Cours Automatique 2A 2021 - Cours Automatique 2A v1 2021 PDF

Représentation, Analyse et Commande des Systèmes Linéaires Continus Caroline Bérard – Alan Allart 2021/2022 Version provisoire en relecture Sommaire 1 - Introduction.......................................... 4 2 - Représentation..............

Représentation, Analyse et Commande des Systèmes Linéaires Continus Caroline Bérard – Alan Allart 2021/2022 Version provisoire en relecture Sommaire 1 - Introduction.......................................... 4 2 - Représentation........................................ 8 3 - Analyse temporelle et fréquentielle.................. 30 4 - Introduction à la synthèse........................... 70 5 - Réglage via un simple gain........................... 83 6 - Précision des systèmes asservis..................... 100 7 - Synthèse : approche fréquentielle................... 108 8 - Synthèse : approche modale.......................... 125 9 - Synthèse d’un estimateur............................ 139 10 - Discrétisation de loi de commande.................. 147 A - Fonctions Matlab relatives à l’automatique.......... 157  Asservissements linéaires 1 Introduction 3 / 159  Asservissements linéaires 1 Introduction Ce cours est une introduction au domaine de l’automatique, introduit dans le cursus de formation ingénieur ISAE-SUPAERO. Il détaille les bases de la théorie de l’automatique, en fournissant les notions nécessaires à la représentation, à l’analyse et à la commande des systèmes tombant dans la catégorie des systèmes dits « linéaires et continus ». 1.1 Motivation de l’automatique L’automatique est un ensemble de théories, méthodes et techniques visant à augmenter l’autonomie des machines, afin de les rendre moins dépendantes d’interventions humaines. Des machines plus autonomes permettent notamment de : Remplacer l’homme en cas de : o Complexité o Tâche pénible et / ou répétitive o Environnement hostile Améliorer les performances de processus : o Précision / qualité o Régularité / répétitivité o Productivité / disponibilité o Coût de reviens L’automatique est mise en application dans plusieurs domaines de l’industrie, comme par exemple (sans exhaustivité) : L’aviation (pilotes automatiques d’avion) Le spatial (Systèmes de Contrôle d’Attitude et d’Orbites de satellites, pilotes de lanceurs) L’industrie manufacturière (centres d’usinage à commande numérique) L’automobile (calculateurs moteur, régulateurs de vitesse, voitures autonomes) La domotique (thermostats, contrôle d’humidité) 1.2 Mise en œuvre Un système automatisé met en œuvre plusieurs composants afin de satisfaire ses objectifs : 4 / 159 1 Introduction  Asservissements linéaires Des capteurs, qui permettent d’observer l’état du système (en particulier la grandeur à asservir). Il traduit une grandeur physique (pression, température, débit, …) en une grandeur interprétable et utilisable. Des actionneurs, qui permettent d’exécuter la tâche en question en obéissant à un signal de commande (moteur électrique, gouverne aérodynamique, électrovanne, …). Ils agissent sur le système. Un correcteur, qui produit le signal de commande à destination des actionneurs, en fonction des données fournies par le(s) capteur(s) (calculateur de vol, comparateur de tension, …). Il réfléchit à la meilleure manière d’aborder la tâche en question. Les asservissements réalisés peuvent être analogiques ou numériques (basés sur des calculateurs numériques cadencés). Le schéma de principe général d’un système automatisé est le suivant : 1.3 Exemple complexe : boucle de GNC La structure de la boucle de GNC (Guidance, Navigation and Control pour Navigation, Guidage et Pilotage) d’un lanceur est la suivante : 1 Introduction 5 / 159  Asservissements linéaires Les actionneurs sont par exemples les tuyères des moteurs, des jets de gaz froids, des gouvernes aérodynamiques, … Ils agissent directement sur l’évolution du lanceur dans l’espace au cours du temps. Les capteurs, qui mesurent différentes grandeurs au cours du vol, comme l’accélération ressentie, le taux de rotation du véhicule, la pression dynamique, … Ces données sont directement utilisées par la boucle de Navigation La boucle de Navigation, qui utilise les données fournies par les capteurs pour estimer l’état actuel du système. Il s’agit en particulier de la position courante et de la vitesse courante du lanceur dans l’espace. La boucle de Guidage utilise l’estimation de position fournie par la Navigation et détermine la meilleure trajectoire réalisable qui permette de satisfaire l’objectif. Elle donne des ordres au Pilotage afin de suivre cette trajectoire, comme l’orientation que doit avoir le lanceur à un instant donné. Le Pilotage commande les actionneurs afin de répondre aux ordres du Guidage. Il doit satisfaire à des critères de rapidité et de précision afin que la mission soit réussie. Le contenu de ce cours s’oriente autour de ce qui s’apparenterait au Pilotage sur le schéma précédent. Les théories développées auront pour but de commander des actionneurs pour répondre à des consignes provenant de l’extérieur (humain, système de décision embarqué, …). 1.4 Historique Ci-dessous sont résumées quelques dates clés pour l’évolution des théories de l’automatique. L’automatique en tant que théorie ayant un support et un fondement mathématique à proprement parler est réellement née au cours du 19è siècle. Son développement a connu un essor fulgurant durant l’entre-deux guerres et après la seconde guerre mondiale. 6 / 159 1 Introduction  Asservissements linéaires Clepsydre, minutier à eau des grecs (-250 av. J.C.)., égyptiens, amérindiens... Horloges à poids et leur mécanisme régulateur (foliot, échappement), 14ème siècle Baille blé des moulins au 16ème siècle Régulateur à boules de James Watt, 1767, pour la machine à vapeur. Pilote automatique de navires au 19ème siècle, “ On governors ” (sur les gouvernails), de Maxwell, 1868, ou “ Servomoteurs pour le gouvernail des navires garde- côtes ”, Farcot, 1868. Mathématisation au 19ème : transformée de Laplace (selon une idée d’Euler) des équations différentielles dues à Leibniz, Newton... J.B. Fourier ouvre la voie de l’analyse et du traitement du signal en cherchant à résoudre l’équation de propagation de la chaleur. Dans l’entre-deux guerres, l’électronique à tubes et la TSF nécessitent les amplificateurs à contre réaction. Vers 1930, Bode, Black, Nyquist étudient réponse harmonique, gain, bande passante … Avec la 2ème guerre mondiale... La théorie classique de la commande se développe, pour les systèmes d’armes… Claude E. Shannon publie sa “ Théorie Mathématique de l’Information ” en 1949 Norbert Wiener publie “Cybernetics and communication in machine and animal ” en 1948 Naissance des ordinateurs, années 50, suite des métiers à tisser de Jacquard et des machines à calculer de Babbage et Pascal,... John Von Neumann formalise l’architecture, Alan Turing, l’algorithme... W. Shockley et le transistor (1947) Premier ordinateur transistorisé IBM 5070 en 1960. Principe d’optimalité de Bellman, (~1957), programmation dynamique, équation de Riccati, … 1 Introduction 7 / 159  Asservissements linéaires 2 Représentation Un système est un ensemble de constituants qui interagissent entre eux pour réaliser une fonction. Les systèmes sont reliés à un environnement extérieur au travers de leur interfaces avec l’environnement : les entrées et les sorties. 2.1 Modélisation et classification L’objectif principal de la représentation est de déterminer un modèle de comportement du système à asservir. Celui-ci permettra entre autres de prédire le comportement du système suite à certaines sollicitations, d’aider dans synthèse d’une loi de commande, d’évaluer et de valider les performances d’une boucle de contrôle. Un modèle de système résulte d’un compromis entre complexité et précision. Un modèle très représentatif de la réalité sera très complexe à créer et à identifier, car il faudra prendre en compte des phénomènes difficiles à modéliser, à analyser, potentiellement non-linéaires et difficiles à traiter. Cela nécessite également des moyens physiques importants et couteux (soufflerie, banc d’essais vibratoires, …). Il est également possible qu’un modèle précis (et complexe) soit trop lourd pour pouvoir mettre en œuvre certains outils de l’automatique lors de la synthèse de contrôleur, et il peut être nécessaire de travailler sur des modèles plus simples lors de la phase de conception. Au contraire, un modèle plus simple sera plus rapide et facile à créer, souvent grâce à des équations de la physique de base, et négligeant des phénomènes d’impact faible voir modéré. Les outils de l’automatique ne demanderont pas beaucoup de moyen pour être mis en œuvre sur ce type de modèle. En revanche, il est possible que le contrôleur conçu sur ce modèle ait des performances très médiocres, voir inacceptables, sur le système réel. Les modèles de système peuvent être catégorisés selon plusieurs notions, synthétisées sur la figure suivante : Monovariables / Multivariables : un système monovariable possède une entrée et une sortie. Les autres systèmes sont dits multivariables. 8 / 159 2 Représentation  Asservissements linéaires Coefficients constants / Temps variant : un modèle à coefficient constants ne dépend pas du temps (il sera aussi appelé stationnaire). Dans un modèle temps variant, les équations liant les entrées aux sorties dépendent du temps autrement que par les dérivations temporelles. Linéaires / Non linéaires : le modèle est linéaire si la relation entrée-sortie satisfait au principe de superposition : o Si  () est la réponse à l’entrée  (), alors la réponse à l’entrée ∑ α () () est ∑ α () () Continus / Discrets : Le modèle est dit continu s’il est défini par une équation continue du temps RC̇ () + y() = u(). Il est dit discret s’il est défini par une équation récurrente RC + (1 − ) = . 2 Représentation 9 / 159  Asservissements linéaires En addition, plusieurs propriétés annexes peuvent être définies : Causalité : la sortie d’un système causal ne dépend que des entrées et sorties de ce systèmes aux instants précédents. Tous les systèmes physiques sont causaux. Système invariant : la réponse du système à une sollicitation donnée est invariante par translation temporelle. En d’autres termes, si l’expérience est identique (mêmes conditions initiales et mêmes entrées), alors la sortie ne change pas. Système statique : son équation de fonctionnement ne dépend pas de dérivées temporelles, et la sortie est en tout instant proportionnelle à l’entrée. C’est le cas d’un circuit avec une simple résistance, dans lequel le courant est proportionnel à la tension d’alimentation.  o i() = u()  Système dynamique : au contraire du système précédent, l’équation de fonctionnement dépend d’une ou de plusieurs dérivations ou intégrations temporelles. C’est le cas d’un circuit RC. o RC̇ () +  () = u() 2.2 Représentation d’état La représentation d’état est une modélisation interne d’un système : on déterminera les relations entrées – sorties au travers d’équations exprimant l’évolution de l’état du système. On connaitra donc non seulement les sorties (dites mesurables ou observables), mais également les variables intermédiaires nécessaires à la représentation du système mais non observables en sortie du système réel. 10 / 159 2 Représentation  Asservissements linéaires 2.2.1 Notion d’entrée L’entrée d’un système est l’ensemble des contraintes qui lui sont appliquées par l’extérieur. Il s’agit le plus souvent de contraintes intentionnelles (tension aux bornes d’un moteur électrique) ou de perturbations (modification de la charge inertielle en sortie de ce moteur). Le vecteur d’entrée peut être de dimension 1 (système à entrée simple) ou plus (systèmes multi- entrée). Dans la suite du cours, le vecteur d’entrée sera noté (). 2.2.2 Notion d’état Lorsque l’on cherche à modéliser un système, un certain nombre de variables internes sont nécessaires pour représenter l’état dans lequel il se trouve. Il s’agit d’un vecteur de taille minimale contenant les variables nécessaires pour déterminer et prédire le comportement à venir du système en connaissant son entrée en tout instant et les conditions initiales sur cet état. Sur un système mécanique à 1 DDL (par exemple un point matériel ne se déplaçant que selon un axe), l’état du système est le vecteur contenant la position et la vitesse du point. Intuitivement, si l’on connait la position et la vitesse initiale du point, alors on peut connaitre la position et la vitesse du point en tout instant, grâce aux équations cinématiques (qui lient l’évolution de la position en fonction de la vitesse) et aux équations dynamiques (qui lient l’évolution de la vitesse en fonction des efforts extérieurs). Les efforts extérieurs, sont l’entrée du système, et ont besoin d’être connus en tout instant pour déterminer l’évolution du point. La définition rigoureuse et mathématique de l’état est la suivante : () est un vecteur d’état si c’est un vecteur de taille minimale et vérifiant la propriété suivante : 2 Représentation 11 / 159  Asservissements linéaires Si, pour tout instant  , ( ) est connu, alors ( ) et ( ) peuvent être déterminés de manière exacte et unique pour tout instant  >  si l’entrée () est connue sur l’intervalle de temps [ ;  ] Dans la suite du cours, le vecteur d’état d’un système sera noté () 2.2.3 Notion de sortie La sortie d’un système est le vecteur constitué des grandeurs physiques observées et mesurées. Il est possible que sur plusieurs systèmes, la sortie corresponde rigoureusement au vecteur d’état. C’est surtout le cas des modèles simplifiés. Il est aussi possible que la sortie soit une réduction du vecteur d’état (seules certaines variables d’état sont mesurées). C’est le cas dans les modèles complexes, où des phénomènes jouant un rôle dans la dynamique du système ne sont pas mesurées sur le système réel, pour des raisons de coûts du capteur, de complexité d’intégration, ou de technologie non existante (par exemple, on ne mesure pas les modes de flexion des ailes d’un avion dans le pilote automatique, pourtant, ils ont un effet non négligeable sur la dynamique de l’avion). Il est également possible que la sortie soit une combinaison (linéaire ou non) de plusieurs éléments du vecteur d’état. Ce sera le cas quand une grandeur ne fera pas partie de l’état, mais qu’elle pourra être calculée (grâce à des équations linéaires ou non) à partir des constituants du vecteur d’état. Dans la suite du cours, le vecteur de sortie d’un système sera noté () 2.2.4 Equation du système L’équation d’état du système est un système d’équations liant : 12 / 159 2 Représentation  Asservissements linéaires L’évolution de son état à lui-même et à l’entrée appliquée, appelée équation d’état : ̇ () = ⋯ La sortie à l’état et à l’entrée appliquée, appelée équation de sortie : () = ⋯ Il sera toujours possible de ramener un système d’équations différentielles par rapport au temps à un système d’équations différentielles d’ordre 1 par rapport au temps (possiblement plus grand). Aussi, c’est pourquoi toutes les équations d’état pourront se mettre sous la forme ̇ () = ⋯ La forme la plus générale de l’équation d’état est sa version non linéaire, dans lequel les fonctions  et  sont non linéaires, et dépendent explicitement du temps : ̇ () = ((), (), )  () = ((), (), ) Elle peut également être linéaire temps variant : ̇ ( ) = ( )() +  ()()  () = ()() + ()() Ou encore (modèle le plus simple, celui qui sera étudié dans ce cours), linéaire à temps invariant. Dans ce modèle, les coefficients des équations différentielles de l’état (() = ⋯) ainsi que les coefficients de l’équation de sortie (() = ⋯) sont considérés constants pendant la durée de l’expérience. () =  ( ) + ()  () = () + () Il n’y a pas de solution générale pour l’équation d’état non linéaire ni pour l’équation d’état linéaire à temps variant. Il en existe cependant une pour l’équation d’état linéaire à temps invariant, formée respectivement par la solution homogène et par la solution particulière du système différentiel, et donnée ci-dessous : 2 Représentation 13 / 159  Asservissements linéaires  ( ) () =  ( ) +   () ()  2.2.5 Schéma fonctionnel de la représentation d’état L’équation d’état linéaire stationnaire peut être mise sous forme de schéma bloc (les dimensions de chaque bloc sont indiquées entre crochets). Dans un schéma bloc, le passage par un bloc représente une multiplication. L’opérateur d’addition est représenté par un sommateur (cercle avec ou sans croix à l’intérieur selon les conventions). Les différentes matrices intervenant dans ce schéma bloc sont les matrices de l’équation d’état : La matrice dynamique . Elle régit l’évolution temporelle du système La matrice d’entrée . Elle exprime l’effet des entrées sur l’état du système. La matrice de sortie . Elle fait le lien entre l’état du système et les mesures capteur. La matrice de transmission directe . Elle exprime un lien direct entre les entrées et les sorties. Elle sera le plus souvent nulle. La taille du vecteur d’état (et donc de la matrice ) est appelée ordre du système. Il correspond au nombre d’équations différentielles temporelles d’ordre 1 utilisées pour décrire la dynamique du système. 14 / 159 2 Représentation  Asservissements linéaires 2.2.6 Non unicité de la représentation d’état La représentation d’état n’est pas unique, et dépend du choix des variables d’état. Lorsque des variables d’état sont choisies, elles peuvent être : Des variables physiques liées aux capteurs (grandeurs mesurées) Des variables physiques liées à des grandeurs que l’on veut simuler Des variables n’ayant pas de signification physique particulières, mais présentant des avantages algorithmiques (c’est le cas de la forme modale par exemple) Comme la représentation d’état n’est pas unique, on peut passer d’une représentation avec certaines variables d’état à une autre, au moyen d’une matrice de passage  telle que  = . Représentation dans la base initiale : ̇  =  +   =  +  Passage dans la base secondaire : ̇       =   +   =  +   =  +  =   +  Quelle que soit la base choisie, il y a un invariant de la représentation :   =   2.2.7 Linéarisation autour d’un point de fonctionnement Dans la vie réelle, aucun système n’est parfaitement linéaire. Pour autant, les systèmes linéaires sont beaucoup plus faciles à comprendre, analyser, et asservir. Pour cette raison, on se ramènera toujours à un système linéaire (dans le cadre de ce cours). 2 Représentation 15 / 159  Asservissements linéaires La linéarisation du système se fera autour d’un point de fonctionnement nominal, appelé point d’équilibre. Le modèle linéarisé sera valable dans le cas de variations plus ou moins fortes, en fonction du degré de non-linéarité initial. La stratégie est la suivante : Définition du point d’équilibre et de la commande associée ( ,  ) telles que ∀ ( ,  , ) = 0 (qui est équivalent à ∀, ̇ = 0) Changement de variables autour du point d’équilibre  =  +    =  +  Développement de Taylor au premier ordre ⎧̇ = (, , )  + (, , )   ⎪   ,    ,  ⎨ (, , ) (, , ) ⎪ =   +   ⎩   ,    ,  Prenons l’exemple suivant : un pendule simple (la masse est un point matériel) est commandé au niveau de son axe de rotation par le couple Γ(). Les équations de la mécanique du point permettent d’écrire l’équation dynamique du système :   ̈ = − sin  − ̇ + Γ Le vecteur d’état naturel pour ce système est :    =  ̇ =     La représentation d’état est alors la suivante : ̇  0  =     +  1 Γ ̇ − sin  −      Le système va être linéarisé autour de la position d’équilibre . Cette position est une position d’équilibre seulement si les dérivées temporelles dans l’équation dynamique sont nulles, soit Γ =  sin . On définit ainsi les variables de petites variations : 16 / 159 2 Représentation  Asservissements linéaires  =  +  ̇ = ̇ ,et évidemment ̈ Γ = Γ + Γ  = ̈ Le développement de Taylor du sinus autour de  donne : sin( + ) = sin  + cos( ) . Le reste découle de cette linéarisation :   ̈ = − sin  − ̇ + Γ   ̈ = −(sin  + cos( ) ) − ̇ + Γ + Γ  cos( )  ̈ = −  − ̇ + Γ     0 1  0  ̇  =   cos( )     +  1  δΓ ̇   − −      2.3 Fonction de transfert La modélisation par fonction de transfert est une modélisation de type entrée-sortie. Le comportement interne du système n’y est pas décrit, et n’est pas déterminable. La fonction de transfert est dans la plupart des cas déterminée à partir de l’équation différentielle régissant la loi entrée sortie du système. 2.3.1 Transformation de Laplace La transformation de Laplace permet de transformer un problème intégro-différentiel en un problème algébrique. Si () est une fonction causale (c’est-à-dire () = 0 ∀  < 0), alors sa transformée de Laplace est donnée par :  ℒ {()} = () =  ()   ,  ∈ ℂ  La transformation de Fourier est donc une transformation de Laplace avec  =  2 Représentation 17 / 159  Asservissements linéaires Les propriétés de la transformation de Laplace sont les suivantes : Linéarité ℒ { ∙ () +  ∙ ()} =  ∙ () +  ∙ () Dérivation ℒ̇() =  ∙ () − (0 )  () Intégration ℒ  ()  =   Retard temporel ℒ {( − )} = () ∙   Valeur initiale lim () = lim  ∙ () → → Valeur finale lim () = lim  ∙ () → → Grâce à ces propriétés, une équation différentielle de la forme :    ()    ()   =         Devient immédiatement, sous réserve de conditions initiales nulles pour toutes les fonctions et leurs dérivées : ()  +   + ⋯ +    () = = ()  +   + ⋯ +    On pourra toujours mettre une fonction de transfert sous la () forme () =  avec (0) = (0) = 1 et  constante appelée gain () statique du transfert (il s’agit du gain entre l’entrée et la sortie à fréquence nulle). On définit la fonction () dite de Heaviside, autrement appelée fonction indicatrice de ℝ , utilisée pour rendre les fonctions causales : 0 si  < 0 () =  1 si  ≥ 0 18 / 159 2 Représentation  Asservissements linéaires Les transformations usuelles de Laplace sont données dans le tableau suivant : Impulsion () = () () = 1  Echelon () =  ∙ () () =   Rampe () =  ∙ () () =   Sinus () = sin  () =  +  Exponentielle 1 décroissante () =   ∙ (),  > 0 () = + Sinus () =   sin  ∙ ()  exponentiellement () =  >0 ( + ) +   amorti 2.3.2 Transformation inverse de Laplace La transformation inverse de Laplace est souvent utilisée pour trouver la solution temporelle de la sortie d’un système dont on connait l’équation différentielle. Le principe de résolution est le suivant : Passage de l’équation différentielle dans le domaine de Laplace et détermination de la fonction de transfert Détermination de la solution de l’équation algébrique de la sortie dans le domaine de Laplace Décomposition de la solution en éléments simples Retour au domaine temporel grâce aux tables de transformées Exemple 1 : Conditions initiales nulles Soit le système définit par () + 2̇ () = (). Nous souhaitons déterminer la réponse temporelle à un échelon, en supposant que toutes les conditions initiales sont nulles 2 Représentation 19 / 159  Asservissements linéaires Ramené, dans le domaine de Laplace, on peut déterminer la fonction de transfert du système : () + 2 ∙ () − (0 ) = () 1 () = () 1 + 2 Ici, () = () , soit d’après les tables () = 1. On détermine donc () lorsque soumis à cette entrée, puis on décompose en éléments simples. 1 () = (1 + 2) 1 1 () = −  +1 2 Puis, en utilisant les tables, on repasse dans le domaine temporel par identification des termes de la décomposition. () = 1 −  / Exemple 2 : Conditions initiales non nulles Soit le système décrit par l’équation différentielle () +  ∙ ̇ () = () +  ∙ ̇ () avec les conditions initiales suivantes : (0 ) = (0 ) = 1. On le soumet à l’entrée  , unitaire pour les temps négatifs, et nulle ensuite. On a donc () = 1 − (). En intégrant l’équation différentielle autour de  = 0, on parvient à trouver la condition initiale (0 ).    {() +  ∙ ̇ ()} =  {() +  ∙ ̇ ()}        () +  () =  () +  ()     En prenant la limite quand  tend vers 0, les intégrales s’annules puisque les fonctions () et () sont finies. Il reste : 20 / 159 2 Représentation  Asservissements linéaires    () =  ()   (0 ) = 1 −  En passant l’équation différentielle originale dans le domaine de Laplace, et en n’oubliant pas les termes de conditions initiales, on trouve : ((0 ) − (0 )) 1 −  () = = 1 +  1 +  Soit en temporel : () = (1 − ) ∙  / 2.4 Lien entre représentation d’état et fonction de transfert 2.4.1 Comparaison des deux formes Contrairement à la représentation d’état, la fonction de transfert est unique. Il existe une et une seule fonction de transfert entrée-sortie pour représenter l’évolution d’un système donné. La représentation d’état permet d’étudier la réponse à des conditions initiales, ce que la fonction de transfert ne permet pas de manière générale. La représentation d’état permet de représenter avec le même formalisme les systèmes MIMO (Multi-Input, Multi-Output). C’est aussi possible avec la fonction de transfert, où l’on passera avec une matrice de transfert, mais plus complexe. L’information quant à la structure interne du système est conservée avec la représentation d’état (les variables internes du système sont récupérables, car présentes sous forme d’états). Cette information est perdue dans la fonction de transfert : il s’agit d’un modèle « boîte noire ». 2 Représentation 21 / 159  Asservissements linéaires L’équation d’état permet une analyse de gouvernabilité et d’observabilité, ce qui n’est pas possible grâce à la fonction de transfert. L’analyse de gouvernabilité et d’observabilité est introduite dans le chapitre suivant, « Analyse temporelle et fréquentielle » En revanche, la fonction de transfert est pratique, car elle permet de déterminer rapidement et visuellement le comportement dynamique d’un système. Entre autres, on peut faire une interprétation fréquentielle simple de la réponse du système à diverses formes d’entrées. Représentation d’état : Fonction de transfert : ̇( ) =  () + ()  +   + ⋯ +    ()  () = =  () = () + ()  +   + ⋯ +    () On appelle pôles du système les zéros du dénominateur de la fonction de transfert :  tel que ( ) = 0. On appelle zéros du système les zéros du numérateur de la fonction de transfert :  tel que ( ) = 0. Si le système est gouvernable et observable, alors nous avons les propriétés suivantes : () =  ∙ ( − ) ∙  +  () = det( − ), c’est l’équation caractéristique du système Si le système est observable et gouvernable, alors de plus, les pôles du système sont les valeurs propres de . Dans la suite du cours, nous ne considérerons que des fonctions de transfert propres, car les autres n’ont pas de sens physique (elles ne sont pas causales). Une fonction de transfert propre est telle que deg() ≤ deg(()). 22 / 159 2 Représentation  Asservissements linéaires 2.4.2 Forme diagonale Nous la considérerons sous la forme SISO (Single-Input, Single-Output). Elle est aussi appelée forme modale. Représentation d’état : Fonction de transfert : −  ⎧ ⎡  ⎤ ⎪̇ = ⎢ − ⎥  +    ()   ⎢ ⋱ ⎥ ⋮ () =  = + ⎨ ∏ ( +  )  +  ⎣ − ⎦   ⎪ ⎩ = [  …  ] +  Obtenue par décomposition en Obtenue par diagonalisation de éléments simples, lorsque tous la matrice  les pôles sont réels distincts Avec  =  ∙ . La plupart du temps, on prendra  ou  unitaire. Cette forme permet de mettre en évidence les modes du système. Dans cette représentation, les  sont directement les modes du système. La mise sous forme diagonale est toujours possible lorsque les valeurs propres de  sont de multiplicité simple. Si les valeurs propres ont un ordre de multiplicité supérieur à 1, alors la mise sous forme diagonale n’est possible que si l’ordre de multiplicité est égal à la dimension du sous-espace engendré par les vecteurs propres. Si ce n’est pas le cas, on ne pourra mettre le système que sous forme diagonale par blocs, appelée forme de Jordan (et qui n’est pas présentée dans ce cours). 2.4.3 Forme compagne horizontale Les formes compagnes (horizontale et verticale) permettent de facilement passer d’une fonction de transfert à une représentation d’état. Cependant, le fait de repasser à une représentation d’état 2 Représentation 23 / 159  Asservissements linéaires à partir d’une fonction de transfert ne restitue pas l’information sur la structure interne du système, qui est perdue définitivement. La forme compagne horizontale est aussi appelée forme de gouvernabilité, puisqu’elle permet une analyse rapide de la gouvernabilité du système. Dans une forme compagne horizontale, la matrice  est très simple, ce qui peut dans certains cas faciliter la synthèse de lois de commandes. Représentation d’état : Fonction de transfert : 0 1 0 ⋯ 0 0 ⎧ ⎡ 0 0 1 ⋱ ⋮ ⎤ ⎡0⎤ ⎪ ̇ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥    + ⋯ +  = ⎢ ⋮ ⋮ ⋱ 1 0 ⎥  + ⎢⋮⎥  () = +  ∙   +    + ⋯ +  ⎨ ⎢ 0 0 ⋯ 0 1 ⎥ ⎢0⎥ ⎪ ⎣− − ⋯ ⋯ − ⎦ ⎣1⎦ Avec  <  ⎩ =  ⋯  [ 0 ⋯] +  2.4.4 Forme compagne verticale La forme compagne verticale est également appelée forme d’observabilité. Elle permet d’avoir une matrice  relativement simple et peut, dans certains cas, faciliter la mise en place d’observateurs. Représentation d’état : Fonction de transfert : − 1 0 ⋯ 0 ⋮ ⎧ ⎡− 0 1 ⋱ ⋮ ⎤ ⎡ 0⎤ ⎪ ̇ ⎢  ⎥ ⎢ ⎥    + ⋯ +  = ⎢ ⋮ ⋮ ⋱ 1 0⎥  + ⎢ ⎥  () = +  ∙   +    + ⋯ +  ⎨ ⎢ − 0 ⋯ 0 1⎥ ⎢ ⋮ ⎥ ⎪ ⎣ − 0 ⋯ ⋯ 0⎦ ⎣  ⎦ Avec  <  ⎩ = [1 0 0 ⋯ 0] +  24 / 159 2 Représentation  Asservissements linéaires 2.5 Exemples calculatoires Les 3 prochains exemples se baseront sur la même équation différentielle, et auront pour but de montrer les différentes représentations d’état associées. L’équation différentielle du système est la suivante : ⃛ + 6̈ + 11̇ + 6 = 3 + 2̇ Soit comme fonction de transfert : 2 + 3 () =   + 6  + 11 + 6 Exemple 1 : Si l’on prend la fonction de transfert directement telle qu’elle, alors on peut avoir une représentation d’état en utilisant directement la forme compagne horizontale. Cela donne : ̇ 0 1 0 0 ̇ = ̇  =  0 0 1   +  0   ̇ −6 −11 −6 1  = [3 2 0] + 0 ∙  Le schéma fonctionnel associé est le suivant : On remarque d’ailleurs que dans cette représentation, les variables d’état sont les sorties des intégrateurs. 2 Représentation 25 / 159  Asservissements linéaires Exemple 2 : Dans cette représentation, on choisira de mettre le système sous forme diagonale. Ce ne sera bien sûr pas toujours possible. Pour ce faire, on décompose la fonction de transfert en éléments simples. 1 1/2 −3/2 () = + + +2 +1 +3 La représentation d’état est alors : ̇ −2 0 0 1 ̇  ̇  =    =  0 −1 0   + 1/2   ̇ 0 0 −3 1  = [1 1 −3/2] + 0 ∙  Et le schéma fonctionnel est le suivant : On notera bien que les gains  sont placés avant les blocs de transfert, car ils représentent l’effet de la commande sur l’état. En revanche, les gains  sont placés après l’état en question, car ils représentent un gain sur l’observation de l’état. Ici, les variables d’état sont les sorties des blocs dynamiques. 26 / 159 2 Représentation  Asservissements linéaires Exemple 3 : Il est possible de faire un mélange des deux et de ne décomposer en éléments simples qu’une partie de de la fonction de transfert : 1 1 1 () =  + ∙ +2 +1 +3 La représentation d’état associée est plus facile à déterminer en cherchant d’abord le schéma fonctionnel correspondant : La représentation d’état associée est alors obtenue en écrivant les équations pour chaque état : ̇ = −3 +  +   ̇ = − +    ̇ = −2 +   =  On peut alors la mettre sous forme matricielle : ̇ −3 1 1 0 ̇ = ̇  =  0 −1 0   + 1   ̇ 0 0 −2 1  = [1 0 0] + 0 ∙  Les variables d’états sont encore une fois les sorties des blocs dynamiques. Exemple 4 : On s’appuie dans cet exemple sur un schéma bloc interconnectant plusieurs systèmes MIMO ne disposant pas de 2 Représentation 27 / 159  Asservissements linéaires transmission directe. Le but étant de trouver la représentation d’état du système global. On a les représentations d’état de chaque sous-système : ̇ =   +      =   Ainsi que les équations de couplage liées à la structure du schéma bloc :  =   =   =  −     =  On peut alors rassembler ces 2 systèmes : ⎧̇ =   +   =   +  ( −  ) =   −    +   ⎪ ̇ =   +   =   +              ⎨̇ =   +   =   +    ⎪ =   ⎩   En rassemblant alors ces équations sous forme matricielle, on obtient la représentation d’état du système global : ⎧ ̇  0 −   ⎪̇ =  ̇  =    0  +  0   ⎨ ̇ 0    0 ⎪ ⎩ = [0  0] Attention, les 0 ne sont pas des scalaires, ce sont des matrices nulles de la taille adéquate. 28 / 159 2 Représentation  Asservissements linéaires 2 Représentation 29 / 159  Asservissements linéaires 3 Analyse temporelle et fréquentielle 3.1 Analyse Modale 3.1.1 Base modale On se donne un système défini par une représentation d’état de matrices , , . Si la matrice  est diagonalisable, alors la matrice de passage nécessaire à la diagonalisation est la matrice . On définit  la matrice des vecteurs propres à droite de  :  = [ ⋯  ] avec  =  . On a alors  = . On définit aussi la matrice  des vecteurs propres à gauche de  :  = [ ⋯  ] , avec   =  . On a alors  =   = . On peut alors représenter la dynamique du système dans la nouvelle base, appelée base modale, avec la matrice diagonale Λ =  = diag ( ). Le nouveau vecteur d’état est  tel que  = . Les variables d’états de  sont les modes du système, et leur évolution est indépendante des autres modes, car la matrice dynamique Λ est à présent diagonale. Dans la base modale, la représentation d’état devient : ̇ ( ) = Λ ( ) + ()  () = () Le schéma fonctionnel associé à cette nouvelle représentation est le suivant : 30 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires On remarque alors l’effet de la matrice , qui distribue les entrées sur les différents modes, et de la matrice , qui distribue les états sur les sorties. Les sorties ne sont que des combinaisons linéaires des modes, et il en est de même pour les états originaux . Comme présenté au paragraphe « 2.4.2Forme diagonale », la représentation modale correspond à la décomposition en éléments simples de la fonction de transfert, lorsque cela est mathématiquement possible. 3.1.2 Notions de stabilité Pour rappel, les pôles d’un système sont les singularités de sa fonction de transfert (division par 0 dans () ) et ils correspondent aux valeurs propres de la matrice dynamique  lorsque le système est gouvernable et observable. Les pôles vont définir les caractéristiques du régime établi de la réponse d’un système à une sollicitation. Cela peut être résumé de la façon suivante, en ne considérant que la réponse d’un mode associé à son pôle : Pôle Réel Complexe Exponentiellement Partie réelle Exponentiellement oscillant et positive instable instable Partie réelle Exponentiellement Exponentiellement négative stable oscillant et stable Le fait qu’un pôle soit réel ou complexe va définir si le mode associé possède une réponse oscillante ou non. Plus le pôle se rapproche d’un imaginaire pur (avec un argument proche de ±/2), plus le système sera oscillant. On parlera de système faiblement amorti. Le signe de la partie réelle du pôle définit la stabilité du système. Un système est stable si sa sortie ne diverge pas lorsque 3 Analyse temporelle et fréquentielle 31 / 159  Asservissements linéaires celui-ci est soumis à une excitation extérieure. Nous souhaitons bien évidemment que nos systèmes soient stables. La magnitude de la partie réelle d’un pôle va quant à elle définir la rapidité de la réponse du système. Plus le pôle est éloigné de l’axe imaginaire, plus la réponse associée sera rapide. Un système est stable si et seulement si tous ses pôles sont stables, c’est-à-dire s’il n’a aucun pôle à partie réelle positive. Si la partie réelle d’un pôle est nulle (s’il se trouve sur l’axe imaginaire), alors il sera associé à des modes oscillant dont l’amplitude ne diminue pas avec le temps. Ces modes sont dits en limite de stabilité. Pôles plus rapides 3.2 Analyse temporelle et fréquentielle Pour un système stable, le régime commence par être transitoire pendant un temps dépendant de lui-même, puis s’installe ensuite dans un régime établi. Le régime transitoire sera étudié par des analyses temporelles ainsi que des essais. Le régime établi sera caractérisé par une analyse fréquentielle en réponse à une sollicitation sinusoïdale. C’est principalement le régime établi que nous étudierons dans ce cours. 32 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires Par exemple, si l’on considère le système défini par la ()  fonction de transfert () = = soumis à une excitation ()  sinusoïdale () =  sin .   () =  +     +   () =   =   + (1 + )( +  )  +  1 +  () =  sin( +  ) +   / On voit clairement ici le régime établi, sinusoïdal de même fréquence que l’entrée et le régime transitoire, exponentiellement décroissant. 3.2.1 Analyse temporelle On étudiera le régime transitoire en regardant la réponse à des entrées type. Parmi celles-ci se trouve l’échelon (de  transformée de Laplace ) qui permet d’analyser la rapidité et  l’amortissement d’un système, et la rampe (de transformée de  Laplace ) qui permet d’analyser les erreurs de trainage.  Les propriétés analysées pendant cette analyse temporelle sont les suivantes : Temps de montée  : écart de temps nécessaire pour que la sortie passe de 10% à 90% de la valeur finale. Temps de premier dépassement  : temps auquel se produit le premier dépassement dans le cas où la réponse en admet. Temps de réponse  : temps à partir duquel la sortie reste dans la bande des ±5% de la valeur finale. Le dépassement ,% : la valeur en % (par rapport à la valeur finale) du i-ème dépassement de la sortie. Le régime permanent (valeur finale) est donné par le théorème de la valeur finale, en utilisant (0). 3 Analyse temporelle et fréquentielle 33 / 159  Asservissements linéaires 3.2.2 Analyse harmonique L’intérêt de l’excitation sinusoïdale est que sa sortie en régime établi au travers d’un système linéaire est une sinusoïde de même fréquence (éventuellement déphasée et de magnitude différente). En notation complexe, on peut prendre une entrée () =    , et la sortie aura la forme () =      , avec  la magnitude de la sortie, et  le déphasage associé. Pour une équation différentielle de la forme :    ()    ()   =         On obtient, après injection de  et de , et en définissant  =  / :       () =   ()   Soit () =   (), avec : 34 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires  + ⋯ +      =  = ()  + ⋯ +      = |()|  = arg () 3.2.3 Outils de l’analyse fréquentielle L’analyse fréquentielle des systèmes linéaires met à disposition plusieurs outils graphique de représentation des systèmes qui permettront de faire des analyses de stabilité, de performances et de robustesse des systèmes. Voici les principaux : Le diagramme de BODE : Il s’agit de la représentation sur deux graphes séparés du gain en dB et du déphasage, tous deux en fonction de la pulsation logarithmique. Le diagramme de BLACK-NICHOLS : Il s’agit de la représentation paramétrique du gain en dB et du déphasage le long de la pulsation, pour  variant de −∞ à +∞. Le diagramme de NYQUIST : Il s’agit de la représentation du nombre complexe () dans le plan complexe associé, pour  variant de −∞ à +∞. 3 Analyse temporelle et fréquentielle 35 / 159 Asservissements linéaires 36 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires Les relations entre gain en dB  et gain décimal  sont les suivantes :  = 20 ∙ log  = 20 ∙ log|()|  = 10 / 3.3 Systèmes du premier ordre Le système du premier ordre se présente sous la forme d’un système à une constante de temps () avec un gain statique , vérifiant l’équation différentielle et la fonction de transfert : () + ̇ () = ()   () = = 1 +  1 + / Une des représentations d’état du premier ordre peut donc être la suivante (c’est un ordre 1, donc une variable d’état) : 3 Analyse temporelle et fréquentielle 37 / 159  Asservissements linéaires ̇ = [̇ ] = [−1/ ] + []   =  3.3.1 Réponse temporelle La réponse temporelle d’un premier ordre, pour un échelon unitaire est affichée ci-dessous : Les points remarquables sont les suivants : La valeur finale de la réponse est égale au gain statique  La tangente à l’origine coupe l’axe de la valeur finale à  =  La réponse du système vaut 63% de sa valeur finale à = La réponse du système vaut 95% de sa valeur finale à  = 3 La réponse du système vaut 99% de sa valeur finale à  = 5 La réponse du système lorsque soumis à une rampe de pente , pour  = 1 est la suivante : 38 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires En particulier, on remarque qu’à cause d’un certain temps de réaction apporté par le premier ordre, le système ne peut pas rattraper la consigne originale et aura toujours une erreur vis- à-vis de celle-ci. Cette erreur s’appelle l’erreur de trainage. L’erreur de trainage n’a de sens à calculer que pour un gain statique unitaire, puisque c’est le seul pour lequel le régime permanent est égal à l’entrée. L’erreur de trainage pour un système du premier ordre vaut  = . Donc plus la constante de temps du système est élevée (plus le système est lent), ou plus la rampe est nerveuse (pente raide), et plus le système aura du mal à suivre la consigne. L’erreur de trainage est obtenue avec le théorème de la valeur finale : () = /   = lim (() − ()) →  =  lim (() − ()) →  =  lim (1 − ())() → 1   =  lim  1 −   → 1 +       =  lim  → 1 +    3 Analyse temporelle et fréquentielle 39 / 159  Asservissements linéaires  =  3.3.2 Réponse fréquentielle Le diagramme de Bode réel du système du premier ordre, en adimensionnant  par 1⁄ =  est le suivant : En particulier, on a les valeurs suivantes : =0  = 1/(2)  = 1/  = 2/ =∞   = 20 log   − 1  − 3  − 10 −∞  [deg] 0 -26.5 -45 -63.5 -90 Le diagramme de Bode asymptotique est obtenu en considérant  très petit ou très grand dans la fonction de transfert : Pour  → 0 (comportement basse fréquence), on a () ≈ , donc : arg  ≈ 0  ≈ 20 log  40 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires Pour  → ∞ (comportement haute fréquence), on a () ≈ 1/(), donc : arg  ≈ −90°  ≈ 20 log  − 20 log  (pente de 20dB/décade) Le diagramme asymptotique obtenu est donc le suivant : Les diagrammes fréquentiels de Nichols et de Nyquist sont donnés ci-dessous : 3 Analyse temporelle et fréquentielle 41 / 159  Asservissements linéaires 3.3.3 Réponses fréquentielles généralisées Grâce aux propriétés des logarithmes et des arguments, il est possible de déduire des calculs précédents les formes des réponses fréquentielles pour un transfert du premier ordre d’une forme différente. Les propriétés sont les suivantes : 1 log   = − log   |̅ | = ||  arg   = arg  − arg   Exemple avec  () =  +  : 1  () = 20 log|1 + | = −20 log = − ( ()) |1 + | arg (1+jω) = arg (1) − arg (1 + ) = −arg (1 + ) = −arg ( ()) 42 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires Avec  la fonction de transfert précédemment étudiée. On en déduit le diagramme de Bode pour la fonction de transfert . La méthode reste la même pour les autres formes de premier ordre. La méthode est également applicable aux autres diagrammes fréquentiels. BODE : 3 Analyse temporelle et fréquentielle 43 / 159 Asservissements linéaires NYQUIST : 44 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires BLACK : 3.3.4 Première notion de filtrage Soit un signal de type rampe bruitée () =  () + () =   +  sin( ) commandant un actionneur du premier ordre, sur lequel nous pouvons choisir la constante de temps. Nous voulons choisir  tel que l’erreur totale maximale en régime permanent soit minimale. Cette erreur comprend l’erreur de suivi de consigne, présente car une rampe passe à travers le premier ordre, et l’erreur due au bruit de mesure, qui affecte la réponse de l’actionneur. Pour quantifier l’erreur totale, on peut utiliser le principe de superposition et évaluer l’impact de l’un et de l’autre séparément. Nous avons déjà vu que l’erreur de suivi de consigne était pour un premier ordre  = . 3 Analyse temporelle et fréquentielle 45 / 159  Asservissements linéaires Pour l’erreur due au bruit, il suffit d’utiliser la fonction de transfert en régime permanent :  () =  ∙ |( )| ∙ sin  + arg ( ) Pour déterminer la valeur maximale de la sortie due au bruit, seul le gain de la fonction de transfert et l’amplitude du bruit d’entrée sont nécessaires : 1  =  |( )| =  1 +    L’erreur totale maximale en régime permanent est donc donnée par :   () =  + 1 +    Il y a donc un temps de réponse optimal de l’actionneur vis- à-vis de l’erreur maximale atteinte en régime permanent. Si la constante de temps est très grande, les bruits seront filtrés naturellement par la dynamique du système et ils n’induiront pas d’erreur. En revanche, le système sera lent et l’erreur de trainage sera grande. Si au contraire le temps caractéristique est faible, il n’y aura pas d’erreur de trainage, mais l’effet du bruit sera très important, car il ne sera pas du tout filtré et sera « copié » par le système. En conclusion, les systèmes doivent être rapides, mais il faut faire attention à l’impact négatif que pourrait avoir une trop grande réactivité. 46 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires 3.4 Systèmes du second ordre Un système du second ordre a la particularité de se présenter avec un terme d’amortissement réduit  (assimilable à un terme de frottement fluide), qui dissipe l’énergie du système. Il nous indiquera le régime du système. L’équation différentielle et la fonction de transfert d’un système du second ordre sont les suivantes : 2 1 () + ̇ () +  ̈ () = ()     () = = 2 1  + 2  +   1+  +     On en déduit la représentation d’état suivante, obtenue grâce à la forme compagne horizontale : ̇ 0 1  0 ̇ =    =      +     ̇ −  −2    = [1 0] Le terme d’amortissement  peut prendre plusieurs valeurs :  ≥ 1 : le système est composé de deux pôles réels, et il est possible de le mettre sous la forme d’une mise en série de 2 systèmes du premier ordre  < 1 : le système est composé de 2 pôles complexes conjugués, et des oscillations seront présentes dans les réponses temporelles 3 Analyse temporelle et fréquentielle 47 / 159  Asservissements linéaires  < √2/2 ≈ 0.707 : le système présentera un pic de résonance à une fréquence  légèrement inférieure à la pulsation propre  du système 3.4.1 Réponse temporelle Les courbes ci-dessous montrent l’effet du coefficient d’amortissement  sur la forme de la réponse temporelle. On remarque que plus le terme d’amortissement est faible, plus la sortie est oscillante et met du temps à se rétablir. On dit qu’on perd de la stabilité. Le temps de réponse est par conséquent augmenté. On remarque également que pour les coefficients d’amortissement supérieurs à 1, il n'y a pas de dépassement de la consigne. Cela est dû au fait qu’il s’agit en réalité de 2 systèmes du premier ordre mis en série, et que les systèmes du premier ordre n’entraînent jamais de dépassement de consigne. Plus le terme d’amortissement est grand au-delà de 1, plus le temps de réponse ralenti également. Si l’on se met maintenant à iso-amortissement et que l’on regarde l’effet de la pulsation propre  , on observera la figure suivante : 48 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires Plus la pulsation propre augmente, plus le système est réactif. A iso-amortissement, l’effet de la pulsation propre apparait comme une simple contraction ou dilatation temporelle de la réponse. Il est aussi important de noter que pour toutes les réponses temporelles de type second ordre, la tangente à l’origine a une pente nulle. 3.4.2 Réponse fréquentielle Si l’on se place en fréquence réduite / et gain statique  unitaire, alors seul le coefficient d’amortissement a un impact sur la forme de la réponse fréquentielle. Si le gain statique n’est pas unitaire, alors il suffit de translater les courbes de gain de  = 20 log  vers le haut, et de garder les courbes de phases telles qu’elles. En particulier, il va influencer sur la forme de la réponse autour de la pulsation propre et sur l’intensité du pic de résonance. Le facteur de surtension  est aussi représenté, comme la différence entre le gain à fréquence nulle, et le gain au pic de résonance. 3 Analyse temporelle et fréquentielle 49 / 159  Asservissements linéaires L’effet d’un amortissement plus grand est également l’étalement de la courbe de phase : avec un amortissement grand, il faut un grand décalage en fréquence pour passer d’un déphasage de 0 à , alors que cette transition est très brutale pour un faible amortissement. Les diagrammes de Nichols et de Nyquist sont montrés sur la figure suivante : 50 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires On remarque aisément la résonance sur le diagramme de Nichols, par la bosse qui dépasse l’axe de gain à 0dB. L’effet d’un amortissement supérieur à 1 est montré sur la figure suivante. On remarque bien la séparation en 2 systèmes du premier ordre, avec un passage intermédiaire à une pente de - 20dB / décade. Le déphasage se fait également en 2 temps, avec un passage intermédiaire à /2. 3.4.3 Positionnement des pôles Les pôles d’un système du second ordre se placent de 2 manières différentes dans le plan complexe selon que le coefficient d’amortissement est supérieur ou inférieur à 1. Si l’amortissement est supérieur à 1, le système est équivalent à la mise en série de 2 premier ordres de temps caractéristiques et deux pôles réels correspondants seront présents : 3 Analyse temporelle et fréquentielle 51 / 159  Asservissements linéaires 1  =  ( + √  − 1) 1  =  ( − √  − 1) Si le système présente un amortissement inférieur à 1, deux pôles complexes conjugués seront présents à :  =  − ±  ∙ 1 −    On définira  l’angle entre l’axe imaginaire et le pôle complexe à partie imaginaire positive :  = arcsin  Il en découle que : Les pôles à iso-pulsation propre sont sur des cercles de centre l’origine et de rayon  , et on les obtient en faisant varier , toutes choses égales par ailleurs. Les pôles à iso-amortissement appartiennent à une même droite passant par l’origine, et d’angle  avec l’axe imaginaire. 52 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires 3.4.4 Caractéristiques principales Plusieurs caractéristiques des systèmes du second ordre peuvent être calculés aisément, ou estimés à l’aide d’abaques. Pulsation de résonance ( < 1)  =  1 − 2  Instant du premier dépassement   = ( < 1)  √  Approximation du temps de ..  ≈ montée (0.3 <  < 0.8)  Approximation du temps de   ≈ réponse  Valeur du 1er dépassement ( <  √   = exp   avec tan  = 1) tan     = √  Facteur de surtension ( < 1)  = −20 log 2√1 −   Ci-dessous, on présente un abaque du taux de dépassement pour plusieurs amortissements réduits et pour plusieurs numéros de dépassement. 3 Analyse temporelle et fréquentielle 53 / 159  Asservissements linéaires Un autre abaque du temps de réponse réduit à 5% en fonction de l’amortissement est donné ci-après. Le temps de réponse réduit est le produit ,%  , qui est nécessaire pour adimensionner le temps de réponse et rendre l’abaque générique. Les dentures sur la courbe sont dues au fait qu’on change de numéro de dépassement déterminant pour le temps de réponse. Le temps de réponse réduit (et à fortiori le temps de réponse) est minimal pour  = 0.7. C’est pour cela qu’on verra souvent revenir dans les spécifications qu’un système bouclé doit se comporter comme un système du second ordre amorti à  = 0.7. Ce ne sera le cas que pour les systèmes dans lesquels le léger dépassement induit ne pose pas de problème. 3.5 Systèmes d’ordre quelconque 3.5.1 Influence des zéros Les zéros d’un système n’impactent pas sa stabilité : la stabilité n’est déterminée que par les pôles d’un système. Par contre, ils ont un effet non négligeable sur sa réponse. Les zéros d’un système vont fortement impacter le régime transitoire. Cela se voit surtout sur les zéros basse fréquence (qui évoluent lentement). La figure suivante montre l’effet de 54 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires l’évolution de la valeur −1/ du zéro sur la réponse à un échelon  de la fonction de transfert () =.    On voit principalement qu’avec un zéro très lent (courbe violette), les performances du système laissent à désirer, à cause d’un fort dépassement et d’un temps de réponse long. En revanche, bien placer ce zéro, par exemple avec le réglage  = 3 permet d’améliorer les performances temporelles par rapport au système du deuxième ordre pur ( = 0). Les zéros ont également une influence sur la réponse fréquentielle du système. Ils sont capables de modifier les profils de phase et de gain, et ont une influence sur les marges de robustesse. Ils peuvent ajouter des surtensions fréquentielles (résonances). L’influence de la valeur du zéro de l’exemple précédent sur sa réponse fréquentielle est montrée sur la figure suivante : 3 Analyse temporelle et fréquentielle 55 / 159  Asservissements linéaires Certains systèmes peuvent avoir des zéros à partie réelle positive dans leur fonction de transfert. Ces systèmes ne seront pas instables, car la stabilité n’est définie que par les pôles du système. Ils seront en revanche dis « à déphasage non minimal ». L’effet principal d’un tel système se situe au niveau de sa réponse temporelle : le signe de la tangente à l’origine et du régime permanent peuvent être opposés : la sortie ne va pas dans la bonne direction à l’origine. Dans tous les cas, le chemin suivi par la sortie apparaitra comme non optimal. Exemple 1 :  Prenons le système de fonction de transfert () = et    étudions sa réponse à un échelon : La valeur du régime permanent est donnée par le théorème de la valeur finale, avec () = 1/. 56 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires 1 1 −  (∞) = lim  =1 →    + 2 + 1 La valeur de la tangente à l’origine est donnée par le  théorème de la valeur initiale, appliquée à ℒ  () = ().  1 1 −  ̇ (0 ) = lim    = − →    + 2 + 1 On montre donc par le calcul que la direction de départ de la sortie n’est pas la bonne par rapport à la consigne. Une simulation temporelle donne le résultat suivant : Exemple 2 : ()() Prenons le système de fonction de transfert () = ()(  .) et étudions sa réponse à un échelon : La valeur du régime permanent est donnée par le théorème de la valeur finale, avec () = 1/. 3 Analyse temporelle et fréquentielle 57 / 159  Asservissements linéaires 1 (1 − )(1 − ) (∞) = lim  =1 →  (1 + )(  + 1.4 + 1) La valeur de la tangente à l’origine est donnée par le  théorème de la valeur initiale, appliquée à ℒ  () = ().  1 (1 − )(1 − ) ̇ (0 ) = lim   =1 →  (1 + )(  + 1.4 + 1) Dans ce cas de figure, il n’y a pas de problème vis-à-vis des signes de la tangente à l’origine et de la valeur finale. Mais une simulation temporelle exhibe un transitoire étrange, dû uniquement  aux zéros et au retard :  3.5.2 Lieux de transfert généralisés Soit une fonction de transfert générique, propre ( ≤  + ), avec  la classe du système (le nombre d’intégrateurs purs dans la fonction de transfert),  de degré  et tel que (0) ≠ 0 et  de degré  et tel que  (0) ≠ 0 de la forme : 58 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires ()  + ⋯ +    () =  =     ()   , + ⋯ + ,    Aux basses fréquences, la réponse fréquentielle dépend de la classe du système, et sera équivalente à : (0) 1 1 (0) ≈  ∝  (0)     Aux hautes fréquences, la réponse fréquentielle dépend de l’ordre du système  =  +  et du degré  du numérateur () , puisque :  1 1 (∞) ≈  ∝ ,     Plus précisément, aux hautes fréquences, la forme du système est définie par «  −  ». Ces indications permettent de construire les lieux de transfert généralisés. Ce sont les tracés asymptotiques des fonctions de transfert dans les plans de Nichols et de Nyquist. En revanche, ils n’indiquent en rien la manière de relier les asymptotes basses et hautes fréquences. Les lieux de transfert généralisés dans le diagramme de Nichols sont donnés ci-après : 3 Analyse temporelle et fréquentielle 59 / 159  Asservissements linéaires Les lieux de transfert généralisés dans le diagramme de Nyquist sont donnés ci-après : Sur l’exemple suivant, on peut bien remarquer que le comportement asymptotique suit les prévisions données par le lieu de transfert généralisé : 60 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires Classe 1, donc la basse fréquence est à -90°  −  = 2, donc la haute fréquence est à 180° En revanche, en fonction de la rapidité du zéro (qui ajoute 90° de phase) et de l’amortissement du second ordre, la manière de relier ces deux asymptotes varie énormément. 3.5.3 Approximation du retard pur Le retard pur (décalage temporel) est l’opération   (transformation de Laplace avec retard). L’opération n’étant pas linéaire, il est nécessaire de l’approximer. Comme toute approximation, elle a une plage de validité au-delà de laquelle l’approximation n’est plus très réaliste. Le retard pur a comme caractéristiques fréquentielles : un gain unitaire et une phase de − L’approximation est faite en séparant l’exponentielle en 2 termes et en y faisant un développement limité. On pourra alors obtenir ce qu’on appelle un Padé, d’ordre 1 ou 2 selon l’ordre du développement limité.    / 1 − 2  = / ≈  (approximation de Padé d'ordre 1)  1+ 2 3 Analyse temporelle et fréquentielle 61 / 159  Asservissements linéaires   / 1 −  +    = ≈ 2 8 (approximation de Padé d'ordre 2)  /    1+ +  2 8 Le gain de ces approximations est toujours unitaire (ce sont des systèmes à retard, dans lesquels le numérateur et le dénominateur sont conjugués). Le déphasage introduit est montré sur les figures suivantes. Il est à noter que l’expression d’un retard pur est un exercice difficile, et qu’il n’y a pas d’expression générale fonctionnant dans tous les cas de figure. 3.5.4 Notions de modes dominants Les modes dominants sont les modes qui seront le plus visibles sur la réponse temporelle, et c’est eux qui participeront à l’allure générale de la majorité de la réponse temporelle. Dans la plupart des cas, on s’intéressera à l’allure de la réponse sur un horizon temporel relativement long. Dans ce cas, les modes dominants seront les modes les plus lents (ceux le plus à droite sur le demi plan gauche, donc avec la partie réelle la plus petite en valeur absolue). Les modes les plus rapides convergent très vite (relativement aux autres modes du système). 62 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires Si dessous, on montre un système pour lequel le mode dominant est un mode du premier ordre (temps caractéristique de 1s), mais qui possède également un second ordre de temps caractéristique 10s : Si dessous, on montre cette fois un système composé d’un second ordre à 1s de temps caractéristique, dominant comparé au premier ordre à 10s qui le compose également. 3 Analyse temporelle et fréquentielle 63 / 159  Asservissements linéaires 3.6 Gouvernabilité et observabilité 3.6.1 Exemples introductifs Ingouvernabilité : Considérons le système Σ défini par ̇ −1 0  2 ̇ =    =    +    ̇ −1 1  1  = [0 1] D’équation différentielle : ̈ −  = ̇ −  Et de fonction de transfert : 1  () = +1 Une analyse des valeurs propres de  donne des valeurs propres de 1 et -1. Le système est donc instable, mais ce n’est pas mis en valeur par la fonction de transfert. Pour comprendre, nous pouvons prendre le système et en déduire son schéma fonctionnel : On remarque bien la présence d’un bloc instable dans S2. Si maintenant nous changeons de base pour la base modale, nous allons avoir l’équation d’état et le schéma fonctionnel suivants : 64 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires ̇  −1 0   −1 ̇ =    =     +       ̇ 0 1   0  = [−1 1] On remarque donc que le pôle instable (à 1) n’est associé à aucune entrée. Pour peu que la condition initiale sur ce mode soit non nulle, ou qu’une petite perturbation l’écarte de son état d’équilibre, il s’ajoutera de manière divergente à la sortie sans que l’utilisateur du système ne puisse y faire quoi que ce soit. Le mode à 1 est qualifié d’ingouvernable (et ce, indépendamment de sa stabilité : tout mode non relié à l’entrée est qualifié d’ingouvernable). Il faudrait ajouter un actionneur qui puisse contrôler ce mode. La gouvernabilité est la capacité à modifier l’état interne d’un système en agissant sur les entrées disponibles. Inobservabilité : Si l’on prend maintenant le système Σ ∗ défini par : ̇ 1 0  1 ̇ =    =   +   ̇ 2 −1  0  = [0 1] D’équation différentielle : ̇ +  =  3 Analyse temporelle et fréquentielle 65 / 159  Asservissements linéaires Et de fonction de transfert identique à l’exemple précédent (qui rappelle le fait qu’une fonction de transfert ne définit pas un système de manière unique) : 1  ∗ () = +1 Une analyse des valeurs propres de  redonne la même conclusion que précédemment, le système est instable (pôles en -1 et 1) mais ce n’est pas visible dans la fonction de transfert. Le schéma fonctionnel montre que les sous-systèmes sont les même que sur le système précédent, mais dans un ordre différent. Le passage dans la base modale et le schéma fonctionnel correspondant montrent une autre particularité : ̇ −1 0  1 ̇ =    =    +      ̇ 0 1  0  = [−1 0] 66 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires Cette fois, le mode instable est bien contrôlé par l’entrée, En revanche, il n’est pas visible depuis la sortie. Si le mode diverge, l’utilisateur ou le contrôleur n’en sauront rien, jusqu’à ce que le système sorte de sa plage de fonctionnement (qui est finie sur un système réel). Ce mode est qualifié d’inobservable (et ce, indépendamment de sa stabilité : tout mode non relié à la sortie est qualifié d’inobservable). La solution serait d’ajouter un capteur pour pouvoir observer l’état de ce mode. L’observabilité est la capacité à pouvoir reconstruite l’état interne d’un système à partir de la seule connaissance des mesures. 3.6.2 Origine des modes inobservables et ingouvernables Les modes ingouvernables et inobservables sont présents à cause de simplifications entre le numérateur et le dénominateur dans la fonction de transfert (qui reflète le comportement entrée- sortie du système). Dans les exemples précédents, le système S1 aurait pu se ramener à un simple bloc 2 −1  () = 1 − = +1 +1 Ce qui cache le mode instable de S1, par simplification avec le zéro instable de S2. Si le zéro simplificateur arrive avant le pôle dans le système, alors ce pôle ne sera pas visible depuis l’entrée et le mode sera ingouvernable. Si le zéro simplificateur arrive après le pôle dans le système, alors ce pôle ne sera pas visible depuis la sortie, et le mode sera inobservable. 3 Analyse temporelle et fréquentielle 67 / 159  Asservissements linéaires S’il y a 2 zéros simplificateurs (avant et après) dans le système pour un seul pôle, alors ce mode sera à la fois inobservable et ingouvernable. Ceci est résumé sur la figure suivante : La visibilité de certains modes dépend de la représentation choisie. L’équation d’état permet de repérer tous les types de modes. L’équation différentielle ne permet de repérer que les modes observables. La fonction de transfert ne met en évidence que les modes gouvernables et observables. Mode G - O G - O G - O G - O Equation d’état X X X X Equation X X différentielle Fonction X transfert 68 / 159 3 Analyse temporelle et fréquentielle  Asservissements linéaires 3.6.3 Critères de gouvernabilité et d’observabilité Lorsque la représentation d’état est en base modale (la matrice  ) est diagonale, les matrices  et  permettent de remarquer immédiatement les modes inobservables et ingouvernables. Un terme nul dans la matrice  correspond à un mode ingouvernable Un terme nul dans la matrice  correspond à un mode inobservable Cela peut d’ailleurs être remarqué sur les exemples introductifs. Sinon, les critères de Kalman permettent de conclure dans le cas général, mais ne permettent pas de dire quel mode est concerné : Critère de KALMAN pour la gouvernabilité : Le système est entièrement gouvernable si et seulement si : rang([  ⋯   ]) =  La matrice [  ⋯   ] est appelée matrice de gouvernabilité Critère de KALMAN pour l’observabilité : Le système est entièrement observable si et seulement si :   rang   =  ⋮    La matrice   () ⋯ ( )  est appelée matrice d’observabilité 3 Analyse temporelle et fréquentielle 69 / 159  Asservissements linéaires 4 Introduction à la synthèse 4.1 Cahier des charges d’un asservissement La synthèse d’un asservissement pour un système répond à un cahier des charges. Les objectifs de la synthèse peuvent être regroupées en plusieurs catégories. La stabilité : il faut faire en sorte que le système asservi soit stable et que le retour à l’équilibre ait une forme temporelle satisfaisante : Temps de réponse Amortissement La performance : elle concerne la régulation (quand la consigne est statique) et la poursuite (quand la consigne est dynamique). Rejet de perturbation : capacité à rester sur la consigne malgré l’apparition d’éléments perturbateurs (comme des