Cours sur les fonctions ln → exp et le calcul intégral → 28 10 22 → Théo Héikey.pdf

Cours de Théo Héikey → Niveau requis → Classe de 6° Avant-propos Pour bien commencer l'année, voici quelques fleurs. Ou, plus modestement, des pétales. Des cours extraits de quelques-uns des mes syllabus que j'ai rédigés en 2019. Définitions, Théorèmes, minuscules fragments, bribes. Quelques exercic...

Cours de Théo Héikey → Niveau requis → Classe de 6° Avant-propos Pour bien commencer l'année, voici quelques fleurs. Ou, plus modestement, des pétales. Des cours extraits de quelques-uns des mes syllabus que j'ai rédigés en 2019. Définitions, Théorèmes, minuscules fragments, bribes. Quelques exercices qui interpellent, amusent, déconcertent ou séduisent. Ce qui fait progresser, en Mathématiques, mais en sciences aussi bien, c’est d’inventer des concepts, et cette invention se fait toujours dans la solitude, l’indépendance et la liberté, oui, dans le silence. L’invention demande l’intuition rapide, la légèreté de l’apesanteur. On peut travailler en équipe → je le fais constamment et avec beaucoup de plaisir, au sein d’un laboratoire universitaire, qui m’accueille dans le cadre de mes recherches → sans chercher à copier le travail d’un tiers. Je porte une telle aversion à la copie du cours d’un autre que s’en rapprocher, c’est à mes yeux commencer à avoir tort. Par définition, je déteste la tricherie. L’imitable est deux fois laid, surtout en Mathématiques, parce qu’il est asservissant. Un cours de Maths qui compte est un cri de solitude, un besoin. Personne ne peut respirer, écrire ou mourir à ma place. On ne peut pas mourir en comité. L’honnêteté, au contraire, consiste à n’écrire que ce que l’on pense et ce que l’on croit avoir inventé. Mes cours et mes articles universitaires publiés sur Internet, ne sont que de moi. Mon verre n’est pas grand, mais je bois dans mon verre. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 1 Mais, attention, je n’ai jamais eu la prétention de faire quelque chose d’absolument nouveau, inouï, jamais vu ; ce serait user de la langue publicitaire. Je n’ai jamais eu l’intention de faire autre chose qu’une Mathématique, dans la tradition de son histoire, tout en respectant scrupuleusement le programme du cursus scolaire des élèves qui sont sous ma responsabilité. Mes cours, conçus pour répondre aux attentes des élèves curieux, reposent sur l’observation des 3 phases de l’apprentissage des Maths : APPRENDRE Mes cours s’adressent à l’élève qui désire comprendre la Mathématique, en tant que réalisation de la pensée humaine, en mettant l’accent sur les connaissances de base. Les Travaux Dirigés qui seront faits en classe proposent des rappels de cours pour connaître l’essentiel, et des tests de connaissance pour s’autoévaluer. COMPRENDRE Dans mes cours, toute nouvelle notion est illustrée d’exemples et d’exercices résolus. Les Travaux Dirigés comprennent des questions de réflexion pour structurer les connaissances. Des conseils et des remarques jalonnent mes syllabus. APPLIQUER Dans mes cours, un grand nombre d’exercices corrigés en classe, est proposé au fur et à mesure du déroulement de chaque chapitre. Certains visent à l’entraînement, d’autres développent une méthode de raisonnement. Pendant les Travaux Dirigés, de nombreux exercices d’entraînement vous préparent progressivement aux examens. → Théo Héikey → Bruxelles, 28 octobre 2022 Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 2 Étude d’une fonction rationnelle → Niveau classe de 6° Trois questions, par exemple : que transmettre ? À qui le transmettre ? Comment le transmettre ? À l’instar de Michel Serres, je suis convaincu qu’avant d'enseigner quoi que ce soit à qui que ce soit, au moins faut-il le connaître. Qui se présente, aujourd'hui, à l'école, au collège, au lycée, à l'Université ? Ce petit exercice → à faire en classe et à terminer à la maison → pour le cours suivant → n’a qu’un but : me donner suffisamment de repères sur ce que vous avez retenu des fonctions en général. Mon papa n’avait de cesse de me rappeler que « La culture, c'est ce qui reste dans l'esprit quand on a tout oublié ». Nous allons faire ici, le point sur vos connaissances. Pour vous : Qu’est-ce qu’une fonction ? Qu’est-ce qu’une courbe représentative ? Qu’est-ce qu’une limite ? Qu’est-ce qu’une fonction continue, dérivable ? Qu’est-ce qu’une équation ? Exercice I 1° → Un routier des États-Unis d’Amérique doit faire un trajet de 150 km. Si sa vitesse moyenne est –1 v (en km.h ), alors sa consommation en gas-oil est 6 + v² litres par heure. Le prix du gas-oil est de 300 0,6 $ US le litre et le chauffeur est payé 11 $ de l’heure. Déterminer la vitesse moyenne v pour laquelle le coût du trajet est minimal et calculer ce coût. 0 –1 –1 Remarque : il est raisonnable de penser que v peut varier de 30 km.h à 100 km.h . 2° → Déterminer les asymptotes de la courbe représentative de la fonction f définie sur ]0, + [  ]0, + [ f :  x  ⎯⎯→ IR ⎯⎯→ f(x) =  2 190 + 0,3 x x Justifier précisément les résultats annoncés. Représenter cette courbe en choisissant bien les unités graphiques. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 3 Fonction Logarithmique L’arsenal de fonctions élémentaires dont dispose l’élève de Rhéto est assez restreint. Après le rappel de certaines de ces fonctions, je vais introduire de nouvelles. L’élève devrait, je le rappelle, apprendre par cœur les graphes de ces fonctions et les formules encadrées. La fonction logarithme de base e s’appelle logarithme népérien → John Napier, baron de Merchiston, mathématicien écossais (1550 – 1617) est l’inventeur du premier système de logarithmes (traité paru en 1614) → et se note Log ou ln (dans ce polycopié, j’adopterai la notation Log et accessoirement ln). I → Définition de la fonction logarithmique. I → a. → La fonction x ⎯⎯→  1 est continue pour x > 0. On pose, pour x > 0, x  x dt (1) Log x =  t 1 Autrement dit, la fonction x ⎯⎯→  Log x est la primitive de 1 pour x > 0 qui s’annule pour x = 1. Le x nombre Log x s’appelle le logarithme (ou parfois le logarithme népérien) de x. I → b. → Puisque (Log x)’ = 1 , la fonction x x  ⎯⎯→ Log x est strictement croissante sur ]0, + [. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 4 I → c. → La fonction x ⎯⎯→  Pour x > 0, sa dérivée est Log x est définie et dérivable pour x > 0 et pour x < 0. 1 . Pour x < 0, on a x (Log x )’ = (Log( – x))’ = 1 1 (–1) = . –x x En définitive : (2) (Log x )’ = 1 pour x  0. x I → d. → Soit u une fonction dérivable dans un intervalle, partout u  0. Alors on peut former la fonction composée u ⎯⎯→  Log u et, d’après ce qui précède : Log u ’ = 1 u’ = u’.   u u Ceci explique le nom de dérivée logarithmique attribué à l’expression u’ . u Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 5 I → 2. → Logarithme d’un produit. I → 2.1. Théorème. (C’est culturel ! cette formulation n’est pas au programme, je vous invite à ne retenir que la formule encadrée, et sa démonstration). Devant mes étudiants de l’Université, je leur dis sans scrupule : → La fonction x ⎯⎯→  Log x est un homomorphisme du groupe multiplicatif des nombres > 0 dans le groupe additif IR. Mieux, la fonction x ⎯⎯→  Log x est un isomorphisme du premier groupe sur le deuxième. En d’autres termes : (3) Log( xy) = Log x + Log y (x, y > 0). Démonstration. → Considérons y comme une constante. D’après I → d. on a : y [Log( xy)]’ = xy = 1 . x Admettons pour l’instant la définition et le Théorème suivants. Soit f une fonction réelle définie dans un intervalle I. On appelle primitive de f toute fonction F réelle définie dans I telle que F’ = f. Quid au sujet des primitives → Existe-t-il des primitives ? Si oui, existe-t-il une seule primitive ? Théorème. → Supposons que f possède une primitive F. Alors les primitives de f sont les fonctions F +  où  est une constante quelconque. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 6 Démonstration. → On a (F + )’ = F’ = f, donc F +  est bien une primitive. Réciproquement, si G est une primitive de f, on a (G – F)’ = G’ – F’ = f – f = 0 donc G – F =  est une constante, d’où G = F + . Reprenons la démonstration du Théorème I _ 2.1. D’après ce qui précède, on en déduit Log (xy) = Log x + , où  est une constante. Pour calculer , faisons x = 1 ; il vient Log y = Log 1 +  = . D’où la formule annoncée. I → 2.2. Bien entendu, la formule (3) s’étend par récurrence au cas d’un produit de plusieurs facteurs. I → 2.3. D’autre part, d’après les propriétés des homomorphismes de groupes, on a : 1 (4) Log = – Log x (x > 0). x I → 2.4. En combinant les formules (3) et (4), on obtient : x (5) Log = Log x – Log y (x, y > 0) y Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 7 I → 2. 5 Notons aussi la formule : (6) Log xn = nLog x (x > 0, n  ZZ ) qui résulte de I → 2.2. et I → 2.3. I → 3 Fin de l’étude des variations de Log x. Définition de la limite d’une fonction tendant à l’infini (C’est encore de l’ordre culturel les amis !!) On dit que la fonction réelle f tend vers +  quand x tend vers a par valeurs  a, si, pour tout nombre réel A, il existe  > 0 tel que x  a et x – a    f(x)  A. On écrit lim x → a, x  a f(x) = +  On définit de manière analogue une fonction tendant vers – . I → 3.1. Comme x x ⎯⎯→ ⎯⎯→  Log x est une fonction croissante sur ]0, + [, elle a une limite quand + . D’autre part, cette fonction n’est pas majorée, car Log 2n = n Log 2, et Log 2 > Log 1 = 0. Compte tenu ce qui précède, on voit que (7) lim Log x = + . x →+ 1 I → 3.2. Comme Log x = – Log   , il en résulte que x (8) lim x → 0, x > 0 Log x = –  Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 8 I → 3.3. On a 1 1’ (Log x)’’ =   = – 2 , x x donc la fonction logarithmique est concave, car si l’on considère une fonction réelle f deux fois dérivable dans I. Pour que f soit convexe, il faut et il suffit que f ‘‘  0 dans I. I → 3.4. La tangente au point d’abscisse 1 a pour équation y = x – 1. Comme la fonction est concave, on a Log x  x – 1 pour tout x > 0. On en déduit que Log x = 2 Log x  2 ( x – 1)  2 x, d’où Log x ⎯⎯→ 0 quand x ⎯⎯→ +  ; x lim x→ + Log x = 0 x Par suite, le graphe admet une branche parabolique dans la direction Ox. En particulier, il existe un nombre > 0 et un seul, noté e, tel que Log e = 1. Devant mes étudiants de l’Université, la théorie des séries entières (cours de Licence 2° année) donne des moyens rapides de calcul de e. On retiendra que e  2, 71828…. Ordre de croissance. Lorsque x ⎯⎯→ + , des fonctions x ⎯⎯→  Log x et x ⎯⎯→  x ,  > 0 tendent vers +  ; on va voir qu’elles ne tendent pas vers +  avec la même rapidité. Remarquons que : Log x 1 Log x  = .  x x Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 9  → Quand x ⎯⎯→ + , on a x  ⎯⎯→ + , donc Log x  ⎯⎯→ 0. x On dit parfois que « les puissances l’emportent sur le logarithme ». Cette idée peut être utile dans la recherche, mais ne doit pas servir de moyen de démonstration. On notera que les fonctions x, avec exposant  > 0 très petit, croissent très lentement. Par exemple, x 1/100 n’est égal qu’à 10 pour x = 10100. Pourtant, Log x croît plus lentement que toutes ces fonctions. Ceci peut sembler paradoxal pour x 1/100 puisque Log (10100) est égal approximativement à 230. On se rend compte toutefois de la vérité du théorème en prenant des valeurs de x encore plus grandes. Par exemple, pour x = 1010000 , on a x 1/100 = 10100, et Log x n’est égal (approximativement) qu’à 23 000. Remarque : Bien que Log x tende très lentement vers +  quand x ⎯⎯→ + , il existe des fonctions qui tendent vers +  encore plus lentement, par exemple les fonctions Log(Log x), Log(Log(Log x)). Quand x ⎯⎯→ 0 par valeurs > 0, Log x ⎯⎯→ –  et x  ⎯⎯→ +  si  < 0. Comparons ces deux fonctions : Posons y = 1 , on a x Log x Log y = – –  x y Quand x ⎯⎯→ 0 par valeurs > 0, y ⎯⎯→ + , et Log y y– ⎯⎯→ 0 d’après  puisque –  > 0. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 10 Comparaison de x  et ln x À retenir par cœur les résultats encadrés, leur ignorance pourrait vous coûter cher ! Démontrons le théorème très utile suivant : Théorème → Lorsque x tend vers + , ln x tend vers 0. x L’idée est de considérer que lorsque x ⎯⎯→ 0, ln x ⎯⎯→ – , Lorsque x ⎯⎯→ +  , ln x ⎯⎯→ +  , mais le quotient 1 x ⎯⎯→ +  et ln x ⎯⎯→ – x ln x tend vers 0 car x tend vers l’infini plus x vite que ln x.  Mais je l’ai déjà dit, cette idée peut être utile dans la recherche, mais ne doit pas servir de moyen de démonstration. Voici comment il faut si prendre pour une démonstration rigoureuse  x dt Soit x > 1. Nous allons majorer l’intégrale ln x =  grâce à la remarque suivante : 1 t t>1t> t  1 1 < . t t  x dt  x dt x > 1, 0 <  < , 1 t 1 t Par conséquent, pour ce qui entraîne, puisqu’une primitive de 1 t est 2 t , 0 < ln x < 2 ( x – 1) < 2 x, d’où Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 11 0< ln x 2 < . x x Quand x tend vers + , la fonction de droite tend vers 0 et a fortiori la fonction étudiée tend vers 0. Le théorème est démontré. On retiendra donc que ln x lim =0 x → + x Essayons d’abord d’en déduire la propriété suivante : Quels que soient les nombres réels strictement positifs  et  (P 1 ) lim x → + (ln x)  x = 0. En effet, la fonction étudiée peut s’écrire (ln x)  x Posons x  /  = u. Alors ln x =  ln x   =  /  . x    ln u. Puisque > 0, on a   lim u = + . x → + De plus,  ln x   / x     ln u  =  .  u  En appliquant le résultat démontré et puisque  > 0, Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 12 lim u → + ln u = 0 u  ln x   / x  lim x → +  = 0. De la propriété (P1) , on déduit la suivante : Quels que soient les nombres strictement positifs  et  (P2 ) Posons x = lim x  ln x x → 0+  =0 . 1 Alors u lim x → 0 + u =+  ln u et x  ln x En appliquant (P1) , on obtient alors = ln u lim u → + u  u .  = 0  lim x → 0 + Vous serez souvent amenés à appliquer les résultats suivants : lim x → 0 x  ln x  = 0. ln (1 + x) x = 1 et en posant X = 1 + x il en résulte que :  ln X  lim   =1 X → 1 X – 1 Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 13 L’idée intuitive est la suivante : considérons une fonction f définie sur [0, x] et dérivable sur ]0, x[, autrement dit, la limite lorsque x tend vers 0 ( x  0) du rapport f (x) – f (0) existe, elle existe en x–0 particulier, en c  ]0, x[ et se note alors f ’(c) . En conséquence, f (x) – f (0) = x f ‘(c). Essayons d’appliquer cette idée, à la fonction f : t pour prouver la double inégalité x x+1 ⎯⎯→  f(t) = ln (1 + t), définie sur l’intervalle [0, x], < ln (1 + x) < x. Comme précédemment, f est continue sur [0, x] et dérivable sur ]0, x[, par suite, il existe un nombre réel c appartenant à l’intervalle ouvert ]0, x[ tel que : f (x) – f (0) = x f ‘(c) avec f ’(t ) = 1 1+t d’où x f ‘(c) = x x , donc, f(x) = ln (1 +x ) = . 1+c 1+c Comme c > 0 nous avons x < x 1+c et comme c < x nous avons 1 + c < 1 + x donc 1 1 < . 1 +x 1+c Par suite nous obtenons les inégalités x < ln (1 + x) < x. x +1 soit Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 14 ln (1 + x) 1 < <1 x+1 x et faisant tendre x vers 0 on obtient, du théorème d’encadrement que : lim x → 0 ln (1 + x) x =1 et en posant h = 1 + x, ln h =1 h → 1h–1 lim Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 15 Méthodologie → Étude d’une fonction → Représentation graphique ⎯⎯→ ⎯⎯→ Le plan usuel P est rapporté à un repère (O ; i , j ). Définition : On appelle courbe représentative ou graphe d’une fonction numérique f définie sur D  IR, l’ensemble  de P constitué des points M de coordonnées (x, y) avec y = f(x) :  = {M(x, y)  P/ y = f(x)}. Symétries Définition : Une fonction numérique f définie sur D  IR, est dite paire si et seulement si : x  D, – x  D et f(– x) = f(x). Le graphe d’une fonction paire dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’axe Oy. S’il existe un point a tel que x, x + a  D, x – a  D et f(x + a) = f(x – a) alors la droite d’équation x = a (parallèle à l’axe Oy) est un axe de symétrie du graphique de f dans un repère orthogonal. Définition → Une fonction numérique f définie sur D  IR est dite impaire si et seulement si x  D, – x  D et f(– x) = – f(x). Le graphique d’une fonction impaire admet pour centre de symétrie l’origine O. S’il existe un point fixe (a, b) du plan tel que : x, x + a  D, x – a  D et f(x + a) + f(x – a) = 2b alors  est centre de symétrie du graphique de f. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 16 Définition : Soit T un nombre réel > 0. Une fonction numérique f, définie sur D  IR, est dite périodique de période T si et seulement si :  x, (x  D)  (x + T  D)  et  f(x + T) = f(x) Le graphe d’une fonction périodique de période T > 0 est invariant par la translation de vecteur ⎯⎯→ kT i , k  ZZ. Branches infinies Soit f une fonction numérique et  sa courbe représentative • Si lim x → + f(x) = a  IR, on dit que  admet une branche infinie dans la direction de la x droite d’équation : y = ax. • Si lim x → + f(x) = +  (ou – ), on dit que  admet une branche parabolique de direction x Oy. • S’il existe un couple (a, b) de nombres réels tel que : lim x → + [f(x) – (ax + b)] = 0 alors la droite d’équation y = ax + b est dite asymptote à  en +  (ou – ). Dans le cas d’une asymptote en + , on détermine a et b par : a = • f(x) et b = lim (f(x) – ax) x + x → + lim x → Si lim f(x) = +  (ou – ), la droite d’équation x =  est dite asymptote à . x →  Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 17 Quelques résultats très utiles sur les limites des fonctions logarithmétiques (ln x)  lim x  lim x (ln x) = 0  lim ln x = 1  x–1  lim ln (1x+ x) = 1  x→ +  et  étant deux éléments de Q* I +, x→0 +   – x→ 1 x→ 0 Rappel : Opérations sur les limites ; formes indéterminées &   lim (fg)(x) = ℓ  ℓ  et si ℓ  0, alors lim lim (f + g)(x) = ℓ1 + ℓ2 Si  xlim → a  et  xlim → a x → a f(x) = ℓ1 alors g(x) = ℓ2 1 x → a 2 2 x → ℓ1 f g(x) = ℓ2 a  Les situations où l’on ne peut pas conclure à partir d’opérations sur les limites sont les formes indéterminées : +  –  ; 0±; ± ; ± 0 1 et lorsque f tend vers 0 0 f sans garder un signe constant.  !! → But now a professional secret must be imparted. The concept of a limit is simple. It is the definition that is complex. The concept involves nothing more obscure than the idea of getting closer and closer to something. It suggests the attempt by one human being to approach another: and the inexpungeable thing in love as in mathematics is that however the distance decreases, it often remains what it always was, which is to say, hopelessly poignant because hopelessly infinite. Rappel :  et  étant deux éléments de Q* I +,  lim x → + (ln x) x  + = 0 , lim x → 0 + x (ln x) = 0, lim x →1 ln x ln (1 + x) = 1, lim =1 x x–1 x → 0 Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 18 Exercice I → Déterminer les limites éventuelles en +  des fonctions f suivantes : 1° → : x 5° → : x ⎯⎯→  ⎯⎯→  x – ln x ; 2° → : x  (ln x)2 – ⎯⎯→ x ln x – (ln x)2 ; 6° → : x  ⎯⎯→ x ; 3° → : x ⎯⎯→  x ; 7° → : x x – ln x ⎯⎯→  1  x ln 1 +  ; 4° → : x x  ln 3x + 1 ; 8° _ x x–2 ⎯⎯→  ⎯⎯→  x² ln x  x  ln    x² + 1 ln (x² + 1) ln 2x²  et déduisez-en la limite de x x Exercice II → Montrer que, x  ]1, + [, 0  ln (x² + 1) en + . x  !! → Une limite, rappelez-vous, est une chose fixe vers laquelle convergent d’autres choses. Une limite, naturellement, est un nombre ; en outre, quelle que soit la limite, une fonction converge vers ce nombre si la distance entre les valeurs qu’elle prend et le nombre en question peut être rendue arbitrairement petite. Exercice III → Déterminer la limite éventuelle en x0 des fonctions suivantes : 1° → : x ⎯⎯→  ln (1 – x) , x0 = 0 ; x 2° → : x 4° → : x  ⎯⎯→  ⎯⎯→ 1 ,x =e; ln x – 1 0 3° → : x ⎯⎯→  1 – ln x , x0 = 1 x ln (1 + ax) , a  IR* et x0 = 0. x  !! → Instantaneous speed is the solid embodiment of a significant concept. But if the derivative of a real-valued function is the mathematician’s answer to the question how fast?, it is also the answer to an apparently different question, one dealing with curves and curvature and soft voluptuous shapes; in moving from one question to the other, the mathematician passes from a hard-edged utilitarian world to one that is brush-soft. And one of the enormous pleasures of the calculus, indeed, of mathematics, is the permanent possibility of seeing or sensing just behind an otherwise familiar façade the lineaments of an entirely different, infinitely more enticing world, the two worlds, the familiar and the fabulous, both under the control of the same system of mathematical ideas. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 19 Rappel : Lorsqu’elle existe, la dérivée de la fonction x ⎯⎯→  ln [u’x)] est x ⎯⎯→  u’(x) , u étant une fonction u(x) dérivable strictement positive sur un intervalle I, cf. mon polycopié, pour plus de détails. Exercice IV → Dans les exercices suivants, trouvez les dérivées des fonctions proposées sur chacun des intervalles composant Df . 1° → : x ⎯⎯→  1 + x ln  ; 1 – x 5° → : x ⎯⎯→  2° → : x ⎯⎯→  ln (x + 2) ; 3° → : x ln (3 – x) ln² x + ln(x² + 1) ; 6° → : x 8° → : x ⎯⎯→  ⎯⎯→  ⎯⎯→  ln x ; 1 + x² x² ln x – 1 ; lnx 7° → : x  ⎯⎯→ 4° → : x ⎯⎯→  ln (ln x) x ln x – x ; (x + 1) ln (x + 1) – (x – 1) ln (x – 1). 9° → Quelle est la dérivée quatrième de ln ? La dérivée cinquième ? … La dérivée n-ième ? (un peu difficile, car nécessite une démonstration par récurrence). Ma note d’humeur Mes cours procèdent presque toujours de la même manière : il y a du grain à moudre dans le réel et des êtres mathématiques s’entendent secrètement pour que cela soit pensable, et ils construisent cela. Ce sont donc des récits de construction systématique de situations heureuses dans un monde où le jugement est comme frappé d’interdit. Or, je pense que la culture n’est rien d’autre que l’art de juger. L’école devrais-je le dire, est le lieu de la suspension des arrogances, parce que l’école est un espace laïc, mais pas un espace profane. Donc, il y a un sacré laïc, et à l’école on fait allégeance au savoir dirait les uns, ou à la culture. Je parlais des suspensions des arrogances, pour justifier aussi la mise entre parenthèses des téléphones portables. Parce que le portable, n’est pas à l’école, une manifestation de la pudeur, mais une sorte d’étalage ou d’exhibition de soi, de refus non avoué d’apprendre. À l’école, on met son portable de côté, pour se rendre disponible précisément à un savoir qui nous transcende. Le portable, lorsqu’il sort de son lit pour s’imposer dans un cours, devient non plus un bien à défendre, mais un problème à affronter. Et donc, nous sommes partagés entre ces deux exigences : défendre chacune des matières, et dans mon cas, la Mathématique, de manière intransigeante dans son ordre et lutter contre cette hyper-connexion, qui en effet, en pénétrant les domaines de la culture et de l’école, rendent et l’enseignement, et la culture elle-même, extrêmement vulnérables. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 20 L’essentiel sur les Logarithmes I → Fonction logarithme népérien → Définition On appelle fonction logarithme népérien la fonction numérique définie sur ]0, + [, primitive de la fonction x ⎯⎯→  1 pour x  IR + *, et qui s’annule pour x = 1. x ln :    IR x +* IR ln x ⎯⎯→ ⎯⎯→  Nous verrons qu’une primitive de x  ⎯⎯→  (ln)’ (x) = 1x  et  ln 1 = 0 avec 1 sur IR+ * est x x  ⎯⎯→ ln x. II → Propriétés ln (ab) = ln a + ln b pour a > 0 et b > 0  ln 1 = – ln b pour b > 0 b  ln a = ln a – ln b pour a > 0 et b > 0  ln b(a ) = n ln a pour a > 0 et n  ZZ n III → Sens de variation La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; + [. Si 0 < a < b alors ln a < ln b et réciproquement, si a > 0, b > 0, ln a < ln b alors a < b L’équation ln x = 1 admet pour unique solution x = e Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 21 IV → Équivalences importantes 1° → Pour a > 0, b > 0, ln a = ln b équivaut à a = b. (La fonction ln réalise une bijection de IR+ * sur IR) 2° → Pour a > 0, b > 0, ln a  ln b équivaut à a  b. (la fonction ln est strictement croissante sur IR+ *) 3° → Pour a > 0, si ln a = b, alors a = e b V → Logarithme décimal On appelle logarithme décimal du réel strictement positif x, le réel défini par log x = Nous avons l’équivalence    ln x . ln 10 log x = y y  x = 10 x>0 Un mot sur le cours théorique : Qu’on apprenne les fonctions, le calcul intégral, les dérivées, on fait toujours plus qu’apprendre les fonctions, le calcul intégral, les dérivées. On apprend à se connaître, on apprend ses qualités, ses défauts, on apprend à se dépasser… Un apprentissage passionné est révélateur de soi. C’est aussi pourquoi, pour moi, les cours théoriques sont utiles. Lire un cours, ça doit servir à quelque chose, ça doit rendre le lecteur plus sensible, plus augmenté, plus curieux. Cela peut aussi l'aider à régler un problème d’estime de soi parce qu'il y a une phrase qui, tout d'un coup, l'inspire. Pour moi, un cours, ça aide à vivre en paix avec nos lacunes. Ce n'est pas un objet de musée qui doit être admiré. C'est plus charnel. C'est plus essentiel. L'avantage d'un cours, c'est de jouer sur l'imaginaire et d'amener les élèves dans des territoires où ils n'iraient pas sans l'imagination. Lorsque j’écris un cours sur les fonctions où je prends l’élève par la main → sous réserve que celui-ci accepte mon invitation → et je l’emmène dans un territoire imaginaire, logique, beau où il ne serait pas allé sans moi, là j’apporte quelque chose et j'ai l'impression de faire mon travail. Donc, l'ambition de départ a été satisfaite, je n’aime que des valeurs positives → parce que je sais que certains de mes cours apportent quelque chose → certains parents d’élèves et certains élèves eux-mêmes, me l’ont fait savoir oralement et par écrit → et tant mieux si on peut y trouver de la poésie et de la philosophie. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 22 L’essentiel sur les fonctions Exponentielles I → Fonction exponentielle népérienne → Définition La fonction exponentielle népérienne est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien.     IR exp :  x ⎯⎯→ ⎯⎯→  y = ln x  x>0    x = exp y y  IR IR+ * ex II → Propriétés Pour tous réels x, a et b : e = e e (e ) = e  (exp)’(x) = e x e > 0 a+b a b a b & ab x    ea eb 1 e –a = a e x ln (e ) = x e a–b= III → Sens de variation La fonction exponentielle népérienne est strictement croissante sur IR. Si a < b alors e a < e b pour tous a et b. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 23 IV → Dérivée et primitive Si u est dérivable sur l’intervalle I, alors la fonction g : x ⎯⎯→  g(x) = exp [u(x)] est dérivable sur I et g’(x) = u’(x) exp [u(x)]. Une primitive de x ⎯⎯→  ex sur IR est x Les primitives de la fonction f : x fonctions F : x  ⎯⎯→ ⎯⎯→  ⎯⎯→  ex f(x) = u’(x) exp [u(x)] définie sur un intervalle I, sont les F(x) = exp [u(x)] + C définies sur I par : où C désigne une constante réelle. V → Équivalences importantes    ln x = y y  x=e x>0 ex= y   y>0    x = ln y y >0 Ma pensée du jour : Certains élèves ont oublié pourquoi ils allaient à l’école. → Oublier quoi ? → Oublier ce qui est joli et beau. Ils ont oublié de contempler la lumière, celle des concepts, d’écouter leurs belles mélodies. Alors, ils s’ennuient. Ils s’enferment dans le vacarme. → Le vacarme ? → Le refus de se faire mal, c’est-à-dire d’apprendre… Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 24 Fonction exponentielle de base e → 2° version de mon cours Définition On appelle fonction exponentielle de base e (x ⎯⎯→  ex), la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. x ⎯⎯→  ex est donc l’application de IR vers IR*+ qui vérifie : x  IR   y = ex    y  IR*+  .  x = ln y Propriétés algébriques     x  IR ln(ex) = x x  IR*+ elnx = x (a, b)  IR2 ea + b = ea  eb 1 a  IR e – a = a e 2 a b (a, b)  IR (e ) = eab Retenez que : « La Mathématique est une éducation de la sensibilité. Les théories mathématiques et le passé qu’elles constituent sont pour nous une source d’inspiration et une espèce de défi. Elles ne nous laissent pas tranquilles. Elles exigent de nous que nous les comprenions, que nous soyons à la hauteur de leur intelligence et de leur grammaire… » Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 25 Limites  lim e = +    lim e x– 1 = 1 lim ex = 0+ x→ – x x→ + x x→ 0 Dérivée et Représentation Graphique x  IR (ex)’ = ex Ma pensée du soir : « Nous ne voyons pas les choses mêmes ; nous nous bornons, le plus souvent, à lire des étiquettes collées sur elles » nous dit Bergson. Or, pourquoi le fait-on ? Parce que vivre consiste à choisir, à prélever dans le monde ce dont on a besoin. Et qu’enseigne la Mathématique ? À s’intéresser aux choses qui n’ont pas d’intérêt pour nous. Ma pensée du jour : Il y a toujours eu motif à suspicion à l’égard des axiomes apparemment irréfutables de la logique et de la Mathématique dans laquelle ils sont si despotiquement gravés. There has always been ground for suspicion in regard to the seemingly incontrovertible axioms of logic and the mathematic in which they are so despotically incised. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 26 Ce qu’il faut retenir sur la fonction logarithme népérien !! Il existe une unique fonction notée ln : ]0, + [ ⎯⎯→ IR et vérifiant : ) ln 1 = 0 ) ln est dérivable sur ]0, + [ et ln’(x) = 1 . x Les propriétés de ln sont les suivantes : 1° → (x, y)  (IR*+)² : ln(x  y) = ln (x) + ln (y). 1 2° → x  IR*+ : ln   = – ln (x). x x 3° → (x, y)  (IR*+)² : ln   = ln (x) – ln (y). y  n  4° → Plus généralement, ln   xi =   i = 1  n  ln (xi), xi  IR*+ , 1  i  n. i=1 5° → ln est une fonction strictement croissante et concave sur IR*+. 6° → lim x → + ln (x) = +  et lim x → + ln (x) = 0 (la courbe présente une branche infinie plus x précisément, une branche parabolique dans la direction de l’axe Ox). 7° → 8° → lim ln(x) = –  (l’axe Oy est asymptote à la courbe). lim x ln(x) = 0 ; où  > 0. x → 0, x > 0 x → 0, x > 0 (– 1)k – 1 . (k – 1) ! 9° → Pour tout entier k > 0, la dérivée k-ième de ln est ln (x) = . xk (k) Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 27 L’essentiel sur les Fonctions puissances Nous retiendrons que : Pour x > 0 et   IR, on note : x = eln(x). Proposition 1° → (x, y)  IR*+  IR*+,   IR, (x . y) = x . y.   2° → x  IR*+, (, )  IR², x . x = x +  et (x) = x . 3° → x  IR*+,   IR, 1 = x – .  x   n  4° → On peut généraliser (1°) par : xi  IR*+, 1  i  n,   IR,   xi =   i = 1  5° → La fonction f : x  ⎯⎯→  n  i=1 xi. x est croissante (respectivement décroissante) sur IR*+ si  > 0 (resp.  < 0). 6° → f est concave pour 0    1 et convexe pour  > 1 ou  < 0.  7° →  +  si  > 0 si  = 0 lim x =  1 → +  0+ si  < 0  x Les diverses allures des courbes correspondantes sont résumées sur le graphique ci-dessous : Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 28 II → Les croissances comparées des fonctions ln, exp, puissances Proposition 1° → lim x → + x . ax = 0, avec 0 < a < 1.  2° → lim x → + 3° → lim x → 0 4° → ln (x) x = 0, avec  > 0 et  > 0.   + x . ln(x) = 0, avec  > 0 et  > 0. lim x → +  x . ax = 0, avec  > 0 et a > 1. Remarque : Lorsque x ⎯⎯→ + , on a l’habitude de dire que la puissance « l’emporte » sur le logarithme et l’exponentielle sur « l’emporte » su la puissance, mais ceci n’a lieu que dans le cas d’une forme indéterminée et à condition d’avoir la même variable. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 29 Méthodologie : Préparation de l’Examen de Mathématiques → Classe de 6° → session de décembre 19 Avant d’effectuer tout calcul concernant les logarithmes  → Vous devez déterminer le sous-ensemble de IR sur lequel vous allez travailler. ⎯⎯→ Ne pas confondre ln A et A : A doit être un réel strictement positif alors que ln A peut être un réel négatif (ln 0,5 < 0). Il faut retenir que ln A > 0 équivaut à A > 1 et ln A < 0 équivaut à 0 < A < 1.  → La fonction x que la fonction x ⎯⎯→  ⎯⎯→  ln x a pour dérivée sur ]0, + [ la fonction x ln [u(x)] a pour dérivée x ⎯⎯→   ⎯⎯→ 1 mais n’en déduisez pas x 1 . u(x) Pour éviter toute ambiguïté, utilisez systématiquement la formule condensée (ln u)’(x) = si u(x) = x → car vous retrouvez bien u’(x) même u(x) 1 ). x  → Rappelons que pour l’étude de fonctions, vous devez 1° → Préciser le signe de la fonction dérivée avant de dresser le tableau des variations : 2° → Justifier les calculs de limites (avec éventuellement les croissances comparées) et donner les asymptotes s’il y a lieu.  → Dans toute équation du type (ln x)² + ln x – 2 = 0, il est habituel de poser ln x = X pour x > 0 afin de se ramener à la résolution d’une équation connue. Ne confondez pas (ln x)², carré du logarithme de x, et ln (x²), logarithme du carré de x. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Université bruxelloise qui m’accueille dans le cadre de mes recherches, une table de travail, où je peux inscrire mes gestes et mes pensées inutiles, en plus des autres ! Et, d’arriver parfois à en faire quelque chose qui tienne debout… C’est pourquoi j’aimerais que les jeunes que nous formons comprennent ce que sont les Mathématiques, et ce qu’elles ne sont pas. 1° Qu’elles sont à l’opposé de leur réduction à des règles d’arithmétique. 2° Qu’elles ne pourront jamais être remplacées par des ordinateurs. 3° Qu’elles sont une inestimable machine à concepts. 4° Qu’elles constituent un univers à explorer qui n’attend que ses découvreurs. → Théo Héikey → 30  → L’équivalence :    ln a = ln b a > 0, b > 0     a=b a > 0, b > 0 traduit le fait que la fonction ln est une bijection de ]0, + [ sur IR. L’équivalence    ln a > ln a a > 0, b > 0  a > b > 0 traduit le fait que la fonction ln est strictement croissante sur ]0, + [.  → Des remarques du même type que les précédentes se retrouvent pour la fonction exponentielle. x  → La méthode suivie lors de la résolution d’équations faisant intervenir des exponentielles (e , x –x e , e 2x … ) consiste à poser e = X et à se ramener à la résolution de certaines équation connues. x e =a On utilise alors l’équivalence :   a>0    x = ln a a>0 x Attention : ⎯⎯→ l’équation e = – 2 n’a pas de solution ; ⎯⎯→ l’équation    ln x = – 2 a pour solution x = e – 2. x>0  → La fonction dérivée de x ⎯⎯→  x e est x ⎯⎯→  fonction donnée ne s’applique pas au cas x x ⎯⎯→  la fonction ln, utilisez systématiquement : x a x e mais le fait que la fonction dérivée soit égale à la  ⎯⎯→ a , si a  e. Afin d’éviter toute erreur, comme pour e u(x) a pour fonction dérivée x ⎯⎯→  u’(x) e u(x) b  → L’équivalence e = e  a = b traduit le fait que la fonction exp est une bijection de IR sur [0 ; + [. a b  → L’équivalence e > e  a > b traduit le fait que la fonction exp est strictement croissante sur IR.  ⎯⎯→ x e – 2 a un sens alors que l’équation e = – 2 n’admet pas de solution x ⎯⎯→ a = e x ln a pour a > 0. Je mesure chaque jour, ma chance d’obtenir à l’Univer