Fundamentos da Teoria dos Conjuntos, Relações e Funções PDF

S725m Sousa, José Rubens Rodrigues de. Matemática para computação [recurso eletrônico] : fundamentos da teoria de con- juntos, relações e funções / José Rubens Rodrigues de Sousa. -- Fortaleza : Universidade de Fortaleza,. 36 p. -- ( Percurso de Aprendizagem ; 1)...

S725m Sousa, José Rubens Rodrigues de. Matemática para computação [recurso eletrônico] : fundamentos da teoria de con- juntos, relações e funções / José Rubens Rodrigues de Sousa. -- Fortaleza : Universidade de Fortaleza,. 36 p. -- ( Percurso de Aprendizagem ; 1) 1. Matemática. 2. Ciências da computação. I. Título. II. Série. CDU 519.6 Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial-SemDerivações 4.0 Internacional.  FUNDAMENTOS DA TEORIA DOS CONJUNTOS, RELAÇÕES E FUNÇÕES Sumário 1. Noções de conjuntos 2. Operações com conjuntos 3. Relações 4. Funções Sumário clicável  Voltar ao sumário Neste Percurso de Aprendizagem, você vai estudar as noções de conjuntos, relações e funções. É muito importante entender cada conceito, pois a definição de relação depende do conceito de conjuntos e a definição de função depende do conceito de conjuntos e do conceito de relação. Você vai usar esses recursos para resolver problemas computacionais, interpretar os resultados encontrados dentro do contexto de cada problema e então propor intervenção na realidade com tais conhecimentos. Todos esses conceitos serão abordados dentro do Olá contexto da matemática discreta, ou seja, a matemática dos sistemas finitos, já que o computador é uma máquina finita. Em caso de dúvidas, entre em contato com o tutor da disciplina. Bons estudos! 1. Noções de conjuntos Em Matemática, alguns conceitos são aceitos sem definição, ou seja, são noções intui- tivas. Na teoria dos conjuntos, consideramos como noções intuitivas os conjuntos, os elementos e a pertinência. Conjunto e elemento Um conjunto é um agrupamento de objetos bem definidos, que indicamos por uma letra maiúscula (A, B, C), em que os objetos são chamados de elementos do conjunto. Os ele- mentos dos conjuntos são os objetos que formam o conjunto, que indicamos por uma letra minúscula (x, y, z). Não se encaixam nesse conceito o conjunto vazio e o unitário, que serão definidos mais adiante. 4  Voltar ao sumário Exemplo 1: a) A: Conjunto dos números pares positivos. Podemos citar alguns dos elementos desse conjunto: 2, 4, 6, 8,... b) B: Conjunto dos meses do ano. Podemos citar alguns dos elementos desse conjunto: Janeiro, fevereiro,..., dezembro. Nos exemplos anteriores, dizemos, por exemplo, que 2 ∈ A (lê-se: 2 pertence ao conjunto A), e que 5 ∉ A (lê-se: 5 não pertence ao conjunto A). 1.1 Formas de descrever um conjunto Considerando que você já aprendeu as noções intuitivas de conjuntos, aprenderá agora as formas de descrevê-los. Podemos descrever os elementos de um conjunto citando todos os seus elementos ou através de uma propriedade. Descrição pela citação dos elementos Para realizar a descrição por meio de citação dos seus elementos, basta listar os elemen- tos entre chaves. Exemplo 2: Seja A o conjunto das vogais, então podemos representar o conjunto da seguinte forma: A = {a, e, i, o, u} E caso o conjunto possua muitos elementos, como representar? Simples. Basta escrever alguns elementos iniciais seguidos por reticências e depois es- crever o último elemento. Exemplo 3: Seja B o conjunto dos números naturais menores ou iguais a 100, logo: B = {0, 1, 2, 3,..., 100} E se o conjunto for infinito? Também é possível usar essa representação para conjuntos infinitos, bastando escrever alguns elementos e, em seguida, colocar reticências. 5  Voltar ao sumário Exemplo 4: Seja C o conjunto dos números pares, então podemos representar o conjunto da seguinte forma: C = {...,-2, 0, 2, 4, 6...} Descrição por uma propriedade: Essa é a representação mais usual no meio matemático. Podemos representar um conjunto A que possui uma propriedade P dos seus elementos x da seguinte forma: A = {x / x tem a propriedade P} Lê-se: A é o conjunto dos elementos x, tal que x tem a propriedade P. Exemplo 5: Seja A o conjunto das vogais, então podemos representar o conjunto da seguinte forma: A = {x / x é uma vogal} Exemplo 6: Seja B o conjunto dos números naturais menores ou iguais a 100, logo: {x ∈ IN / x ≤ 100} B= Representação por diagramas de Venn Uma maneira visual de representar um conjunto é através dos diagramas de Venn, que são curvas fechadas que não se cruzam. Tais diagramas servem de base para resolver diversos exercícios. Exemplos 7: Seja A o conjunto das vogais A = {a, e, i, o, u}, então podemos representar o conjunto A por meio de diagramas de Venn, como mostra a Figura 1. Figura 1: diagrama de Venn do conjunto A. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). 6  Voltar ao sumário Exemplos 8: Seja B o conjunto B = {1, 3, 7, 10}, então podemos representar o conjunto B por meio de diagramas de Venn, como mostra a Figura 2: Figura 2: diagrama de Venn do conjunto B. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). Você vai estudar agora alguns tipos de conjuntos que desempenham papel importante na teoria de conjuntos. 1.2 Tipos especiais de conjuntos Definição 1 (Conjunto vazio) Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Podemos usar uma das duas notações para conjuntos vazios: { }: chaves sem elementos ∅ : círculo cortado Exemplo 9: A = {x/x é o mês do ano que começa com a letra k}. Logo A = { } ou A = ∅ Definição 2 (Conjunto unitário) É o Conjunto formado por um só elemento. 7 Exemplo 10: Voltar ao sumário A = {2} Definição 3 (Conjunto finito) É o conjunto com número limitado de elementos. Exemplo 11: N = {x / x² = 9} Definição 4 (Conjunto infinito) É o conjunto com número ilimitado de elementos. Exemplo 11: R = {x / x é um número par positivo} Definição 5 (Conjunto universo – U) É Conjunto mais amplo ao qual pertencem todos os elementos em determinado assunto. Exemplo 12: Se procurarmos as soluções reais de uma equação, o conjunto universo é IR (conjunto dos números reais). Agora veremos três conceitos que serão fundamentais para realizar as operações com conjuntos. Fique atento(a)! 1.3 Igualdade de conjuntos Definição 6 Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos. Em símbolos, escrevemos: A = B ⇔ ( ∀x )( x ∈ A ⇔ x ∈ B ) Lê-se: A é igual a B se, e somente se, para todo x, x pertence a A se, e somente se, x per- tence a B. 8  Voltar ao sumário Exemplo 13: Os conjuntos são iguais. {a, b, c, d} = {b, c, d, a} = {a, a, b, b, b, c, c, c, c, d} 1.4 Subconjuntos Definição 7 Dizemos que o conjunto A é subconjunto de um conjunto B ( A ⊂ B ), se cada ele- mento do conjunto A é também elemento do conjunto B. Em símbolos, temos: A ⊂ B ⇔ (∀x)( x ∈ A ⇒ x ∈ B) Lê-se: A é subconjunto de B se, e somente se, para todo x, se x pertence a A, então x pertence a B. No diagrama de Venn, Figura 3, podemos observar que o conjunto B envolve o conjunto A. Figura 3: A está contido em B ou B contém A. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). Simbolicamente, temos: 1. A ⊂ B (lê-se: A está contido em B ou que A é subconjunto de B) 2. B ⊃ A (lê-se: B contem A). Caso exista algum elemento de A que não pertença a B, escrevemos A ⊄ B (lê-se: A não está contido em B ou A não é subconjunto de B). Dizemos que A é um subconjunto próprio de B quando cada elemento de A está em B, mas pelo menos um elemento de B não está em A. 9  Voltar ao sumário Na Figura 4, temos as possíveis representações em diagramas para A⊄ B: Figura 4: A não está contido B. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). Exemplo 14: Podemos então dizer que o conjunto A = {1, 2} é subconjunto do conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5}. Em símbolos, temos A ⊂ B. Observações: 1. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. 2. Qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo. 1.5 Conjunto das partes Definição 8 Seja A um conjunto. Chama-se de conjunto das partes do conjunto A (notação P(A)), o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A. Em símbolos: P( A) { X / X ⊂ A} = Lê-se: P(A) é o conjunto dos subconjuntos X, tal que X está contido em A. Exemplo 15: Se A = {1, 2}, então P(A) = { ∅ , {1}, {2}, {1, 2}} Se desejarmos calcular o número de elementos do conjunto das partes de A, usamos a fórmula: n( P( A)) = 2n ( A) 10  Voltar ao sumário Em que: n(A): é o número de elementos do conjunto A n(P(A)): é o número de elementos do conjunto das partes de A Vejamos a aplicação da fórmula no conjunto A = {1, 2}: n(A) = 2, logo 2 n( P( A)) = 2= 4 Ou seja, o conjunto A possui 4 subconjuntos. 11  2. Voltar ao sumário Operações com conjuntos Após estudar os conceitos básicos de conjuntos, você deve estar preparado para fazer as operações com conjuntos: união, interseção, diferença e complemento. Vamos lá? 2.1 União de conjuntos Definição 9 A união de dois conjuntos A e B, representada por A ∪ B (lê-se: A união B), é formada pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos: = {x / x ∈ A ou x ∈ B} A∪ B Lê-se: A união B é igual ao conjunto dos elementos x, tal que x pertence a A ou x pertence a B. As possíveis representações da união de dois conjuntos A e B, através de diagramas de Venn, estão representadas pela cor azul escuro na Figura 5: Figura 5: A união B. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). Exemplo 16: {1, 2} ∪ {3, 4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 12  Voltar ao sumário 2.2 Interseção de conjuntos Definição 10 A interseção de dois conjuntos A e B, representada por A ∩ B (lê-se: A interseção B), é formada pelos elementos que pertencem a A e a B. Em símbolos: = {x / x ∈ A e x ∈ B} A∩ B Lê-se: A interseção B é o conjunto dos elementos x, tal que x pertence a A e x pertence a B. A interseção dos conjuntos A e B, em diagramas de Venn, é representada pela região azul claro na Figura 6. Figura 6: A interseção B. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). Exemplo 17: {1, 2, 3, 4} ∩ {3, 4, 5, 6} = {3, 4} Exemplo 18: {1, 2} ∩ {3, 4, 5, 6} = ∅ Obs.: Os conjuntos do exemplo 18 são chamados disjuntos, pois não possuem elementos em comum. 13  Voltar ao sumário 2.3 Diferença de conjuntos Definição 11 A diferença entre dois conjuntos A e B, representada por A − B (lê-se: A menos B), é formada pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Em símbolos: = {x / x ∈ A e x ∉ B} A− B Lê-se: A menos B é o conjunto dos elementos x, tal que x pertence a A e x não pertence a B. A diferença entre os conjuntos A e B, em diagramas de Venn, está representada pela região em amarelo na Figura 7. Figura 7: A menos B. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). Exemplo 19: {1, 2, 3, 4} - {3, 4, 5, 6} = {1, 2} 2.4 Complementar de A em B Definição 12 O complementar de um conjunto A em relação a um conjunto B, tal que A ⊂ B , é dado pela diferença B − A , formada pelos elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Em símbolos: C= A B B− A 14  Voltar ao sumário Lê-se: o complementar de A em relação B é igual a B menos A. O complementar de A em relação a B, em diagramas de Venn, está representado pela região azul escuro na Figura 8. Figura 8: complementar de A em B. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). Exemplo 20: Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, então o complementar de A em relação a B é: C A = B − A = {4,5, 6, 7} B. Para finalizar esta seção, faremos um exemplo mais geral com as operações de conjuntos e auxílio do Diagrama de Venn. Exemplo 21: Em pesquisa realizada em uma escola, verificou-se que 100 alunos possuem computadores em suas residências. Alguns utilizam o computador apenas para lazer, 60 usam computador para estudar, 40 usam computador para trabalhar e 20 usam computador para trabalhar e estudar. Quantos desses alunos utilizam o computador apenas para lazer? Solução: A questão nos fornece o total de alunos pesquisados (100). Os alunos que usam o computador para estudar – E – (60), os alunos que usam computador para trabalhar – T – (40) e os alunos que usam o computador para trabalhar e estudar (20). Para representar essa situação por meio de diagrama de Venn, vamos usar dois círculos, um para representar os alunos que usam o computador para estudar e outro para os alunos que usam o computador para trabalhar, ambos envolvidos por um retângulo que representará o total de alunos pesquisados, conforme Figura 9. A região comum dos dois 15  Voltar ao sumário círculos representará os alunos que usam computador para trabalhar e estudar. 1º Começamos preenchendo a interseção dos dois conjuntos: 20 2º Preenchemos a região exclusiva de E: 60 – 20 = 40 3º Preenchemos a região exclusiva de T: 40 – 20 = 20 4º Os alunos que usam computador para lazer: 100 – (40 + 20 + 20) = 20 Assim, 20 alunos usam o computador apenas para lazer. Figura 9: representação esquemática para solução do exemplo 21. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). 16  3. Voltar ao sumário Relações Nesta seção estudaremos as relações matemáticas, que de certo modo têm o mesmo significado cotidiano, como, por exemplo, a relação pessoa e CPF, em que cada pessoa está relacionada a um número de CPF, e, nesse caso, a um único número de CPF. A Figura 10 apresenta o diagrama de Venn, onde cada pessoa está associada a um CPF, que pode ser descrita pelo conjunto de pares {(P1, CPF1), (P2, CPF2)...., (Pn, CPFn)}. Em computação podemos citar os conceitos de bancos de dados relacionais e redes de Petri, que são construídos com base em relações matemáticas. Figura 10: relação pessoa/CPF. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). Em matemática, a relação pessoa/CPF é chamada de par. Uma relação é definida com base em pares ordenados, que consistem em um conjunto de dois elementos, digamos x e y, em que x é o primeiro elemento e y é o segundo elemento, representado simbolicamente por (x, y), com (x, y) diferente de (y, x), desde que x seja diferente de y. Dados dois conjuntos A e B, podemos construir várias relações a partir do produto cartesiano de A por B. Antes, vamos definir produto cartesiano. 3.1 Produto cartesiano Definição 13 O produto cartesiano de A por B é o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), onde x ∈ A e y ∈ B. Simbolicamente, temos: A × B {( x, y ) / x ∈ A e y ∈ B} = 17  Voltar ao sumário Vejamos um exemplo. Exemplo 22: Dados os conjuntos A = {a, b, c} e B = {1, 2}, vamos fazer A x B. A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}. Para conjuntos finitos, o número de elementos de A x B é igual ao número de elementos de A multiplicado pelo número de elementos de B, isto é: n( A × B)= n( A) ⋅ n( B) n(A x B): número de elementos do produto cartesiano A x B; n(A): número de elementos do conjunto A; n(B): número de elementos do conjunto B. No exemplo 21, temos: n(A) = 3 n(B) = 2 n(A x B) = 3. 2 = 6 Como tarefa, faça B x A, A x A e B x B. Com essas definições iniciais em mente, podemos agora definir uma relação binária (que relaciona dois elementos de cada vez). Definição 14 (Relação) Considere os conjuntos A e B. Uma relação R de A em B, representada por R : A → B (lê-se: R de A em B), é um subconjunto do produto cartesiano A x B, ou seja, um conjunto de pares ordenados do tipo (x, y), onde x ∈ A e y ∈ B. Em símbolos, temos: R é relação binária de A em B ⇔ R ⊂ A × B. Todos os primeiros elementos x∈ A que estão relacionados com algum segundo elemento y∈B são chamados de conjunto domínio (D) da relação R, tal que D ⊆ A com ( x, y ) ∈ R , onde B é o contradomínio (CD) da relação R. Todos os segundos 18  Voltar ao sumário elementos y que estão relacionados com algum primeiro elemento x são chamados de conjunto imagem (Im) da relação R. Se ( x, y ) ∈ R , dizemos que x está relacionado com y pela relação R, mas se ( x, y ) ∉ R , dizemos de x não está relacionado com y pela relação R. Exemplo 23: Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}. Observe que: A x B = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}. Seja R = {(1, 2), (2, 2), (2, 3)}, então R é uma relação de A em B, pois R ⊂ A × B. Observe que: (1, 2) ∈ R (2, 2) ∈ R (2,3) ∈ R , mas (1,3) ∉ R (2, 4) ∉ R (3,3) ∉ R , por exemplo. Dessa forma, o domínio de R é D = {1, 2}, o contradomínio é CD = {2, 3, 4} e o conjunto imagem é Im = {2, 3}. No exemplo anterior, indicamos a relação R por citação de seus elementos. Outra maneira de escrever uma relação é através de uma propriedade. Vamos escrever uma nova relação S a partir do produto A x B do exemplo anterior usando uma propriedade. Exemplo 24: Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} e a relação S: AB dada por S = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3)}. S é o conjunto dos pares (x, y) com x ∈ A e y ∈ B , tal que y é divisível por x, então S pode ser representada pela seguinte propriedade:= S {( x, y ) ∈ A × B / y é divisível por x}. 19  Voltar ao sumário Para refletir: Qual seria o domínio e a imagem da relação S? 3.2 Representação de uma relação Aqui veremos duas maneiras básicas de representar uma relação. Uma delas é através do plano cartesiano e a outra, através de diagramas de Venn. Exemplo 25: Vamos representar a relação R = {(1, 2), (2, 2), (2, 3)} de A em B, onde A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}. Na Figura 11, representamos os pares ordenados de R pelos pontos P, Q e R no plano cartesiano: Figura 11: representação da relação R no plano cartesiano. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). A representação por diagramas de Venn já é conhecida, e fazemos a representação de R na Figura 12 destacando o domínio (D), o contradomínio (CD) e a imagem (Im). 20  Voltar ao sumário Figura 12: representação da relação R por diagrama de Venn. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). Dois conceitos são fundamentais nas relações: relação inversa e relação composta, as quais definiremos na sequência. 3.3 Relação inversa Definição 15 −1 Considere a relação R : A → B. A relação inversa de R, denotada por R : B → A , é definida como: =R −1 {( y, x) / ( x, y ) ∈ R}. Exemplo 26: Considere, por exemplo, A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} e a relação R : AB, dada por R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}, então sua inversa será: R −1 = {(2,1), (3, 2), (4,3)}. Observe que o domínio de R é igual à imagem de R-1 e a imagem de R é igual ao domínio de R −1. 21  Voltar ao sumário 3.4 Composição de relações Definição 16 Sejam A, B e C conjuntos e as relações R : AB e S : BC. A relação composta de R com S, denotada por RoS: AC, é definida como RoS {( x, z ) / (∃y ∈ B), ( x, y ) ∈ R e ( y, z ) ∈ S} = Lê-se: R composta com S é o conjunto dos pares (x, z), tal que existe y pertencente a B, onde o par (x, y) pertence a R e o par (y, z) pertence a S. Vamos acompanhar um exemplo para fixarmos a definição. Exemplo 27: Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d} e C = {x, y, z}, sendo R = {(1, a), (2, d), (3, a), (3, b), (3, d)} e S = {(b, x), (b, z), (c, y), (d, z)}, e observe os diagramas na Figura 13 para verificar a relação composta RoS. Figura 13: representação da composição de R com S. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). Podemos observar que (2, d ) ∈ R e (d , z ) ∈ S , logo (2, z ) ∈ RoS (3, b) ∈ R e (b, x) ∈ S , logo (3, x) ∈ RoS (3, d ) ∈ R e (d , z ) ∈ S , logo (3, z ) ∈ RoS 22  Voltar ao sumário Assim, podemos dizer que RoS = {(2, z), (3, x), (3, z)} 3.5 Tipos de relações Você vai estudar agora algumas relações que são definidas sobre um conjunto A, ou seja, R ⊂ A × A. Tais relações são chamadas de endorrelações ou autorrelações. Definiremos cada tipo antes e depois daremos um exemplo geral. Definição 17 (Relações Reflexivas) Uma relação R é reflexiva em A se para todo x ∈ A , então ( x, x) ∈ R. Caso ( x, x) ∉ R, dizemos que R não é reflexiva, qualquer que seja x ∈ A. Definição 18 (Relações Simétricas) Uma relação R é simétrica em A se ( x, y ) ∈ R , então ( y, x) ∈ R. Caso ( x, y ) ∈ R , mas ( y, x) ∉ R , dizemos que R não é simétrica. Definição 19 (Relações antissimétricas) Uma relação R é antissimétrica em A se ( x, y ) ∈ R e ( y, x) ∈ R , então x = y. Caso ( x, y ) ∈ R e ( y, x) ∈ R , mas x ≠ y , dizemos que R não é antissimétrica. Definição 20 (Relações transitivas) Uma relação R é transitiva em A se ( x, y ) ∈ R e ( y, z ) ∈ R , então ( x, z ) ∈ R. Caso ( x, y ) ∈ R e ( y, z ) ∈ R , mas ( x, z ) ∉ R , dizemos que R não é transitiva. Exemplo 28: Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4}. Fazendo o produto A x A, obtemos a relação universal que vamos chamar de R1, logo R1 = A x A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}. 23  Voltar ao sumário Vamos considerar também as seguintes relações: R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (1, 3), (4, 4)} R3 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} R4 = {(1, 3), (2, 1)} São reflexivas as relações R1 e R3, pois A = {1, 2, 3, 4} e os pares (1, 1), (2, 2), (3, 3) e (4, 4) pertencem a essas relações. Observe que R1 e R3 são simétricas, mas R2 e R4 não, pois (1, 2) ∈ R2 , mas (1, 2) ∉ R2 e (1,3) ∈ R4 , mas (3,1) ∉ R4. Observe que R2 e R4 são antissimétricas, mas R1 e R3 não, pois (1, 2), (2,1) ∈ R1 e R3 , mas 1≠ 2. R1, R2 e R3 são transitivas. A única relação que não é transitiva é a R4, pois (2, 1), (1, 3) ∈ R3, mas (2, 3) ∉ R3. Definição 21 (Relação de equivalência) Uma relação que é ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva é uma relação de equivalência. Assim, são relações de equivalência R1 e R3 do exemplo 27. Definição 22 (Relação de ordem parcial) Uma relação que é ao mesmo tempo reflexiva, antissimétrica e transitiva é uma relação de ordem parcial. Assim, nenhuma das relações do exemplo 27 é de ordem parcial. Poderíamos supor a relação R5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} como exemplo de relação de ordem parcial. 24  4. Voltar ao sumário Funções Nesta seção, apresentaremos apenas os conceitos básicos de funções. Como dito no início do Percurso de Aprendizagem, usaremos o conceito de conjuntos e de relações para definir um conceito muito importante em matemática, que é o conceito de função. Existem muitas aplicações que utilizam funções na engenharia e na informática. As funções são utilizadas para descrever situações reais através de fórmulas matemáticas. Você deve ter em mente que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. Definição 23 (Função): Considere dois conjuntos A e B. Uma função f : A → B (lê-se: f de A em B) é uma relação que associa a cada elemento de x ∈ A , um único elemento y ∈ B. Na definição anterior, A é o conjunto domínio de f, denotado por D( f ) , e B é o contradomínio de f, denotado por CD( f ) , x é chamada de variável independente e y de variável dependente, desde que y = f ( x) (lê-se: y igual a f de x), ou seja, y depende de x. Isso significa que a função f transforma os elementos x ∈ A em elementos y ∈ B , como mostram o digrama de Venn e o esquema, em que y é chamado de valor da função no ponto x. O conjunto de todos os valores de f, tal que y = f ( x) , é chamado de conjunto imagem de f e denotado por Im( f ). Na Figura 14, temos a representação para y = f ( x) : Figura 14: representação em diagramas da função y = f ( x). Fonte: Elaborada pelo autor (2022). 25  Voltar ao sumário Os elementos de entrada (domínio) serão mapeados pela função f, retornando os elementos de saída (imagem) y = f(x), como podemos observar no esquema abaixo: Figura 15: representação esquemática de uma função. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). Na seção 3, citamos o exemplo pessoa/CPF como exemplo de relação. Tal relação encaixa-se também no conceito de função, pois cada pessoa está associada a um único CPF. Essa função pode ser descrita pelo conjunto de pares {(P1, CPF1), (P2, CPF2)...., (Pn, CPFn)}, em que as pessoas fazem parte do conjunto domínio da função e os CPFs representam o conjunto contradomínio, conforme a Figura 16. Figura 16: função pessoa/CPF. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). Exemplo 29: Vamos considerar a seguinte função y = 2 x , que também pode ser escrita assim f ( x) = 2 x. Essa função pega os valores de x e multiplica por 2. Ela está definida para todos os números reais, por isso dizemos que o seu domínio é o conjunto dos números reais, ou seja, D( f ) = IR , bem como seu contradomínio e sua imagem, ou seja, Im( f ) = IR , assim podemos escrever que f é uma função de IR em IR, em símbolos: f : IR → IR. 26  Voltar ao sumário Exemplo 30: Para termos didáticos de exemplificação e considerando a finitude das operações computacionais, considere o domínio de f ( x) = 2 x como sendo o conjunto A = {- 1, 0, 1, 2} e o contradomínio B = {-5, -3, -2, 0, 1, 2, 3, 4}. Dessa forma temos f : A → B. Podemos calcular as imagens de todos os elementos de A substituindo o valor de x por cada elemento de A, assim: A imagem de x = -1 é f (−1) = 2 ⋅ (−1) =−2 A imagem de x = 0 é f (0) = 2 ⋅ 0 = 0 A imagem de x = 1 é f (1) = 2 ⋅ 1 = 2 A imagem de x = 2 é f (2) = 2 ⋅ 2 = 4 No diagrama de Venn da Figura 17, destacamos o conjunto domínio D( f ) = A , o conjunto imagem Im ( f ) = {−2,0, 2, 4} e o conjunto contradomínio CD( f ) = B. Figura 17: diagrama de Venn da função f ( x) = 2 x. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). Podemos representar a função do exemplo anterior graficamente. Antes vamos definir o que é o gráfico de uma função. 27  Voltar ao sumário 4.1 Gráfico de uma função Definição 24 O gráfico de uma função y = f (x) é o seguinte subconjunto do plano cartesiano: Lê-se: o gráfico da função f é o conjunto de pontos (x, y) tal que x pertence ao domínio da função f. A representação gráfica de uma função genérica f pode ser vista na Figura 18. Figura 18: representação gráfica de uma função genérica f. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). Na Figura 18 podemos identificar o conjunto domínio D( f ) = {x ∈ IR / x1 ≤ x ≤ x2 } , e o conjunto imagem Im ( f ) = { y ∈ IR / y1 ≤ y ≤ y2 } 28  Voltar ao sumário Exemplo 31: Considerando ainda a função f ( x) = 2 x , vamos traçar o seu gráfico de maneira informal. Lembramos que essa função é do primeiro grau e seu gráfico é uma reta, assim vamos usar apenas dois pontos (pares ordenados) para traçar seu gráfico. Vamos organizar os cálculos no Quadro 1. Na primeira coluna, atribuímos dois valores para x que façam parte do domínio da função, que nesse caso são todos os números reais; na segunda coluna calculamos os valores da função; e na terceira coluna temos os pontos que serão localizados no plano cartesiano. Calculando os valores da função quando x = 0 e quando x = 1, obtemos: Quadro 1: organização dos valores da função f ( x) = 2 x. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). O Quadro 1 nos forneceu os pontos (0, 0) e (1, 2). Agora localizamos os pontos no plano cartesiano e traçamos a reta passando pelos dois pontos, obtendo assim o gráfico de f ( x) = 2 x , conforme Figura 19. Figura 19: gráfico da função f ( x) = 2 x representada no plano cartesiano. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). 29  Voltar ao sumário Exemplo 32: Para este exemplo, vamos considerar a função do segundo grau f ( x) = x 2. Para este caso, precisamos de mais pontos, pois o gráfico da função é do segundo grau e uma parábola, e para isso precisamos conhecer o domínio da função, ou seja, os valores possíveis para x. Já sabe qual o domínio? Isso mesmo, são todos os números reais, em símbolos: D( f ) = IR Isso significa que podemos atribuir qualquer valor para x. Observando um pouco mais essa função, podemos notar que f (− x) =f ( x) ou seja, f ( x) = x 2 é uma função par. Veja que ( x) 2 =x 2. f (− x) =− Isso significa que se ( x, y ) ∈ G f , então (− x, y ) ∈ G f. Uma característica da função par é que seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Uma maneira rápida de construir o gráfico de uma função par é fazer o gráfico para os valores positivos de x e depois fazer a reflexão em relação ao eixo y. Aqui vamos fazer o procedimento de atribuir valores simétricos de x e encontrar os respectivos valores de y, da mesma forma do exemplo 30. Vamos organizar os cálculos do Quadro 2. Na primeira coluna atribuimos os valores para x; na segunda coluna calculamos os valores de y da função; e na terceira coluna temos os pontos que serão localizados no plano cartesiano. 30  Voltar ao sumário 2 Quadro 2: organização dos valores da função f ( x) = x. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). O Quadro 2 nos forneceu os pontos (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1) e (2, 4), que vamos localizar no plano cartesiano e traçar a parábola passando pelos pontos, obtendo assim o gráfico 2 de f ( x) = x em seguida, conforme Figura 20. Figura 20: gráfico da função f ( x) = x representada no plano cartesiano. 2 Fonte: Elaborada pelo autor (2022). Para refletir: Como ficaria o gráfico da função f (x) = - x² ? 31  Voltar ao sumário Exemplo 33: Outra função muito recorrente em matemática é a função f ( x) = x3. Cujo domínio é D( f ) = IR. Isso significa que podemos atribuir qualquer valor para x. Observando um pouco mais essa função, podemos notar que f (− x) =− f ( x) ou seja, f ( x) = x3 é uma função ímpar. Veja que f (− x) =( − x )3 =− x3 =− f ( x). Isso significa que se ( x, y ) ∈ G f , então ( − x, − y ) ∈ G f. Uma característica da função ímpar é que seu gráfico é simétrico em relação à origem. Uma maneira rápida de construir o gráfico de uma função ímpar é fazer o gráfico para os valores positivos de x e depois fazer a reflexão dos pontos em relação à origem. Aqui vamos fazer o procedimento de atribuir valores simétricos x e encontrar os respectivos valores de y. Vamos organizar os cálculos no Quadro 3. Na primeira coluna atribuímos os valores para x; na segunda coluna calculamos os valores de y da função; e na terceira coluna temos os pontos que serão localizados no plano cartesiano. Quadro 3: organização dos valores da função f ( x) = x3. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). 32  Voltar ao sumário O Quadro 3 nos forneceu os pontos (-2, -8), (-1, 1), (0, 0), (1, 1) e (2, 8), que localizamos no plano cartesiano e traçamos o gráfico de f ( x) = x3 em seguida. Figura 21: gráfico da função f ( x) = x3 representada no plano cartesiano. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). Vejamos agora um exemplo mais aplicado. Exemplo 34: A canoagem é um esporte que pode ser praticado em mares, rios ou represas. Um terreno, às margens de um rio, em formato retangular, está sendo cercado para a construção de uma escola de canoagem para crianças e adolescentes. O lado que dá para o rio não será cercado, conforme a Figura 22: Figura 22: representação do terreno. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). 33  Voltar ao sumário Sabendo-se que: Perímetro da região que será cercada: 100 m Largura do terreno: x Comprimento do terreno: y Pede-se: a) A função que representa a área em função de x; b) Os valores permitidos para x, ou seja, o domínio da função área; c) O valor de x para que a área do terreno seja máxima; d) A área máxima do terreno; e) Faça um esboço do gráfico de A(x). Solução: a) Define-se como A a área do terreno. Como sabemos, a área de um retângulo é calculada multiplicando-se o comprimento pela largura, logo a área será dada pela equação (1). A= x ⋅ y (1) Como o perímetro da parte que será cercada é de 100 m, temos a equação (2): x+x+ y = 100 2x + y = 100 y 100 − 2 x = (2) Substituindo-se (2) em (1), obtemos A em função de x, conforme (3): A( x) = x ⋅ (100 − 2 x) ( x) 100 x − 2 x 2 A= (3) b) Podemos obter o domínio de A(x) apenas analisando (3). Como sabemos a área não pode ser negativa, logo x não pode ser um valor negativo nem um valor maior que 50, pois para esses valores, encontraríamos uma área negativa. Assim, os valores permitidos para x são aqueles maiores ou iguais a zero e menores ou iguais a 50, em símbolos, temos: D( A) = {x ∈ IR / 0 ≤ x ≤ 50} c) Para encontrar o valor de x que dá a área máxima do terreno, basta encontrar o ponto médio das raízes de A(x), pois é uma função do 2º grau. Para isso, fazemos A(x) = 0: 34  Voltar ao sumário x(100 − 2 x) = 0 =x 0 ou 100 −= 2x 0 100 x= 2 x = 50 Logo as raízes de A(x) são x = 0 e x = 50 e o valor médio das raízes e x = 25. Isso significa que quando x = 25, teremos uma área máxima. d) Para encontrar a área máxima, basta calcular A(25) na equação (3), ou seja: A(25) = 25(100 − 2 ⋅ 25) A(25) = 25 ⋅ 50 A(25) = 1250 m 2 Assim, a maior área possível será 1250 m², quando x = 25 m e y = 50 m. e) Para fazer o esboço do gráfico, usamos os pares ordenados (0, 0), (50,0) e (25, 1250) e o fato de que estamos trabalhando com uma função do 2º grau, cujo gráfico é uma parábola, o valor de a = - 2, então a concavidade da parábola é voltada para baixo, além do que a função está definida no domínio [0, 50]. Assim, obtemos o gráfico que representa a área do terreno: Figura 23: gráfico da área do terreno. Fonte: Elaborada pelo autor (2022). 35  Voltar ao sumário Resumo: Caros alunos, chegamos ao final da nosso primeiro Percurso de Aprendizagem. O conteúdo abordado é bastante abrangente e demandaria muito tempo para abordá-lo por inteiro. Dessa forma, abordamos os principais conceitos de conjuntos, relações e funções. Vimos que esses conteúdos se relacionam e cada um depende dos conceitos anteriores, por isso entender cada conceito é fundamental. Apesar de alguns conteúdos serem apresentados com o conceito mais geral dentro da matemática, tenha em mente que na computação e na informática esses conceitos serão utilizados dentro do contexto da matemática discreta, ou seja, a matemática dos sistemas finitos, já que o computador é uma máquina finita, como será visto na maioria dos exercícios avaliativos. Existem muitas aplicações que utilizam os conceitos estudados até aqui na computação e na informática, e por isso são tão importantes para este curso. Para facilitar o seu entendimento, cada conceito foi seguido de um exemplo prático, mas sugerimos resolver o máximo de exercícios possível sobre o conteúdo, e caso você tenha interesse em se aprofundar sobre o assunto, consulte a bibliografia da disciplina, principalmente se tiverem aparecido dúvidas ao longo do texto. Só assim fixará bem os conceitos. Bons estudos e até a próxima. 36  Voltar ao sumário UNIVERSIDADE DE FORTALEZA (UNIFOR) AUTOR JOSÉ RUBENS RODRIGUES DE SOUSA Presidência Lenise Queiroz Rocha José Rubens Rodrigues de Sousa nasceu em Novo Vice-Presidência Oriente, CE, Brasil, em 1981. Recebeu sua graduação Manoela Queiroz Bacelar em Matemática pela Universidade Federal do Ceará Reitoria em 2006, seu mestrado e doutorado em Engenharia de Fátima Maria Fernandes Veras Teleinformática pela Universidade Federal do Ceará em 2009 e 2014, respectivamente. Vice-Reitoria de Ensino de Graduação e Pós-Graduação Maria Clara Cavalcante Bugarim Atualmente é professor de matemática da rede pública Vice-Reitoria de Pesquisa de ensino do estado do Ceará e professor de Cálculo José Milton de Sousa Filho e Matemática para Computação da Universidade de Fortaleza. Vice-Reitoria de Extensão Randal Martins Pompeu Tem interesse em pesquisa e desenvolvimento de fibras Vice-Reitoria de Administração ópticas e na busca constante pela melhoria do ensino da José Maria Gondim Felismino Júnior Matemática. Diretoria de Comunicação e Marketing Ana Leopoldina M. Quezado V. Vale Diretoria de Planejamento Marcelo Nogueira Magalhães Diretoria de Tecnologia José Eurico de Vasconcelos Filho Diretoria do Centro de Ciências da Comunicação e Gestão Danielle Batista Coimbra Diretoria do Centro de Ciências da Saúde Lia Maria Brasil de Souza Barroso Diretoria do Centro de Ciências Jurídicas Katherinne de Macêdo Maciel Mihaliuc Diretoria do Centro de Ciências Tecnológicas Jackson Sávio de Vasconcelos Silva RESPONSABILIDADE TÉCNICA COORDENAÇÃO DA EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Coordenação EAD Identidade Visual / Arte Andrea Chagas Alves de Almeida Francisco Cristiano Lopes de Sousa Supervisão de Planejamento Educacional Editoração / Diagramação Ana Flávia Beviláqua Melo Régis da Silva Pereira Supervisão de Recursos EAD Produção de Áudio e Vídeo Francisco Weslley Lima José Moreira de Sousa Pedro Henrique de Moura Mendes Analista Educacional Lara Meneses Saldanha Nepomuceno Programação / Implementação Davi Pereira Araujo De Brito Cardoso Projeto Instrucional Márcio Gurgel Pinto Dias Ana Lucia Do Nascimento Renan Alves Diniz Revisão Gramatical Thais Rozas Teixeira Janaína de Mesquita Bezerra José Ferreira Silva Bastos 37