Probabilité - Chapitre 3 - PDF

Unité d’acquis d’apprentissage II : Probabilité Chapitre 3 : Probabilité Entre le pur hasard et la certitude se situe le probable. C’est le jeu de dés qui en a fourni l’image la plus frappante et par là le vocabulaire le plus familier : le terme « hasard ». En effet, en ara...

Unité d’acquis d’apprentissage II : Probabilité Chapitre 3 : Probabilité Entre le pur hasard et la certitude se situe le probable. C’est le jeu de dés qui en a fourni l’image la plus frappante et par là le vocabulaire le plus familier : le terme « hasard ». En effet, en arabe, az zarh signifie « jeu de dés » et en latin, alea signifie « coup de dé ». Va-t-il pleuvoir demain ? Vais-je gagner au tiercé organisé lors de la fête de l’école ? Il n’y a pas de réponse définie à ces questions. On peut seulement répondre en termes de probabilité. Dans ce chapitre, nous allons exploiter le calcul des probabilités pour analyser une expérience aléatoire. 1. Probabilité expérimentale ou statistique Activités Œ Voici un extrait d’un annuaire statistique. Source : Direction générale Statistique et Information économique – Service Démographie. Si on tire au hasard le nom d’un enfant né en Belgique en 2005, la probabilité qu’il s’agisse d’un garçon est de …… D’après ces statistiques, en 2005, la probabilité d’avoir un garçon en Région wallonne est de …… UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 1   On a lancé un dé un très grand nombre de fois et noté, au fur et à mesure, le numéro de la face supérieure. Voici les résultats obtenus : On constate que............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... Cette fréquence limite s’appelle probabilité. Ž Le lièvre et la tortue Le jeu du lièvre et de la tortue se joue avec un dé. La règle du jeu est la suivante : - Si le 6 sort, le lièvre gagne ; - Si c’est un autre nombre, la tortue avance d’une case. Il faut donc qu’aucun 6 ne survienne pendant 6 lancers pour que la tortue gagne. a) A ton avis, qui du lièvre ou de la tortue a le plus de chances de gagner ? b) 6 joueurs ont joué chacun 20 parties. Voici les résultats qu’ils ont obtenus : Gagnant Répétition Total Lièvre 16 12 16 14 12 13 Tortue 4 8 4 6 8 7 c) D’après ce tableau, la probabilité que le lièvre gagne est....................................... d) D’après ce tableau, la probabilité que la tortue gagne est...................................... e) Les prévisions sont-elles vérifiées ? UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 2 2. Probabilité intuitive Cherchons maintenant à déterminer des probabilités, sans expérimentation préalable. a. Activités Œ On tire 1 carte d’un paquet de 32 cartes et on note la couleur (cœur, carreau, pique ou trèfle). Utilise un des 3 adjectifs « possible », « certain » ou « impossible » pour qualifier les résultats suivants : Obtenir pique ou trèfle........................................ Obtenir carreau........................................ Obtenir pique, trèfle, cœur ou carreau........................................ Obtenir pique et cœur........................................  On lance un dé à 6 faces et on note le point de la face supérieure. Il y a...... résultats possibles :............................................................................................ Quelle chance a-t-on d’obtenir la sortie du point 6 ?....................................................... Quelle chance a-t-on d’obtenir la sortie d’un autre point que le point 6 ?.............................................. UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 3  b. Définitions 1. Une expérience aléatoire est une expérience : § qu’on peut répéter à volonté dans les mêmes conditions ; § dont on peut décrire, avant l’expérience, tous les résultats possibles ; § dont le résultat réellement observé est imprévisible et dû au hasard. 2. L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire est appelé catégorie d’épreuves et est noté W. 3. Un événement d’une expérience aléatoire est un ensemble de résultats possibles. On utilise une lettre majuscule pour le noter. Exemples : A, B, … 4. Un événement élémentaire est un événement composé d’un seul résultat possible. 5.Un événement est réalisé dès qu’on obtient un des résultats favorables à cet événement. 6. Un événement qui ne se réalise jamais est impossible. On le note Æ. 7. Un événement qui se réalise toujours est certain. Dans ce cas, A = W. Exemples : 1) Expérience aléatoire : lancer un dé à 6 faces non truqué et noter le point de la face supérieure. Catégorie d’épreuves : W = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } nombre de résultats possibles : …. Un événement élémentaire : A = { 2 } ou B = { 5 } Quelques événements de W : C : « obtenir un multiple de 3 » C = { 3, 6 } nombre de résultats favorables : …. D : « obtenir un impair » D = { 1, 3, 5 } nombre de résultats favorables : …. UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 4  Rappel du contenu d’un jeu de cartes Teintes Couleurs Figures Valeurs (32 Valeurs (52 cartes) cartes) rouge, carreau, cœur, valet, 7, 8, 9, 10, noir pique, dame, v, d, r, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, trèfle roi as 10, v, d, r, as 2) Expérience aléatoire : choisir une carte dans un jeu bien mélangé de 32 cartes. Catégorie d’épreuves : W = {................................................ } nombre de résultats possibles :..... Des événements de W : A : « obtenir une carte rouge » nombre de résultats favorables :... B : « obtenir un cœur» nombre de résultats favorables :... C : « obtenir un as » nombre de résultats favorables : … D : « obtenir une figure » nombre de résultats favorables : … UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 5 c. Détermination d’une probabilité Nous avons vu au début du chapitre que si dans les mêmes conditions, on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence relative d’un événement se rapproche de plus en plus d’une valeur qui se « stabilise ». Cette valeur limite est définie comme la probabilité expérimentale de l’événement. On peut cependant, dans certaines expériences, connaître la probabilité d’un événement sans expérimentation préalable. On dit alors que la probabilité est intuitive. Exemples : 1) Lorsqu’on lance un dé non truqué, toutes les faces ont la même « chance » d’apparaître.. 𝟏 La probabilité de chacune des faces 6 est 𝟔 2) Lorsqu’on choisit au hasard 1 carte dans un jeu de 32 cartes bien mélangé, toutes les cartes ont la même « chance » d’être tirée. Considérons l’événement A : « obtenir un cœur ». La probabilité ! de l’événement A est P(A) = "# Si tous les événements élémentaires d’une expérience aléatoire ont la même chance d’apparaître, on dit qu’ils sont équiprobables. Dans ce cas, la probabilité d’un événement A est donnée par : 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑃 (𝐴 ) = 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 Exemples : 1) Expérience aléatoire : lancer une pièce de monnaie non truquée. Catégorie d’épreuves (résultats possibles) : W = { …..……………….… } nombre de résultats possibles : … Tous les événements élémentaires sont-ils équiprobables ?............. Evénement : A : « obtenir Pile » Résultat favorable : … nombre de résultats favorables : … P(A) = …. UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 6 2) Expérience aléatoire : lancer un dé à 6 faces, non truqué et noter le point de la face supérieure. Catégorie d’épreuves (résultats possibles) : W = {............................... } nombre de résultats possibles :..... Tous les événements élémentaires sont-ils équiprobables ?............. Evénement : A : « obtenir un impair » Résultats favorables :.......................................................... nombre de résultats favorables :... P(A) = …. 3) Expérience aléatoire : tirer une boule au hasard dans une urne qui contient 20 boules numérotées de 1 à 20, indiscernables au toucher et noter son numéro. Catégorie d’épreuves (résultats possibles) : W = {............................... } nombre de résultats possibles :..... Tous les événements élémentaires sont-ils équiprobables ?............. Evénement : A : « obtenir une boule marquée d’un nombre impair » Résultats favorables :.......................................................... nombre de résultats favorables :... P(A) = …. Evénement : B : « obtenir une boule marquée d’un nombre divisible par 6 » Résultats favorables :.......................................................... nombre de résultats favorables :... P(B) = …. Evénement : C : « obtenir une boule marquée d’un nombre composé de deux chiffres » Résultats favorables :.......................................................... nombre de résultats favorables :... P(C) = …. UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 7 4) Expérience aléatoire : tirer une boule au hasard dans une urne qui contient 4 boules bleues, 4 boules rouges et 4 boules blanches, indiscernables au toucher et noter sa couleur. Catégorie d’épreuves (résultats possibles) : W = {............................. } nombre de résultats possibles :..... Tous les événements élémentaires sont-ils équiprobables ?............. Evénement : A : « obtenir une boule rouge » Résultats favorables :.......................................................... nombre de résultats favorables :... P(E) = …. Exercice 1 On lance un dé à 12 faces, non truqué, et on observe la face supérieure. a) Complète : W = {................................................................................ } nombre de résultats possibles :............... b) Complète afin de calculer la probabilité des événements suivants : A : « obtenir un 6 » Résultats favorables :........................................ nombre de résultats favorables :..... P(A) = …. B : « obtenir un nombre pair » Résultats favorables :........................................ nombre de résultats favorables :..... P(B) = …. C : « obtenir un nombre strictement inférieur à 5 » Résultats favorables :........................................ nombre de résultats favorables :..... P(C) = …. D : « obtenir un nombre supérieur ou égal à 10 » Résultats favorables :........................................ nombre de résultats favorables :..... P(D) = …. E : « ne pas obtenir 12 » Résultats favorables :........................................ nombre de résultats favorables :..... P(E) = …. UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 8 d. Définition de nouveaux événements Exemple d’introduction Un professeur a réalisé un sondage dans sa classe de rhétos afin de connaître le nombre d’élèves possédant un véhicule à moteur. Chaque élève a placé une croix dans le diagramme ci-contre selon le type de véhicule qu’il possède. La représentation ainsi obtenue s’appelle un diagramme de Venn. a) Compte le nombre de croix dessinées dans chaque zone et remplace-les par leur nombre dans … … … le schéma ci-contre. … b) Si tous les élèves étaient présents lors du sondage combien d’élèves 1°) sont dans cette classe …… 2°) possèdent une voiture …… 3°) possèdent une moto …… 4°) possèdent une voiture et une moto …... 5°) possèdent une voiture ou une moto …… 6°) ne possèdent pas de voiture …… 7°) ne possèdent ni voiture, ni moto …… 8°) possèdent une moto mais pas de voiture …… UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 9 c) Soit la catégorie d’épreuves W , l’ensemble des élèves de la classe, l’événement A, l’ensemble des élèves possédant une voiture, l’événement B, l’ensemble des élèves possédant une moto. Examine chaque illustration et décris l’événement que la zone grise représente : W est l’ensemble des élèves................................................................................ A est l’ensemble des élèves............................................................................... A \ B est l’ensemble des élèves................................................................................ 𝐴̅ est l’ensemble des élèves............................................................................. A et B est l’ensemble des élèves............................................................................. A ou B est l’ensemble des élèves............................................................................. A ou B est l’ensemble des élèves............................................................................. UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 10  Définitions Considérons deux événements A et B dans W. a) L’événement A se réalise l’événement A ne se réalise pas. L’événement 𝑨8 est le complémentaire de l’événement A dans W. b) L’événement A et B se réalise A et B les événements A et B se réalisent simultanément. c) L’événement A ou B se réalise A ou B l’événement A ou l’événement B ou les deux se réalisent. d) L’événement A \ B (lu A moins B) se réalise A\B l’événement A se réalise et l’événement B ne se réalise pas. UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 11 Exemple : Expérience aléatoire : on lance un dé à 16 faces et on observe le nombre de la face supérieure. Evénements : A : « obtenir un nombre pair » B : « obtenir un nombre impair » C : « obtenir un nombre multiple de 5 » D : « obtenir un nombre multiple de 6 » W = {.................................................................................................................... } A : «...................................................................................................................................... » A = {............................................................................................ } A et C : «............................................................................................................................... » A et C = {..................................................................................... } A \ C : «................................................................................................................................. » A \ C = {....................................................................................... } C \ A : «................................................................................................................................. » C \ A = {....................................................................................... } B ou D : «.............................................................................................................................. » B ou D = {.................................................................................... } UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 12 Exercice 2 Voici des données récoltées dans une école secondaire. On appelle W l’ensemble des rhétos F l’ensemble des filles de rhéto V l’ensemble des élèves inscrits au voyage des rhétos. a) Complète le tableau à double entrée ci-dessous F F : «......................... » Totaux V … … … V : «..................................................... » … … … Totaux … … … b) On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité que l’élève choisi soit c) 1°) inscrit au voyage ? P(.......... ) = … 2°) un garçon ? P(.......... ) = … 3°) une fille non inscrite au voyage ? P(......) = … 4°) un garçon non inscrit au voyage ? P(......) = … Exercice 3 Dans un village, 1400 habitants ont participé à une enquête. Il leur était demandé s’ils étaient pour ou contre la pose d’une antenne relais GSM sur le toit de l’école primaire. On appelle W : l’ensemble des habitants qui ont participé à l’enquête A : l’ensemble des habitants situés à 2 km ou moins de l’école B : l’ensemble des habitants POUR la pose de l’antenne. UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 13 Voici les résultats. B B : «.........................................» Totaux A 14 306 320 A : «..................................... » 140 940 1080 Totaux 154 1246 1400 a) Complète le diagramme de Venn ci-contre. A B … … … W b) Un habitant est tiré au sort pour une interview au journal télévisé. Calcule la probabilité que cet habitant appartienne à chacun des événements suivants : P(A) = P (A et B) = P (𝐴̅) = P (A \ B ) = P(B) = P (A ou B) = P ( 𝐵$ ) = UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 14 e. Propriétés des probabilités 1. La probabilité d’un événement est toujours comprise entre 0 et 1. 2. Si A est l’événement impossible, alors P(A) = 0 3. Si A est l’événement certain, alors P(A) = 1 Exemples : Expérience aléatoire : lancer un dé à 6 faces non truqué et noter le point de la face supérieure. 1) Soit l’événement A : « obtenir 8 » A = ….. A est un événement …………………… P(A) = ….. 2) Soit l’événement. B : « obtenir un point compris entre 1 et 6 » B = ….. B est l’événement …………………… P(B) = ….. 4. Si A et B sont des événements quelconques, alors P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A et B). 5. Si A et B sont des événements incompatibles, alors P(A ou B) = P(A) + P(B). 6. Si A et B sont des événements contraires, alors P(B) = 1 – P(A) et P(A) = 1 – P(B). Exemples : Dans un jeu bien mélangé de 32 cartes, on choisit une carte au hasard. Si A : « obtenir une dame » B : « obtenir un 7 cœur cœur » dame de carreau dame de pique dame 8 cœur 9 cœur dame de trèfle C : « obtenir un de cœur 10 cœur valet cœur roi trèfle » cœur as cœur 1) Calculons P(A ou B) toutes les autres cartes du jeu de 32 Le diagramme de Venn ci-contre permet de voir que P(A) = …… P(B) = …… P(A ou B) = …… Ainsi, P(A) + P(B) = …… Complète : P(A ou B).…… P(A) + P(B). Explication :............................................................................... On dit que les événements A et B sont des événements quelconques. UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 15 2) Calculons P(B ou C) Le diagramme de Venn ci-contre permet de voir que 7 cœur 8 cœur 7 trèfle 8 trèfle 9 cœur 10 cœur valet cœur 9 trèfle 10 trèfle dame cœur valet trèfle P(B) = ….. P(C) = ….. P(B ou C) = ….. roi cœur dame trèfle as cœur roi trèfle as trèfle Ainsi, P(B) + P(C) = ………………………….. toutes les autres cartes du jeu de 32 cartes Complète : P(B ou C).. P(B) + P(C). Explication : l’événement (B et C) est........................................................... On dit que les événements B et C sont des événements incompatibles UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 16 Exemples : 1) Dans un jeu bien mélangé de 32 cartes, on tire une carte au hasard. Quelle est la probabilité d’obtenir une carte rouge ou un as ? Nombre de résultats possibles : …. A : « obtenir une carte rouge » nombre de résultats favorables : …. B : « obtenir un as » nombre de résultats favorables : …. A et B : « obtenir …………………………………………….. » Nombre de résultats favorables : …. Dans ce cas, les événements A et B sont ………………………. P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A et B) = ………………………. 2) Dans un jeu bien mélangé de 32 cartes, on tire une carte au hasard. Quelle est la probabilité d’obtenir un as ou un roi ? Nombre de résultats possibles : …. A : « obtenir un as » nombre de résultats favorables : …. B : « obtenir un roi » nombre de résultats favorables : …. A et B : « obtenir …………………………………………….» nombre de résultats favorables : …. Dans ce cas, les événements A et B sont ………………………. P(A ou B) = P(A) + P(B) = ………………………. UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 17 Exercice 4 Une urne contient des boules identiques : 3 boules blanches, 4 boules rouges et 5 boules bleues. On tire une boule au hasard et on regarde la couleur. Nombre de résultat possibles : … a) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule rouge ? A : «............................................................................................. » Nombre de résultats favorables :... P(A) =.............................................................................................. b) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule rouge ou blanche ? A : «............................................................................................. » Nombre de résultats favorables :... B : «............................................................................................ » Nombre de résultats favorables :... A et B : «...................................................................................... » Nombre de résultats favorables :... P(A ou B) =..................................................................................... c) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule qui ne soit pas rouge ? C : «.......................................................................................... » C est l’événement………………………………………….. de A P(C) =.............................................................................................. d) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule verte ? E : «............................................................................................. » Nombre de résultats favorables :... P(E) =.............................................................................................. UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 18 Exercice 5 On lance un dé non truqué à 6 faces et on regarde le point de la face supérieure. Calcule la probabilité des événements suivants : A : « obtenir un 2 » P(A) = B :« obtenir un nombre pair » P(B) = C :« obtenir un nombre au moins égal à 4 » P(C) = D :« obtenir un nombre multiple de 2 et 5 » P(D) = Exercice 6 D’un jeu bien mélangé de 32 cartes, on tire une carte au hasard. Soit les événements A : « obtenir un carreau » B : « obtenir un trèfle » C : « obtenir une figure » D : « obtenir un as » E : « obtenir un roi » a) Quelle est la probabilité d’obtenir un carreau ou un trèfle ? P(.................................................... b) Quelle est la probabilité d’obtenir une figure ? P(…………………………………….. c) Quelle est la probabilité d’obtenir un carreau ou un as ? P(.................................................... d) Quelle est la probabilité d’obtenir un trèfle ou une figure ? P(..................................................... e) Quelle est la probabilité d’obtenir un roi ou un as? P(..................................................... UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 19 Exercice 7 Une urne contient des boules identiques : 3 boules blanches, 4 boules noires et 5 boules rouges. On tire une boule, au hasard. Soit les événements A : « obtenir une boule noire » B : « obtenir une boule blanche » a) Calcule la probabilité que la boule tirée soit noire. P(……………………………………..….. b) Calcule la probabilité que la boule tirée soit blanche ou noire. P(……………………………………..….. c) Calcule la probabilité que la boule tirée ne soit pas noire. P(……………………………………..….. Exercice 8 On a interrogé 200 personnes sur leur dernière sortie au restaurant. Les résultats partiels de cette enquête apparaissent dans le tableau ci-dessous. Les événements considérés sont notés dans le tableau. A : « Cuisine française » B : « Cuisine orientale » C : « Cuisine italienne » Total D : « Entre amis » 26 37 118 E : « En famille » 23 Total 43 On choisit au hasard une des personnes interrogées. Quelle est la probabilité que la personne choisie a) Soit allée dans un restaurant proposant de la cuisine orientale ? P……………………………………..….. b) Soit allée au restaurant avec des amis ? P……………………………………..….. c) Soit allée dans un restaurant proposant de la cuisine française ou italienne ? P……………………………… UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 20 Exercice 9 Une enquête a été réalisée auprès de 500 salariés pour connaître le moyen de transport qu’ils utilisent pour se rendre à leur travail. Les résultats apparaissent dans le tableau ci- dessous : V : « voiture » T : « transports en commun » P : « à pied ou à vélo » Total H : « Homme » 75 110 215 F : « Femme » Total 125 100 On choisit au hasard une des personnes interrogées. Quelle est la probabilité que la personne choisie a) Soit une femme qui se rend au travail à pied ou à vélo ? P(………………..….. b) Se rende au travail en transports en commun ? P(………………..….. Exercice 10 Afin de participer à un concours de cuisine, 200 candidats ont présenté deux épreuves de sélection : la préparation d’un plat principal et d’un dessert. Les résultats partiels apparaissent dans le tableau ci-dessous. A : « Plat principal raté » A : « Plat principal réussi » Total B : « Dessert raté » 24 36 B : « Dessert réussi » Total 42 200 On choisit au hasard un des 200 candidats. Quelle est la probabilité que le candidat choisi a) Ait réussi le plat principal et le dessert ? P(………………..….. b) N’ait raté que le plat principal ? P(………………..….. c) Ait raté le plat principal ou le dessert ? P(………………..….. UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 21 Exercice 11 Dans une classe de 17 élèves, 8 pratiquent la natation et 6, dont 2 nageurs, jouent au foot. On note les événements suivants : A : « pratiquer la natation » B : « jouer au foot » a) Complète le diagramme ci-contre en indiquant le nombre d’élèves dans chaque ensemble. b) On choisit un élève au hasard dans la classe. 1°) Quelle est la probabilité qu’il ne pratique aucun sport ? P(……………………….….. 2°) Quelle est la probabilité qu’il ne pratique qu’un seul sport ? P(…………………………….. UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 22 f. Evénements composés 1°) Activités Œ On lance 3 fois une pièce de monnaie non truquée. Quelle est la probabilité d’avoir 3 fois « Face » ? Lors d’un lancer, on appelle F l’événement « obtenir Face » et P l’événement « obtenir Pile ». Le diagramme en arbre ci-dessous permet de trouver tous les résultats possibles de l’expérience aléatoire. La partie gauche de l’arbre précise le résultat du 1er jet ; la partie centrale précise le résultat du 2ème jet et la partie de droite, le résultat du 3ème jet. Le résultat se trouve au bout du chemin. Comme la pièce n’est pas truquée, chaque fois qu’on jette la pièce, la probabilité d’obtenir « Face » est égale à celle d’obtenir « Pile » et vaut 0,5. On note la probabilité de chaque événement sur la branche. Complète : 3ème jet résultats possibles 2ème jet … 1er jet F................. F P................. F F................. P P................. départ F................. F P P................. F................. P P................. Il faut maintenant chercher le chemin qui permet d’obtenir le résultat demandé. Représentons-le en rouge. La probabilité de cet événement composé « F et F et F » peut être calculée en multipliant entre elles les probabilités des branches qui composent ce chemin. On a : P (F et F et F) = ………………………… Dans un arbre, chaque événement composé apparaît au bout d’un chemin. On calcule la probabilité de cet événement composé en multipliant entre elles les probabilités des branches qui le composent. UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 23  Quelle est la probabilité, pour une famille de 2 enfants, d’avoir deux filles, sachant que la probabilité d’avoir une fille est de 0,4877 et celle d’avoir un garçon est de 0,5123 (selon des statistiques réalisées en Belgique) ? Lors de la naissance d’un enfant, soit les événements G : « avoir un garçon » et F : « avoir une fille ». Modélisons la situation par un diagramme en arbre en indiquant les probabilités sur chaque branche. Ici, les événements élémentaires G et F ne sont pas équiprobables. 1e enfant 2e enfant résultats possibles … G............... … G départ … F............... … … G............... F … F............... Il faut maintenant chercher le chemin qui permet d’obtenir le résultat demandé. Représentons- le en rouge. On calcule la probabilité de cet événement composé « F et F » en multipliant entre elles les probabilités des branches qui le composent. Ainsi, P (F et F) =........................................................................................ UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 24 Ž Quelle est la probabilité, pour une famille de 2 enfants, d’avoir des enfants de sexes différents, sachant que la probabilité d’avoir une fille est de 0,4877 et celle d’avoir un garçon est de 0,5123 ? Lors de la naissance d’un enfant, soit les événements G : « avoir un garçon » et F : « avoir une fille ». Modélisons la situation par un diagramme en arbre en indiquant les probabilités sur chaque branche. 1e enfant 2e enfant résultats possibles 0,5123 G............... 0,5123 G départ 0,4877 F............... 0,4877 0,5123 G............... F 0,4877 F............... Il faut maintenant chercher tous les chemins qui permettent d’obtenir le résultat demandé............................................................................................................................................................................... Soit l’événement E : « la famille est composée de deux enfants de sexes différents » Ainsi, P(E) =......................................................................................................................................................... 2°) Méthode de calcul de probabilités Pour calculer la probabilité d’un événement composé, on construit un arbre dont les extrémités sont les événements composés. On calcule ensuite la probabilité d’un événement composé en effectuant le produit des probabilités de chaque branche qui compose le chemin menant à cet événement composé. Exemple : Une classe de physique est composée de 13 garçons et 9 filles. Le professeur note le nom de chaque élève sur un carton, place les cartons dans une urne et tire au sort 2 noms l’un après l’autre, afin de désigner les 2 élèves qui devront ranger le laboratoire. Quelle est la probabilité que sur les 2 cartons tirés figurent le nom de 2 filles ? Soit, pour un tirage, les événements G : « le carton tiré au sort porte le nom d’un garçon » et F : « le carton tiré au sort porte le nom d’une fille ». Modélisons la situation par un diagramme en arbre en indiquant les probabilités sur chaque branche. e 1e tirage 2 tirage Résultats possibles départ. UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 25 Déterminons les probabilités de chaque branche : 1er tirage : il y a …… cartons dans l’urne avec …… noms de garçons et ….. noms de filles. Donc P(G) = ….. et P(F) = ….. 2ème tirage : il y a ……. cartons dans l’urne car....................................................................................................... si le 1er tirage a donné un G, il reste ….. garçons et ….. filles. Donc P(G) = ….. et P(F) = …… si le 1er tirage a donné un F, il reste ….. garçons et ….. filles. Donc P(G) = ….. et P(F) = …… Ainsi, P(F et F) =…………………………. UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 26 Exercice 12 Deux emplois sont proposés par une société. Ils peuvent s’adresser à une femme ou à un homme. Il y a 4 candidats féminins et 2 candidats masculins. Chacun d’eux a la même chance d’être retenu. a) Modélise la situation avec un arbre à l’aide des événements élémentaires suivants : F : « le candidat est une femme » H : « le candidat est un homme ». b) Calcule la probabilité des événements composés suivants : A : « engager 2 hommes » P(A) = B : « engager 2 femmes » P(B) = C : « engager 2 personnes de même sexe » P(C) = E : « engager 2 personnes de sexes différents » P(E) = UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 27 Exercice 13 D’une urne contenant 4 boules vertes, 7 bleues et 3 rouges, on tire successivement 2 boules avec remise. a) Modélise la situation avec un arbre à l’aide des événements élémentaires suivants : V : « on obtient une boule verte » B : « on obtient une boule bleue » R : « on obtient une boule rouge ». b) Calcule la probabilité des événements composés suivants : A : « obtenir 2 boules vertes » P(A) = … B : « obtenir 1 boule verte et 1 boule rouge » P(B) = … C : « obtenir deux boules de couleur différente » P(C) = … UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 28 Exercice 14 La probabilité qu’une personne donnée contracte la grippe saisonnière en un an est 0,4 et la probabilité que cette personne soit atteinte de la maladie M autre que la grippe pendant la même période de un an est 0,2. On suppose que contracter la grippe n’influence pas la probabilité d’avoir la maladie M. a) Modélise la situation avec un arbre à l’aide des événements élémentaires suivants : G : « la personne souffre de la grippe » M : « la personne souffre de la maladie M » b) Quelle est la probabilité que cette personne contracte uniquement la grippe ? c) Quelle est la probabilité que cette personne contracte au moins l’une de ces deux maladies en un an ? Exercice 15 𝟏 La probabilité qu’aujourd’hui soit un jour ensoleillé est de. En cas de temps ensoleillé 𝟑 𝟏 aujourd’hui, la probabilité qu’il pleuve demain est de. En cas de pluie aujourd’hui, la probabilité 𝟐 𝟐 qu’il pleuve aussi demain est de. 𝟑 a) Modélise la situation avec un arbre à l’aide des événements élémentaires suivants : S : « il y a du soleil » P : « il pleut » b) Quelle est la probabilité d’avoir 2 jours de pluies ? c) Quelle est la probabilité d’avoir 2 journées ensoleillées ? d) Quelle est la probabilité d’avoir 1 seul jour de pluie ? UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 29 Exercice 16 : exercices supplémentaires 1. Dans une entreprise, la probabilité que l’extincteur automatique d’incendie tombe en panne est de 0,2 et la probabilité que le système d’alarme tombe en panne est de 0,1. Les systèmes sont vérifiés régulièrement pas deux firmes indépendantes. a) Modélise la situation en complétant l’arbre ci-contre à l’aide des événements élémentaires E : « l’extincteur tombe en panne » A : « le système d’alarme tombe en panne » et leurs événements contraires E et A. b) Quelle est la probabilité qu’un certain jour les deux tombent en panne ? c) Quelle est la probabilité qu’un certain jour au moins un des deux tombent en panne ? d) Quelle est la probabilité qu’un certain jour le système d’alarme tombe en panne mais pas l’extincteur automatique ? 2. Des enquêtes concernant des véhicules refusés au contrôle technique ont montré que : - 20% des véhicules présentés ont des freins défectueux ; - parmi les véhicules présentant des freins défectueux, 30% ont un éclairage défectueux ; - parmi les véhicules ayant des freins bien réglés, 15% présentent un éclairage défectueux. a) Modélise la situation en complétant l’arbre ci-contre à l’aide des événements élémentaires F : « les freins sont défectueux » E : « l’éclairage est défectueux » et leurs événements contraires F et E. b) Quelle est la probabilité qu’un véhicule arrivant au contrôle technique ait un bon éclairage ? c) Quelle est la probabilité qu’un véhicule arrivant au contrôle technique ait un éclairage ou des freins défectueux ? UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 30 3. Une usine fabrique des moteurs qui doivent être fiables et très performants. Chaque moteur est testé en fin de fabrication. Une étude a montré que le moteur est accepté après le 1e test à 85 %. En cas d’échec, le moteur est révisé et, après un 2e test, est accepté à 65%. Si le 2e test est encore raté, le moteur est détruit. a) Modélise la situation en complétant l’arbre ci-contre à l’aide de l’événement élémentaire A : « le moteur est accepté » et son événement contraire A. b) Quelle est la probabilité qu’un moteur choisi au hasard soit détruit ? c) Quelle est la probabilité qu’un moteur choisi au hasard soit accepté ? 4. Un sac contient 3 boules rouges, 4 boules blanches et 7 boules vertes. a) On tire une première boule. Après avoir remis la première boule, on en tire une seconde. a. Quelle est la probabilité que l’on ait tiré dans l’ordre une boule blanche puis une boule rouge ? b. Quelle est la probabilité que l’on ait tiré une boule blanche et une boule rouge ? b) On tire une première boule. On tire une seconde boule sans remettre la première boule. Quelle est la probabilité que l’on ait tiré dans l’ordre une blanche puis une rouge ? UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 31 g. Probabilités conditionnelles 1°) Activité Dans une grande ville, on a constitué un fichier qui reprend pour chaque voiture sa date de mise en circulation et sa provenance. Ces données sont résumées dans le tableau ci-dessous : Voiture fabriquée en Voiture fabriquée hors Totaux Communauté européenne Communauté européenne Voiture d’occasion 128 250 378 Voiture neuve 186 42 228 Totaux 314 292 606 a) Considérons les événements suivants : A : « la voiture est fabriquée en Communauté européenne » B : « la voiture est neuve » Complète : P(A) =............................... P(B) =............................... b) Calculons maintenant la probabilité qu’une voiture prise au hasard soit fabriquée en Communauté européenne, si on sait que cette voiture est neuve. Nous noterons cette probabilité P(A si B). Partant de l’hypothèse que la voiture est neuve, nous allons limiter le tableau aux voitures neuves. Nous limitons ainsi le nombre de cas possibles aux voitures neuves. Nous choisirons parmi elles celles qui sont fabriquées en Communauté européenne Ainsi, P(A si B) = …… C’est une probabilité conditionnelle car le nombre de cas possibles a été réduit pour que la condition de départ soit vérifiée avec certitude. 2°) Définition A et B étant deux événements, la probabilité conditionnelle de A si B, notée P(A si B) est la probabilité que A se produise sachant que B s’est déjà produit. Attention : ne pas confondre avec P(A \ B). 3°) Propriété Vérifions cette propriété sur l’activité ci-dessus A et B : « la voiture est fabriquée en Communauté européenne et la voiture est neuve » 186 P(A et B) = 606 = 186 × 606 = 186 = P( A si B ) P( B ) 228 606 228 228 606 UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 32 Exercice 17 Dans un supermarché, les fraises sont vendues en barquettes de 500 g. On trouve 2 variétés, provenant de Belgique, d’Espagne ou de France. Le nombre de barquettes mises en vente est donné dans le tableau suivant : B : « Belgique » E : « Espagne » F : « France » Totaux A : « Variété A » 250 150 100 C : « Variété C » 550 650 300 Totaux Un acheteur prend au hasard une barquette de fraises. Calcule la probabilité que la barquette choisie contienne : a) des fraises de la variété C sachant que les fraises proviennent de Belgique. P(............... ) =........... b) des fraises de la variété A si les fraises proviennent de France. P(............... ) =............ c) des fraises qui proviennent de Belgique si elles sont de variété A. P(...............) =........... d) des fraises de variété C si elles proviennent d’Espagne. P(................. ) =............ Exercice 18 Un sondage d’opinion a été réalisé. Voici les résultats : H : « la réponse vient d’un homme » F : « la réponse vient d’une femme » Totaux O : « la réponse est oui » 52 64 N : « la réponse est non » 36 25 S : « pas de réponse » 12 11 Totaux On choisit une réponse au hasard parmi ces résultats. Calcule la probabilité que a) la réponse soit oui si la personne est une femme............................... b) la réponse d’une femme soit non............................... c) qu’il n’y ait pas de réponse de la part d’un homme................................. d) une réponse affirmative soit celle d’un homme............................... e) une réponse négative soit celle d’un homme............................... Exercice 19 Dans une université, chaque étudiant est inscrit dans une des 3 filières A, B ou C et une seule. Le tableau suivant fournit les résultats recueillis à propos des étudiants de cette université : A : Filière A B : Filière B C : Filière C Totaux F : Filles 12 % 9% G : Garçons 6% Totaux 60 % 30 % 100 % On choisit au hasard un étudiant de cette université. a) Quelle est la probabilité que l’étudiant choisi soit une fille ?......................... b) Quelle est la probabilité que l’étudiant choisi soit en filière A si c’est une fille ?........................ c) Quelle est la probabilité que l’étudiant choisi soit en filière B sachant que c’est un garçon ?.................. UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 33 Exercice 20 Dans une école de 600 élèves, 79% des élèves réussissent en français, 84% réussissent en anglais et 70% réussissent dans les deux cours. F : « Réussite en français » F : « Echec en français » Totaux A : « Réussite en anglais » 504 A : « Echec en anglais » Totaux 474 600 On choisit un élève au hasard. a) Quelle est la probabilité qu’il réussisse en français s’il a échoué en anglais ?........................ b) Quelle est la probabilité qu’il échoue aussi en anglais s’il a échoué en français ?........................ Exercice 21 Le sang humain est classé en 4 groupes distincts : A, B, AB et O. Indépendamment du groupe, le sang peut posséder le facteur Rhésus. Si le sang d’un individu possède ce facteur, il est dit Rhésus positif (Rh+) ; s’il ne possède pas ce facteur, il est dit Rhésus négatif (Rh–). Un individu du groupe O et de Rhésus négatif est appelé « donneur universel ». Toute personne de groupe AB et de Rhésus positif est « receveur universel ». Le tableau suivant fournit des informations sur les fréquences des groupes sanguins dans nos régions. A : « groupe A » B : « groupe B » C : « groupe AB » O : « groupe 0 » Totaux P:« Rh+ » 36 % 37,8 % N:« Rh– » 1,5 % 0,4 % 15,1 % Totaux 42 % 10 % 45 % On choisit une personne au hasard dans la population. Calcule la probabilité la personne choisie soit : a) donneur universel............................... b) receveur universel............................... c) du groupe B sachant qu’elle est Rh–............................... d) Rh+ sachant qu’elle est du groupe A............................... Exercice 22 On interroge 100 personnes sur leur intérêt pour le tennis. 75 regardent le tennis à la télévision, 40 pratiquent ce sport et 25 font les deux. Modélise la situation à l’aide d’un diagramme et/ou d’un tableau. On choisit une personne au hasard. Calcule la probabilité la personne choisie a) soit intéressée par le tennis (joue ou regarde). b) ne soit pas intéressée par le tennis. c) joue au tennis sachant qu’elle est regarde le tennis à la télévision. d) regarde le tennis à la télévision sachant qu’elle joue au tennis. UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 34 Exercices supplémentaires 22 bis 1. Sur les 100 élèves de Rhéto, 78 possèdent un gsm, 41 ont une tablette et 23 possèdent à la fois un gsm et une tablette. a) Modélise la situation à l’aide du diagramme ci-dessous, en définissant les événements A et B. A : «...................................................................... » B : «...................................................................... » b) Modélise la situation à l’aide du tableau ci-dessous Totaux Totaux On choisit un élève au hasard dans le groupe. c) Quelle est la probabilité qu’il n’ait ni gsm, ni tablette ? d) Quelle est la probabilité qu’il ait un gsm ou une tablette ? e) Quelle est la probabilité qu’il ait soit un gsm, soit une tablette ? f) Quelle est la probabilité de choisir un élève possédant un gsm s’il n’a pas de tablette ? g) Quelle est la probabilité de choisir un élève possédant une tablette s’il a un gsm ? 2. Une entreprise fabrique des parfums haut de gamme. Il existe sur le marché des originaux et des contrefaçons. Pour éliminer ces contrefaçons, on a mis au point un test optique permettant, sans rompre le ruban de garantie, de se faire une opinion sur la conformité du produit. Ce test doit être négatif lorsque le produit est un original et positif lorsqu’il s’agit d’une copie. Une étude sur la fiabilité du test a été réalisée sur 1 000 flacons. Voici les résultats : P : « le test est positif P : « le test est négatif » Totaux O : « produit original » 945 O : « Contrefaçon » 4 5 Totaux Un flacon est choisi au hasard et est soumis au test. a) Quelle est la probabilité que le test soit positif ? b) Quelle est la probabilité que le flacon soit un original si le test est positif ? c) Quelle est la probabilité que le flacon soit une contrefaçon si le test est négatif ? UAA II - Chapitre 3 : Probabilité 35