Càlculo - I - Derivadas PDF

Clase 6: 24/09/2024-START CÁLCULO – I o… Funciones de UNA variable UD* 1: El Cuerpo de los Números Reales UD 2: Límites y Continuidad de Funciones UD 3: Derivadas UD 4: Integrales *UD = Unidad Didáctica Derivada: definición como límite...

Clase 6: 24/09/2024-START CÁLCULO – I o… Funciones de UNA variable UD* 1: El Cuerpo de los Números Reales UD 2: Límites y Continuidad de Funciones UD 3: Derivadas UD 4: Integrales *UD = Unidad Didáctica Derivada: definición como límite Derivada: definición como límite f es derivable en x=c si derivada ‘derecha’ e ‘izquierda’ existen y son iguales! Derivada: definición como límite f es derivable en x=c si derivada ‘derecha’ e ‘izquierda’ existen y son iguales! Derivada: definición como límite f es derivable en x=c si derivada ‘derecha’ e ‘izquierda’ existen y son iguales! Ejercicio! Derivada: relación con continuidad f derivable en ‘x=c’ f continua en ‘x=c’ Si este límite existe… Ejemplos: f continua en ‘x=c’ f derivable en ‘x=c’ f cont NO derivable la derivada de c- y c+ no coincide Si f’(c) NO existe! Pueden ser diferentes o no existir, aunque f sea CONTINUA: la derivada en ese punto no existe, su limite vale infinito Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla Debemos pues saber derivar: Cada función elemental fundamental Todas las operaciones posibles entre 2 funciones E fund. Empezamos por aquí !Operaciones racionales (+,-,·,/) !Composición de funciones (regla cadena) La generalización a operación con n>2 funciones es inmediata Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Consideremos las operaciones racionales (+,-,·,/) entre 2 funciones cualesquiera inmediato inmediato Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Consideremos las operaciones racionales (+,-,·,/) entre 2 funciones cualesquiera inmediato inmediato Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Consideremos las operaciones racionales (+,-,·,/) entre 2 funciones cualesquiera inmediato inmediato Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Consideremos las operaciones racionales (+,-,·,/) entre 2 funciones cualesquiera inmediato inmediato Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Consideremos las operaciones racionales (+,-,·,/) entre 2 funciones cualesquiera inmediato inmediato Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Consideremos las operaciones racionales (+,-,·,/) entre 2 funciones cualesquiera inmediato inmediato Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Consideremos las operaciones racionales (+,-,·,/) entre 2 funciones cualesquiera inmediato inmediato Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Consideremos las operaciones racionales (+,-,·,/) entre 2 funciones cualesquiera (continuación) Notad: no se puede deducir a partir de la del producto: f/g=f·(1/g) puesto que no conocemos (1/g)’ ! Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Consideremos las operaciones racionales (+,-,·,/) entre 2 funciones cualesquiera (continuación) Notad: no se puede deducir a partir de la del producto: f/g=f·(1/g) puesto que no conocemos (1/g)’ ! Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Consideremos las operaciones racionales (+,-,·,/) entre 2 funciones cualesquiera (continuación) Notad: no se puede deducir a partir de la del producto: f/g=f·(1/g) puesto que no conocemos (1/g)’ ! Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Consideremos las operaciones racionales (+,-,·,/) entre 2 funciones cualesquiera (continuación) Notad: no se puede deducir a partir de la del producto: f/g=f·(1/g) puesto que no conocemos (1/g)’ ! Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Consideremos las operaciones racionales (+,-,·,/) entre 2 funciones cualesquiera (continuación) Notad: no se puede deducir a partir de la del producto: f/g=f·(1/g) puesto que no conocemos (1/g)’ ! Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Consideremos las operaciones racionales (+,-,·,/) entre 2 funciones cualesquiera (continuación) Notad: no se puede deducir a partir de la del producto: f/g=f·(1/g) puesto que no conocemos (1/g)’ ! Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Consideremos la Composición de 2 funciones cualesquiera (Regla de la CADENA) Nota!: La ‘ denota derivada con respecto al argumento!. Es decir: f’(x)=df/dx, f’(g(x))=df/dg, (f(g(x)))’=df(g(x))/dx Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Consideremos la Composición de 2 funciones cualesquiera (Regla de la CADENA) Nota!: La ‘ denota derivada con respecto al argumento!. Es decir: f’(x)=df/dx, f’(g(x))=df/dg, (f(g(x)))’=df(g(x))/dx Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Consideremos la Composición de 2 funciones cualesquiera (Regla de la CADENA) Nota!: La ‘ denota derivada con respecto al argumento!. Es decir: f’(x)=df/dx, f’(g(x))=df/dg, (f(g(x)))’=df(g(x))/dx Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Consideremos la Composición de 2 funciones cualesquiera (Regla de la CADENA) Nota!: La ‘ denota derivada con respecto al argumento!. Es decir: f’(x)=df/dx, f’(g(x))=df/dg, (f(g(x)))’=df(g(x))/dx Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Consideremos la Composición de 2 funciones cualesquiera (Regla de la CADENA) !Caso particular de la Composición: DERIVADA de las funciones INVERSAS Si g es la inversa de f, g=f-1, entonces f(g(x))=x ! (f(g(x)))’=1, con lo que: Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla Debemos pues saber derivar: Seguimos por aquí Cada función elemental fundamental (transc. + algebr.) Todas las operaciones posibles entre 2 funciones !Operaciones racionales (+,-,·,/) !Composición de funciones (regla cadena) La generalización a operación con n>2 funciones es inmediata Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Funciones ALGEBRAICAS exponentes Polinomios! coeffs. !Ya las conocemos. !Nos falta saber derivar (x^n) con n Natural! Racionales! p,q!polinomios Usa la regla para (f/g)’ + deriva cada polinomio Radicales! PENDIENTE Necesitamos saber derivar (x^n) con n REAL! más adelante lo veremos ( derivada del ln(x) ) Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Funciones ALGEBRAICAS Ejercicio: Valor absoluto! |x|’=? Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Funciones TRIGONOMÉTRICAS Con las dos anteriories + la regla para (f/g)’ es inmediato ver que: Hacedlo ahora! !Funciones TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS (necesitamos más trucos) PENDIENTE Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Funciones TRIGONOMÉTRICAS Con las dos anteriories + la regla para (f/g)’ es inmediato ver que: Hacedlo ahora! !Funciones TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS (necesitamos más trucos) PENDIENTE Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Funciones TRIGONOMÉTRICAS Con las dos anteriories + la regla para (f/g)’ es inmediato ver que: Hacedlo ahora! !Funciones TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS (necesitamos más trucos) PENDIENTE Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Funciones TRIGONOMÉTRICAS Con las dos anteriories + la regla para (f/g)’ es inmediato ver que: Hacedlo ahora! !Funciones TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS (necesitamos más trucos) PENDIENTE Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Funciones TRIGONOMÉTRICAS Con las dos anteriories + la regla para (f/g)’ es inmediato ver que: Hacedlo ahora! !Funciones TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS (necesitamos más trucos) PENDIENTE Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Funciones TRIGONOMÉTRICAS Hacedlo ahora! Con las dos anteriories + la regla para (f/g)’ es inmediato ver que: Hacedlo ahora! !Funciones TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS (necesitamos más trucos) PENDIENTE Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Funciones TRIGONOMÉTRICAS Con las dos anteriories + la regla para (f/g)’ es inmediato ver que: Hacedlo ahora! !Funciones TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS (necesitamos más trucos) PENDIENTE Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Funciones TRIGONOMÉTRICAS Con las dos anteriories + la regla para (f/g)’ es inmediato ver que: Hacedlo ahora! !Funciones TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS (necesitamos más trucos) PENDIENTE Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Función EXPONENCIAL Origen: Jacob Bernoulli 1683 – problema de contabilidad Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Función EXPONENCIAL Origen: Jacob Bernoulli 1683 – problema de contabilidad Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Función EXPONENCIAL Origen: Jacob Bernoulli 1683 – problema de contabilidad Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Función EXPONENCIAL Origen: Jacob Bernoulli 1683 – problema de contabilidad Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Función EXPONENCIAL Origen: Jacob Bernoulli 1683 – problema de contabilidad Hacedlo ahora! Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Función EXPONENCIAL Origen: Jacob Bernoulli 1683 – problema de contabilidad Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Función LOGARITMO Clase 7: 2/10/2023-START Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Función LOGARITMO Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Función LOGARITMO Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Función LOGARITMO En realidad x>0, o sea que (ln|x|)’=1/x; Hacedlo ahora! Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Función LOGARITMO Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Función RADICALES (la teníamos PENDIENTE ) Hacedlo ahora! Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Función RADICALES (la teníamos PENDIENTE ) Pista… Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Función RADICALES (la teníamos PENDIENTE ) Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla ! Aplicación directa de Regla de la Cadena MUY POTENTE: Derivación Implícita 1!Se usa a menudo cuando NO es posible [o es difícil] expresar y=f(x), pero sí f(x,y)=0 Regla cadena! Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Funciones TRIGONOMÉTRICAS – INVERSAS [las teníamos PENDIENTE ] Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Funciones TRIGONOMÉTRICAS – INVERSAS [las teníamos PENDIENTE ] (derivando) Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Funciones TRIGONOMÉTRICAS – INVERSAS [las teníamos PENDIENTE ] (derivando) Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Funciones TRIGONOMÉTRICAS – INVERSAS [las teníamos PENDIENTE ] (derivando) (R.Cadena) Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Funciones TRIGONOMÉTRICAS – INVERSAS [las teníamos PENDIENTE ] Demuéstralas Derivada de TODAS las funciones ELEMENTALES! constryamos la tabla !Funciones TRIGONOMÉTRICAS – INVERSAS [las teníamos PENDIENTE ] Demuestralas muestra como sale el |u| Resumen: Reglas básicas de derivación para funciones elementales Las habéis demostrado TODAS !! Ya sabéis derivara cualquier Fun. Elemental Regla de la Cadena: Más despacio Ejercicios Ejercicios (sobre la tabla de derivación deducida): 1.-“Hay unas combinaciones de funciones que se podrían ver como casos que NO hemos abordado…”: a) f(x)^g(x) (caso x^x, por ejemplo), b) log_g(x) f(x) Demostrad que no son más que funciones elementales que SÍ sabéis derivar: !f^g=exp{g*ln f} !log_g(x) f(x)=ln f(x)/ln g(x) 2.-“Deduce la derivada del logaritmo usando derivación implícita 3.- f’(x)??? Definid const: A*sin^2(B), ln^2(C), etc. Problemes derivades-BASICS: Lar 3.3-p.147 Problemes derivades-BASICS: Lar 3.3-p.147 Problemes derivades-OK: Lar 3.3-p.147 Problemes derivades-BASICS: Lar 3.3-p.147 Problemes derivades: Lar 3.3-p.147 VISUALMENTE: podrían estar f, g, y h relacionadas por la operación de derivación? !Compruébalo calculando !Quién es f ??? Halla f, f’ y f’’ F-verde (sin), f’-azul y f’’-rojo F=arcsin(x) Problemes derivades-CHAIN RULE: Lar 3.3-p.147 Problemes derivades-CHAIN RULE: Lar 3.3-p.147 Problemes derivades-CHAIN RULE: Lar 3.3-p.147 Problemes derivades-CHAIN RULE: Lar 3.3-p.147 Problemes derivades-CHAIN RULE: Lar 3.3-p.147 Problemes derivades-IMPLICIT: Lar Problemes derivades-IMPLICIT: Lar Problemes derivades-IMPLICIT: Lar Halla ecuación de la recta tangente que pasa por el punto dado Problemes derivades-IMPLICIT: Lar Problemes derivades-LOGARITHMIC: Lar Problemes derivades-INVERSE Functions: Lar Problemes derivades-PROBLEMAS: Lar Clase 8: 03/10/2023-START  Aplicaciones: Máximos, mínimos, puntos críticos Tienen estas funciones máximos/ mínimos locales/ globales? TEOREMA 1: Teorema del Valor Extremo (TVE) “Si f es continua en el intervalo [a,b], entonces f tiene (almenos) un mínimo y un máximo en intervalo” Intuitivo: No demostraremos (recordad defs. de continuidad, mínimo y máximo) Clase 9: 10/10/2023-START TEOREMA 1: Teorema del Valor Extremo (TVE) “Resumen: f continua tiene mín y máx.” TEOREMA 2: Teorema del Punto Crítico (TPC) [Fermat] “Si f tiene un mínimo o un máximo en x=c en ]a,b[, entonces c es un punto crítico de f(x)” Intuitivo: Tampoco demostraremos (Lo introdugimos el día anterior, recoradd def. punto crítico) TEOREMA 1: Teorema del Valor Extremo (TVE) “Resumen: f continua tiene mín y máx.” TEOREMA 2: Teorema del Punto Crítico (TPC) [Fermat] “Resumen: f mín y máx en puntos críticos.” TEOREMA 3: Teorema de Rolle (TR) “Sea f continua en [a,b] y diferenciable en (a,b). Si f(a)=f(b), entonces f tiene (almenos) un punto con derivada nula: c en (a,b) tal que f’(c)=0” Demo: Sea d=f(a)=f(b) Caso 1 Caso 2 ]a,b[ Caso 2.1: Suponemos que ! Como f(x) es cont, (“existe un máximo en x=c”)[*] !Como x=c es un máximo RELATIVO que NO ocurre en los extremos [*] y mínimo! (TEOREMA 2) Pero no podemos x=c es punto crítico Como f es diferenciable, afirmar que el f’(c) ESTÁ definida mínimo se localice en el abierto Caso 2.2: Suponemos que f(x)d ) Caso 3: Cualquier otro es composición de los anteriores (por ejemplo, f(x)=d en el abierto..) TEOREMA 1: Teorema del Valor Extremo (TVE) “Resumen: f continua tiene mín y máx.” TEOREMA 2: Teorema del Punto Crítico (TPC) [Fermat] “Resumen: f mín y máx en puntos críticos.” TEOREMA 3: Teorema de Rolle (TR) “Sea f continua en [a,b] y diferenciable en (a,b). Si f(a)=f(b), entonces f tiene (almenos) un punto con derivada nula: c en (a,b) tal que f’(c)=0” Demo: Sea d=f(a)=f(b) Caso 1 Caso 2 ]a,b[ Caso 2.1: Suponemos que ! Como f(x) es cont, (“existe un máximo en x=c”)[*] !Como x=c es un máximo RELATIVO que NO ocurre en los extremos [*] y mínimo! (TEOREMA 2) Pero no podemos x=c es punto crítico Como f es diferenciable, afirmar que el f’(c) ESTÁ definida mínimo se localice en el abierto Caso 2.2: Suponemos que f(x)d ) Caso 3: Cualquier otro es composición de los anteriores (por ejemplo, f(x)=d en el abierto..) TEOREMA 1: Teorema del Valor Extremo (TVE) “Resumen: f continua tiene mín y máx.” TEOREMA 2: Teorema del Punto Crítico (TPC) [Fermat] “Resumen: f mín y máx en puntos críticos.” TEOREMA 3: Teorema de Rolle (TR) “Sea f continua en [a,b] y diferenciable en (a,b). Si f(a)=f(b), entonces f tiene (almenos) un punto con derivada nula: c en (a,b) tal que f’(c)=0” Demo: Sea d=f(a)=f(b) Caso 1 Caso 2 ]a,b[ Caso 2.1: Suponemos que ! Como f(x) es cont, (“existe un máximo en x=c”)[*] !Como x=c es un máximo RELATIVO que NO ocurre en los extremos [*] y mínimo! (TEOREMA 2) Pero no podemos x=c es punto crítico Como f es diferenciable, afirmar que el f’(c) ESTÁ definida mínimo se localice en el abierto Caso 2.2: Suponemos que f(x)d ) Caso 3: Cualquier otro es composición de los anteriores (por ejemplo, f(x)=d en el abierto..) TEOREMA 1: Teorema del Valor Extremo (TVE) “Resumen: f continua tiene mín y máx.” TEOREMA 2: Teorema del Punto Crítico (TPC) [Fermat] “Resumen: f mín y máx en puntos críticos.” TEOREMA 3: Teorema de Rolle (TR) “Sea f continua en [a,b] y diferenciable en (a,b). Si f(a)=f(b), entonces f tiene (almenos) un punto con derivada nula: c en (a,b) tal que f’(c)=0” Demo: Sea d=f(a)=f(b) Caso 1 Caso 2 ]a,b[ Caso 2.1: Suponemos que ! Como f(x) es cont, (“existe un máximo en x=c”)[*] !Como x=c es un máximo RELATIVO que NO ocurre en los extremos [*] y mínimo! (TEOREMA 2) Pero no podemos x=c es punto crítico Como f es diferenciable, afirmar que el f’(c) ESTÁ definida mínimo se localice en el abierto Caso 2.2: Suponemos que f(x)d ) Caso 3: Cualquier otro es composición de los anteriores (por ejemplo, f(x)=d en el abierto..) TEOREMA 1: Teorema del Valor Extremo (TVE) “Resumen: f continua tiene mín y máx.” TEOREMA 2: Teorema del Punto Crítico (TPC) [Fermat] “Resumen: f mín y máx en puntos críticos.” TEOREMA 3: Teorema de Rolle (TR) “Sea f continua en [a,b] y diferenciable en (a,b). Si f(a)=f(b), entonces f tiene (almenos) un punto con derivada nula: c en (a,b) tal que f’(c)=0” Demo: Sea d=f(a)=f(b) Caso 1 Caso 2 ]a,b[ Caso 2.1: Suponemos que ! Como f(x) es cont, (“existe un máximo en x=c”)[*] !Como x=c es un máximo RELATIVO que NO ocurre en los extremos [*] y mínimo! (TEOREMA 2) Pero no podemos x=c es punto crítico Como f es diferenciable, afirmar que el f’(c) ESTÁ definida mínimo se localice en el abierto Caso 2.2: Suponemos que f(x)d ) Caso 3: Cualquier otro es composición de los anteriores (por ejemplo, f(x)=d en el abierto..) TEOREMA 1: Teorema del Valor Extremo (TVE) “Resumen: f continua tiene mín y máx.” TEOREMA 2: Teorema del Punto Crítico (TPC) [Fermat] “Resumen: f mín y máx en puntos críticos.” TEOREMA 3: Teorema de Rolle (TR) “Resumen: f(a)=f(b), f cont y dif!f’(c)=0.” TEOREMA 4: Teorema del Valor Medio (TVM) [Lagrange] “Sea f continua en [a,b] y diferenciable en (a,b). ! Entonces existe x=c tal que Demo: ! Como f es continua, también lo es g(x): Recta secante Ya que la “recta secante” es también continua en [a,b]. !g(x) satisface que g(a)=g(b)=0 y por tanto las condiciones del TEOREMA DE ROLLE ! Existe c : g’(c)=0, o sea: Nota: para demostrar este tma. es suficiente definir g(x)=f(x)-m·x, con m=[f(b)-f(a)]/[b-a], Los otros términos [-a·m y f(a)] NO contribuyen a la derivada g’(c)! [Esto se usa en TVMC] TEOREMA 1: Teorema del Valor Extremo (TVE) “Resumen: f continua tiene mín y máx.” TEOREMA 2: Teorema del Punto Crítico (TPC) [Fermat] “Resumen: f mín y máx en puntos críticos.” TEOREMA 3: Teorema de Rolle (TR) “Resumen: f(a)=f(b), f cont y dif!f’(c)=0.” TEOREMA 4: Teorema del Valor Medio (TVM) [Lagrange] “Resumen: f cont y dif!f’(c)=pend. rect. secante” TEOREMA 5: Teorema del Valor Medio de Cauchy (TVMC) “Sean f y g contínuas en [a,b] y diferenciables en (a,b) [ g’(x ]. (g(b),f(b)) ! Entonces existe x=c tal que f(x) ( c) ) Demo: (g(c),f ! Como f y g son continuas, también lo es h(x): (g(a),f(a)) Equivalente a m·x en TVM! ! Vemos que h(a)=h(b) g(x) Nota: df/dg=f’/g’ ! h(x) satisface que h(a)=h(b), con lo que por el TEOREMA DE ROLLE… ! Existe c : h’(c)=0, o sea: TEOREMA 1: Teorema del Valor Extremo (TVE) “Resumen: f continua tiene mín y máx.” TEOREMA 2: Teorema del Punto Crítico (TPC) [Fermat] “Resumen: f mín y máx en puntos críticos.” TEOREMA 3: Teorema de Rolle (TR) “Resumen: f(a)=f(b), f cont y dif!f’(c)=0.” TEOREMA 4: Teorema del Valor Medio (TVM) [Lagrange] “Resumen: f cont y dif!f’(c)=pend. rect. secante” TEOREMA 5: Teorema del Valor Medio de Cauchy (TVMC) “Res: f,g cont y dif!f’(c)/g’(c)=pend. rect. Sec.” TEOREMA 6: Regla de l’Hôpital Clase 10: 16/10/2023-START “Sean f y g diferenciables en (x0,c). Entonces, si “ ” !Consideremos dos puntos genéricos ‘x1’ y ‘x2’ en el intervalo (x0,c) tal que !Gráficamente, esto es: !Por el TVMC sabemos que: Demo (1/2): Caso 1: L=0 f(x) ! “acercamos x2 a c” (tomamos el límite en TVMC) (g(x2),f(x2)) ( c) ) ! “acercamos x1 a c” (tomamos el límite en ) (g(ξ),f(ξ)) (g(c),f “Si x1 !c, también lo hace ξ” Notación: ξ"!x1 (dummy) (g(x1),f(x1)) g(x) Nota: df/dg=f’/g’ TEOREMA 1: Teorema del Valor Extremo (TVE) “Resumen: f continua tiene mín y máx.” TEOREMA 2: Teorema del Punto Crítico (TPC) [Fermat] “Resumen: f mín y máx en puntos críticos.” TEOREMA 3: Teorema de Rolle (TR) “Resumen: f(a)=f(b), f cont y dif!f’(c)=0.” TEOREMA 4: Teorema del Valor Medio (TVM) [Lagrange] “Resumen: f cont y dif!f’(c)=pend. rect. secante” TEOREMA 5: Teorema del Valor Medio de Cauchy (TVMC) “Res: f,g cont y dif!f’(c)/g’(c)=pend. rect. Sec.” TEOREMA 6: Regla de l’Hôpital “Sean f y g diferenciables en (x0,c). Entonces, si “ ” !Consideremos dos puntos genéricos ‘x1’ y ‘x2’ en el intervalo (x0,c) tal que !Gráficamente, esto es: !Por el TVMC sabemos que: Demo (2/2): Caso 2: |L|=∞ f(x) ! Reescribimos TVMC como: ! “acercamos x2 a c” (tomamos el límite en ) (g(x2),f(x2)) ( c) ) (g(ξ),f(ξ)) (g(c),f ! “acercamos x1 a c” (tomamos el límite en ) (g(x1),f(x1)) g(x) Nota: df/dg=f’/g’ TEOREMA 1: Teorema del Valor Extremo (TVE) “Resumen: f continua tiene mín y máx.” TEOREMA 2: Teorema del Punto Crítico (TPC) [Fermat] “Resumen: f mín y máx en puntos críticos.” TEOREMA 3: Teorema de Rolle (TR) “Resumen: f(a)=f(b), f cont y dif!f’(c)=0.” TEOREMA 4: Teorema del Valor Medio (TVM) [Lagrange] “Resumen: f cont y dif!f’(c)=pend. rect. secante” TEOREMA 5: Teorema del Valor Medio de Cauchy (TVMC) “Res: f,g cont y dif!f’(c)/g’(c)=pend. rect. Sec.” TEOREMA 6: Regla de l’Hôpital “Sean f y g diferenciables en (x0,c). Entonces, si “ ” !Consideremos dos puntos genéricos ‘x1’ y ‘x2’ en el intervalo (x0,c) tal que !Gráficamente, esto es: !Por el TVMC sabemos que: Demo (2/2): Caso 2: |L|=∞ f(x) (g(x2),f(x2)) Nota: ( c) ) Observa que en la Demo (2/2) (diapositiva anterior), (g(ξ),f(ξ)) (g(c),f SOLO hemos usado que |g(x!c)|! , pero NO hemos necesitado imponer NADA sobre lim x. Esto quiere decir que el resultado es más general de lo que parece y (g(x1),f(x1)) funciona para cualquier f(x) [que satisfaga el enunciado del tma.] y no g(x) necesariamente para f(x) : lim x!c f(x)! Nota: df/dg=f’/g’ Ejercicios: Tma. de Rolle & del valor medio (TVMC en Python) Pista: Rolle! Ejercicios: l’Hôpital. La regla de l’Hôpital es necesaria cuando NO podemos factorizar las fracciones f(x)/g(x) y con ello averiguar su límite. Este suele ser el caso cuando se combinan funciones algebraicas y transcendentales. En ejs siguientes (ejs estándard): De qué tipo es la indeterminación, cuánto vale el límite?? “a veces tendrás que reconvertir 0·∞ en ∞/∞” * Comprueba que l’Hôpital de hecho se usa en la demostración del siguiente teorema Se trata de comprobar la igualdad; Sol={1,6,0,0,P/n} Pista, haz ln de la expresión Complicaciones… (aplicar la regla no parece servir) Intenta: (opt1) , (opt2) multiplicar TODO por exp(x) Intenta: (opt1) y=x^(0.5), (opt2) multiplicar TODO por x^(0.5) Pifias… Q: puedes usar l’Hôpital para demostrar que (x^n)’= ???? ! Sí, esta pregunta tiene truco [pista: se puede usar lo definido en una definición?] Ejercicios: df/dg=f’(g) En el TVMC nos encontramos con derivadas del tipo df/dg y dijimos que f’(g)=df/dg=f’(x)/g’(x). Esto se desprende directamente de la Regla de la cadena [f’(x)=f’(g)·g’(x)], pero no está de más ver su alcance. Aplicaciones de las derivadas: Problemas de Optimización Aplicaciones de las derivadas: Problemas de Optimización Cilindro metálico usando mínimo metal?? h=2r !! Clase 11: 17/10/2023-START V Con A=1 r Aplicaciones de las derivadas: Problemas de Optimización A+ Con r=1 Pista: dos soluciones, pero x-y>0! x Aplicaciones de las derivadas: Problemas de Optimización Pista: escribe t(x), deriva y luego usa trigon para simplificar el resultado (si trabajas con x te sale una cuártica difícil) Q: Cómo sabe eso la luz?????? Aplicaciones de las derivadas: Problemas de Optimización Area máxima triángulo? y y=a-x^2 B A x C y=x^2-a Aplicaciones de las derivadas: Problemas de Optimización Ojo de las abejas Aplicaciones de las derivadas: Problemas de Optimización Ojo de las abejas  Clase 12: 22/10/2023-START Aplicaciones de las derivadas: Diferenciales y teoría errores Diferencial de una función: interpretación geométrica Definición: Esta distancia es ladiferencial cuando Δx!0 “la elevación de la función debida a su tangente en x=c” demostrémoslo: Diferencial de una función: Usos Error en V? Propiedades (análogas a las de las derivadas!)  Aplicaciones de las derivadas: Aproximación de funciones a polinomios: Series de TAYLOR  Aplicaciones de derivadas: Aproximación de funciones a polinomios - Series de TAYLOR De la funciones elementales, los polinomios son la más sencillas ! En particular, piensa en sqrt(x), exp(x), sin(x), cos(x), ln(x), … SABES EVALUARLAS? Expresiones muy útiles! (y más si sirven con pocos términos) !Aproximar funciones ‘complicadas’ a polinomios es más que útil. !Esto es lo que consigue Taylor, y las consiguientes ventajas son: (i) aproximar de modo sencillo la función (ii) “ “ “ “ “ “ la derivada (iii) “ “ “ “ “ “ la integral (iv) Acotar error en la aproximación ! Veamos cómo lo hizo!...  Pk(x): polinomio de Taylor R(x): RESTO (o error) Con esto, R(x)! 0 cuando x!c más rápidamente que (Pizarra) el término k-ésimo de Pk(x) Antes de nada… Revisad polinomios ‘centrados’ en ‘c’, p(x-c), demostrad qua siempre se puede pasar de p(x) a p(x-c). Notad la forma de las derivadas n-ésimas en c, p(n)(c) Demo: lim x!c h(x)=···(usando Hôpital k veces)···=0 si y solo si los coefs de Pk(x) son an=f(n)(c)/n! lim x!c h(x)=0 !el error, R(x)=hk(x)(x-c)k, va a cero mucho más rápidamente que (x-c)k, o sea que R(x)!0 más rápido que el término k-ésimo de Pk(x). Hemos demostrado la forma del polinomio de Taylor, Pk(x), y que hk(x) ! 0 cuando x!c más rápidamente que lo que lo hace (x-c)k, [y por lo tanto que el término f(k)(c)(x-c)k/k!] … pero quedan preguntas! (muy importantes): !1.- Cuánto vale el error cometido R(x) ?? [lo vemos hoy] (Sin esto no sabemos si nuestra aprox es buena o mala!) !2.- En qué intervalo de x alrededor de ‘c’ es este error pequeño?? [lo vemos mañana] (Sin esto no sabemos cómo de lejos de ‘c’ nos podemos ir!)  Pk(x): polinomio de Taylor R(x): RESTO (o error) Con esto, R(x)! 0 cuando x!c más rápidamente que (Pizarra) el término k-ésimo de Pk(x) Cálculo del error R(x). Usaremos TVML y TVMC… 1.- Usando el TVML Demo: !introduce la F(t)=Pk(x,c!t), la ‘t’ es la variable! !Notad que: F(x)=f(x) y que F(c)=Pk(x)=f(x)-R(x) !Aplicamos TVML: F’(xi)=(F(x)-F(c))/(x-c) !Calcula F’(ξ)=f(k+1)(ξ)(x-ξ)k/k! !R(x)= f(k+1)(ξ)(x-ξ)k(x-c)/k! ESTA FORMA de R(x) NO ES MUY ÚTIL ΕΝ LA PRÁCTICA (a menos que conozcas ξ)  Clase 13: 24/10/2023-START Pk(x): polinomio de Taylor R(x): RESTO (o error) Con esto, R(x)! 0 cuando x!c más rápidamente que (Pizarra) el término k-ésimo de Pk(x) Cálculo del error R(x). Usaremos TVML y TVMC… 2.- Usando el TVMC Demo: !introduce la F(t)=Pk(x,c!t), la ‘t’ es la variable! !Notad que: F(x)=f(x) y que F(c)=Pk(x)=f(x)-R(x) !Aplicamos TVMC: F’(xi)/G’(xi)=(F(x)-F(c))/(G(x)-G(c)) !Calcula F’(ξ)=f(k+1)(ξ)(x-ξ)k/k! !R(x)= f(k+1)(ξ)(x-ξ)k(G(x)-G(c))/(G’(ξ)·k!) Usando G(t)=t-c ! recuperas la forma obtenida en TVML, Usando G(t)=(x-t)k+1! obtienes la forma más conveniente: R(x)= f(k+1)(ξ)(x-c)k+1/(k+1)!  Pk(x): polinomio de Taylor R(x): RESTO (o error) Con esto, R(x)! 0 cuando x!c más rápidamente que (Pizarra) el término k-ésimo de Pk(x) Cota del error R(x). Usando el error dado por podemos obtener una expresión para su COTA:  Pk(x): polinomio de Taylor (*) R(x): RESTO (o error) Con esto, R(x)! 0 cuando x!c más rápidamente que el término k-ésimo de Pk(x) Repaso y observaciones: !En el desarrollo de TAYLOR podemos tener DOS situaciones: (a) Usamos un número finito (k) de términos: El polinomio Pk(x) y el error asociado, R(x) (b) Usamos un número infinito (k!∞) de términos. (b.1) En el intervalo en el cual la serie CONVERGE ! R(x)=0 (b.2) En el intervalo en el cual la serie DIVERGE ! |R(x)|>0 Qué tenéis que saber? (TEO) Entended demostración del tma. de Taylor Cuidado! Las series NO son Desarrollo teórico del cálculo del error, R(x) polinomios, aunque se (PROBL) parezcan en la forma. Calcular polinomios de Taylor de orden k, Pk(x) ! LAS SERIES DE TAYLOR Usar la fórmula del error asociada a Pk(x) son SERIES DE POTENCIAS: Calcular series de Taylor (los ∞ términos) Determinar el intervalo de convergencia de las series “Serie de potencias centrada en x=c” [ver 2 diapositivas más abajo ] (*) Cuando c=0, entonces el polinomio se llama también de McLaurin Ejercicios: Polinomios y series de Taylor 1.- Escribe el desarrollo en serie de Taylor de exp(x) centrado en x=c (a) Qué forma toma para c=0? (b) Puedes calcular una aproximación al número e? 2.- Escribe Polinomio de Taylor de orden ‘n’, para ln(x) centrado en x=1. (a) Evalúa ln(1.1) a orden (de precisión) k=4 (b) Aproxima ln(1.2) con un error