دليل المعلم رياضيات 3ث بكالوريا الجزء الأول ـ موقع الفريد ي الفيزياء pdf.pdf

‫ﺗﺬﻛﺮة ابﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺎت‬ ‫ا ٕﻻﺛﺒﺎت ابﻟﺘﺪرﱕ‬ ‫‬ ‫‬ ‫    ‬ ‫‪1‬‬  ‫ﻧﻘﺎط ّ‬ ‫اﻟﺘﻌﲅ ا ٔﻻﺳﺎﺳـﻴﺔ ﰲ ﻫﺬﻩ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫‪ -‬اﻟﺘﺬﻛﺮة ﲞﻮاص اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺎت اﳊﺴﺎﺑﻴﺔ واﳍﻨ...

‫ﺗﺬﻛﺮة ابﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺎت‬ ‫ا ٕﻻﺛﺒﺎت ابﻟﺘﺪرﱕ‬ ‫‬ ‫‬ ‫    ‬ ‫‪1‬‬  ‫ﻧﻘﺎط ّ‬ ‫اﻟﺘﻌﲅ ا ٔﻻﺳﺎﺳـﻴﺔ ﰲ ﻫﺬﻩ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫‪ -‬اﻟﺘﺬﻛﺮة ﲞﻮاص اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺎت اﳊﺴﺎﺑﻴﺔ واﳍﻨﺪﺳﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬اﻟﺘﺬﻛﺮة ﺑﻄﺮاﺋﻖ دراﺳﺔ اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺎت اﳌﻄّﺮدة‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺗﻌﻠّﻢ ﺻﻴﺎﻏﺔ اﻟﱪﻫﺎن ﺑﺎﻟﺘﺪرﻳﺞ‪ّ ،‬‬ ‫وﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻋﻠﻰ ذﻟﻚ‪.‬‬ ‫‪2‬‬  ‫ب ﺻﻔﺤﺔ ‪18‬‬ ‫ﺗَﺪ ‪‬ر ْ‬ ‫‪n‬‬ ‫أن اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ (un )n ≥0‬ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ و ِﺠ ْد أﺴﺎﺴﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫
ﻝﻴﻜن ‪ un = n +1‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ‪. n ∈ ℕ‬أﺜﺒت ‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪ a‬وأﺴﺎﺴﻬﺎ‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ ﺤدﻫﺎ اﻷول‬ ‫= ‪ a‬و = ‪ q‬ﻓﻬﻲ‬ ‫ﻻﺤظ أن ‪ un = aq n‬ﺤﻴث‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪.q‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ اﻷﺴﺌﻠﺔ اﻵﺘﻴﺔ ﺘﺘﻌﻠّق ﺒﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎت ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ أو ﻫﻨدﺴﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ (un )n ≥0‬ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻓﻴﻬﺎ ‪ u 2 = 41‬و ‪. u5 = −13‬اﺤﺴب ‪u20‬‬ ‫‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻤن اﻝﻌﻼﻗﺔ ‪ u5 − u2 = (5 − 2)r‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أن أﺴﺎس ﻫذﻩ اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ اﻝﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻴﺴﺎوي‬ ‫‪u 5 − u2‬‬ ‫= ‪،r‬‬ ‫‪= −18‬‬ ‫‪3‬‬ ‫وﻋﻠﻴﻪ ﻴﻜون ‪. u20 = u2 + r (20 − 2) = 41 − 324 = −283‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪. u10‬اﺤﺴب ‪. u 30‬‬ ‫= ‪ u7‬و‬ ‫‪ (un )n ≥0‬ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ ﻓﻴﻬﺎ‬ ‫‬ ‫‪2197‬‬ ‫‪1080‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪25‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫أي‬ ‫=‬ ‫أن ‪ u10 = u7 ⋅q 10−7‬وﻤﻨﻪ ‪q‬‬ ‫‪ um = u pq‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ّ‬ ‫‪m −p‬‬ ‫ﻤن اﻝﻌﻼﻗﺔ‬ ‫‪2197 1080‬‬ ‫‪53 × 63‬‬ ‫= ‪q3‬‬ ‫‪133‬‬ ‫‪ 30 30−10‬‬ ‫‪25  30 ‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪. u30 = u10 ⋅  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫= ‪ q‬إذن ‪⋅  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫وﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪ 13 ‬‬ ‫‪2197  13 ‬‬ ‫‪13‬‬ ‫ ‪ (un )n ≥0‬ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ أﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ 3‬وﻓﻴﻬﺎ ‪. u1 = −2‬اﺤﺴب ‪ un‬ﺒدﻻﻝﺔ ‪ ، n‬واﺴﺘﻨﺘﺞ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫اﻝﻤﺠﻤوﻋﻴن ‪ u 30 + u 31 + u 32‬و ‪. u1 + u2 + ⋯ + u20‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫أن ‪ ، u31 = 88‬وﻤﻨﻪ ‪. u 30 + u 31 + u 32 = 3u 31 = 264‬‬ ‫ﻤن اﻝﻌﻼﻗﺔ )‪ un − u1 = 3(n − 1‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ّ‬ ‫‪u1 + u20‬‬ ‫× ‪u1 + u2 + ⋯ + u20 = 20‬‬ ‫‪= 10 × ( −2 + 55 ) = 530‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‪ (un )n ≥0‬ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ أﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ 3‬وﻓﻴﻬﺎ ‪. u1 = −2‬اﺤﺴب ‪ un‬ﺒدﻻﻝﺔ ‪ ، n‬واﺴﺘﻨﺘﺞ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫اﻝﻤﺠﻤوﻋﻴن ‪ u1 + u2 + ⋯ + u7‬و ‪. u2 + u4 + u6 ⋯ + u2n‬‬ ‫‪3‬‬  ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪u1 + u2 + ⋯ + u7 = 1 − 37 = −2186‬‬ ‫أن ‪ (vn )n ≥0‬ﺤﻴث ‪ vn = u2n‬ﻫﻨدﺴﻴﺔ أﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ 9‬ﻨﺠد‬ ‫وﺒﻤﻼﺤظﺔ ّ‬ ‫‪1 − 9n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪u2 + u 4 + u6 ⋯ + u2n = u2‬‬ ‫) ‪= − ( 9n − 1‬‬ ‫‪1−9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ ‪ (un )n ≥0‬ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ أﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ −2‬وﻓﻴﻬﺎ ‪. u 0 = −3‬اﺤﺴب ‪. u25 + u26 + ⋯ + u125‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪u25 + u125‬‬ ‫× )‪u25 + u26 + ⋯ + u125 = (125 − 24‬‬ ‫‪= −15453‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‪ (un )n ≥0‬ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ أﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ 2‬وﻓﻴﻬﺎ ‪. u 0 = 1‬اﺤﺴب ‪. u 3 + u 4 + ⋯ + u10‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪1 − 28‬‬ ‫‪u 3 + u 4 + ⋯ + u10 = u 3‬‬ ‫‪= 2040‬‬ ‫‪1−2‬‬ ‫اﺤﺴب اﻝﻤﺠﻤوع ‪. S = 21 + 1 + 23 + 2 + 25 + 3 + ⋯ + 10‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪20 × 21‬‬ ‫= ‪ 2S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ + 20‬إذن ‪. S = 105‬‬ ‫أن‬ ‫ﻨﻼﺤظ ّ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬ﺜﻼﺜﺔ ﺤدود ﻤﺘواﻝﻴﺔ ﻤن ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ‪.‬اﺤﺴﺒﻬﺎ ﻋﻠﻤﺎً أن‬ ‫‪abc = 343‬‬ ‫‪ a + b + c = 36.75‬و‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪c‬‬ ‫= ‪a‬‬ ‫اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ إذن ‪ ac = b 2‬وﻤﻨﻪ ‪ b 3 = 343 = 7 3‬إذن ‪ ، b = 7‬ﻓﺈذا ﻜﺎن = ‪ q‬ﻜﺎن‬ ‫‪q‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪1 17‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪119‬‬ ‫= ‪ 7 q +  = 36 − 7‬أو ‪. q + = = 4‬ﻫذﻩ ﺘؤول إﻝﻰ ﻤﻌﺎدﻝﺔ‬ ‫و ‪ ، c = 7q‬وﻤن ﺜّم‬ ‫‪q‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻤن اﻝدرﺠﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ ‪. (q − 4)(4q − 1) = 0‬وﻤﻨﻪ اﻝﺤﻼن‬ ‫‪‬‬ ‫‪7 ‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. (a, b, c) =  27, 7,‬‬ ‫‪ (a, b, c) =  , 7,28 ‬أو ‪‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪vn‬‬ ‫= ‪. vn +1‬‬ ‫‪ ( vn )n ≥0‬ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻤﻌرﻓﺔ ﺘدرﻴﺠﻴﺎً وﻓق ‪ v 0 = 1‬و‬ ‫‪1 + vn‬‬ ‫ ﺘﺤﻘق ‪‬‬ ‫أن ‪ vn > 0‬أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪ un‬ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫ أﺜﺒت ‪‬‬ ‫أن اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ ( un )n ≥0‬اﻝﻤﻌرﻓﺔ ﺒﺎﻝﻌﻼﻗﺔ‬ ‫‪vn‬‬ ‫ اﺴﺘﻨﺘﺞ ﻋﺒﺎرة ‪ vn‬ﺒدﻻﻝﺔ ‪. n‬‬ ‫‪4‬‬  ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫اﻝﺨﺎﺼﺔ ‪. vn > 0‬ﻝﻤﺎ ﻜﺎن ‪ v0 = 1 > 0‬اﺴﺘﻨﺘﺠﻨﺎ أن )‪ E (0‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪ٕ.‬واذا اﻓﺘرﻀﻨﺎ‬‫ّ‬ ‫ ﻝﺘﻜن ) ‪E (n‬‬ ‫ﺜم ‪. vn + 1 > 1 > 0‬إذن ‪ vn +1 > 0‬ﺒﺼﻔﺘﻪ ﻨﺎﺘﺞ ﻤن‬ ‫أن ) ‪ E (n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻜﺎن ‪ vn > 0‬وﻜﺎن ﻤن ّ‬ ‫ّ‬ ‫أن ‪ vn > 0‬أﻴﺎً ﻜﺎن ‪. n‬‬ ‫ﻗﺴﻤﺔ ﻋددﻴن ﻤوﺠﺒﻴن ﺘﻤﺎﻤﺎً‪.‬إذن )‪ E (n + 1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬ﻓﻨﻜون ﻗد أﺜﺒﺘﻨﺎ ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ ّ‬ ‫‪1 + vn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪. un +1 − un‬ﻓﺎﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ (un )n ≥0‬ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺤدﻫﺎ اﻷول‬ ‫‪−‬‬ ‫أن ‪= 1‬‬ ‫ ﻨﻼﺤظ ّ‬ ‫‪vn‬‬ ‫‪vn‬‬ ‫‪ u0 = 1‬وأﺴﺎﺴﻬﺎ ‪. 1‬إذن ‪. un = n + 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪ vn‬أﻴﺎً ﻜﺎﻨت ‪. n‬‬ ‫ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﺒﺎﺸرة أن‬ ‫ّ ‪n +1‬‬ ‫=‬ ‫‪un‬‬ ‫ادرس ﺠﻬﺔ اطراد ‪‬‬ ‫ﻜل ﻤن اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎت اﻵﺘﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪2n − 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪un‬‬ ‫‬ ‫= ‪un‬‬ ‫‪3n + 1‬‬ ‫= ‪ un‬‬ ‫‬ ‫‪n +4‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3n + 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪un‬‬ ‫‬ ‫= ‪un‬‬ ‫= ‪ un‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n −2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪n +1‬‬ ‫‪ u0 = 1,‬‬ ‫‪ u0 = 1,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ u0 = 2,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ un +1 = 2un‬‬ ‫‪ u‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬‫‪1‬‬ ‫‪= un‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪ n +1‬‬ ‫‪= un − 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫أن‬ ‫ ﻋﻨدﻤﺎ ﻴﻜﺒر ﻤﻘﺎم ﻜﺴر ﻴﺼﻐر‪.‬وﻷن ‪ (n + 1) > n‬أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬اﺴﺘﻨﺘﺠﻨﺎ ّ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ un +1 < un‬ﻓﻲ ﻫذﻩ اﻝﺤﺎﻝﺔ‪ ،‬وﻤن ﺜّّم ‪ (un )n ≥1‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‪.‬‬ ‫‪(n + 1)2 − n 2‬‬ ‫)‪3(2n + 1‬‬ ‫‪ un − un +1 = 3‬ﻝﻨﺠدﻩ ﻤوﺠﺒﺎً ﻓﻨﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫وﻴﻤﻜن أﻴﻀﺎً أن ﻨﺤﺴب اﻝﻔرق‬ ‫)‪n (n + 1‬‬ ‫‪n 2 (n + 1)2‬‬ ‫أن ‪ (un )n ≥1‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﺠدداً ّ‬ ‫‪un +1‬‬ ‫‪ n 2‬‬ ‫أن‬ ‫ﻝﻨﺠدﻫﺎ أﺼﻐر ﻤن ‪ 1‬ﻓﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤرة ﺜﺎﻨﻴﺔ ّ‬ ‫‪= ‬‬ ‫وﻴﻤﻜن أﻴﻀﺎً أن ﻨﺤﺴب اﻝﻨﺴﺒﺔ ‪‬‬ ‫‪ n + 1 ‬‬ ‫‪un‬‬ ‫‪ (un )n ≥1‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫اﻴد‪ ،‬ﻓﺈذا ﻜﺎن ‪ n‬ﻋدداً طﺒﻴﻌﻴﺎً ﻜﺎن ‪ 3(n + 1) + 1 > 3n + 1‬وﻤن ﺜَّم‬ ‫
ﺘﺎﺒﻊ اﻝﺠذر اﻝﺘرﺒﻴﻌﻲ ﻤﺘز ٌ‬ ‫= ‪un +1‬‬ ‫> ‪3(n + 1) + 1‬‬ ‫‪3n + 1 = un‬‬ ‫ﻓﺎﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ (un )n ≥1‬ﻤﺘزاﻴدة‪.‬وﻫﻨﺎ أﻴﻀﺎً ﻴﻤﻜن أن ﻨﺤﺴب اﻝﻔرق أو اﻝﻨﺴﺒﺔ ﻝﻨﺼل إﻝﻰ اﻝﻨﺘﻴﺠﺔ‪.‬‬ ‫أن‬ ‫ ﻨﻼﺤظ ﻫﻨﺎ ّ‬ ‫‪2n + 1 2n − 1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫= ‪un +1 − un‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪>0‬‬ ‫‪n +5‬‬ ‫‪n+4‬‬ ‫)‪(n + 4)(n + 5‬‬ ‫ﻓﺎﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ (un )n ≥1‬ﻤﺘزاﻴدة‪.‬‬ ‫‪5‬‬  ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪، un +1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ 2‬ﻝدﻴﻨﺎ ‪< 0‬‬ ‫)‪(n − 1)(n − 2‬‬ ‫‪3n + 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪ ، un +2‬وﻋﻨدﻤﺎ ﻴﻜﺒر اﻝﻤﻘﺎم ﻴﺼﻐر اﻝﻜﺴر إذن ‪ un +3 < un +2‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ‬ ‫‪= 3+‬‬ ‫أن ﻨﻜﺘب‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ ، n ≥ 1‬واﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‪.‬‬ ‫‪n +1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪−9n + 1‬‬ ‫‪(un )n ≥1‬‬ ‫= ‪ un +1 − un‬ﻓﺎﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ‬ ‫‪n +1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫ ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ‪ n ≥ 1‬ﻝدﻴﻨﺎ ‪< 0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬‫‪n‬‬ ‫‪10n +1‬‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺒدءاً ﻤن اﻝﺤد ذي اﻝدﻝﻴل ‪. n0 = 1‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ أﺴﺎﺴﻬﺎ ﺴﺎﻝب ﻓﻬﻲ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ ﺤدودﻫﺎ ﻤوﺠﺒﺔ وأﺴﺎﺴﻬﺎ أﺼﻐر ﻤن اﻝواﺤد ﻓﻬﻲ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ ﺤدودﻫﺎ ﻤوﺠﺒﺔ وأﺴﺎﺴﻬﺎ أﻜﺒر ﻤن اﻝواﺤد ﻓﻬﻲ ﻤﺘزاﻴدة‪.‬‬ ‫ب ﺻﻔﺤﺔ ‪21‬‬ ‫ﺗَﺪ ‪‬ر ْ‬ ‫
ﻨﻌرف ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ ‪ n ≥ 1‬اﻝﻤﻘدار ‪، Sn = 12 + 22 + 32 + ⋯ + n 2‬‬ ‫ اﺤﺴب ‪ S1‬و ‪ S 2‬و ‪ S 3‬و ‪. S 4‬ﺜُّم ﻋﺒر ﻋن ‪ Sn +1‬ﺒدﻻﻝﺔ ‪ Sn‬و ‪. n‬‬ ‫ أﺜﺒت ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ ّأﻨﻪ ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ أﻴﺔ ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ ‪ n ≥ 1‬ﻝدﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫)‪n(n + 1)(2n + 1‬‬ ‫= ‪. Sn‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫‪1 5 14 30‬‬ ‫وﻨﻼﺤظ ّأﻨﻪ ﻝﻼﻨﺘﻘﺎل ﻤن ‪ Sn‬إﻝﻰ ‪ Sn +1‬ﻨﺠﻤﻊ ‪ ، (n + 1)2‬أي ‪. Sn +1 = Sn + (n + 1)2‬‬ ‫)‪n(n + 1)(2n + 1‬‬ ‫= ‪. Sn‬‬ ‫ ﻝﺘﻜن ) ‪ E (n‬اﻝﺨﺎﺼﺔ‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪1(1 + 1)(2 + 1‬‬ ‫= ‪. S1 = 1‬‬ ‫ﻷن‬ ‫ اﻝﺨﺎﺼﺔ )‪ E (1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ّ‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻷن‬ ‫ ﻨﻔﺘرض ) ‪ E (n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻋﻨدﺌذ ﺘﻜون )‪ E (n + 1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ّ‬ ‫)‪n(n + 1)(2n + 1‬‬ ‫)‪(n + 1)(2n 2 + 7n + 6‬‬ ‫= ‪Sn +1‬‬ ‫= ‪+ (n + 1)2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪(n + 1)(n + 2)(2(n + 1) + 1‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻓﺎﻝﺨﺎﺼﺔ ) ‪ E (n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ أﻴﺎً ﻜﺎﻨت ‪. n ≥ 1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ ﻝﻴﻜن ‪. x ≥ −1‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻨرﻤز ) ‪ E (n‬إﻝﻰ اﻝﻤﺘراﺠﺤﺔ ‪. (1 + x )n ≥ 1 + nx‬أﺜﺒت‬ ‫أن اﻝﻤﺘراﺠﺤﺔ ) ‪ E (n‬ﻤﺤﻘّﻘﺔ أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫ّ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻷن ‪. (1 + x )0 = 1 ≥ 1 + 0x‬‬ ‫ اﻝﺨﺎﺼﺔ )‪ E (0‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ّ‬ ‫ﻷن‬ ‫ ﻨﻔﺘرض ) ‪ E (n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻋﻨدﺌذ ﺘﻜون )‪ E (n + 1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ّ‬ ‫‪(1 + x )n +1 = (1 + x )(1 + x )n‬‬ ‫) ‪≥ (1 + x )(1 + nx‬‬ ‫‪≥ 1 + (n + 1)x + nx 2‬‬ ‫‪≥ 1 + (n + 1)x‬‬ ‫ﻓﺎﻝﻤﺘراﺠﺤﺔ ) ‪ E (n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ أﻴﺎً ﻜﺎﻨت ‪. n‬‬ ‫ 
‬ ‫ﻤﻌﻴن ‪.( n 0‬‬ ‫ﺤد ّ‬‫ي اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎت ‪ ( un )n ≥ 0‬اﻵﺘﻴﺔ ﻤطّردة )رﺒﻤﺎ ﺒدءاً ﻤن ّ‬ ‫ّﺒﻴن أ ‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n +1‬‬ ‫‪un = 2n‬‬ ‫= ‪un‬‬ ‫‪ un = −3n + 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n +2‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1 n‬‬ ‫‪un‬‬ ‫=‬ ‫‬ ‫‪un‬‬ ‫‪= 1+‬‬ ‫‪ un =  − ‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪ n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u0 = 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u0 = 8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ un = 1 + + ⋯⋯ +‬‬ ‫‬ ‫‪ u‬‬ ‫=‬ ‫‪u‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ u‬‬ ‫‪= un + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪ n +1‬‬ ‫‪4 n‬‬ ‫‪ n +1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أن ‪ n ! = n × (n − 1) × ⋯ × 1‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ‪. n ≥ 1‬‬ ‫ﺘذ ّﻜر ّ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻤﺘزاﻴدة‪.‬‬ ‫ ﻤﺘزاﻴدة‪.‬‬ ‫
ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‪.‬‬ ‫ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺒدءاً ﻤن اﻝدﻝﻴل ‪. n0 = 2‬‬ ‫ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‪.‬‬ ‫ﻝﻴﺴت ﻤطردة‪.‬‬ ‫ ﻤﺘزاﻴدة‪.‬‬ ‫ ﺜﺎﺒﺘﺔ‪.‬‬ ‫ ﻤﺘزاﻴدة‪.‬‬ ‫ﻤﺜﻼً ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ  ﻝدﻴﻨﺎﻋﻨدﻤﺎ ‪ n ≥ 2‬ﻤﺎ ﻴﺄﺘﻲ‪:‬‬ ‫‪un‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n + n(n − 1) n + 2 × 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫≥‬ ‫‪>1‬‬ ‫‪un +1‬‬ ‫‪n +1‬‬ ‫‪n +1‬‬ ‫‪n +1‬‬ ‫‪ 3 n‬‬ ‫وﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ  ﻝدﻴﻨﺎ ‪) un +1 − un =   (u1 − u0 ) > 0‬ﻝﻤﺎذا؟(‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ ( un )n ≥ 0‬ﻤﻌرﻓﺔ وﻓق ‪ u 0 = 2‬و ‪ un +1 = 2un − 3‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ أي ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴر‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻌدوم ‪. n‬‬ ‫
اﺤﺴب ‪ u 5 ، u 4 ، u 3 ، u 2 ، u1‬ﺜ ‪‬م ﺨ ‪‬ﻤ ْن ﻋﺒﺎرة ‪ un‬ﺒدﻻﻝﺔ ‪. n‬‬ ‫ ﺒﺤﺴﺎب ﻋﺒﺎرة ‪ un − 3‬ﻋﻨد ﻜل ‪ ، n ≥ 0‬ﻋﺒ ْ‪‬ر ﻋن ‪ un‬ﺒدﻻﻝﺔ ‪. n‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫
ﻝدﻴﻨﺎ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪un‬‬ ‫‪2 1 −1 −5 −13 −29‬‬ ‫ﻨﻌدل‬ ‫وﻝﻜن ﻨﻼﺤظ أﻴﻀﺎً أﻨﻨﺎ ﻋﻨد ﺤﺴﺎب ﺤدود اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ ( un )n ≥ 0‬ﻨﻀرب ﻓﻲ ﻜل ﻤرة ﺒﺎﻝﻌدد ‪ 2‬ﺜُم ّ‬ ‫أن ﻗوى اﻝﻌدد ‪ 2‬ﺘؤدي دو اًر ﻤﺎ ﻓﻲ ﻫذﻩ اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ‪ ،‬ﻝذﻝك ﻨﻨﺸﺊ ﺠدوﻻً ﻴﻀم‬‫اﻝﻨﺎﺘﺞ ﺒطرح اﻝﻌدد ‪ ، 3‬ﻓﻨﺘوﻗّﻊ ّ‬ ‫اﻝﺤدود اﻝﻤطﻠوﺒﺔ وﻗوى اﻝﻌدد ‪ 2‬ﻓﻲ آن ﻤﻌﺎً ﻝﻨﺠد‬ ‫‪n‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪un‬‬ ‫‪2 1 −1 −5 −13 −29‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪32‬‬ ‫ﺜﺎﺒت‪ ،‬وﻴﺴﺎوي ‪، 3‬‬ ‫وﻫﻨﺎ ﺴرﻋﺎن ﻤﺎ ﻨرى أن ﻤﺠﻤوع ﻜل ﻋﻨﺼر ﻤن اﻝﺴطر اﻝﺜﺎﻨﻲ ﻤﻊ اﻝﻌﻨﺼر اﻝذي ﺘﺤﺘﻪ ٌ‬ ‫إن ‪ un + 2n = 3‬وﻤﻨﻪ اﻝﺘﺨﻤﻴن ‪. un = 3 − 2n‬‬ ‫أي ّ‬ ‫أن اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ) ‪ (vn‬اﻝﻤﻌطﺎة ﺒﺎﻝﺼﻴﻐﺔ ‪vn = un − 3‬‬ ‫أن )‪ un +1 − 3 = 2(un − 3‬ﻨرى ّ‬ ‫ ﺒﻤﻼﺤظﺔ ّ‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ أﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ 2‬وﺤدﻫﺎ ّ‬ ‫اﻷول ‪. −1‬إذن ‪ vn = −2n‬وﻤﻨﻪ ‪ ، un = vn + 3 = 3 − 2n‬أﻴﺎً‬ ‫ﻜﺎﻨت ‪. n‬‬ ‫اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ) ‪ ( un‬ﻤﻌرﻓﺔ وﻓق ‪ u 0 = 3‬و ‪ un +1 = −un + 4‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ أي ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴر‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻤﻌدوم ‪. n‬اﺤﺴب ‪ u 5 ، u 4 ، u 3 ، u 2 ، u1‬وﺨ ‪‬ﻤ ْن ﻋﺒﺎرة ‪ un‬ﺒدﻻﻝﺔ ‪ n‬ﺜ ‪‬م ﺤدد ‪ un‬ﺒدﻻﻝﺔ ‪. n‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ﻝدﻴﻨﺎ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪0 1 2 3 4 5‬‬ ‫‪un‬‬ ‫‪3 1 3 1 3 1‬‬ ‫أن‬ ‫وﻫﻜذا ﻨرى ّ‬ ‫‪ n‬زوﺠﻲ ‪ 3 :‬‬ ‫‪un = ‬‬ ‫‪ n‬ﻓردي ‪ 1 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫وﻴﻤﻜن اﻝﺘﻌﺒﻴر ﻋن ‪ un‬ﺒﺼﻴﻐﺔ أﺨرى ‪ ، un = 2 + (−1)n‬اﻝﺘﻲ ﻴﻤﻜن إﺜﺒﺎت ﺼﺤﺘﻬﺎ ﺒدﻻﻝﺔ ‪. n‬وﻜذﻝك‬ ‫ﻴﻤﻜن اﺘﺒﺎع أﺴﻠوب اﻝﺘﻤرﻴن اﻝﺴﺎﺒق‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻨذ ّﻜر ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴر ﻤﻌدوم ‪ n‬ﺒﺎﻝرﻤز !‪ n‬دﻻﻝﺔ ﻋﻠﻰ اﻝﺠداء ‪، 1 × 2 × 3 × ⋯ × n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻝذي ﻨﻘرأﻩ » ‪ n‬ﻋﺎﻤﻠﻲ«‪.‬أﺜﺒت ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ اﻝﺨﺎﺼﺘﻴن اﻵﺘﻴﺘﻴن‬ ‫
‪. 1 + 2 × 2! + 3 × 3! + ⋯ + n × n! = (n + 1)! − 1‬‬ ‫‪. n ! ≥ 2n −1‬‬ ‫‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫
ﻝﺘﻜن ) ‪ E (n‬اﻝﺨﺎﺼﺔ ‪. 1 + 2 × 2! + 3 × 3! + ⋯ + n × n! = (n + 1)! − 1‬‬ ‫ﻷن ‪. 1 × 1! = 2! − 1‬‬ ‫ اﻝﺨﺎﺼﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ )‪ّ E (1‬‬ ‫ ﻝﻨﻔﺘرض اﻝﺨﺎﺼﺔ ) ‪ E (n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻋﻨدﺌذ‬ ‫!)‪1 + 2 × 2! + ⋯ + n × n! + (n + 1) × (n + 1)! = (n + 1)! − 1 + (n + 1) × (n + 1‬‬ ‫‪= (n + 2)! − 1‬‬ ‫ﻓﺎﻝﺨﺎﺼﺔ )‪ E (n + 1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪ ،‬واﻝﺨﺎﺼﺔ ) ‪ E (n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻬﻤﺎ ﻜﺎن ‪. n ≥ 1‬‬ ‫ ﻝﺘﻜن ) ‪ E (n‬اﻝﺨﺎﺼﺔ ‪. n ! ≥ 2n −1‬‬ ‫ﻷن ‪. 1! = 1 = 20‬‬ ‫ اﻝﺨﺎﺼﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ )‪ّ E (1‬‬ ‫ ﻝﻨﻔﺘرض اﻝﺨﺎﺼﺔ ) ‪ E (n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ‪ n ≥ 1‬ﻋﻨدﺌذ‬ ‫‪(n + 1)! = (n + 1) ⋅ n! ≥ 2 ⋅ 2n −1 = 2n‬‬ ‫ﻓﺎﻝﺨﺎﺼﺔ )‪ E (n + 1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪ ،‬واﻝﺨﺎﺼﺔ ) ‪ E (n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻬﻤﺎ ﻜﺎن ‪. n ≥ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ un = 1 + + + ⋯ +‬و ‪. vn = u2n − un‬أﺜﺒت‬ ‫ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ ‪ ، n ≥ 1‬ﻝﻴﻜن‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫أن اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ) ‪ ( vn‬ﻤﺘزاﻴدة‪.‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫أن ‪ un‬ﻴﺴﺎوي ﻤﺠﻤوع ﻤﻘﺎﻝﻴب اﻷﻋداد اﻝطﺒﻴﻌﻴﺔ ﺒﻴن ‪ 1‬و ‪. n‬إذن‬ ‫ﻻﺤظ ّ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪vn‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+⋯+‬‬ ‫‪n +1 n +2 n +3‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪vn +1‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+⋯+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪n +2 n +3‬‬ ‫‪2n 2n + 1 2n + 2‬‬ ‫وﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪vn +1 − vn‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2n + 1 2n + 2 n + 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2n + 1 2n + 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪>0‬‬ ‫)‪(2n + 1)(2n + 2‬‬ ‫ﻓﺎﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ (vn )n ≥1‬ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻤﺘزاﻴدة ﺘﻤﺎﻤﺎً‪.‬‬ ‫‪9‬‬  ‫‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬ﺜﻼﺜﺔ أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ و ‪. a ≠ 0‬ﻨﻌﻠم ‪‬‬ ‫أن ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬ﻫﻲ ﺜﻼﺜﺔ ﺤدود ﻤﺘﻌﺎﻗﺒﺔ ﻤن‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ‪ ،‬ﻨرﻤز إﻝﻰ أﺴﺎﺴﻬﺎ ﺒﺎﻝرﻤز ‪. q‬ﻜﻤﺎ ﻨﻌﻠم ‪‬‬ ‫أن ‪ 3a‬و ‪ 2b‬و ‪ c‬ﻫﻲ ﺜﻼﺜﺔ ﺤدود ﻤﺘواﻝﻴﺔ ﻤن‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪.‬اﺤﺴب ‪. q‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻷن )‪ (3a,2b, c‬ﺤدود ﻤﺘواﻝﻴﺔ ﻤن ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻜﺎن‬ ‫اﻝﺤدود اﻝﺜﻼﺜﺔ ﻫﻲ إذن ) ‪ (a, b, c) = (a, qa, q a‬و ّ‬ ‫‪2‬‬ ‫)ﻷن ‪ ، q 2 − 4q + 3 = 0 ( a ≠ 0‬وﻫذا ﻴﻌطﻲ }‪. q ∈ {1, 3‬‬ ‫‪ 3a + c = 2(2b) = 4b‬وﻤﻨﻪ ّ‬ ‫ﻟ ّ‬ ‫ﻨﺘﻌﲅ اﻟﺒﺤﺚ ﻣﻌ ًﺎ‬ ‫‪  ّ ُ ً  7‬‬ ‫ﻨﺘﺄﻤل اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ (un )n ≥0‬اﻝﻤﻌرﻓﺔ ﺘدرﻴﺠﻴﺎً وﻓق ‪ u 0 = 7‬و ‪ un +1 = 10un − 18‬ﻋﻨد ﻜل ﻋدد‬ ‫ّ‬ ‫طﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬ﻨﻬدف ﻓﻲ ﻫذا اﻝﺘﻤرﻴن إﻝﻰ اﻝﺘﻌﺒﻴر ﻋن ‪ un‬ﺒدﻻﻝﺔ ‪. n‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻧﺤﻮ ّ‬ ‫
‬ ‫ﻨﻌﻠم ّأﻨﻪ ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻤﻌرﻓﺔ ﺒﻌﻼﻗﺔ ﺘدرﻴﺠﻴﺔ‪ ،‬ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺤﺴﺎب ‪ un‬ﺒﺸرط أن ﻨﻜون ﻗد ﻋرﻓﻨﺎ اﻝﺤدود‬ ‫‬ ‫ﻴﻘﺔ ﻝﺤﺴﺎب ‪ un‬ﻤﺒﺎﺸرةً ﺒدﻻﻝﺔ ‪. n‬ﻓﻲ ﻫذا اﻝﻨﻤط ﻤن‬ ‫اﻝﺘﻲ ﺘﺴﺒﻘﻪ‪.‬واﻝﻤطﻠوب ﻫﻨﺎ ﻫو إﻴﺠﺎد طر ٍ‬ ‫اﻝﺤد ودﻝﻴﻠﻪ‪.‬‬ ‫اﻝﻤﺴﺎﺌل‪ ،‬ﻨﺤﺴب ﺤدوداً أوﻝﻰ ﻤن اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﺜ ‪‬م ﻨﺤﺎول ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻝﺔ اﻝرﺒط ﺒﻴن ﻗﻴﻤﺔ ّ‬ ‫اﺤﺴب ‪... u5 ، u4 ، u3 ، u2 ، u1‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪un‬‬ ‫‪7 52 502 5002 50002 500002‬‬ ‫ﻋدد ﻤن‬ ‫أن ﻜل ﺤد ﻤن اﻝﺤدود اﻝﻤﺤﺴوﺒﺔ ﻴﺒدأ ﺒﺎﻝرﻗم ‪ 5‬وﻴﻨﺘﻬﻲ ﺒﺎﻝرﻗم ‪ ، 2‬وﻴوﺠد ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ٌ‬ ‫ﻨﺠد ‪‬‬ ‫‬ ‫اﻷﺼﻔﺎر ﻴﺘﻌﻠق ﺒﻘﻴﻤﺔ ‪ ، n‬أي ﺒدﻝﻴل ﻫذا اﻝﺤد‪.‬ﺒﺎﻝﺘﺄﻜﻴد‪ ،‬ﺴﻴﺴﻤﺢ ﻝك ﻫذا ﺒﺎﻝﺘﻌﺒﻴر ﻋن ‪ un‬ﺒدﻻﻝﺔ‬ ‫‪.n‬‬ ‫ﻋﻴن ﻋدد اﻷﺼﻔﺎر اﻝﻤﺸﺎر إﻝﻴﻪ أﻋﻼﻩ ﻋﻨدﻤﺎ ﺘﺄﺨذ ‪ n‬اﻝﻘﻴم ‪ 4 ، 3 ، 2 ، 1‬و ‪. 5‬‬ ‫‪ّ.1‬‬ ‫‪.2‬ﻤﺎ ﻋدد اﻷﺼﻔﺎر ﺒدﻻﻝﺔ ‪. n‬‬ ‫أن ‪ uk = 5 × 10k + 2‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ‪ k‬ﻤن } ‪. {1,2, 3, 4, 5‬‬ ‫‪.3‬ﺘﺤﻘّق ّ‬ ‫ﻝﻠﺤد ‪ un‬ﺒدﻻﻝﺔ ‪. n‬ﺜُم أﺜﺒت ﺼﺤﺔ اﻗﺘراﺤك أﻴﺎً ﻜﺎﻨت ‪. n‬‬ ‫‪.4‬اﻗﺘرح ﺼﻴﻐﺔ ّ‬ ‫‪10‬‬ ‫أن ﻋدد اﻷﺼﻔﺎر ﻓﻲ اﻝﻜﺘﺎﺒﺔ اﻝﻌﺸرﻴﺔ ﻝﻠﺤد ‪ un‬ﻴﺴﺎوي ‪ n − 1‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ‪. 1 ≤ n ≤ 5‬‬ ‫ﻤن اﻝواﻀﺢ ّ‬ ‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ إذن اﻝﺼﻴﻐﺔ ‪ uk = 5 × 10k + 2‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ‪ k‬ﻤن } ‪. {1,2, 3, 4, 5‬ﻝﻨﺒرﻫن إذن ﺼﺤﺔ اﻝﺨﺎﺼﺔ‬ ‫‪ E (n ) : un = 5 × 10n + 2‬أﻴﺎً ﻜﺎﻨت ‪. n ≥ 0‬‬ ‫ﻷن ‪. 5 + 2 = 7‬‬ ‫ اﻝﺨﺎﺼﺔ )‪ E (0‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ّ‬ ‫ ﻝﻨﻔﺘرض ﺼﺤﺔ اﻝﺨﺎﺼﺔ ) ‪. E (n‬ﻋﻨدﺌذ‬ ‫‪un +1 = 10un − 18 = 10(5 × 10n + 2) − 18 = 5 × 10n +1 + 2‬‬ ‫ﻓﺎﻝﺨﺎﺼﺔ )‪ E (n + 1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪ ،‬واﻝﺨﺎﺼﺔ ) ‪ E (n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻬﻤﺎ ﻜﺎن ‪. n ≥ 1‬‬ ‫‪!"$% !"&' ( !"# 8‬‬ ‫ﻨﺘﺄﻤل اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ (un )n ≥0‬اﻝﻤﻌرﻓﺔ ﺘدرﻴﺠﻴﺎً وﻓق ‪ u0 = s‬و‬ ‫ّ‬ ‫‪1‬‬ ‫)∗(‬ ‫= ‪un +1‬‬ ‫‪un + n 2 + n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻋﻴن ﻜﺜﻴر ﺤدود ﻤن اﻝدرﺠﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ ‪ P‬ﺒﺤﻴث ﺘُﺤﻘّق اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ (tn )n ≥0‬اﻝﺘﻲ ﺤدﻫﺎ اﻝﻌﺎم‬ ‫
ّ‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ tn = P(n‬اﻝﻌﻼﻗﺔ اﻝﺘدرﻴﺠﻴﺔ )∗( ﻨﻔﺴﻬﺎ أي ‪ tn +1 = tn + n 2 + n‬أﻴﺎً ﻜﺎﻨت ‪. n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ أﺜﺒت ‪‬‬ ‫أن اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ (vn )n ≥0‬اﻝﺘﻲ ﺤدﻫﺎ اﻝﻌﺎم ‪ vn = un − tn‬ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫اﻜﺘب ﻋﺒﺎرة ‪ vn‬ﺜ ‪‬م ‪ un‬ﺒدﻻﻝﺔ ‪ n‬و ‪. s‬‬ ‫
ﻧﺤﻮ ّ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ ﻨﺒﺤث ﻋن ﻜﺜﻴر ﺤدود ﻤن اﻝدرﺠﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ ‪. P‬ﻝﻨﻜﺘﺒﻪ إذن ﺒﺎﻝﺼﻴﻐﺔ ‪. P(n ) = an 2 + bn + c‬‬ ‫ﻝﺘﻌﻴﻴن اﻷﻤﺜﺎل ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬ﻨﺴﺘﻔﻴد ﻤن ﻜون اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ اﻝﺘﻲ ﺤدﻫﺎ اﻝﻌﺎم )‪ tn = P(n‬ﺘُﺤﻘق اﻝﻌﻼﻗﺔ‬ ‫اﻝﺘدرﻴﺠﻴﺔ‪.‬‬ ‫أن ‪ (tn )n ≥0‬ﺘﺤﻘق اﻝﻌﻼﻗﺔ اﻝﺘدرﻴﺠﻴﺔ )∗( إذا وﻓﻘط إذا ﻜﺎن‬ ‫ّﺒﻴن ّ‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ − 1  n 2 +  2a + b − 1  n + a + b + c  = 0‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫‪.2‬اﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤن ذﻝك ﺠﻤﻠﺔ ﺒﺴﻴطﺔ ﻤن اﻝﻤﻌﺎدﻻت ﺘﺤﻘﻘﻬﺎ ‪ a‬و ‪ b‬و ‪. c‬ﺜُّم ﻋﻴن ﻫذﻩ اﻷﻋداد‪.‬‬ ‫‪، vn +1‬‬ ‫أن اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ (vn )n ≥0‬ﻫﻨدﺴﻴﺔ‪ ،‬ﻴﻜﻔﻲ أن ﻨﺠد ﻋددًا ‪ q‬ﺒﺤﻴث ﺘﺘﺤﻘق اﻝﻤﺴﺎواة ‪= qvn‬‬ ‫ ﻹﺜﺒﺎت ّ‬ ‫ﻋﻴن ‪. q‬‬‫ّ‬ ‫ﻷﻨﻨﺎ ﻨﻌرف ‪ tn‬ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ إﻨﺠﺎز اﻝﻤطﻠوب‪.‬‬ ‫ ﺒﻤﻌرﻓﺔ ‪ v0‬و ‪ q‬ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ اﺴﺘﻨﺘﺎج ‪ ، vn‬ﺜُّم ّ‬ ‫أﻧﺠ ِﺰ اﻟﺤﻞ واﻛﺘﺒﻪ ٍ‬ ‫ﺑﻠﻐﺔ ﺳﻠﻴﻤﺔ‪.‬‬ ‫ّ‬ ‫‪11‬‬  ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫
ﻨﺒﺤث ﻋن ﻜﺜﻴر ﺤدود ﻤن اﻝدرﺠﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ ‪. P‬ﻝﻨﻜﺘﺒﻪ إذن ﺒﺎﻝﺼﻴﻐﺔ ‪. P(n ) = an 2 + bn + c‬ﻝﺘﻌﻴﻴن‬ ‫اﻷﻤﺜﺎل ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬ﻨﺴﺘﻔﻴد ﻤن ﻜون اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ اﻝﺘﻲ ﺤدﻫﺎ اﻝﻌﺎم )‪ tn = P(n‬ﺘُﺤﻘق اﻝﻌﻼﻗﺔ اﻝﺘدرﻴﺠﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺒﺘﻌوﻴض ‪ tn‬و ‪ tn +1‬ﺒﻘﻴﻤﺘﻬﻤﺎ ﻓﻲ ‪ tn +1 = tn + n 2 + n‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺼﺤﺔ اﻝﻌﻼﻗﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ − 1  n +  2a + b − 1  n + a + b + c  = 0‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬ﺒﺎﺨﺘﻴﺎر ‪ n = 0‬و ‪ n = 1‬و ‪ n = 2‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺠﻤﻠﺔ اﻝﻤﻌﺎدﻻت‬ ‫‪2a + 2b + c = 0‬‬ ‫‪7a + 3b + c = 4‬‬ ‫‪14a + 4b + c = 12‬‬ ‫اﻝﻤﻜﺎﻓﺌﺔ‬ ‫ﻨﺴﺘﻌﻤل اﻷوﻝﻰ ﻝﺤذف ‪ c‬ﻤن اﻝﻤﻌﺎدﻝﺘﻴن اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ واﻝﺜﺎﻝﺜﺔ ﻝﻨﺠد اﻝﺠﻤﻠﺔ ُ‬ ‫‪2a + 2b + c = 0‬‬ ‫‪5a + b = 4‬‬ ‫‪6a + b = 6‬‬ ‫أن ﻫذﻩ اﻝﺨﻴﺎر ﻝﻘﻴم ‪a‬‬ ‫ﺜُّم ﺒطرح اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ ﻤن اﻝﺜﺎﻝﺜﺔ ﻨﺠد ‪ ، a = 2‬ﺜُّم ‪ b = −6‬و ‪. c = 8‬وﻨﺘﻴﻘّن ﺒﺎﻝﻌﻜس‪ّ ،‬‬ ‫و ‪ b‬و ‪ c‬ﻴﺠﻌل اﻝﻤﺴﺎواة‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ − 1  n 2 +  2a + b − 1  n + a + b + c  = 0‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫ﺘﺤﻘق اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ (tn )n ≥0‬ﺤﻴث ‪ tn = 2n 2 − 6n + 8‬اﻝﻌﻼﻗﺔ‬ ‫ﻤﺤﻘﻘﺔ أﻴﺎً ﻜﺎﻨت ﻗﻴﻤﺔ ‪ ، n‬وﻤن ﺜَّم‬ ‫اﻝﺘدرﻴﺠﻴﺔ )∗( ‪.‬‬ ‫ ﻫﻨﺎ ﻝدﻴﻨﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪un +1‬‬ ‫‪u + n2 + n‬‬ ‫‪2 n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪tn +1‬‬ ‫‪= tn + n 2 + n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪ ، un +1 − tn +1‬ﻓﺎﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ (vn )n ≥0‬اﻝﺘﻲ ﺤدﻫﺎ اﻝﻌﺎم ‪vn = un − tn‬‬ ‫أن ) ‪( u − tn‬‬ ‫ﺒﺎﻝطرح ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ّ‬ ‫‪2 n‬‬ ‫‪s −8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻷول ‪ ، v0 = s − 8‬إذن ‪ ، un − tn = n‬وﻤن ﺜَّم‬ ‫ّ‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ أﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ ،‬وﺤدﻫﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪un = (s − 8)2−n + 2n 2 − 6n + 8‬‬ ‫وﻫﻲ اﻝﻨﺘﻴﺠﺔ اﻝﻤرﺠوة‪.‬‬ ‫‪12‬‬  ‫ﻗُﺪُ ﻣ ًﺎ إﱃ ا ٔﻻﻣﺎم‬ ‫ﻨﺘﺄﻤل اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ (vn )n ≥0‬اﻝﺘﻲ ﺘﺤﻘق‬ ‫ُﻨﻌطﻰ ﻋددﻴن ﺤﻘﻴﻘﻴﻴن ‪ a‬و ‪ b‬وﻨﻔﺘرض ّ‬ ‫أن ‪ّ. a ≠ 1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ ، vn +1 = avn + b‬أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ ‪. n‬‬ ‫ﻋﻴن ﺘﺎﺒﻌﺎً ‪ f‬ﻴﺤﻘق ) ‪ vn +1 = f (vn‬أﻴﺎً ﻜﺎﻨت ﻗﻴﻤﺔ ‪. n ≥ 0‬‬ ‫
ّ‬ ‫ اﺤﺴب ‪ ℓ‬ﺤ ّل اﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ ‪. f (x ) = x‬‬ ‫ﻨﻌرف اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ (un )n ≥0‬ﺤﻴث ‪. un = vn − ℓ‬أﺜﺒت أ ّن ‪ (un )n ≥0‬ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ‪ ،‬واﺴﺘﻨﺘﺞ‬ ‫ّ‬ ‫اﻝﻤﻌﺎﻤﻼت‪.‬‬‫‪ un‬ﺒدﻻﻝﺔ ‪ n‬و ‪ a‬و ‪ b‬و ‪. v0‬ﺜُّم اﺴﺘﻨﺘﺞ ‪ vn‬ﺒدﻻﻝﺔ ﻫذﻩ ُ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻤﺒﺎﺸر وﻤﺤﻠول ﺒﺼﻔﺘﻪ ﻨﺸﺎطﺎً ﻓﻲ اﻝﺼف اﻝﺜﺎﻨﻲ اﻝﺜﺎﻨوي‪.‬‬ ‫ٌ‬ ‫ﻫذا اﻝﺘﻤرﻴن‪ ،‬ﺘﻤرﻴن‬ ‫ﻤﻌرﻓﺔ ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ وﻓق‪:‬‬ ‫ﻨﺘﺄﻤل ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ّ (un )n ≥0‬‬ ‫ّ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ u 0 = 1, u1 = 4,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ un +1 = 5un − 6un −1‬‬ ‫)‪(n ≥ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻋﻴن ﻋددﻴن ﺤﻘﻴﻘﻴﻴن ‪ a‬و ‪ b‬ﻴﺤﻘﻘﺎن ‪ a + b = 5‬و ‪. ab = 6‬‬ ‫
ّ‬ ‫أﺴﺎﺴﻬﺎ ‪. b‬‬ ‫ُ‬ ‫ ﻝﺘﻜن ‪ (vn )n ≥0‬اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪. vn = un +1 − aun‬أﺜﺒت ‪‬‬ ‫أن ‪ (vn )n ≥0‬ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ‬ ‫أﺴﺎﺴﻬﺎ ‪. a‬‬ ‫ُ‬ ‫أن ‪ (wn )n ≥0‬ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ‬‫ﻝﺘﻜن ‪ (wn )n ≥0‬اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪. wn = un +1 − bun‬أﺜﺒت ‪‬‬ ‫ﻋﺒ ْر ﻋن ‪ vn‬و ‪ wn‬ﺒدﻻﻝﺔ ‪. n‬ﺜُّم اﺴﺘﻨﺘﺞ ﻋﺒﺎرة ‪ un‬ﺒدﻻﻝﺔ ‪. n‬‬ ‫ّ‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫
ﻋددان ﻤﺠﻤوﻋﻬﻤﺎ ‪ 5‬وﺠداء ﻀرﺒﻬﻤﺎ ‪ 6‬ﻫﻤﺎ ‪ 2‬و ‪ 3‬ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ إذن أن ﻨﺄﺨذ ‪ a = 2‬و ‪. b = 3‬‬ ‫ ﻝﻨﻀﻊ ‪ vn = un +1 − 2un‬ﻋﻨدﺌذ‪ ،‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ‪ n ≥ 1‬ﻴﻜون ﻝدﻴﻨﺎ‬ ‫‪vn − 3vn −1 = un +1 − 2un − 3(un − 2un −1 ) = un +1 − 5un + 6un −1 = 0‬‬ ‫أﺴﺎﺴﻬﺎ ‪. 3‬‬ ‫ُ‬ ‫أو ‪ vn = 3vn −1‬ﻓﺎﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ (vn )n ≥0‬ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ‬ ‫أﺴﺎﺴﻬﺎ ‪. 2‬‬ ‫ُ‬ ‫أن ‪‬‬ ‫أن ‪ (wn )n ≥0‬ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ‬ ‫وﻨﺒرﻫن ﺒﻤﺜل ﻤﺎ ﺴﺒق ّ‬ ‫أن ‪ vn = 3n v0 = 2 × 3n‬و ‪. wn = 2n w 0 = 2n‬أو‬ ‫ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ إذن ّ‬ ‫‪ un +1 − 2un = 2 × 3n‬و ‪. un +1 − 3un = 2n‬‬ ‫أن ‪ un = 2 × 3n − 2n‬أﻴﺎً ﻜﺎﻨت ‪. n‬‬ ‫وﺒطرح اﻷﺨﻴرة ﻤن اﻷوﻝﻰ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ّ‬ ‫‪13‬‬  ‫‪!")*'+ !, 11‬‬ ‫
أﺜﺒت‪ّ ،‬أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ ‪ ، n ≥ 2 ، n‬‬ ‫أن‪. 3 × n 2 ≥ (n + 1)2 :‬‬ ‫ ﻨرﻤز ﺒﺎﻝرﻤز ) ‪ E (n‬إﻝﻰ اﻝﻘﻀﻴﺔ » ‪.« 3n ≥ 2n + 5 × n 2‬‬ ‫ ﻤﺎ أﺼﻐر ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴر ﻤﻌدوم ‪ ، n‬ﺘﻜون ) ‪ E (n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻋﻨدﻩ؟‬ ‫ أﺜﺒت ‪‬‬ ‫أن ) ‪ E (n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‪ّ ،‬أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬اﻝذي ﻴﺤﻘق اﻝﺸرط ‪. n ≥ 5‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫
ﻻﺤظ ّأﻨﻪ ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ‪ n ≥ 2‬ﻝدﻴﻨﺎ‬ ‫‪3n 2 − (n + 1)2 = 2n 2 − 2n − 1 = 2n(n − 1) − 1 ≥ 2 × 2 × 1 − 1 = 3 > 0‬‬ ‫وﻤﻨﻪ اﻝﺨﺎﺼﺔ اﻝﻤطﻠوﺒﺔ‪.‬‬ ‫  ﻝﻨﻀﻊ ﻓﻲ ﺠدول طرﻓﻲ اﻝﻤﺘراﺠﺤﺔ اﻝواردة ﻓﻲ ) ‪ E (n‬ﻋﻨد اﻝﻘﻴم اﻝﺼﻐﻴرة ﻝﻠﻌدد ‪. n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪2n + 5n 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ 0‬‬ ‫
ﻝﻨﻀﻊ‬ ‫‪(2x + 6)2‬‬ ‫‪2x + 6‬‬ ‫اﻴد ﺘﻤﺎﻤﺎً ﻋﻠﻰ [∞‪. ]0, +‬‬ ‫ﻤﺘز ٌ‬ ‫ ﻝﻨرﻤز ﺒﺎﻝرﻤز ) ‪ E (n‬إﻝﻰ اﻝﺨﺎﺼﺔ ‪. 21 < un ≤ 1‬‬ ‫إن )‪ E (0‬ﻤﺤﻘﻘﺔ ّ‬ ‫ﻷن ‪. 21 < u0 = 1 ≤ 1‬‬ ‫ ّ‬ ‫أن‬ ‫أن ‪. 2 < un ≤ 1‬ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎدة ﻤن ﺘزاﻴد ‪ f‬ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ّ‬ ‫‪1‬‬ ‫أن ) ‪ E (n‬ﻤﺤﻘﻘﺔ أي ّ‬ ‫ ﻝﻨﻔﺘرض ّ‬ ‫)‪f ( 21 ) < f (un ) ≤ f (1‬‬ ‫واﻝﺨﺎﺼﺔ )‪ E (n + 1‬ﻤﺤﻘﻘﺔ‪.‬ﻓﻨﻜون ﻗد‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذن ‪< un +1 ≤ 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫وﻝﻜن ‪≤ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≤ ‪< un +1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫أي‬ ‫أﻴﺎً ﻜﺎﻨت ﻗﻴﻤﺔ ‪. n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أﺜﺒﺘﻨﺎ ﺼﺤﺔ اﻝﻤﺘراﺠﺤﺔ ‪< un ≤ 1‬‬ ‫‬ ‫ ﻝﻨرﻤز ﺒﺎﻝرﻤز ) ‪ E (n‬إﻝﻰ اﻝﺨﺎﺼﺔ ‪. un +1 < un‬‬ ‫ﻷن ‪. u1 = 58 < 1 = u0‬‬ ‫إن )‪ E (0‬ﻤﺤﻘﻘﺔ ّ‬ ‫ ّ‬ ‫اﻝﺤدان‬ ‫ﻝﻤﺎ ﻜﺎن ‪ f‬ﻤﺘزاﻴداً ﺘﻤﺎﻤﺎً ﻋﻠﻰ [∞‪ ، ]0, +‬و ّ‬‫أن ‪ّ. un +1 < un‬‬ ‫أن ) ‪ E (n‬ﻤﺤﻘﻘﺔ أي ّ‬ ‫ ﻝﻨﻔﺘرض ّ‬ ‫أن ) ‪ f (un +1 ) < f (un‬أي‬ ‫‪ un‬و ‪ un +1‬ﻴﻨﺘﻤﻴﺎن إﻝﻰ [ ∞‪ ]0, +‬اﺴﺘﻨﺎداً إﻝﻰ اﻝﻨﻘطﺔ اﻝﺴﺎﺒﻘﺔ اﺴﺘﻨﺘﺠﻨﺎ ّ‬ ‫أن ‪ un +1 < un‬أﻴﺎً ﻜﺎﻨت‬ ‫‪ un +2 < un +1‬وﻫذﻩ ﻫﻲ اﻝﺨﺎﺼﺔ )‪. E (n + 1‬ﻓﻨﻜون ﻗد أﺜﺒﺘﻨﺎ ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ ّ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ ‪ ، n‬واﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ (un )n ≥0‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎً‪.‬‬ ‫ﻋدد ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤن اﻝﻤﺠﺎل ‪.  0, π2 ‬ﺜُّم ﻝﺘﻜن اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ‪ (un )n ≥0‬اﻝﻤﻌرﻓﺔ وﻓق‬ ‫ﻝﻴﻜن ‪ٌ θ‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪ u0 = 2 cos θ‬و ‪ un +1 = 2 + un‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ‪. n ∈ ℕ‬‬ ‫
اﺤﺴب ‪ u1‬و ‪. u2‬‬ ‫‪ θ ‬‬ ‫‪. un = 2 cos ‬‬ ‫ أﺜﺒت ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ‪ ،‬‬ ‫أن ‪‬‬ ‫‪ 2n ‬‬ ‫ﻤﺴﺎﻋدة‪ :‬ﺘذ ‪‬ﻜ ْر ‪‬‬ ‫أن ‪. 1 + cos 2θ = 2 cos2 θ‬‬ ‫‪17‬‬  ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﻫﻨﺎ ‪ u1 = 2(1 + cos θ) = 4 cos2 (θ/2) = 2 cos θ2‬وﺒﺎﻝﻤﺜل ‪. u2 = 2 cos θ4‬‬ ‫
‬ ‫ اﻹﺜﺒﺎت ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪. un = 2 cos‬‬ ‫ ﻝﻨرﻤز ﺒﺎﻝرﻤز ) ‪ E (n‬إﻝﻰ اﻝﺨﺎﺼﺔ‬ ‫‪2n‬‬ ‫إن )‪ E (0‬ﻤﺤﻘﻘﺔ وﻀوﺤﺎً‪.‬‬ ‫ ّ‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪. un = 2 cos‬ﻋﻨدﺌذ‬ ‫أن ) ‪ E (n‬ﻤﺤﻘﻘﺔ أي‬ ‫ ﻝﻨﻔﺘرض ّ‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪θ/2n‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫= ‪un +1‬‬ ‫= ‪2 + un‬‬ ‫= ) ‪2 + 2 cos(θ/2n‬‬ ‫‪4 cos2‬‬ ‫‪= 2 cos‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 +1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫إذن اﻝﺨﺎﺼﺔ )‪ E (n + 1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ أﻴﻀﺎً‪.‬ﻓﻨﻜون ﻗد أﺜﺒﺘﻨﺎ ﺼﺤﺔ اﻝﺨﺎﺼﺔ اﻝﻤطﻠوﺒﺔ أﻴﺎً ﻜﺎﻨت ‪. n‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫ﺘﻨﺘﻤﻲ أﻴﻀﺎً إﻝﻰ‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻋدد ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤن اﻝﻤﺠﺎل ‪ ،  0, π2 ‬إذن ﺠﻤﻴﻊ اﻝزواﻴﺎ‬ ‫ﻤﻼﺤظﺔ‪.‬ﻓﻲ ﻫذا اﻝﺘﻤرﻴن ‪ٌ θ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪ cos‬ﻋدداً ﻤوﺠﺒﺎً‪ ،‬ﻝذﻝك ﻻ ﻤﺸﻜﻠﺔ ﻋﻨد ﺤﺴﺎب اﻝﺠذر اﻝﺘرﺒﻴﻌﻲ ﻝﻤرﺒﻌﻪ‪.‬‬ ‫ﺜم ﻴﻜون‬ ‫ﻫذا اﻝﻤﺠﺎل‪ ،‬وﻤن ّ‬ ‫‪2n‬‬ ‫ﻤﺴﺘو ‪ ، P‬ﻤﺤ ‪‬دث ﺒﻤﻌﻠم ﻤﺘﺠﺎﻨس‪ H ،‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤوﻋﺔ اﻝﻨﻘﺎط ) ‪ M (x , y‬اﻝﺘﻲ ﺘﺤﻘق إﺤداﺜﻴﺎﺘﻬﺎ‬ ‫ٍ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪18‬‬ ‫اﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ ‪. x 2 − 5y 2 = 1‬ﻝﻴﻜن ‪ f‬اﻝﺘﺎﺒﻊ اﻝذي ﻴﻘرن ﺒﻜل ﻨﻘطﺔ ) ‪ M (x , y‬ﻤن اﻝﻤﺴﺘوي ‪ P‬اﻝﻨﻘطﺔ‬ ‫) ‪ ، M ′(9x + 20y, 4x + 9y‬أي ‪. f (M ) = M ′‬ﻝﺘﻜن ‪ S 0‬اﻝﻨﻘطﺔ اﻝﺘﻲ إﺤداﺜﻴﺎﺘﻬﺎ )‪ ، (1, 0‬ﺜُّم‬ ‫أن ‪Sn‬‬ ‫ﻝﻨﺘﺄﻤل ﻓﻲ اﻝﻤﺴﺘوي ‪ P‬ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ اﻝﻨﻘﺎط ‪ (Sn )n ≥0‬اﻝﻤﻌرﻓﺔ وﻓق‪. Sn +1 = f (Sn ) :‬أﺜﺒت ‪‬‬ ‫ّ‬ ‫ﻨﻘطﺔ ﻤن اﻝﻤﺠﻤوﻋﺔ ‪ H‬و ّ‬ ‫أن إﺤداﺜﻴﺎﺘﻬﺎ أﻋداد ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫أوﻻً ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ) ‪ M (x , y‬ﻨرﻤز )‪ (x ′, y ′‬إﻝﻰ إﺤداﺜﻴﺘﻲ ) ‪ M ′ = f (M‬أي‬ ‫‪ x ′ = 9x + 20y‬و ‪y ′ = 4x + 9y‬‬ ‫أن‬ ‫ﻨﻼﺤظ ّ‬ ‫‪x ′2 − 5y ′2 = (9x + 20y )2 − 5(4x + 9y )2‬‬ ‫) ‪= 81x 2 + 360xy + 400y 2 − 5 ( 16x 2 + 72xy + 81y 2‬‬ ‫‪= x 2 − 5y 2‬‬ ‫ﻓﺈذا ﻜﺎن ‪ x 2 − 5y 2 = 1‬ﻜﺎن ‪. x ′2 − 5y ′2 = 1‬إذن‪ ،‬إذا اﻨﺘﻤت ‪ M‬إﻝﻰ ‪ H‬اﻨﺘﻤت ﺼورﺘﻬﺎ‬ ‫) ‪ M ′ = f (M‬إﻝﻰ ‪. H‬‬ ‫ﻷن‬ ‫وﻤن ﻨﺎﺤﻴﺔ أﺨرى‪ ،‬ﻨﻼﺤظ ّأﻨﻪ إذا ﻜﺎن ﻜل ﻤن ‪ x‬و ‪ y‬ﻋدداً ﺼﺤﻴﺤﺎً ﻜﺎن ﻜذﻝك ﻜل ﻤن ‪ x ′‬و ‪ّ y ′‬‬ ‫ﻤﺠﻤوﻋﺔ اﻷﻋداد اﻝﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻐﻠﻘﺔ ﺒﺎﻝﻨﺴﺒﺔ إﻝﻰ ﻋﻤﻠﻴﺘﻲ اﻝﺠﻤﻊ واﻝﻀرب!‪.‬‬ ‫‪18‬‬  ‫أن ﺠﻤﻴﻊ اﻝﻨﻘﺎط ‪ (Sn )n ≥0‬ﺘﻘﻊ ﻋﻠﻰ ‪ H‬وﻤرﻜﺒﺎت ﻜل ﻤﻨﻬﺎ أﻋداد ﺼﺤﻴﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﻝﻨﺜﺒت ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ ّ‬ ‫ ﻝﻨرﻤز ﺒﺎﻝرﻤز ) ‪ E (n‬إﻝﻰ اﻝﺨﺎﺼﺔ " اﻝﻨﻘطﺔ ‪ Sn‬ﺘﻨﺘﻤﻲ إﻝﻰ ‪ H‬وﻤرّﻜﺒﺘﺎ ‪ Sn‬أﻋداد ﺼﺤﻴﺤﺔ"‪.‬‬ ‫ﻓﻤرﻜﺒﺘﺎﻫﺎ ﻋددان ﺼﺤﻴﺤﺎن وﻫﻤﺎ ﺘﺤﻘﻘﺎن ﻤﻌﺎدﻝﺔ ‪ H‬وﻀوﺤﺎً‪.‬‬ ‫ﻷن )‪ّ S 0 = (1, 0‬‬ ‫إن )‪ E (0‬ﻤﺤﻘﻘﺔ ّ‬ ‫ ّ‬ ‫أن ) ‪ Sn (x , y‬ﺘﻨﺘﻤﻲ إﻝﻰ ‪ H‬وﻤرّﻜﺒﺘﺎﻫﺎ ‪ x‬و ‪ y‬ﻋددان ﺼﺤﻴﺤﺎن‪.‬‬ ‫أن ) ‪ E (n‬ﻤﺤﻘﻘﺔ أي ّ‬ ‫ ﻝﻨﻔﺘرض ّ‬ ‫اﻝﻤﻘدﻤﺔ‪ ،‬اﻝﻨﻘطﺔ ) ‪ Sn +1(x ′, y ′) = f (Sn‬ﺘﺤﻘق ﻤﻌﺎدﻝﺔ ‪ H‬ﻓﻬﻲ ﺘﻨﺘﻤﻲ إﻝﻴﻬﺎ‪ ،‬وﻤرّﻜﺒﺘﺎﻫﺎ‬ ‫اﺴﺘﻨﺎداً إﻝﻰ ّ‬ ‫‪ x ′‬و ‪ y ′‬ﻋددان ﺼﺤﻴﺤﺎن‪.‬إذن اﻝﺨﺎﺼﺔ )‪ E (n + 1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ أﻴﻀﺎً‪.‬‬ ‫ﻓﻨﻜون ﻗد أﺜﺒﺘﻨﺎ ﺼﺤﺔ اﻝﺨﺎﺼﺔ اﻝﻤطﻠوﺒﺔ أﻴﺎً ﻜﺎﻨت ‪. n‬‬ ‫ﻴرﻤز ‪ x‬إﻝﻰ ﻋدد ﺤﻘﻴﻘﻲ وﻴرﻤز ‪ n‬إلى ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴر ﻤﻌدوم‪.‬ﻨﻀﻊ‬ ‫‪19‬‬ ‫) ‪Sn = cos x + cos(3x ) + cos(5x ) + ⋯ + cos((2n − 1)x‬‬ ‫
ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل دﺴﺎﺘﻴر ﻤﺜﻠﺜﺎﺘﻴﺔ ﺘﻌرﻓﻬﺎ‪ ،‬أﺜﺒت ‪‬‬ ‫أن‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sin(2a ) = 2 sin a cos a‬‬ ‫و‬ ‫= ‪sin a ⋅ cos b‬‬ ‫) )‪( sin(a + b) + sin(a − b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺤول ﻜﻼً ﻤن اﻝﻌﺒﺎرﺘﻴن اﻵﺘﻴﺘﻴن ﻤن ﺠداء ﻨﺴﺒﺘﻴن ﻤﺜﻠﺜﻴﺘﻴن إﻝﻰ ﻤﺠﻤوع ﻨﺴﺒﺘﻴن ﻤﺜﻠﺜﻴﺘﻴن‪.‬‬ ‫ ‪‬‬ ‫‪sin nx ⋅ cos nx‬‬ ‫و‬ ‫) ‪sin x ⋅ cos((2n + 1)x‬‬ ‫) ‪sin(nx‬‬ ‫× ) ‪ ، Sn = cos(nx‬أﻴﺎً ﻴﻜن ‪ n ≥ 1‬و ) ‪. x ≠ k π ( k ∈ Z‬‬ ‫أﺜﺒت ‪‬‬ ‫أن‬ ‫‪sin x‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫أن‬ ‫
رأﻴﻨﺎ ﻓﻲ دراﺴﺘﻨﺎ اﻝﺴﺎﺒﻘﺔ ّ‬ ‫‪sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b‬‬ ‫‪sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b‬‬ ‫ﺒﺤﺴﺎب ﻨﺼف اﻝﻤﺠﻤوع ﻨﺠد اﻝﻌﻼﻗﺔ اﻷوﻝﻰ‪.‬ﺜُّم ﺒﺎﺨﺘﻴﺎر ‪ b = a‬ﻨﺠد اﻝﻌﻼﻗﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ‪.‬‬ ‫ ﺒﺎﺨﺘﻴﺎر ‪ a = x ,b = (2n + 1)x‬ﻓﻲ اﻝﻌﻼﻗﺔ اﻷوﻝﻰ ﻤن
ﻨﺠد‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ) ‪sin x ⋅ cos ( (2n + 1)x‬‬ ‫) ‪( sin 2(n + 1)x + sin(−2nx ) ) = ( sin 2(n + 1)x − sin 2nx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﺒﺎﺨﺘﻴﺎر ‪ a = nx‬ﻓﻲ اﻝﻌﻼﻗﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ ﻤن  ﻨﺠد ‪. sin 2nx = 2 sin nx ⋅ cos nx‬‬ ‫ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ‪.‬‬ ‫ ﻝﻨرﻤز‪ ،‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ‪ ، n ≥ 1‬ﺒﺎﻝرﻤز ) ‪ E (n‬إﻝﻰ اﻝﺨﺎﺼﺔ‬ ‫) ‪sin(nx‬‬ ‫× ) ‪. Sn = cos x + cos(3x ) + cos(5x ) + ⋯ + cos((2n − 1)x ) = cos(nx‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪19‬‬  sin x. S1 = cos x = cos x × ‫ﻷﻨﻬﺎ ﺘُﻜﺎﻓﺊ‬ ّ ‫ ﻤﺤﻘﻘﺔ‬E (1) ‫إن‬ ّ sin x. Sn ‫ إﻝﻰ‬cos(2n + 1)x ‫ إﻝﻰ ﺠﻤﻊ‬Sn +1 ‫ إﻝﻰ‬Sn ‫ ﻴؤول اﻻﻨﺘﻘﺎل ﻤن‬.‫ ﻤﺤﻘﻘﺔ‬E (n ) ‫أن‬ ّ ‫ ﻝﻨﻔﺘرض‬ ‫إذن‬ Sn +1 = cos x + cos(3x ) + cos(5x ) + ⋯ + cos((2n − 1)x ) + cos cos((2n + 1)x ) = Sn + cos((2n + 1)x ) sin nx sin 2(n + 1)x − sin 2nx = cos nx × + sin x 2 sin x sin 2nx sin 2(n + 1)x − sin 2nx = + 2 sin x 2 sin x sin 2(n + 1)x sin(n + 1)x = = cos(n + 1)x ⋅ 2 sin x sin x. n ≥ 1 ‫ أﻴﺎً ﻜﺎﻨت‬E (n ) ‫ ﻓﻨﻜون ﻗد أﺜﺒﺘﻨﺎ ﺼﺤﺔ‬.ً‫ ﺼﺤﻴﺤﺔ أﻴﻀﺎ‬E (n + 1) ‫إذن اﻝﺨﺎﺼﺔ‬ 20 ‫اﻟﺘﻮاﺑﻊ ‪ :‬اﻟﳯﺎايت والاﺳـﳣﺮار‬ ‫‬ ‫  ‬ ‫     ‬ ‫  ‬ ‫  ُ‬ ‫  ‪!ّ#$‬‬ ‫' &‪%‬‬ ‫*)(‪ $‬‬ ‫(‪* %+ ,$(- .‬‬ ‫‪1‬‬  ‫ﻧﻘﺎط ّ‬ ‫اﻟﺘﻌﲅ ا ٔﻻﺳﺎﺳـﻴﺔ ﰲ ﻫﺬﻩ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫‪ -‬ﺎﻳﺔ ﺗﺎﺑﻊ ﻋﻨﺪ اﻟﻼ‪‬ﺎﻳﺔ أو ﻋﻨﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ‪ ،‬واﻟﻨﻬﺎﻳﺎت اﻟﻼ‪‬ﺎﺋﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻣﱪﻫﻨﺎت اﳌﻘﺎرﻧﺔ واﻹﺣﺎﻃﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺎﻳﺔ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺮّﻛﺐ‪.‬‬ ‫‪ -‬اﳌﻘﺎرﺑﺎت اﳌﺎﺋﻠﺔ‪ ،‬اﳌﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﱯ ﳌﻨﺤﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﱃ ﻣﻘﺎرﺑﻪ‪.‬‬ ‫‪ -‬اﻻﺳﺘﻤﺮار‪ ،‬وﻣﱪﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﻮﺳﻄﻰ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺻﻮرة ﳎﺎل وﻓﻖ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺴﺘﻤﺮ وﻣﻄﺮد ﲤﺎﻣﺎً‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﰲ ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻻت‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻣﻔﻬﻮم اﻟﺘﺎﺑﻊ اﻟﻌﻜﺴﻲ‪.‬‬ ‫‪2‬‬  ‫ب ﺻﻔﺤﺔ ‪34‬‬ ‫ﺗَﺪ ‪‬ر ْ‬ ‫
اﺤﺴب ﻨﻬﺎﻴﺎت اﻝﺘواﺒﻊ اﻵﺘﻴﺔ ﻋﻨد ∞‪ +‬وﻋﻨد ∞‪. −‬‬ ‫‪f (x ) = −3x 4 + 1‬‬ ‫‪
f (x ) = −x 3 + x 2 − x + 1‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f (x ) = 5x − 3x − 1‬‬ ‫ ‪ f (x ) = 8x − 12x + 5x − x‬‬ ‫‪f (x ) = −2x 4 + 100x 3  f (x ) = 7x 3 + 2x 2 − 5x − 1‬‬ ‫‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ٍ‬ ‫ﻋﻨدﺌذ ﺒﺈﻤﻜﺎن‬ ‫ﻴذﻜر اﻝﻤد ّرس ﺒﺎﻝﻤﺒرﻫﻨﺔ‪ :‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻜﺜﻴر ﺤدود ﻋﻨد ∞‪ +‬أو ∞‪ −‬ﻫﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ّ‬ ‫ﺤدﻩ اﻝﻤﺴﻴطر‪.‬‬ ‫اﻝطﺎﻝب ﺤﺴﺎب اﻝﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺒﺎﺸرة‪:‬‬ ‫‪lim (−3x 4 + 1) = −∞ ‬‬ ‫‪lim (−x 3 + x 2 − x + 1) = −∞ ‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫
‪‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫ ‪‬‬ ‫‪lim (−3x + 1) = −∞ ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪lim (−x + x − x + 1) = +∞ ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim (5x 3 − 3x − 1) = +∞ ‬‬ ‫‪lim (8x 4 − 12x 3 + 5x 2 − x ) = +∞ ‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫ ‪‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫ ‪‬‬ ‫‪lim (5x 3 − 3x − 1) = −∞ ‬‬ ‫‪lim (8x 4 − 12x 3 + 5x 2 − x ) = +∞ ‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim (−2x 4 + 100x 3 ) = −∞ ‬‬ ‫‪lim (7x 3 + 2x 2 − 5x − 1) = +∞ ‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫ ‪‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫ ‪‬‬ ‫‪lim (−2x 4 + 100x 3 ) = −∞ ‬‬ ‫‪lim (7x 3 + 2x 2 − 5x − 1) = −∞ ‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫‪‬‬ ‫ اﺤﺴب ﻨﻬﺎﻴﺔ اﻝﺘﺎﺒﻊ ‪ f‬اﻝﻤﻌطﻰ ﺒﺎﻝﻌﻼﻗﺔ ‪ f (x ) = 5x − 1‬ﻋﻨد ∞‪ ، +‬ﺜ ‪‬م ِ‬ ‫أﻋط ﻋدداً ‪ A‬ﻴﺤﻘق‬ ‫‪x −1‬‬ ‫اﻝﺸرط‪ :‬إذا ﻜﺎن ‪ ، x > A‬ﻜﺎن ) ‪ f (x‬ﻓﻲ اﻝﻤﺠﺎل [ ‪. ] 4.9, 5.1‬‬ ‫إن ‪. lim f (x ) = 5‬وﻴﻨﺘﻤﻲ ) ‪ f (x‬ﻴﻨﺘﻤﻲ إﻝﻰ اﻝﻤﺠﺎل [‪ ]4.9, 5.1‬إذا وﻓﻘط إذا‬ ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫ّ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻜﺎن‪ ، f (x ) − 5 < 10 :‬أي ‪ |x − 1| < 10‬أو |‪ ، 40 < |x − 1‬ﻓﺈذا ﻜﺎن ‪ x > 41‬ﺘﺤﻘّ َ‬ ‫ق‬ ‫اﻝﻤطﻠوب‪ ،‬ﻓﻴﻤﻜن أن ﻨﺄﺨذ إذن ‪ A = 41‬أو أي ﻋدد أﻜﺒر ﻤﻨﻪ‪.‬‬ ‫ب ﺻﻔﺤﺔ‪38‬‬ ‫ﺗَﺪ ‪‬ر ْ‬ ‫اﺤﺴب ﻨﻬﺎﻴﺎت اﻝﺘواﺒﻊ اﻵﺘﻴﺔ ﻋﻨد ∞‪ +‬وﻋﻨد ∞‪ −‬وﻋﻨد اﻝﻨﻘطﺔ ‪ a‬اﻝﻤﻌطﺎة‪ ،‬وﻴﻤﻜن ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ‬ ‫
‬ ‫ﻋدم وﺠود اﻝﻨﻬﺎﻴﺔ ﺤﺴﺎب اﻝﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤن اﻝﻴﻤﻴن واﻝﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤن اﻝﻴﺴﺎر ﻋﻨد ‪. a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +2‬‬ ‫‪x −3‬‬ ‫= ) ‪f (x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a =2‬‬ ‫= ) ‪
f (x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a =1‬‬ ‫‬ ‫‪x −2‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪5x + 1‬‬ ‫‪2x − 1‬‬ ‫= ) ‪f (x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫= ) ‪a = −1  f (x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ ‪a = −1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +2‬‬ ‫‪f (x ) = 3x − 5 +‬‬ ‫= ) ‪, a = −2  f (x‬‬ ‫‪, a =2‬‬ ‫‬ ‫‪x +2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(x − 2‬‬ ‫‪3‬‬  ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫‪x −3‬‬ ‫= ) ‪ f (x‬ﻤﻌرف ﻋﻠﻰ }‪ ℝ \{1‬وﻝدﻴﻨﺎ‬ ‫ ﻫﻨﺎ‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪lim f (x ) = 1‬‬ ‫‪lim f (x ) = 1‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫∞‪lim f (x ) = +‬‬ ‫∞‪lim f (x ) = −‬‬ ‫‪x →1−‬‬ ‫‪x →1+‬‬ ‫وﻝﻴس ﻝﻠﺘﺎﺒﻊ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨد ‪. 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x +2‬‬ ‫= ) ‪ f (x‬ﻤﻌرف ﻋﻠﻰ }‪ ℝ \{2‬وﻝدﻴﻨﺎ‬ ‫
ﻫﻨﺎ‬ ‫‪x −2‬‬ ‫∞‪lim f (x ) = −‬‬ ‫∞‪lim f (x ) = +‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫∞‪lim f (x ) = −‬‬ ‫∞‪lim f (x ) = +‬‬ ‫‪x →2−‬‬ ‫‪x →2+‬‬ ‫وﻝﻴس ﻝﻠﺘﺎﺒﻊ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨد ‪. 2‬‬ ‫‪2x − 1‬‬ ‫= ) ‪ f (x‬ﻤﻌرف ﻋﻠﻰ }‪ ℝ \{−1‬وﻝدﻴﻨﺎ‬ ‫ ﻫﻨﺎ‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪lim f (x ) = 2‬‬ ‫‪lim f (x ) = 2‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫∞‪lim f (x ) = +‬‬ ‫∞‪lim f (x ) = −‬‬ ‫‪x →(−1)−‬‬ ‫‪x →(−1)+‬‬ ‫وﻝﻴس ﻝﻠﺘﺎﺒﻊ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨد ‪. −1‬‬ ‫‪5x + 1‬‬ ‫= ) ‪ f (x‬ﻤﻌرف ﻋﻠﻰ }‪ ℝ \{−1‬وﻝدﻴﻨﺎ‬ ‫ ﻫﻨﺎ‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪lim f (x ) = 5‬‬ ‫‪lim f (x ) = 5‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫∞‪lim f (x ) = +‬‬ ‫∞‪lim f (x ) = −‬‬ ‫‪x →(−1)−‬‬ ‫‪x →(−1)+‬‬ ‫وﻝﻴس ﻝﻠﺘﺎﺒﻊ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨد ‪. −1‬‬ ‫‪x +2‬‬ ‫= ) ‪ f (x‬ﻤﻌرف ﻋﻠﻰ }‪ ℝ \{2‬وﻝدﻴﻨﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫ ﻫﻨﺎ‬ ‫)‪(x − 2‬‬ ‫∞‪lim f (x ) = +‬‬ ‫‪lim f (x ) = 0‬‬ ‫‪lim f (x ) = 0‬‬ ‫‪x →2‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ f (x ) = 3x − 5 +‬ﻤﻌرف ﻋﻠﻰ }‪ ℝ \{−2‬وﻝدﻴﻨﺎ‬ ‫ ﻫﻨﺎ‬ ‫‪x +2‬‬ ‫∞‪lim f (x ) = −‬‬ ‫∞‪lim f (x ) = +‬‬ ‫∞‪x →−‬‬ ‫∞‪x →+‬‬ ‫∞‪lim f (x ) = −‬‬ ‫∞‪lim f (x ) = +‬‬ ‫‪x →(−2)−‬‬ ‫‪x →(−2)+‬‬ ‫‪5x − 1‬‬ ‫ﻋﻴن ﻋدداً ‪ α‬ﻴﺤﻘّق اﻝﺸرط‪ :‬إذا‬ ‫= ) ‪ f (x‬ﻋﻨد ‪ ، 1‬ﺜ ‪‬م ّ‬ ‫‪2‬‬ ‫ ِﺠ ْد ﻨﻬﺎﻴﺔ اﻝﺘﺎﺒﻊ ‪ f‬اﻝﻤﻌﻴن ﺒﺎﻝﻌﻼﻗﺔ‬ ‫)‪(x − 1‬‬ ‫ﻤﺨﺘﻠﻔﺎً ﻋن ‪ ، 1‬ﻜﺎن ‪. f (x ) > 103‬‬ ‫‪1−α,1+α ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻜﺎن ‪ x‬ﻋﻨﺼ اًر ﻤن اﻝﻤﺠﺎل‬ ‫‪4‬‬  ‫اﻟﺤﻞ‬ ‫ﺘﺠري ﻤﻘﺎرﺒﺔ ﻫذا اﻝﻨوع ﻤن اﻝﺘﻤﺎرﻴن ﻜﻤﺎ ﻴﺄﺘﻲ‪ :‬ﺘﻘﺴم اﻝﺴﺒورة إﻝﻰ ﻗﺴﻤﻴن‪ :‬ﻗﺴم ﻴﺠري ﺘﺤﻠﻴل اﻝﻤﺴﺄﻝﺔ ﻋﻠﻴﻪ‪،‬‬ ‫وﻗﺴم ﻴﺠري ﻓﻴﻪ ﺼﻴﺎﻏﺔ اﻝﺤل‪.‬‬ ‫‪5x − 1‬‬ ‫‪ ، lim‬وﻨﺒﺤث ﻋن ﻗﻴم ‪x‬‬ ‫أن ∞‪= +‬‬ ‫‪.‬ﻤن اﻝواﻀﺢ اﺴﺘﻨﺎداً إﻝﻰ دراﺴﺘﻨﺎ ّ‬ ‫اﳌﺴﻮدة ٔاواﻟﺘﺤﻠﻴﻞ‬ ‫‪x →1 (x‬‬ ‫‪− 1)2‬‬ ‫‪5x − 1‬‬ ‫‪ ،‬ﻜﺎن اﻷﻤر أﺒﺴط ﻝو ﻜﻨﺎ ﻨﺒﺤث ﻋن ﻗﻴم ‪x‬‬ ‫اﻝﻘرﻴﺒﺔ ﻤن اﻝواﺤد وﻏﻴر اﻝواﺤد اﻝﺘﻲ ﺘﺠﻌل ‪> 103‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(x − 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﻷﻨﻨﺎ ﻋﻨدﻫﺎ ﻨﻌﻴد‬ ‫‪ ،‬ﺤﻴث ‪ A‬ﻋدد ﻤوﺠب ّ‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻝﻘرﻴﺒﺔ ﻤن اﻝواﺤد وﻏﻴر اﻝواﺤد اﻝﺘﻲ ﺘﺠﻌل ‪> 103‬‬ ‫)‪(x − 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫وﻋﻨدﻫﺎ ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫أي |‪A × 10−3 > |x − 1‬‬ ‫اﻝﻤﻜﺎﻓﺊ ‪> (x − 1)2‬‬ ‫ﻜﺘﺎﺒﺔ اﻝﻤﺘراﺠﺤﺔ اﻝﺴﺎﺒﻘﺔ ﺒﺎﻝﺸﻜل ُ‬ ‫‪103‬‬ ‫‪ α = A × 10−3‬ﻜﺎﻨت ﺴﺘﺤﻘّق اﻝﻤطﻠوب‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ ،‬إذ ﻝدﻴﻨﺎ ﻓﻲ اﻝﺒﺴط ‪ 5x − 1‬ﺒدﻻً ﻤن ‪. A‬وﻫﻨﺎ ﻨﺘذ ّﻜر‬ ‫وﻝﻜن اﻝﺘﺎﺒﻊ اﻝذي ﻨدرﺴﻪ ﻝﻴس ﻤن اﻝﺸﻜل‬ ‫ّ‬ ‫‪(x − 1)2‬‬ ‫أن ‪ 5x − 1‬ﻴﻘﺘرب ﻤن اﻝﻌدد ‪ 4‬ﻋﻨدﻤﺎ ﺘﻘﺘرب ‪ x‬ﻤن اﻝﻌدد واﺤد‪ ،‬وﻋﻠﻴﻪ إذا اﺨﺘرﻨﺎ ‪ A‬أي ﻋدد أﺼﻐر‬ ‫ّ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎً ﻤن ‪ 4‬ﻜﺎن ‪ 5x − 1 > A‬ﻓﻲ ﺠوار اﻝﻌدد ‪ ) ، 1‬وﺘﺤدﻴداً ﻋﻨدﻤﺎ ‪ (x > 1+5A = 1 − 4−5A‬وﻓﻲ ﻫذا‬ ‫‪5x − 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﻝﻴﻜون‬ ‫أن ﻴﺤﻘّق ‪ x‬اﻝﺸرط |‪A × 10−3 > |x − 1‬‬ ‫‪ ،‬ﻴﻜﻔﻲ ﻋﻨدﺌذ ّ‬ ‫‪2‬‬ ‫>‬ ‫اﻝﺠوار ﻴﻜون‬ ‫)‪(x − 1‬‬ ‫‪(x − 1)2‬‬ ‫‪5x − 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫= ) ‪. f (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫>‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪> 103‬‬ ‫)‪(x − 1‬‬ ‫)‪(x − 1‬‬ ‫‪5x − 1‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪ ،‬وﻤن ﺜَّم إذا‬ ‫>‬ ‫ﻤﺜﻼً إذا اﺨﺘرﻨﺎ ‪ A = 1.6‬ﻜﺎن ﻝدﻴﻨﺎ ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ‪ x > 0.52‬اﻝﻤﺘراﺠﺤﺔ‬ ‫‪(x − 1)2‬‬ ‫‪(x − 1)2‬‬ ‫ا?