Analyse Avancée des Signaux - MRETCA1 PDF

Cours : Analyse avancée des signaux MRETCA1 Chapitre II : Analyse Temporelle des Signaux Déterministes et Systèmes Continus Année Universitaire : 2024-2025 Intercorrélation En communications numériques, il n’est pas rare que le réc...

Cours : Analyse avancée des signaux MRETCA1 Chapitre II : Analyse Temporelle des Signaux Déterministes et Systèmes Continus Année Universitaire : 2024-2025 Intercorrélation En communications numériques, il n’est pas rare que le récepteur du système de communication reçoive un signal de l’émetteur qui soit très brouillé (on dit qu’il est bruité). Par exemple, si le récepteur reçoit le signal « x » représenté fifure 1, et que ce signal est en réalité une suite d’échelons d’amplitude −1 (représentant le bit 0) ou +1 (représentant le bit 1), alors l’intercorrélation de « x « avec un échelon « y » permet de détecter à chaque instant si le signal reçu ressemble à y (dans ce cas, on a reçu un 1) ou pas (on a reçu un 0). Intercorrélation Un autre exemple d’utilisation de l’intecorrélation est la mesure de la fréquence d’un signal. Si on dispose d’un signal sinusoïdal x(t), mais qu’il est très bruité et que l’on cherche sa fréquence inconnue, alors on peut représenter l’intercorrélation de x(t) avec plusieurs sinusoïdes y(t) dont on connaît la fréquence. La sinusoïde qui permet d’obtenir la plus grande intercorrélation sera la plus ressemblante : on pourra alors en déduire la valeur de la fréquence inconnue. Ce principe est illustré sur la figure suivante Intercorrélation La corrélation la plus forte est obtenue pour une sinusoïde de 0,5 Hz. Autocorrélation L'autocorrélation permet de détecter des régularités, des profils répétés dans un signal comme un signal périodique perturbé par beaucoup de bruit, ou bien une fréquence fondamentale d'un signal qui ne contient pas effectivement cette fondamentale, mais l'implique avec plusieurs de ses harmoniques. L ’énergie d ’un signal L’énergie d’un signal continu s(t) réel ou complexe est : ∗ 𝑺 𝒕 ∶ représente le signal complexe conjugué de s(t). +∞ +∞ 𝐸=න 𝑆 𝑡 × 𝑆 𝑡 ∗ 𝑑𝑡 = න 𝑆(𝑡) 2 𝑑𝑡 𝑺(𝒕) ∶ représente le module du signal s(t). −∞ −∞ Si cette intégrale est finie on dit que le signal s(t) est à énergie finie La fonction d'autocorrélation La fonction d'autocorrélation La fonction d'autocorrélation est une comparaison entre un signal et ses copies retardées : Indicateur de la déformation d'un signal au cours du temps, on définit la fonction d'autocorrélation d'un signal à énergie finie comme : +∞ 𝐶ss 𝜏 = න S (𝑡) × S (𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡 −∞ La valeur à l'origine 𝜏 = 0 de la fonction d'autocorrélation est égale à l'énergie totale du signal La fonction d'intercorrélation La fonction d'intercorrélation est une mesure de similitude de forme et de position en fonction du paramètre de translation pour les signaux à énergie finie réels ou complexes: +∞ 𝐶xy 𝜏 = න x (𝑡) × y (𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡 −∞ Produit de convolution Le produit de convolution généralise l'idée de moyenne glissante et il est la représentation mathématique de la notion de filtre linéaire. +∞ 𝐲 𝐭 =x t ∗ℎ 𝑡 =න 𝒙 𝝉 × 𝒉 𝒕 − 𝝉 𝑑𝜏 −∞ Exemple: Calculer et visualiser l'autocorrélation des signaux suivantes S1, S2, S3 et S4 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 𝑺𝟒  𝝉∈ 𝟎 𝟐 𝝉∈ 𝟐 𝟒 𝝉∈ 𝟒 𝟔 𝑺𝟑 𝜏 4+𝜏 𝜏 𝜏 +∞ +∞ +∞ 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = න 𝑺𝟑 (𝑡) × 𝑺𝟑 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = න 𝑺𝟑 (𝑡) × 𝑺𝟑 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = න 𝑺𝟑 (𝑡) × 𝑺𝟑 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡 −∞ −∞ −∞ 4 4+𝜏 6 4 6 6 𝐶𝑺𝟑𝑺𝟑 𝜏 = න 2 × 2 𝑑𝑡 + න −2 × 2 𝑑𝑡 + න −2 × −2 𝑑𝑡 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = න 2 × 2 𝑑𝑡 + න −2 × 2 𝑑𝑡 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = න −2 × 2 𝑑𝑡 𝜏 4 4+𝜏 𝜏 4 𝜏 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = 4 × 4 − 𝜏 − 4×𝜏 + 4× 2−𝜏 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = 4 × 4 − 𝜏 − 4×2 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = −4 × 6 − 𝜏 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = 24 − 12𝜏 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = 8 − 4𝜏 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = −24 + 4𝜏 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 0 = 24 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 2 = 0 𝐶𝑺 𝑺 4 = −8 𝝉∈ 𝟎 𝟐 ൝ 𝝉∈ 𝟐 𝟒 ൝ 𝝉∈ 𝟒 𝟔 ൝ 𝟑 𝟑 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 2 = 0 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 4 = −8 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 6 = 0  +∞ 𝐶𝑺𝟑𝑺𝟑 𝜏 = න 𝑺𝟑 (𝑡) × 𝑺𝟑 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡 𝑺𝟑 −∞  +∞ +∞ 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑𝑹 𝜏 = න 𝑺𝟑 (𝑡) × 𝑺𝟑 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑𝑹 𝜏 = න 𝑺𝟑 (𝑡) × 𝑺𝟑 (𝑡 + 1 − 𝜏)𝑑𝑡 −∞ −∞ +∞ +∞ 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑𝑹 𝜏 = න 𝑺𝟑 (𝑡) × 𝑺𝟑 (𝑡 + 2 − 𝜏)𝑑𝑡 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑𝑹 𝜏 = න 𝑺𝟑 (𝑡) × 𝑺𝟑 (𝑡 + 3 − 𝜏)𝑑𝑡 −∞ −∞  𝝉∈ 𝟎 𝟏 𝝉∈ 𝟏 𝟓 𝝉∈ 𝟒 𝟔 𝜏 5+𝜏 𝜏 𝜏 +∞ +∞ +∞ 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = න 𝑺𝟑 (𝑡) × 𝑺𝟑 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = න 𝑺𝟑 (𝑡) × 𝑺𝟑 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = න 𝑺𝟑 (𝑡) × 𝑺𝟑 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡 −∞ −∞ −∞ 5 5+𝜏 6 5 6 6 𝐶𝑺𝟑𝑺𝟑 𝜏 = න 2 × 2 𝑑𝑡 + න −2 × 2 𝑑𝑡 + න −2 × −2 𝑑𝑡 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = න 2 × 2 𝑑𝑡 + න −2 × 2 𝑑𝑡 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = න −2 × 2 𝑑𝑡 𝜏 5 5+𝜏 𝜏 5 𝜏 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = 4 × 5 − 𝜏 − 4×𝜏 + 4× 1−𝜏 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = 4 × 5 − 𝜏 − 4×1 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = −4 × 6 − 𝜏 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = 24 − 12𝜏 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = 16 − 4𝜏 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = −24 + 4𝜏 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 0 = 24 𝐶𝑺 𝑺 1 = 12 𝐶𝑺 𝑺 4 = −4 𝝉∈ 𝟎 𝟏 ൝ 𝝉∈ 𝟏 𝟓 ൝ 𝟑 𝟑 𝝉∈ 𝟓 𝟔 ൝ 𝟑 𝟑 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 1 = 12 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 5 = −4 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 6 = 0  +∞ 𝑺𝟒 𝐶𝑺𝟒 𝑺𝟒 𝜏 = න 𝑺𝟒 (𝑡) × 𝑺𝟒 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡 −∞ 𝑺𝟐 𝝉∈ 𝟎 𝟑 𝝉∈ 𝟑 𝟔 𝜏 3+𝜏 𝜏 +∞ +∞ 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = න 𝑺𝟑 (𝑡) × 𝑺𝟑 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = න 𝑺𝟑 (𝑡) × 𝑺𝟑 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡 −∞ −∞ 3 3+𝜏 6 6 𝐶𝑺𝟑𝑺𝟑 𝜏 = න 2 × 2 𝑑𝑡 + න −2 × 2 𝑑𝑡 + න −2 × −2 𝑑𝑡 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = න −2 × 2 𝑑𝑡 𝜏 3 3+𝜏 𝜏 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = 4 × 3 − 𝜏 − 4×𝜏 + 4× 3−𝜏 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = −4 × 6 − 𝜏 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = 24 − 12𝜏 𝐶𝑺𝟑 𝑺𝟑 𝜏 = −24 + 4𝜏 𝐶𝑺 𝑺 0 = 24 𝐶𝑺𝟐 𝑺𝟐 3 = −12 𝝉∈ 𝟎 𝟑 ൝ 𝟐 𝟐 𝝉∈ 𝟑 𝟔 ൝ 𝐶𝑺𝟐 𝑺𝟐 3 = −12 𝐶𝑺𝟐 𝑺𝟐 6 = 0  +∞ 𝑺𝟐 𝐶𝑺𝟐 𝑺𝟐 𝜏 = න 𝑺𝟐 (𝑡) × 𝑺𝟐 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡 −∞ 𝑺𝟏 𝝉∈ 𝟎 𝟔 +∞ 𝐶𝑺𝟏 𝑺𝟏 𝜏 = න 𝑺𝟏 (𝑡) × 𝑺𝟏 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡 −∞ 𝜏 +∞ 𝐶𝑺𝟏 𝑺𝟏 𝜏 = න 𝑺𝟏 (𝑡) × 𝑺𝟏 (𝑡 − 𝜏)𝑑𝑡 −∞ 6 𝐶𝑺𝟏𝑺𝟏 𝜏 = න 2 × 2 𝑑𝑡 𝜏 𝐶𝑺𝟏 𝑺𝟏 𝜏 = 4 × 6 − 𝜏 𝐶𝑺𝟏 𝑺𝟏 𝜏 = 24 − 4𝜏 𝐶𝑺 𝑺 0 = 24 𝝉∈ 𝟎 𝟔 ൝ 𝟏 𝟏 𝐶𝑺𝟏 𝑺𝟏 6 = 0 Produit de convolution Exemple 1 +∞ 𝐲 𝐭 =x t ∗ℎ 𝑡 =න 𝒙 𝝉 × 𝒉 𝒕 − 𝝉 𝑑𝜏 −∞ 𝑥 𝑡 y t ℎ 𝑡  6 6 6 10 3 7 7 7 Produit de convolution Exemple 2 +∞ 𝐲 𝐭 =x t ∗ℎ 𝑡 =න 𝒙 𝝉 × 𝒉 𝒕 − 𝝉 𝑑𝜏 −∞ 𝑥 𝑡 ℎ 𝑡 𝐲 𝐭 𝑡 − 2 < −2 & −2