M2 - Lois de Newton PDF
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Lycée Newton
2023
PTSI
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This document is a physics past paper, specifically covering Newton's laws of motion from the Lycée Newton. The document includes the core concepts and applications in mechanics, including actions on a point particle and applications to a closed system. Topics covered include the principles of inertia, fundamental dynamics, and reciprocal actions. It also analyses examples of motion, like freefall, with and without air resistance, and simple pendulums.
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PTSI - Lycée Newton M2 - Lois de Newton M - Mécanique M2 - Lois de Newton Introduction...
PTSI - Lycée Newton M2 - Lois de Newton M - Mécanique M2 - Lois de Newton Introduction é Comment envoyer une fusée sur Mars ? À présent que l’on dispose de systèmes de coordonnées pour repérer la position de chacun des points de la fusée à tout instant, il faut être capable de prédire l’évolution de ces positions à partir des actions lét qui s’exercent sur la fusée. Ce chapitre s’intéresse à l’évolution de la position du centre d’inertie de la fusée. mp Table des matières Co I Actions sur un point matériel 2 II Lois de Newton 5 1 Première loi de Newton ou principe d’inertie.......................... 5 2 Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique............. 6 3 Troisième loi de Newton ou principe des actions réciproques................. 6 III Application de la seconde loi de Newton à un système fermé 7 1 Système fermé.......................................... 7 2 Actions sur un système fermé et seconde loi de Newton à un système fermé........ 8 IV Exemples d’études de mouvement à partir du PFD 9 1 Chute libre............................................ 9 2 Chute avec frottements de l’air................................. 11 3 Pendule simple.......................................... 14 2023-2024 1 PTSI - Lycée Newton M2 - Lois de Newton I Actions sur un point matériel Un point matériel en interaction avec d’autres systèmes peut être soumis à des forces de la part de ces systèmes. Vecteur force : Une force est représentée par un vecteur-force caractérisé par : é son point d’application : le point matériel sur lequel elle s’applique, sa direction , son sens, lét sa valeur (la norme du vecteur) en Newton. On distingue : F Des forces d’interaction à distance telles que : interaction gravitationnelle (entre deux masses) : M1 (m1 ) M2 (m2 ) × × → − → − → − → − F 1→2 = − F 2→1 F 2→1 F 1→2 Ç −−−−→ å m1 m2 − → − u 1→2 vecteur unitaire = M1 M2 = −G 2 → u 1→2 M1 M2 r avec G = 6, 67.1011 m3.kg−1.s−2 mp r = M1 M 2 la constante gravitationnelle espace 1 le poids. Il s’applique à une masse située au voisinage de la surface de la Terre. Il correspond quasiment à (et est donc quasiment égal à) la force d’interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur ce système, à des corrections près liées au caractère non galiléen du référentiel terrestre. → − M (m) P = m→ − g avec g = 9, 81 m.s−2 la norme du vecteur → − champ de pesanteur à la surface de la Terre (g, homogène à une P = m→ − g → − g accélération, est également appelé accélération de la pesanteur ). GMT erre g ' où MT erre est la masse de la Terre et RT2 erre Co sol RT erre son rayon espace 2 interaction électrostatique (entre deux charges) : → − → − → − → − F 1→2 = − F 2→1 charges signe contraire q1 F 2→1 F 1→2 q2 q1 q2 → × × = − u 1→2 q1 q2 < 0 4πε0 r2 → −u 1→2 1 charges même signe q1 q2 avec = 9.109 m.F−1 où × × 4πε0 q1 q2 > 0 → − → − ε0 (' 8, 85.10−12 F.m−1 ) est F 2→1 F 1→2 la permittivité diélectrique du vide. espace 3 F Des forces d’interaction de contact telles que : 2023-2024 2 PTSI - Lycée Newton M2 - Lois de Newton tension d’un fil Un fil inextensible souple idéal (masse nulle) et tendu exerce sur un point matériel M → − → − fixé à l’une de ses extrémité une force T appelée force de tension du fil. T est portée par → − l’axe du fil et dirigée vers le fil. La tension T = || T || est la même en tout point du fil. é → − T M Rq : la tension (en norme) est la même aux deux extrémités d’un fil posé sur une poulie lét idéale (masse nulle). espace 4 force de rappel élastique ` −→ Fel Loi de Hooke (ressort idéal) : `0 −→ Fel = −k(` − `0 )→ − u ressort→M −→ Fel espace 5 ` l’ensemble des forces (microscopiques) de contact avec le support pour un objet posé sur un mp plan. On modélise dans ce cas l’action de l’ensemble des forces de contact par une résultante appelée → − −→ −→ −→ réaction du support, R = RT + RN avec RN la réaction normale (perpendiculaire au support) −→ et RT la composante tangentielle (parallèle au support) orientée dans le sens opposé au mou- vement (ou au mouvement qui pourrait avoir lieu). Le point d’application M de la résultante est inconnu a priori. Si on néglige les frottements, RT = 0. Sinon, les lois phénoménologiques de Amontons-Coulomb (qui doivent être rappelées dans les énoncés des exercices) relient les composantes normales et tangentielles de la réaction : 1e cas : Objet immobile −→ CONDITION DE NON-GLISSEMENT : RN −→ −→ ||RT || ≤ µs ||RN || −→ ↑ RT coeff. de Co frottement statique 2e cas : Objet glisse sur support −→ −→ −→ RN ||RT || = µd ||RN || −→ ↑ RT coeff. de frottement dynamique En général on considère que µs = µd. Ces coefficients dépendent des types de matériaux en contact et de l’état de surface. l’ensemble des forces (microscopiques) de pression. Elles s’appliquent sur la surface d’un corps en contact avec un fluide, la force exercée sur un élément de surface dS autour du point M −−−−−→ étant égale à dFpression = P dS → − u , où P est la pression du fluide au point M et → − u un vecteur 2023-2024 3 PTSI - Lycée Newton M2 - Lois de Newton unitaire dirigé du fluide vers la surface du corps. dS → − fluide d F pression = P dS → − u é → − u Dans le cas particulier d’un corps entièrement immergé dans un fluide au repos, on modélise lét l’ensemble des forces de pression du fluide environnant par une force (qui doit être rappelée dans les énoncés des exercices) appelée poussée d’Archimède, appliquée au centre de masse du fluide déplacé (ou centre de carène), égale à l’opposé du poids du fluide déplacé : − → Πa = −mfluide déplacé → − g = −ρf luide Vcorps → − g − → Πa ⇔ ×C mp Co 2023-2024 4 PTSI - Lycée Newton M2 - Lois de Newton II Lois de Newton 1 Première loi de Newton ou principe d’inertie Un point matériel isolé est un point matériel qui n’est soumis à aucune force. Un point matériel pseudo- isolé est un point matériel soumis à un ensemble de forces dont la résultante (=la somme des forces) est nulle. é Principe d’inertie : Il existe une classe de référentiels appelés référentiels galiléens dans lesquels le mouvement d’un point matériel isolé ou pseudo-isolé est rectiligne uniforme : −−−−→ − lét → vR (M ) = cte Propriété : Les référentiels galiléens sont tous en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres. Exemple : référentiel terrestre ( = lié au sol) En utilisant la seconde loi de Newton projetée selon palet en translation → − −→ → − −→ l’axe Oz, on montre que P + RN = 0 ici (ATTEN- RN assimilé à un pt TION CETTE RELATION DOIT ÊTRE DÉMONTRÉE z mp matériel M ET EST FAUSSE EN GÉNÉRAL, PAR EXEMPLE SUR ×O frottements négligés UN PLAN INCLINÉ). O Le système est donc pseudo-isolé. On constate → − expérimentalement que → −v est constant : le référentiel P est donc bien galiléen à l’échelle de l’étude. Dans la plupart des expériences sur Terre, le référentiel terrestre RT peut être considéré comme galiléen. Cependant, des expériences sur des durées non négligeables par rapport à la période de rotation de la Terre sur elle-même (24 h) par exemple montrent des écarts par rapport aux prédictions dus à la rotation de la Terre sur son axe. On peut définir un ensemble de référentiels de plus en plus galiléens : Référentiel géocentrique RG : centre : centre de la Terre ? OXY Z lié à RG axes : pointent vers des étoiles fixes y Y x Oxyz lié à RT RT est en rotation autour de l’axe 2π ω = θ̇ = cte = rad.s−1 Co θ X ? Nord-Sud par rapport à RG. 24 × 3600 espace 6 Référentiel héliocentrique RH : centre : centre du Soleil tiré de http: axes : pointent vers des étoiles fixes //westra.sciences. RG est en translation elliptique phy.free.fr/seconde/ par rapport à RH. univers/U7Cours.html espace 7 Référentiel de Copernic RC : centre : centre de masse du système solaire axes : pointent vers des étoiles fixes RH est en translation elliptique par rapport à RC. espace 8 Dans la suite du cours, le référentiel d’étude sera toujours considéré comme galiléen. 2023-2024 5 PTSI - Lycée Newton M2 - Lois de Newton 2 Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique Dans un référentiel R, on définit la quantité de mouvement d’un point matériel M de masse m et de vecteur vitesse → −v par → −p = m→ −v. Principe fondamental de la dynamique : Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps du vecteur quantité de mouvement d’un é point matériel M est égale à la somme des forces s’exerçant sur ce point : d→ −p X→ − = fi dt d→ − lét v ou encore, en notant → − a = le vecteur accélération du point matériel : dt d→ −p d d→ −v = (m→ − v)=m ( car m = cte ) = m→−a dt dt dt espace 9 d’où X→ − m→ − a = fi mp 3 Troisième loi de Newton ou principe des actions réciproques Principe des actions réciproques : Soient M1 et M2 deux points matériels en interaction. Alors : La force exercée par M1 sur M2 est égale à l’opposée de la force exercée par M2 sur M1 : −−−−−−→ −−−−−−→ FM 1→M 2 = −FM 2→M 1 La force exercée par M1 sur M2 et la force exercée par M2 sur M1 sont colinéaires à l’axe (M1 , M2 ) → − → − → − → − M1 F M2 →M1 F M1 →M2 M2 F M2 →M1 M1 M2 F M1 →M2 X X X X interaction attractive interaction répulsive Co espace 10 2023-2024 6 PTSI - Lycée Newton M2 - Lois de Newton III Application de la seconde loi de Newton à un système fermé 1 Système fermé Un système fermé est un système qui n’échange pas de matière avec l’extérieur. Sa masse est donc constante. é On définit un point particulier du système appelé centre de masse ou centre d’inertie ou centre de gravité : Centre d’inertie : Le centre d’inertie (ou centre de masse, P ou centre de gravité) G d’un système de N points matériels Mi de masses mi , de masse totale m = N i=1 mi , est le point tel que lét N X −−→ → − mi GMi = 0 i=1 ou de manière équivalente N X −−→ −→ mi AMi = mAG quel que soit le point A i=1 Exemple avec deux points (révisions maths) : mp M1 (m0 ) G M2 (4m0 ) X X 4 −−−−→ M 1 M2 5 −−−→ −−−→ −→ −−−→ −−−→ −→ m1 AM1 + m2 AM2 = m1 + m2 AG ⇒ AM1 + 4AM2 = 5AG |{z} |{z} | {z } m0 4m0 5m0 −−−−→ −−−→ −−−→ 4 −−−−→ En prenant A = M1 , on en déduit : 4M1 M2 = 5M1 G donc M1 G = M1 M2. 5 On constate que G appartient à [M1 M2 ] et est plus proche du point le plus massif. espace 11 Co On définit également un vecteur quantité de mouvement du système : Définition de la quantité de mouvement d’un système : La quantité de mouvement d’un système Σ de N points matériel est la somme de la quantité de mouvement des N points : N N −−→ X −−−→ X −−−→ p(Σ) = p(Mi ) = mi v(Mi ) i=1 i=1 Propriété : La quantité de mouvement d’un système Σ de N points matériels est égale à la masse m du système multipliée par le vecteur vitesse de son centre d’inertie G : −−→ p(Σ) = m→ − v (G) 2023-2024 7 PTSI - Lycée Newton M2 - Lois de Newton Démonstration pour 2 points matériels : → − pΣ =→− p1+→ −p2 = m1 v 1 + m2 → → − − v2 −−−→ −−−→ dOM1 dOM2 = m1 + m2 dt dt é d Ä −−−→ −−−→ä = m1 OM1 + m2 OM2 dt d Ä −−→ä = mOG dt = m−v→ lét G espace 12 2 Actions sur un système fermé et seconde loi de Newton à un système fermé On considère un système fermé que l’on assimile à un ensemble de N points matériels. On distingue deux types de forces qui s’exercent sur le système : Forces extérieures : forces exercées par des éléments extérieurs au système, forces intérieures : forces dues aux interactions entre les points du système. En appliquant la seconde loi de Newton à chacun des points du système, on obtient la seconde loi de mp Newton appliquée à un système, que l’on appelle également principe fondamental de la dynamique, loi (ou théorème) de la quantité de mouvement, théorème de la résultante dynamique... Seconde loi de Newton à un système : Soit un système de points matériels Σ. Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement du système est égale à la somme des forces extérieures qui s’appliquent au système : d− p→Σ X→ − = f ext→Σ dt espace 13 Dans le cas d’un système fermé de masse totale m et de centre de gravité G, on obtient : d− p→ d(m− v→G) X→ − = m− a→ d’où m− a→ Σ = G G = f ext→Σ dt dt Co espace 14 Démonstration pour trois points matériels : → −p =→−p (M ) + →− p (M ) + →−p (M ) 1 2 3 D’après la troisième loi de Newton : d→ −p d→ − p 1 d→ −p 2 d→−p3 → − → − → − → − ⇒ = + + f 1→2 = − f 2→1 , f 1→3 = − f 3→1 et dt dt dt dt X→ − → − → − → − → − = f ext→1 + f 2→1 + f 3→1 f 2→3 = f 3→2 : les forces intérieures se | {z } X→ − → − → − compensent 2 à 2 ! + f ext→2 + f 1→2 + f 3→2 X→ | {z } d→ −p X→ − − → − → − D’où = f ext→Σ + f ext→3 + f 1→3 + f 2→3 dt | {z } espace 15 2023-2024 8 PTSI - Lycée Newton M2 - Lois de Newton IV Exemples d’études de mouvement à partir du PFD 1 Chute libre On considère un corps soumis uniquement à son propre poids (chute dans le vide ou dans l’air en négligeant les frottements de l’air). On souhaite déterminer le mouvement de son centre d’inertie. Système : Corps de masse m et de centre d’inertie G é espace 16 Référentiel : Terrestre supposé galiléen espace 17 × G lét z y → − x P Base de projection : cartésienne liée au référentiel O espace 18 → − Bilan des forces appliquées au système : poids P = m→ − g = −mg → − ez espace 19 Principe fondamental de la dynamique : → − m→ − a =P m→ − a = m→− g mp → − a =→ − g Mouvement à vecteur accéléearion constant espace 20 Remarques : L’équation du mouvement ne fait pas intervenir la masse de l’objet : pour des conditions initiales identiques, le mouvement de l’objet soumis uniquement à son propre poids sera donc le même quelle que soit la masse de l’objet. On a montré que le mouvement de chute libre est un mouvement à vecteur accélération constant. Ce qui suit sera généralisable à n’importe quel mouvement de vecteur accélération constant → − a0. Ce type de mouvement à vecteur accélération constant est à connaı̂tre. Projection sur les vecteurs de la base choisie et intégration : Co On a → − a = ẍ→ − ex + ÿ → − ey + z̈ → − ez et → − g = −g → − ez ẍ = 0 ÿ = 0 z̈ = −g ẋ = cte = ẋ(0) ẏ = cte = ẏ(0) ⇒ Z t z̈(t0 )dt0 ⇒ ż = ż(0) − gt ż = ż(0) + 0 Z t Z t 0 0 x(t) = x(0) + ẋ(t )dt = x(0) + ẋ(0)dt0 = x(0) + ẋ(0)t 0 0 ⇒ y(t) = y(0) + ẏ(0)t Z t espace 21 1 ż(t0 )dt0 ⇒ ż = z(0) + ż(0)t − gt2 z(t) = z(0) + 0 2 2023-2024 9 PTSI - Lycée Newton M2 - Lois de Newton Remarque : on peut aussi intégrer l’équation vectorielle puis la projeter : → − a =→ − g Z t ⇒→ − v (t) = → − v (0) + → − a (t0 )dt0 0 é → −v (t) = → − v (0) + → −gt −−→ −−→ 1− 2 OM (t) = OM (0) + → − v0 t + → gt 2 x(t) = x(0) + vx (0)t lét y(t) = y(0) + vy (0)t z(t) = z(0) + v (0)t − 1 gt2 z 2 espace 22 Déterminons la trajectoire pour deux types de conditions initiales : Premier cas : le vecteur vitesse initial est nul ou colinéaire à l’accélération de pesanteur. vx (0) = 0, vy (0) = 0, ⇒ x(t) = x(0) = cte et y(t) = y(0) = cte Le mouvement est rectiligne, parallèle à (Oz), d’accélération az = −g = cte Cf chap. M1 MRUA (mouvement rectiligne uniformément accéléré) ← point de rebroussement V mp → − V v0 → − v0 → − V V g trajectoire trajectoire espace 23 Deuxième cas : le vecteur vitesse initial n’est pas colinéaire à l’accélération de pesanteur. On peut choisir (Ox) tel que → − v (0) = v0x → − ex + v0z → − ez (vecteur vitesse initial dans le plan Oxz). Alors : x(t) = x(0) + v0x t (1) y(t) = y(0) = cte ⇒ Mouvement dans le plan y=y(0), càd le plan contenant la position initiale du point matériel, le vecteur vitesse Co initial et le vecteur accélération z(t) = z(0) + v t − 1 gt2 0z (2) 2 Trajectoire z = f (x) ? x(t) − x(0) (1) ⇒ t = v0x v0z 1 g 2 Dans (2) : z = z(0) + (x − x(0)) − 2 (x − x(0)) v0x 2 v0x On reconnaı̂t pour z = f (x) l’équation d’une parabole. z → − v0 z(0) × x x(0) espace 24 2023-2024 10 PTSI - Lycée Newton M2 - Lois de Newton 2 Chute avec frottements de l’air Lorsqu’on lance avec le même vecteur vitesse des objets différents dans l’air, on constate que tous n’ont pas le même mouvement. On en déduit qu’ils ne sont pas soumis uniquement à leur poids. Les forces exercées par le fluide environnant (l’air) sur l’objet jouent un rôle important. Forces exercées par un fluide sur un objet en mouvement : Forces de traı̂née : il s’agit d’une force de frottement fluide qui s’oppose au mouvement (colinéaire é au vecteur vitesse et de sens opposé au vecteur vitesse). On retiendra les deux cas limites : 1. À faible vitesse : valeur de la force proportionnelle à la valeur de la vitesse : → − f = −α→ − v lét espace 25 2. À grande vitesse : valeur de la force proportionnelle à la valeur de la vitesse au carré : → − S = πR2 pour une sphère f = −kS||→ − v ||→ − v espace 26 -surface de coupe maximale Remarques pour aller plus loin : 1. Pour quantifier le faible/forte vitesse, il faut regarder la valeur du nombre de Reynolds : ρvL Re = η avec ρ la masse volumique du fluide (en kg.m−3 ), v la vitesse de l’objet (en m.s−1 ), L la taille mp du corps (en m), η la viscosité du fluide (en Pa.s, équivalent à des kg.m−1.s−1 car la pression est homogène à une énergie sur un volume). Une vitesse faible correspond à un nombre de Reynolds inférieur à 1 et une vitesse élevée à un nombre de Reynolds supérieur à 103. 2. On écrit de façon plus générale : 1 f = − ρCx S||→ − v ||→ − v 2 avec Cx un coefficient de traı̂né, qui dépend uniquement du profil aérodynamique du corps, et qui évolue avec la valeur du nombre de Reynolds : À petite vitesse, Cx est proportionnel à Co Figure 1 – Coefficient de traı̂née en fonction du nombre de Reynolds pour une bille. 1/Re (ce qui équivaut à ln(Cx ) = cte − ln(Re) et ce qui se traduit par une droite de pente -1 sur le graphique de la figure 1) d’où Cx est proportionnel à 1/||→ − v ||, tandis qu’à forte vitesse, Cx est constant en fonction du nombre de Reynolds, donc ne dépend pas de la vitesse. 3. Pour une bille de rayon r par exemple, le coefficient de frottement à faible vitesse vaut α = 6πηr (loi de Stokes). 2023-2024 11 PTSI - Lycée Newton M2 - Lois de Newton Portance : il s’agit d’une force perpendiculaire au mouvement. Application : avions. espace 27 Exemple : étude de la chute d’un ballon de basket dans l’air. En tenant compte du poids et d’une force de frottement fluide on cherche à étudier le mouvement du centre d’inertie du ballon. On considérera successivement les cas d’une force : é 1. proportionnelle à la vitesse dans un premier cas 2. proportionnelle au carré de la vitesse dans un second cas Système : ballon de basket de centre d’inertie G et de masse m lét espace 28 Référentiel : terrestre, supposé galiléen espace 29 Base de projection : cartésienne liée au référentiel z O y x espace 30 Bilan des forces : → − poids P = m→− g = −mg → − ez → − force de frottement fluide f mp espace 31 Principe fondamental de la dynamique : − → → − m→ − a (G) = P + f espace 32 1. Cas d’une force de frottement fluide proportionnelle à la vitesse. m→−a = m→ −g − α→−v dv→ − m + α→ −v = m→ − g dt d→ −v α− + → v =→−g dt m → − m→ m Solution : → − v (t) = V e−t/τ + −g où τ = α α Co | {z } sol. part. → − v = cte d→ − → − → − ⇒ = 0 ⇒→ v dt − v = mαg → − On peut déterminer V à partir d’une CI (→ − v (0)) m− Quand t → ∞, on constate l’existence d’un vecteur vitesse limite dirigé selon −→ − ez : → − v = →g α z → − v0 z(0) × avec frottements parabole en l’absence de frottements espace 33 2023-2024 x 12 x(0) PTSI - Lycée Newton M2 - Lois de Newton 2. Cas d’une force de frottement fluide proportionnelle au carré de la vitesse. d→− v m = m→ − g − β||→ − v ||→ − v dt d→ −v β − → + ||→ v ||− v =→ −g E.D. non linéaire et que l’on ne sait pas résoudre dt m é Néanmoins, on peut trouver des info... → − Si on admet que, comme dans le cas f = −α→− v , il existe une vitesse limite, alors on détermine lét celle-ci : d→ −v → − à t → ∞, → − v =→ − v lim ⇒ = 0 dt β → ⇒ ||− v lim ||→ − v lim = → − g m mg … ⇒ ||→ − v lim || = et → − v lim est selon − → − ez β mg → … ⇒→− v lim = − − ez β mp d→ −v g − → Par ailleurs, on a + 2 ||→ v ||− v = → − g , on peut faire apparaı̂tre un temps caractéristique dt vlim vlim τ= ce qui donne : g d→ −v ||→ −v ||→ −v vlim → − + =− ez dt τ vlim τ → −v En posant →− u = la vitesse adimensionnée, l’ED vérifiée par cette vitesse adimensionnée ne vlim dépend que de τ : d→ −u ||→ −u ||→ −u 1− + =− → ez dt τ τ L’évolution de la vitesse vers la vitesse limite se fait donc avec un temps caractéristique τ , et le rapport du vecteur vitesse sur la vitesse limite ne dépend que de sa valeur initiale et de τ. Co espace 34 2023-2024 13 PTSI - Lycée Newton M2 - Lois de Newton 3 Pendule simple Considérons un corps assimilé à un point matériel M accroché à l’extrémité d’un fil tendu de de longueur `. L’autre extrémité du fil est fixée au point O. On se limite à un mouvement du point matériel dans le plan Oxy. Schéma : é O y z ` → − → − → − g θ T eθ M lét → − P → − x er espace 35 Système : {M } espace 36 Référentiel : terrestre supposé galiléen mp espace 37 Base de projection : polaire (→ − er , → − eθ ) espace 38 Bilan des forces : → − Poids P = mg(cos θ→− er − sin θ→ − eθ ) → − Tension du fil T = −T → − er espace 39 Principe fondamental de la dynamique : Co → − →− m→ − a =P +T −−→ avec OM = `→ − er ,→ − v = `θ̇→ − eθ et → − a = `θ̈→ − eθ − `θ̇2 → − er espace 40 Projections : ® → (.− er ) −m`θ̇2 = mg cos θ − T (.→ − eθ ) m`θ̈ = −mg sin θ T étant une inconnue, c’est la 2e équation qui donne l’équation du mouvement : m`θ̈ = −mg sin θ g espace 41 ⇒ θ̈ + sin θ = 0 (∗) E.D. non linéaire ` 2023-2024 14 PTSI - Lycée Newton M2 - Lois de Newton Lorsque le mouvement se limite à des petits angles : sin θ ' θ g ⇒ θ̈ + θ = 0 on obtient l’équation différentielle du mouvement d’un oscillateur harmonique (oscil- ` … g é lateur non amorti), de pulsation propre ω0 =. ` La pulsation est indépendante de l’amplitude des oscillations, on parle d’isochronisme des oscillations. La solution générale de l’équation différentielle est : lét θ(t) = A cos(ω0 t + ϕ) espace 42 Pour aller plus loin : portrait de phase g (∗) × θ̇ ⇒ θ̇θ̈ + θ̇ sin θ = 0 Å ` ã d 1 2 d g ⇒ θ̇ + − cos θ = 0 dt 2 dt ` 1 2 g 1 g ⇒ θ̇ − cos θ = cte = θ̇2 (0) − cos(θ0 ) 2 ` 2 ` mp … g En traçant par exemple à la calculatrice , θ̇ = ± 2 cte + cos θ , on obtient le portrait de phase : ` 25 20 15 10 5 dθ/dt 0 -5 -10 -15 Co -20 -25 -2π -π 0 π 2π θ Figure 2 – Portrait de phase d’un pendule. L’axe des ordonnées est gradué en unités arbitraires. Remarque : en pratique, la tension du fil peut s’annuler sous certaines conditions. L’équation du mouve- ment établie précédemment n’est alors plus valable lorsque le fil cesse d’être tendu : le mouvement devient alors un mouvement de chute libre jusqu’à ce que le fil soit à nouveau tendu. Dans le cas particulier des petites angles, on a : ® θ(t) = A cos(ω0 t + ϕ) θ̇(t) = −Aω0 sin(ω0 t + ϕ) Il s’agit de l’équation paramétrée d’une ellipse dans le plan (θ, θ̇) : la trajectoire de phase est donc elliptique dans le cas des petits angles. 2023-2024 15