Digital Systems Chapter 3 PDF

Capı́tulo 3 Sistemas discretos y muestreados Las técnicas de control analógico o continuo permiten controlar una gran variedad de sistemas dinámicos, pero existen problemas a los que no se pueden aplicar. Por ejemplo: Sistemas económicos. Es posible plantear la necesidad de controlar determinad...

Capı́tulo 3 Sistemas discretos y muestreados Las técnicas de control analógico o continuo permiten controlar una gran variedad de sistemas dinámicos, pero existen problemas a los que no se pueden aplicar. Por ejemplo: Sistemas económicos. Es posible plantear la necesidad de controlar determinadas magnitudes económicas, como el producto interior bruto (PIB) de un paı́s; averigüar en ciertos contextos si es preferible reducir el gasto para limitar la deuda o incrementarlo para activar los mercados; buscar polı́ticas que permitan evitar los ciclos económicos, etc. Control del tráfico en Internet. Existen decisiones crı́ticas que se deben tomar permanentemente sobre el enrutamiento de paquetes de datos, como cuándo se debe reducir la prioridad de determinados paquetes, retrasarlos o encaminarlos por vı́as alternativas. Determinación de la posición o la estructura de un objeto mediante sistemas de radar/sonar/ultrasonidos, etc. Control de tiempos de espera, longitud de colas: ¿Cuándo se debe poner en marcha una nueva lı́nea de producción, abrir una caja en un banco o un supermercado, . . . ? Control de la propagación de plagas o epidemias ... La caracterı́stica común a todos los ejemplos mencionados es que el controlador no dispone de la información relevante sobre el comportamiento del sistema en todo instante, ya sea porque no existe, porque nuestros instrumentos no nos la proporcionan o porque sea incapaz de gestionarla. En algunos casos las magnitudes que se desean controlar no están definidas en todo instante de tiempo, sino que son por naturaleza de tiempo discreto. Para poder ocuparnos de este tipo de problemas de control es preciso extender el concepto de planta más allá de un sistema continuo, y aprender a caracterizar y modelar sistemas discretos y muestreados. 3.1. Sistemas discretos En primer lugar vamos a tratar el caso de los sistemas discretos. Para concretar qué clase de sistemas estamos considerando establecemos la siguiente: Definición (Sistemas discretos). Son aquellos en los que las magnitudes de interés varı́an en el tiempo, tomando valores sólo en instantes concretos. 77 78 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS En un sistema discreto, una secuencia de valores de entrada generará una secuencia de valores de salida: {uk } {yk } Es importante darse cuenta de que esta definición es subjetiva, puesto que depende de cuál sea nuestro interés, por lo que el mismo sistema puede ser considerado en un caso discreto y en otro no. El sistema puede tener variables continuas, siempre y cuando no sean relevantes para nuestro propósito. Como ejemplo podemos pensar en el resultado de una serie de lanzamientos de un dado. El dado tiene volumen, masa, posición y orientación, definidas en todo instante de tiempo, pero la magnitud que nos interesa es el número de la cara superior una vez que el dado queda inmóvil después de cada lanzamiento. Obsérvese que el tiempo transcurrido entre dos valores obtenidos de la secuencia de salida no es constante. Al igual que en el caso de los sistemas continuos es útil establecer una clasificación de los sistemas discretos para concretar cuál es el ámbito de aplicación de las técnicas que se van a tratar a lo largo del curso. Podemos distinguir entre sistemas discretos: Estáticos: Son sistemas sin memoria. La salida en un instante determinado depende sólo de la entrada en ese instante yk = f (uk ) Dinámicos: yk = f (y1 , y2 , . . . , ym , u1 , . . . , un ) Dentro de los sistemas dinámicos podemos distinguir: ˆ Causales: m < k, n 6 k ˆ Lineales: yk = a1 yk−1 + a2 yk−2 + · · · + am yk−m + b0 uk + · · · + bn uk−n ˆ Invariantes: f (), o ai , bi no cambian con el paso del tiempo. Vamos a considerar únicamente sistemas dinámicos discretos causales, lineales e invariantes (LTI: linear time-invariant). 3.1.1. Modelado y evolución La evolución de un sistema discreto de las caracterı́sticas mencionadas (LTI) se describe mediante ecuaciones en diferencias como: yk = a1 yk−1 + · · · + am yk−m + b0 uk + · · · + bn uk−n (3.1) donde los coeficientes ai , bi son constantes. Como se puede apreciar, el valor de la salida k-ésima viene dado por una combinación lineal de valores anteriores de la secuencia de salida y de los valores actual y anteriores de la secuencia de entrada. Este tipo de ecuación (ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes) se puede resolver por técnicas análogas a las que se utilizan para resolver los ecuaciones diferenciales (búsqueda de la solución de la ecuación homogénea y una particular, método de variación de las constantes, etc.). 79 3.1. SISTEMAS DISCRETOS La solución adopta siempre la siguiente forma1 : yk = yklibre + ykforzada (3.2) Las dos componentes de la solución se denominan: Respuesta libre: Es la contribución a la respuesta de las condiciones iniciales y−1 , . . . , y−m Respuesta forzada: Es la contribución a la respuesta debida a la entrada {uk } En general en control digital nos interesa considerar únicamente la respuesta forzada, porque es a través de la secuencia de entrada {uk } como podremos conseguir que la secuencia de salida se comporte como se desee. En cualquier caso la respuesta libre estará siempre presente, y para tenerla en cuenta deberı́amos poder estimar los valores de las condiciones iniciales. Normalmente eso no se hace y se desprecia, considerando que el sistema controlado será estable y que por lo tanto el error debido a las condiciones iniciales se reducirá paulatinamente (las consideramos como una perturbación). Además de las técnicas mencionadas para la resolución de las ecuaciones en diferencias, podemos utilizar técnicas de transformación, como se hace al aplicar la transformada de Laplace a los sistemas continuos. En este caso, la transformada que se debe utilizar es, naturalmente2 , la transformada Z. El procedimiento a seguir para resolver la ecuación (3.1) es: 1. Aplicar la transformada Z a los dos miembros de la ecuación 2. Utilizar el teorema de retraso: Z [{yk−m }] = z −m y(z) + y−1 z −(m−1) + y−2 z −(m−2) + · · · + y−m Como el sistema es lineal, aplicaremos el principio de superposición y calcularemos por separado la respuesta libre y la forzada. Respuesta libre Si consideramos nula la secuencia de entrada, la ecuación (3.1) se transforma en: yk = a1 yk−1 + · · · + am yk−m (3.3) Siguiendo el procedimiento establecido se obtiene: ylibre (z) = c0 + c1 z −1 + · · · + cm−1 z −(m−1) 1 − a1 z −1 · · · − am z −m (3.4) Los coeficientes ci se obtienen al resolver el sistema lineal de ecuaciones:  c0 c1 c2 .. .       cm−1 1 Debido   a1   a2     a3 =   ..   . a2 a3 a4 .. . a3 a4 a5 .. . ··· ··· ··· .. . am 0 0 ···   am y−1   0   y−2    0   y−3   ..   ..  .  .  0 (3.5) y−m al principio de superposición aplicable a los sistemas lineales. es la que se ha presentado en el capı́tulo 2. Existen otras transformadas que se podrı́an utilizar, como la transformada ∆ (véase, por ejemplo [Middleton and Goodwin, 1990, pag. 63]). 2 Porque 80 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS Obviamente, si las condiciones iniciales son nulas, todos los ci también lo son y se anula la respuesta libre. Respuesta forzada Resolvemos ahora la ecuación (3.1) considerando nulas las condiciones iniciales. Siguiendo el mismo procedimiento se encuentra que: yforzada (z) = G(z)u(z) (3.6) donde G(z) es la función de transferencia discreta3 , definida por la expresión: b0 + b1 z −1 + · · · + bn z −n 1 − a1 z −1 · · · − am z −m G(z) ≡ (3.7) De acuerdo con la ecuación (3.6), se puede escribir la función de transferencia discreta como: G(z) = yforzada (z) y(z) = u(z) u(z) (3.8) c.i.=0 Es decir, podemos calcular la función de transferencia discreta como el cociente entra las transformadas Z de la secuencia de salida y la secuencia de entrada, si las condiciones iniciales son nulas, ya que en ese caso y(z) = yforzada (z). Secuencia de ponderación Para calcular la función de transferencia discreta podemos utilizar cualquier secuencia de entrada. En particular, podrı́amos escoger una secuencia de entrada tal que u(z) = 1 (un impulso unitario). En ese caso la ecuación anterior se convierte en: G(z) = y(z) u(z) = c.i.=0 y(z) = y(z) 1 (3.9) Ası́ pues G(z) es la transformada Z de alguna secuencia, por lo que podremos escribirla como: G(z) = ∞ X gk z −k (3.10) k=0 Como y(z) = G(z) esa secuencia es la secuencia de salida correspondiente a un impulso unitario, es decir, la respuesta impulsional. Por lo tanto gk son las muestras de la respuesta impulsional y forman la secuencia de ponderación: {gk } = Z −1 [G(z)] (3.11) Teniendo en cuenta el teorema de convolución, dado por la ecuación (2.9), de la ecuación (3.6) se deduce: yk = ∞ X m=0 3 En gk−m um = ∞ X gm uk−m m=0 el contexto de los sistemas muestreados se denomina función de transferencia pulso o pulsada. (3.12) 81 3.1. SISTEMAS DISCRETOS que son las versiones en el dominio del tiempo (discreto) de la ecuación (3.6). Es sencillo interpretarlas si consideramos que a diferencia de lo que ocurre en el caso continuo, cualquier señal discreta es una combinación lineal de impulsos unitarios aplicados en distintos instantes y que la secuencia de ponderación describe el efecto de cada impulso. Como el sistema es lineal, la respuesta es la suma de las contribuciones de cada impulso: yk = gk u0 + gk−1 u1 + gk−2 u2 + · · · + g1 uk−1 + g0 uk (3.13) La salida en el instante k es la suma de la respuesta debida a un impulso de amplitud u0 en el instante inicial, más la debida a un impulso de amplitud u1 en el instante k = 1, etc. La contribución del primer impulso es gk , mientras que la del segundo impulso es gk−1 , etc. , puesto que el sistema ha dispuesto de menos tiempo para responder a los impulsos que llegan más tarde. Ejercicio 3.1 Si la respuesta ante escalón unitario de un sistema discreto se corresponde con la secuencia {1, 0.9, 0.8, 0.7, . . . } indique cual de las siguientes secuencias es su respuesta impulsional: 1. {1, −0.1, −0.1, . . . } 2. {1, −0.1, 1, . . . } 3. {0.1, −1, 0.1, . . . } 4. {0.1, −1, −1, . . . } 5. Ninguna de las otras (solución en pág. 99) 3.1.2. Ejemplo: Modelo de Keynes Podemos relacionar las siguientes variables macroeconómicas mediante un modelo keynesiano simple. Sean: {pk }: secuencia de valores anuales del PIB {ck }: secuencia de valores anuales del consumo {ik }: secuencia de valores anuales de la inversión {gk }: secuencia de valores anuales del gasto del gobierno en bienes y servicios pk = ck + ik + gk ck = apk−1 ik = b(ck − ck−1 ) El parámetro a representa la propensión marginal al consumo, es decir, el consumo adicional que se genera por cada unidad adicional de ingresos. El parámetro b se relaciona con el llamado efecto 82 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS acelerador y describe cómo el incremento de la economı́a se transforma en aumento de inversión. La variable que se desea controlar es el PIB y la que se puede manipular (la señal de entrada) es el gasto gubernamental. En primer lugar vamos a encontrar la función de transferencia discreta p(z)/g(z). Para ello aplicamos la transformada Z y el teorema de retraso al sistema de ecuaciones en diferencias, considerando condiciones iniciales nulas puesto que buscamos la función de transferencia: p(z) = c(z) + i(z) + g(z) c(z) = az −1 p(z) i(z) = b[c(z) − z −1 c(z)] Eliminando i(z) y c(z) encontramos: p(z) = c(z) + i(z) + g(z) = az −1 p(z) + b(1 − z −1 )az −1 p(z) + g(z) Agrupando a la izquierda los factores con p(z) [1 − az −1 − abz −1 (1 − z −1 )]p(z) = g(z) Finalmente, despejando p(z)/g(z) se llega a: 1 z2 p(z) = = g(z) 1 − a(1 + b)z −1 + abz −2 z 2 − a(1 + b)z + ab (3.14) Para analizar el comportamiento el modelo de Keynes fijaremos el parámetro a = 3/4 y daremos distintos valores al parámetro b. Modelo de Keynes. b = 1/2 p(z) z2 = 2 g(z) z − 1,125z + 0,375 Respuesta ante escalón 4 3 2 0 5 10 Modelo de Keynes. b = 1 p(z) z2 = 2 g(z) z − 1,5z + 0,75 15 83 3.1. SISTEMAS DISCRETOS Respuesta ante escalón 6 5 4 3 0 5 10 15 Modelo de Keynes. b = 2 z2 p(z) = 2 g(z) z − 2,25z + 1,5 Respuesta ante escalón 200 100 0 −100 0 5 10 15 El sistema que representa este modelo es discreto, puesto que las variables de interés no están definidas salvo en determinados instantes de tiempo. Utilizando el modelo y las técnicas de análisis de las funciones de transferencia discretas (capı́tulos 5 y 6) es posible deducir que para que el sistema sea estable se tiene que cumplir la condición 1 ab < 1 y que su ganancia estática es 1−a . Las simulaciones realizadas indican con claridad que el modelo puede dar cuenta de los ciclos económicos. Es posible modificar el comportamiento del sistema de dos maneras: 1. Alterando los valores de los parámetros a y b mediante polı́ticas de incentivación o desincentivación de consumo e inversión. 2. Ligando los gastos del gobierno a la evolución del PIB (creando un lazo de realimentación). Si el modelo fuera suficientemente representativo de la evolución económica de un paı́s podrı́a utilizarse para diseñar un sistema de control del PIB. Abordar un problema de estas caracterı́sticas requiere en primer lugar la obtención de modelos mejores y más completos. Ejercicio 3.2 Suponiendo que el comportamiento de una función de transferencia discreta es similar al de una continua, determine la condición que debe cumplirse para que el modelo de Keynes no prediga ciclos económicos. 84 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS (solución en pág. 99) 3.1.3. Ejemplo: Espacio de estados Cualquier sistema discreto propio, lineal e invariante en el tiempo puede representarse mediante el siguiente sistema de ecuaciones en diferencias: xk+1 = Axk + Buk (3.15) yk = Cxk + Duk (3.16) donde xk es un vector columna, uk e yk son los valores de la señal de entrada y salida en el instante k y {A, B, C, D} es un conjunto de matrices de las dimensiones apropiadas. La primera ecuación se denomina ecuación de estado y la segunda ecuación de salida. Obviamente dicho sistema debe poder representarse mediante una función de transferencia. Para calcularla aplicaremos la transformada Z y para ello debemos expresar la relación entre las secuencias: {xk+1 } = {Axk + Buk } = A{xk } + B{uk } {yk } = {Cxk + Duk } = C{xk } + D{uk } Aplicando la transformada Z y el teorema de adelanto: zx(z) − zx0 = Ax(z) + Bu(z) −→ (zI − A)x(z) = Bu(z) + zx0 y(z) = Cx(z) + Du(z) Eliminando entre ambas ecuaciones la transformada del vector de estado x(z), y considerando condiciones iniciales nulas (estado inicial en reposo: x0 = 0) encontramos: y(z) = C(zI − A)−1 B + D u(z) (3.17) En el caso particular del sistema de segundo orden representado en el espacio de estados por la siguiente ecuación:  xk+1 = 1 0  yk = 1    1 0 xk + u 1 1 k  1 xk + 3uk resulta muy sencillo aplicar la ecuación (3.17), y calcular ası́ la función de transferencia correspondiente a este sistema: y(z) 3z 2 − 5z + 3 = 2 u(z) z − 2z + 1 Podemos comprobarlo utilizando Scilab: 85 3.1. SISTEMAS DISCRETOS // Definir matrices A = [1 1 ; 0 1] B = [0 ; 1] C = [1 1] D = 3; // Para sistemas discretos utilizamos : Tm = 1 // Construir el sistema G = l t i s s (A, B, C, D, Tm) // Mostrarlo como función de transferencia G. d i s p = ’ t f ’ 3.1.4. Ejemplo: Controlador digital Otro ejemplo de sistema discreto lo encontramos en los controladores digitales. El ordenador no puede procesar la información de manera continua, sino que sigue un proceso iterativo, repitiendo ciclos con los siguientes pasos: 1. Lectura de datos 2. Ejecución del algoritmo de control 3. Escritura 4. Espera Ası́, sólo produce la información que se precisa en determinados instantes de tiempo, por lo que podemos considerarlo como un sistema discreto. Si el algoritmo de control corresponde a un controlador lineal, éste podrá representarse mediante una función de transferencia discreta. Por ejemplo, supongamos que el controlador es: D(z) ≡ 3z 2 + 2z + 1 a(z) = 2 e(z) z +z+1 donde a(z) es la transformada Z de la secuencia de acciones de control generadas por el ordenador y e(z) es la transformada de la secuencia de valores de error leı́dos por el ordenador. En este caso, partimos de la función de transferencia y lo que se desea es encontrar el algoritmo de control e implementarlo en el ordenador utilizando algún lenguaje de programación y algún sistema operativo en tiempo real. Para ello debemos: 1. Encontrar la ecuación en diferencias entre el error y la acción 2. Escribir un programa que calcule los valores de ak Podemos reescribir la ecuación anterior como: a(z) = 3z 2 + 2z + 1 3 + 2z −1 + z −2 e(z) = e(z) 2 z +z+1 1 + z −1 + z −2 Multiplicando por el polinomio del denominador: (1 + z −1 + z −2 )a(z) = (3 + 2z −1 + z −2 )e(z) 86 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS Utilizando ahora el teorema de retraso y la transformada inversa, obtenemos: ak + ak−1 + ak−2 = 3ek + 2ek−1 + ek−2 y de ahı́: ak = −ak−1 − ak−2 + 3ek + 2ek−1 + ek−2 Una vez obtenido el algoritmo de control podemos trasladarlo a un programa de ordenador como el siguiente: void controlador ( void ) { // d e f i n i c i ó n de v a r i a b l e s s t a t i c d o u b l e ek1 , ek2 = 0 ; s t a t i c d o u b l e ak1 , ak2 = 0 ; // f a s e de l e c t u r a double e r r o r = l e e ( ) ; // c á l c u l o de l a a c c i ó n de c o n t r o l // ak + ak1 + ak2 = 3 ek + 2 ek1 +ek2 d o u b l e a c c i o n = =ak1=ak2+3* e r r o r +2* ek1+ek2 ; // f a s e de e s c r i t u r a escribe ( accion ) ; // a c t u a l i z a c i ó n de i n f o r m a c i ó n para e l s i g u i e n t e // i n s t a n t e de muestreo ek2 = ek1 ; ek1 = e r r o r ; ak2 = ak1 ; ak1 = a c c i o n ; } v o i d main ( v o i d ) { // D e f i n i c i ó n d e l p e r i o d o de muestreo double T = 0 . 1 ; // S o l i c i t u d a l s i s t e m a en tiempo r e a l de que s e e j e c u t e // l a f u n c i ó n ’ c o n t r o l a d o r ’ cada T u n i d a d e s de tiempo llama ( controlador , T ) ; } 3.2. Sistemas muestreados Además de los sistemas continuos y de los sistemas discretos, existen otros que comparten algunas caracterı́sticas con los anteriores. Son sistemas continuos (las variables de interés lo son) de los que no conocemos los valores de dichas variables salvo en determinados instantes de tiempo. Aunque las técnicas de diseño de controladores que se presentarán en el curso se pueden aplicar igual a sistemas discretos, el caso más habitual es que se trate de controlar un sistema muestreado (en lugar de control digital, se emplea con frecuencia la denominación control de sistemas muestreados). La necesidad de muestrear las señales de interés puede deberse a que el ordenador no puede procesar señales de manera continua, pero también a que los sensores que se utilizan no pueden proporcionar información continuamente. Un ejemplo fácil de entender es el del radar, donde el sensor trata de obtener información de la posición de todos los objetos que se aproximan a una localización concreta, emitiendo pulsos y recibiendo los ecos correspondientes mediante una antena 87 3.2. SISTEMAS MUESTREADOS giratoria que realiza un barrido del espacio de interés. La posición de un objeto concreto sólo puede evaluarse una vez por cada rotación de la antena, por lo que aunque dicha posición es una variable continua la información de la que vamos a disponer es la de la secuencia de valores obtenidos en determinados instantes. En sistemas de control de enfermedades, las decisiones médicas (acciones de control ) se basan sobre muestreos de determinadas variables continuas realizados mediante análisis clı́nicos donde se miden niveles de glucosa, tensión arterial, ácido úrico, colesterol, . . . Ası́ pues, aunque según la discusión anterior podrı́amos definir los sistemas muestreados como aquellos sistemas continuos de los que sólo conocemos las magnitudes de interés en determinados momentos, en el caso concreto de sistemas de control digital es necesario considerar que también la señal de entrada (la acción de control) debe ser digital, por lo que se precisa una definición más restrictiva: Definición (Sistema muestreado). Sistema continuo del que sólo conocemos las magnitudes de interés en determinados momentos y sobre el que podemos actuar mediante señales discretas. Puesto que la planta es continua pero la entrada es una señal discreta, debe existir un conversor D/A. Por lo tanto un sistema muestreado, desde el punto de vista del control digital es el sistema compuesto por la terna (en orden estricto): {Retenedor, Planta, Muestreador} La representación gráfica de un sistema muestreado puede apreciarse en la figura 3.1. {ak } {yk } G(s) CDA Planta T Figura 3.1: Sistema muestreado 3.2.1. Función de transferencia pulso Un sistema muestreado es por lo tanto un sistema continuo con el que interactuamos como si fuera discreto. Desde ese punto de vista tiene sentido tratar de caracterizarlo mediante una función de transferencia discreta. Existen dos diferencias esenciales entre los sistemas discretos y los muestreados. En estos últimos: Las variables de interés están definidas entre instantes de muestreo. El proceso de obtención del valor de la secuencia de salida (muestreo) es imperfecto. Si consideramos la salida de un sistema discreto, pongamos por ejemplo el resultado del lanzamiento de un dado mencionado anteriormente, no hay ningún problema en valorar el resultado. Sin embargo en un sistema analógico las señales están continuamente evolucionando y no es tan simple evaluarlas en un instante determinado. Para que el funcionamiento de los muestreadores sea adecuado los tiempos de adquisición y conversión deben ser mucho menores que los tiempos caracterı́sticos de cambio de la señal. Es preciso pues prestar atención al proceso de muestreo. Tı́picamente se realiza multiplicando la señal que nos interesa por una señal portadora, una secuencia de pulsos de corta duración. Se puede demostrar que si la duración de los pulsos es despreciable, podemos aproximar su comportamiento mediante una sucesión de impulsos continuos (véase la sección 4.1.5 o la referencia [Ragazzini and Franklin, 1958]) y, en ese caso, la transformada de Laplace de la señal obtenida coincide con la transformada Z de la secuencia de muestras si hacemos el cambio de variable: 88 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS z = eT s (3.18) Por esa razón, la función de transferencia discreta que se obtiene para describir el comportamiento de un sistema muestreado se denomina función de transferencia pulso o función de transferencia discreta equivalente. La función de transferencia pulso depende de: La planta El tipo de conversor. El periodo de muestreo. Es esencial recordar el hecho de que la función de transferencia discreta equivalente depende del tipo de retenedor que se utilice en el sistema muestreado. Para evitar en lo posible cualquier confusión, se procurará denotar la función de transferencia pulso mediante el sufijo m (muestreado), de manera que se escribirá como sigue: Gm (z) = y(z) a(z) ci=0 Según el retenedor encontraremos distintas expresiones para la función de transferencia pulso. Por ejemplo: Si el sistema muestreado dispone de un retenedor orden cero (ZOH) Gm (z) = H0 G(z) = (1 − z −1 )Z s = %s; Tm = 1 ; Gs = l t i s y s t e m ( 1 / ( s +1)) Gz = l t i t o D i s c r e t e (G, Tm)  G(s) s  (3.19) // Construir el sistema // H0G(z) Si el sistema muestreado dispone de un retenedor orden uno (FOH, extrapolación lineal)     (1 + T s)G(s) T 1 (z − 1)2 G(s) (z − 1)2 Z ≈ Z (3.20) Gm (z) = H1 G(z) = T z2 s2 Tz s2 s = %s; Tm = 1 ; Gs = l t i s y s t e m ( 1 / ( s +1)) Gz = l t i t o D i s c r e t e (G, Tm, ’ f o h ’ ) // Construir el sistema // H1G(z) Cálculo de Gm (z) En el caso más común, que es el de utilizar como conversor digital-analógico un retenedor de orden cero, la ecuación (3.19) va a permitir el cálculo de la función de transferencia discreta equivalente del sistema muestreado. Para demostrarla, podemos escoger cualquier secuencia de entrada y calcular la secuencia de salida. Una vez dispongamos de ella el cociente de sus transformadas Z nos dará la función buscada. Puesto que el retenedor es un ZOH, la secuencia más simple que podemos utilizar es un escalón z discreto (ak = 1, a(z) = z−1 ), puesto que podemos describir con facilidad el efecto del retenedor: va 89 3.2. SISTEMAS MUESTREADOS {ak } CDA a(t) G(s) y(t) T {yk } Gm (z) Figura 3.2: Respuesta del un sistema muestreado a una secuencia escalón unitario a generar un escalón unitario continuo: a(s) = 1/s. En la figura 3.2 se representa el comportamiento del sistema muestreado. La función de transferencia pulso es: Gm (z) = y(z) z−1 = y(z) a(z) z La salida y(s) es la respuesta de la planta ante escalón: y(s) = G(s)a(s) = G(s) s Luego la función de transferencia será:   G(s) z−1 −1 y(z) = (1 − z )Z Gm (z) = z s con lo que queda demostrada la ecuación (3.19). Ejercicio 3.3 Indique cuál de las siguientes funciones de transferencia discretas puede ser la función de transferencia pulso del sistema continuo: G(s) = 2 s(s + 1)(s − 1)(0,1s + 1)2 para algún periodo de muestreo (suponga que no se produce ninguna cancelación polo/cero): num(z) (1 − z −1 )(1 − 0,9z −1 )(1 + 0,9z −1 )(1 − 0,3487z −1 )2 num(z) G2 (z) = (1 − 0,9z −1 )(1 − 1,1111z −1 )(1 − 0,3487z −1 )2 num(z) G3 (z) = (1 − z −1 )(1 − 0,9z −1 )(1 − 1,1111z −1 )(1 − 0,9555z −1 )2 num(z) G4 (z) = (1 − z −1 )(1 − 0,9z −1 )(1 − 1,1111z −1 )(1 − 0,3487z −1 )2 G1 (z) = (solución en pág. 99) Propiedades de H0 G(z) Como ya se ha mencionado, el caso más común de función de transferencia pulso de un sistema muestreado es el de utilizar como conversor digital-analógico un retenedor de orden cero. A partir de 90 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS la ecuación (3.19) es posible deducir la estructura de la función de transferencia discreta y algunas propiedades importantes que permiten establecer qué comportamientos del sistema continuo se van a reflejar en la función de transferencia pulso H0 G(z). Si, como es el caso más habitual, G(s) es una función de transferencia continua racional estrictamente propia de orden n, con m ceros4 , de la ecuación (3.19) y de la expresión obtenida para el cálculo de la transformada Z por el método de los resı́duos (véanse las ecuaciones 2.10 y 2.11) se deduce que H0 G(z): Es una función de transferencia racional. Sus polos se relacionan con los de G(s) a través de la expresión z = eT s . Tiene n polos (salvo cancelación). Presenta un retraso, en general. Eso es debido a que al ser G(s) estrictamente propia su respuesta ante escalón cumple ye (0) = 0, por lo que la primera muestra debe ser cero. Salvo casos excepcionales5 la siguiente muestra será distinta de cero, por lo que la secuencia de muestras de la señal de salida presentará un retraso respecto al escalón de entrada. Ceros: ˆ Tiene n−1 ceros (salvo cancelación). En una función de transferencia discreta el número de retrasos coincide con su exceso de polos 6 . Como se ha indicado anteriormente el número de retrasos de H0 G(z) es, en general, 1, por lo que salvo cancelación debe tener n − 1 ceros. Puesto que G(s) no tiene porqué tener ese número de ceros, algunos deben aparecer por efecto del muestreo. Podemos distinguir por tanto entre: ◦ Ceros intrı́nsecos. Son los m ceros relacionados con los ceros de G(s). ◦ Ceros de muestreo (n − m − 1). ˆ La posición de los ceros no es tan sencilla de determinar como la de sus polos. Podemos conocerla aproximadamente, si el periodo de muestreo es muy pequeño o muy grande, a partir de los resultados obtenidos en [Åström et al., 1984]: ◦ Al hacer el periodo de muestreo suficientemente pequeño, los ceros intrı́nsecos tienden a eT ci (donde ci es el cero correspondiente de G(s)) ◦ Al hacer el periodo de muestreo suficientemente pequeño, los ceros de muestreo tienden a valores negativos7 . ◦ Si G(s) es estable todos los ceros de H0 G(z) tienden a z = 0 al aumentar el periodo de muestreo. 4 Que sea racional implica que no presenta retraso de transporte, y que sea estrictamente propia implica que m < n. 5 Para que hubiese más retrasos deberı́a cumplirse y (T ) = 0, lo que exigirı́a un comportamiento de respuesta e inversa u oscilatoria y un periodo de muestreo adecuadamente ajustado para que la segunda muestra coincida con el paso por cero de la señal. No podrı́a producirse si el sistema está bien muestreado, ya que en las muestras no aparece información de ese comportamiento. 6 Para corroborarlo basta con aplicar el método de división para calcular la primera muestra no nula de la respuesta impulsional del sistema. 7 Los ceros de muestreo tienden a las raı́ces del polinomio B n−m (z). donde Bl (z) es el polinomio de Euler, definido mediante la expresión: Bl (z) = l X blq z l−q q=1 Las funciones Bl (z) son polinomios de grado l − 1, con coeficientes: blq ≡ q X (−1)(q−k) kl k=1 l + 1 q−k Los polinomios Bl (z) de grado impar tienen una raı́z en z = −1. El resto de sus raı́ces, al igual que las de los polinomios de grado par son simples, reales y negativas. Por cada una dentro del cı́rculo unidad en z = −ζi existe otra fuera en z = −1/ζi (véase la referencia [Blachuta, 1999]). 91 3.2. SISTEMAS MUESTREADOS Comportamiento a baja frecuencia: En general8 independientemente del periodo de muestreo elegido, el comportamiento a baja frecuencia de la planta continua G(s) y de su función de transferencia H0 G(z) coinciden (véase el apartado 8.3.1): lı́m H0 G(z) = lı́m G(s) z→1 s→0 Conocida la función de transferencia del sistema continuo G(s) y el periodo de muestreo el cálculo de H0 G(z) es unı́voco. Sin embargo es en general imposible determinar G(s) conociendo H0 G(z) y el periodo de muestreo. Este problema está directamente relacionado con el fenómeno del aliasing. Los valores de la señal discreta de salida generada por H0 G(z) ante una entrada determinada deben coincidir con las muestras de la salida de la planta G(s) en los instantes de muestreo, por lo que el sistema discreto no puede producir comportamientos que no estuvieran en el continuo. Si el periodo de muestreo es suficientemente pequeño comparado con las constantes de tiempo de los polos de G(s), la pérdida de información será pequeña y podremos extraer información relevante sobre G(s) a partir del comportamiento de H0 G(z). En caso contrario perderemos información de los transitorios correspondientes a esos polos, quedando los correspondientes comportamientos ocultos o escondidos por el muestreo. Podemos encontrar qué condiciones se deben dar necesariamente para la existencia de aliasing o de cancelación de polos por muestreo. Aliasing. La función de transferencia pulso H0 G(z) se obtiene a partir de la respuesta a escalón de la planta G(s). Eso indica que si se escoge el periodo de muestreo de manera que las respuestas a escalón de dos sistemas G1 (s) y G2 (s) sean alias entre sı́, sus funciones de transferencia pulso serán iguales. Si dos polos continuos pj = σj + iωj deben corresponderse con el mismo polo discreto, deben cumplir: eT p2 = eT p1 Desarrollando esa expresión encontramos: σ2 = σ1 ω2 = ω1 + n ωm (3.21) con n = 0, ±1, ±2 . . . (3.22) Ası́ que las partes reales de los polos deben ser iguales, y sus partes imaginarias deben ser frecuencias alias entre sı́. En la figura 3.3 podemos ver la respuesta ante escalón de dos sistemas continuos que verifican las condiciones anteriores, y de la función de transferencia pulso correspondiente a ambos. Particularizando las condiciones (3.21) y (3.22) para el caso de sistemas de segundo orden inframortiguados encontramos: σ = ζj ωnj ωdj = ωd + n ωm (3.23) con n = 1, 2, . . . (3.24) donde ωd es, de entre todas las frecuencia alias, la que cumple |ωdj | < ωN . 8 Existe una excepción, cuando la planta tiene algún polo en el eje imaginario con frecuencia múltiplo de la de muestreo. Véase la sección 5.3.4. 92 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS 1,5 1 0,5 0 0 1 2 3 4 5 6 Figura 3.3: Respuesta a escalón de sistemas con la misma función de transferencia pulso. Ası́ podemos tener muchos sistemas continuos, con distintas sobreoscilaciones, cuyas respuestas coincidan en los instantes de muestreo. Teniendo en cuenta que la sobreoscilación puede calcularse a partir de la expresión9 : πζj −√ Mp = e 1−ζ 2 j =e − πζj ωnj ωdj Como los polos de todos los sistemas alias deben tener la misma parte real, encontramos: Mp = e −ω πσ d +n ωm >e πσ −ω d De todos esos sistemas, el de menor sobreoscilación es el que presenta menor frecuencia (n = 0). A medida que aumente el valor de n la sobreoscilación crece. La frecuencia correspondiente al sistema con la segunda menor sobreoscilación debe ser: ωd2 = ωd + 2π 2π 2π > −→ T > = 2tp2 T T ωd2 (3.25) donde tp2 es el tiempo de pico correspondiente al sistema con frecuencia ωd2 . Es decir, para que se genere este problema debemos muestrear el sistema tan mal que ninguna muestra recaiga en el primer ciclo de la oscilación (véase la figura 3.3). Obsérvese que si el ancho de banda del sistema en lazo abierto va más allá de la frecuencia de Nyquist encontraremos que la salida del sistema puede contener componentes sinusoidales alias entre sı́ (ver, por ejemplo la sección 6.4.2). En este caso un filtro antialiasing no va a ayudar pues eliminará una de ellas y con ella información relevante sobre el comportamiento de la planta. Deberemos tener en cuenta esta consideración para evitar aumentar excesivamente el ancho de banda al realizar el diseño del controlador. Cancelación. La posición de los ceros depende del periodo de muestreo y es difı́cil calcular su posición salvo en los casos lı́mite mencionados. Sin embargo es posible saber en qué condiciones se puede producir una cancelación y determinar qué polos pueden ser o no cancelados. Para que exista cancelación por muestreo el efecto del polo cancelado no debe estar presente en las muestras, por lo que se puede considerar la cancelación producida por el muestreo como un caso particular de aliasing en el que la contribución de determinados polos se convierte en alias de y(t) = 0. Ello puede ocurrir por las siguientes razones: ˆ Que el periodo de muestreo sea lo suficientemente grande para que el transitorio producido por el polo no contribuya apreciablemente a los valores de las muestras de la respuesta 9 Válida para sistemas de segundo orden sin ceros, aunque en general para que las muestras coincidan puede ser necesaria la presencia de un cero. 93 3.2. SISTEMAS MUESTREADOS del sistema ante escalón. Para ello los polos deben ser estables y T > ts . Esta idea se corresponde con el comportamiento indicado en la referencia [Åström et al., 1984], ya que tanto los polos como los ceros estables tienden a z = 0 al aumentar el periodo de muestreo, y por lo tanto se cancelan entre sı́. ˆ Que distintos polos continuos se transformen en el mismo polo discreto y que la suma de sus contribuciones se anule. Se consideran explı́citamente los siguientes casos: ◦ Cancelación entre los polos de una pareja compleja conjugada (p = σ + iωd ): En ese caso la condición (3.21) se satisface automáticamente y la condición (3.22) se convierte en (ω2 = ωd , ω1 = −ωd ): 2ωd = n ωm −→ ωd = n ωN , con n = 1, 2, . . . Por tanto, para que pueda darse esa cancelación, la parte imaginaria del polo debe ser un múltiplo de la frecuencia de Nyquist. ◦ Cancelación entre un polo real y una pareja de polos complejos conjugados (p = σ + iωd , q = ρ): La condición (3.21) exige que las partes reales de todos los polos sean iguales, y la a a condición (3.22) que las frecuencias sean alias entre sı́ (ωd ∼ 0 ∼ −ωd ) por lo que podemos concluir: ρ=σ (3.26) ωd = n ωm , con n = 1, 2, . . . (3.27) Es decir, las partes reales de los polos deben ser iguales y las parte imaginarias de los polos complejos deben ser múltiplo de la frecuencia de muestreo. En consecuencia: Pueden existir distintos sistemas continuos que den lugar a la misma función de transferencia pulso. Si la función de transferencia pulso presenta sobreoscilación nunca puede ser mayor que la de la planta continua. No es posible asegurar la estabilidad del sistema continuo a partir de la estabilidad de la función de transferencia pulso. Pueden existir oscilaciones en la salida del sistema continuo que no se manifiesten en la salida de H0 G(z) (oscilaciones escondidas). No es posible realizar afirmaciones sobre el sistema continuo salvo que sepamos de antemano que el periodo de muestreo escogido es adecuado para todos sus polos. Como ejemplo de lo que puede ocurrir si el muestreo es inadecuado, se encuentra que el sistema continuo: G(s) = (s − 0,4418)(s2 + 11,10s + 46,08)(s2 + 0,1780s + 3,309) (s + 1)(s − 1)(s2 − 2s + 16,84)(s2 − 0,4s + 4) que presenta 5 polos inestables, de los que 4 son complejos, cuando se le somete a una entrada escalón unitario genera la respuesta: ye (t) = 1 − e −t +e 0,2t sin(1,99t) 1,99 t +e −e t  sin(3,98t) cos(3,98t) + 3,98  94 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS La siguiente función de transferencia pulso, estable, describe el comportamiento del sistema muestreado, si se utiliza el periodo T = 1,5787: H0 G(z) = 0,7938 z − 0,2062 Es sencillo comprobar que se cumple en este caso: G(0) = lı́m G(s) = lı́m H0 G(z) = 1 s→0 z→1 Para que se produzca la cancelación exacta el periodo de muestreo debe estar perfectamente ajustado, pues en caso contrario deja de cumplirse la condición (3.22). Errores de redondeo en los coeficientes de los polinomios de la función de transferencia también impiden que la cancelación sea exacta. Para reproducir el ejemplo anterior puede utilizarse el siguiente programa en Scilab: s = %s; z e t a = = 0.1; // amortiguamiento wn = 2 ; // frecuencia natural wd = wn* s q r t (1 = z e t a ˆ 2 ) ; // frecuencia amortiguada wm = 2 * wd // Escogemos frecuencia de Nyquist = wd Tm = 2 * %pi/wm; // Periodo de muestreo Ps = s ˆ2+2 * z e t a *wn* s+wn ˆ 2 ; Ys = l t i s y s t e m ( 1 / s = 1 / ( s +1) + 1/ Ps ) ; Ys = Ys + l t i s y s t e m ( 1 / ( s = 1) = s / ( ( s =1)ˆ2+wmˆ 2 ) ) ; Gs = s * Ys ; // Sistema continuo Gz = l t i t o D i s c r e t e ( Gs ,Tm) ; // H0G(z) 3.2.2. Sistemas en serie En los sistemas de control digital encontramos con frecuencia que el sistema que hay que muestrear es un conjunto de sistemas en serie. Por muy tentador que pueda parecer en ocasiones, la función de transferencia pulso del sistema muestreado no es el producto de las funciones de transferencia pulso de cada uno de los elementos que están en serie. y debe calcularse directamente. Para ilustrar este hecho, vamos a considerar el caso más sencillo, en el que sólo hay dos subsistemas involucrados, como puede verse en la figura 3.4. {ak } H(s) x(t) G(s) {yk } y(t) T CDA GHm (z) Figura 3.4: Sistemas analógicos en serie, muestreados La función de transferencia pulso se denota como: y(z) = GHm (z) = HGm (z) a(z) (3.28) Considérese ahora el efecto de introducir entre los sistemas continuos una pareja muestreadorretenedor, como se muestra en la figura 3.5. 95 3.3. EJERCICIOS Y CUESTIONES {ak } {xk } x(t) H(s) x̃(t) G(s) y(t) {yk } Figura 3.5: Sistemas muestreados en serie Es obvio que la señal que llega ahora a la planta G(s) ha cambiado, por lo que la salida también lo hará y la función de transferencia deberá ser necesariamente distinta. Si el retenedor es un ZOH la señal x̃(t) será una versión escalonada de la señal x(t) que sale de la planta H(s), que salvo en casos muy particulares nunca será igual a ella. Si como se muestra en la figura 3.6 consideramos que tenemos dos sistemas muestreados en serie, el cálculo de la función de transferencia pulso es simple: {ak } x(t) H(s) {xk } x̃(t) Hm (z) G(s) y(t) {yk } Gm (z) Figura 3.6: Sistemas muestreados en serie. Funciones pulso. y(z) x(z) y(z) = = Gm (z)Hm (z) a(z) x(z) a(z) (3.29) Como ya se ha explicado, la función de transferencia debe ser distinta que en el caso anterior, por lo que encontramos que: GHm (z) 6= Gm (z)Hm (z) (3.30) Sólo si el periodo de muestreo es muy pequeño, existirá poca diferencia entre las señales que llegan a la planta G(s) en ambas situaciones, por lo que se cumple que: GHm (z) ≈ Gm (z)Hm (z) ←→ Si T  1 3.3. (3.31) Ejercicios y cuestiones Ejercicio 3.4 Estudie la evolución de la población del virus descrito en el ejercicio 2.5, suponiendo que durante un lapso de 5T unidades de tiempo el organismo está expuesto a la infección, de tal manera que en cada periodo de duración T se introducen en él n0 especı́menes del virus. (solución en pág. 100) Ejercicio 3.5 96 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS Dado un sistema discreto real, modelado mediante la ecuación en diferencias: yk−2 + 3yk−1 + 2yk = uk−1 + 2uk indique cuál de las siguientes funciones de transferencia discretas le corresponde: G1 (z) = z+2 z 2 + 3z + 2 G2 (z) = z 2 + 3z + 2 z+2 G3 (z) = z(z + 2) + 3z + 2 z2 Ninguna de las otras (solución en pág. 101) Ejercicio 3.6 Calcule la función de transferencia del controlador correspondiente al código mostrado: 100: y = lee(c1); // lee el canal de entrada c1 110: e = r - y; 120: a = am1 + e - 0.5 * em1; 130: escribe(c2, a); // escribe en el canal de salida c2 140: em1 = e; 150: am1 = a; (solución en pág. 101) Ejercicio 3.7 Los elementos esenciales de un sistema muestreado son: 1. La planta. 2. La planta y el muestreador. 3. La planta, el muestreador y el retenedor. 4. La planta, el muestreador, el retenedor y el filtro antialiasing. (solución en pág. 101) Ejercicio 3.8 97 3.3. EJERCICIOS Y CUESTIONES El sistema discreto equivalente, utilizando retenedor de orden cero, de una planta G(s), se define: 1. Mediante la expresión: (1 − z)Z [G(s)/s]
2. Mediante la expresión: z−1 Z [G(s)/s] z 3. Mediante la expresión: (z − 1)Z [G(s)/s] 4. Como la función de transferencia pulso de la planta precedida por un retenedor de orden cero (solución en pág. 101) Ejercicio 3.9 El siguiente diagrama representa un sistema muestreado genérico: u(t) T {uk } uh (t) G(s) CDA y(t) T {yk } Indique cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas: 1. Con la misma G(s) dos señales de entrada u1 (t) y u2 (t) producen la misma salida y(t) sólo si son iguales. 2. Con la misma G(s) dos señales de entrada u1 (t) y u2 (t) distintas producen la misma salida y(t) sólo si son alias. 3. Dos sistemas G1 (s) 6= G2 (s) pueden producir la misma secuencia {yk } para una entrada u(t). 4. Dos sistemas G1 (s), G2 (s) pueden producir la misma secuencia {yk } sólo si son iguales. (solución en pág. 101) Ejercicio 3.10 ¿Cuál de las siguientes funciones de transferencia es la función pulso del sistema: G(s) = 1 s(s + 2)2 para un determinado periodo de muestreo T ?. Suponga que K es una ganancia arbitraria. G1 (z) = Kz (z + 1)(z − 0,25) G2 (z) = K(z + 0,3) (z + 1)2 (z − 0,25) 98 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS G3 (z) = K(z − 1)(z − 2) (z + 1)(z − 0,25)2 G4 (z) = K(z 2 + 2,1z + 0,25) z(z + 2)2 G5 (z) = K(z 2 + 2,1z + 0,25) (z − 1)(z − 0,25)2 Ninguna de las otras opciones (solución en pág. 101) Ejercicio 3.11 1 1 0,5 0,5 0 {ak } 0 5 10 {bk } 0 0 15 1 5 10 15 1 0,5 0,5 {ck } 0 0 5 10 {dk } 0 15 0 5 10 15 2 1,5 1 1 0,5 {ek } 0 0 5 10 15 0 {fk } 0 5 10 15 De las señales discretas representadas en la figura anterior, descarte razonadamente las que no puedan corresponderse con la respuesta ante escalón unitario de la función de transferencia pulso Gm (z) = H0 G(z) del sistema: G(s) = 1024 s2 + 7,68s + 1024 muestreado, y asocie el resto con el periodo de muestreo utilizado escogiendo entre los siguientes: 99 3.4. SOLUCIONES A ALGUNOS EJERCICIOS T = 0,002 T = 0,02 T = 0,2 T =2 T = 20 (solución en pág. 103) 3.4. Soluciones a algunos ejercicios Solución al ejercicio 3.1 Puesto que yk = P∞ m=0 gk−m um sabemos que: y0 = g0 u0 −→ 1 = g0 1 −→ g0 = 1 y1 = g1 u0 + g0 u1 −→ 0,9 = g1 1 + g0 1 −→ g1 = −0,1 y2 = g2 u0 + g1 u1 + g0 u2 −→ 0,8 = g2 1 + g1 1 + g0 1 −→ g2 = −0,1 Por lo que la respuesta impulsional se corresponde con la secuencia número 1. Solución al ejercicio 3.2 Al igual que en el caso continua, para que no existan ciclos económicos los polos de la función de transferencia deben ser reales10 . De la ecuación (3.14) se deduce inmediatamente que eso ocurrirá si 4b a> (1 + b)2 Solución al ejercicio 3.3 Cada polo de la planta continua se transforma en un polo de la función de transferencia discreta de acuerdo con la ecuación (3.18). Como la planta tiene 5 polos, podemos descartar de entrada G2 (z), puesto que no ha podido desaparecer un polo por cancelación. Como la planta tiene un polo doble, podemos determinar el periodo de muestreo estudiando la posición del polo doble en las funciones discretas. Aparecen dos casos: 1. pz = 0,3487 = e−10T1 −→ T1 = 0,1053543 2. pz = 0,9555 = e−10T2 −→ T2 = 0,0045521 Si G1 (z) fuese la solución deberı́a estar muestreada con T1 . En ese caso sus polos estarı́an en: ps = 0 −→ pz = 1 ps = −1 −→ pz = 0,9 10 Como se verá en el apartado 5.1.1 en el caso discreto los polos deben ser reales y positivos. 100 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS ps = 1 −→ pz = 1,1111 ps = −10 −→ pz = 0,3487 Ası́ que podemos descartarla, pues presenta un polo en pz = −0,9 en lugar del que debiera estar en pz = 1,1111. Repitiendo este análisis, se comprueba que G3 (z), que deberı́a estar muestreada con periodo T2 , tampoco puede ser y que G4 (z) sı́ serı́a la función de transferencia discreta correspondiente al sistema G(s) muestreado con T = T1 . De hecho tenemos: H0 G(z) = 1,549 × 10−5 (z + 16,97)(z + 1,670)(z + 0,2977)(z + 0,02911) (z − 1)(z − 0,9)(z − 1,1111)(z − 0,3487)2 Solución al ejercicio 3.4 En este caso no es suficiente con determinar unas condiciones iniciales y analizar la evolución de la señal, como se hizo en el ejercicio 2.5, sino que debemos modelar la infección como una señal externa que afecta al sistema. La siguiente ecuación, donde {uk } es el número de ejemplares del virus que aparecen en el instante k, es válida para cualquier k: vk = vk−1 /2 + 3vk−2 /2 + uk Si consideramos el organismo sano hasta el instante k = 0 tomaremos vk = 0, para k < 0. Aplicando la transformada Z tenemos: v(z) = z2 u(z) (z − 3/2)(z + 1) Si la infección es instantánea {uk } es un impulso, por lo que u(z) = n0 y recuperamos la ecuación (2.26). Si la entrada es un pulso de 5 periodos de duración podemos escribir su transformada Z como:  u(z) = n0  z z z5 − 1 − z −5 = 4 n0 z−1 z−1 z (z − 1) ya que la señal es la diferencia entre un escalón de amplitud n0 y otro escalón igual retrasado 5 periodos. Para encontrar la evolución de la población de virus debemos aplicar la transformada inversa. Utilizando el método de los resı́duos se debe considerar la expresión: v(z)z k−1 = z k−3 (z 5 − 1) n0 (z − 3/2)(z + 1)(z − 1) que tiene tres polos simples si k > 3. Ese es el caso que interesa considerar pues, además de ser el de cálculo más sencillo, va a producir una expresión general. Los casos k = 0, 1, 2 también podrı́an estudiarse mediante el método de los resı́duos pero habrı́a que tratarlos de manera individual y serı́a costoso. Es preferible emplear el método de división, que nos ofrece además una forma de comprobar la expresión que obtengamos mediante los resı́duos. Empleando el método de división se obtiene: 101 3.4. SOLUCIONES A ALGUNOS EJERCICIOS   3 −1 13 −2 39 −3 133 −4 z + · · · n0 v(z) = 1 + z + z + z + 2 4 8 16 Mientras que el método de los resı́duos produce la fórmula: n0 vk = 5 " 211 27 #  k 3 k + 2(−1) 2 , k>3 (3.32) Obsérvese que a pesar de haber tres polos, sólo aparecen dos contribuciones, la debida al polo en z = 3/2 y la del polo en z = −1. Eso se debe a que el polo en z = 1 está cancelado, pues el polinomio z 5 − 1 que aparece en el numerador de v(z) tiene una raı́z en esa ubicación. Eso era de esperar, pues como se muestra en el apartado 6.1.4 una señal de duración finita, como es u(z), debe tener todos sus polos en el origen: u(z) = z4 + z3 + z2 + z + 1 z5 − 1 n0 = n0 + n0 z −1 + n0 z −2 + n0 z −3 + n0 z −4 n = 0 z 4 (z − 1) z4 La secuencia de valores que obtenemos aplicando la ecuación (3.32) para k > 0 es:  53 35 47 39 133 , , , , , ... 27 18 12 8 16  n0 Los tres primeros valores son erróneos, pues la fórmula obtenida no es válida para k < 3, pero el resto de la secuencia coincide exactamente con el resultado del método de división. Solución al ejercicio 3.5 Ninguna de las otras Solución al ejercicio 3.6 D(z) = z − 0,5 z−1 Solución al ejercicio 3.7 La planta, el muestreador y el retenedor. Solución al ejercicio 3.8 Mediante la expresión: z−1 z
Z [G(s)/s] Como la función de transferencia pulso de la planta precedida por un retenedor de orden cero Solución al ejercicio 3.9 Son correctas las opciones 2 y 3. 102 CAPÍTULO 3. SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS Solución al ejercicio 3.10 Como cada polo continuo se transforma en un polo discreto según la ecuación: pz = eT ps el polo en s = 0 debe producir un polo en z = 1. Teniendo en cuenta ésto, la situación serı́a: G1 (z) no presenta el polo en z = 1, pero al tener un polo menos que G(s) podrı́a provenir de ella y que el polo z = 1 hubiera desaparecido por cancelación, por lo que de momento no podemos descartarla. G2 (z), G3 (z) y G4 (z) tienen el mismo número de polos que G(s), pero ninguno de ellos está en z = 1, por lo que quedan descartadas. G5 (z) tiene 3 polos, uno de ellos en z = 1, por lo que podrı́a ser correcta. Podemos descartar tanbién G1 (z), porque si el polo en z = 1 hubiera desparecido por cancelación, los dos polos restantes se corresponderı́an con el polo de G(s) en s = −2, debiendo aparecer en el mismo sitio (z = e−2T ) por lo que G1 (z) tendrı́a necesariamente un polo doble. Ası́ pues, o es G5 (z) o no es ninguna. Si G5 (z) fuese correcta deberı́a cumplirse que: 0,25 = e−2T −→ T = ln(2) = 0,6931 obtenido T podemos calcular la función de transferencia pulso de la planta analógica y comprobar que el numerador de G5 (z) es correcto si K = 0,0291085, por lo que ésa es la solución:     G(s) 1 z−1 z−1 z−1 Z Z 2 f (z) = ≡ Gm (z) = 2 z s z s (s + 2) z Para calcular f (z) por el método de los resı́duos debemos estudiar la contribución de cada polo:    d 1 z d  2 K0 = lı́m s 2 (s + 2)−2 (z − eT s )−1 = z lı́m s→0 ds s→0 ds s (s + 2)2 z − eT s   z(1 + T − z) = z lı́m −2(s + 2)−3 (z − eT s )−1 + (s + 2)−2 (−1)(z − eT s )−2 (−T eT s ) = s→0 4(z − 1)2    1 z d  −2 d K−2 = lı́m (s + 2)2 2 = z lı́m s (z − eT s )−1 s→−2 ds s→−2 ds s (s + 2)2 z − eT s     z z + (T − 1)e−2T −3 T s −1 −2 T s −2 Ts = z lı́m −2s (z − e ) + s (−1)(z − e ) (−T e ) = 2 s→−2 4 (z − e−2T ) f (z) = K0 + K−2 = z(1 + T − z) z [z + (T − 1)/4] + 4(z − 1)2 4(z − 1/4)2 De ahı́:   z−1 z − 1 z [z − (1 − T )/4](z − 1)2 + (1 + T − z)(z − 1/4)2 Gm (z) = f (z) = z z 4 (z − 1)2 (z − 1/4)2   2 1 [z − (1 − T )/4](z − 1) + (1 + T − z)(z − 1/4)2 = 4 (z − 1)(z − 1/4)2 Es fácil comprobar que Gm (z) tiene un retraso viendo que al desarrollar el numerador de la fracción anterior el coeficiente de z 3 se anula. Podemos desarrollar el polinomio o escribir: 103 3.4. SOLUCIONES A ALGUNOS EJERCICIOS Gm (z) = 1 az 2 + bz + c 4 (z − 1)(z − 1/4)2 y encontrar los valores a, b, c dando valores convenientes a z: z=1 −→ z = 1/4 −→ z=0 −→ a + b + c = T (1 − 1/4)2 = 9T 16 a b 9T + +c= 16 4 64 5T − 3 c= 16 Resolviendo encontramos: Gm (z) = 15−16T 1 2 5T − 3 z + 4(5T −3) z + 4 16 (z − 1)(z − 1/4)2 y substituyendo el valor de T llegamos a: Gm (z) = 0,029 z 2 + 2,1z + 0,25 = G5 (z) (z − 1)(z − 1/4)2 Solución al ejercicio 3.11 G(s) presenta: ωn = √ 1024 = 32, ζ = 7,68/2/ωn = 0,12. p ωd = ωn 1 − ζ 2 = 31,77. Periodo de la oscilación: L = 2π/ωd ≈ 0,2 Tiempo de establecimiento: ts = 4,6/(ζωn ) ≈ 1,2 Mp = 68 % Analizando las gráficas encontramos: {ak } No puede ser ya que G(s) no puede presentar comportamiento de fase no mı́nima. {bk } Podrı́a ser si muestreásemos la respuesta a escalón de G(s) de manera que las muestras coincidiesen con sus mı́nimos. Eso requerirı́a escoger T = L −→ T = 0,2. {ck } Podrı́a ser si muestreásemos con T > ts , por lo que habrı́a que escoger T = 2 o T = 20. {dk } No puede ser porque al presentar una sobreoscilación mucho menor que 68 %, de acuerdo con la ecuación (3.25) el periodo de muestreo deberı́a ser mayor que L. Tendrı́amos que escoger T = 2 o T = 20, lo que nos conducirı́a a la señal {ck }. {ek } Podrı́a ser tomando T = 0,02, ya que de la gráfica se deduce que se tienen 10 muestras en un ciclo −→ T = L/10 y el valor de Mp es el correcto. {fk } No puede ser ya que G(s) es estable. También es posible descartarla porque presenta valores superiores a los que puede producir G(s) (el máximo de su respuesta a escalón unitario es 1,68).