Algebra 2024/2025 PDF

Algebra 2024/2025 1. Číselné množiny a algebraické štruktúry Algebra Ida Stankovianska Číselné množiny – základné číselné množiny Základné číselné množiny budeme označovať takto: N prirodzené čísla: {1, 2, 3, 4, 5,... } Z celé čísla: {... , -3, -2, -1, 0,...

Algebra 2024/2025 1. Číselné množiny a algebraické štruktúry Algebra Ida Stankovianska Číselné množiny – základné číselné množiny Základné číselné množiny budeme označovať takto: N prirodzené čísla: {1, 2, 3, 4, 5,... } Z celé čísla: {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } na o Q racionálne čísla: ; a ∈ Z, b ∈ N b R reálne čísla: racionálne a iracionálne čísla Iracionálne číslo je každé reálne číslo, ktoré nie racionálne, t. j. nedá sa napísať v tvare ba , a ∈ Z , b ∈ N. Algebra Ida Stankovianska Číselné množiny – komplexné čísla C komplexné čísla: {a + bi; a, b ∈ R} Ak komplexné číslo c = a + bi; a, b ∈ R, hovoríme, že komplexné číslo je v algebraickom tvare. Číslo a ∈ R nazývame reálna √ časť a číslo b ∈ R nazývame imaginárna časť komplexného čísla, i = −1 nazývame imaginárna jednotka. Pre mocniny imaginárnej jednotky platí: i 2 = −1, i 3 = −i, i 4 = 1, i 5 = i, i 27 = i 3 = −i, i 34 = i 2 = −1 c̄ = a − bi nazývame komplexne združené číslo k číslu c = a + bi. Veľkosť komplexného čísla c = a + bi je definovaná vzťahom p |c| = a2 + b 2. Algebra Ida Stankovianska Číselné množiny – komplexné čísla Sčítanie: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Násobenie: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac − bd) + (ad + bc)i Delenie: a + bi c − di (ac + bd) + (bc − ad)i (a + bi) : (c + di) = · = c + di c − di c2 + d2 Algebra Ida Stankovianska Algebraické štruktúry – binárne operácie Nech X je neprázdna množina. Binárnou operáciou na množine X rozumieme zobrazenie ◦ : X × X → X Inak povedané, operácia ◦ na množine X je binárna, ak s ľubovoľnými dvomi jej prvkami patrí do množiny X aj výsledok operácie ◦, t. j. pre ∀a, b ∈ X aj výsledok a ◦ b ∈ X Príklady binárnej operácie na množine: Operácia + je binárnou operáciou na množine Z , lebo výsledok súčtu dvoch celých čísel celé. Súčet a súčin budeme považovať za základné binárne operácie na množinách N, Z , Q, R. Algebra Ida Stankovianska Algebraické štruktúry – binárne operácie – vlastnosti Hovoríme, že binárna operácia ◦ je na množine X komutatívna, ak pre ∀a, b ∈ X platí: a◦b =b◦a Príklad komutatívnej BO: ∀a, b ∈ Z definujeme binárnu operáciu : a ◦ b = a + b − 2. ? Overme, či platí vzťah: ∀a, b ∈ Z : a ◦ b = b ◦ a ? a◦b =a+b−2=b+a−2=b◦a Sčítanie čísel je komutatívne, rovnosť platí, binárna operácia ◦ je komutatívna. Algebra Ida Stankovianska Algebraické štruktúry – binárne operácie – vlastnosti Hovoríme, že binárna operácia ◦ je na množine X asociatívna, ak pre ∀a, b, c ∈ X platí: (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) Príklad asociatívnej BO: ∀a, b ∈ Z definujeme binárnu operáciu : a ◦ b = a + b − 2. ? Overme, či platí vzťah: ∀a, b, c ∈ Z : (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) ? (a + b − 2) ◦ c = a ◦ (b + c − 2) ? (a + b − 2) + c − 2 = a + (b + c − 2) − 2 a+b+c −4=a+b+c −4 Algebra Ida Stankovianska Algebraické štruktúry – binárne operácie – vlastnosti Hovoríme, že binárna operácia ◦ je distributívna vzhľadom na operáciu △, ak pre ∀a, b, c ∈ X platí: a ◦ (b△c) = (a ◦ b)△(a ◦ c) (b△c) ◦ a = (b ◦ a)△(c ◦ a) Príklad distributívnej BO: ∀a, b ∈ Z definujeme binárne operácie : a ◦ b = a + b − ab, a△b = a + b − 1. Ukážme, že operácia ◦ je distributívna na operáciu △. Algebra Ida Stankovianska Vzhľadom na to, že binárna operácia ◦ je komutatívna, stačí overiť či ? platí vzťah: ∀a, b, c ∈ Z : a ◦ (b△c) = (a ◦ b)△(a ◦ c) ? a ◦(b△c) = a ◦(b +c −1) = (a +b −ab)△(a +c −ac) = (a ◦b)△(a ◦c) ? a + b + c − 1 − a(b + c − 1) = a + b − ab + a + c − ac − 1 ? a + b + c − 1 − ab − ac + a = 2a + b + c − ab − ac − 1 2a + b + c − ab − ac − 1 = 2a + b + c − ab − ac − 1 Ukázali sme, že binárna operácia ◦ je distributívna na operáciu △. Algebra Ida Stankovianska Algebraické štruktúry – neutrálny prvok BO Nech ◦ je binárna operácia na množine X. Prvok e ∈ X sa nazýva neutrálny prvok binárnej operácie ◦, ak pre ∀x ∈ X platí: x ◦e =e◦x =x Príklad neutrálneho prvku: Pre ∀a ∈ R platí: a + 0 = 0 + a = a a 1 · a = a · 1 = a. 0, 1 ∈ R sú neutrálne prvky: 0 vzhľadom na operáciu sčítania a 1 vzhľadom na operáciu násobenia. Algebra Ida Stankovianska Algebraické štruktúry – neutrálny prvok BO – príklad Príklad: Hľadajme neutrálny prvok binárnej operácie ◦ definovanej na množine celých čísel predpisom: ∀a, b ∈ Z : a ◦ b = a + b − 1. Hľadáme taký prvok e ∈ Z , aby platilo: ∀a ∈ Z : a ◦ e = e ◦ a = a. ◦ je komutatívna binárna operácia, stačí riešiť len jednu rovnicu, napr. a ◦ e = a. a ◦ e = a + e − 1 = a =⇒ e = 1, 1 ∈ Z =⇒ 1 je neutrálny prvok binárnej operácie ◦ na množine celých čísel. Algebra Ida Stankovianska Algebraické štruktúry – neutrálny prvok BO – príklad Príklad: Definujme na množine celých čísel inú binárnu operáciu a hľadajme neutrálny prvok tejto binárnej operácie. ∀a, b ∈ Z : a△b = 2a − b + 1. Binárna operácia △ nie je komutatívna, budeme riešiť dve rovnice a△e = a e△a = a 2a − e + 1 = a 2e − a + 1 = a −e + 1 = −a 2e = 2a − 1 2a − 1 e =a+1 e= 2 Neutrálny prvok musí byť jediný, binárna operácia △ nemá neutrálny prvok. Algebra Ida Stankovianska Algebraické štruktúry – symetrizačný prvok BO Ak má binárna operácia ◦ na množine X neutrálny prvok e ∈ X a ak k danému prvku x ∈ X existuje prvok y ∈ X tak, že x ◦ y = y ◦ x = e, hovoríme, že y je symetrizačný prvok k prvku x. Označujeme xS. Príklad symetrizačného prvku: Pre ∀a ∈ R platí: a + (−a) = 0 a ∀a ∈ R − {0} a · a−1 = 1. Symetrizačný prvok k prvku a vzhľadom na binárnu operáciu sčítanie nazývame opačný prvok. Vzhľadom na binárnu operáciu násobenie symetrizačný prvok nazývame inverzný. Algebra Ida Stankovianska Algebraické štruktúry – symetrizačný prvok BO – príklad Príklad: Nájdime symetrizačný prvok binárnej operácie ◦ definovanej predpisom ∀a, b ∈ Z : a ◦ b = a + b − 2. Neutrálny prvok binárnej operácie ◦ je 2. Operácia je komutatívna, budeme riešiť len jednu rovnicu, napr.: a ◦ as = e a + as − 2 = 2 as = 4 − a ∈ Z , ∀a ∈ Z Algebra Ida Stankovianska Algebraické štruktúry – symetrizačný prvok BO – príklad Príklad: Uvažujme ďalšiu binárnu operáciu △ definovanú predpisom ∀a, b ∈ R : a△b = a + b − ab. Nájdime symetrizačný prvok tejto binárnej operácie. Binárna operácia △ je komutatívna a neutrálny prvok e = 0. a ◦ as = e a + as − aas = 0 as (1 − a) = −a a as = ∈ R, ∀a ∈ R, a ̸= 1 a−1 Symetrizačný prvok neexistuje pre a = 1, binárna operácia △ nemá ku každému prvku symetrizačný prvok. Algebra Ida Stankovianska Algebraické štruktúry – AŠ s jednou binárnou operáciou Algebraická štruktúra s jednou binárnou operáciou je usporiadaná dvojica: neprázdna množina X a na nej definovaná binárna operácia ◦ spolu s jej vlastnosťami. Označujeme (X , ◦). Algebraickú štruktúru (X , ◦) nazývame grupa, ak binárna operácia ◦ je asociatívna, binárna operácia ◦ má neutrálny prvok e ∈ X , každý prvok x ∈ X má svoj symetrizačný prvok xs ∈ X. Poznámka: Ak binárna operácia ◦ je komutatívna, hovoríme o komutatívnej (abelovskej) grupe. Algebra Ida Stankovianska Algebraické štruktúry – AŠ s jednou binárnou operáciou – príklad Príklad grupy: (Z , +), (Q, +), (R, +) sú komutatívne grupy. (R, ·) nie je grupa, a = 0 nemá inverzný prvok. Príklad: (R, ∗), kde binárna operácia ∗ je definovaná predpisom ∀a, b ∈ R a ∗ b = a + b − 2, je komutatívna grupa. Ukážme to! Komutatívnosť a asociatívnosť operácie sme už ukázali. Neutrálny prvok: a ∗ e = a ⇔ a + e − 2 = a ⇒ e = 2 ∈ R Symetrizačný prvok: a ∗ as = e ⇔ a + as − 2 = 2 ⇒ as = 4 − a, ∀a ∈ R Splnené sú všetky podmienky, (R, ∗) je komutatívna grupa. Algebra Ida Stankovianska Algebraické štruktúry – AŠ s dvomi binárnymi operáciami Algebraickú štruktúru (X, □, ◦) nazývame okruh, ak (X, □) je komutatívna grupa, binárna operácia ◦ je asociatívna, binárna operácia ◦ je distributívna vzhľadom na binárnu operáciu □. Poznámka: Ak (X , □, ◦) je okruh, prvá binárna operácia □ sa volá aditívna, druhá binárna operácia ◦ sa volá multiplikatívna. Neutrálny prvok aditívnej operácie sa volá nula okruhu, neutrálny prvok multiplikatívnej operácie (ak existuje) sa volá jednotka okruhu. Algebra Ida Stankovianska Algebraické štruktúry – AŠ s dvomi binárnymi operáciami Algebraická štruktúra (X, □, ◦) je pole, ak (X, □, ◦) je okruh, (X − {e□ }, ◦) je komutatívna grupa. Poznámka: e□ je neutrálny prvok binárnej aditívnej operácie □, t. j. nula okruhu. Dohoda: Ak (X , □, ◦) je pole, aditívnu binárnu operáciu budeme označovať + a multiplikatívnu operáciu · Množinu X – nosič poľa, budeme označovať P. Potom označenie poľa bude (P, +, ·). Algebra Ida Stankovianska Algebraické štruktúry – AŠ s dvomi binárnymi operáciami –príklad Príklad okruhu a poľa: (Q, +, ·), (R, +, ·), (C , +, ·) sú polia. (Z , +, ·) je len okruh (prečo?), (N, +, ·) nie je ani okruh (prečo?). Príklad: Na množine reálnych čísel R definujeme binárne operácie △ a ◦: a△b = a + b − 1, a ◦ b = a + b − ab. Ukážme, že algebraická štruktúra (R, △, ◦) je pole. a) (R, △) je komutatívna grupa: △ je komutatívna: a△b = b△a ⇔ a + b − 1 = b + a − 1 △ je asociatívna: a△(b△c) = (a△b)△c ⇔ a△(b + c − 1) = (a + b − 1)△c ⇔ ⇔a+b+c −1−1=a+b−1+c −1 Algebra Ida Stankovianska Algebraické štruktúry – AŠ s dvomi binárnymi operáciami – príklad neutrálny prvok: a△e = a ⇔ a + e − 1 = a ⇒ e = 1 symetrizačný prvok: a△as = e ⇔ a + as − 1 = 1 ⇒ as = 2 − a b) ◦ je asociatívna: a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c ⇔ a ◦ (b + c − bc) = (a + b − ab) ◦ c ⇔ ⇔ a + b + c − bc − a(b + c − bc) = a + b − ab + c − (a + b − ab)c ⇔ ⇔ a + b + c − bc − ab − ac + abc = a + b + c − ab − ac − bc + abc c) ◦ je distributívna na △: a◦(b△c) = (a◦b)△(a◦c) ⇔ a◦(b+c −1) = (a+b−ab)△(a+c −ac) ⇔ ⇔ a + b + c − 1 − a(b + c − 1) = a + b − ab + a + c − ac − 1 ⇔ ⇔ a + b + c − 1 − ab − ac + a = 2a + b + c − ab − ac − 1 ⇔ ⇔ 2a + b + c − ab − ac − 1 = 2a + b + c − ab − ac − 1 Algebra Ida Stankovianska Algebraické štruktúry – AŠ s dvomi binárnymi operáciami – príklad Ukázali sme, že (R, △, ◦) je okruh. Aby (R, △, ◦) bolo pole, treba ukázať, že (R − {1}, ◦) je komutatívna grupa. ◦ komutatívna: a ◦ b = b ◦ a ⇔ a + b − ab = b + a − ba ◦ asociatívna: a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c ⇔ a ◦ (b + c − bc) = (a + b − ab) ◦ c ⇔ ⇔ a + b + c − bc − a(b + c − bc) = a + b − ab + c − (a + b − ab)c ⇔ a + b + c − bc − ab − ac + abc = a + b − ab + c − ac − bc + abc neutrálny prvok: a ◦ e = a ⇔ a + e − ae = a ⇔ e(1 − a) = 0 ⇒ e = 0 symetrizačný prvok: a ◦ as = e ⇔ a + as − aas = 0 ⇔ a ⇔ a + as (1 − a) = 0 ⇒ as = ∈ R − {1} a−1 Algebra Ida Stankovianska Algebraické štruktúry – AŠ s dvomi binárnymi operáciami – príklad Ukázali sme, že (R − {1}, ◦) je komutatívna grupa. To zmamená, že sú splnené všetky podmienky definície a (R, △, ◦) je pole. Algebra Ida Stankovianska