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Contents 1 2 3 4 1 Définitions et propriétés.............. 1.1 Définition.................. 1.2 Support de convolution........... Convolution Lp ∗ Lq................. 2.1 Cas p et q conjugués............. 2.2 Cas de l’inégalité de Young........ Approximation de l’identité et suite régularisante Convolution et dérivation.............. Appendice: Compléments.............. 1.1 Théorème des translations de Lebesgue.. 1.2 Compléments sur la convolution...... 1.3 Fonction plateau ( ou Cut-off function ). 1........................................................................................................................................................................ 3 3 3 4 4 6 7 10 12 12 13 15 2 CONTENTS Produit de convolution Dans ce chapitre, l’espace de la variable spatiale x est RN , N ≥ 1 tout entier, sauf indication contraire auquel cas on le notera Ω un ouvert de RN. 1 Définitions et propriétés 1.1 Définition Définition 1. ( Produit de convolution ) Soient f, g : RN → R deux fonctions mesurables. Alors, pour presque tout x ∈ RN la fonction y → f (x − y)g(y) est mesurable. On définit le produit de convolution, lorsqu’il existe, de f par g en x que l’on note f ∗ g(x) par Z f ∗ g(x) = RN f (x − y)g(y)dy presque partout x ∈ RN. Propriétés immédiates: 1. Si f et g sont deux fonctions mesurables positives alors F (x, y) = f (x − y)g(y) est mesurable et positive et donc le théorème de Fubini-Tonelli implique que x→ Z Rn F (x, y)dy = f ∗ g(x) est mesurable et définie presque partout (p.p.) x ∈ RN. 2. Pour presque tout x ∈ RN , on peut utiliser le changement de variable Y = x − y pour obtenir que f ∗ g(x) = Z RN f (x − y)g(y)dy = Z RN f (Y )g(x − Y )dY = g ∗ f (x). Ainsi le produit de convolution est commutatif. 1.2 Support de convolution Proposition 1. On suppose que f ∗ g est définie p.p. x ∈ RN , on a alors supp f ∗ g ⊂ supp f + supp g. Preuve. Montrons que ∁RN supp f + supp g ⊂ ∁RN supp f ∗ g. 3 4 CONTENTS Soit x ∈ ∁RN supp f + supp g alors f ∗ g(x) = Z Rn f (x − y)g(y)dy = Z supp g f (x − y)g(y)dy / supp f (en fait, sinon Or lorsque y ∈ supp g et x ∈ ∁RN supp f + supp g alors x − y ∈ on aurait x ∈ supp f + supp g) et par conséquence f (x − y) = 0, par suite f ∗ g(x) = 0 et donc x ∈ ∁RN supp f ∗ g. 2 Convolution Lp ∗ Lq Dans cette section nous allons étudier les propriétés du produit de convolution f ∗ g dans le cas où f ∈ Lp (RN ) et g ∈ Lq (RN ). 2.1 Cas p et q conjugués. Soient f ∈ Lp (Rn ) et g ∈ Lq (RN ) avec f (x − y)g(y) ∈ L1 (RN ) et on a |f ∗ g(x)| ≤ Z RN Hölder ≤ 1 p + = 1 où 1 ≤ p, q ≤ +∞ alors y → 1 q |f (x − y)||g(y)|dy Z RN |f (x − y)| dy p 1 Z p RN q |g(y)| dy 1 q = ||f ||p ||g||q Donc le produit de convolution f ∗ g est bien définie presque partout x ∈ Rn. On déduit aussi de l’inégalité précédente que f ∗ g est bornée sur RN. En fait, on a f ∗ g ∈ Cb (RN ) ( espace des fonctions continues et bornées sur Rn ). On sait qu’elle est bornée, il reste à montrer qu’elle est continue sur RN. Soit x ∈ RN , montronsque lim |f ∗ g(x + h) − f ∗ g(x)| = 0. On écrit |h|→0 |f ∗ g(x + h) − f ∗ g(x)| = | Z N ZR =| ≤ RN Z RN Hölder ≤ f (x + h − y)g(y)dy − Z RN f (x − y)g(y)dy| (τh f (x − y) − f (x − y))g(y)dy| |(τh f − f )(x − y)||g(y)|dy ||τh f − f ||Lp ||g||Lq −→ 0 |h|→0 Cette dernière limite résulte de la continuité de l’opérateur de translation sur Lp (Ω) (voir l’appendice en fin de ce chapitre). On a donc f ∗ g ∈ Cb (Rn ). Remarque 1. Si f est une fonction continue bornée sur Ω, on a alors ||f ||∞ = sup|f (x)| < +∞, qui est une norme sur x∈Ω Cb (Ω) = { f : Ω → R (ou C) / f est une fonction continue et ||f ||∞ < +∞} 5 2. CONVOLUTION Lp ∗ Lq Lorsque 1 < p < +∞ (i.e. si on exclut p = 1 et q = +∞), on a encore un meilleur résultat, en effet on a lim f ∗ g(x) = 0. On dit alors que f ∗ g ∈ C0 (Rn ) (⊂ Cb (RN )), |x|→+∞ avec C0 (Rn ) = { u : Rn → R / u est une fonction continue , lim u(x) = 0} |x|→+∞ Pour le montrer on va utiliser le fait que Cc (Rn ) est dense dans Lp (Rn ) ∀1 ≤ p < +∞. Soit 1 < p, q < +∞: comme f ∈ Lp alors il existe (fn )n ⊂ Cc (RN ) tel que ||fn − f ||p −→ 0 n→+∞ De même g ∈ Lq alors il existe (gn )n ⊂ Cc (Rn ) tel que ||gn − g||q −→ 0 n→+∞ Or fn ∗ gn est à support compact car supp fn et supp gn sont compacts. En effet, Par la proposition 1, puisque supp fn ⊂ B(0, R1 ) et supp gn ⊂ B(0, R2 ) on en déduit que supp fn ∗ gn ⊂ B(0, R1 + R2 ), et comme c’est un fermé alors c’est donc un compact. D’autre part fn ∗ gn −→ f ∗ g dans (Cb (Rn ), ||·||∞ ). En, effet, on a n→+∞ |fn ∗ gn (x) − f ∗ g(x)| = |fn ∗ gn (x) − fn ∗ g(x) + fn ∗ g(x) − f ∗ g(x)| = |fn ∗ (gn − g)(x) + (fn − f ) ∗ g(x)| ≤ |fn ∗ (gn − g)(x)| + |(fn − f ) ∗ g(x)| ≤ ||fn ||p ||gn − g||q + ||fn − f ||p ||gn ||q −→ 0 n→+∞ Or ||fn ∗ gn − f ∗ g||∞ = sup |fn ∗ gn (x) − f ∗ g(x)| −→ 0 n→+∞ x∈RN On a démontré que fn ∗ gn ∈ Cc (RN ) ∀n, en particulier fn ∗ gn ∈ C0 (RN ). On a déjà montré que fn ∗ gn −→ f ∗ g dans (Cb (Rn ), ||·||∞ ). Pour conclure, on utilise n→+∞ maintenant le lemme 1 pour déduire que f ∗ g ∈ C0 (Rn ). Lemme 1. Soit (fn )n ⊂ C0 (RN ) tel que fn −→ f dans n→+∞ (Cb (Rn ), ||·||∞ ) alors f ∈ C0 (RN ) (On dit que C0 (RN ) est un sous-espace fermé de Cb (Rn )). Preuve. Soit fn ⊂ C0 (RN ) tel que fn −→ f dans n→+∞ (Cb (RN ), ||·||∞ ). On va montrer que f ∈ C0 (Rn ). Par hypothèse, on a ∀ϵ > 0 il existe n0 ∈ N tel que ∀n ≥ n0 ; ||fn − f ||∞ < 2ϵ. Donc pour ce n0 il existe M > 0 tel que ∀ |x| ≤ M , |fn0 (x)| < 2ϵ , du fait que fn0 (x) −→ 0. On écrit |x|→+∞ |f (x)| = |f (x) − fn0 (x) + fn0 (x)| ≤ |f (x) − fn0 (x)| + |fn0 (x)| < ϵ ϵ + =ϵ 2 2 6 CONTENTS On a donc démontré le théorème suivant: Théorème 1. Soit f, g : RN → R deux fonctions mesurables tel que f ∈ Lp (RN ) et g ∈ Lq (RN ) avec p1 + 1q = 1 et p, q ∈ [1, +∞]. Alors f ∗ g ∈ (Cb (RN ), ||·||∞ ) et ||f ∗ g||∞ ≤ ||f ||p ||g||q Si de plus 1 < p, q < +∞ alors f ∗ g ∈ C0 (Rn ). 2.2 Cas de l’inégalité de Young Le cas général est présenté dans le théorème suivant: Théorème 2. Soient f ∈ Lp (RN ) et g ∈ Lq (RN ) avec p, q ∈ [1, +∞]. Soit r ∈ [1, +∞] tel que p1 + 1q = 1 + 1r. Alors f ∗ g ∈ Lr (Rn ) avec ||f ∗ g||Lr ≤ ||f ||Lp ||g||Lq (cette inégalité est dite de Young). Remarque 2. On retrouve partiellement dans le théorème 2 le résultat établie dans le théorème 1 en prenant r = +∞. Preuve. Seulement dans le cas où p = 1 et q ∈ [1, +∞]. Soit f ∈ L1 (RN ) et g ∈ Lq (RN ) alors f ∗ g ∈ Lq (RN ) et ||f ∗ g||Lq ≤ ||f ||L1 ||g||Lq. Cas p = 1 et q = 1: f ∈ L1 (RN ) et g ∈ L1 (RN ) On montre d’abord que la fonction (x, y) → f (x − y)g(y) ∈ L1 (RN × RN ). En effet, elle est mesurable puisque f et g le sont, d’autre part Z Rn ×Rn |f (x − y)g(y)|dxdy T onelli = Z RN |g(y)|dy Z RN |f (x − y)|dx ≤ ||f ||L1 ||g||L1. Donc (x, y) → f (x−y)g(y) est intégrable sur RN ×RN , on en déduit par le théorème de Fubini que la fonction x→ Z RN f (x − y)g(y)dy = f ∗ g(x) ∈ L1 (RN ) D’autre part, en utilisant Fubini, on peut écrire ||f ∗ g||L1 = Z RN |f ∗ g(x)|dx = ≤ Z N | ZR Z RN RN ×RN f (x − y)g(y)dy|dx |f (x − y)g(y)|dxdy ≤ ||f ||L1 ||g||L1 Cas où p = 1 et 1 < q ≤ +∞ : Montrons d’abord que presque partout x ∈ RN ; R RN |f (x − y)||g(y)|dy < +∞ c’est 7 3. APPROXIMATION DE L’IDENTITÉ ET SUITE RÉGULARISANTE à dire f ∗ g(x) est bien définie. Soit q ′ tel que 1q + q1′ = 1. On a Z RN |f (x − y)||g(y)|dy = Hölder ≤ On a 1 q =1− 1 q′ Z Rn Z RN Z 1− q1′ 1 RN |f (x − y)| q′ |f (x − y)| q′ q′ |f (x − y)| dy 1′ Z |g(y)|dy q(1− q1′ ) q RN |f (x − y)| q |g(y)| dy 1 q alors 1 = q(1 − q1′ ), donc 1 q′ L1 |f (x − y)||g(y)|dy ≤ ||f || Z |f (x − y)||g(y)| dy q Rn 1 q′ L1 1 q 1 = ||f || (|f | ∗ |g|q (x)) q Maintenant on intègre par rapport à y, il vient ||f ∗ g||qLq = Z RN (|f ∗ g(x)| ) dx = q ≤ Z Z RN RN Z Z RN RN q ′ ≤ ||f ||Lq 1 Z RN f (x − y)g(y)dy q |f (x − y)||g(y)|dy dx q dx (|f | ∗ |g|q )(x)dx q q q ≤ ||f ||q−1 L1 ||f ||L1 |||g| ||L1 = ||f ||L1 |||g| ||L1 Donc ||f ∗ g||Lq ≤ ||f ||L1 ||g||Lq 3 Approximation de l’identité et suite régularisante Définition 2. Soit ϵ > 0 et (fϵ )ϵ une famille de fonctions dans L1 (RN ). La famille (fϵ )ϵ est dite approximation de l’identité si elle vérifie les propriétés suivantes 1. fϵ ≥ 0 et R RN fϵ (x)dx = 1 ∀ϵ > 0. 2. ∀δ > 0 on a lim+ ϵ→0 R |x|≥δ fϵ (x)dx = 0. Comment construire dans la pratique une telle famille? R Soit f ≥ 0 non identiquement nulle, f ∈ L1 (RN ) et soit c = ( RN f (x)dx)−1 > 0. Pour ϵ > 0, on définit fϵ (x) = cϵ−N f ( xϵ ) alors (fϵ )ϵ est une approximation de l’identité, en effet: 1. (fϵ )ϵ > 0 car f > 0. On utilise le changement de variable y = xϵ alors dy = donc Z Z Z x −N −N N fϵ (x)dx = cϵ f ( )dx = cϵ ϵ f (y)dy = 1 ϵ RN RN RN 2. Soit δ > 0, lim+ ϵ→0 Z y= x x ϵ−N f ( )dx =ϵ lim+ f (y)dy = 0 ϵ→0 |y|≥ δϵ ϵ |x|≥δ Z 1 dx ϵN et 8 CONTENTS En effet, presque partout y ∈ RN , on a f (y)1Rn \B(0, δ ) (y) −→+ 0 et |f (y)1Rn \B(0, δ ) (y)| ≤ |f (y)| ∈ L1 (RN ). ϵ→0 ϵ ϵ Le théorème de convergence dominée implique le résultat. Théorème 3. Soit (fϵ )ϵ une approximation de l’identité, on a 1. si f ∈ Cb (RN )(⊂ L∞ (RN )) alors fϵ ∗ f −→+ f uniformément sur tout compact de ϵ→0 RN. 2. Si f ∈ Lp (RN ), 1 ≤ p < +∞, alors fϵ ∗ f −→+ f dans Lp (RN ) 1 ≤ p < +∞. ϵ→0 Preuve. 1. Soit K compact de RN. On va montrer que sup|fϵ ∗ f (x) − f (x)| −→+ 0 ϵ→0 x∈K. fϵ ∗ f ∈ Cb (RN ) = C(RN ) ∩ L∞ (RN ) car fϵ ∈ L1 (RN ) et f ∈ L∞ (RN ). Soit x ∈ K on a Z |(fϵ ∗ f − f )(x)| = | N ZR =| N f (x − y)fϵ (y)dy − Z RN f (x)fϵ (y)dy| (car Z RN fϵ = 1) (f (x − y) − f (x))fϵ (y)dy| ZR ≤| |y| 0, ∃ 0 < δ ≤ 1 ; ∀x, x′ ∈ K |x − x′ | < δ =⇒ |f (x) − f (x′ )| < µ Pour x ∈ K et |y| < δ on a |x − y − x| = |y| < δ =⇒ |f (x − y) − f (x)| < µ D’où |(fϵ ∗ f − f )(x)| ≤ µ Z |y| 0. 2. fϵ ≥ 0 ; R RN fϵ = 1 ; ∀ ϵ > 0. 3. supp fϵ ⊂ B(0; ϵ). Exemple 1. Soit f (x) =  1 e− 1−||x||2 0 si ||x|| < 1 sinon On a bien f ∈ D(RN ) (le montrer!). On a R supp f = B(0; 1) (toujours un fermé !) et f ≥ 0. On définit la suite fϵ (x) = c( 1ϵ )N f ( xϵ ) où c = ( Rn f (x)dx)−1 > 0. Puisque f est une fonction composée de deux fonctions dans C ∞ (RN ) alors fϵ ∈ C ∞ (RN ). supp fϵ ⊂ B(0; ϵ) ? x ∈ supp fϵ ⇒ fϵ ≥ 0 car f ≥ 0 et on R Rn x x ∈ supp f ⇒ ∈ B(0; 1) ⇒ x ∈ B(0; ϵ). ϵ ϵ fϵ (x)dx = 1 (voir le calcul précédent). (fϵ )ϵ est une suite régularisante et une approximation de l’identité par la même construction donnée précédemment. Remarque 3. Souvent on utilise la suite régularisante indexée dans N (i.e. pas la suite généralisée indéxée par ϵ ∈ R∗+ ). Pour cela, on définit simplement ρn = f 1 , n i.e. ϵ = n1 , ( lorsque ϵ → 0+ ; n → +∞). Alors la suite (ρn )n∈N est une suite régularisante mais cette fois supp ρn ⊂ B(0, n1 ) et ρn (x) = cnN f (nx). On verra dans le paragraphe suivant l’importance d’une telle suite et pourquoi est appellée suite régularisante (voir aussi l’appendice pour une l’utilisation de ce genre de suite). 10 4 CONTENTS Convolution et dérivation Dans ce paragraphe, nous allons donner une règle de dérivation du produit de convolution. Notations: ∂ 0 = Id, i.e. ∂ 0 g = g et C 0 (RN ) = C(RN ) pour α = (α1 ,..., αN ) ∈ NN un N − uplet, on note ∂ α g(x) = |α| = N X αi ∂ |α| g avec ∂ α1 x1 ∂ α2 x2...∂ αN xN et pour β ∈ NN α + β = (α1 + β1 ,..., αN + βN ). i=1 Exemple 2. Pour N = 2 , et α = (1, 3), |α| = 4 alors ∂ (1,3) f = ∂4f. ∂x1 ∂ 3 x2 Définition 4. On définit l’espace Cbk (RN ) = { g ∈ C k (RN ) et ∂ α g ∈ L∞ (RN ) , 0 ≤ |α| ≤ k} On peut énnoncer maintenant le théorème concernant la dérivation du produit de convolution. Théorème 4. Si f ∈ L1 (RN ) et g ∈ Cbk (RN ) alors f ∗ g ∈ Cbk (RN ) et on a la formule de dérivation ∂ α (f ∗ g)(x) = (f ∗ ∂ α g)(x) ∀x ∈ RN (1) Exemple 3. soit f ∈ L1 (R), on a (e −y 2 −y 2 ∗ f ) (x) = (−2ye ′ ) ∗ f (x) = −2 Z 2 (x − y)e−(x−y) f (y) dy. R Preuve. Constatons d’abord que la fonction f ∗ ∂ α g est toujours bien définie ∀ |α| ≤ k et elle est Cb (RN ). En effet, f ∈ L1 (RN ) et ∂ α g ∈ L∞ (RN ) alors f ∗∂ α g ∈ Cb (RN ). Pour montrer que f ∗ g ∈ Cbk (RN ) il suffit de le montrer pour k = 1 puis par récurrence on démontre que le résultat est vrai pour n’importe quel k. En effet si le théorème est vrai pour k = 1, on suppose qu’il est vrai à k − 1 c’est à dire pour f ∈ L1 (RN ) et g ∈ Cbk−1 (Rn ) alors f ∗ g ∈ Cbk−1 (Rn ) et ∂ α (f ∗ g)(x) = (f ∗ ∂ α g)(x) , |α| ≤ k − 1. Démontrons le pour k. Soit f ∈ L1 (RN ) et g ∈ Cbk (RN ). Soit β = α + 1i = (α1 ,..., αi + 1,..., αn ) avec α = (α1 ,..., αn ) et 1i = (0,..., 1,...0) où 11 4. CONVOLUTION ET DÉRIVATION l’ième terme est 1. Alors si on prend |α| = k − 1 donc |β| = |α| + 1 = k − 1 + 1 = k. Maintenant on écrit H.R k−1 ∂ β (f ∗ g)(x) = ∂xi ∂ α (f ∗ g)(x) = ∂xi (f ∗ ∂ α g)(x) k=1 = (f ∗ ∂xi ∂ α g)(x) = (f ∗ ∂ β g)(x) ∈ Cb (RN ) ∀|β| ≤ k D’où f ∗ g ∈ Cbk (RN ). Remarque 4. ∂ |α| ∂ ∂ |β|=|α|+1i = ∂ α1 x1 ∂ α2 x2...∂xαii +1...∂ αn xn ∂xi ∂ α1 x1 ∂ α2 x2...∂xαii...∂ αn xn Remarque 5. Si f ∈ L1 (RN ) et g ∈ Cbk (RN ), la règle de dérivation (1) permet de voir que f ∗ g ∈ Cbk (RN ). En fait, ∂ α (f ∗ g)(x) = (f ∗ ∂ α g)(x) et comme f ∈ L1 (RN ) et ∂ α g ∈ Cb (R) ⊂ L∞ alors (f ∗ ∂ α g) ∈ Cb (R) ∀|α| ≤ k. Pour finir la preuve, montrons le cas k = 1. Pour cela on va montrer que ∂xi (f ∗ g) existe et vaut f ∗ ∂xi g ∀i = 1,..., N , et le théorème 1 implique que f ∗ ∂xi g ∈ Cb (RN ) On va utiliser le théorm̀e de dérivation sous le signe intégral (somme). Rappel: Théorème 5. Soit I =]α, β[⊂ R et Ω ⊆ RN un ouvert. Soit f: Ω×I →R (x, λ) → f (x, λ) On suppose 1. x → f (x, λ) intégrable ∀λ ∈ I. 2. λ → f (x, λ) dérivable presque partout x ∈ Ω. 3. sup λ ∂f (x, λ) ≤ h(x) avec h ∈ L1 (Ω) ∂λ Alors la fonction g(λ) = Z Ω f (x, λ)dx est dérivable avec g (λ) = ′ Z Ω ∂f (x, λ)dx ∂λ. Appliquons ce théorème à x = (x1 ,..., xn ) → f ∗ g(x): f ∗ g(x) = Z RN f (x − y)g(y)dy = Z RN f (y)g(x − y)dy 1. y → f (y)g(x − y) ∈ L1 (RN ) car f ∈ L1 (Rn ) et g ∈ Cb1 (RN ). 12 CONTENTS 2. x → f (y)g(x − y) est différentiable presque partout y ∈ RN car x → g(x − y) est différentiable ( car g ∈ Cb1 (Rn )). 3. On a ∂f (y)g(x−y) ∂x i = f (y) ∂g(x−y) On en déduit que sup ∂x i L1 (RN ). xi ∈R ∂f (y)g(x−y) ∂x i ≤ |f (y)| ∂g ∂xi ∈ ∞ Maintenant le théorème de dérivation implique que f ∗ g est dérivable par rapport à xi et ∂xi (f ∗ g)(x) = Z RN f (y)∂xi g(x − y)dy = f ∗ ∂xi g(x) ∈ Cb (RN ) Par suite f ∗ g ∈ Cb1 (RN ) et ∂xi (f ∗ g)(x) = f ∗ ∂xi g(x). Dans le cas d’une suite régularisante, une conséquence importantes des théorème 3 et 4 est la proposition suivante: Proposition 2. Soit (ρϵ )ϵ une suite régularisante, on a 1. si f ∈ Cb (RN )(⊂ L∞ (RN )) alors ∀ α ∈ NN , ∂ α (ρϵ ∗ f ) = ∂ α ρϵ ∗ f −→+ f uniforϵ→0 mément sur tout compact de RN. 2. Si f ∈ Lp (RN ), 1 ≤ p < +∞ alors ∀ α ∈ NN , ∂ α (ρϵ ∗ f ) = ∂ α ρϵ ∗ f −→+ f dans ϵ→0 Lp (RN ) Remarque 6. En fait, dans l’appendice on peut voir que dans 1. on peut supposer N f ∈ C(R ) seulement, sans qu’elle soit bornée (cela provient du fait que la suite régularisante est à support compact). C’est du théorème 2 que la suite régularisante tire son nom! En effet, par convolution avec f permet d’obtenir une suite très régulière, C ∞ et par les rérultats de convergences vers f , cette suite régulière constitue une approximation de la fonction f. 1 1.1 Appendice: Compléments. Théorème des translations de Lebesgue. Théorème 6. Soit f ∈ Lp (RN ) et p ∈ [1, +∞[. Alors τh :RN → Lp (RN ) h → τh f est continue, où τh f (x) = f (x + h) translatée de f c’est à dire lim Z |k|→0 RN |τh0 +k f (x) − τh0 f (x)|p dx = 0 13 1. APPENDICE: COMPLÉMENTS. Remarque 7. Ceci équivalent à dire que lim Z |h|→0 RN |τh f (x) − f (x)|p dx = 0 En effet, si on utilise le changement de variable X = x + h0 , on obtient lim Z |k|→0 RN |τh0 +k f (x) − τh0 f (x)|p dx = lim Z = lim Z = lim Z |k|→0 RN |k|→0 |k|→0 1.2 RN RN |f (x + h0 + k) − f (x + h0 )|p dx |f (X + k) − f (X)|p dX |τk f (x) − f (x)|p dx. Compléments sur la convolution 1. Cc (RN ) ∗ L1loc (RN ) Définition 5. L1loc (RN ) = { f : Ω → K(ou C) / f 1K ∈ L1 (Ω) ∀ K ⊂ Ω compact} Lorsque f ∈ L1loc on dit que f est localement intégrable sur Ω. Théorème 7. Soit f ∈ Cc (RN ) et g ∈ L1loc (RN ). Alors f ∗ g est bien définie et appartient à C(RN ). Preuve. On a f ∗ g(x) = RN f (x − y)g(y)dy, or supp f est compact et y → f (x − y) est continue et a pour support { x} − supp f qui est compact aussi (la somme de deux compacts est un compact) donc R Z |f ∗ g(x)| ≤ sup f (x) { x} − supp f |g(y)|dy < +∞ Ce qui implique que f ∗ g(x) est bien défini pour tout x. Pour finir de démontrer le théorème 7, il reste à montrer que f ∗ g est continue., ce qui peut se faire en utilisant le fait que f est uniformément continue (continue à support compact) et pour x fixé la fonction y −→ g(y)1{x− supp f } ∈ L1. 2. Cck (RN ) ∗ L1loc (RN ) , k ∈ N Rappel: Cck (Ω) = { f : Ω → R ( ou C ) / f ∈ C k (Ω) et supp f est compact dans Ω} On peut adapter la proposition 2 au cas de convolution présent et on a une proposition similaire Proposition 3. Soit f ∈ Cck (RN ) et g ∈ L1loc (RN ) alors (a) f ∗ g ∈ C k (RN ) (b) ∂ α (f ∗ g) = (∂ α f ) ∗ g ; |α| ≤ k. 14 CONTENTS Notation: Pour α ∈ NN N-uplet ou N-multindice, α = (α1...αN ) et |α| = On note ∂ α = N P αi. i=1 ∂ |α| f. ∂ α1 x1 ,...,∂ αN xN Rappelons que pour k = +∞, on note Cc∞ (Ω) = D(Ω) = { f ∈ C ∞ (Ω) et supp f est compact dans Ω} Si f ∈ D(RN ) et g ∈ L1loc (RN ) alors, par le théorème (3) f ∗ g ∈ C ∞ (RN ) et on a ∂ α (f ∗ g) = ∂ α (f ) ∗ g ; ∀α ∈ NN Proposition 4. Soit (fn )n suite régularisante. (a) Si u ∈ C(RN ); alors fn ∗ u −→ u uniformément sur tout compact de RN. n→+∞ (b) Si u ∈ L (R ); alors fn ∗ u −→ u dans Lp (RN ) ; ∀1 ≤ p < +∞. p N n→+∞ Preuve. C’est une simple adaptation de la preuve de la proposition 2. Remarque 8. Comme fn ∗u ∈ C ∞ (RN ). Cette proposition dit qu’on peut approcher les fonctions de C(RN ) et Lp (RN ); ∀1 ≤ p < +∞ par une suite de fonctions C ∞ (RN ). Rappel: Nous avons la proposition suivante : Proposition 5. D(Ω) est dense dans Lp (Ω) ; 1 ≤ p < +∞. Pour démontrer cette proposition, nous allons utiliser que Cc (Ω) est dense dans Lp (Ω) ; 1 ≤ p < +∞. Remarque 9. La proposition 5 constitue une améllioration du résultat qu’on connait déjà! Preuve. On sait que Cc (Ω) est dense dans Lp (Ω) ; 1 ≤ p < +∞. Pour montrer que D(Ω) est dense dans Lp (Ω), il suffit de montrer que : si f ∈ Cc (Ω) alors ∀ϵ > 0; ∃fϵ ∈ D(Ω)/||f − fϵ ||Lp (Ω) ≤ ϵ. Soit f ∈ Cc (Ω) et montrons qu’il existe (fn ) ⊂ D(Ω) tel que fn → f dans Lp (Ω). On va utiliser une suite régularisante (fn )n∈N. Soit ∼  f (x) f (x) =  ∼ 0 si x ∈ Ω sinon ∼ Soit f n = fn ∗ f. On a ∼ ∼ ∼ 1 suppf n ⊂ suppfn + suppf = B(0; ) + suppf n 15 1. APPENDICE: COMPLÉMENTS. ∼ ∼ ∼ Donc (f n )n ⊂ D(RN ) ,→ Lp (RN ), par la Proposition 4 : f n −→ f dans Lp (RN ). ∼ n→+∞ ∼ Soit fn = f n|Ω , or suppf = suppf qui est compact de Ω, alors 1 ∃ n0 > 0 / sin ≥ n0 , B(0; ) + suppf ⊂ Ω. n Par exemple, dans le cas où N = 1: 1 1 1 + [c, d] ⊂]a, b[ B(0; ) + suppf = − , n n n Pour n assez grand suppfn ⊂ Ω donc (fn ) ⊂ D(Ω). ∼ ∼ ∼ ∼ ||fn − f ||Lp (Ω) = ||f n|Ω − f ||Lp (Ω) ≤ ||f n − f ||Lp (RN ) −→ 0 n→+∞ 1.3 Fonction plateau ( ou Cut-off function ) Proposition 6. Soit Ω un ouvert de RN et K compact de Ω et O un ouvert de Ω tel que K ⊂ O et O ⊂ Ω. Alors il existe θ ∈ D(Ω) tel que 1. θ ≡ 1 sur K. 2. θ ≡ 0 sur ∁Ω O 3. 0 ≤ θ ≤ 1 sur Ω. Preuve. Étape 1: Soit Ω ⊂ RN , pour K ⊂ Ω; on définit Kϵ = { x ∈ RN , d(x, K) ≤ ϵ}. Kϵ est fermé et borné donc compact. (Kϵ )ϵ est croissante i.e. K = K0 ⊂ Kϵ ⊂ K2ϵ alors ∃θϵ ∈ D(RN ) tel que 1. 0 ≤ θϵ ≤ 1 2. θϵ ≡ 1 sur K 3. θϵ ≡ 0 sur ∁RN K2ϵ En effet 1. On définit θϵ (x) = ρϵ ∗ 1Kϵ (x) où (ρϵ )ϵ > 0 est une suite régularisante alors θϵ ∈ D(RN ) car : ρϵ ∈ D(RN ) alors ρϵ ∗ 1Kϵ ∈ C ∞ (RN ), d’autre part suppθϵ = suppρϵ ∗ 1Kϵ ⊂ suppρϵ + supp1Kϵ ⊂ B(0, ϵ) + supp1Kϵ = B(0, ϵ) + Kϵ compact 2. Z RN θϵ (x)dx = Z RN ρϵ (x − y)1Kϵ (y)dy ≤ 3. ρϵ ≥ 0 car 0 ≤ θϵ ≤ 1 Z RN ρϵ (x − y)dy = Z RN ρϵ (x)dx = 1 16 CONTENTS 4. Soit x ∈ K alors d(x, K) = 0, d’autre part 1= Z RN ρϵ (x − y)dy = Z Kϵ ρϵ (x − y)dy + = θϵ (x) + Z RN /Kϵ Z RN /Kϵ ρϵ (x − y)dy ρϵ (x − y)dy Par définition de Kϵ : dans A, y ∈ RN /Kϵ alors d(y, K) > ϵ donc |x − y| ≥ |d(y, K) − d(x, K)| = |d(y, K)| > ϵ D’où ρϵ (x − y) = 0 ∀x ∈ K et y ∈ RN /Kϵ , et donc suite θϵ ≡ 1 sur K. R RN /Kϵ ρϵ (x − y)dy = 0 par 5. Soit x ∈ ∁RN K2ϵ alors d(x, K) > 2ϵ. Dans l’intégrale θϵ (x) = Kϵ ρϵ (x − y)dy, y ∈ Kϵ alors d(y, K) ≤ ϵ et donc ϵ < |d(x, k) − d(y, K)| ≤ d(x, y) = |x − y| On peut déduire ρϵ (x − y) = 0 ∀y ∈ Kϵ d’où θϵ (x) = 0. R Étape 2: Soit Ω un ouvert de RN et K compact de Ω et O un ouvert de Ω tel que K ⊂ O et O ⊂ Ω. Or comme K compact et ⊂ O qui est ouvert, il existe alors ϵ ∈]0, 1[ tel que K2ϵ ⊂ O. Soit θ = θ2ϵ alors cette fonction convient.

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