Formule de Symétrie Call-Put

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Questions and Answers

Que représente la fonction d1 dans le cadre des options financières ?

Une moyenne des volatilités du sous-jacent
Le prix d'un put de maturité T
Une transformation logarithmique du sous-jacent
Une fonction déterministe modifiée par la volatilité (correct)

Quelle est la relation entre les DeltaC et DeltaP pour des options homogènes ?

DeltaC(t, x, K) = DeltaC(t, λx, λK) (correct)
DeltaC(t, λx, λK) = DeltaP(t, λx, λK)
DeltaC(t, x, K) = -DeltaP(t, x, K)
DeltaC(t, x, K) = DeltaP(t, x, K)

Quelle est la formule correcte pour le coût de portage µ ?

µ = q - r
µ = r - q (correct)
µ = r * q
µ = r + q

Que signifie la formule de symétrie entre Call et Put ?

Les deux options ont les mêmes paramètres selon une transformation des variables (B) Signup and view all the answers

Pourquoi la transformation d1(α) = -d0(1/α) est-elle importante ?

Elle établit un lien entre le put et le call dans le contexte des options (C) Signup and view all the answers

Quel rôle joue la somme Σ2t,T dans la définition de d0 ?

Elle intègre la volatilité à travers le temps (C) Signup and view all the answers

Quelle propriété caractérise les fonctions Call et Put selon leur définition d'homogénéité ?

Elles varient proportionnellement avec les actifs sous-jacents (D) Signup and view all the answers

Qu'indique la notation Call(t, K, x) par rapport aux autres notations ?

K est le prix d'exercice et x le prix du sous-jacent (D) Signup and view all the answers

Dans la définition de d1 et d0, que représente la notation Ln(α) ?

Le logarithme népérien du prix attendu (A) Signup and view all the answers

Comment les options Call et Put interagissent-elles en termes de fonctions homogènes ?

Elles conservent leurs propriétés sous des changements proportionnels (C) Signup and view all the answers

Quel est le prix d'une option d'achat selon la formule donnée ?

$e^{-rT} E_Q [(M_T - K)^+]$ (D) Signup and view all the answers

Quelle condition indique que la barrière a été franchie selon les définitions données ?

${inf M_t ext{ pour } 0 ext{ jusqu'à } T} ext{ est inférieur ou égal à } H$ (C) Signup and view all the answers

Quelle relation relie le prix à l'émission des options barrière et les flux terminaux ?

$e^{-rT} DIC_M(x, K, H) = E_Q [1_{TH ext{ franchi}} (M_T - K)^+]$ (B) Signup and view all the answers

Quelle est la formule pour le prix d'une option binaire call ?

$e^{-rT} Q[M_T ext{ supérieur ou égal à } K]$ (A) Signup and view all the answers

Quel type de martingale est considéré dans la loi jointe du minimum et du sous-jacent ?

Martingale log-normale (B) Signup and view all the answers

Quelle est la condition initiale pour le processus martingale dans la formulation donnée ?

$M_0 = x$ avec $x ext{ supérieur ou égal à } H$ (D) Signup and view all the answers

Quelle est la forme générale de la dynamique du sous-jacent dans la formule de Black-Scholes ?

$dXt = Xt [(r - q)dt + au dWt ]$ (A) Signup and view all the answers

Quel terme de la formule de prix d'un Call dépend négativement de la composante de taux d'intérêt ?

$Ke^{-r(T - t)}$ (D) Signup and view all the answers

Quel est le rôle de la fonction $N$ dans les formules de Black-Scholes ?

Elle représente la fonction de répartition de la loi normale. (C) Signup and view all the answers

Quelle est l'expression correcte pour $d_1(α)$ dans les formules de Black-Scholes ?

$d_1(α) = rac{1}{ au} ext{Ln}(α) + rac{rac{1}{2} eta^2}{ au^2}$ (B) Signup and view all the answers

Quelle est la signification du terme $σ$ dans les formules de Black-Scholes ?

Il indique la volatilité du sous-jacent. (A) Signup and view all the answers

Quel terme de la formule de prix d'un Put inclut la composante de dividende ?

$xe^{-q(T - t)} N(d_0)$ (B) Signup and view all the answers

Quelle variable influence directement le prix d'exercice $K$ dans les formules de Black-Scholes ?

Le taux d'intérêt $r$ (A) Signup and view all the answers

Quel est le résultat de $d_0(α)$ selon les formules de Black-Scholes ?

$d_0(α) = d_1(α) - σ(T - t)$ (D) Signup and view all the answers

Quelle est la condition de symétrie entre Call et Put dans le cadre de la formule de Black-Scholes ?

Le prix d'exercice doit rester constant. (B) Signup and view all the answers

Quelle est la condition pour qu'une option soit considérée comme une option vanilla classique ?

Lorsque la valeur du sous-jacent est inférieure à H. (B) Signup and view all the answers

Que désigne le terme TH dans le contexte des options mentionnées ?

Le premier instant après t où le sous-jacent passe en-dessous de H. (B) Signup and view all the answers

Quelle formule explicite est utilisée lorsque le sous-jacent est supérieur à la barrière ?

Une autre formule explicite pour l’option DICM. (B) Signup and view all the answers

Quel type d'option est équivalent à l'option DICM à la barrière ?

Un Call en relation avec l'instant TH. (D) Signup and view all the answers

Comment le sous-jacent est-il décrit à un temps aléatoire TH ?

Il suit une distribution log-normale. (C) Signup and view all the answers

Quand est-ce que le Put a de la valeur à l’échéance ?

Lorsque le sous-jacent est inférieur à K. (A) Signup and view all the answers

Quelle est la relation entre la barrière H et K pour déterminer la valeur du Put ?

H doit être inférieur ou égal à K. (D) Signup and view all the answers

Quel aspect de l'option DICM est influencé par la volatilité du sous-jacent ?

La probabilité d'atteindre la barrière. (D) Signup and view all the answers

En ce qui concerne l'option Down and In Put, quelle condition doit être remplie pour qu'elle ait de la valeur ?

Le sous-jacent doit être en-dessous de K à l'échéance. (C) Signup and view all the answers

Quel est le prix d'un Up and In Put regular lorsque x est supérieur ou égal à H ?

UIPM(x, K, H) (B) Signup and view all the answers

Quel est l'impact d'un saut négatif sur le delta de couverture DICM à la barrière ?

Il est égal à la probabilité qu'un sous-jacent franchisse la barrière avant T. (B) Signup and view all the answers

Quelle est la limite à droite du delta de couverture DICM à la barrière ?

−Ke^−rT × (H/K) (D) Signup and view all the answers

Dans le cadre d'une martingale, quel est le modèle de la dynamique de M ?

dMt = Mt σ(t) dWt (C) Signup and view all the answers

Quelle est la continuité à gauche du delta de couverture DICM à la barrière ?

N(d0(H, K)) (C) Signup and view all the answers

Quelle condition est nécessaire pour répliquer l’option DIC regular ?

Le sous-jacent doit être supérieur à H. (C) Signup and view all the answers

Quelle valeur absolue peut prendre le saut du delta de couverture ?

Il est toujours plus petit que 1. (B) Signup and view all the answers

Que se passe-t-il avec le delta de couverture à la barrière ?

Il devient négatif. (A) Signup and view all the answers

Quel est le comportement de l'Up and In Put lorsque le sous-jacent est sous la barrière ?

Son prix devient identique à celui d'un Put standard. (A) Signup and view all the answers

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Study Notes

### Formule de Symétrie Call-Put

La célèbre formule de Black et Scholes écrite sur un sous-jacent avec taux d'intérêt r et dividende q, donne le prix à la date t d'un Call de prix d'exercice K de maturité T, lorsque le sous-jacent vaut x à la date t.
Le prix d'un Put peut être calculé de manière similaire.
Les formules incluent la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et le mouvement brownien.
Le Call (resp. le Put) sont des fonctions homogènes.
Les Deltas, qui sont la dérivée de l'option par rapport au sous jacent, sont donnés pour les Calls et les Puts.

### Options Digitales Inconditionnelles

Si le sous-jacent est inférieur à la barrière, l'option devient une option vanille classique.
La formule de symétrie entre Call et Put s'écrit : Call(t, Ke−µ(T −t) , x) = Put(t, xe−µ(T −t) , K) où µ est le coût de portage µ = r − q.
L'option DICM (x, K, H) est équivalente à K/H options DIPM (x, H2/K, H).
La barrière n'a plus d'influence sur le prix à l'échéance.

### Couverture de l'option DIC regular

L'option DIC regular est répliquable statiquement par K/H Puts tant que le sous-jacent est au dessus de la barrière et par un Call standard ensuite.
Le delta de couverture n'est pas continu à la barrière, et admet un saut négatif, égal à la probabilité pour qu'un sous jacent issu de K franchisse la barrière avant T.

### Version mathématisée des résultats précédents

Le prix d'une option d'achat (de vente) et celui d'une option binaire sont donnés par des fonctions de l'espérance sous la probabilité risque-neutre Q.
Les options barrières ont des pay-offs de la même forme, lorsque le sous-jacent est passé au-dessous d'une certaine frontière.
Le prix à l'émission des options barrières et des options binaires associées sont liés par des relations utilisant les flux terminaux.
Les formules donnent la loi jointe du couple (inf0≤t≤T Mt , MT) et donc la loi du minimum.

### Loi jointe du minimum et du sous jacent d'un Brownien géométrique martingale

La probabilité pour qu'un sous-jacent issu de x atteigne la barrière H en T vaut : 1 - N(d1(x/H)).
La probabilité pour qu'un sous-jacent issu de x atteigne un niveau K inférieur à H en T vaut : 1 - N(d1(K/H)).
La probabilité pour qu'un sous-jacent issu de x passe au-dessus de la barrière H avant T est N(d0(x/H)).
La probabilité pour qu'un sous-jacent issu de H atteigne un niveau K inférieur à H en T est N(d0(K/H)).
L'espérance sous Q du temps de première atteinte de H pour un processus issu de x est : (x/H - 1)/σ^2.
L'espérance sous Q du temps de première atteinte de H pour un processus issu de x est : (x/H - 1)/σ^2.

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