Counting and Probability (Thai) PDF

การนับและความน่าจะเป็น ผศ.ดร.ภานุพงศ์ วิจิตรคุณากร สาขาวิทยาศาสตร์การคานวณ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์ วิดยาพาติว การนับและความน่าจะเป็น หน้า 1...

การนับและความน่าจะเป็น ผศ.ดร.ภานุพงศ์ วิจิตรคุณากร สาขาวิทยาศาสตร์การคานวณ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์ วิดยาพาติว การนับและความน่าจะเป็น หน้า 1 การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่ง ทราบว่าผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอก ได้อย่างแน่นอนว่า ในแต่ละครั้งผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไร ปริภูมิตัวอย่าง (sample space, S) คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ของ การทดลองสุ่ม เหตุการณ์ คือ สับเซตของปริภูมิตัวอย่าง £ O.br. air riots 0 n(E) P (E) = n(S) ถ้า สมาชิกทุกตัวของ S มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน a. w. aoriouwa 1 พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ " ¥? (( ominous การทดลอง สนใจ S rñniioiomoiniir ? ทอดลูกเต๋า 2 ครั้ง แต้ม ¥ {(1, 1), (1, 2), (1, 3),... , (6, 6)} ทอดลูกเต๋า 2 ครั้ง ผลรวม {2, 3, 4,... , 12} โยนเหรียญ 2 ครั้ง หัวหรือก้อย ÷ {HH, HT, T H, T T } โยนเหรียญสิบกับเหรียญบาท หัวหรือก้อย {Hh, Ht, T h, T t} โยน 2 เหรียญพร้อมกัน หัวหรือก้อย {หัวล้วน, คนละด้าน, ก้อยล้วน} โยน 2 เหรียญพร้อมกัน หัวหรือก้อย {HH, HT, T T } ✗ โยน 3 เหรียญพร้อมกัน จำนวนหัว {0, 1, 2, a-... , 3} ✗ โยน 3 เหรียญพร้อมกัน หัวหรือก้อย {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} ✓ ก) โยนเหรียญที่เหมือนกัน 2 เหรียญพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ออกคนละด้านกัน - L,Ñw 2 S = { Hiltz , w Hitz , T , w Hy , T , Tz } ans = ÷ tz= ข) โยนเหรียญ 3 เหรียญพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ออกหัวเพียงเหรียญเดียว ans = % ค) เอโยนเหรียญ 3 เหรียญพร้อมกัน แต่ไม่บอกผลแก่บี บอกเพียงว่ามีทั้งหัวและก้อย จงหาความน่า จะเป็นที่ออกหัวเพียงเหรียญเดียว { 1-1*1 HHT HTH - t #} S = , , , TH H , , , ans = % = ± การนับและความน่าจะเป็น หน้า 2 (หลักการคูณ) ในการทำงานอย่างหนึ่ง ถ้าสามารถแบ่งขั้นตอนการทำงานออกเป็น k ขั้นตอน ซึ่ง ต้องทำต่อเนื่องกัน โดยที่ ขั้นตอนที่ 1 สามารถทำได้ n1 วิธี - ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่ 1 สามารถทำขั้นตอนที่ 2 ต่อไปได้ n2 วิธี ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่ 1 และ 2 สามารถทำขั้นตอนที่ 3 ต่อไปได้ n3 วิธี... ÷÷÷¥¥ ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่ 1 ถึง k − 1 สามารถทำขั้นตอนที่ k ต่อไปได้ nk วิธี แล้วจะสามารถทำงานนี้ได้ทั้งหมด n1 × n2 × · · · × nk วิธี 2 ข้อสอบมี 2 ตอน ตอนที่หนึ่งมี 5 ข้อให้เลือกตอบว่าจริงหรือเท็จ ตอนที่สองมี 10 ข้อให้เลือกตอบ จาก 4 ตัวเลือก ถ้าต้องทำข้อสอบทุกข้อ แล้วจะมีวิธีการตอบทั้งหมดเท่าใด ② ② - - - ⑤... 19 T - F ✓ T IF / - F 2 2 2 22 4 - 4 -... _ ✗ = 25 41°. - - - - - ÷ ¥ 3 มีคน 2 คน แต่ละคนเลือกเลขหนึ่งตัวจาก 1–10 จงหาจำนวนวิธีทั้งหมด เมื่อ ก) คนแรกเลือก 1–5 คนที่สองเลือก 6–10 ข) สองคนเลือกเลขต่างกัน ( oiaiovñnnroonoon ) 5- -5=25# -1° 9- = 90 # durian Aras M1 962 rohn iron - ( MIÉs ) # ÑnYuwn ÷ ÷ = 100 = , การนับและความน่าจะเป็น หน้า 3 4 มีหนังสือ 5 เล่มที่แตกต่างกัน แจกให้นักเรียน 3 คน (เอ บี ซี)ได้ทั้งหมดกี่วิธี โดย ก) แจกหมดทุกเล่ม (อาจจะมีบางคนไม่ได้) ข) แต่ละคนได้หนังสือเพียงเล่มเดียว 3 3 3 33 5- -4-3 Erin -2 3- IF Aidan Bredon Croton ans = 35=243 * ans = 5.4-3=60 # ค) แจกหมดทุกเล่ม โดยเอได้เล่มเดียว ง) เอไม่ได้หนังสือเลย บีและซีได้คนละเล่ม 5- ± 5 2 2 2 2 B non iron C ¥A _y%÷%ñB,c ans = 5-4--20 A nv so É ¥a¥☐ ¥ ans = 5- 2.2.2.2 I = so * " ans = 1- 5- 4 การนับและความน่าจะเป็น หน้า 4 5 หาจำนวนเลือกกรรมการ 3 คน (ประธาน รองประธาน และเลขาฯ) จากชาย 5 คน หญิง 4 คน และเด็ก 3 คน โดย ก) ไม่มีเงื่อนไขอื่น ข) ประธานเป็นเด็ก รองประธานเป็นหญิง 6 หาจำนวนวิธีการจัดที่นั่งให้ผู้ใหญ่ 3 คนกับเด็ก 4 คน เดินทางด้วยรถยนต์ 7 ที่นั่ง โดย ก) คนขับเป็นผู้ใหญ่ ข) คนขับเป็นผู้ใหญ่ และสามคนหลังเป็นเด็ก 7 ครอบครัวหนึ่งมีพ่อ แม่ และลูก 2 คน ไปเที่ยวสวนสนุก จัดทั้งสี่คนถ่ายรูปหน้ากระดานให้รูปปั้นอยู่ ตรงกลางได้ทั้งหมดกี่วิธี โดย ก) พ่อและแม่ยืนติดกัน ข) ลูกทั้งสองคนไม่ยืนติดกัน การนับและความน่าจะเป็น หน้า 5 (หลักการบวก) ในการทำงานอย่างหนึ่ง ถ้าสามารถแบ่งวิธีทำงานออกเป็น k กรณีโดยที่ - - กรณีที่ 1 สามารถทำได้ n1 วิธี กรณีที่ 2 สามารถทำได้ n2 วิธี... กรณีที่ k สามารถทำได้ nk วิธี ซึ่ง วิธี การทำงานในทั้ง k กรณีไม่ซ้ำซ้อนกัน และการทำงานในแต่ละกรณี ทำให้ งานเสร็จ สมบูรณ์ แล้วจะสามารถทำงานนี้ได้ทั้งหมด n1 + n2 + · · · + nk วิธี 8 เลือกเลขแตกต่างกันจำนวนหนึ่งจาก {1, 2,... , 10} โดยที่ผลบวกมีค่าเท่ากับ 10 nsÑs 10 I 4+6 nf 1-19,2+8 , 3+7 , 4 + 11-4-15 nÑ3i 11-2-17 , 1-13-16 , y 2-13-15 I nsÑ4i 1+2+3+4 - ans = 1C = iénwnnewiñouo 9 หาจำนวนวิธีสร้างเลขคู่ 3 หลัก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 ให้เลขในแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน โดย - ก) ไม่มีเงื่อนไขอื่น ข) เลขที่ได้มากกว่า 300 ft - ¥ 500 oh To oooo ** 012 024 12 ◦ 12 024 345 345 nsoieonotoq - - 2 -4 -2 I - 4 2 of nsdudn.hu 3- -4-3 4 3 ÷ - - - 024 ans = 16+36=52 # ans = 8+24=32 # การนับและความน่าจะเป็น หน้า 6 10 หาจำนวนวิธีสร้างจำนวนเต็มบวก(กี่หลักก็ได้) จากเลขโดด 1, 2, 3, 4 ให้เลขแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน โดย ก) ไม่มีเงื่อนไขอื่น ข) เลขที่ได้น้อยกว่า 300 16¥ 4- ± aid 4- -3 and 4- -3 3 2 361 -43--2 3ʳᵈ 2 -12304 -1234 461 4- -32--1 ans = 4+12+12 = 28 # ± ans = 4+12+24-124 = 64 * 11 ในถังมีลูกบอลต่างกันทั้งหมด 11 ลูก เป็นสีขาว ดำ แดง และเหลืองอย่างละ 4, 3, 2, 2 ตามลำดับ ตักลูกบอล 3 ลูกพร้อม ๆ กัน หากทราบว่าได้ลูกบอลสีต่างกันหมด จงหาจำนวนวิธีทั้งหมด 12 หาจำนวนวิธีการเลือก a, b, c ∈ {1, 2, 3,... , 100} โดย a < b < c และ c − a ≤ 10 การนับและความน่าจะเป็น หน้า 7 (หลักการลบ) จำนวนวิธีในการเกิด p = จำนวนวิธีทั้งหมด − จำนวนวิธีในการเกิด ∼p Noons riouwn Ydoicsno 13 หาจำนวนรูปแบบการโยนเหรียญ 5 ครั้ง โดย v42 ✓ 6%3 V... ก) ได้หัวอย่างน้อยหนึ่งครั้ง ข) ได้หัวอย่างน้อยสองครั้ง - → ñouÑow ( ) ans = # sinews -11=9270560100 ans = # Korean - # v50 - # v81 = 25 - 1 = 25 - 1 - 5 = 26 * = 31 * - - - - - TV H 14 สลับตัวอักษรในคำ “WOULD” เพื่อสร้างคำโดยไม่คำนึงถึงความหมาย โดยอักษรตัวแรกหรือตัว - สุดท้ายเป็นพยัญชนะ ได้ทั้งหมดกี่วิธี - WOULD WULDO OWULD , , % ironirhowcheow : ✓ ñuÑsw8≈ow : p up # oioonr = # sisters - # tdoicsnr = # otium - # fiorisnirhoos : A ÑñvÑooo :) (1) (3) (4) (5) (2) ← fÉ 2 3 21 I = 5- -4-3-2-1 - - - - - - OU OU = 120 - 12 = 108 * 15 ตู้นิรภัยมีระบบล็อกที่เป็นรหัสประกอบด้วยตัวเลขโดด 0 ถึง 9 จำนวน 3 หลัก จำนวนรหัสทั้งหมด ที่มีบางหลักซ้ำกันคือเท่าใด  การนับและความน่าจะเป็น ☒ หน้า 8 (หลักการเพิ่มเข้า-ตัดออก) จาก n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) เราจะได้ จำนวนวิธีที่สอดคล้อง p หรือ q = จำนวนวิธี p + จำนวนวิธี q − จำนวนวิธี p และ q 16 โยนเหรียญ 8 ครั้ง จงหาจำนวนวิธีที่ ได้หัวครั้งแรก หรือ ได้ก้อยสองครั้งสุดท้าย H - s - - - II I II ,. - - - -... - _. ans = # donation + # ñoozoo:ñw - # u%adorronnkoozaot.nu -1-1-2-2 2- -2-2 i-III + ' = _ _ - 11=-2-2 -2--1--1 = 27+26-25 ☒ 17 หาจำนวนวิธีเรียง พ่อ แม่ ลูกชาย ลูกสาว เป็นแถวหน้ากระดาน โดย S={ www.wsooos. _.. } ก) พ่อยืนติดกับแม่ หรือ พ่อยืนติดกับลูกชาย -43--2-1=24 ÑoÑÑwiÑ Ñoñ "d " " Enno ans = # + # Wooing now - # 2 2 3-2-1--2 + 3-2--1-2 -. = 'N 00%2 np's ( NWo own ) Ñoo3n&N 18003^7 No : d d WN w nd nicer Hord ltw : ooÑnImr ข) พ่อยืนติดกับแม่ หรือ แม่ยืนติดกับลูกชาย หรือ ลูกชายยืนติดกับพ่อ ?⃝ การนับและความน่าจะเป็น หน้า 9 สมบัติของความน่าจะเป็น ☒ 0 ≤ P (E) ≤ 1 P (∅) = 0 และ P (S) = 1 } P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) Enormous non P (A! ) = 1 − P (A) 18 สุ่มนักเรียนจากโรงเรียนหนึ่งพบว่า ความน่าจะเป็นที่ได้นักเรียนชอบฟุตบอลเท่ากับ 12 ความน่าจะ เป็นที่ได้นักเรียนชอบบาสเก็ตบอลเท่ากับ 13 และความน่าจะเป็นที่ได้นักเรียนไม่ชอบทั้งสองกีฬาเท่ากับ 1 4 ถ้าสุ่มนักเรียน 1 คน อยากทราบความน่าจะเป็นที่ได้นักเรียนชอบบาสเก็ตบอลแต่ไม่ชอบฟุตบอล '☒É;÷÷:=± PCB ) ¥ = § ' , *. - ¥: PCFNB ) = PC F) + PCB) - PCFUB) ans = PCB ) - P ( FNB ) § ¥ £# ¥ == £ = + - = - + 19 ให้ A, B เป็นเหตุการณ์ในปริภูมิตัวอย่าง ถ้า P (B −A) = 0.2, P (B) = 0.6 และ P (A! ∪B) = 0.8 แล้วจงหา P (A ∪ B ! )  00=1 การนับและความน่าจะเป็น 20=1 0-3=0 หน้า 10 สำหรับ n ∈ N ∪ {0} เรานิยาม n! = n × (n − 1) × · · · × 1 สำหรับ n > 0 และ 0! = 1 ' ¥ำ) (การเรียงสับเปลี่ยนของซ้ จำนวนวิธีการเรียงของ r ชิ้น จากของที่แตกต่างกัน n ชิ้น เท่ากับ n! Pn,r = P (n, r) = = n(n − 1)(n − 2)... (n − r + 1) (n − r)! IF Pn,o= 1 20 หาจำนวนวิธีการเรียงนิยาย 6 เล่ม (6 ภาค) โดยdÑioÑvTÑ ↳ Pcb 61=6 ! > Pn,n=n ! ก) ภาคแรกติดกับภาคสุดท้าย ข) ภาคแรกห้ามอยู่ริม "" "" { ʰ " " " " "" " "" " - Nooooo jots 175,5 )=5 ! ans = # riker - # Not Odin - irian → oÑu 1,6 Plz , 27=2 ! = 6 ! - 2. 5 ! Oborne idoo suis ans = 1- 5 ! - 2 ! gµñm→gÑⁿ&# 4 ' 5 ! ans = ÷⇐F÷ 8 No - 21 เรียงอักษร A ถึง H เป็นคำความยาว 8 อักษร โดย - # rivera = 8 ! ก) ห้ามมี “ABC” ปรากฎ ข) A ห้ามอยู่ตัวแรก ans = # ÑTUNO - # Ñ ABC ans = # risen - # Allon = 8 ! - 6 ! = 8! - 7 ! - A- - - - - - AC - H - D E F G F- 22 จงหาจำนวนวิธีในการจัดคู่สามีภรรยา 3 คู่ นั่งเรียงเป็นแถว โดย rrnsnnobn.nu # round = 6! ก) สามีภรรยาแต่ละคู่นั่งติดกัน ข) สามีภรรยาคู-0 - ่แรกนั่งแยกกัน 4M ans = 3 ! - 2 - 2 - 3 ans = 4 !. 5 ' root root _ ~ fates 3g ' raw irnsn 4 " ~ rots vzNzJNz , IN , IU Fonz V3 Nz Nz V2 ☒i ↑ ↑ ↑ ↑ T a ~. การนับและความน่าจะเป็น หน้า 11 12 21 iron word (การจัดหมู)่ มีของที่แตกต่างกัน n ชิ้น เลือกมาโดยไม่สนใจลำดับ r ชิ้น ได้เท่ากับ r ::÷E ! " n n! n(n − 1)(n − 2)... (n − r + 1) Cn,r = C(n, r) = = = = r r!(n − r)! r! ! " ! ". n n = r n−r Ein n%uwo=( E) ' 23 รุ่นพี่ 7 คนและรุ่นน้อง 8 คน ต้องการเลือกตัวแทน 4 คน โดย # = ก) จำนวนรุ่นพี่และรุ่นน้องเท่ากัน ข) เป็นรุ่นเดียวกันทั้งหมด = µ÷÷÷÷÷¥E / g= i. a- = ÷. "" " "" " ' "' Ron,sbbo = 1--1 iron ,s'wÑ ↳ V2 ↳ Wz §. 6748 24 แจกของต่างกัน 7 ชิ้นให้เพื่อน 3 คน (เอ บี ซี) โดย fans toi ≥ 2 mints §=¥É +¥¥H¥É%¥É% ก) แต่ละคนได้คนละ 2 ชิ้น ข) แต่ละคนได้อย่างน้อย 2 i. £ d d -111.1 :L I :) ✓ - ans dñA lñB hic ABC = 1:11:11 :X -111711 :/ × = (2/152112)+3 / B) (2) ( Z) * At Az B , B , C , C, going × 25 คน 16 คน ประกอบด้วย ครู ทหาร นักมวย กุ๊ก อย่างละ 4 คน ต้องการเลือกมา 3 คน โดย ก) คนละอาชีพกันหมด ข) มีเพียง 2 คนเท่านั้นที่อาชีพเดียวกัน 26 กล่องใบหนึ่งมีสลากหมายเลข −4, −3,... , 3, 4 หยิบมาสองใบพร้อมกัน จงหาจำนวนแบบที่ ก) ผลคูณเป็นจำนวนบวก ข) ผลคูณเป็นจำนวนคู่  → Riano n view I HI : [ การนับและความน่าจะเป็น หน้า 12 iohrorruw.la'D's มีของ n ชิ้น ที่มี k แบบ แต่ละแบบมีจำนวนชิ้น n1,... , nk ชิ้น นำมาเรียงได้ n !n n! !...n ! วิธี ÷ divisor 1 2 k 27 หาจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนอักษรจากคำว่า RUNNING โดย ก) ไม่มีเงื่อนไขเพิ่ม ข) R และ G อยู่แยกกัน ค) R ปรากฎอยู่ก่อน G sold "" " """ 5¥ "" RUNNING 6 5 Tens.. = ides NNN RUIGNNN V1 : , "" " "" " # ✓ ' ans = 1800 U I NNN ↑ ↑ ◦" = 2%-1 ×÷,→r - ! ! ↑. 1 ! 1! 3 ↑ ↑ ↑ ✗ was G 1 ! 1 → U I G N RG R - SOI 7 ! SOI nÉum Iz RGÑaÑo 731 = # - # ans = _ 37 = ang , = ¥ , - ¥.. ≥ Nah RG its RGUINNN J IRI WI NNN R G. มีบันได 7 ขั้น เดินขึ้นทีละ 1 หรือ 2 ขั้น ได้ทั้งหมดกี่วิธี...... 28 -. G.. R. _ I 58 - 1111111 → Ed - 111112 → ÷ = 6 informs 2 - - 11122 - - - - → 37¥ , = (5) (E) Ronnies = = 10 58 £} 1222 → ,,¥ = (Y) = (5) = 4 - , ans = It 6+10+4 = 21 * 29 เอ บี ซี และเพื่อนอีก 7 คนต่อแถวเพื่อชั่งน้ำหนัก จงหาจำนวนวิธีที่ เอชั่งก่อนบี และบีชั่งก่อนซี  " การนับและความน่าจะเป็น " = : หน้า 13 Lz / smartest มีของ n ชิ้น นำมาเรียงแบบวงกลมได้ (n − 1)! วิธี → Do> snnvcs soc 30 หาจำนวนวิธีที่ เอ บี และเพื่อนอีก 4 คน จับมือล้อมเป็นวงกลม โดย ↳ 0810971164 → ↳ # Ahearn = 5 ! woo N → ก) เอจับมือกับบี ข) เออยู่ตรงข้ามบี § A 0 0 A A ! 05 0 O-rB③ C ☐ ☐ 7¥ }4 CDEF 0 2 ! µ, BCDEF ☐ @ ☐ - O ③ ans = 2- 4 ! ans = 4 ! 31 หาจำนวนวิธีการจัดสามีภรรยา 4 คู่ นั่งรอบโต๊ะกลม โดย ก) สามีภรรยาแต่ละคู่นั่งติดกัน ข) มีเพียงคู่เดียวเท่านั้นที่นั่งแยกกัน 32 หาจำนวนวิธีการจัด เอ บี ซี และเพื่อนอีก 4 คน นั่งรอบโต๊ะกลม โดยเอนั่งติดกับบี และ ก) บีห้ามนั่งติดกับซี ข) บีกับซีต้องมีอย่างน้อย 2 คนคั่น การนับและความน่าจะเป็น หน้า 14 33 มีเก้าอี้ขาวเหมือนกัน 3 ตัว และสีแดงเหมือนกัน 3 ตัว นำมาจัดเรียงรอบโต๊ะกลม จงหาจำนวนวิธี การจัดที่แตกต่างกันทั้งหมด 34 เรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรจากคำว่า OPPOSITION โดยไม่มีตัว O ติดกัน 35 จัดนักเรียน 8 คน ให้ยืนจับมือกันเป็นวงกลม 2 วง วงละ 4 คน จะทำได้กี่วิธี การนับและความน่าจะเป็น หน้า 15 36 จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการจัด ชาย 4 คน และหญิง 4 คน ที่มี นาย ก และ นางสาว ข รวมอยู่ ด้วย ให้ยืนเป็นแถวตรง 2 แถว แถวละ 4 คน โดยนาย ก และนางสาว ข ไม่ได้ยืนติดกันในแถวเดียวกัน 37 ต้องการนำเลขโดด 1, 1, 2, 2, 3, 3 มาเรียงเป็นเลข 6 หลักได้กี่จำนวน โดยเลข 1 ทั้งสองตัวไม่ติด กัน และ เลข 3 ทั้งสองตัวไม่ติดกัน การนับและความน่าจะเป็น หน้า 16 ! " n+k−1 มีของเหมือนกัน n ชิ้น แจกใส่กล่องต่างกัน k กล่อง ได้ทั้งหมด n วิธี 38 มีส้ม 8 ลูก (เหมือนกัน) นำไปแบ่งให้เพื่อน 3 คนได้ทั้งหมดกี่วิธี ก) ไม่มีเงื่อนไข (อาจมีคนไม่ได้ส้ม) ข) ทุกคนได้อย่างน้อย 1 ลูก 39 สร้างจำนวนเต็มบวกที่ไม่เกิน 9999 ที่ผมรวมของทุกหลักเป็น 9 ได้ทั้งหมดกี่แบบ 40 มีเพื่อน 3 คนในห้องที่เลี้ยงแมว หากทั้งสามคนมีแมวรวมกัน 10 ตัว จงหาจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ การนับและความน่าจะเป็น หน้า 17 n ! " # ! " ! " ! " ! " n n n−j j n n n n−1 n n−1 n n (x + y) = x y = x + x y + ··· + xy + y j=0 j 0 1 n−1 n 41 จงกระจาย (x + y)4 42 จงกระจาย (2x + y)4 ! "9 1 43 จงหาสัมประสิทธิ์ของ x และ x ใน 3 6 x+ x ! " ! " ! " 9 9 9 44 จงหาค่าของ 1 + 2 + ··· + 9 การนับและความน่าจะเป็น หน้า 18 45 ในการจัดชาย 4 คนและหญิง 4 คน มายืนเรียงเป็นแถวตรงเพียงแถวเดียว ความน่าจะเป็นที่ไม่มี ชายสองคนยืนติดกัน หรือ ไม่มีหญิงสองคนยืนติดกัน มีค่าเท่าใด 46 ต้องการสร้างจำนวนห้าหลัก จากเลขโดด 1, 2, 3 โดยที่แต่ละหลักมีตัวเลขซ้ำกันได้ และจำนวนห้า หลักประกอบด้วยเลข 1 อย่างน้อยหนึ่งหลัก ตัวเลข 2 อย่างน้อยหนึ่งหลัก และตัวเลข 3 อย่างมาก 2 หลัก จะมีจำนวนห้าหลักดังกล่าวทั้งหมดเท่าไร 47 มีเลขโดด 9 จำนวน คือ −7, −5, −3, −1, 0, 2, 4, 6, 10 ถ้าสุ่มเลขโดดนี้มา 4 จำนวน แล้วความ น่าจะเป็นที่ผลคูณของเลขโดด 4 จำนวนนี้ไม่เป็นจำนวนลบเท่ากับเท่าใด การนับและความน่าจะเป็น หน้า 19 48 นาย ก. และ นางสาว ข. พร้อมด้วยเพื่อนผู้ชายอีก 3 คน และเพื่อนผู้หญิงอีก 3 คน นั่งรับประทาน อาหารรอบโต๊ะกลม โดยนาย ก. และนางสาว ข. นั่งตรงข้ามกัน และมีเพื่อนผู้หญิง 2 คนนั่งติดกันกับ นางสาว ข. จะมีจำนวนวิธีจัดที่นั่งรอบโต๊ะกลมดังกล่าวได้เท่ากับเท่าใด 49 กล่องใบหนึ่งบรรจุลูกแก้วสีแดง 2 ลูก ลูกแก้วสีขาว 3 ลูก และลูกแก้วสีเขียว 3 ลูก สุ่มหยิบลูกแก้ว ออกจากกล่อง 8 ครั้ง ครั้งละลูกโดยไม่ใส่คืน ความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบลูกแก้ว 8 ครั้ง โดยครั้งที่ 1 ได้ลูก แก้วสีขาวห หรือหยิบครั้งที่ 8 ไม่ได้ลูกแก้วสีแดง เท่ากับเท่าใด 50 กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วสีแดงเหมือนกัน 4 ลูก และมีลูกแก้วสีน้ำเงินเหมือนกันจำนวนหนึ่ง สุ่มหยิบ ลูกแก้ว 1 ลูกจากกล่อง ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกแก้วสีน้ำเงินเป็นสองเท่าของความน่าจะเป็นที่จะได้ลูก แก้วสีแดง ถ้าสุ่มหยิบลูกแก้ว 2 ลูกจากกล่อง ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกแก้วเหมือนกันทั้งสองลูกเท่ากับ เท่าใด การนับและความน่าจะเป็น หน้า 20 51 มี หนังสือ คณิตศาสตร์ ต่างกัน 3 เล่ม หนังสือ ภาษาไทยต่างกัน 2 เล่ม และหนังสือ ภาษาอังกฤษ เหมือนกัน 5 เล่ม ถ้า ต้องการจัด เรียงหนังสือ 5 เล่ม วางบนชั้น โดยมี หนังสือ แต่ละวิชาอย่างน้อยหนึ่ง เล่ม และมีจำนวนหนังสือวิชาคณิตศาสตร์และภาษาไทยรวมกันอย่างมาก 3 เล่ม จะมีจำนวนวิธีจัดเรียง เท่าใด 52 ให้ S = {1, 2,... , 9} และ W = {A : A ⊂ S และ n(A) = 4} ถ้าสุ่มหยิบเซตหนึ่งจาก W แล้วความน่าจะเป็นที่จะได้เซตที่ไม่มีเลข 9 เป็นสมาชิกเท่ากับเท่าใด 53 ความน่าจะเป็นที่ดวงพรจะไปดูหนังและไปซื้อของในวันอาทิตย์เป็น 0.7 และ 0.6 ตามลำดับ ถ้า ดวงพรจะทำกิจกรรมอย่างน้อย 1 อย่างแน่นอน แล้วความน่าจะเป็นที่ดวงพรจะทำกิจกรรมทั้งสองอย่าง เท่ากับเท่าใด การนับและความน่าจะเป็น หน้า 21 54 ให้ A = {1, 2,... , 8} และ B = {3, 4, 5, 6} แล้วจำนวนสับเซต C ของ A ซึ่ง n(C ∩ B) = 2 เท่ากับเท่าใด 55 กล่องใบหนึ่ง มี บัตร 7 ใบ แต่ละใบเขียนจำนวน −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 กำกับ บนบัตรใบละ 1 จำนวน สุ่มหยิบบัตร 2 ใบพร้อมกัน ความน่าจะเป็นที่จะได้บัตร 2 ใบ มีผลรวมของจำนวนบนบัตรทั้ง สองเป็นจำนวนคู่หรือเป็นจำนวนเต็มบวก เท่ากับเท่าใด 56 มีลูกแก้วขนาดเดียวกัน 7 ลูก เป็นสีแดง สีเขียว และสีขาว จำนวน 2, 2, 3 ลูกตามลำดับ ต้องการ จัดเรียงลูกแก้วทั้ง 7 ลูกเป็นแถวตรง โดยที่ลูกแก้วสองลูกใด ๆ ที่เรียงติดกันมีสีต่างกัน แล้วจำนวนวิธี การจัดเรียงเท่ากับเท่าใด การนับและความน่าจะเป็น หน้า 22 57 คนกลุ่ม หนึ่ง มี ชาย n คนและหญิง n + 1 คน (n ∈ N) ต้องการจัด คนกลุ่ม นี้ ยืน เรียงแถวเป็น แนวตรงเพียงหนึ่งแถว ถ้าจำนวนวิธีจัดคนกลุ่มนี้ยืนเรียงแถวแนวตรง โดยไม่มีผู้ชายสองคนใดยืนติดกัน เท่ากับสองเท่าของจำนวนวิธีจัดคนกลุ่มนี้ยืนเรียงแถวเป็นแนวตรงโดยผู้ชายยืนติดกันหมด แล้วคนกลุ่ม นี้มีกี่คน 58 ถ้า A และ B เป็นเหตุการณ์ที่ P (A ∪ B) = 0.8 และ P (A ∩ B) = 0.4 แล้วค่าของ P (A!) + P (B ! ) เท่ากับเท่าใด 59 ให้ S = {−10, −9,... , 10} สุ่มหยิบคู่อันดับ (a, b) ∈ S × S มา 1 คู่อันดับ ความน่าจะเป็นที่ |a| + b = 0 เท่ากับเท่าใด การนับและความน่าจะเป็น หน้า 23 60 ในกลุ่มคน 10 คน มีอยู่ 60% ที่มีเลือดกรุ๊ป A ถ้าสุ่มมา 2 คนพร้อมกันจากกลุ่ม แล้วความน่าจะ เป็นที่ทั้งสองคนไม่มีเลือดกรุ๊ป A เท่ากับเท่าใด 61 กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลขนาดเดียวกัน 3 สี สีละ n ลูก เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก สุ่มหยิบลูกบอล 3 ลูกจากกล่องนี้ โดยหยิบทีละลูก แบบไม่ใส่กลับคืนลงในกล่อง ถ้าความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีละ ลูกเท่ากับ 25 แล้วความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอล 3 ลูก โดยมีเพียง 2 สีเท่านั้น เท่ากับเท่าใด 62 คนกลุ่มหนึ่งประกอบด้วยชาย 10 คนและหญิง 7 คน โดยมีนาย ก. และนาย ข. รวมอยู่ด้วย จะ มีกี่วิธีในการเลือกคณะกรรมการ 6 คนจากคนกลุ่มนี้ ประกอบด้วยชายอย่างน้อย 2 คน และหญิงอย่าง น้อย 3 คน โดยมีเงื่อนไขว่า นาย ก. และ นาย ข. จะเป็นกรรมการพร้อมกันไม่ได้ การนับและความน่าจะเป็น หน้า 24 63 มีหนังสือภาษาไทยต่างกัน 2 เล่ม อังกฤษต่างกันร 3 เล่ม และคณิตศาสตร์ต่างกัน 3 เล่ม ถ้าจะ วางหนังสือ เหล่า นี้ ซ้อนกัน อยู่ ในตั้ง เดียวกัน แล้ว จำนวนวิธี ที่ จะจัด วางให้ หนังสือ วิชาเดียวกัน อยู่ ติด กัน ทั้งหมด เท่ากับเท่าใด 64 กล่องใบหนึ่งมีสลาก 9 ใบ ซึ่งเขียนหมายเลข 1, 2,... , 9 ถ้าสุ่มหยิบสลาก 3 ใบพร้อมกันจากล่อง ใบนี้ แล้วความน่าจะเป็นที่ผลคูณของหมายเลขทั้ง 3 เป็นจำนวนคู่เท่ากับเท่าใด 65 บริษัทแห่งหนึ่งมีพนักงาน 20 คน เป็นผู้ชาย 10 คน ฝ่ายบริหารมีผู้ชาย 3 คน ฝ่ายผลิตมี 8 คน ฝ่ายขายมี 7 คน โดยที่ฝ่ายผลิตและฝ่ายขายมีจำนวนผู้หญิงเท่ากัน ถ้าสุ่มพนักงานมา 4 คน ความน่าจะ เป็นที่จะได้พนักงานฝ่ายผลิตผู้ชายจำนวน 3 คนและพนักงานฝ่ายขายผู้หญิง 1 คน เท่ากับเท่าใด การนับและความน่าจะเป็น หน้า 25 66 มีเลขโดด 5 ตัว คือ 1, 2, 3, 4, 5 นำเลขโดดเหล่านี้มา 3 ตัวไม่ซ้ำกันและใช้เลขครบทั้งสามตัวเพื่อ สร้างจำนวนนับสี่หลัก จะมีจำนวนนับสี่หลักที่ต้องการทั้งหมดกี่จำนวน 67 จำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1000 และ 6000 ซึ่งมีเลขโดดแต่ละหลักเป็นเลขคี่ที่แตกต่างกัน มีจำนวน ทั้งหมดเท่ากับเท่าใด 68 กำหนดให้ S = {1, 2,... , 10} ถ้าสุ่มหยิบสมาชิก 5 ตัวพร้อมกันจาก S แล้วความน่าจะเป็นที่จะ ได้เลข 8 เป็นจำนวนที่มีค่ามากเป็นอันดับ 2 ของสมาชิก 5 ตัวนั้นเท่ากับเท่าใด การนับและความน่าจะเป็น หน้า 26 69 บัตรสีแดงจำนวน 5 ใบ ได้แก่ บัตรหมายเลข 1,... , 5 และบัตรสีน้ำเงินจำนวน 7 ใบ ได้แก่ บัตร หมายเลข 1,... , 7 เอมสุ่มเลือกบัตรสองใบจากบัตรสีแดงหนึ่งใบและสีน้ำเงินหนึ่งใบ เพื่อนำมาวางต่อ กันเป็นจำนวนสองหลัก ความน่าจะเป็นที่เอมจะได้จำนวนที่มีสองหลักเป็นจำนวนคู่เท่ากับเท่าใด 70 กำหนดรูป สิบ เหลี่ยมด้านเท่า แนบในวงกลม ถ้า สร้างส่วนของเส้น ตรงเชื่อมระหว่างจุด ยอดสอง จุด ใดๆของรูป สิบ เหลี่ยมนี้ แล้ว จำนวนของส่วนของเส้น ตรงที่ ไม่ เป็น ด้านของรูป สิบ เหลี่ยมและไม่ ผ่าน จุดศูนย์กลางของวงกลมมีทั้งหมดกี่เส้น 71 มีนักกีฬาว่ายน้ำ 6 คนได้แก่ แก้ม ข้าว คิม เงาะ เจต และฉัตร โดยแต่ละคนมีความถนัดดังตาราง ท่า นักกีฬา ถ้าต้องการส่งนักกีฬาไปแข่งประเภทละ 1 คน ห้าม กรรเชียง แก้ม ซ้ำกัน โดยแต่ละคนได้ว่ายท่าที่ถนัด แล้วจะมีวิธีจัด กบ ข้าว คิม ส่งนักกีฬากี่วิธี ผีเสื้อ เงาะ เจต ฟรีสไตล์ แก้ม เงาะ เจต ฉัตร การนับและความน่าจะเป็น หน้า 27 72 โรงเรียนแห่ง หนึ่ง สำรวจความชอบของนักเรียนที่ เข้า ร่วมกิจกรรมค่าย ซึ่ง ประกอบด้วยฐาน วิทยาศาสตร์และฐานคณิตศาสตร์ พบว่า มีนักเรียนร้อยละ 9 ไม่ชอบกิจกรรมทั้งสองฐาน มีนักเรียนร้อยละ 61 ชอบกิจกรรมฐานวิทยาศาสตร์ มีนักเรียนร้อยละ 35 ชอบกิจกรรมทั้งสองฐาน ถ้าสุ่มนักเรียนที่เข้าร่วมกิจกรรมค่ายนี้มา 1 คน แล้วความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้ชอบฐานคณิตศาสตร์ เท่ากับเท่าใด 73 ฟาร์มแมวแห่งหนึ่งมีแมว 3 สายพันธ์ ได้แก่ เก้าแต้ม วิเชียรมาศ และขาวมณี รวมทั้งหมด 12 ตัว โดยอัตราส่วนของจำนวนแมวพันธ์ เก้าแต้ม ต่อ วิเชียรมาศ ต่อ ขาวมณี เป็น 3:2:1 ถ้าสุ่มเลือกแมวจาก ฟาร์มแห่งนี้มา 3 ตัว แล้วความน่าจะเป็นที่จะสุ่มได้แมวพันธ์เก้าแต้มอย่างน้อย 1 ตัวเท่ากับเท่าใด 74 สุ่มหยิบจำนวนเต็ม 2 จำนวน ที่ต่างกันจากเซต {1, 2,... , 150} โดยหยิบทั้ง 2 จำนวนพร้อมกัน ความน่าจะเป็นที่แต่ละจำนวนจะเป็นจำนวนคู่ที่หารด้วย 3 ลงตัวเท่ากับเท่าใด การนับและความน่าจะเป็น หน้า 28 75 สำนักงานเขตแห่งหนึ่งจัดที่นั่งสำหรับผู้มารอทำบัตร โดยเป็นเก้าอี้ 11 ตัว ที่วางเรียงเป็นแถวหน้า กระดานหนึ่งแถว เพื่อเว้นระยะห่าง จึงไม่ให้มีการนั่งเก้าอี้ติดกัน ถ้าในช่วงเวลาหนึ่งมีผู้มารอทำบัตร 5 คน แล้วจะมีวิธีจัดที่นั่งให้ทั้ง 5 คนได้กี่วิธี 76 การแข่งขันแบดมินตันชายเดี่ยวรายการหนึ่ง ในการแข่งรอบคัดเลือก มีนักกีฬาอยู่ 4 กลุ่ม กลุ่มละ 6 คน โดย นักกีฬาที่อยู่ในกลุ่มเดียวกันจับคู่แข่งแบบพบกันหมด เพียงครั้งเดียว และไม่มีการแข่งระหว่าง กลุ่ม อยากทราบว่าการแข่งรอบนี้มีทั้งหมดกี่คู่ 77 ร้านค้า ต้องการจัด เรียงสินค้า ในตู้ ขายของอัตโนมัติ ที่ มี สินค้า แสดง 3 ชั้น ชั้น ละ 8 ช่อง หากมี สินค้าอยู่ 5 ประเภทรวม 24 ชิ้น ประกอบด้วย นม 8 ยี่ห้อ โยเกิร์ต 5 ยี่ห้อ น้ำส้ม 4 ยี่ห้อ น้ำมะนาว 4 ยี่ห้อ และน้ำมะพร้าว 3 ยี่ห้อ ถ้าต้องการนำสินค้าทั้งหมดมาจัดเรียงช่องละ 1 ชิ้น โดยให้สินค้าประเภท เดียวกันวางเรียงติดกันในชั้นเดียวกัน จะสามารถจัดเรียงได้แตกต่างกันกี่วิธี การนับและความน่าจะเป็น หน้า 29 78 ครูซื้อ โดนัท หน้า การ์ตูนที่ แตกต่างกันทั้งหมดมาแจกนักเรียนกลุ่ม หนึ่ง จำนวน 18 ชิ้น ประกอบ ด้วย รสช็อกโกแลต 8 ชิ้น รสส้ม 4 ชิ้น และรสนมสด 6 ชิ้น ถ้าอลิสเป็นนักเรียนคนแรกที่ได้สุ่มหยิบโดนัท 1 ชิ้น หลังจากนั้นชาลีเป็นนักเรียนคนที่สองที่สุ่มหยิบโดนัท 1 ชิ้น แล้วความน่าจะเป็นที่อลิสและชาลีได้ โดนัทรสต่างกันเท่ากับเท่าใด 79 ร้านภูมิใจซื้อยางลบจำนวน 10 แพ็ก โดยในแต่ละแพ็กมียางลบ 6 ก้อน ได้แก่ สีแดง 1 ก้อน สีชมพู 2 ก้อน และสีเหลือง 3 ก้อน จากนั้น ร้านภูมิใจแกะแพ็กยางลบทั้งหมด แล้วนำยางลบทั้งหมดมาใส่รวม กันในกล่องเปล่าอีกใบหนึ่ง พบว่า ยางลบแต่ละก้อนมีลวดลายแตกต่างกันทั้งหมด ถ้าภูวดลเป็นลูกค้า คนแรกที่ต้องการซื้อยางลบจากร้านภูมิใจ โดยสุ่มหยิบยางลบ 3 ก้อนจากกล่องใบนี้ขึ้นมาพร้อมกัน แล้ว ความน่าจะเป็นที่ภูวดลหยิบได้ยางลบที่มีสีแตกต่างกันทั้ง 3 ก้อน เท่ากับเท่าใด 80 พรฤดีได้รับหน้ากาก 1 ชุด ประกอบด้วย หน้ากากผ้า 3 ชิ้นที่มีลวดลายต่างกัน หน้ากาอนามัย 5 ชิ้นที่เหมือนกัน และหน้ากาก N95 4 ชิ้นที่เหมือนกัน พรฤดีตั้งใจที่จะสวมหน้ากากทุกวัน วันละชิ้นใน ช่วง 2-4 เมษายน โดยไม่สวมซ้ำ ถ้าพรฤดีจะสวม N95 ในวันที่ 3 เมษายน เพียงวันเดียวเท่านั้น แล้วพร ฤดีจะมีวิธีการเลือกหน้ากากมาสวมในช่วง 3 วันนี้กี่วิธี การนับและความน่าจะเป็น หน้า 30 81 พีรดนย์ได้รับหน้ากาก 1 ชุด ประกอบด้วย หน้ากากผ้า 3 ชิ้นที่มีลวดลายต่างกัน หน้ากาอนามัย 5 ชิ้นที่เหมือนกัน และหน้ากาก N95 4 ชิ้นที่เหมือนกัน ถ้าเขาตั้งใจจะสวมหน้ากากทุกวัน วันละชิ้น โดย ไม่สวมซ้ำ แล้วเขาจะมีวิธีเลือกหน้ากากมาสวมเป็นเวลา 12 วันได้ทั้งหมดกี่วิธี 82 มะลิมีลูกปัดที่ต่างกัน 9 เม็ด ได้แก่ ขาว 3 เม็ด ชมพู 2 เม็ด ม่วง 2 เม็ด และฟ้า 2 เม็ด ถ้ามะลิ ต้องการตกแต่งกรอบรูปวงกลม โดยการนำลูกปัดทั้งหมดมาวางเรียงต่อกันที่ขอบ โดยสีเดียวกันต้องไม่ ติดกัน และสีชมพูห้ามติดกับสีม่วง แล้วมะลิมีวิธีตกแต่งได้กี่วิธี 83 จากข้อมูลผู้ป่วยโรคไข้หวัดใหญ่ของ รพ แห่งหนึ่งพบว่า ความน่าจะเป็นที่ผู้ป่วยไม่มีโรคประจำตัว เท่ากับ 0.75 ความน่าจะเป็นที่ผู้ป่วยมีอายุมากกว่า 60 ปี เท่ากับ 0.20 ความน่าจะเป็นที่ผู้ป่วยมีโรคประจำตัวหรือมีอายุมากกว่า 60 ปี เท่ากับ 0.35 ถ้า สุ่ม ผู้ ป่วยโรคไข้ หวัด ใหญ่ มา 1 คน แล้ว ความน่า จะเป็น ที่ จะได้ ผู้ ป่วยที่ มี โรคประจำตัว และมีอายุ มากกว่า 60 ปี เท่ากับเท่าใด การนับและความน่าจะเป็น หน้า 31 84 กำหนดให้สามี-ภรรยาจำนวน 4 คู่มานั่งรอบโต๊ะกลม จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดที่นั่ง โดยที่ ผู้ชายนั่งสลับกับผู้หญิง และไม่ให้มีสามีภรรยาคู่ใดเลยนั่งติดกัน 85 ให้ X = {1, 2, 3,... , 9} จงหาจำนวนสับ เซตทั้งหมดของ X ที่ สมาชิก ในสับ เซตนี้ มี จำนวนคี่ มากกว่าจำนวนคู่ การนับและความน่าจะเป็น หน้า 32 86 ให้ A = {1, 2,... , 7} จงหาจำนวนฟังก์ชัน f :A→A ทั้งหมดซึ่ง f (f (f (n))) = n สำหรับ ทุก n ∈ A 87 แมวตัวหนึ่งตัดสินใจเดินเป็นวงตามจุดดังภาพ เริ่มต้นจากจุด S โดยแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็น เท่ากับ 12 ที่ จะย้ายไปยัง จุด ที่ เชื่อมติด กัน กับ จุด เดิม แมวจะเดิน ไปเรื่อย ๆ จนกว่า จะผ่านครบทุก จุด แล้วจึงหยุดเดิน จงหาความน่าจะเป็นที่จุดหมายเลข 3 จะถูกเดินผ่านเพียงครั้งเดียวและเป็นจุดก่อนจุด สุดท้ายของการเดิน s 1 2 3 การนับและความน่าจะเป็น หน้า 33 88 สุ่มเลือกจำนวนเต็ม a และ b จากเซต {1, 2,... , 100} ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มได้ a และ b ซึ่ง ทำให้ 7a + b หารด้วย 10 ลงตัวเท่ากับเท่าใด 89 มีชายหญิงอยู่จำนวนหนึ่งถูกจัดให้นั่งทานอาหารรอบโต๊ะกลม โดย มีผู้หญิง 3 คนที่มีผู้ชายนั่งทางขวามือถัดจากตนเอง มีผู้ชาย 1 คนที่มีผู้ชายนั่งทางซ้ายมือถัดจากตนเอง มีผู้หญิง 3 คนที่มีผู้หญิงนั่งทางซ้ายมือถัดจากตนเอง การนับและความน่าจะเป็น หน้า 34 90 หนูทดลองตัวหนึ่งอยู่ในห้องหนึ่งในกล่องทดลองเขาวงกตซึ่งมีประตู 4 ช่อง มีหนึ่งช่องของประตูที่ มีทางเดินนำไปสู่ทางออกข้างนอก โดยหนูจะใช้เวลาเดินทาง 9 วินาที ส่วนช่องประตูอีกสามช่องที่เหลือ จะนำไปสู่ทางเดินที่วกกลับมาที่ห้องเดิม โดยหนูจะใช้เวลา 3, 5 และ 7 วินาทีตามลำดับ และทุกครั้ง ที่ หนู กลับ มาที่ ห้องเดิม หนู จะสุ่ม เข้า ช่องประตู อีก ครั้ง โดยการสุ่ม แต่ละครั้ง ไม่ ขึ้น กับ การสุ่ม เลือกช่อง ประตูในครั้งก่อนหน้า จงหาความน่าจะเป็นที่หนูจะใช้เวลา 30 วินาทีในการเดินทางออกไปสู่ภายนอก 91 ถ้าเขียนผลคูณ (x2 + 4)3(x − 2)5 ในรูปพหุนาม a0 + a1x + a2x2 + · · · + a11x11 แล้วจงหาค่า ของ a2 + a3 + · · · + a10 การนับและความน่าจะเป็น หน้า 35 92 นำจุด 16 จุด มาจัด เรียงบนระนาบ โดยแบ่ง ออกเป็น 4 แถว แต่ละแถวมี 4 จุด และระยะห่าง ระหว่างจุด สองจุด ใด ๆ ที่ อยู่ ติด กัน ในแถวเดียวกัน เท่ากับ ระยะห่างระหว่างสองจุด ใด ๆ ที่ อยู่ ติด กัน ในหลักเดียวกัน ความน่าจะเป็นที่เมื่อสุ่มเลือกจุด 3 จุดใดๆ มาจากระนาบนี้แล้วอยู่ในเส้นตรงเดียวกัน เท่ากับเท่าใด 93 มีฉลาก 10 ใบ โดยที่ฉลากแต่ละใบเขียนเลขจาก 1 ถึง 10 โดยที่ฉลากแต่ละใบมีเพียงหมายเลข เดียวเท่านั้น สุ่มหยิบฉลากมา 3 ใบ จงหาความน่าจะเป็นที่ผลต่างของจำนวนที่ปรากฎบนฉลากแต่ละคู่ ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 2 การนับและความน่าจะเป็น หน้า 36 94 สุ่มหยิบจำนวนมาหนึ่งจำนวนจากเซต {1, 2,... , 1000} จงหาความน่าจะเป็นที่จำนวนที่สุ่มมานี้ มีผลบวกของเลขโดดทั้งหมดเท่ากับ 8 95 มีฉลาก n + 1 ใบอยู่ในกล่อง โดยมีหมายเลข 0, 1,... , n กำกับอยู่ สุ่มหยิบฉลากมาครั้งละ 1 ใบ 4 ครั้ง แบบหยิบแล้วใส่คืน ถ้า ความน่า จะเป็น ที่ ผลบวกของเลขบนฉลากที่ หยิบ ได้ ในสองครั้ง แรก และ 2 สองครั้งหลังมีค่าเท่ากัน มีค่าเท่ากับ an(n++bn1)+3 c จงหาค่า a, b, c การนับและความน่าจะเป็น หน้า 37 96 เกมเดินหมุดทอดลูกเต๋า มีกติกาคือ ให้เดินหมุดไปทีละช่อง ตามจำนวนที่ได้จากการทอดลูกเต๋า หนึ่งครั้ง โดยเมื่อเร่ิมต้นเกม ให้หมุดอยู่ที่ตำแหน่งหมายเลข 0 และเกมจบลงเมื่อหมุดมาหยุดที่ตำแหน่ง หมายเลข 7 หากตำแหน่งรวมเกิน 7 ให้เดินหมดย้อนกลับหลัง เช่น ถ้าหมุดอยู่ตำแหน่งหมายเลข 4 และ ทอดลูกเต๋าได้เลข 5 เมื่อเดินเสร็จสิ้น หมุดจะมาอยู่ที่ตำแหน่งหมายเลข 5 0 1 2 3 4 5 6 7 จงหาความน่าจะเป็นที่เกมจะจบลงภายใน 5 ตา