Dynamique du Point Matériel - Université Cadi Ayyad - 2024/2025 PDF

Université Cadi Ayyad Faculté des sciences Semlalia-Marrakech Département de physique Chapitre III Année universitaire 2024/2025  I Introduction La dynamique du point permet de relier le mouvement a ses causes. Les causes du mouvemen...

Université Cadi Ayyad Faculté des sciences Semlalia-Marrakech Département de physique Chapitre III Année universitaire 2024/2025  I Introduction La dynamique du point permet de relier le mouvement a ses causes. Les causes du mouvement sont modélisées en mécanique par des grandeurs vectorielles appelés forces. II. Types de Forces a) Forces à distance Le corps qui exerce la force n’est pas en contact avec celui sur lequel il agit. Cette force s’exerce entre 2 objets pouvant être séparés par de l’air, de l’eau, du vide ou autre chose. Il y a 3 sortes de forces à distance : Les forces de gravitation : c'est l'action d’une masse sur une autre. Ce sont des forces attractives. - la direction, celle de la droite reliant les deux points matériels. - le sens, il s’agit d’une attraction mutuelle, on est en présence de deux forces de sens opposés. - l’intensité, donnée par la relation : 𝑚1 𝑚2 𝐹Ԧ1→2 = 𝐹Ԧ2→1 = 𝐺 𝑟2 Où G est la constante de gravitation universelle et qui vaut : 6,67x10-11m3Kg-1s-2. Mécanique du point Matériel Filière MIP&PC – Semestre 1 2  Les forces électriques : Elles s’exercent entre deux particules portant des charges électriques q1 et q2. - La direction, celle de la droite reliant les deux charges. - Le sens, attraction si les deux charges ont des signes opposés et répulsion si les deux charges ont les mêmes signes (les deux forces sont de sens opposés). 𝑞2 < 0 𝐹Ԧ1→2 - L’intensité, donnée par la relation : 𝑞1 > 0 1 𝑞1 𝑞2 𝐹Ԧ2→1 𝐹Ԧ1→2 = 𝐹Ԧ2→1 = 4𝜋𝜀0 𝑟 2 1 𝐶2 𝜀0 est la permittivité diélectrique du vide qui vaut : 𝜀0 = = 8,85. 10−12 36𝜋109 𝑁𝑚2 Mécanique du point Matériel Filière MIP&PC – Semestre 1 3  Force électromagnétique (force de Lorentz) : Les particules chargés créent autour d’elles, partout dans l’espace un champ électrique. Si une charge électrique se trouve en présence d’un champ électrique, ceci va lui faire subir une force: 𝐹Ԧ𝑒 = 𝑞𝐸 Dans un référentiel donnée, si une charge (q) en mouvement, munie d’une vitesse (𝑣Ԧ ) se trouvant en présence d’un champ électrique (𝐸 ) et un champ magnétique (𝐵 ), ceci va lui faire subir une force, appelée force de Lorentz : 𝐹Ԧ = 𝐹Ԧ𝑒 + 𝐹Ԧ𝑚 avec 𝐹Ԧ𝑚 = 𝑞 𝑣Ԧ ∧ 𝐵 appelé force magnétique Alors: 𝐹Ԧ = 𝑞(𝐸 + 𝑣Ԧ ∧ 𝐵) Mécanique du point Matériel Filière MIP&PC – Semestre 1 4  b) Forces de contact Tension d’un fil Considérons une masse m attachée à une extrémité d’un fil inextensible, l’autre extrémité est fixée à un support comme indiqué sur la figure ci-contre: 𝑇+𝑃 =0⇒𝑃 =𝑇 Force élastique La force de rappel du ressort 𝑇 est proportionnelle à l’allongement Δ𝑙 = 𝑙1 − 𝑙0 et s’écrit : 𝑇 = 𝑘 𝑙1 − 𝑙0 𝑢 𝑻 Mécanique du point Matériel Filière MIP&PC – Semestre 1 5  Force de réaction d’un support : La force que subit un point matériel de masse m, posé sur un support horizontal, s’appelle réaction du 𝑅 support, 𝑅. Le point matériel étant en équilibre: 𝑃+𝑅 =0⇒𝑃 =𝑅 𝑃 Force de frottement sur un plan solide : La réaction du support 𝑅 peut se décomposer donc en deux composantes : une composante normale 𝑅𝑁 (𝑅𝑁 = 𝑃 = 𝑚𝑔) et une composante tangentielle 𝑓.Ԧ 𝑅 𝑅𝑁 𝑅𝑇 𝑓 = 𝜇𝑑 𝑅𝑁 ou 𝜇𝑑 désigne le coefficient de frottement dynamique 𝑃 Remarque Lors du déplacement sans frottement du point matériel M on aura 𝑅 est perpendiculaire à la tangente de la surface de déplacement (𝑅𝑁 = 𝑅 et 𝑅𝑇 = 0) Mécanique du point Matériel Filière MIP&PC – Semestre 1 6  III Quantité de mouvement Définition On définit par la quantité de mouvement d’un point matériel de masse m et animé d’une vitesse 𝑉 la quantité 𝑝Ԧ = 𝑚𝑉 Son unité en SI: 𝑘𝑔 𝑚 𝑠 −1 Remarque Notons que la quantité de mouvement dépend du référentiel dans lequel elle est exprimée, étant donnée que la vitesse l’est. IV Principe fondamental de la dynamique : PFD Le PFD peut être énoncé soit sous sa forme différentielle soit sous sa forme de dérivée Enoncé du PFD sous forme différentielle La variation de la quantité de mouvement est égale au produit de la force extérieure appliquée par le temps pendant lequel cette force est appliquée : 𝑑 𝑝Ԧ = 𝐹Ԧ𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑡 Enoncé du PFD sous forme de dérivée 𝑑 𝑝Ԧ = 𝐹Ԧ𝑒𝑥𝑡 ⇒ 𝐹Ԧ𝑒𝑥𝑡 = 𝑚Ԧγ 𝑑𝑡 Mécanique du point Matériel Filière MIP&PC – Semestre 1 7  V Principe de l’action et de la réaction Quand deux points matériels interagissent, la force 𝐹Ԧ1/2 exercée par le premier point sur le second est égale et opposée à la force 𝐹Ԧ2/1 engendrée par le deuxième corps sur le premier : 𝐹Ԧ1/2 + 𝐹Ԧ2/1 = 0 VI Les lois de Newton 1. Première loi de Newton : Principe d’inertie Enoncé de la 1ère loi de Newton Un corps isolé, sur lequel aucune force n’agit, se déplace avec une vitesse constante ou reste au repos selon son état initial. 𝐹Ԧ = 0 ⟹ 𝑉 = 𝐶𝑠𝑡𝑒 1ère loi de Newton 2. Deuxième loi de Newton Enoncé de la 2ème loi de Newton La force totale 𝐹Ԧ appliquée à un corps est égale au produit de sa masse m par son accélération γԦ Remarque 𝐹Ԧ = 𝑚Ԧγ 2ème loi de Newton Pour ce cours, le PFD et la deuxième loi de Newton se confondent. Mécanique du point Matériel Filière MIP&PC – Semestre 1 8  3 Troisième loi de Newton C’est la loi de l’action et de la réaction ou la loi d’opposition des actions réciproques. C’est le même énoncé que précédemment, 𝐹Ԧ1/2 + 𝐹Ԧ2/1 = 0 3ème loi de Newton VII. Référentiels 1. Référentiels Galiléens Définition : On appelle un référentiel galiléen ou inertiel tout référentiel non accéléré Remarques Un référentiel est en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est un référentiel galiléen La première loi et la deuxième loi de Newton ne sont valables que dans un référentiel galiléen. Mécanique du point Matériel Filière MIP&PC – Semestre 1 9  Exemple de référentiels galiléen: Référentiel de Copernic (Rc) C’est un référentiel qui a pour origine le centre du système solaire et ses axes sont donnés par les directions de trois étoiles très éloignées (supposées fixes par rapport au soleil). On utilise ce référentiel pour l’étude du système solaire. Référentiel héliocentrique ou de Kepler: C’est un référentiel qui a pour origine le centre du soleil et dont les axes sont parallèles à ceux du référentiel de Copernic. Référentiel géocentrique (RG): C’est un référentiel qui a pour origine le centre de la terre et ses axes sont donnés par les directions de trois étoiles très éloignées tout comme le référentiel de Copernic. On l’utilise pour l’étude des mouvements des satellites naturels (la lune) ou artificiel. Référentiel terrestre (RT): C’est un référentiel lié à la terre et qui a pour origine un point de la planète et ses axes ont des directions fixes par rapport à elle. On l’utilise pour l’étude des mouvements des objets sur terre. Mécanique du point Matériel Filière MIP&PC – Semestre 1 10  2. Référentiels non Galiléens Les référentiels non galiléens sont des référentiels accélérés. Toutefois, la résolution d’un problème de dynamique, en utilisant le PFD, dans un référentiel non galiléen reste possible à condition, comme on va le voir dans ce paragraphe, de rajouter au PFD des termes qui compensent l’accélération du référentiel non inertiel sous forme de pseudo-forces que nous appelons des forces d’inertie. Mécanique du point Matériel Filière MIP&PC – Semestre 1 11  3. Expression du PFD Soit R un référentiel galiléen et R1 un référentiel en mouvement quelconque par rapport à R. La relation de composition des accélérations nous permet d’écrire pour un point matériel M. 𝛾Ԧ 𝑀/𝑅 = 𝛾Ԧ 𝑀/𝑅1 + 𝛾Ԧ𝑒 + 𝛾Ԧ𝑐  L’expression du PFD dans le référentiel galiléen est 𝐹Ԧ = 𝑚𝛾Ԧ 𝑀/𝑅 = 𝑚(𝛾Ԧ 𝑀/𝑅1 + 𝛾Ԧ𝑒 + 𝛾Ԧ𝑐 )  La relation du principe fondamental de la dynamique peut s’écrire dans R1 comme 𝐹Ԧ − 𝑚𝛾Ԧ𝑒 − 𝑚𝛾Ԧ𝑐 = 𝑚𝛾Ԧ 𝑀/𝑅1 - 𝑓Ԧ𝑖𝑒 = −𝑚𝛾Ԧ𝑒 est la force d'inertie d'entraînement 𝐹Ԧ + 𝑓Ԧ𝑖𝑒 + 𝑓Ԧ𝑖𝑐 = 𝑚𝛾Ԧ 𝑀/𝑅1 - 𝑓Ԧ𝑖𝑐 = −𝑚𝛾Ԧ𝑐 est la force d'inertie de Coriolis Mécanique du point Matériel Filière MIP&PC – Semestre 1 12  Problème: Soient ℜ(𝑂, 𝑥𝑦𝑧) un référentiel absolu muni de la base (Ԧ𝑖, 𝑗Ԧ , 𝑘) et ℜ1(𝑂, 𝑒Ԧ𝜌 , 𝑒Ԧ𝜑 , 𝑘) le référentiel relatif. Dans le plan horizontal (𝑥𝑂𝑦), une tige circulaire de rayon 𝑎 et de centre 𝑐 est maintenue fixe. Un anneau 𝑀 de masse 𝑚 est assujetti à se déplacer sans frottement sur la tige circulaire. Il est repéré dans ℜ par : 𝑂𝑀 = 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑒Ԧ𝜌 où 𝜑 = (Ԧ𝑖, 𝑂𝑀) avec -2𝜋 < 𝜑 < 2𝜋. L’anneau 𝑀 est attaché à l’extrémité d’un ressort de raideur 𝑘 et de longueur à vide 𝑎. L’autre extrémité du ressort est fixée au point 𝑂. En plus de la force de rappel 𝐹Ԧ exercée par le ressort, l’anneau 𝑀 est soumis à la réaction de la tige 𝑅 et à son poids 𝑃Ԧ = -𝑚𝑔𝑘. On désigne par (𝜏, Ԧ 𝑛, 𝑘) la base de Frésnet comme l’indique la figure (𝑛 est le vecteur dirigé vers le centre de cercle). N.B : Toutes les expressions vectorielles doivent être exprimées dans la base (𝑒Ԧ𝜌 , 𝑒Ԧ𝜑 , 𝑘). 1) Calculer la vitesse de 𝑀 par rapport à ℜ. 2) En déduire le vecteur 𝜏Ԧ tangent et le vecteur 𝑛 normal à la trajectoire. 3) Déterminer 𝛺(ℜ1/ℜ) la vitesse de rotation de ℜ1 par rapport à ℜ. 4) Déterminer les accélérations relative 𝛾Ԧ𝑟 (𝑀), d’entraînement 𝛾Ԧ𝑒 (𝑀) et de Coriolis 𝛾Ԧ𝑐 (𝑀) 5) Donner les expressions des forces appliquées à 𝑀 dans ℜ1. 6) Ecrire le PFD appliqué à 𝑀 dans ℜ1. 7-a) En projetant le PFD sur 𝜏Ԧ , donner l’équation différentielle du mouvement de 𝑀 dans ℜ. c) Que devient cette équation pour des faibles valeurs de 𝜑. d) En projetant le PFD sur 𝑛 et 𝑘, trouver les composantes de la réaction 𝑅 du support sur 𝑀. Mécanique du point Matériel Filière MIP&PC – Semestre 1 13  1) Calculer 𝑉 (𝑀/ℜ) la vitesse de 𝑀 par rapport à ℜ. 2) En déduire les expressions des vecteurs tangent 𝜏Ԧ et normal 𝑛 à la trajectoire au point 𝑀. 3) Déterminer 𝛺(ℜ1/ℜ) la vitesse de rotation de ℜ1 par rapport à ℜ. On a: 𝑑𝑒Ԧ𝜌 𝑑𝑒Ԧ𝜌 อ = 𝜑ሶ 𝑒Ԧ𝜑 = 𝜑𝑘 ሶ ∧ 𝑒Ԧ𝜌 et อ = Ω(𝑅1 /𝑅) ∧ 𝑒Ԧ𝜌 ⟹ Ω(𝑅1 /𝑅) = 𝜑𝑘 ሶ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑅 𝑅 4) Déterminer les accélérations relative 𝛾Ԧ𝑟 (𝑀), d’entraînement 𝛾Ԧ𝑒 (𝑀) et de Coriolis 𝛾Ԧ𝑐 (𝑀) de 𝑀. Mécanique du point Matériel Filière MIP&PC – Semestre 1 14  5) Donner les expressions des forces appliquées à 𝑀 dans ℜ1. 𝑓Ԧ𝑖𝑐 = −𝑚𝛾𝑐 𝑀 = 4𝑚𝑎 𝜑ሶ 2 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑒Ԧ𝜑 6) Ecrire le PFD appliqué à 𝑀 dans ℜ1. Mécanique du point Matériel Filière MIP&PC – Semestre 1 15  Ԧ donner l’équation différentielle du mouvement de 𝑀. 7) a) En projetant le PFD sur 𝜏, Tout calcul fait conduit à : 𝑃 + 𝑅 + 𝐹Ԧ + 𝑓Ԧ𝑖𝑒 + 𝑓Ԧ𝑖𝑐. 𝜏Ԧ = 𝑚𝛾𝑟 𝑀. 𝜏Ԧ 𝑃. 𝜏Ԧ = −𝑚𝑔k. 𝜏Ԧ = 0 𝑅. 𝜏Ԧ = 𝑅𝑛 n + 𝑅𝑘 k. 𝜏Ԧ = 0 𝐹.Ԧ 𝜏Ԧ = −𝑘𝑎 2𝑐𝑜𝑠𝜑 − 1 𝑒Ԧ𝜌 −sin𝜑𝑒Ԧ𝜌 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑒Ԧ𝜑 = 𝑘𝑎 2𝑐𝑜𝑠𝜑 − 1 sin𝜑 𝑓Ԧ𝑖𝑒. 𝜏Ԧ = 2𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝜑ሶ 2 𝑒Ԧ𝜌 − 𝜑ሷ 𝑒Ԧ𝜑 −sin𝜑𝑒Ԧ𝜌 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑒Ԧ𝜑 = −2𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑(𝜑ሶ 2 sin𝜑 + 𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑) ሷ 𝑓Ԧ𝑖𝑐. 𝜏Ԧ = 4𝑚𝑎𝜑ሶ 2 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑒Ԧ𝜑 −sin𝜑𝑒Ԧ𝜌 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑒Ԧ𝜑 = 4𝑚𝑎𝜑ሶ 2 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑚𝛾𝑟 𝑀. 𝜏Ԧ = −2𝑚𝑎 𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑 ሷ + 𝜑ሶ 2 cos𝜑 𝑒Ԧ𝜌 −sin𝜑𝑒Ԧ𝜌 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑒Ԧ𝜑 = 2𝑚𝑎 𝜑𝑠𝑖𝑛 ሷ 2 𝜑 + 𝜑ሶ 2 𝑠𝑖𝑛𝜑cos𝜑 𝑘𝑎 2𝑐𝑜𝑠𝜑 − 1 sin𝜑 − 2𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝜑ሶ 2 sin𝜑 + 𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑 ሷ + 4𝑚𝑎𝜑ሶ 2 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑 = 2𝑚𝑎 𝜑𝑠𝑖𝑛 ሷ 2 𝜑 + 𝜑ሶ 2 𝑠𝑖𝑛𝜑cos𝜑 𝑘𝑎 2𝑐𝑜𝑠𝜑 − 1 sin𝜑 − 2𝑚𝑎 𝜑ሶ 2 sin𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝜑𝑐𝑜𝑠 ሷ 2 𝜑 + 4𝑚𝑎 𝜑ሶ 2 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑 = 2𝑚𝑎 𝜑𝑠𝑖𝑛 ሷ 2 𝜑 + 𝜑ሶ 2 𝑠𝑖𝑛𝜑cos𝜑 2 𝜑 = 2𝑚𝑎 𝜑𝑠𝑖𝑛 2𝜑 𝑘𝑎 2𝑐𝑜𝑠𝜑 − 1 sin𝜑 − 2𝑚𝑎 𝜑𝑐𝑜𝑠 ሷ ሷ 𝑘𝑎 2𝑐𝑜𝑠𝜑 − 1 sin𝜑 − 2𝑚𝑎𝜑ሷ = 0 Mécanique du point Matériel Filière MIP&PC – Semestre 1 16  𝑘𝑎 2𝑐𝑜𝑠𝜑 − 1 sin𝜑 − 2𝑚𝑎𝜑ሷ = 0 b) Que devient cette équation pour des faibles valeurs de 𝜑. c) En projetant le PFD sur 𝑛 et 𝑘, trouver les composantes de la réaction 𝑅 du support sur 𝑀. En projetant le PFD sur 𝑘: 𝑅𝑘 = 𝑚𝑔 Mécanique du point Matériel Filière MIP&PC – Semestre 1 17  En projetant le PFD sur n: n = −cos𝜑𝑒Ԧ𝜌 − 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑒Ԧ𝜑 𝑃 + 𝑅 + 𝐹Ԧ + 𝑓Ԧ𝑖𝑒 + 𝑓Ԧ𝑖𝑐. n = 𝑚𝛾𝑟 𝑀. n 𝑃. n = −𝑚𝑔k. n = 0 𝑅. n = 𝑅𝑛 n + 𝑅𝑘 k. n = 𝑅𝑛 Ԧ n = −𝑘𝑎 2𝑐𝑜𝑠𝜑 − 1 𝑒Ԧ𝜌 −cos𝜑𝑒Ԧ𝜌 − 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑒Ԧ𝜑 = 𝑘𝑎 2𝑐𝑜𝑠𝜑 − 1 cos𝜑 𝐹. 𝑓Ԧ𝑖𝑒. n = 2𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝜑ሶ 2 𝑒Ԧ𝜌 − 𝜑ሷ 𝑒Ԧ𝜑 −cos𝜑𝑒Ԧ𝜌 − 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑒Ԧ𝜑 = −2𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑(𝜑ሶ 2 cos𝜑 − 𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑) ሷ 𝑓Ԧ𝑖𝑐. n = 4𝑚𝑎𝜑ሶ 2 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑒Ԧ𝜑 −cos𝜑𝑒Ԧ𝜌 − 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑒Ԧ𝜑 = −4𝑚𝑎𝜑ሶ 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜑 𝑚𝛾𝑟 𝑀. n = −2𝑚𝑎 𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑 ሷ + 𝜑ሶ 2 cos𝜑 𝑒Ԧ𝜌 −cos𝜑𝑒Ԧ𝜌 − 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑒Ԧ𝜑 = 2𝑚𝑎 𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑cos𝜑 ሷ + 𝜑ሶ 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 Alors : 𝑅𝑛 + 𝑘𝑎 2𝑐𝑜𝑠𝜑 − 1 cos𝜑 − 2𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝜑ሶ 2 cos𝜑 − 𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑 ሷ − 4𝑚𝑎𝜑ሶ 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜑 = 2𝑚𝑎 𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑cos𝜑 ሷ + 𝜑ሶ 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 𝑅𝑛 + 𝑘𝑎 2𝑐𝑜𝑠𝜑 − 1 cos𝜑 − 4𝑚𝑎𝜑ሶ 2 (𝑠𝑖𝑛2 𝜑 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑) =0 𝑅𝑛 + 𝑘𝑎 2𝑐𝑜𝑠𝜑 − 1 cos𝜑 − 4𝑚𝑎𝜑ሶ 2 = 0 𝑅𝑛 = −𝑘𝑎 2𝑐𝑜𝑠𝜑 − 1 cos𝜑 + 4𝑚𝑎𝜑ሶ 2 Mécanique du point Matériel Filière MIP&PC – Semestre 1 18