40 Questions
Quelle est la propriété de la fonction f ∗ g?
Elle est à la fois continue et bornée sur RN.
Quelle est la condition pour que f ∗ g ∈ C0 (Rn )?
1 < p, q < +∞
Qu'est-ce qui est dense dans Lp (Rn ) pour tout 1 ≤ p < +∞?
Cc (Rn )
Quelle est la propriété de la fonction fn ∗ gn?
Elle est à support compact
Quelle est la norme sur Cb (Ω)?
||f||∞ = sup|f(x)|
Quel est le résultat obtenu en utilisant la proposition 4 ?
fn converge vers f dans Lp(RN)
Qu'est-ce que Cc(Ω) est dense dans ?
Lp(Ω) pour 1 ≤ p < +∞
Qu'est-ce que la suite (fn) est utilisée pour montrer ?
La densité de D(Ω) dans Lp(Ω)
Qu'est-ce que représente le support compact supp f ?
L'ensemble des points où f est non nul
Qu'est-ce que la fonction plateau est utilisée pour ?
Définir la fonction de cutoff
Quel est le support de la fonction $f(x-y)$ lorsque le support de $f$ est compact ?
Compact et égal à $x$ - supp $f$
Soit $f$ une fonction continue à support compact et $g$ une fonction de $L^1_{loc}(ℝ^n)$. Quel est le résultat de la convolution $f ∗ g$ ?
Une fonction continue et à support compact
Soit $f$ une fonction de $C^k(ℝ^n)$ et $g$ une fonction de $L^1_{loc}(ℝ^n)$. Quel est le résultat de la convolution $f ∗ g$ ?
Une fonction de $C^k(ℝ^n)$
Soit $(f_n)$ une suite régularisante et $u$ une fonction de $C(ℝ^n)$. Quel est le résultat de la convolution $f_n ∗ u$ lorsque $n$ tend vers l'infini ?
La convolution tend vers $u$ uniformément sur tout compact de $ℝ^n$
Soit $f$ une fonction de $D(ℝ^n)$ et $g$ une fonction de $L^1_{loc}(ℝ^n)$. Quel est le résultat de la convolution $f ∗ g$ ?
Une fonction de $C^∞(ℝ^n)$
Pourquoi fn ∗ gn est compact dans ℜn ?
Parce que supp fn ⊂ B(0, R1) et supp gn ⊂ B(0, R2)
Quelle est la propriété de la suite de fonctions fn ∗ gn ?
Elle converge uniformément vers f ∗ g
Quel est le rôle du lemme 1 dans la preuve ?
De montrer que C0(RN) est un sous-espace fermé de Cb(RN)
Pourquoi fn ∗ gn −→ f ∗ g dans (Cb(RN), ||·||∞) ?
Parce que fn ∗ gn converge uniformément vers f ∗ g
Quelle est la condition pour que f ∗ g appartienne à C0(RN) ?
f et g appartiennent à Lp(RN) et Lq(RN) respectivement
Quelle propriété est satisfaite par la suite régularisante ?
Elle est à support compact
Quelle est la propriété de la fonction obtenue par convolution de f ∈ Lp (RN ) avec une fonction régularisante ?
Elle est régulière et appartient à C∞
Quelle est la propriété de la fonction f ∈ L1loc (RN ) ?
Elle est localement intégrable
Quelle est la propriété de la convolution de deux fonctions ?
Elle est commutative
Quelle est la propriété de la translation τh de la fonction f ∈ Lp (RN ) ?
Elle est uniformément continue
Quelle est la propriété de la fonction g(λ) obtenue en appliquant le théorème 5 ?
Elle est dérivable
Quel est le résultat de la convolution de deux fonctions f et g ?
f ∗ g ∈ Cb (RN)
Quelle est la condition pour que ρϵ ∗ f converge uniformément vers f ?
f ∈ Cb (RN)
Quel est le domaine de définition de la fonction f ∗ g ?
RN × I
Quelle est la propriété de la fonction ∂xi (f ∗ g) ?
Elle est bornée
Quel est le théorème utilisé pour dériver sous le signe intégral ?
Théorème 5
Quelle est la propriété de la suite régularisante (ρϵ ) ?
Elle est uniformément convergente
Quelle est la condition pour que f ∗ g soit dérivable ?
f ∈ L1 (RN) et g ∈ Cb (RN)
Quel est le résultat de la convolution de deux fonctions f et g en utilisant le théorème 5 ?
f ∗ g ∈ Cb (RN)
Quelle est la propriété de la fonction f ∗ ∂xi g ?
Elle est bornée
Si $f$ est une fonction continue bornée sur $\mathbb{R}^N$, alors $f_\epsilon \ast f$ converge uniformément vers $f$ sur tout compact de $\mathbb{R}^N$.
toujours
Si $f$ est une fonction intégrable sur $\mathbb{R}^N$, alors $f_\epsilon \ast f$ converge vers $f$ dans $L^p(\mathbb{R}^N)$ pour $1 \leq p < +\infty$.
toujours
Si $f$ est une fonction à support compact dans $\mathbb{R}^N$, alors $f_\epsilon$ a également un support compact.
toujours
Si $f$ est une fonction continue sur $\mathbb{R}^N$, alors $f_\epsilon \ast f$ converge vers $f$ uniformément sur tout compact de $\mathbb{R}^N$.
toujours
Si $f$ est une fonction à support compact dans $\mathbb{R}^N$, alors $f_\epsilon$ converge vers $f$ dans $L^p(\mathbb{R}^N)$ pour $1 \leq p < +\infty$.
toujours
Quiz sur les mathématiques, portant sur les opérations de convolution, les fonctions continues et bornées sur Rn.
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