الفصل السادس: حركة منظومة جزيئات (Motion of System of Particles) PDF

‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‪ :‬ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‬ ‫ﺣﺮﻛﺔ ﻣﻨﻈﻮﻣﺔ ﺟﺴﻤﺎﺕ‬ ‫)‪(Motion of System of Particles‬‬ ‫‪ 1-6‬ﺘﻤﻬ...

‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‪ :‬ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻔﺼﻞ ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‬ ‫ﺣﺮﻛﺔ ﻣﻨﻈﻮﻣﺔ ﺟﺴﻤﺎﺕ‬ ‫)‪(Motion of System of Particles‬‬ ‫‪ 1-6‬ﺘﻤﻬﻴﺩ‪ :‬ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ )‪(center of mass‬‬ ‫ﺨﻼل ﺩﺭﺍﺴﺘﻨﺎ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﻭﺘﺤﺭﻴﻙ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﻟﻡ ﻨﻌﺭ ﺤﺠﻤﻬﺎ ﺃﻭ‬ ‫ﺃﺒﻌﺎﺩﻫﺎ ﺃﻱ ﺍﻫﺘﻤﺎﻡ‪ ،‬ﻭﺍﻜﺘﻔﻴﻨﺎ ﺒﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﻓﻲ ﺃﻏﻠﺏ ﺍﻷﺤﻴﺎﻥ ﺒﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﺃﻭ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﺃﻭ ﻤﺴﺘﻁﻴل‪.‬ﻭﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺘﻤﺭ ﻜﻠﻬﺎ ﻤﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺘﻘﻊ ﻓﻲ ﻤﻨﺘﺼﻔﻪ‪ ،‬ﻜﻤﺎ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(1-6‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪.(1-6‬‬ ‫ﺇﻻ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺒﺴﻴﻁ ﻏﻴﺭ ﺼﺤﻴﺢ ﻓﻲ ﻜل ﺍﻷﺤﻭﺍل ﺇﺫ ﻻﻴﻭﺠﺩ ﺠﺴﻡ ﺼﻐﻴﺭ ﻟﺩﺭﺠﺔ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻤﺜﻴﻠﻪ ﺒﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﻭﺍﺤﺩﺓ‪ ،‬ﻭﻟﻭ ﻨﻅﺭﻨﺎ ﻟﺠﺴﻡ ﻜﺒﻴﺭ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺸﻜل ﺍﻨﺘﻘﺎﻟﻲ )ﺃﻭ ﺍﻨﺴﺤﺎﺒﻲ ‪ (translational‬ﻓﻘﻁ ﻟﻭﺠﺩﻨﺎ ﺃﻥ‬ ‫ﻜل ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻨﻪ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﻜل ﺘﻤﺎﻤﺎ‪ ،‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﻜﺎﻓﺊ ﻟﻨﻘﻁﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﻤﻤﻜﻥ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪.‬ﺇﻻ ﺃﻨﻪ ﻟﻭ ﻜﺎﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺠﺴﻡ ﻜﺒﻴﺭ ﻴﺘﺤﺭﻙ‬ ‫ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ )ﻜﺎﻨﺘﻘﺎل ﻭﺩﻭﺭﺍﻥ( ﻟﺘﺤﺭﻜﺕ ﻜل ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻨﻪ ﺒﺸﻜل ﻤﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ﻏﻴﺭﻫﺎ ﻜﺸﺨﺹ ﻴﻘﻔﺯ ﻟﻠﻤﺎﺀ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ ،(2-6‬ﻓﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻜل‬ ‫ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻨﻪ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺒﺸﻜل ﻤﻌﻘﺩ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺩﻭﺭ ﻭﺘﻨﺘﻘل ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻭﻗﺕ‬ ‫‪C‬‬ ‫ﻭﻻﻴﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺭ ﺍﻟﻘﺫﻴﻔﺔ ﺍﻟﻘﻁﻌﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﻭﺠﺩﻨﺎﻩ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺼل‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(2-6‬‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪.‬ﻟﻜﻥ ﻟﻭ ﺃﻤﻌﻨﺎ ﺍﻟﻨﻅﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (2-6‬ﻟﺭﺃﻴﻨﺎ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﻤﻥ‬ ‫‪155‬‬  ‫‪ 2-6‬ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻨﻘﻁﻴﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺠﺴﻡ‪ ،C ،‬ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻓﻌﻼ ﻋﻠﻰ ﻤﺴﺎﺭ ﻗﻁﻊ ﻤﻜﺎﻓﺊ‪ ،‬ﻭﻜﺄﻨﻬﺎ ﺠﺴﻡ ﻴﻁﻴﺭ ﺘﺤﺕ ﺘﺎﺜﻴﺭ ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ‪.‬ﻨﻁﻠﻕ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﺴﻡ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ )‪ (center of mass‬ﻭﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺩﻭ ﻭﻜﺄﻥ ﻜل ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﺘﺠﻤﻊ ﻋﻨﺩﻫﺎ‬ ‫ﻭﺨﺎﻀﻌﺔ ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ‪.‬ﻭﺴﻨﺩﺭﺱ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻔﺼل ﻜﻴﻑ ﻨﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻨﻘﺎﻁ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﺃﻭ ﺠﺴﻡ ﻜﺒﻴﺭ ﺜﻡ ﻨﺴﺘﺨﻠﺹ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﺩﺩ ﻜﻴﻑ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ‬ ‫ﻭﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻜﺒﻴﺭﺓ‪.‬‬ ‫‪ 2-6‬ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻨﻘﻁﻴﻴﻥ‬ ‫ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺠﺴﻴﻡ ﻨﻘﻁﻲ )ﺃﻱ ﺼﻐﻴﺭ ﺠﺩﺍ( ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺃﺒﻌﺎﺩﻩ ﻤﻥ ﻁﻭل ﻭﻋﺭﺽ ﻭﺍﺭﺘﻔﺎﻉ ﺼﻐﻴﺭﺓ‬ ‫ﺠﺩﺍ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﻊ ﺒﻌﺩﻩ ﻋﻨﺎ‪ ،‬ﻜﺎﻟﻨﺠﻭﻡ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺭﺍﻫﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻤﺎﺀ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﻌﺘﺒﺭﻫﺎ ﻨﻘﺎﻁﺎ ﻤﻀﻴﺌﺔ ﻟﻜﻨﻬﺎ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺃﺭﻀﻨﺎ ﺒﻤﻼﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ‪.‬ﻟﻨﻌﺘﺒﺭ ﺇﺫﺍ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻨﻘﻁﻴﻴﻥ )ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻜﺒﻴﺭﺓ‬ ‫‪y‬‬ ‫ﺠﺩﺍ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﻊ ﺃﺒﻌﺎﺩ ﺃﻱ ﻤﻨﻬﻤﺎ( ‪ m1‬ﻭ‪ m2‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻌﻴﻥ ‪x1‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫ﻭ ‪ x2‬ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ ،‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺭﺍﻗﺏ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪c.m. x2‬‬ ‫ﻤﻭﺠﻭﺩ ﻋﻨﺩ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪.(3-6‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻌﺭﻑ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(3-6‬‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﺭﺍﻗﺏ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬ ‫‪m1 x 1 + m 2 x 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(1-6‬‬ ‫= ‪x c.m.‬‬ ‫=‬ ‫) ‪(m1 x 1 + m 2 x 2‬‬ ‫‪m1 + m 2‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ﻭﻀﻌﻨﺎ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ‪. M = m1 + m 2‬‬ ‫ﻤﺜل ‪1-6‬‬ ‫ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻨﻘﻁﻴﻴﻥ ‪ m1=1 kg‬ﻭ ‪ m2=4 kg‬ﻴﺒﻌﺩﺍﻥ ﻋﻥ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ‪3m‬؟‬ ‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻭﺍﺼل ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﻴﻥ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻨﻀﻊ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ )ﺃﻱ ﻤﻭﻀﻊ‬ ‫ﺍﻟﻤﺭﺍﻗﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﺩﺩ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﻤﺎ( ﻋﻨﺩ ‪ m1‬ﻤﺜﻼ‪ ،‬ﻓﻴﺼﻴﺭ ﺇﺤﺩﺍﺜﻲ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ﺍﻷﻭل ‪x1=0‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪.x2=3 m‬ﺜﻡ ﻨﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ (1-6‬ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪m1 x 1 + m 2 x 2‬‬ ‫)‪(2 kg)(0) + (4 kg)(3 m‬‬ ‫= ‪x c.m.‬‬ ‫=‬ ‫‪=2m‬‬ ‫‪m1 + m 2‬‬ ‫‪6 kg‬‬ ‫ﻓﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻴﺒﻌﺩ ‪ 2 m‬ﻋﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ‪.m1‬‬ ‫‪156‬‬  ‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‪ :‬ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ‬ ‫‪ 3-6‬ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻋﺩﺓ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﻤﻴﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ (1-6‬ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻋﺩﺓ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ‪ m1‬ﻭ ‪ m2‬ﻭ… ‪ ،m3‬ﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ‬ ‫ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻊ ‪ r1‬ﻭ ‪ r2‬ﻭ ‪ ،... r3‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪.(4-6‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﺠﺩ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬ ‫‪m1r1 + m2 r2 + " 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫)‪(2-6‬‬ ‫= ‪Rc.m.‬‬ ‫" ‪m1 + m2 +‬‬ ‫=‬ ‫‪M‬‬ ‫= )" ‪(m1r1 + m2 r2 +‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪∑m r‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪i i‬‬ ‫ﻭﺒﺄﺨﺫ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ‪ ox‬ﻭ ‪ oy‬ﻭ ‪ oz‬ﻨﺠﺩ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫= ‪xc.m.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪∑m x‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫)‪(3-6‬‬ ‫‪yc.m.‬‬ ‫=‬ ‫‪M‬‬ ‫‪∑m y‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪z c.m.‬‬ ‫=‬ ‫‪M‬‬ ‫‪∑m z‬‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪r1‬‬ ‫‪c.m.‬‬ ‫‪rcm‬‬ ‫‪m6‬‬ ‫‪m3‬‬ ‫‪r3‬‬ ‫‪r6‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪r5 r4‬‬ ‫‪m4‬‬ ‫‪m5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(4-6‬‬ ‫ﻤﺜل ‪2-6‬‬ ‫ﺠﺩ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺘﻭﺯﻉ ﺍﻵﺘﻲ‪ m1=1 kg :‬ﻋﻨﺩ )‪ (1,2,2‬ﻭ‪ m2=0.5 kg‬ﻋﻨﺩ )‪ (0,2,1‬ﻭ‪m3=2 kg‬‬ ‫ﻋﻨﺩ )‪ (−1,0,0‬ﻭ ‪ m4=1.5 kg‬ﻋﻨﺩ )‪.(2, −1, −2‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ )‪ (3-6‬ﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫)‪1((1) + 0.5(0) + 2(−1) + 1.5(2‬‬ ‫= ‪x c.m.‬‬ ‫‪= 0.4 m‬‬ ‫‪1 + 0.5 + 2 + 1.5‬‬ ‫)‪1((2) + 0.5(2) + 2(0) + 1.5(−1‬‬ ‫= ‪y c.m.‬‬ ‫‪= 0.3 m‬‬ ‫‪1 + 0.5 + 2 + 1.5‬‬ ‫)‪1((2) + 0.5(1) + 2(0) + 1.5(−2‬‬ ‫= ‪z c.m.‬‬ ‫‪= −0.1 m‬‬ ‫‪1 + 0.5 + 2 + 1.5‬‬ ‫‪157‬‬ ‫‪ 4-6‬ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ – ﺍﻟﻜﺜﺎﻓﺔ‬ ‫ﻤﺜل ‪3-6‬‬ ‫ﺠﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺜﻼﺙ ﻜﺘل ‪ m1=1 kg‬ﻭ‪m2=2 kg‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪5,5 3‬‬ ‫‪m3‬‬ ‫ﻭ‪ m3=3 kg‬ﻤﻭﻀﻭﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﺭﺃﺱ ﻤﺜﻠﺙ ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ‬ ‫ﻁﻭل ﻀﻠﻌﻪ ‪ ،10 cm‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪.(5-6‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻟﻨﺨﺘﺭ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ‪ ox‬ﻭ‪ ،oy‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ ،(5-6‬ﻓﺘﻜﻭﻥ‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪(0,0‬‬ ‫)‪(10,0‬‬ ‫ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﺍﻟﻜﺘل ﻫﻲ )‪ (0,0‬ﻭ )‪ (10,0‬ﻭ )‪. (5,5 3‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(5-6‬‬ ‫ﻭﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ )‪ (3-6‬ﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫)‪1(0) + 2(10) + 3(5‬‬ ‫= ‪xc.m.‬‬ ‫‪= 5.8 cm‬‬ ‫‪1+ 2 + 3‬‬ ‫) ‪1(0) + 2(0) + 3(5 3‬‬ ‫= ‪y c.m.‬‬ ‫‪= 4.3 cm‬‬ ‫‪1+ 2 + 3‬‬ ‫ﻭﻴﺠﺩﺭ ﺍﻟﺘﻨﻭﻴﻪ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻤﻭﻗﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻻﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭﻨﺎ ﻟﻠﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ‪ ،‬ﺒل‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻨﻭﻉ ﻭﺘﻭﺯﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﺅﻟﻔﺔ ﻟﻠﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﺩﺭﻭﺱ ﻓﻘﻁ‪.‬ﻓﻔﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﺴﻴﺒﻘﻰ ﻤﻭﻀﻊ‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻨﻔﺴﻪ ﺴﻭﺍﺀ ﺍﺨﺘﺭﻨﺎ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺒﺎﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺃﻋﻼﻩ ﺃﻭ ﻏﻴﺭﻫﺎ‪ ،‬ﻭﻴﺒﻘﻰ ﺒﻌﺩﻩ ﻋﻥ ﺍﻟﺨﻁ ﺍﻟﻭﺍﺼل‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻜﺘﻠﺘﻴﻥ ‪ m1‬ﻭ ‪) m2‬ﺃﻱ ‪ (yc.m.‬ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﺇﻟﻰ ‪ 4.3 cm‬ﺩﻭﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪ 4-6‬ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ‪ ،‬ﺍﻟﻜﺜﺎﻓﺔ )‪(density‬‬ ‫ﺘﺘﺄﻟﻑ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﻜﺒﻴﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻋﺘﺒﺎﺭﻫﺎ ﺘﻭﺯﻋﺎ ﻤﺴﺘﻤﺭﺍ ﻟﻠﻜﺘﻠﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ‪ M‬ﻟﻠﺠﺴﻡ ﻋﻠﻰ ﺤﺠﻤﻪ ﺍﻟﻜﻠﻲ ‪.V‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻟﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭﻩ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﺼﻐﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ ‪ ∆mi‬ﻴﺘﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻜل ﻤﻨﻬﺎ ﺒﻤﺘﺠﻪ ) ‪، ri = (x i , yi , z i‬‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻨﺠﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻟﺘﻘﺭﻴﺒﻴﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫⎧‬ ‫‪1 N‬‬ ‫∑‪⎪X c.m. = M i‬‬‫‪=1‬‬ ‫‪(∆m i )x i‬‬ ‫⎪‬ ‫⎪‬ ‫‪1 N‬‬ ‫)‪(4-6‬‬ ‫= ‪⎨Y c.m.‬‬ ‫‪∑ (∆m i )y i‬‬ ‫⎪‬ ‫‪M i =1‬‬ ‫‪⎪Z‬‬ ‫‪1 N‬‬ ‫=‬ ‫‪∑ (∆m i )z i‬‬ ‫⎩⎪‬ ‫‪c‬‬ ‫‪.‬‬‫‪m‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪M i =1‬‬ ‫ﻭﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﺘﻘﺭﻴﺒﻴﺔ ﻷﻥ ﻜل ﻜﺘﻠﺔ ﻋﻨﺼﺭﻴﺔ ‪ ∆mi‬ﺘﺤﺘل ﺤﺠﻤﺎ ﺼﻐﻴﺭﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺴﻡ‬ ‫ﺍﻟﺼﻠﺏ‪ ،‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺤﺩﺩ ﺍﻟﻤﺘﺠﻪ ‪ ri‬ﻤﻭﻀﻊ ﻨﻘﻁﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻨﻪ ﻭﻟﻴﺱ ﻤﻭﻀﻊ ﻜل ﻨﻘﺎﻁﻪ‪.‬ﻓﺈﺫﺍ ﺃﺭﺩﻨﺎ ﺠﻌل‬ ‫‪158‬‬  ‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‪ :‬ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ )‪ (4-6‬ﺃﻜﺜﺭ ﺩﻗﺔ ﻭﺠﺏ ﻋﻠﻴﻨﺎ ﺠﻌل ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭﻴﺔ ‪ ∆mi‬ﺃﺼﻐﺭ ﻤﺎﻴﻤﻜﻥ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻤﻜﻥ‬ ‫ﺍﻋﺘﺒﺎﺭﻫﺎ ﻨﻘﻁﻴﺔ ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺒـ ‪ ،dm‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ ،(6-6‬ﻤﻤﺎﻴﺠﻌل ﻋﺩﺩﻫﺎ ﻜﺒﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ‬ ‫ﻭﻴﺘﻨﺎﻫﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ )‪ (4-6‬ﺇﻟﻰ ﺘﻜﺎﻤل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪z‬‬ ‫⎧‬ ‫‪1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪dm‬‬ ‫‪⎪X c.m. = M ∆m‬‬‫= ‪lim ∑ (∆m i )x i‬‬ ‫‪MV‬‬ ‫‪∫ xdm‬‬ ‫‪i →0 i =1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫⎪‬ ‫⎪‬ ‫‪1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(5-6‬‬ ‫= ‪⎨Y c.m.‬‬ ‫= ‪lim ∑ (∆m i )y i‬‬ ‫‪∫ ydm‬‬ ‫⎪‬ ‫‪M‬‬ ‫‪∆m i →0 i =1‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪⎪Z‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫= ‪lim ∑ (∆m i )z i‬‬ ‫‪∫ zdm‬‬ ‫⎩⎪‬ ‫‪c‬‬ ‫‪.‬‬‫‪m‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(6-6‬‬ ‫‪M ∆mi →0 i =1‬‬ ‫‪MV‬‬ ‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻜﺜﺎﻓﺔ ﺇﺫ ﺘﺨﺘﻠﻑ ﺍﻷﺠﺴﺎﻡ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ ﻋﻥ ﺒﻌﻀﻬﺎ‬ ‫ﺒﺤﺴﺏ ﻨﻭﻋﻬﺎ‪.‬ﻓﻬﻨﺎﻙ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺜﻘﻴﻠﺔ ﻭﺃﺨﺭﻯ ﺨﻔﻴﻔﺔ ﻭﻤﺎﻴﻤﻴﺯﻫﺎ ﻋﻥ ﺒﻌﻀﻬﺎ ﻫﻭ ﻜﺜﺎﻓﺘﻬﺎ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﻌﺭﻓﻬﺎ‬ ‫ﺒﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﺍﻟﺤﺠﻡ‪ ،‬ﺃﻱ‬ ‫‪M‬‬ ‫)‪(6-6‬‬ ‫=‪ρ‬‬ ‫‪V‬‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻤﺭﻜﺏ ﻤﻥ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﺃﻭ ﺒﺘﻭﺯﻉ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻌﺭﻑ ﻜﺜﺎﻓﺔ ﻜﺘﻠﺔ‬ ‫ﻋﻨﺼﺭﻴﺔ ‪ ∆m‬ﺒﺎﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪∆m‬‬ ‫)‪(7-6‬‬ ‫=‪ρ‬‬ ‫‪∆V‬‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ ∆m‬ﺼﻐﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻴﺼﻴﺭ ﺤﺠﻤﻬﺎ ‪ ∆V‬ﺼﻐﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﺃﻴﻀﺎ ﻭﺘﺅﻭل ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‬ ‫ﺇﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪dm‬‬ ‫)‪(8-6‬‬ ‫=‪ρ‬‬ ‫‪dV‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻋﻥ ‪ dm‬ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺎﺕ )‪ (5-6‬ﺘﺼﻴﺭ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻤﻌﻁﺎﺓ ﺒﺎﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫⎧‬ ‫‪1‬‬ ‫∫‪M V‬‬ ‫= ‪⎪ X c.m.‬‬ ‫‪ρ xdV‬‬ ‫⎪‬ ‫⎪⎪‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(9-6‬‬ ‫= ‪⎨Yc.m.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪∫ ρydV‬‬ ‫⎪‬ ‫‪V‬‬ ‫⎪‬ ‫‪1‬‬ ‫∫‪M V‬‬ ‫= ‪⎪Z c.m.‬‬ ‫‪ρ zdV‬‬ ‫⎩⎪‬ ‫‪159‬‬  ‫‪ 5-6‬ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ‬ ‫ﻓﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﻟﻴﺱ ﺴﻬﻼ ﺒل ﻗﺩ ﻴﻜﻭﻥ ﻏﺎﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻌﻘﻴﺩ ﻷﻨﻪ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺸﻜل ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻭﻜﻴﻔﻴﺔ ﺘﻭﺯﻉ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻓﻴﻪ‪.‬ﻟﺫﺍ ﻨﻜﺘﻔﻲ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﺒﺎﻷﺠﺴﺎﻡ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻜﺜﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﻭﻓﻕ‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ (6-6‬ﻓﻘﻁ‪ ،‬ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﺃﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻡ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﻴﻨﻁﺒﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺭﻜﺯﻩ‬ ‫ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ‪.‬ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻜﺭﺓ ﺼﻠﺒﺔ ﻤﺘﺠﺎﻨﺴﺔ ﻓﺈﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ﻴﻘﻊ ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ‪.‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻟﻭ‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺴﺔ‪ ،‬ﺃﻱ ﻤﺅﻟﻔﺔ ﻤﻥ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺤﺘﻤل ﺃﻥ ﻻﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ﻓﻲ‬ ‫ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ‪.‬‬ ‫‪ 5-6‬ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ‬ ‫ﺴﻨﺩﺭﺱ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﻜﻴﻑ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺃﺠﺯﺍﺅﻫﺎ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ‬ ‫ﻗﻭﻯ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‪.‬ﻓﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺅﻟﻔﺔ ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ‪ m1‬ﻭ ‪ m2‬ﻭ‪.. m3‬ﻭ ‪mn‬‬ ‫ﻤﺘﻭﺍﺠﺩﺓ ﻋﻨﺩ ‪ r1‬ﻭ ‪ r2‬ﻭ‪.. r3‬ﻭ ‪ ،rn‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬ﻋﻨﺩﺌﺫ ﻨﻜﺘﺏ ﻤﺘﺠﻪ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺒﻜﺘﺎﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ (2-6‬ﺒﺎﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫)‪(10-6‬‬ ‫‪MR c.m. = m1r1 + m2 r2 + " + mn rn‬‬ ‫ﻭﺒﺎﺸﺘﻘﺎﻕ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪dR c.m.‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪= m1 1 + m 2 2 + " + mn n‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ‪ dri /dt = v i‬ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ‪ ،i‬ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ‪ dR c.m. /dt = Vc.m.‬ﻫﻲ ﺴﺭﻋﺔ ﻤﺭﻜﺯ‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ‪.‬ﻭﻟﺫﺍ ﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫)‪(11-6‬‬ ‫‪MVc.m. = m1 v1 + m2 v 2 + " + mn v n‬‬ ‫ﻭﺘﺭﺒﻁ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺒﻴﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻭﺍﻷﺠﺯﺍﺀ ﺍﻟﻤﺅﻟﻔﺔ ﻟﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺸﻜل ﻨﺠﺩ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺒﺎﺸﺘﻘﺎﻕ )‪:(11-6‬‬ ‫‪dVc.m.‬‬ ‫‪dv1‬‬ ‫‪dv 2‬‬ ‫‪dv n‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪= m1‬‬ ‫‪+ m2‬‬ ‫‪+ " + mn‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ ‪ dv i /dt = ai‬ﻫﻭ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ‪ ،i‬ﻜﻤﺎ ﺃﻥ ‪ dVc.m. /dt = ac.m.‬ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ‪ ،‬ﻓﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫)‪(12-6‬‬ ‫‪Mac.m. = m1a1 + m2 a 2 + " + mn an‬‬ ‫‪160‬‬  ‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‪ :‬ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ‬ ‫ﻟﻨﺒﺤﺙ ﺍﻵﻥ ﻋﻥ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﻬﺎ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺨﻀﻊ ﺃﺠﺯﺍﺅﻫﺎ ﻟﻘﻭﻯ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‪.‬‬ ‫ﻓﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﺤﺩ ‪ Fi = m i a i‬ﻴﻤﺜل ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ‪ i‬ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻷﺨﺭﻯ‬ ‫ﻭﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ‪.‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﻜﺘﺏ )‪ (12-6‬ﺒﺎﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫)‪(13-6‬‬ ‫‪Mac.m. = F1 + F2 + " + Fn = (Fext )T‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ﺘﻤﺜل ‪ (Fext )T‬ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ‪ ،‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻨﻌﺘﺒﺭ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﺩﻟﺔ ﺒﻴﻥ ﺃﺠﺯﺍﺌﻬﺎ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﺒﺤﺴﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻌل ﻭﺭﺩ ﺍﻟﻔﻌل‪.‬ﻭﻤﻥ ﺜﻡ‬ ‫ﻨﻜﺘﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻤﻥ )‪:(13-6‬‬ ‫)‪(14-6‬‬ ‫‪(Fext )T = Mac.m.‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﻭﻜﺄﻨﻪ ﺠﺴﻡ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻜﻠﻪ ﻭﻴﺨﻀﻊ ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ‬ ‫ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻪ‪.‬ﺇﻻ ﺃﻨﻪ ﻴﺠﺏ ﺍﻻﻨﺘﺒﺎﻩ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻟﻴﺱ ﺇﻻ ﻤﻔﻬﻭﻡ ﻨﻅﺭﻱ‬ ‫ﻓﻘﻁ ﻭﻻﻴﻤﺜل ﺠﺴﻤﺎ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﺒﺤﺩ ﺫﺍﺘﻪ‪.‬ﻭﻟﻭ ﻨﻅﺭﻨﺎ ﻟﺤﻠﻘﺔ ﻤﻔﺭﻏﺔ ﺘﻁﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﻤﺜﻼ ﻟﺭﺃﻴﻨﺎ ﺃﻥ‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻘﻊ ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﻋﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ ﻭﻻﻴﻭﺠﺩ ﻫﻨﺎﻙ ﺸﺊ ﻤﺎﺩﻱ‪،‬‬ ‫ﻟﻜﻨﻨﺎ ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﺍﻟﺤﻠﻘﺔ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻓﻲ ﺍﻟﻬﻭﺍﺀ ﻭﻜﺄﻨﻬﺎ ﻜﺘﻠﺔ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ‪.‬ﻭﻟﻭ ﻨﻅﺭﻨﺎ‬ ‫ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺍﻟﻤﺅﻟﻔﺔ ﻤﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺍﻟﻘﻤﺭ ﻤﺜﻼ ﻟﻼﺤﻅﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﺘﺨﻀﻊ ﻟﺠﺫﺏ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﻭﺍﻟﺸﻤﺱ ﻭﺒﻘﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺸﻤﺴﻴﺔ‪.‬ﻭﻜﺫﻟﻙ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻘﻤﺭ ﻴﺨﻀﻊ ﻟﺠﺫﺏ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺍﻟﺸﻤﺱ ﻭﺒﻘﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ‪.‬ﻟﻜﻥ ﻟﻭ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺍﻟﻤﺅﻟﻔﺔ ﻤﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺍﻟﻘﻤﺭ ﻤﻌﺎ ﻭﺘﺘﺒﻌﻨﺎ ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ‬ ‫ﻜﺘﻠﺘﻬﻤﺎ ﻟﻼﺤﻅﻨﺎ ﺃﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻋﻠﻴﻬﻤﺎ ﻫﻲ ﻗﻭﻯ ﺠﺫﺏ ﺍﻟﺸﻤﺱ ﻭﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﻜﻭﺍﻜﺏ ﻭﺍﻟﺘﻲ ﻫﻲ ﻗﻭﻯ‬ ‫ﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﻋﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ‪.‬ﺃﻤﺎ ﻗﻭﻯ ﺍﻟﺘﺠﺎﺫﺏ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻓﻤﺤﺼﻠﺘﻬﺎ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻷﻨﻬﺎ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﻭﻤﺘﻌﺎﻜﺴﺔ‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺍﻟﻘﻤﺭ‪.‬‬ ‫ﻤﺜل ‪4-6‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ m2=2 kg‬ﻭ ‪m3=3 kg‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﻜﺘل ﺍﻟﺜﻼﺙ ‪m1=1 kg‬‬ ‫‪20 N‬‬ ‫‪m3‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ (7-6‬ﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﺘﺤﺕ ﺘﺄﺜﻴﺭ ﺍﻟﻘﻭﻯ‬ ‫)‪(0,2‬‬ ‫‪10 N‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫)‪(4,1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﻴﻨﺔ‪.‬ﻤﺎﻤﻭﻀﻊ ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻟﺤﻅﺔ ﺍﻟﺒﺩﺍﻴﺔ؟‬ ‫‪x‬‬ ‫‪14 N‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﺤﺩﺩ ﻤﻭﻀﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻟﺤﻅﺔ ﺍﻟﺒﺩﺀ ﺒﻜﺘﺎﺒﺔ‪:‬‬ ‫)‪(-2,-2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪rc.m.‬‬ ‫) ‪(m1r1 + m 2 r2 + m 3 r3‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(7-6‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪161‬‬ ‫‪ 6-6‬ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ‬ ‫ﻭﺒﺄﺨﺫ ﻤﺭﻜﺒﺎﺕ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ox‬ﻭ ‪ oy‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪x c.m.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪[1(4) + 2(0) + 3(−2)] = −0.33 m‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪y c.m.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪[1(1) + 2(2) + 3(−2)] = −0.17 m‬‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻨﻜﺘﺏ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺒﻜﺘﺎﺒﺔ‪:‬‬ ‫‪Ma c.m. = F1 + F2 + F3‬‬ ‫ﻭﻨﺄﺨﺫ ﻤﺭﻜﺒﺎﺘﻬﺎ ﺃﻴﻀﺎ‪:‬‬ ‫‪6a x = 0 + 10 − 14 = −4 ⇒ a x = −0.67 m/s 2‬‬ ‫‪6a y = 20 + 0 − 0 = 20 ⇒ a y = 3.33 m/s 2‬‬ ‫ﻓﺘﺼﻴﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ‪:‬‬ ‫‪a c.m. = a x2 + a y2 = 3.40 m/s 2‬‬ ‫ﻭﻨﺤﺩﺩ ﺍﺘﺠﺎﻫﻪ ﺒﺎﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ θ‬ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺼﻨﻌﻬﺎ ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ‪:‬‬ ‫‪ay‬‬ ‫= ‪tan θ‬‬ ‫‪= −5 ⇒ θ ≈ −79°‬‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪ 6-6‬ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ )‪(Linear Momentum‬‬ ‫ﻟﻨﻔﺘﺭﺽ ﺃﻨﻙ ﺘﻠﻌﺏ ﻤﻊ ﺼﺩﻴﻘﻙ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﺎﺭﻉ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺭﻯ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﺘﺘﺠﻪ ﻨﺤﻭﻙ ﺒﺴﺭﻋﺔ ﻤﺎ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻭﻗﺕ‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻘﺫﻑ ﺼﺩﻴﻘﻙ ﻜﺭﺓ ﺒﺎﺘﺠﺎﻫﻙ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ‪.‬ﻓﺄﻴﻬﻤﺎ ﺴﺘﻘﺭﺭ ﺃﻥ ﺘﻠﺘﻘﻁ ﻴﺎﺘﺭﻯ؟ ﻻﺸﻙ ﺒﺄﻨﻙ ﺘﺒﺘﻌﺩ‬ ‫ﻋﻥ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ ﺒﺴﺒﺏ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﻭﻟﻭ ﺃﻥ ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ‪.‬ﻭﻤﺎﺫﺍ ﻴﺤﺩﺙ ﻟﻭ‬ ‫ﺍﺴﺘﺒﺩﻟﻨﺎ ﺭﺼﺎﺼﺔ ﺼﻐﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ ﻟﻜﻥ ﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺒﺩﻻ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻴﺎﺭﺓ‪.‬ﺃﻴﻀﺎ ﺴﺘﻘﺭﺭ ﺍﻻﺒﺘﻌﺎﺩ ﻋﻨﻬﺎ‬ ‫ﻷﻨﻬﺎ ﺴﺭﻴﻌﺔ ﺠﺩﺍ‪.‬ﻨﻼﺤﻅ ﺇﺫﺍ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻬﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﻟﻴﺴﺕ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺃﻭ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﻓﻘﻁ ﺒل‬ ‫ﻜﻼﻫﻤﺎ‪.‬ﻭﻗﺩ ﺍﺼﻁﻠﺢ ﻋﻠﻰ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻜﻤﻴﺔ ﻓﻴﺯﻴﺎﺌﻴﺔ ﺘﺤﻭﻴﻬﻤﺎ ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻥ ﺘﺄﺜﻴﺭ‬ ‫ﺸﺊ ﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻏﻴﺭﻩ‪.‬ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﺠﻤﻴﻠﺔ ﻭﺘﻔﻲ ﺒﺎﻟﻐﺭﺽ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻷﻨﻬﺎ ﺘﻌﺒﺭ ﻓﻌﻼ ﻋﻤﺎ ﻨﻘﺼﺩﻩ‬ ‫ﻤﻨﻬﺎ‪.‬ﻓﻌﻨﺩﻤﺎ ﺘﺴﻤﻊ ﺃﻥ ﻨﺸﺎﻁﺎ ﻤﺎ ﻟﻪ ﺯﺨﻡ ﻋﺎل ﻓﺈﻨﻙ ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﺃﻨﻪ ﻤﺠﺩﻱ ﻭﻓﻌﺎل‪.‬ﻓﺈﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺠﺴﻡ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ m‬ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ v‬ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﻌﺭﻑ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬ ‫)‪(15-6‬‬ ‫‪p = mv‬‬ ‫‪162‬‬  ‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‪ :‬ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ‬ ‫ﻭﻗﺩ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﺎﺌﻊ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻜﻤﻴﺔ ﺍﻟﺘﺤﺭﻙ )‪ (quantity of motion‬ﻟﻜﻥ ﺍﻟﻤﺼﻁﻠﺢ ﺍﻟﻌﻠﻤﻲ ﺍﻟﻌﺎﻟﻤﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻔﻕ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻵﻥ ﻟـ ‪ p‬ﻫﻭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ‪.‬ﻭﻨﻼﺤﻅ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺃﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻜﻤﻴﺔ‬ ‫ﻤﺘﺠﻬﺔ ﻭﻭﺤﺩﺘﻪ ‪.kg.m/s‬ﻜﻤﺎ ﻴﻌﺘﻤﺩ‪ ،‬ﻤﺜل ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺭﺍﻗﺏ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺩﺭﺱ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ‪ ،‬ﺃﻱ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺍﻟﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺎ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﻤﺜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪.‬‬ ‫ﻤﺜل ‪5-6‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ﻴﺴﻴﺭ ﻗﻁﺎﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 10 m/s‬ﻋﻠﻰ ﺴﻜﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‪.‬ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺨﻡ‬ ‫‪vMT‬‬ ‫‪vTE‬‬ ‫ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﺭﺍﻜﺏ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 60 kg‬ﻴﺭﻜﺽ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﻘﻁﺎﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ‬ ‫‪T‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ 2 m/s‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺭﺍﻜﺏ ﺴﺎﻜﻥ ﻓﻴﻪ ﻭﻤﻭﺩﻉ ﻴﻘﻑ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(8-6‬‬ ‫ﺭﺼﻴﻑ ﺍﻟﻤﺤﻁﺔ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪(8-6‬؟‬ ‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻴﻭﻀﺢ ﺍﻟﺸﻜل)‪ (8-6‬ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻙ ﺩﺍﺨل ﺍﻟﻘﻁﺎﺭ ﻭﻤﺭﺍﻗﺒﻴﻪ ‪ A‬ﻭ‪ B‬ﺤﻴﺙ ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺸﺨﺹ‬ ‫ﻴﺭﻜﺽ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﻘﻁﺎﺭ‪.‬ﻭﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻠﺭﺠل ﺒﺸﻜل ﻋﺎﻡ ‪ p = mv‬ﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ‬ ‫ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺭﺍﻜﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﻁﺎﺭ ‪ vMT‬ﻫﻲ ‪ ،vMT=2 m/s‬ﻭﻴﺼﻴﺭ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺨﻁﻲ‪:‬‬ ‫‪PMT = mv MT = (60 kg)(2 m/s) = 120 kg.m/s‬‬ ‫ﺃﻤﺎ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻠﺭﺍﻜﺏ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﻭﺩﻉ ﻋﻠﻰ ﺭﺼﻴﻑ ﺍﻟﻤﺤﻁﺔ ﻓﻨﺠﺩﻩ ﻤﻥ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻘﻁﺎﺭ‬ ‫‪ vMT‬ﻭﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻁﺎﺭ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ ‪ ،vTE‬ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪v ME = v MT + v TE = 2 + 10 = 12 m/s‬‬ ‫ﻓﻴﺼﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ‪:‬‬ ‫‪p ME = (60 kg)(12 m/s) = 720 kg.m/s‬‬ ‫‪ 7-6‬ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫ﻋﺭﻓﻨﺎ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬ ‫‪p = mv‬‬ ‫ﻭﺒﺎﺸﺘﻘﺎﻕ ﻁﺭﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪dp‬‬ ‫‪d‬‬ ‫=‬ ‫) ‪(mv‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫ﻭﺒﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ‪ m‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪(mv ) = m‬‬ ‫‪= ma‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪163‬‬ ‫‪ 7-6‬ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ ma‬ﻫﻲ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻡ ‪ ، (Fext )T‬ﻟﺫﺍ ﻴﺼﻴﺭ ﻤﺸﺘﻕ ﺍﻟﺯﺨﻡ‬ ‫ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻫﻭ‪:‬‬ ‫‪dp‬‬ ‫)‪(16-6‬‬ ‫= ‪(Fext )T‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫ﻓﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺠﺴﻡ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﻌﺩل ﺘﻌﻴﺭ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ‪.‬ﻫﺫﺍ‬ ‫ﻫﻭ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‪.‬‬ ‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﻤﻴﻡ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺅﻟﻔﺔ ﻤﻥ ﻋﺩﺓ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺃﻭ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ ﺤﻴﺙ ﻨﺸﺘﻕ‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ)‪ (2-6‬ﻓﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪dR c.m.‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪drn‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪= m1 1 + m 2 2 + " + m n‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫ﻭﺒﺘﻌﻭﻴﺽ‬ ‫‪v i = dri /dt ⇒ p i = m i dri /dt‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪Vc.m. = dR c.m. /dt ⇒ Pc.m. = MdR c.m. /dt‬‬ ‫ﻨﺠﺩ‬ ‫)‪(17-6‬‬ ‫‪Pc.m. = p1 + p 2 + " + p n‬‬ ‫ﻓﺎﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ‪.‬‬ ‫ﻭﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺒﺎﺸﺘﻘﺎﻕ )‪ (17-6‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ ﻓﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪dPc.m. dp1 dp 2‬‬ ‫‪dp n‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+"+‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ Fi = dp i /dt‬ﻴﻤﺜل ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ )ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻭﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ( ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻴﻡ ‪ i‬ﻟﺫﺍ ﺘﺅﻭل‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺇﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪dPc.m.‬‬ ‫‪= F1 + F2 + " + Fn‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫ﻭﺒﺤﺴﺏ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻓﺈﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﺩﻟﺔ ﺒﻴﻥ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﺍﻟﺼﻔﺭ‪ ،‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺘﺼﻴﺭ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ‪ F1 + F2 + " + Fn‬ﻫﻲ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻓﻘﻁ ‪ ، (Fext )T‬ﻭﺘﺅﻭل )‪ (26-6‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪dPc.m.‬‬ ‫)‪(17-6‬‬ ‫= ‪(Fext )T‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪164‬‬  ‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‪ :‬ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ‬ ‫ﻓﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻤﺭﻜﺯ‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺯﻤﻥ‪.‬ﻫﺫﺍ ﻫﻭ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ )ﺃﻭ ﺠﺴﻡ‬ ‫ﺼﻠﺏ(‪.‬‬ ‫‪ 8-6‬ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ ﺨﻼل ﻓﺘﺭﺓ ﻤﻌﻴﻨﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﻓﺈﻨﻨﺎ‬ ‫ﻨﺠﺩ ﻤﻥ )‪ (17-6‬ﺃﻥ‪:‬‬ ‫)‪(18-6‬‬ ‫ﺜﺎﺒﺕ = ‪(Fext )T = 0 ⇒ Pc.m.‬‬ ‫ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ‬ ‫ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ‪ ،‬ﺃﻱ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ‪ ،‬ﻻﻴﺘﻐﻴﺭ ﺨﻼل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﺘﺭﺓ‪.‬ﻴﻁﻠﻕ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﺴﻡ ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ )‪.(conservation of linear momentum‬‬ ‫ﻭﺘﻜﻤﻥ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﺠﺯﺀ ﻤﻥ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺨﺎﻀﻌﺔ ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻗﻭﻯ‬ ‫ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ‪ ،‬ﺇﺫ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻷﺠﺯﺍﺀ ﺃﺨﺭﻯ ﻤﻨﻬﺎ ﺤﺘﻰ ﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ‬ ‫ﺍﻟﻜﻠﻲ ﺜﺎﺒﺕ‪.‬‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ )‪ (18-6‬ﻫﻲ ﻋﻼﻗﺔ ﻤﺘﺠﻬﺔ ﺒﻤﻌﻨﻰ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﻤﺎ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ ﻓﺈﻥ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭ ﻻﺘﺘﻐﻴﺭ‪ ،‬ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫ﺜﺎﺒﺕ = ‪(Fext )Tx = 0 ⇒ (Pc.m. )x‬‬ ‫)‪(19-6‬‬ ‫ﺜﺎﺒﺕ = ‪(Fext )Ty = 0 ⇒ (Pc.m. )y‬‬ ‫ﺜﺎﺒﺕ = ‪(Fext )Tz = 0 ⇒ (Pc.m. )z‬‬ ‫ﻭﻻﺒﺄﺱ ﻤﻥ ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺼﺤﻴﺢ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﻤﺭﺍﻗﺏ ﺜﺎﺒﺕ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ‬ ‫ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺍﻟﻤﺩﺭﻭﺴﺔ ﻁﺎﻟﻤﺎ ﺒﻘﻴﺕ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﺍﻟﻤﺅﺜﺭﺓ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻟﻠﺼﻔﺭ‪.‬ﻓﻘﺩ‬ ‫ﻴﻘﺭﺭ ﻋﺩﺓ ﻤﺭﺍﻗﺒﻴﻥ ﻗﻴﻤﺎ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻠﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﺠﺴﻡ‪ ،‬ﻜل ﺒﺤﺴﺏ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻪ‪ ،‬ﻟﻜﻨﻬﻡ‬ ‫ﻴﻘﺭﺭﻭﻥ ﺠﻤﻴﻌﺎ ﺃﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﻻﻴﺘﻐﻴﺭ )ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻨﻬﻡ( ﻁﺎﻟﻤﺎ ﺒﻘﻴﺕ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻴﺔ‬ ‫ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ‪.‬‬ ‫‪165‬‬  ‫‪ 8-6‬ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ‬ ‫ﻤﺜل ‪6-6‬‬ ‫ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 8 kg‬ﻋﻠﻰ ﺨﻁ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 2 m/s‬ﺩﻭﻥ‬ ‫‪M‬‬ ‫ﺃﻥ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﺃﻱ ﻗﻭﺓ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻨﺸﻁﺭ ﻟﻘﺴﻤﻴﻥ ﻜﺘﻠﺔ ﺇﺤﺩﺍﻫﻤﺎ ‪3 kg‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪v2‬‬ ‫ﻭﻴﺘﺤﺭﻙ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 6 m/s‬ﺒﻨﻔﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ‪،‬‬ ‫‪v1‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪.(8-6‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻭﺍﺘﺠﺎﻫﻪ؟‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(8-6‬‬ ‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﻟﻡ ﻴﻜﻥ ﺨﺎﻀﻌﺎ ﻷﻱ ﻗﻭﺓ ﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﻗﺒل‬ ‫ﺍﻻﻨﺸﻁﺎﺭ‪ ،‬ﻭﺨﻼل ﺍﻻﻨﺸﻁﺎﺭ ﻴﺅﺜﺭ ﻜل ﻗﺴﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻵﺨﺭ ﺒﻘﻭﺓ‬ ‫ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻭﻤﻌﺎﻜﺴﺔ ﻟﻠﻘﻭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺨﻀﻊ ﻟﻬﺎ ﻤﻨﻪ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ ،(8-6‬ﻭﻓﻕ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪،‬‬ ‫ﻓﺘﺒﻘﻰ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ‪.‬ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺜﺎﺒﺘﺎ ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫)ﻗﺒل ﺍﻻﻨﺸﻁﺎﺭ(‪) =P‬ﺒﻌﺩ ﺍﻻﻨﺸﻁﺎﺭ(‪P‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫‪)=Mv‬ﻗﺒل ﺍﻻﻨﺸﻁﺎﺭ(‪P‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪)= m1 v1 + m 2 v 2‬ﺒﻌﺩ ﺍﻻﻨﺸﻁﺎﺭ(‪P‬‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻥ ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ‪:‬‬ ‫‪Mv = m1 v1 + m2 v 2‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪v2‬‬ ‫) ‪(Mv − m2 v 2‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﻤﻊ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ‪ ،v‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪v 2 = −0.4 m/s‬‬ ‫ﻓﺴﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﻘﺴﻡ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﺒﺎﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺴﺎﻟﺏ ﺃﻱ ﺒﻌﻜﺱ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ﺍﻷﺼﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ‪.‬‬ ‫ﻤﺜل ‪7-6‬‬ ‫ﻴﺒﺩﺃ ﺭﺠل ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 70 kg‬ﺒﺎﻟﺴﻴﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 1 m/s‬ﻋﻠﻰ ﻋﺭﺒﺔ ﺴﺎﻜﻨﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ ،1000 kg‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﻟﺭﺼﻴﻑ ﺍﻟﻤﺤﻁﺔ‪ ،‬ﻭﻴﺘﻭﻗﻑ ﺒﻌﺩ ﻗﻁﻊ ﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ 10 m‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ‪.‬ﻜﻴﻑ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﻭﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻘﻁﻌﻬﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺭﺠل ﻭﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺭﺼﻴﻑ ﺍﻟﻤﺤﻁﺔ؟ ﻤﺎﺫﺍ ﻴﺤﺩﺙ ﺒﻌﺩ ﺃﻥ ﻴﺘﻭﻗﻑ ﺍﻟﺭﺠل؟‬ ‫‪166‬‬  ‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‪ :‬ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺭﺠل ﻭﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺯﺨﻤﻬﺎ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻗﺒل ﺃﻥ ﻴﺴﻴﺭ ﺍﻟﺭﺠل‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ‪.‬ﻭﺨﻼل ﺤﺭﻜﺘﻪ ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫‪P = m1 v1 + m2 v 2‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ m1‬ﻭ‪ v1‬ﻭ‪ m2‬ﻭ‪ v2‬ﻜﺘﻠﺔ ﻭﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺭﺠل ﻭﻜﺘﻠﺔ ﻭﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺭﺼﻴﻑ ﺍﻟﻤﺤﻁﺔ‬ ‫)ﻤﺭﺍﻗﺏ ﺜﺎﺒﺕ(‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫ﺍﻵﻥ ﺇﺫﺍ ﺃﻫﻤﻠﻨﺎ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﻭﺍﻷﺭﺽ ﻓﺈﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﻗﺒل ﻭﺒﻌﺩ ﺤﺭﻜﺔ‬ ‫ﺍﻟﺭﺠل ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ ﻷﻥ ﻟﻜل ﻤﻥ ﻭﺯﻥ ﺍﻟﺭﺠل ﻭﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﺭﺩ ﻓﻌل‪.‬ﺃﻤﺎ ﺨﻼل ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺭﺠل ﻓﺈﻨﻪ‬ ‫ﻴﺩﻓﻌﻬﺎ ﺒﻘﺩﻤﻪ ﻟﻠﺨﻠﻑ ﺒﻘﻭﺓ ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ ﻓﺘﺩﻓﻌﻪ ﻟﻸﻤﺎﻡ ﺒﻘﻭﺓ ﻤﺴﺎﻭﻴﺔ ﻭﻤﻌﺎﻜﺴﺔ )ﻗﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ(‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ﺃﻥ ﻤﺤﺼﻠﺔ ﻫﺎﺘﻴﻥ ﺍﻟﻘﻭﺘﻴﻥ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺼﻔﺭ‪.‬ﻟﻬﺫﺍ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﺍﻟﻜﻠﻲ ﻟﻠﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺜﺎﺒﺘﺎ‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪m1 v1 + m 2 v 2 = 0‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪v2 = −‬‬ ‫‪v1‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫ﻓﺎﻟﻌﺭﺒﺔ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺒﻌﻜﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺭﺠل ﺒﺴﺭﻋﺔ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ‬ ‫‪m1‬‬ ‫= ‪v2‬‬ ‫‪v1 = 0.07 m/s‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫ﺍﻵﻥ‪ :‬ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺴﺘﻘﻁﻌﻬﺎ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺘﻐﺭﻗﻪ ﺍﻟﺭﺠل ﻟﻘﻁﻊ ﻤﺴﺎﻓﺔ ‪10‬‬ ‫‪ m‬ﻋﻠﻴﻬﺎ‪.‬ﻓﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺘﻪ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻌﺭﺒﺔ ‪ v‬ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪v1 = v + v 2 ⇒ v = v 1 − v 2‬‬ ‫ﻭﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ‪ v1‬ﻭ‪ v2‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪v = (1 + m1 /m 2 )v1 = 1.01m/s‬‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﻨﺠﺩ ﺍﻟﺯﻤﻥ ﺍﻟﻼﺯﻡ ﻟﻠﺭﺠل ﻟﻴﻘﻁﻊ ﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ 10 m‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﻫﻭ‪:‬‬ ‫‪s = vt ⇒ t = s /v = 9.90 s‬‬ ‫ﻭﻟﺫﻟﻙ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺘﺤﺭﻜﻬﺎ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺭﺽ ﺘﺴﺎﻭﻱ‪:‬‬ ‫‪167‬‬  ‫‪ 9-6‬ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﻭﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺼﻭﺍﺭﻴﺦ‬ ‫‪s ′ = v 2t = (0.07 m/s)(9.90 s) = 0.70 m‬‬ ‫ﺃﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻘﻁﻌﻬﺎ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺭﺠل ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﺴﺎﻓﺘﻪ ﻫﻭ ﺃﻱ ‪.10 m‬‬ ‫ﺃﺨﻴﺭﺍ‪ ،‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺘﻭﻗﻑ ﺍﻟﺭﺠل ﺘﺘﻭﻗﻑ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﺃﻴﻀﺎ ﻟﻴﺒﻘﻰ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻤﺤﻔﻭﻅﺎ ﻭﻤﺴﺎﻭﻴﺎ ﻟﻠﺼﻔﺭ‪.‬‬ ‫‪ 9-6‬ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ﻭﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺼﻭﺍﺭﻴﺦ )ﺍﺨﺘﻴﺎﺭﻱ(‬ ‫ﺍﻓﺘﺭﻀﻨﺎ ﻓﻲ ﺩﺭﺍﺴﺘﻨﺎ ﺤﺘﻰ ﺍﻵﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻟﻠﺠﺴﻡ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺍﻟﻤﺘﺤﺭﻜﺔ ﻻﺘﺘﻐﻴﺭ‪ ،‬ﺃﻤﺎ ﻓﻲ‬ ‫ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺼﻭﺍﺭﻴﺦ ﻓﺈﻥ ﺍﺤﺘﺭﺍﻕ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺒﺸﻜل ﻤﺴﺘﻤﺭ ﻴﺅﺩﻱ ﻟﺘﻨﺎﻗﺹ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻭﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻤﻪ‪.‬‬ ‫ﻭﻨﺭﺒﻁ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﺒﻴﻥ ﺴﺭﻋﺔﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻭﺴﺭﻋﺔ ﺨﺭﻭﺝ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﻤﻨﻪ ﻭﻤﻌﺩل ﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻤﻪ‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ﻓﺈﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺭﻨﺎ ﺼﺎﺭﻭﺨﺎ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﺍﻟﻜﻠﻴﺔ ﻤﻊ ﻭﻗﻭﺩﻩ ﻓﻲ‬ ‫‪v‬‬ ‫ﻟﺤﻅﺔ ﻤﺎ ‪ t‬ﻫﻲ ‪ M‬ﻭﻴﺴﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻲ ﺒﻌﻴﺩﺍ‬ ‫‪v+∆v‬‬ ‫ﻋﻥ ﺃﻱ ﻤﺠﺎل ﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ v‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻌﻤل‬ ‫‪u‬‬ ‫ﻤﺤﺭﻜﺎﺘﻪ ﻟﺘﻨﻁﻠﻕ ﻤﻨﻪ ﻜﻤﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ‪ ∆M‬ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪u‬‬ ‫‪∆M‬‬ ‫‪M−∆M‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺼﺎﺭﻭﺥ ﺨﻼل ﺯﻤﻥ ‪ ،∆t‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(9-6‬‬ ‫) ‪(M − ∆M‬‬ ‫)‪ ،(9-6‬ﻟﺘﺼﻴﺭ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩﺓ‬ ‫ﻭﺴﺭﻋﺘﻪ ) ‪. (v + ∆v‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﻤﻌﺯﻭل ﻋﻥ ﺃﻱ ﻤﺅﺜﺭ ﺨﺎﺭﺠﻲ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﺒﻌﻴﺩﺍ ﻋﻥ ﻤﺠﺎل ﺍﻟﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﻭﺃﻱ ﻗﻭﻯ‬ ‫ﺃﺨﺭﻯ ﻟﺫﺍ ﻴﺒﻘﻰ ﺯﺨﻤﻪ ﺜﺎﺒﺘﺎ ﻭﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪Mv = (M − ∆M )(v + ∆v ) + (∆M )v ′‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ v ′‬ﺴﺭﻋﺔ ﺨﺭﻭﺝ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺭﺍﻗﺏ ﺜﺎﺒﺕ ﻻﻴﺘﺤﺭﻙ ﻤﻊ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ‪.‬ﻭﺒﺈﺼﻼﺡ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫)‪(20-6‬‬ ‫‪∆M (v − v ′) = M∆v‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ﺃﻫﻤﻠﻨﺎ ﺍﻟﺤﺩ ‪ ∆M∆v‬ﻟﺼﻐﺭﻩ ﺒﺎﻟﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻤﻊ ﺒﻘﻴﺔ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ‪.‬ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺨﺭﻭﺝ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﻟﻤﺭﺍﻗﺏ ﺨﺎﺭﺠﻲ ‪ v ′‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺼﺎﺭﻭﺥ ‪ u‬ﺒﺎﻹﻀﺎﻓﺔ ﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﺭﺍﻗﺏ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻲ ‪) v + ∆v‬ﻤﻊ ﺃﺨﺫ ﺍﻻﺘﺠﺎﻫﺎﺕ ﺒﻌﻴﻥ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ(‪ ،‬ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪v ′ = (v + ∆v ) − u‬‬ ‫ﻟﺫﺍ ﺘﺼﻴﺭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪:(20-6‬‬ ‫‪∆Mu = M ∆v‬‬ ‫‪168‬‬  ‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‪ :‬ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ‬ ‫ﻭﺒﺘﻘﺴﻴﻡ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ ∆t‬ﻭﺃﺨﺫ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ ∆t → 0‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪dM‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫)‪(21-6‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪=M‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫ﺘﺴﻤﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻷﻭﻟﻰ‪.‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺒﺸﻜل ﻤﺨﺘﻠﻑ ﻗﻠﻴﻼ ﺒﻭﻀﻊ ‪ R = dM /dt‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﻤﺜل ﻤﻌﺩل ﺍﺴﺘﻬﻼﻙ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ‪ ،‬ﻜﻤﺎ ﻨﻀﻊ ‪ a = dv /dt‬ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ‪ ،‬ﻓﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫)‪(22-6‬‬ ‫‪Ru = Ma‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻜﻤﻴﺔ ‪ Ru‬ﻻﺘﺭﺘﺒﻁ ﺒﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻤﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﻭﺘﺴﺎﺭﻉ ﺒل ﻋﻠﻰ ﺘﺼﻤﻴﻤﻪ ﻓﻘﻁ‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺘﻡ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻨﻁﻠﻕ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺒﻤﻌﺩل ﻭﺴﺭﻋﺔ ﻤﻌﻴﻨﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﻭﻟﺫﺍ ﻨﻁﻠﻕ ﻋﻠﻰ ‪ Ru‬ﺍﺴﻡ ﺍﻟﻨﻔﺙ )‪ (thrust‬ﻭﻴﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒـ ‪. T‬ﻭﻤﻥ ﺜﻡ ﺘﺼﻴﺭ )‪ (22-6‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ‪:‬‬ ‫)‪(23-6‬‬ ‫‪T = Ma‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﺤﺎﺼل ﻀﺭﺏ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺒﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﺜﺎﺒﺕ ﻭﻴﺴﺎﻭﻱ ﻨﻔﺜﻪ‪.‬‬ ‫ﻭﻴﻤﻜﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻤﻘﺩﺍﺭ ﺘﻐﻴﺭ ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺘﻐﻴﺭ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﻤﻥ ‪ M1‬ﺇﻟﻰ ‪ M2‬ﻤﻥ )‪(21-6‬‬ ‫ﻓﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪dM‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪= dv‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ﻭﺒﻤﻜﺎﻤﻠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪M1‬‬ ‫)‪(24-6‬‬ ‫‪v 2 − v1 = u ln‬‬ ‫‪M2‬‬ ‫ﺘﺴﻤﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻭﺘﻔﺴﺭ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﺴﺒﺏ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ ﺍﻟﺼﻭﺍﺭﻴﺦ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺍﺤل ﺍﻟﻤﺘﻌﺩﺩﺓ ﺇﺫ ﻴﺘﻡ ﺍﻟﺘﺨﻠﺹ ﻤﻥ ﻜل‬ ‫ﻤﺭﺤﻠﺔ ﺒﻌﺩ ﺍﺴﺘﻬﻼﻙ ﻤﺎﺘﺤﻭﻴﻪ ﻤﻥ ﻭﻗﻭﺩ ﻓﻴﻜﺘﺴﺏ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺴﺭﻋﺔ ﺃﻜﺒﺭ ﺒﺘﻜﻠﻔﺔ ﺃﻗل ﻭﻴﺤﺘﻔﻅ ﺒﻘﻤﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﺎﺩﺓ ﻓﻘﻁ ﻓﻲ ﺁﺨﺭ ﻤﺭﺤﻠﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺤﻠﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﺜل ‪8-6‬‬ ‫ﻴﻨﺩﻓﻊ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﻤﻥ ﺼﺎﺭﻭﺥ ﻜﺘﻠﺘﻪ ﻓﻲ ﻟﺤﻅﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ ‪450×103 kg‬‬ ‫ﺒﻤﻌﺩل ‪ R=1.2×103 kg/s‬ﻭﺴﺭﻋﺔ ‪ 2800 m/s‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺼﺎﺭﻭﺥ‪.‬‬ ‫ﻤﺎﻨﻔﺙ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻭﻤﺎ ﺘﺴﺎﺭﻋﻪ ﻓﻲ ﺘﻠﻙ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ؟‬ ‫‪169‬‬  ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل‬ ‫ﺍﻟﺤل‪ :‬ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻨﻔﺙ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﻨﻜﺘﺏ‪:‬‬ ‫‪T = Ru = (1.2 × 103 kg/s)(2800 m/s) = 3.36 × 106 N‬‬ ‫ﻭﻨﺠﺩ ﺘﺴﺎﺭﻉ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ﺒﻭﻀﻊ‪:‬‬ ‫‪T‬‬ ‫= ‪T = Ma ⇒ a‬‬ ‫‪= 7.47 m/s 2‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ﻤﻠﺨﺹ ﺍﻟﻔﺼل‬ ‫= ‪Rc.m.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪∑m r‬‬ ‫‪i i‬‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪Rc.m.‬‬ ‫‪∫ ρ rdV‬‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺠﺴﻡ ﺼﻠﺏ‬ ‫‪M‬‬ ‫‪p = mv‬‬ ‫ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﺠﺴﻡ‬ ‫‪PT = ∑ pi‬‬ ‫ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻋﺩﺓ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ‬ ‫‪F = dp /dt‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﻨﻴﻭﺘﻥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫ﺜﺎﺒﺕ = ‪FT = 0 ⇒ PT‬‬ ‫ﻤﺒﺩﺃ ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ‬ ‫‪dM‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪=M‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪M1‬‬ ‫‪v 2 − v1 = u ln‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺼﺎﺭﻭﺥ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬ ‫‪M2‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ‬ ‫‪ 1-6‬ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺜﻼﺙ ﻜﺘل ﻗﻴﻤﺔ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ‪ 2.5 kg‬ﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺭﺅﻭﺱ ﻤﺜﻠﺙ ﻗﺎﺌﻡ‬ ‫ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ ﻁﻭل ﻀﻠﻌﻴﻪ ‪ 2 m‬ﻭ‪1.5 m‬؟‬ ‫‪ 2-6‬ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻨﻅﺎﻡ ﻤﺅﻟﻑ ﻤﻥ ﺜﻼﺙ ﻜﺘل ﻤﺘﻭﺯﻋﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪ m1=1 kg‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﻀﻊ‬ ‫)‪ (0,0‬ﻭ ‪ m2=1 kg‬ﻋﻨﺩ )‪ (3,0‬ﻭ ‪ m3=2 kg‬ﻋﻨﺩ )‪(3,4‬؟‬ ‫‪ 3-6‬ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻨﻅﺎﻡ ﻤﺅﻟﻑ ﻤﻥ ﻜﺘﻠﺘﻴﻥ ‪ m1=73 kg‬ﻭ‪ m2=59 kg‬ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ﻤﺴﺎﻓﺔ‪3.6 m‬؟‬ ‫‪ 4-6‬ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﻗﻁﻌﺔ ﻤﻌﺩﻨﻴﺔ ﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺸﻜل ﺤﺭﻑ ‪ L‬ﻁﻭل ﻀﻠﻌﻬﺎ ﺍﻷﻭل ‪2.5 cm‬‬ ‫ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪ 3.5 cm‬ﺇﺫﺍ ﺃﻫﻤﻠﻨﺎ ﺴﻤﻙ ﻭﻋﺭﺽ ﺃﻀﻼﻋﻬﺎ؟‬ ‫‪ 5-6‬ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻷﺭﺽ ﻭﺍﻟﻘﻤﺭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪3.8×108 m‬؟‬ ‫‪170‬‬  ‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‪ :‬ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ‬ ‫‪ 6-6‬ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ﻨﺴﺒﺔ ﺒﻌﺩﻱ ﺠﺴﻤﻴﻥ ﻋﻥ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﻤﺎ ﺘﺘﻨﺎﺴﺏ ﻋﻜﺴﺎ ﻤﻊ ﻨﺴﺒﺔ ﻜﺘﻠﺘﻴﻬﻤﺎ؟‬ ‫‪ 7-6‬ﺘﻨﻘل ﻁﻭﺍﻓﺔ ﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺴﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ 7400 kg‬ﻁﻭﻟﻬﺎ ‪ 40 m‬ﻭﻋﺭﻀﻬﺎ ‪ 20 m‬ﺴﻴﺎﺭﺍﺕ‬ ‫ﻋﺒﺭ ﻗﻨﺎﺓ ﻤﺎﺌﻴﺔ ﻓﺘﺤﺘل ﺜﻼﺙ ﺴﻴﺎﺭﺍﺕ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ ‪ 1400 kg‬ﺜﻼﺙ ﺯﻭﺍﻴﺎ‪.‬ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ؟‬ ‫‪ 8-6‬ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺜﻼﺜﺔ ﺴﻁﻭﺡ ﻤﺘﺠﺎﻭﺭﺓ ﻤﻥ ﻤﻜﻌﺏ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﻁﻭل ﻀﻠﻌﻪ ‪L‬؟‬ ‫‪ 9-6‬ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺴﻁﺤﻴﻥ ﻤﺘﺠﺎﻭﺭﻴﻥ ﻤﻥ ﻤﻜﻌﺏ ﻁﻭل ﻀﻠﻌﻪ ‪ L‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻜﺘﻠﺔ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ‬ ‫ﻀﻌﻑ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻵﺨﺭ؟‬ ‫‪ 10-6‬ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺜﻼﺜﺔ ﻗﻀﺒﺎﻥ ﻤﺘﺠﺎﻭﺭﺓ ﻤﻨﺘﻅﻤﺔ ﻭﻤﺘﻤﺎﺜﻠﺔ ﺘﺸﻜل ﺤﺭﻑ ‪U‬؟‬ ‫‪ 11-6‬ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻡ ﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪(10-6‬؟‬ ‫‪ 12-6‬ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﻭﻀﺤﺔ ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪(11-6‬؟‬ ‫‪20 cm‬‬ ‫‪R/2‬‬ ‫‪20 cm‬‬ ‫‪20 cm‬‬ ‫‪60 cm‬‬ ‫‪R‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(12-6‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(11-6‬‬ ‫ﺤﺭﻜﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ‬ ‫‪ 13-6‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﺒﺭﻭﺘﻭﻥ ﻁﺎﻗﺘﻪ ‪ 1.6×10−13 J‬ﻤﻥ ﺒﺭﻭﺘﻭﻥ ﺁﺨﺭ ﺴﺎﻜﻥ‪.‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﻤﺎ ؟‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ 14-6‬ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﻤﻭﻀﺢ ﺒﺎﻟﺸﻜل )‪(12-6‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺨﻀﻌﺕ ﺍﻟﻜﺘل ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﺍﻟﻤﺒﻴﻨﺔ ﺇﺯﺍﺀ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ؟‬ ‫‪16 N‬‬ ‫‪4 kg‬‬ ‫)‪(0,2‬‬ ‫‪30 N‬‬ ‫‪8 kg‬‬ ‫‪ 15-6‬ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻜﺘﻠﺘﻴﻥ ‪ m2=m1=35 kg‬ﺘﺘﺤﺭﻜﺎﻥ‬ ‫)‪(4,1‬‬ ‫)‪(-3,-2‬‬ ‫‪4 kg‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺒﺴﺭﻋﺘﻴﻥ ‪ v1=12i−j m/s‬ﻭ‪v2=−20i+14j m/s‬؟‬ ‫‪ 16-6‬ﺘﺘﺠﺎﺫﺏ ﻜﺘﻠﺘﺎﻥ ‪ m1=0.1 kg‬ﻭ ‪ m2=0.3 kg‬ﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ‬ ‫‪14 N‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل )‪(12-6‬‬ ‫ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﺒﻘﻭﺘﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﻴﻥ ﻭﻤﺘﻌﺎﻜﺴﺘﻴﻥ ﻗﻴﻤﺔ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ ‪.0.01 N‬‬ ‫)ﺃ( ﻤﺎﺘﺴﺎﺭﻉ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺒﻌﺩ ‪ m1‬ﻋﻥ ﻭﻀﻌﻬﺎ ﺍﻻﺒﺘﺩﺍﺌﻲ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﺼﻁﺩﻡ ﺒـ ‪ m2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ‪1 m‬؟‬ ‫ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ‬ ‫‪171‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل‬ ‫‪ 17-6‬ﻤﺎﺫﺍ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ﺴﺭﻋﺔ ﺴﻴﺎﺭﺓ ﺍﻗﺘﺼﺎﺩﻴﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ 816 kg‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺯﺨﻡ‬ ‫ﺴﻴﺎﺭﺓ ﻓﺨﻤﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ 2650 kg‬ﻭﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ‪16 km/h‬؟‬ ‫‪ 18-6‬ﻤﺎﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻡ ﺠﺴﻡ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 1 kg‬ﺨﺎﻀﻊ ﻟﻘﻭﺓ ﻤﺘﻐﻴﺭﺓ ‪ F=26i−12t2j N‬ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻠﺤﻅﺘﻴﻥ ‪t1=1 s‬‬ ‫ﻭ‪t2=3 s‬؟‬ ‫‪ 19-6‬ﺘﺼﻁﺩﻡ ﻜﺭﺓ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ 145 g‬ﻭﺘﺴﻴﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 30 m/s‬ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ ﺍﻷﻓﻘﻲ ﺒﺤﺎﺌﻁ‬ ‫ﻤﺎﺌل ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺼﻨﻊ ﻤﻌﻪ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 45°‬ﻓﺘﺭﺘﺩ ﻋﻨﻪ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺼﺎﺩﺍﺕ ﺍﻟﺸﺎﻗﻭﻟﻲ‪.‬‬ ‫ﻤﺎﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻤﻬﺎ ﺍﻟﺨﻁﻲ؟‬ ‫‪ 20-6‬ﺘﺴﻴﺭ ﺸﺎﺤﻨﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ 20,000 kg‬ﺸﻤﺎﻻ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 40 km/h‬ﺜﻡ ﺸﺭﻗﺎ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪.50 km/h‬‬ ‫)ﺃ( ﻤﺎﺘﻐﻴﺭ ﺯﺨﻤﻬﺎ ﺍﻟﺨﻁﻲ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺘﻐﻴﺭ ﻁﺎﻗﺘﻬﺎ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ؟‬ ‫ﺤﻔﻅ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ‬ ‫‪ 21-6‬ﻴﺭﻜل ﺭﺠل ﺴﺎﻜﻥ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 80 kg‬ﺤﺠﺭﺍ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 0.5 kg‬ﻓﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪2 m/s‬‬ ‫ﻟﻸﻤﺎﻡ‪.‬ﻜﻴﻑ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺭﺠل؟‬ ‫‪ 22-6‬ﻴﻁﻠﻕ ﻤﺩﻓﻊ ﺭﺸﺎﺵ ﻋﺸﺭ ﻗﺫﺍﺌﻑ ﺒﺎﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ ‪ 50 g‬ﻭﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ‪ 500 m/s‬ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ‬ ‫ﺤﺎﺌﻁ ﻜﺒﻴﺭ ﺜﺎﺒﺕ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﺘﻭﻗﻑ ﺍﻟﻘﺫﺍﺌﻑ ﻓﻴﻪ‪).‬ﺃ( ﻤﺎﺯﺨﻡ ﻭﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﺔ ﻜل ﻗﺫﻴﻔﺔ؟ )ﺏ( ﻤﺎﻤﺘﻭﺴﻁ‬ ‫ﺍﻟﻘﻭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺅﺜﺭ ﺒﻬﺎ ﺍﻟﻘﺫﺍﺌﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺎﺌﻁ ﺒﺎﻟﺜﺎﻨﻴﺔ؟‬ ‫‪ 23-6‬ﺘﺘﻌﺭﺽ ﻗﻁﻌﺔ ﺨﺸﺏ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ 10 kg‬ﻟﻭﺍﺒل ﺭﺼﺎﺼﺎﺕ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ ‪ 40 g‬ﻭﺴﺭﻋﺘﻬﺎ‬ ‫‪.1km/s‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺨﺸﺒﺔ ﺒﻌﺩ ﺃﻥ ﺘﺴﺘﻘﺭ ﺒﻬﺎ ‪ 15‬ﺭﺼﺎﺼﺔ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺃﻤﻠﺱ؟‬ ‫‪ 24-6‬ﻴﻤﺴﻙ ﺭﺠل ﻤﺩﻓﻌﺎ ﺭﺸﺎﺸﺎ ﺒﻘﻭﺓ ‪ 180 N‬ﻭﻴﻁﻠﻕ ﻗﺫﺍﺌﻑ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ ‪ 50 g‬ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪100‬‬ ‫‪.m/s‬ﻤﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﺫﺍﺌﻑ ﻴﻤﻜﻨﻪ ﺃﻥ ﻴﻁﻠﻕ ﺒﺎﻟﺜﺎﻨﻴﺔ؟‬ ‫‪1.2×10−22‬‬ ‫‪ 25-6‬ﺘﺸﻊ ﻨﻭﺍﺓ ﺴﺎﻜﻨﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ 5.8×10−26 kg‬ﺒﺈﺼﺩﺍﺭ ﺇﻟﻜﺘﺭﻭﻥ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺨﻁﻲ‬ ‫‪ kg.m/s‬ﻭﻨﻴﻭﺘﺭﻴﻨﻭ ﺯﺨﻤﻪ ﺍﻟﺨﻁﻲ ‪ 6.4×10−23 kg.m/s‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻹﺜﻨﺎﻥ ﺒﺴﺭﻋﺘﻴﻥ‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩﺘﻴﻥ‪.‬ﻤﺎ ﺍﻟﺯﺨﻡ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﻠﻨﻭﺍﺓ ﺍﻟﻤﺭﺘﺩﺓ ﻭﻤﺎ ﻁﺎﻗﺘﻬﺎ ﺍﻟﺤﺭﻜﻴﺔ؟‬ ‫‪ 26-6‬ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺠﺴﻡ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 8 kg‬ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 2 m/s‬ﻋﻠﻰ ﺨﻁ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺩﻭﻥ ﺃﻭ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻴﻪ ﺃﻱ ﻗﻭﺓ‬ ‫ﺨﺎﺭﺠﻴﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻨﺸﻁﺭ ﻟﻘﺴﻤﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﻴﻥ ﺒﺎﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﻴﺘﺤﺭﻜﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺨﻁ‪.‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﻜل ﻗﺴﻡ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﺍﻜﺘﺴﺒﺎ ﻁﺎﻗﺔ ﺤﺭﻜﻴﺔ ‪ 16 J‬ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻻﻨﺸﻁﺎﺭ؟‬ ‫‪ 27-6‬ﻴﻘﻑ ﻤﺘﺯﻟﺠﺎﻥ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻷﻭل ‪ 50 kg‬ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪ 70 kg‬ﻋﻠﻰ ﺍﺭﺽ ﺠﻠﻴﺩﻴﺔ ﻤﻠﺴﺎﺀ ﻭﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ ‪8 m‬‬ ‫ﻤﻥ ﺒﻌﻀﻬﻤﺎ‪).‬ﺃ( ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﻤﺎ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺘﺯﻟﺞ ﺍﻷﺨﻑ؟ )ﺏ( ﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‬ ‫‪172‬‬  ‫ﺍﻟﻔﺼل ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‪ :‬ﺤﺭﻜﺔ ﻤﻨﻅﻭﻤﺔ ﺠﺴﻴﻤﺎﺕ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺃﻤﺴﻙ ﺍﻷﺜﻘل ﺒﺤﺒل ﻴﻤﺴﻜﻪ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻭﺠﺫﺒﻪ ﻓﺘﺤﺭﻙ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﻤﺴﺎﻓﺔ ‪2.2 m‬؟ )ﺝ( ﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﻴﻘﻁﻌﻬﺎ ﺍﻷﺜﻘل ﺇﻟﻰ ﺃﻥ ﻴﺼﻁﺩﻡ ﺒﺯﻤﻴﻠﻪ؟‬ ‫‪ 28-6‬ﺘﺭﺘﺒﻁ ﻜﺘﻠﺘﺎﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﺎﻥ ‪ m2=m1=0.5 kg‬ﺒﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺨﻴﻁ ﺨﻔﻴﻑ ﻭﺒﻜﺭﺓ ﻤﻠﺴﺎﺀ‬ ‫ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ ،0.5 m‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺁﻟﺔ ﺁﺘﻭﻭﺩ‪ ،‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻨﺎﻥ ﺴﺎﻜﻨﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺱ ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ‪).‬ﺃ( ﺃﻴﻥ ﻴﻘﻊ‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺘﻬﻤﺎ؟ )ﺏ( ﺃﻴﻥ ﻴﺼﻴﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ﺇﺫﺍ ﻨﻘﻠﻨﺎ ‪ 20 g‬ﻤﻥ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻟﻸﺨﺭﻯ ﻭﻜﻴﻑ ﻴﺘﺤﺭﻙ؟‬ ‫‪ 29-6‬ﻴﺘﻌﻠﻕ ﺭﺠل ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ m‬ﺒﺤﺒل ﻤﺩﻟﻰ ﻤﻥ ﻤﻨﻁﺎﺩ ﺴﺎﻜﻥ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ M‬ﻭﻴﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﺘﺴﻠﻕ ﻟﻸﻋﻠﻰ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪v‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﻁﺎﺩ‪).‬ﺃ( ﻓﻲ ﺃﻱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺴﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﻤﻨﻁﺎﺩ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺫﺍ ﻴﺤﺩﺙ ﻋﻨﺩﻤﺎ‬ ‫ﻴﺘﻭﻗﻑ ﺍﻟﺭﺠل؟‬ ‫‪ 30-6‬ﺘﻨﻁﻠﻕ ﺭﺼﺎﺼﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ 15 g‬ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 650 m/s‬ﻤﻥ ﺒﻨﺩﻗﻴﺔ ﺴﺎﻜﻨﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪.10 kg‬‬ ‫ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﺭﺘﺩﺍﺩ ﺍﻟﺒﻨﺩﻗﻴﺔ؟‬ ‫‪ 31-6‬ﻴﻘﻔﺯ ﺃﺴﺩ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 120 kg‬ﺒﺴﺭﻋﺔ ﺃﻓﻘﻴﺔ ‪ 12 m/s‬ﻋﻠﻰ ﺼﻴﺎﺩ ﻴﺤﻤل ﺒﻨﺩﻗﻴﺔ ﺘﻁﻠﻕ ﺭﺼﺎﺼﺎﺕ‬ ‫ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻭﺍﺤﺩﺓ ‪ 15 g‬ﻭﺴﺭﻋﺘﻬﺎ ‪.630 m/s‬ﻜﻡ ﺭﺼﺎﺼﺔ ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻁﻠﻘﻬﺎ ﺍﻟﺼﻴﺎﺩ ﻹﻴﻘﺎﻑ ﺍﻷﺴﺩ‬ ‫ﺒﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺭﺼﺎﺼﺎﺘﻪ ﺘﺼﻴﺏ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﻭﺘﺴﺘﻘﺭ ﺒﺠﺴﻤﻪ؟‬ ‫‪ 32-6‬ﺘﺼﻁﺩﻡ ﺴﻴﺎﺭﺘﺎﻥ ﺭﺃﺴﻴﺎ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ‪ 700 kg‬ﻭﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ‪ 1500 kg‬ﻭﺘﺴﻴﺭﺍﻥ ﺒﺎﺘﺠﺎﻫﻴﻥ‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻜﺴﻴﻥ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 65 km/h‬ﻓﺘﺼﺒﺤﺎ ﻗﻁﻌﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‪.‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻁﺎﻡ؟‬ ‫‪ 33-6‬ﺘﺘﺤﺭﻙ ﺴﻔﻴﻨﺔ ﻓﻀﺎﺀ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 4000 km/h‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺭﺽ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻨﻔﺼل ﻋﻨﻬﺎ ﺨﺯﺍﻥ‬ ‫ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 80 km/h‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻘﻤﺭﺓ ﺍﻟﻘﻴﺎﺩﺓ ﺒﺎﻻﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺨﻠﻔﻲ‪.‬ﻤﺎﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻘﻤﺭﺓ ﺒﻌﺩ ﺍﻻﻨﻔﺼﺎل ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ﺭﺒﻊ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺨﺯﺍﻥ؟‬ ‫‪ 34-6‬ﻴﻘﻑ ﺭﺠل ﻭﺯﻨﻪ ‪ w‬ﻋﻠﻰ ﻋﺭﺒﺔ ﻭﺯﻨﻬﺎ ‪ W‬ﺘﺘﺤﺭﻙ ﻋﻠﻰ ﺨﻁ ﺃﻓﻘﻲ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ v0‬ﻟﻠﻴﻤﻴﻥ‪.‬ﻤﺎﺘﻐﻴﺭ‬ ‫ﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺴﻴﺭ ﺍﻟﺭﺠل ﻟﻠﻴﺴﺎﺭ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ vrel‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺎ ﻗﺒل ﺃﻥ ﻴﻘﻔﺯ ﻋﻨﺩ ﻨﻬﺎﻴﺘﻬﺎ؟‬ ‫‪ 35-6‬ﻫل ﺘﻜﺘﺴﺏ ﺍﻟﻌﺭﺒﺔ ﺍﻟﻤﺫﻜﻭﺭﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺴﺭﻋﺔ ﺃﻜﺒﺭ ﺒﺩﺀﺃ ﻤﻥ ﺍﻟﺴﻜﻭﻥ ﻟﻭ ﺭﻜﺽ‬ ‫ﻋﻠﻴﻬﺎ ‪ n‬ﺸﺨﺹ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺒﺸﻜل ﺘﺘﺎﺒﻌﻲ ﺃﻡ ﺠﻤﺎﻋﻲ؟‬ ‫‪ 36-6‬ﻴﻘﻑ ﻁﻔل ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 20 kg‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻟﺒﻌﻴﺩ ﻟﺯﻭﺭﻕ ﺴﺎﻜﻥ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 50 kg‬ﻭﻁﻭﻟﻪ ‪ 5 m‬ﻭﻴﺒﻌﺩ‬ ‫‪ 10 m‬ﻋﻥ ﺍﻟﺸﺎﻁﺊ‪).‬ﺃ( ﻤﺎﺒﻌﺩ ﺍﻟﻁﻔل ﻋﻥ ﺍﻟﺸﺎﻁﺊ؟ )ﺏ( ﻤﺎﺫﺍ ﻴﺼﻴﺭ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺒﻌﺩ ﺇﺫﺍ ﺴﺎﺭ ﺍﻟﻁﻔل ‪2‬‬ ‫‪ m‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﻭﺭﻕ ﺒﺎﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺸﺎﻁﺊ؟ )ﺃﻫﻤل ﺍﻻﺤﺘﻜﺎﻙ(‪.‬‬ ‫‪ 37-6‬ﻴﻘﻑ ﺭﺠل ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 80 kg‬ﻋﻨﺩ ﻤﺅﺨﺭﺓ ﺯﻭﺭﻕ ﺠﻠﻴﺩﻱ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 400 kg‬ﻭﻁﻭﻟﻪ ‪ 18 m‬ﻴﺘﺤﺭﻙ‬ ‫ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 4 m/s‬ﻋﺒﺭ ﻤﻨﻁﻘﺔ ﺠﻠﻴﺩﻴﺔ ﻤﻠﺴﺎﺀ‪.‬ﻜﻴﻑ ﻴﺘﺤﺭﻙ ﺍﻟﺯﻭﺭﻕ ﺇﺫﺍ ﺴﺎﺭ ﺍﻟﺭﺠل ﻟﻤﻘﺩﻤﺘﻪ ﺒﺴﺭﻋﺔ‬ ‫‪ 2 m/s‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻪ؟‬ ‫‪173‬‬  ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺴﺎﺌل‬ ‫‪ 38-6‬ﻴﺠﻠﺱ ﺍﻟﻁﺎﻟﺏ ﺫﻜﻲ ﻋﻠﻰ ﺒﻌﺩ ‪ 3 m‬ﻤﻥ ﺍﻟﻁﺎﻟﺏ ﻨﺎﺤﺞ ﻓﻲ‬ ‫ﺯﻭﺭﻕ ﺴﺎﻜﻥ ﻜﺘﻠﺘﻪ ‪ 30 kg‬ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺒﺤﻴﺭﺓ ﺴﺎﻜﻨﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻘﻊ‬ ‫‪R‬‬ ‫‪2R‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺯﻭﺭﻕ ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ‪.‬ﻭﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺘﺒﺎﺩﻻ ﻤﻜﺎﻨﻴﻬﻤﺎ ﻴﻼﺤﻅ ﺫﻜﻲ ﺃﻥ‬ ‫‪m‬‬ ‫ﺍﻟﺯﻭﺭﻕ ﺘﺤﺭﻙ ‪ 0.4 m‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺸﺎﻁﺊ ﻓﺎﺴﺘﻁﺎﻉ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﺘﻠﺔ ﺯﻤﻴﻠﻪ‬ ‫‪m‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻨﺎﺤﺞ‪.‬ﻤﺎﻜﺘﻠﺔ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻜﺘﻠﺔ ﺫﻜﻲ ‪80 kg‬؟ ‪ 39-6‬ﺘﻁﻠﻕ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(13-6‬‬ ‫ﻗﺫﻴﻔﺔ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 500 m/s‬ﻤﻥ ﺴﻁﺢ ﺍﻷﺭﺽ ﺼﺎﻨﻌﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ ‪ 60°‬ﻤﻊ‬ ‫ﺍﻷﻓﻕ‪.‬ﻭﺒﻌﺩ ‪ 50 s‬ﻤﻥ ﺇﻁﻼﻗﻬﺎ ﺘﻨﺸﻁﺭ ﻟﺠﺯﺌﻴﻥ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﻴﻥ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ﺴﺎﻜﻥ ﺒﻌﺩ ﺍﻻﻨﺸﻁﺎﺭ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ‬ ‫ﻟﻴﺴﻘﻁ ﻟﻸﺴﻔل‪.‬ﻤﺎﺒﻌﺩ ﻤﻜﺎﻥ ﺴﻘﻭﻁ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻋﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻹﻁﻼﻕ؟‬ ‫‪ 40-6‬ﺘﺘﺩﺤﺭﺝ ﻜﺭﺓ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ m‬ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ R‬ﺩﺍﺨل ﻜﺭﺓ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﻤﺠﻭﻓﺔ ﻟﻬﺎ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻭﻨﺼﻑ‬ ‫ﻗﻁﺭﻫﺎ ‪ 2R‬ﻤﻭﻀﻭﻋﺔ ﻋﻠﻰ ﺴﻁﺢ ﺍﻓﻘﻲ ﺃﻤﻠﺱ ﺒﺩﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ ،A‬ﻜﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل )‪ ،(13-6‬ﻟﺘﺴﺘﻘﺭ‬ ‫ﻋﻨﺩ ‪.B‬ﻤﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﺘﺤﺭﻜﻬﺎ ﻤﺭﻜﺯ ﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ﻭﻓﻲ ﺃﻱ ﺍﺘﺠﺎﻩ‪.‬‬ ‫ﺤﺭﻜﺔ ﺍﻟﺼﻭﺍﺭﻴﺦ ﻭﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭﺓ‬ ‫‪ 41-6‬ﺘﻁﻠﻕ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﻓﻀﺎﺌﻴﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ‪ 6000 kg‬ﻟﻸﻋﻠﻰ‪).‬ﺃ( ﻤﺎﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ﻤﻨﻬﺎ ﺒﺎﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﺇﺫﺍ‬ ‫ﻜﺎﻥ ﻴﻨﻁﻠﻕ ﻤﻨﻬﺎ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 1000 m/s‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺎ ﺤﺘﻰ ﻴﺘﻐﻠﺏ ﻨﻔﺜﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻭﺯﻨﻬﺎ؟ )ﺏ( ﻜﻡ ﺘﺼﻴﺭ‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺇﺫﺍ ﺃﺭﺩﻨﺎ ﺇﻋﻁﺎﺀ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ﺘﺴﺎﺭﻋﺎ ﺭﺃﺴﻴﺎ ‪20 m/s2‬؟ ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ﻟﻠﺠﺎﺫﺒﻴﺔ ﺩﻭﺭ ﻤﻬﻡ ﻓﻲ‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺴﺄﻟﺔ‪.‬‬ ‫‪ 42-6‬ﺘﺸﻐل ﻤﺤﺭﻜﺎﺕ ﻤﺭﻜﺒﺔ ﻓﻀﺎﺌﻴﺔ ﻜﺘﻠﺘﻬﺎ ﻤﻊ ﻭﻗﻭﺩﻫﺎ ‪ 2.6×105 kg‬ﺴﺎﻜﻨﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻀﺎﺀ ﻓﻴﺨﺭﺝ‬ ‫ﻤﻨﻬﺎ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺒﻤﻌﺩل ‪ 480 kg/s‬ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 3.3 km/s‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺭﻜﺒﺔ ﻟﻤﺩﺓ ‪.20 s‬ﻤﺎﻨﻔﺙ‬ ‫ﺍﻟﻤﺤﺭﻜﺎﺕ ﻭﻤﺎ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ ﺍﻟﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺼل ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ؟‬ ‫‪ 43-6‬ﺘﻁﻴﺭ ﻁﺎﺌﺭﺓ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 180 m/s‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴﺨﺭﺝ ﻤﻨﻬﺎ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﺒﺴﺭﻋﺔ ‪ 490 m/s‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻬﺎ‪.‬‬ ‫ﻤﺎﻨﻔﺙ ﺍﻟﻤﺤﺭﻜﺎﺕ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻌﺩل ﺍﺴﺘﻬﻼﻙ ﺍﻟﻭﻗﻭﺩ ﻫﻭ ‪3 kg/s‬؟‬ ‫ﻤﻥ ﻋﻠﻤﺎﺀ ﺍﻹﺴﻼﻡ‬ ‫ﻤﺤﻤﺩ ﺒﻥ ﻤﺤﻤﺩ ﺒﻥ ﻁﺭﺨﺎﻥ ﺒﻥ ﺃﻭﺯﻟﻎ‪ ،‬ﺃﺒﻭ ﻨﺼﺭ ﺍﻟﻔﺎﺭﺍﺒﻲ )‪-339‬‬ ‫‪257‬ﻫـ‪870-950/‬ﻡ(‪.‬ﻤﻥ ﺃﻜﺒﺭ ﻓﻼﺴﻔﺔ ﺍﻟﻤﺴﻠﻤﻴﻥ ﺩﺭﺱ ﺍﻟﻔﻠﺴﻔﺔ ﻭﺍﻟﻤﻨﻁﻕ‬ ‫ﻭﺍﻟﻁﺏ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ ﺍﻟﻠﺴﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ ﻭﺍﻟﻤﻭﺴﻴﻘﻲ ﻭﻜﺎﻨﺕ ﻟﻪ ﺇﺴﻬﺎﻤﺎﺕ ﻤﻬﻤﺔ ﻓﻲ ﻋﻠﻭﻡ‬ ‫ﺃﺨﺭﻯ ﻜﺎﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻭﺍﻟﻁﺏ ﻭﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ‪.‬ﻓﻘﺩ ﺒﺭﻫﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻴﺯﻴﺎﺀ ﻋﻠﻰ ﻭﺠﻭﺩ‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﺍﻍ‪.‬ﻭﺘﺘﺠﻠﻰ ﺃﻫﻡ ﺇﺴﻬﺎﻤﺎﺘﻪ ﺍﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻓﻲ ﻜﺘﺎﺒﻪ "ﺇﺤﺼﺎﺀ ﺍﻟﻌﻠﻭﻡ" ﺍﻟﺫﻱ ﻭﻀﻊ‬ ‫ﻓﻴﻪ ﺍﻟﻤﺒﺎﺩﺉ ﺍﻷﺴﺎﺱ ﻟﻠﻌﻠﻭﻡ ﻭﺘﺼﻨﻴﻔﻬﺎ ﻭﺒﺭﺯ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﺴﻴﻘﻰ‪.‬ﻭﻜﺎﻥ ﺃﻭل ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﻔﺎﺭﺍﺒﻲ‬ ‫ﻁﺭﺡ ﻓﻜﺭﺓ ﺍﻟﻠﻭﻏﺎﺭﺘﻡ ﻟﺘﻘﺩﻴﺭ ﺸﺩﺓ ﺍﻟﺼﻭﺕ ﻭﺍﺨﺘﻼﻑ ﺍﻷﺼﻭﺍﺕ ﻋﻥ ﺒﻌﻀﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪174‬‬