Introducció a la Biomecànica i L'elasticitat PDF

Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina TEMA 1: INTRODUCCIÓ A LA BIOMECÀNICA...

Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina TEMA 1: INTRODUCCIÓ A LA BIOMECÀNICA I L’ELASTICITAT BIOMECÀNICA Podem definir la biomecànica com l’estudi de les estructures i propietats mecàniques dels materials vius (biomaterials). La biomecànica existeix en mes d’un camp: Biomecànica de l’exercici i l’esport Biomecànica ortopèdica Biomecànica de l’impacte Biomecànica ocupacional/laboral MECÀNICA CLÀSSICA LLEIS DEL MOVIMENT DE NEWTON (1643 -1727) 1a. Llei o llei de la inèrcia. (concepte de força). Un cos segueix, o bé en repòs, o bé en moviment rectilini uniforme mentre la força neta que actua sobre ell sigui zero. 2a. Llei o llei fonamental (concepte de massa). La relació entre la força aplicada a un cos i l’acceleració produïda és un paràmetre característic del cos que s’anomena massa inert (massa, m). 3a. Llei o llei d’acció i reacció. Quan un cos exerceix una força (acció), aquest últim exerceix sobre el primer una força igual i de sentit contrari que s’anomena reacció. ESTÀTICA I CONDICIONS D’EQUILIBRI Estàtica: estudi de les forces que actuen sobre un objecte que està en equilibri i en repòs. 1a. Condició: “Un cos esta en equilibri de translació quan la suma de totes les forces que actuen sobre el cos és igual a zero. Definim la translació com el desplaçament d’un cos en les coordenades espacials (x,y,z). El cos està o bé en repòs (velocitat = 0 → equilibri estàtic) o bé en moviment uniforme (velocitat = constant → equilibri dinàmic). Ens pot ajudar a entendre aquesta condició si imaginem el cos rígid sobre el que actuen les forces com un punt. Si pensem per exemple en una pedra com a cos rígid, és a dir, un cos que no es deforma per l’acció de les forces (perquè la distància entre les partícules d’aquest cos es manté invariable), ens podem imaginar que aquest cos és un cos puntual, és a dir, un punt (que seria l’origen de totes les forces que actuen sobre ell). Si per tant, en aquest punt que hem definit, el sumatori de forces és zero, direm que aquell cos es troba en equilibri de translació (el cos no es desplaça). pág. 1  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina 2a. Condició: Un cos es troba en equilibri de rotació quan la suma dels moments produïts per totes les forces que actuen sobre el cos és igual a zero. Definim moment com la tendència d’una força a generar una rotació al voltant d’un punt. Si les forces s’apliquen sobre el mateix punt de rotació, aquest cos no rotarà. No obstant, com més s’allunya la força del punt de rotació, major és el moment, i si la suma de tots els moments de les forces no és zero, el cos rotarà. La distància mínima d ’un punt al vector d’una força és la distància que genera un angle recte e sobre aquell vector. En el següent exemple, la distància del punt P al vector F és la línia d, que és la que està generant un angle recte sobre F. En aquest cas: De vegades, per buscar els triangles rectangles que permetin calcular la distància d’un punt a un vector, com hem vist, haurem de treballar amb trigonometria. Per això, hem de repassar els següents conceptes. En un triangle rectangle com el següent, per a l’angle definit com a α es compleixen les següents raons trigonomètriques: Quan volem saber l’angle α a partir del sinus, cosinus i tangent d’aquest, considerant que sin α = y ; cos α = z ; tan α = x ho fem: pág. 2  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina DESCOMPOSICI Ó DE FORCES EN UN COS RÍGID I HOMOGENI Pensem en un cos rígid i homogeni, amb unes dimensions d’amplada i alçada definides. Suposem que la seva condició homogènia fa que el pes del cos en qualsevol dels punts d’aquest és el mateix. D’aquesta manera, es representa el seu centre de gravetat o el seu vector força en el punt mig, de la següent manera. És el mateix cas que hem explicat en la 3a Llei de Newton. Aquest cos rígid exerceix un pes sobre el centre de la Terra, constituint la força fonamental més important en la biomecànica, que és la força gravitatòria (F g), és a dir, la força amb la que la Terra ens atrau. De la mateixa manera, el centre de la Terra exerceix una força de reacció sobre el cos. Com hem dit, en la descomposició de forces del cos rígid i homogeni, al punt central representaríem el seu pes, i d’altra banda, a la forma que té el cos d’interactuar amb el seu entorn serà el que anomenem forces de contacte. Aquestes forces de contacte són forces de naturalesa electrostàtica que vindran donades per les interaccions moleculars de l’objecte amb la superfície. Aquesta la podem representar com a infinites forces de contacte, o bé com a 1 força de contacte (que s’exerceix sobre la superfície – no sobre el centre de la Terra – ) i 1 reacció de contacte (que s’exerceix sobre l’objecte). D’altra banda, no podem oblidar que segueix existint la força pes (F g), la qual s’exerceix sobre el centre de la Terra, i per tant aquesta també tindrà una força de reacció (R g), exercida pel centre de la Terra. Per tant, en resum els parells acció -reacció que tenim són Fg i Rg d’una banda, i Fc i Rc de l’altra. EN COSSOS ARTICULATS I NO HOMOGENIS Fins ara teníem com a referència un cos rígid i homogeni, però si parlem del cos humà, el qual evidentment també s’adapta a la llei de la gravetat, ara parlem d’un cos articulat amb el pes distribuït d’una manera molt diferent. Per tant, com cada un dels segments del cos té un pes concret, no serà el mateix exercir una força sobre un segment o sobre un altre. Així, és molt important tenir en compte com actua la gravetat en els diversos segments del cos. Si per exemple guanyem pes, les forces de reacció als nous pesos seran diferents, per tant podríem dir que un dels principals problemes en biomecànica és el sobrepès. Ara prenem com a exemple la descomposició de forces del següent sistema, on tenim el bíceps i el braç subjectant un pes, els quals es troben articulats per un punt de rotació que és el colze. En aquest cas, la força muscular (F m) que fa el bíceps és la que està aguantant la resistència que fa el pes (F r). pág. 3  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina El que estem veient en aquest sistema realment, és una palanca. Segons els elements que formen un palanca, els quals veurem a continuació, el fulcre seria el colze, la potència seria la força muscular del bíceps, i la resistència seria la força exercida pel pes. BIO MECÀNICA Ossos Palanques Articulacions Juntes mecàniques Músculs Motors Tendons Cables Lligaments Tancaments de seguretat PALÀNQUES Una palanca consisteix en una barra rígida amb un punt de recolzament (fulcre). Les palanques són una aplicació de la 2ª condició d’equilibri. Estan definides per: ✓ Fulcre: és immòbil, i correspon al punt de rotació ✓ FA: força aplicada, també anomenada potència ✓ FR: força de resistència del cos que es vol aixecar Si ens fixem en el sistema de la imatge anterior, que es correspon a un balancí, podríem preguntar -nos si està en equilibri. Si ens imaginem que en aquest balancí hi ha un nen (F 2) i una nena (F 1) i que el balancí està estàtic, de forma que cap de les dues bandes ni puja ni baixa, diríem que sí està en equilibri. Això és perquè la força que fa la nena no és capaç de vèncer la força que fa el nen, és a dir que ambdues forces estan equilibrades, i això al mateix temps tampoc permet que el balancí roti, de forma que el sumatori de moments també està equilibrat. En aquesta palanca, podem dir que la força que exerceix el nen és la potència, i la força que exerceix la nena és la resistència. El fulcre seria el punt mig del balancí. El cos humà és un sistema de palanques, ja que hi ha un element rígid (os) on actuen una sèrie de forces (forces musculars), exercim una força (força d’acció) i com a mínim hi ha un pes de resistència (força de reacció). LLEI DE LA PALANCA Les palanques són màquines simples. Si els hi apliquem la segona condició d’equilibri, en una palanca del tipus de la imatge (per exemple), obtenim: a: distància des del fulcre fins al punt d’aplicació de FA (Força potencia) b: distància des del fulcre fins al punt d’aplicació de FR (Força resistència) Si ens fixem, veiem que hi ha un signe negatiu a la primera fórmula. Podríem pensar que com estem fent un sumatori de moments hauria de ser un signe positiu, però quin signe posem dependrà del sentit de la rotació. Si ens fixem en les fletxes vermelles de la imatge, indiquen el sentit de la rotació de les dues forces. Per conveni de signe, podem dir que el sentit antihorari (el que té F R) és negatiu, i el sentit horari (el que té F A) és positiu. FA en el nostre cos equivaldria a la força muscular i FR al pes. pág. 4  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina AVANTATGE MECANIC Quan parlem de l’avantatge mecànic (AM) d’una palanca , ens referim a per quant es multiplica o divideix la força que s’està produint. Si AM > 1, es multiplica, si AM < 1, es divideix. Com més gran és F R respecte de F A, major és l’avantatge mecànic. El més freqüent és buscar palanques amb un AM molt gran, però en el cas del cos humà la majoria de palanques tenen un AM < 1, perquè la finalitat no és aconseguir superar grans forces de resistència a partir de petites forces aplicades, sinó tenir una major precisió. Si ens fixem en la f fórmula amb la que hem descrit la llei de la palanca, i en la qual apareix l’AM, aquest també el podem definir com la relació que hi ha entre resistència i potència, o la relació que hi ha entre la distància a i b. TIPUS DE PALÀNQUES El que determina de quin tipus (o de quin gènere) de palanca es tracta, és l ’element central d’aquesta palanca. 1R GÈNERE L’element central és el fulcre, el qual es troba entre les dues forces. L’AM pot ser inferior, igual o superior a 1, és a dir, pot ser qualsevol número real. En mecànica, la majoria de palanques són de 1r gènere. 2N GÈNERE L’element central és la FR, la qual es troba entre la FA i el fulcre. En aquest cas, l’AM sempre serà major que 1. Corresponen a instruments de força. 3R GÈNERE L’element central és la FA, la qual es troba entre la F R i el fulcre. En aquest cas, l’AM sempre serà menor que 1. Corresponen a instruments de precisió. En biomecànica, la majoria de les palanques són de 3r gènere. pág. 5  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina EXEMPLES DE PALÀNQUES Un altre exemple podria ser un trencanous, en que l’element central és la resistència, i per tant és una palanca de 2n gènere. El cas de la barca és especial i pot donar confusió. Podríem pensar que l’element central sembla el punt on es recolza el rem, que pot fer -nos pensar que és el punt de rotació i que per tant és una palanca de 1r gènere. No obstant, no ho és, sinó que és de 2n gènere. Això és perquè l’objectiu de remar és moure la barca, i per fer això necessitem un punt de suport, que realment ens el proporciona l’aigua. Per tant, l’aigua correspondrà al fulcre, el punt on es recolza el rem correspon a la resistència, i la força que fem quan remem és la potència. Així doncs, la resistència és l’element central, i tenim una palanca de 2n gènere. PALANQUES EN BIOMECÀNICA BIOMECÀNICA DEL TURMELL Tenim com a exemple el múscul gastrocnemi, el qual alça el taló per aixecar el pes del cos. Tenim que el pes del cos humà que cau sobre la tíbia en la inserció amb l’astràgal seria la resistència, que seria l’element central, la força muscular que fa el gastrocnemi mitjançant el tendó d’Aquil·les seria la potència, i la punta del peu seria el fulcre. Per tant, el que tenim és una palanca de 2n gènere. pág. 6  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina BIOMECÀNICA DEL COLL En aquest cas, podem veure clarament que el punt de rotació o fulcre en el moviment d’extensió del coll és el punt on es dona la inserció de la columna amb el crani. De nou, el múscul que hi ha darrere exerceix la potència, i en aquest cas la resistència que està vencent és el pes del cap, el qual aniria cap endavant si no hi hagués aquest múscul. Per tant, ara tenim el fulcre com a element central, de forma que parlem d’una palanca de 1r gènere. BIOMECÀNICA DEL COLZE En aquest darrer cas, en que veiem la palanca de flexió del braç, tenim que el múscul bíceps està suportant el pes de l’avantbraç i de la mà, i en cas d’haver -hi algun objecte a la mà, també aquest. En aquest cas, el fulcre serà el colze, la força muscular del bíceps serà la potència i correspon a l’element central, i el pes de l’avantbraç serà la resistència. Per tant, tenim una palanca de 3r gènere. Aquest cas pot semblar contraintuïtiu, ja que solem associar el bíceps a la força del braç i no a la precisió. No obstant, si comparem el cos humà de la resta d’animals quadrúpedes, precisament el que ens diferencia d’ells és que utilitzen les seves extremitats superiors per fer força, mentre que en els éssers humans les nostres mans són instruments de precisió, per això tenim una palanca de 3r gènere. Ara bé, en la biomecànica de la flexió del braç no intervé només el bíceps, sinó que també hi tenim el seu múscul antagonista, el tríceps, el qual serà el que donarà la força muscular necessària per la extensió del braç. En aquesta extensió, per tant, tindrem que la potència la fa el tríceps, el punt de rotació segueix sent el colze i ara esdevé l’element central, i la resistència segueix fent -la el pes de l’avantbraç. En conclusió, aquesta palanca és de 1r gènere. Així doncs, diem que el sistema del braç és versàtil, i el fet de tenir músculs agonistes i antagonistes fa que puguem tenir, en aquest cas, una palanca de 3r gènere per manipulació o una palanca de 1r gènere per augmentar una potència. pág. 7  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina TAULA RESUM I DIAPOS GRAUS DE LLIBERTAT pág. 8  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina EXERCICIS DE BIOMECÀNICA EXERCICI 1 Les forces que actuen sobre la ròtula del genoll en equilibri representat en la figura són T 1 (tensió exercida pel tendó del quàdriceps sobre la ròtula) i T2 (tensió exercida pel tendó rotulià). Tenint en compte les dades de la figura, calcula el valor de la força de contacte F c que exerceix el fèmur sobre la ròtula i l’angle α amb l’horitzontal. (T 1 = T 2 = 1320 N) En primer lloc, per facilitar el problema hem de fer el dibuix de les forces traient l’anatomia. En aquest dibuix, T1 correspon a la tensió exercida pel tendó quàdriceps sobre la ròtula, T2 correspon a la tensió exercida pel tendó rotulià sobre la ròtula, i Fc correspon a la força de contacte exercida pel fèmur sobre la ròtula. Segons l’enunciat aquest sistema està en equilibri. Tenint en compte les condicions de l’equilibri, el sumatori de forces i de moments és 0. No obstant, com no tenim distàncies, ho calcularem a partir de les forces i no dels moments. Per tant, tenim que: Segons les regles trigonomètriques que hem estudiat anteriorment, per descompondre les forces en factor x i factor y, tenim que: De la mateixa manera, descomponem les altres forces, i acabem tenint la següent expressió: El conveni de signes dependrà de la component x i la component y de cada força. Si mirem per exemple la component y de T1, veiem que segons el dibuix té una y positiva, però com ho estem passant tot a l’altra banda de l’igual, tots els signes es canvien. Si tatxem Fc amunt i a baix, i tenim en compte que tan = sin / cos, ens queda l’expressió: Substituint les dades que sabem en l’equació, ens queda: Ara que tenim el valor de l’angle α, el substituïm a qualsevol de les expressions per obtenir el valor de F c. Si per exemple el substituïm a l’expressió de la component x: Per tant, la resposta final és pág. 9  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina EXERCICI 2 El conjunt de l’avantbraç i la mà d’una persona pesa 21,6 N. En situació d’equilibri i tenint en compte les dades de la figura, calcula: a) La força que ha de fer el bíceps (F m) per aguantar el pes de 42,6 N situat a 36,5 cm de l’articulació del colze. Com estem en equilibri, es compleix que el sumatori de forces és 0 i el sumatori de moments és 0. En aquest cas, tenim distàncies, de forma que haurem de tenir en compte els moments. Sabem que la fórmula del moment és M = F · d, sent d la distància de la força al punt de rotació, que en aquest cas, es troba en el colze. Els moments en aquest sistema són: Moment de la força de contacte (Fc) → M = Fc · 0 (perquè Fc s’aplica sobre el punt de rotació) Moment de la força muscular (Fm ) → M = Fm · 4,9 Moment del pes de l’avantbraç i la mà (Fp ) → M = 21,6 · (4,9 + 10,1) = 21,6 + 15 Moment del pes de la bola (P) → M = 42,6 · 36,5 Així doncs, segons la segona condició de l’equilibri, tenim que: Aquí el conveni de signes depèn de si la força fa rotar el sistema en sentit horari (+) o antihorari ( -) respecte del punt de rotació. b) El valor de la força de contacte (F c) que actua sobre l’avantbraç en el colze. Si ara tenim en compte la primera condició de l’equilibri, tenim que: pág. 10  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina GRAVETAT I EQUILIBRI Primer hem d’entendre el concepte d’equilibri i les forces que actuen sobre un cos. Com sabem, l’equilibri ve definit per les condicions d’equilibri de translació i de rotació. La idea és que aquest individu, en un punt concret del seu cos, el sumatori de tots els moments serà 0. Aquest punt és el centre de gravetat (CDG), i serà on representem el pes de l’individu. Com veiem en la imatge, el pes de l’individu vindrà definit (com veurem més endavant) per la fórmula F g = m · g, i d’altra banda hi ha la força de contacte que el nostre cos genera sobre la superfície on ens trobem. Per dir que aquest individu està en equilibri, segons la primera condició d’equilibri s’ha de complir que Fg = Fc El pes (F g) sempre serà el nostre pes, però la força de contacte (F c) serà el que anomenem un pes aparent, que és variable. El que nosaltres llegim a la balança quan ens pesem és aquest pes aparent, degut a que dependrà de la nostra posició a sobre de la balança. Només coincidirà amb el nostre pes real si estem en equilibri. EFECTES DE LA GRAVETAT SOBRE L’ORGANISME HUMÀ Es considera que sobre la superfície de la Terra Fg o P és constant, ja que g pràcticament no varia (les seves variacions tenen un efecte gairebé nul sobre els cossos que es troben a la superfície terrestre). Per tant, si un cos no es troba en equilibri, allò que ha variat és Fc. No som conscients de la força pes (P) que actua sobre els nostres cossos perquè hem estat sotmesos a ella des del nostre naixement. Si es modifiquen les forces de contacte, deixem de controlar aquesta força pes i no ens trobem en una situació d’equilibri. Un exemple molt clar d’això és l’exemple de l’ascensor. Posem que tenim una persona de 80 kg en un ascensor en el que hi ha una balança. Establirem 4 situacions, en que l’ascensor està en repòs, en que arrenca per pujar, en que arrenca per baixar i en que es tallen els cables i l’ascensor es troba en caiguda lliure. SITUACIÓ 1 L’ascensor està en repòs, de forma que no hi ha cap força externa actuant sobre aquest. Les forces que actuen en aquest sistema són: El cos es troba en equilibri, per tant: La balança marca 80 kg (perquè pes real = pes aparent). pág. 11  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina SITUACIÓ 2 L’ascensor puja. Per tant, just en el moment que l’ascensor arrenca hi ha una acceleració, de manera que actua una força externa (Fext) en el sistema. Les forces que actuen en aquest sistema són: El cos no es troba en equilibri, per tant: La balança marca > 80 kg (perquè augmenta el pes aparent). SITUACIÓ 3 L’ascensor baixa. Per tant, just en el moment que l’ascensor arrenca hi ha una acceleració, de manera que actua una força externa (Fext) en el sistema. Les forces que actuen en aquest sistema són: El cos no es troba en equilibri, per tant: La balança marca < 80 kg (perquè disminueix el pes aparent ). SITUACIÓ 4 L’ascensor baixa en caiguda lliure (imaginem que tallem el cable i anul·lem els frens d’aquest). Per tant, actua una força externa (Fext) en el sistema. Les forces que actuen en aquest sistema són: El cos no es troba en equilibri, per tant: La balança marca 0 kg (ja que Fc total = FC – Fext = 0 ). En aquesta situació la persona té una sensació d’ingravidesa, ja que només actua la Fg de l’individu. (Muntanya russa). pág. 12  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina RESUM DE LES 4 SITUACIONS FORÇA GRAVITATÒRIA Definim la força gravitatòria (Fg ) amb la fórmula següent: G: constant de gravitació universal m1: massa que crea el camp (massa de la Terra) m2: massa sotmesa al camp (massa de l’objecte, persona...) r: distància entre els centres de gravetat dels cossos (radi de la Terra) També podem expressar la força gravitatòria amb la fórmula: m: massa de l’objecte, persona... g: acceleració de la gravetat (9,8 m/s2) D’altra banda tenim el concepte camp gravitatori (g), la fórmula del qual podem deduir a partir de les expressions anteriors: El valor g depèn, per tant, de la massa del planeta i del seu radi. Així doncs, en resum, tenim que: Com hem dit, el cos humà està adaptat a aquesta força fonamental que és la força gravitatòria. Aquesta té diferents efectes en nosaltres segons la nostra fisiologia. Per exemple, en una persona amb sobrepès hi ha majors forces de contacte i fricció sobre les articulacions a una mateixa força gravitatòria. En el cas dels astronautes, l’efecte de l’absència de gravetat és una pèrdua de massa òssia. Per últim, es poden alterar les condicions gravitatòries amb objectius terapèutics, així com: Aquagym: disminueix les forces de contacte Cintes antigravetat: serveixen per rehabilitar, per exemple el genoll, sense fer impacte sobre aquest mentre es corre Treball amb pes: es fa al gimnàs i serveix per augmentar les forces de contacte pág. 13  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina CENTRE DE GRAVETAT I EQUILIBRI CORPORAL L’equilibri ve definit pel CDG, la base de sustentació i la línia gravitatòria. El centre de gravetat (CDG) és el punt d’un cos on els pesos d’aquest cos fan un sumatori de moments igual a 0. En alguns objectes coincideix amb el centre de l’objecte, però com el cos humà és un cos articulat, el CDG dependrà de la posició. En el cos humà, en una posició ortostàtica el CDG correspon a la pelvis a la segona vèrtebra sacra ( S2), uns 2cm per davant del turmell. En les dones es troba mes avall que en els homes degut a que les dones posseeixen una pelvis i unes cuixes mes pesades i unes cames mes curtes. Com veiem a la imatge, si pugem els braços el CDG puja, ja que el pes dels braços va cap amunt. El CDG, no obstant, pot trobar -se fora del cos, ja que és un punt teòric, no material, sense implicar això necessàriament que no estiguem en equilibri. Quan parlem de base de sustentació ens referim a la superfície de recolzament amb el terra. En el cas dels humans, és la zona delimitada pels dos peus (no únicament la zona de contacte dels peus amb el terra). La línia gravitatòria, d’altra banda, és la línia vertical que passa pel CDG i cau sobre la superfície (no necessàriament sobre la base de sustentació) de manera perpendicular. Si cau fora de la base de sustentació, el cos es troba fora de l’equilibri. Això passa, per exemple, moltes vegades quan estem en moviment. ESTABILITAT EN L’EQUILIBRI Com sabem, per estar en equilibri s’han de complir dues condicions. No obstant, un cop un cos està en equilibri, pot ser que sigui més o menys estable. Per a que un cos sigui molt estable ha de complir: Tenir una base de sustentació molt gran Tenir el CDG molt a prop de la base de sustentació Si ens fixem en aquesta imatge, i segons les condicions que acabem de definir, l’objecte de l’esquerra és més estable que el de la dreta, perquè la seva base de sustentació és més gran, i també perquè té el CDG més a prop de la superfície de contacte amb el terra. Ara tenim un altre exemple, que és el d’una persona de peu. Com veiem en la imatge, el CDG cau en punts diferents segons si la persona està en posició ortostàtica (1), si està caminant (2), o si, per exemple, porta un bastó perquè té el CDG desplaçat cap a un costat (3), augmentant així la base de sustentació. pág. 14  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina Quan una persona utilitza crosses, el que està fent és augmentar la base de sustentació, i per tant també augmenta la seva estabilitat. Així doncs, es poden donar diferents graus d’estabilitat. GRÀFICS DEL CENTRE DE GRAVETAT Mirant aquests gràfics podem veure la relació entre el centre de massa i l’alçada en homes i dones. Si considerem l’alçada total d’una persona com a 1, prenent com a referència el 0’55, veiem que en homes generalment el centre de massa es troba per sobre de 0’55, mentre que en dones es troba per sota. Així doncs, diem que en general el CDG està per sobre de la meitat del cos en homes, i relativament més baix en dones. Això és perquè la distribució corporal de les dones fa que tinguin un centre de gravetat més baix que el dels homes. Això es demostra amb l’experiment de la cadira. EXERCICI DE CENTRES DE GRAVETAT L’home de la figura pesa 700 N. Manté els seus braços rectes i en creu i en una mà aguanta un pes de 60 N. a) Troba les coordenades del CDG del conjunt En aquest sistema tenim 2 pesos, el de l’home (700 N) i el de la pesa (60 N). Aquests dos es sumen formant un vector pes (Fg + Fp) en el punt del centre de gravetat. Hem de veure aquest sistema com una palanca. Fg és el pes de l’home i Fp és el pes de la pesa. En aquest CDG, on posarem el centre de rotació, aquest vector com no està a cap distància del CDG el seu moment serà 0 (perquè d = 0). Per tant, aquest moment no hi serà, i només tindrem el moment format per la força de l’home i el moment format per la força de la pesa. Per tant, seguint la llei de la palanca i la segona condició de l’equilibri, tenim que → – Fg · a + Fp · b = 0 → Fg · a = Fp · b Posem el moment de Fg · a en negatiu perquè fa girar la palanca en sentit antihorari, mentre que Fp la fa girar en sentit horari, i per tant anirà en positiu. Ara ens interessa descobrir les distàncies a i b. Per simplificar el sistema, el representem com veiem aquí en un eix de coordenades x i y, on FA és la força del cos i F B és la força de la pesa, i el punt G és el centre de gravetat. Sabem que a + b ha de donar 1,2 m. D’altra banda, fixant -nos en les mesures del primer dibuix, sabem que a’ + b’ ha de donar 1,6 – 1 = 0,6 m. Assumint que a + b = 1,2 podem extreure que b = 1,2 – a. Si això ho substituïm a la fórmula de la llei de la palanca, i també substituïm els valors de les forces que ens diu l’enunciat, tenim la següent expressió: 𝟕𝟎𝟎 · 𝒂 = 𝟔𝟎 · ( 𝟏 , 𝟐 − 𝒂 ) Si resolem aquesta equació, ens queda que a = 0,095. Això ens permetrà saber la coordenada x del CDG de la següent manera. pág. 15  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina Tenim el punt (0,0) marcat en el gràfic. Si ens fixem, es troba just a la mateixa coordenada x on hi ha el vector pes de l’home, per tant la coordenada x de l’origen d’aquest vector serà 0. També sabem pel primer dibuix que es troba a 1 m d’alçada, per tant sabem que la coordenada y de l’origen d’aquest vector és 1. Així doncs, les coordenades que tenim per a l’origen del vector pes de l’home són (0,1). Ara, les coordenades del nou CDG seran (a, 1 + a’), per tant de moment tenim que les coordenades són (0 ’095, 1 + a’). Per simplificar el càlcul de la coordenada y, ara hem d’imaginar que canviem la posició del (0,0). Si nosaltres el posem just en el punt d’origen de FA, les coordenades de CDG són ara (a, a’). Per obtenir aquesta a’, hem d’imaginar -nos el sistema rotat, de manera que quedi així: (dibuixem en rosa el vector de 700 N i en verd el vector de 60 N). Ara, per tant, tenim amb la llei de la palanca la següent expressió: 𝟕𝟎𝟎 · 𝒂 ′ = 𝟔𝟎 · ( 𝟎 , 𝟔 − 𝒂 ′ ) Resolent aquesta equació, tenim que a’ = 0,047. Si ens fixem en la imatge i tal i com hem dit abans, la coordenada y correspon a 1 + a’, per tant y = 1 + 0,047 = 1,047. En definitiva, tenim que les coordenades de CDG són (0’095 , 1’047) si ho calculem en metres, o bé (9’5 , 104 ’ 7) en cm. b) Quin seria el pes màxim que pot aguantar l’home de la figura sense caure? La nostra incògnita ara és F B màxima, segons la equació FA · a = FB · b. Nosaltres sabem que l’home caurà quan la línia perpendicular a la base que passa pel CDG caigui fora de la base de sustentació, de forma que el límit per no caure és el punt just on acaba la base de sustentació. Ara, per saber la distància entre FA i el nou CDG, és a dir, la distància a, hem de fixar -nos en el dibuix. Veiem que la base de sustentació mesura en total 0,5 m. La distància entre FA i el nou CDG serà la meitat d’aquesta base de sustentació, per tant a = 0,25 m. En canvi, per calcular la distància entre F B i el nou CDG, és a dir, la distància b, hem de restar segons les mesures del dibuix 1,2 – 0,25, per tant b = 0,95 m. Ara ja només queda substituir les dades a l’equació inicial, de forma que tenim: Per tant, el pes màxim que pot aguantar l’home sense caure són 184,21 N. PROPIETATS MECÀNIQUES I FORCES QUE ACTUEN EN SÒLIDS, LÍQUIDS I GASOS A una determinada temperatura els sistemes tenen propietats mecàniques. En funció d’aquestes propietats tenim 2 criteris de classificació: Segons les distàncies intermoleculars: aquestes determinen el volum dels cossos Grans: sistemes compressibles – les distàncies són fàcilment variables (gasos). Són de l’ordre aproximat dels 10 nm o Àngstroms Petites: sistemes incompressibles – les distàncies són difícilment variables (líquids i sòlids). Són de l’ordre de 1 - 5 nm o Àngstroms pág. 16  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina Segons les posicions moleculars: aquestes determinen la forma Mòbils: sistemes fluids (gasos i líquids) Fixes: sistemes condensats (sòlids) Anomenem deformació a la modificació macroscòpica de la forma d’un cos sotmès a forces externes. Si pensem en els materials del cos humà, aquests són principalment sòlids (ens enfocarem en l’os). Els sòlids són deformables, però difícilment deformables. Aquesta deformació depèn de la composició i forma del cos i de la força externa aplicada. Introduïm dos conceptes: Estrès / càrrega / esforç: força aplicada per unitat d’àrea croseccional d’un objecte, expressat en N/mm 2 Deformació: canvi de longitud en mm respecte la longitud original d’un objecte. ELASTICITAT, LLEI DE HOOKE I MÒDUL DE YOUNG Al següent gràfic tenim en l’eix de les y representat l’estrès mesurat en força per unitat de superfície, i en l’eix de les x tenim representada la deformació. A: Límit de la linealitat B: Límit d’elasticitat C: esforç màxim D: punt de fractura Hem d’interpretar aquest gràfic per trams. En el primer tram (0 – A), tenim un material al que li anem produint esforços i observant la seva deformació, de forma que cada cop que se li aplica un esforç hi ha una variació lineal d’aquesta deformació. Aquí diem que estem dins del límit de la linealitat. Dins d’aquest interval, nosaltres podem variar l’esforç que apliquem, de forma que si per exemple apliquem 2 unitats d’esforç provocarem 2 unitats de deformació, i si canviem a 1 unitat d’esforç canviarà a 1 unitat de deformació. Sempre que deixem d’aplicar aquest esforç el material recuperarà les seves dimensions originals retornant a una deformació 0. Mentre estem dins del límit de la linealitat, s’està complint la Llei de Hooke. En el segon tram (A – B), estem dins del que anomenem límit d’elasticitat, i a mesura que apliquem un esforç la deformació ja no és lineal, canvia la seva pendent. En aquest cas, per exemple, si apliquem 4 unitats d’esforç ja no obtindrem 4 unitats de deformació. No obstant, mentre no es superi aquest límit d’elasticitat (B), si deixem d’aplicar l’esforç el material igualment retorna al seu estat original. De fet, quan aquest mateix material ha estat dins del límit d’elasticitat i ha retornat a l’estat original, si ara li apliquem un esforç dins del límit de la linealitat, es tornarà a deformar linealment. Un cop arribem al tercer tram (B – C) i hem superat el límit d’elasticitat, arribem al tram d’esforç màxim. En aquest, de la mateixa manera que en el límit d’elasticitat , a mesura que apliquem un esforç hi ha una deformació no lineal. La diferència ve al deixar d’aplicar l’esforç, ja que dins d’aquest tram si deixem d’aplicar l’esforç el material no retornarà a les dimensions originals, sinó que s’haurà produït una deformació residual, i aquesta és permanent. En haver superat el límit d’elasticitat, diem que el cos ja no es comporta de forma elàstica, sinó de forma plàstica. Per últim, quan superem el punt d’esforç màxim (C), arribem al quart tram (C – D). En aquest tram, a qualsevol esforç continuem produint una deformació residual, fins i tot quan aquests esforços són menors (si ens fixem, en aquest tram la deformació té una pendent negativa). Un cop s’aplica un esforç que supera el punt de fractura (D), el material es trenca. pág. 17  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina En resum, el que realment ens defineix l’elasticitat és no superar el límit d’elasticitat, i la forma com es comporta el material vindrà definida per la pendent del tram de límit de linealitat. Si aquesta pendent és més o menys pronunciada, ens determinarà com de deformable serà el material. Això que acabem d’explicar ve definit pel mòdul de Young (E), el qual es defineix per les característiques i el comportament del material (així doncs, el mòdul de Young és una característica intrínseca del material). El mòdul de Young, per tant, ens defineix la deformació, i no és res més que la inclinació o la tangent de l’angle que descriu. Mòdul de Young baix: tindrem una gran deformació a un baix esforç Mòdul de Young alt: tindrem poca deformació a un alt esforç En el cas dels ossos, aquests són elàstics. A petits i grans esforços, tenen deformacions molt petites. Quan es supera una deformació del 0’5%, deixen de comportar -se de forma elàstica i es comencen a comportar de forma plàstica. Per últim, hem de saber que el tram B – D dels ossos és un tram molt estret, i per tant a partir d’aquí és molt més fàcil que es produeixin fractures. TOTS els materials tenen un comportament que es pot explicar dins d’aquests paràmetres. ENERGIA DE LA DEFORMACIÓ ELÀSTICA A les deformacions elàstiques s’hi emmagatzema energia. Aquesta energia o treball en el tram de deformació lineal de la Llei de Hooke ve definida per la següent fórmula : Per tant, l’àrea sota la recta que descriu el límit de la linealitat serà l’energia de la deformació elàstica. Així doncs, en aplicar una força externa sobre aquest material el que estem transferint al material és una energia en forma de treball, la qual serà emmagatzemada com energia potencial. Quan deixem d’aplicar l’esforç, aquesta energia serà alliberada o retornada. Aquest treball està relacionat amb la posició relativa de les molècules, de forma que en aplicar l’esforç s’altera aquesta posició relativa, i l’energia necessària per modificar la posició de les molècules és realment el que anomenem energia de la deformació elàstica. La fórmula que hem vist d’aquesta energia, el que ens diu és que mentre estem dins del límit de la linealitat, i per tant mentre es compleixi la Llei de Hooke, l’energia de la de la deformació elàstica és proporcional al quadrat de la deformació. Així doncs, aquesta fórmula només es pot aplicar mentre estem dins del límit de la linealitat. Quan un cos sòlid es trenca, per exemple l’os, l’energia emmagatzemada es transforma en calor i s’allibera. Això és el que coneixem com a energia superficial de les parts trencades. Aquest gràfic el podem entendre si introduïm el concepte de materials viscoelàstics. Si pensem, per exemple, en alguns tipus de matalassos, ens ajudaran a entendre el que anomenem zona elàstico -plàstica. Aquests materials, poden recuperar les seves dimensions originals després d’una deformació, però aquesta recuperació es fa poc a poc en funció del temps, i això és el que entenem com a comportament viscoelàstic. pág. 18  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina TIPUS DE DEFORMACIONS Els tipus de deformacions que estudiarem són aquelles que es poden donar en un sòlid, i principalment ens enfocarem en l’os. TRACCIÓ / TENSIÓ – COMPRESSIÓ La tracció i compressió es consideren un mateix tipus de deformació. Si ens imaginem un filferro en el qual posem un pes a una punta, aquest pes provocarà l’elongació del filferro, és a dir, la tracció. Si s’aplica la força en sentit contrari correspondria a l’escurçament del filferro, és a dir, a la compressió. Aquí hem de fer una distinció entre els materials homogenis i heterogenis. En els materials homogenis, la tracció i la compressió es comporten relativament igual, és a dir, tenen els mateixos mòduls de Young (o molt similars). En canvi, en materials heterogenis com l’os compacte, el mòdul de Young de tracció serà major al mòdul de Young de compressió, de forma que estarà predisposat a suportar les forces d’una manera o d’una altra. El nostre cos no està format per material homogenis, sinó per materials heterogenis i viscoelàstics, en els quals és típic tenir comportaments on els mòduls de Young de tracció i compressió són diferents Això és important, per exemple, quan parlem de substitució òssia per pròtesis metàl·liques. El metall és molt més homogeni que l’os, per tant a diferència de l’os, que es comporta diferent en les compressions i les traccions, el metall es comporta gairebé igual, i això pot portar a la destrucció progressiva de l’os degut a la fricció entre l’os i el metall, que pot arribar a provocar un trencament de l’os i una separació de la pròtesi. En els materials heterogenis es donen efectes d’anisotropia, és a dir, tant la constant elàstica com les tensions crítiques del material dependran de la direcció en que s’aplica la força, en aquest cas, sobre l’os. Per tant, en funció de l’angle o sentit en que apliquem una força, tindrem diferents mòduls de Young i per tant diferents comportaments elàstics. pág. 19  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina EXERCICIS CISALLAMENT La deformació per cisallament implica l’aplicació d’una força tangencial sobre una superfície lliure, provocant un desplaçament relatiu de les diferents capes del material. Aquesta deformació es dona de forma angular. Per esforços petits, la deformació és proporcional a l’esforç. *G: mòdul de rigidesa o de cisallament TORSIÓ Implica l’aplicació d’un parell de forces sobre un punt de gir o de rotació, i aquestes forces tenen el mateix sentit. És una deformació molt similar al cisallament. En aquesta figura ambdues forces tenen un sentit antihorari. En aplicar les dues forces es produeix una deformació de torsió en funció de la longitud de l’objecte, i que dependrà de l’angle ɸ, que és l’angle de torsió, i que al mateix temps depèn del moment aplicat. Per tant, podem dir que: l’angle de torsió és funció del moment el moment és igual a la constant de torsió multiplicada per l’angle. Aquesta constant de torsió depèn de la geometria de l’objecte, per tant diem que és una propietat intrínseca del material. pág. 20  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina Per veure més clar el que és la constant k posem l’exemple d’un cilindre, ja que la majoria dels ossos són cilíndrics. En aquest cas, podem dir que en un cilindre de radi r : *G: mòdul de torsió EXERCICI FLEXIÓ LATERAL La força s’aplica lateralment, i equival a ajuntar el fenomen de compressió i tracció. El que ocorre és que quan apliquem una força sobre un objecte que està recolzat o subjectat per dos extrems, aquest objecte es flexiona. En aquest fenomen, si apliquem una força de compressió, pot donar lloc a una flexió lateral cap a un costat, cap a l’altre o ambivalent, en funció del punt d’aplicació i de la magnitud de la força. Per comprendre el que ocorre en el fenomen de flexió, ens hem de fixar en aquesta figura. Durant la flexió, hi ha una zona que es comprimeix, una zona on la longitud no varia que s’anomena superfície neutra / fibra neutra / punt de no estrès, i a partir d’aquest punt hi ha una tracció. Per tant, el fenomen de flexió no és més que una transició de compressió a tracció. El punt de no estrès, no està sotmès a cap força i per això no sofreix cap canvi de longitud. Ara bé, si entenem que les forces també comporten energia, el que tenim en aquest fenomen és una transició energètica decreixent derivada de la compressió, i després una transició energètica creixent fins a la tracció. Per tant, hi ha una entrada i una sortida d’energia, i segons com sigui aquesta transició, si no podem dissipar l’energia a la fibra neutra es produirà un trencament de l’objecte, en aquest cas de l’os. En aquesta imatge, veiem on hi ha la tensió , compressió i el punt de no estrès, en aquest cas, al fèmur. Sabent que just en la zona per on passa el punt de no estrès no hi ha càrregues, però sí pot haver una transició energètica molt forta, podem explica r l’arquitectura de l’os. Així doncs, veiem que l’os cortical, que és el que rep les forces, està molt allunyat de la superfície neutra, i el punt per on passa la superfície neutra és just on hi ha medul·la òssia. La medul·la òssia té un comportament molt diferent al de l’os cortical, ja que forma una cambra de material viscoelàstic, i això permet dissipar l’energia en funció del temps. pág. 21  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina PROPIETATS FÍSIQUES DELS OSSOS COMPOSICIÓ I ESTRUCTURA Els ossos són elements vius que estan formats bàsicament per 3 elements: 1. Cèl·lules de diferents tipus: com són elements vius, depenen de l’esser viu on es troben, i per tant les propietats dels ossos varien segons espècies, ètnies, sexes... ✓ Osteoblasts ✓ Osteoclasts ✓ Osteòcits 2. Part inorgànica / mineral: làmines minerals de fosfats i carbonats de calci i magnesi. La més abundant és la hidroxiapatita càlcica → Ca10 (PO 4 ) 6 (OH) 2. Aquesta forma en els ossos uns cristalls de tipus cilíndric de 20 – 7 0 Å de diàmetre i 50 – 200 Å de longitud. Aquests cristalls constitueixen un 60% en pes dels ossos (40% en volum). 3. Part orgànica: aquesta es constitueix principalment per fibres de col·lagen. Aquestes són unes proteïnes fibroses que també es troben en els tendons, lligaments, dermis, paret dels vasos sanguinis i cartílags. Les fibres de col·lagen constitueixen un 40% en pes dels ossos (i un 60% en volum). A part de les fibres de col·lagen, també podem trobar mucopolisacàrids, els quals actuen com a ciment d’unió entre els cristalls d’hidroxiapatita i el col·lagen. També hi trobem aigua, ions orgànics i ions inorgànics. Des del punt de vista biomecànic, els dos components més importants en la composició dels ossos són els hidroxiapatita i les fibres de col·lagen, ja que constitueixen gairebé el 100% en pes i volum dels ossos. ELASTICITAT I RESISTÈNCIA ÒSSIA A conseqüència de la seva composició heterogènia, els ossos són elements durs i relativament elàstics. Aquests estan formats per materials amb mòduls de Young diferents (com més alts, més difícils de deformar): Part inorgànica (cristalls): mòdul de Young alt. Això dona rigidesa (dificultat en les deformacions), però al mateix temps són molt fràgils, de forma que sense el col·lagen el sistema seria molt fàcil de trencar. Part orgànica (col·lagen ): mòdul de Young relativament baix. Això aporta elasticitat (permet deformacions). Les fibres de col·lagen tenen una gran resistència als impactes, de forma que tot i que es trenquin els cristalls permet evitar la propagació de les esquerdes. A més, el fet de ser un sistema viu implica una reparació. Les propietats de l’os compacte són una suma de les propietats dels seus components. De vegades, si no hi ha un bon equilibri fisiològic de l’os això dona lloc a fisiopatologies d’aquest, així com osteoporosi i osteopènia, que porten a la fragilitat de l’os, així com altres síndromes de fragilitat o situacions derivades de canvis metabòlics. Si mirem el gràfic de la corba de comportament biomecànic, veiem que en la hidroxiapatita el mòdul de Young és molt elevat (α = 78), mentre que el col·lagen el té molt baix (α = 6). La barreja dels dos dona lloc a l’os compacte, que com podem veure té un angle intermedi (α = 60), cosa que demostra que és dur però relativament elàstic. Això serà la causa d’un comportament concret davant de fenòmens de tracció i compressió. pág. 22  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina DISPOSICIÓ ARQUITECTÒNICA DELS OSSOS Dins dels ossos podem trobar dos tipus de teixit ossi: Os cortical / compacte: suporta relativament bé forces de tracció i compressió, perquè és dur, i com és relativament elàstic evita fractures. Seria fràgil a la flexió lateral si no hi hagués, com hem explicat anteriorment, la medul·la òssia. Os trabecular / esponjós: té petites cambres d’aire, que provoquen que quan hi ha un vector força sobre aquesta zona, es descompongui en molts vectors petits, dissipant així la força i l’energia. La geometria dels ossos llargs recorda a una columna. En aquest tipus de sistema, hi ha bastant resistència a la compressió i la tracció, i la majoria de deformacions es donen per flexió lateral. Si comparem, per exemple, el comportament biomecànic de 3 ossos llargs com poden ser el radi, la fíbula i l’húmer, veiem que el seu comportament en la regió lineal és molt similar, i a mesura que ens apropem al punt de fractura hi ha lleugeres variacions entre ells. En comparar l’os cortical amb altres teixits del cos, podem veure que tot i ser relativament elàstic és molt més rígid que els tendons, lligaments, cartílags i os trabecular. DIFERÈNCIES ENTRE OS CORTICAL I OS TRABECULAR OS CORTICAL OS TRABECULAR Baixa porositat Alta porositat 5-30% del volum no està mineralitzat 30 -90% del volum del teixit no està mineralitzat Suporten major esforç però pateixen menor deformació Pateixen major deformació però suporten menor esforç abans de la fractura abans de la fractura pág. 23  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina LLEI DE WOLF La Llei de Wolf estableix que les trabècules de l’os esponjós s’alineen a la direcció de les forces de càrrega. Aquesta alineació es va donant a mesura que l’os va creixent. Per tant, hi ha una remodelació òssia en funció de les línies de càrrega. Perquè aquesta llei sigui completament real, s’hauria de complir també per a l’os cortical. Aleshores, es fa una reinterpretació de la Llei de Wolf. S’estableix que l’os és un material biològic que s’adapta i és susceptible a canviar en funció d’hàbits (exercici, alimentació, abús...) i de la predisposició genètica. Així doncs, l’os es remodelarà d’una manera o d’una altra segons aquestes condicions, de forma que es pot dir que l’os és modelat per les forces externes i internes a les que està sotmès. Entenent l’os com a un material viu, tenim que les forces que rep l’os són notades pel sistema, provocant una transducció de senyals i una activació cel·lular (dels osteoblasts...), que provocarà una remodelació de l’os variant la seva forma. Com hem dit, el fet que l’os s’adapti a les diverses situacions provoca una diferenciació dels ossos en funció de l’edat i el sexe de les persones. El que ens trobem és que durant l’etapa de desenvolupament, tant en homes com en dones hi ha un creixement molt ràpid dels ossos, i és en el moment de la pubertat on es produeix un punt d’inflexió, i el creixement és encara més ràpid. Això és important a nivell terapèutic, perquè tot el treball que fem amb l’os durant aquesta etapa definirà el màxim de deposició òssia al qual arribarem. Així doncs, és en l’edat entre els 10 -25 anys quan més s’ha de fomentar aquesta deposició per arribar al màxim de massa òssia possible, i la millor manera és fent exercici (provocant impactes sobre l’os). Aquest màxim de deposició òssia definirà quin serà el punt del qual partirem quan al voltant dels 30 -40 anys de vida comenci la degeneració òssia. Això és encara més important en dones, ja que al voltant dels 60 anys apareix la pèrdua de les hormones sexuals (menopausa), que condueix a una pèrdua de densitat òssia. Si es realitza correctament aquesta fomentació de la deposició òssia durant la pubertat, el que aconseguirem és tenir un os més fort, de major densitat. Això es veu molt clar si comparem un teixit fisiològic amb un teixit patològic, com en aquestes imatges. Visualment és molt evident la diferència entre l’os normal (1) i l’os osteoporòtic (2), però si fem la comparativa biomecànica veiem que canvia l’angle i per tant la seva tangent, de forma que es veu afectada la rigidesa. pág. 24  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina La falta de rigidesa de l’os osteoporòtic implicarà lesions típiques com trencaments del cap del fèmur i necessitat de pròtesi de maluc. EXERCICIS DE BIOMECÀNICA EXERCICI 1: FORCES DEL BRAÇ La figura representa un braç estès en condicions d’equilibri. F m és la força exercida pel deltoides sobre l’húmer, F c és la força de contacte de l’omòplat sobre l’húmer, i F g (28 N) és el pes del braç. Calcula F m, F c i α. DADES : β = 12 o , d 1 = 13 cm , d 2 = 26 cm pág. 25  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina EXERCICI 2: ACCIDENT DE MUNTANYA En un accident de muntanya, dos excursionistes transporten un ferit de 650 N de pes sobre un tauló homogeni de 46 N de pes i 2,4 m de llarg (a). El centre de gravetat c.g. de l’accidentada es troba a 1 m de l’extrem del tauló (b). Calcula F 1 i F 2 en condicions d’equilibri pág. 26  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina EXERCICI 3: EQUILIBRI SOBRE UNA CAMA Un home de 880 N de pes es manté en equilibri sobre una de les cames. Tenint en compte les dades de la figura (a = 17,7 cm ; b = 7,6 cm ; c = 11 cm ; β = 109 o ), calcula: a) El mòdul de la força M exercida pel conjunt dels músculs abductors del maluc sobre el fèmur. Pes de l’extremitat inferior, G = 138 N. pág. 27  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina b) El mòdul i la direcció (angle α) de la força de contacte J a l’articulació iliaco -femoral EXERCICI 4: BLOC INCLINAT Calcula l’altura h a la que es troba el centre de gravetat del cos (rígid i de composició homogènia) de la figura, sabent que bolca quan s’inclina un angle α > 25 o. (b = 5 cm). pág. 28  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina EXERCICI 5: HOME ESTIRAT AMB LA CAMA PUJADA El pes (P) de l’alumne representat en la figura és de 850 N. En la posició (a), la balança S 1 marca 550 N. Quan l’alumne mou una de les cames com es veu en la figura (b), el CDG es desplaça i la balança S 2 marca 650 N. Calcula el desplaçament (x) del centre de gravetat (d 2 = 110 cm). pág. 29  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina EXERCICI 6: FORCES DE LA COLUMNA VERTEBRAL Una persona s’inclina cap endavant fins a formar un angle β amb l’horitzontal. Considerant la columna vertebral totalment rígida i recta, recolzada en la base (A) de la espina dorsal, sostinguda pels músculs de l’esquena (F M) i sabent que F A = 110 N (pes del cap); F T = 310 N (pes del tronc); α = 12 o ; β = 30 o i les distàncies AD = L, AC = 0,6 L, AB = 0,4 L. Calcula, en condicions d’equilibri, F M i el mòdul i la direcció de F C. pág. 30  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina EXERCICI 7: NOIA AMB MOTXILLA Una noia de 700 N de pes porta una motxilla de 140 N. El centre de gravetat de la noia es troba a 0,85 m per sobre del nivell del terra quan no porta la motxilla, i a 0,93 m quan la porta. A quina altura respecte el terra (h) es troba el centre de gravetat de la motxilla quan és transportada? pág. 31  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina EXERCICI 8: VAS AMB AIGUA Un vas de precipitat de vidre de forma cilíndrica de 150 mL de capacitat i 12 cm d’alçada, omplert una tercera part amb aigua destil·lada, té una massa total de 125 g, i el centre de gravetat a 4 cm de la base del cilindre. Calcula la posició del centre de gravetat quan el vas de precipitat està buit. pág. 32  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina EXERCICI 9: COMPRESSIÓ D’UN OS EN UN 1,8% L’àrea de la secció transversal d’un os és de 10 cm 2. La seva longitud es redueix un 1,8% sota l’acció d’una força de compressió que produeix fractura. Trobeu el valor d’aquesta força (F), suposant que la relació entre l’esforç i la deformació és lineal fins al punt de fractura. (Mòdul de Young: 1 · 1010 N/m 2 ) EXERCICI 10: COMPRESSIÓ D’UN OS AMB RADI EXTERN I INTERN Calcula la força de compressió necessària per produir un escurçament de 0,5 mm en un os llarg de forma cilíndrica de 45 cm de longitud, 1’5 cm de radi interior, 2 cm de radi exterior i mòdul de Young 0,9 · 1010 N/m 2. EXERCICI 11 : ALLARGAMENT D’UNA BARRA DE CAUTXÚ Una barra de cautxú de 0,5 m de longitud i 10 - 3 m de radi, s’allarga 0,1 m en aplicar una força de 140 N. Quina força és necessària per allargar 0,1 m una barra del mateix cautxú de 0,5 m de longitud i 2 · 10 - 3 m de radi? pág. 33  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina EXERCICI 12: FILFERRO QUE ES TRENCA PEL SEU PROPI PES Calcula la longitud que ha de tenir un filferro, de densitat 9,8 g / cm3 i mòdul de ruptura de 1,2 · 10 8 N/m 2 perquè es trenqui, pel seu propi pes, en aguantar -lo per un extrem. EXERCICI 13: TORSIÓ DE DOS OSSOS Dos ossos cilíndrics i compactes, 1 i 2, de la mateixa longitud i mòdul de torsió, es sotmeten a moments de torsió idèntics. Trobeu la relació entre els diàmetres, d 1 / d 2, sabent que la relació entre els angles de torsió ɸ 1 / ɸ 2 és de 1 / 81. pág. 34  Mario Casanova Sánchez Biofísica – 1r Grau en Medicina EXERCICI 14: TRENCADA DE FÈMUR PER CAIGUDA SOBRE UNA CAMA Una persona de massa de 60 kg cau sobre una cama des d’una certa alçada i es trenca el fèmur. Sabent que el fèmur humà es trenca si la força de compressió que actua sobre ell (segons l’eix longitudinal) és de 6 · 10 3 N, calcula la desacceleració mínima que produirà la fractura. (Pren l’acceleració de la gravetat com 10 m/s 2 ). a) 600 · g b) 10 · g c) 9,8 · g d) 60 · g EXERCICI 15: ALLARGAMENT D’UNA GOMA ELÀSTICA Efectuant un treball de 0,6 J sobre una goma elàstica de mòdul de Young 1 · 10 6 N/m 2 es produeix un allargament de 2 cm. Calcula el treball necessari per allargar 3 cm la mateixa goma, suposant que els esforços realitzats són inferiors al del límit d’elasticitat. a) 0,76 J b) 1,35 J c) 0,36 J d) 0,9 J pág. 35