Clase Estadística PDF

Bioestadística Álvaro Figueroa [email protected] Oficina 410 DMCC 1 Reglas Todas las ideas son buenas. Sea creativo. Respeto. Celular, Notebook, Tablet....

Bioestadística Álvaro Figueroa [email protected] Oficina 410 DMCC 1 Reglas Todas las ideas son buenas. Sea creativo. Respeto. Celular, Notebook, Tablet. 2 ¿Qué es Estadística? La Estadística es un conjunto de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones. La Estadística, se puede definir como la ciencia de la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre. 3 Alfabetización Estadística El estar alfabetizado estadísticamente no se refiere a conocer una variedad de métodos estadísticos sino el poder funcionar en la sociedad y el mundo laboral. ¿Para que necesito saber estadística? ✓ Tomar decisiones – Bajo condiciones de Incertidumbre, variabilidad, riesgo, azar. ✓ Entender y criticar estadísticas – funcionar como ciudadano en una sociedad llena de información. ✓ Comprender las limitaciones de la información – muestras chicas, sesgos, poblaciones diferentes, experimentos mal diseñados. 4  Tomar decisiones – pensamiento lógico Existe mucha evidencia sobre el beneficio de ❖ No fumar ❖ Hacer ejercicios ❖ Comer Balanceadamente ❖ Usar el cinturón de seguridad ¿Qué Hago con ella? ○ ¿Debo Asegurar mi casa para incendios/inundaciones? ○ ¿Qué celular debo comprar? 5 Información Manipulada 6 CONCEPTOS BÁSICOS 7 Conceptos Fundamentales Población: Totalidad de individuos o elementos en los cuales puede presentarse determinada característica susceptible de ser estudiada. Muestra: Parte o porción extraída de una población por métodos que permitan considerarla como representativa de la misma. Su tamaño depende de la estimación de parámetros, Test de hipótesis e información especializada. Población Muestra 8 Caracterización de las Variables Variable: Es una misma característica, propiedad o atributo (numérico o no numérico) observada en diferentes objetos o sujetos, correspondiente a la unidad de observación. Categorías: Es el recorrido de la variable. Son respuestas observadas de una variable. Variable: Cantidad de hijos Categoría: Variable: Cantidad de Ramos tomados Categoría o Recorrido: Variable: Color de pelo Categoría: 9  Caracterización de las Variables Variable Lo que se estudia Cualitativa Cuantitativa Cualidades Cantidades Nominal Ordinal Discreta Continua Mide Números Números con Existe Jerarquía diferencia Enteros Decimales Color de Pelo Talla de Ropa Temperatura Cantidad de Hijos Sexo Nivel Moles de un Ramos Aprobados Socioeconómico Medicamento 10 Caracterice Población y Variables en cada caso Una industria desea entregar bonos dependiendo la Caso 1: cantidad de hijos e hijas de sus trabajadores. Población Trabajadores de la industria. Variable Cantidad de hijos e hijas. Clasificación Cuantitativa discreta. Se desea analizar el tiempo (en minutos) que un grupo Caso 2: de estudiantes demora en llegar al a universidad. Población Estudiantes de la universidad. Variable Tiempo (en minutos). Clasificación Cuantitativa continua. 11 Caracterice Población y Variables en cada caso Una universidad desea analizar las carreras estudiadas Caso 3: por sus estudiantes de un postítulo. Población Estudiantes del postítulo. Variable Carrera que estudiada. Clasificación Cualitativa nominal. La administración de la Universidad desea estudiar el Caso 4: nivel de educación que tienen sus trabajadores. Población trabajadores de la universidad. Variable Nivel educacional. Clasificación Cualitativa ordinal. 12 Caracterice Población y Variables en cada caso En una institución se desea estudiar la cantidad de Caso 5: trabajadores vacunados contra COVID-19 Población Trabajadores de la institución Variable Cantidad de trabajadores vacunados contra COVID-19 Clasificación Cuantitativa discreta. 13 RESUMEN DE DATOS 14  Gráficas Es una forma de representar los datos, más agradable para el lector en comparación con las tablas Debe tener un titulo Debe ser auto explicativo Debe poseer leyendas Debe poseer una escala Dependiendo de la clasificación de la variable, existe una gráfica ideal para mostrar la distribución de la misma 15 Nominal: Gráfico Circular Continua o Discreta con varias categorías: Histograma o Polígono de Frecuencia Ordinal o Discreta: Gráfico Barras Separadas 16 Estadísticas de Resumen Media Medidas de tendencia central Moda Mediana Medidas de tendencia no central Cuartiles Percentiles Medidas de Variabilidad Varianza Desviación Estándar 17  Medidas de Tendencia Central Moda (𝑀𝑜 ) Es la categoría que tiene mayor frecuencia, o bien es la categoría que más se repite. En Excel se utiliza la función =MODA.VARIOS() ത 𝜇 Promedio 𝑋, Es el valor que está en el centro de los datos, es el punto de equilibrio. Se calcula sumando todos los valores y dividiendo por el número de datos. En Excel se utiliza la función =PROMEDIO() Mediana 𝑀𝑑 Es la categoría que se encuentra en el 50% de la distribución, cuando se ordenan de menor a mayor. En Excel se utiliza la función =MEDIANA() 18 Moda 𝑀𝑜 ¿Cuál es la moda en los siguientes ejemplos? 1 Tiempo en llegar a USACH (min): Lo más frecuente es { 22 ; 20 ; 45 ; 34 ; 120 ; 90 ; 34 ; 40} demorar 34 minutos 2 Medio de transporte para 3 Número de 𝒇𝒊 llegar a USACH Mascotas Transantiago Bicicleta 0 15 Auto Moto 1 46 10% 2 42 8% 3 5 15% 4 2 67% Lo más frecuente es tener 1 mascota Lo más frecuente es llegar en Transantiago 19 Moda 𝑀𝑜 ¿Cuál es la moda en los siguientes ejemplos? 4 Dinero Semanal 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1 𝑓𝑖 𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + ∙ 𝑎𝑖 Gastado en 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1 + (𝑓𝑖 − 𝑓𝑖+1 ) Alimento 0 – 1500 12 𝐿𝑖 : 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 1500 – 3000 26 𝑎𝑖 : 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 3000 – 4500 34 𝑓𝑖 : 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 4500 – 6000 12 𝑓𝑖−1 : 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 6000 – 7500 6 𝑓𝑖+1 : 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑃𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 7500 – 9000 10 34 − 26 𝑀𝑜 = 3000 + ∙ 1500 = 3400 34 − 26 + (34 − 12) Lo más frecuente es gastar $3400 en alimentos 20 Promedio 𝑋ത ¿Cuál es el promedio en los siguientes ejemplos? 1 Tiempo en llegar a USACH (min): { 22 ; 20 ; 45 ; 34 ; 120 ; 90 ; 34 ; 40} 22 + 20 + 45 + 34 + 120 + 90 + 34 + 40 𝑋ത = = 50,6 8 El tiempo de llegada promedio es 50,6 minutos 21 Promedio 𝑋ത ¿Cuál es el promedio en los siguientes ejemplos? 2 Medio de Transporte para llegar a USACH Transantiago Bicicleta Auto Moto 10% 8% No tiene sentido calcular el 15% promedio (por que la variable 67% es de tipo nominal) 22 Promedio 𝑋ത ¿Cuál es el promedio en los siguientes ejemplos? 3 Número de Interpretación 1: 𝒇𝒊 Mascotas El promedio de mascotas es 0 15 entre 1 y 2 mascotas. 1 46 2 42 Interpretación 2: 3 5 Aproximadamente, en promedio se tiene 1 mascota. 4 2 0 ∙ 15 + 1 ∙ 46 + 2 ∙ 42 + 3 ∙ 5 + 4 ∙ 2 𝑋ത = = 1,4 110 23 Promedio 𝑋ത ¿Cuál es el promedio en los siguientes ejemplos? 4 Dinero Semanal Marca de 0 + 1500 Gastado en 𝒇𝒊 𝑋1 = = 750 Clase (𝑿𝒊 ) 2 Alimento 0 – 1500 12 750 1500 + 3000 1500 – 3000 26 2250 𝑋2 = = 2250 2 3000 – 4500 34 3750 4500 – 6000 12 5250 6000 – 7500 6 6750 7500 – 9000 10 8250 750 ∙ 12 + 2250 ∙ 26 + 3750 ∙ 34 + ⋯ + 8250 ∙ 10 𝑋ത = 100 𝑋ത = 3810 El promedio del gasto semanal es $3810 24 Mediana 𝑀𝑑 ¿Cuál es la mediana en los siguientes ejemplos? 1 Tiempo en llegar a USACH (min): { 22 ; 20 ; 45 ; 34 ; 120 ; 90 ; 34 ; 40} { 20 ; 22 ; 34 ; 34 ; 40 ; 45 ; 90 ; 120} 𝟑𝟒 + 𝟒𝟎 = 𝟑𝟕 𝟐 La mitad de los encuestados se demoran a lo más 37 minutos 25 Mediana 𝑀𝑑 ¿Cuál es la mediana en los siguientes ejemplos? 2 Medio de Transporte para llegar a USACH Transantiago Bicicleta Auto Moto 10% 8% 15% 67% No tiene sentido calcular la mediana (por que la variable es de tipo nominal) 26 Mediana 𝑀𝑑 ¿Cuál es la mediana en los siguientes ejemplos? 3 Número de 𝒇𝒊 𝑭𝒊 Mascotas 0 15 15 1 46 61 110 = 55 2 42 103 2 3 5 108 4 2 110 Total 110 La mitad de los encuestados tienen por lo menos 1 mascota 27 Mediana 𝑀𝑑 ¿Cuál es la mediana en los siguientes ejemplos? 𝒏 4 Dinero Semanal 𝟐 − 𝑭𝒊−𝟏 Gastado en 𝒇𝒊 𝑭𝒊 𝑴𝒅 = 𝑳𝒊 + ∙𝒂 𝒇𝒊 Alimento 0 – 1500 12 12 𝑳𝒊 : 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 del Intervalo 1500 – 3000 26 38 𝒂: 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝒇𝒊 : 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 3000 – 4500 34 72 𝑭𝒊−𝟏 : 𝐹. 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 4500 – 6000 12 84 𝒏 ∶ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 6000 – 7500 6 90 7500 – 9000 10 100 100 = 50 2 100 − 38 𝑀𝑑 = 3000 + 2 ∙ 1500 = 3529 34 La mitad de las y los niños gastan $3529 o menos 28 ¿Cuál es la mejor medida de tendencia central? https://www.spensiones.cl/portal/institucional/594/articles-15557_recurso_1.pdf 29 ¿Cuál es la mejor medida de tendencia central? La mejor medida de tendencia central depende de la forma en que distribuyen los valores. ✓ Si la distribución es simétrica, la moda, la media y la mediana deberían ser aproximadamente las mismas. ✓ Si la distribución es asimétrica pero unimodal, la mediana a menudo es la mejor medida de tendencia central. 30 Resumiendo 31 Moda (𝑀𝑜 ) Sea 𝑋 una variable y 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 una muestra de 𝑛 valores de 𝑋, se define la moda como la observación que se presenta con mayor frecuencia en la muestra. Ventajas: Simplicidad: El cálculo y compresión de su significado son sencillos. No es sensible a valores extremos. Desventaja: No Permite el tratamiento algebraico. Puede existir más de una. 32 Media Aritmética o Promedio 𝑋ത La definición matemática es: Sea 𝑋 una variable y 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 una muestra de 𝑛 valores de 𝑋, la media se calcula sumando todas las observaciones del conjunto de datos y divididos por el total de observaciones. 𝑛 1 𝑋ത = ෍ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 Para datos tabulados donde se dispone de la marca de clase y una frecuencia asociada a ella, entonces la media se calcula de la siguiente forma: 𝐾 𝐾 1 𝑋ത = ෍ 𝑛𝑖 𝑥𝑖 = ෍ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑖=1 33 Media Aritmética o Promedio 𝑋ത Ventajas: Es única: para un conjunto de datos hay una y solo una media. Simplicidad: el cálculo y compresión de su significado son sencillos. Permite un tratamiento algebraico. Utiliza todos los datos. Desventaja: La media es sensible a valores extremos (outlayers). En distribuciones asimétricas la media no representa un valor central de la mayor parte de los datos. 34 Mediana 𝑀𝑑 Sea 𝑋 una variable con nivel de medición por lo menos ordinal, y 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 una muestra de 𝑛 valores de 𝑋, una vez ordenada la muestra de forma creciente, se define la mediana por un valor o punto donde la muestra se divide en dos partes iguales. Ventajas: Es única: para un conjunto de datos hay una y solo una mediana. Simplicidad: el cálculo y compresión de su significado son sencillos. No es sensible a valores extremos Desventaja: No Permite el tratamiento algebraico. No utiliza todos los datos. 35 Mediana 𝑀𝑑 Si se dispone de una tabla de datos asociada a una distribución de frecuencias, entonces la mediana se calcula de la siguiente forma: 1. Calcular frecuencias acumuladas simples Absolutas o Relativas 𝑛 2. Determinar el intervalo, en el cual el primer: 𝑁𝑖 > o 𝐹𝑖 > 0,5 2 3. Calcular la mediana según corresponda: 𝑛 − 𝑁𝑖−1 𝑀𝑑 𝑋 = 𝐿𝐼 + 2 ∙ 𝑎𝑖 𝑛𝑖 Donde: 𝑳𝑰 : 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝒂𝒊 : 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝒏𝒊 : 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 0,5 − 𝐹𝑖−1 𝑵𝒊−𝟏 : 𝐹. 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑀𝑑 𝑋 = 𝐿𝐼 + ∙ 𝑎𝑖 𝒇𝒊 : 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑓𝑖 𝑭𝒊−𝟏 : 𝐹. 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 36 Ejemplo: Los sueldos que una Empresa del sector financiero paga a sus empleados no profesionales, están registrada en la siguiente tabla, expresada en miles de pesos: Sueldo Número de N 𝑛 505 empleados (n) = = 252.5 (miles de pesos) 2 2 400 – 450 150 150 Debemos buscar la persona de lugar 252,5 450 – 650 175 325 Esta se encuentra en el 2° intervalo 650 – 800 125 450 𝒏 − 𝑵𝒊−𝟏 800 – 950 55 505 𝑀𝑑 𝑋 = 𝐿𝐼 + 2 ∙ 𝒂𝒊 𝒏𝒊 Total 505 𝟓𝟎𝟓 − 𝟏𝟓𝟎 = 450 + 2 ∙ 𝟐𝟎𝟎 Calcular e interpretar la mediana 𝟏𝟕𝟓 𝒏 𝐿𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 ≈ 𝟓𝟔𝟕, 𝟏𝟒𝟑 𝟐 La mitad de las y los trabajadores reciben un sueldo menor o igual a $567143 aprox. Ejemplo: Los sueldos que una Empresa del sector financiero paga a sus empleados no profesionales, están registrada en la siguiente tabla, expresada en miles de pesos: Sueldo MC (x) Número de 𝐾 1 (miles de pesos) empleados (n) 𝑋ത = ෍ 𝑛𝑖 𝑥𝑖 𝒏 400 – 450 425 150 𝑖=1 450 – 650 550 175 650 – 800 725 125 800 – 950 875 55 Total 505 Calcular e interpretar la media (o promedio) 150 ⋅ 425 + 175 ⋅ 550 + 125 ⋅ 725 + 55 ⋅ 875 𝑋ത = = 591,584 𝟓𝟎𝟓 El promedio de los sueldos de los empleados no profesionales es de $591584 aprox.  Medidas de Tendencia No Central Cuartil (𝑄1 , 𝑄2 , 𝑄3 ) Si la distribución se ordena de menor a mayor: 𝑸𝟏 es el valor de la variable que esta sobre el 𝟐𝟓% de los datos 𝑸𝟐 es el valor de la variable que esta sobre el 𝟓𝟎% de los datos 𝑸𝟑 es el valor de la variable que esta sobre el 𝟕𝟓% de los datos 1.5𝑅𝐼 Percentil (𝑃𝛼 ) Si la distribución se ordena de menor a mayor, 𝑷𝜶 es el valor (o categoría) de la variable que esta sobre el 𝜶% de los datos, y bajo el 𝟏𝟎𝟎 − 𝜶 % de los datos. 1.5𝑅𝐼 En Excel se utiliza la función =PERCENTIL.EXC() Gráfico de Caja y Bigote 39 Histograma y Gráfico de caja y bigote 40  Medidas de Variabilidad Varianza 𝑉 𝑋 , 𝜎 2 , 𝑆 2 Es la medida de variabilidad o dispersión más utilizada, su definición es: El promedio de las distancias cuadráticas entre los datos y su promedio. En Excel se utiliza la función =VAR.P() o =VAR.S() 𝑛 𝑛 ഥ 𝒙𝒊 − 𝑿 𝟐 𝑥𝑖 − 𝑋ത 2 2 𝜎 =෍ 2 𝑆 =෍ 𝑛 𝑛−1 𝑖=1 𝑖=1 Desviación Estándar 𝜎, 𝑆 Ya que la varianza entrega distancias cuadráticas, para interpretar el promedio de la variabilidad es necesario calcular la raíz cuadrada de la varianza. En Excel se utiliza la función =DESVEST.P() o =DESVEST.M() 41 Importancia de la Variabilidad Distribución de la Temperatura Ciudad 42  Varianza 𝑉 𝑋 , 𝜎𝑋2 , 𝑺𝟐𝑿 Desviación Estándar 𝐷𝑆 𝑋 , 𝜎𝑋 , 𝑺𝑿 La Varianza es el promedio de las diferencias cuadráticas entre cada observación y su media aritmética. 𝒏 𝟐 𝒙𝒊 − 𝝁 𝑷𝑶𝑩𝑳𝑨𝑪𝑰𝑶𝑵𝑨𝑳 𝟐 𝝈 𝑿 =෍ ഥ = 𝑿𝟐 − 𝑿 𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 𝟐 𝒙𝒊 − 𝑿 𝑴𝑼𝑬𝑺𝑻𝑹𝑨𝑳 𝑺𝟐 (𝑿) =෍ 𝒏−𝟏 𝒊=𝟏 Importante: Entre mayor es la varianza, significa que los datos están más dispersos. La varianza entrega sus resultados con la unidad al cuadrado. Por lo tanto, no es pertinente para realizar interpretaciones. Para eso, existe la desviación estándar (o típica) 𝑺𝒏 = 𝑺𝟐𝒏 Es la raíz cuadrada de la varianza. Se utiliza para interpretar la dispersión de los datos. 43 Coeficiente de Variación Para obtener una medida más interpretable del grado de heterogeneidad solamente, es útil definir el COEFICIENTE DE VARIABILIDAD que se entrega como un valor porcentual y se define como: 𝑺𝒙 𝑪. 𝑽. = ∙ 𝟏𝟎𝟎 ഥ| |𝑿 Permite comparar la variabilidad de dos o más variables (independiente de la unidad de medida) Si 𝑪𝑽 𝑿 > 𝑪𝑽(𝒀), decimos que la variabilidad de X es mayor a la variabilidad de Y. En otras palabras, X es más heterogénea. En cambio, Y es más homogénea. 44  ESTATURA (cm) EDAD (meses) Interpretación 1: 164 402 La edad tiene una mayor variabilidad con 161 253 respecto de la estatura. 162 256 168 267 Interpretación 2: 185 317 La edad es más heterogénea que la estatura. 173 247 PROMEDIO 168,8333333 290,3333333 Interpretación 3: DES. EST. 9,064583094 60,29151405 La estatura es más homogénea que la edad. COEF. VAR. 5,37% 20,77% 45 Percentiles para Intervalos Para el caso que los datos se encuentren tabulados para calcular el Percentil se debe: 1. Calcular frecuencias acumuladas (𝑵𝒊 ) 𝒏𝜶 2. Determinar el intervalo, en el cual el primer 𝑵𝒊 supera o es igual a. 𝟏𝟎𝟎 3. Calcular percentil utilizando la formula: 𝒏𝜶 − 𝑵𝒊−𝟏 𝑷𝜶 = 𝑳𝒊 + 𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝒂𝒊 𝒏𝒊 𝜶: 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑳𝒊 : 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟del Intervalo 𝒂𝒊 : 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝒏𝒊 : 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑵𝒊−𝟏 : 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 46 EJERCICIOS CON DATOS TABULADOS 47 Ejemplo: Los sueldos que una Empresa del sector financiero paga a sus empleados no profesionales, están registrada en la siguiente tabla, expresada en miles de pesos: Sueldo Número de a. ¿Qué sueldo recibe el 10% de los (miles de pesos) empleados empleados no profesionales que menos 400 – 450 150 sueldo reciben? 450 – 650 175 b. ¿Qué sueldo recibe el 10% de los 650 – 800 125 empleados no profesionales que más 800 – 950 55 sueldo reciben? Total c. La Empresa decide dar un aguinaldo de fiestas patrias dependiendo del sueldo. Los que ganan más de $550.000 recibirán $60.000, el resto recibirá $100.000. Determine el porcentaje de empleados que recibirá $60.000. Ejemplo: Los sueldos que una Empresa del sector financiero paga a sus empleados no profesionales, están registrada en la siguiente tabla, expresada en miles de pesos: Sueldo Número de N (miles de pesos) empleados (𝑛𝑖 ) 400 – 450 150 150 450 – 650 175 325 𝑷𝟏𝟎 650 – 800 125 450 𝑛𝛼 505 ⋅ 10 = = 50.5 ← 𝐿𝑢𝑔𝑎𝑟 800 – 950 55 505 100 100 Total 505 𝒏𝛼 − 𝑵𝒊−𝟏 𝑃𝛼 = 𝐿𝐼 + 100 ∙ 𝒂𝒊 a. ¿Qué sueldo recibe el 10% de los 𝒏𝒊 empleados no profesionales que 𝟓𝟎𝟓 ⋅ 10 −𝟎 menos sueldo reciben? 𝑃10 = 400 + 100 ∙ 𝟓 = 𝟒𝟏𝟔, 𝟖𝟑𝟑 𝟏𝟓𝟎 𝑛𝛼 100 − 𝑁𝑖−1 𝑃𝛼 = 𝐿𝑖 + ∙ 𝑎𝑖 R1: Reciben entre $400000 y $416833 aprox. 𝑛𝑖 R2: Reciben a lo más $416833 aprox. Ejemplo: Los sueldos que una Empresa del sector financiero paga a sus empleados no profesionales, están registrada en la siguiente tabla, expresada en miles de pesos: Sueldo Número de N (miles de pesos) empleados (𝑛𝑖 ) 400 – 450 150 150 450 – 650 175 325 𝑷𝟗𝟎 𝑛𝛼 505 ⋅ 90 650 – 800 125 450 = = 454.5 ← 𝐿𝑢𝑔𝑎𝑟 100 100 800 – 950 55 505 Total 505 𝟓𝟎𝟓 ⋅ 90 − 𝟒𝟓𝟎 𝑃90 = 800 + 100 ∙ 𝟏𝟓𝟎 b. ¿Qué sueldo recibe el 10% de los 𝟓𝟓 empleados no profesionales que más = 812,273 sueldo reciben? Reciben más de $812273 aproximadamente. 𝑛𝛼 100 − 𝑁𝑖−1 𝑃𝛼 = 𝐿𝑖 + ∙ 𝑎𝑖 𝑛𝑖 Ejemplo: Los sueldos que una Empresa del sector financiero paga a sus empleados no profesionales, están registrada en la siguiente tabla, expresada en miles de pesos: Sueldo Número de N (miles de pesos) empleados (𝑛𝑖 ) 400 – 450 150 150 450 – 650 175 325 650 – 800 125 450 𝑛𝛼 − 𝑁𝑖−1 𝑃𝛼 = 𝐿𝑖 + 100 ∙ 𝑎𝑖 800 – 950 55 505 𝑛𝑖 Total 505 505𝜶 − 150 550 = 450 + 100 ∙ 200 c. La Empresa decide dar un aguinaldo de 175 fiestas patrias dependiendo del sueldo. Los que ganan más de $550.000 recibirán $60.000, el resto recibirá $100.000. Determine el porcentaje de empleados que recibirá $60.000.  505𝜶 100 − 150 237,5 ⋅ =𝜶 550 = 450 + 100 ∙ 200 505 175 47,030 = 𝜶 505𝜶 − 150 550 − 450 = 100 ∙ 200 175 505𝜶 100 − 150 = 100 200 175 Calculando el complemento 100 ⋅ 175 505𝜶 100 − 47,030 = 52,97 = − 150 200 100 El 52.97% de los empleados nos profesionales 100 ⋅ 175 505𝜶 recibirán un bono de $60000 + 150 = 200 100 505𝜶 237,5 = 100 52