Static hedging of path dependent options. Journal of Finance, 53: 1165-1190, 1998. Conze, A. and Viswanathan, R. Path dependent options: the case of lookback Options, Journal of Finance, 46: 1893-1907, 1991. Grabbe, J.O. The pricing of call and put options on foreign exchange J. Internat. Money Finance, 2: 239-253, 1983. Reiner, E. Breaking down the barriers. Risk, 9:28-35, 1991.