Apunts TG (Teoría de Grupos) PDF

Teorı́a de Grupos Xaro Soler Escrivà c Última versión: 7 de diciembre de 2023 Índice general Contents I Preface 1 1. Prelim...

Teorı́a de Grupos Xaro Soler Escrivà c Última versión: 7 de diciembre de 2023 Índice general Contents I Preface 1 1. Preliminares 3 1.1. Grupos de orden bajo (≤ 15)...................... 5 1.2. Automorfismos de un grupo....................... 10 1.3. Ejercicios................................. 14 2. Grupos actuando sobre grupos 17 2.1. Acción de un grupo sobre un conjunto: revisión............ 17 2.1.1. Definición y primeras propiedades................ 17 2.1.2. Acción y homomorfismo representación............. 18 2.1.3. Teorema de la órbita estabilizadora............... 20 2.2. Acción de un grupo sobre un grupo................... 23 2.2.1. Producto semidirecto....................... 24 2.2.2. Escisión y complemento..................... 26 2.3. Ejercicios................................. 27 3. Grupos resolubles 31 3.1. Definiciones y propiedades básicas.................... 31 3.2. Aplicaciones de la teorı́a de Sylow a la resolubilidad de un grupo... 32 3.3. Serie derivada............................... 33 i ii ÍNDICE GENERAL 3.4. Ejercicios................................. 35 4. Grupos nilpotentes. Subgrupos de Fitting y de Frattini 37 4.1. Definición y primeras propiedades.................... 37 4.2. Subgrupos de Fitting y de Frattini................... 40 4.3. Ejercicios................................. 43 5. Subnormalidad 45 5.1. Subnormalidad y nilpotencia....................... 45 5.2. El retı́culo de los subgrupos subnormales................ 46 5.3. Ejercicios................................. 48 Preface Necesitamos unas supermatemáticas en las que las operaciones sean tan des- conocidas como las cantidades sobre las que operan, y un supermatemático que no sepa qué está haciendo cuando realiza esas operaciones. Esas supermatemáticas son la teorı́a de grupos. Sir Arthur Stanley Eddington (astrofı́sico británico muy conocido en la primera mitad del siglo XX) 1 2 ÍNDICE GENERAL Capı́tulo 1 Preliminares Antes de empezar con la materia nueva sobre teorı́a de grupos, es conveniente recordar todo lo que ya sabemos del curso anterior. Vamos a hacer un test: 1. Da la definición de grupo. 2. Da tres ejemplos de grupos: uno finito abeliano, otro finito no abeliano y el tercero infinito. 3. Define subgrupo y subgrupo normal. 4. Enuncia el Teorema de Lagrange. 5. Enuncia el Teorema de Cauchy. 6. Enuncia el Teorema de Cayley. 7. Define acción de un grupo sobre un conjunto, la órbita de un elemento y el estabilizador. Da la ecuación que relaciona el cardinal de la órbita de un elemento y el orden del estabilizador. Pon un ejemplo. 8. Define subgrupo de Sylow y enuncia los tres teoremas fundamentales: existen- cia, conjugación y dominancia. 9. Define grupo resoluble y da un ejemplo de un grupo resoluble y otro que no lo sea. Toda la teorı́a que veremos en este curso es de grupos finitos, aunque muchos de los resultados que se presentan son también válidos para grupos infinitos. Ası́, siempre que sea necesario, y aunque no se haya dicho nada explı́citamente, podremos suponer que trabajamos con grupos finitos. 3 4 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES La notación que utlizaremos es multiplicativa: (G, ·), con neutro 1 = 1G. Si G es un grupo cı́clico de orden n, lo denotaremos G ∼= Cn ∼= hai, siendo a un elemento de orden n (es decir, n es el menor entero positivo tal que an = a · · · a = 1G ). Los ejercicios que siguen recogen definiciones y propiedades básicas de la teorı́a de grupos que utilizaremos a lo largo de toda la asignatura: Ejercicios básicos 1. Si X es un subconjunto no vacı́o de un grupo G, denotamos por hXi al sub- grupo de G generado por X. Demuestra que las siguientes definiciones de hXi son equivalentes: a) hXi es el menor subgrupo de G que contiene al conjunto X. b) hXi es la intersección de todos los subgrupos de G que contienen a X. c) hXi = {xk11 · · · xknn | n ∈ N, xi ∈ X, ki ∈ Z, para i = 1,... , n}. 2. Dados H y K subgrupos de un grupo G, demuestra que, en general, el conjunto HK = {hk | h ∈ H, k ∈ K} no es un subgrupo de G. A continuación, demuestra que HK es subgrupo de G ⇐⇒ HK = KH ⇐⇒ HK = hH, Ki 3. Si H y K son subgrupos finitos de un grupo G, entonces |H||K| |HK| = |H ∩ K| 4. Si H, K y U son subgrupos de G tales que H ⊆ U , entonces HK ∩ U = H(K ∩ U ) Esta igualdad se conoce como identidad de Dedekind. 5. Sean H y N dos subgrupos de un grupo G y supongamos que N es normal en G. Demuestra que a) HN es un subgrupo de G y N E HN. b) H ∩ N E H. c) HN/N ∼= H/H ∩ N. 1.1. GRUPOS DE ORDEN BAJO (≤ 15) 5 d ) Los subgrupos de G/N son, todos, de la forma M/N , siendo M subgrupo de G tal que N ≤ M. e) La aplicación π : G −→ G/N tal que π(g) = gN para todo g ∈ G, verifica que: i) π es un epimorfismo y ker(π) = N. ii) Si T es un subgrupo de G, entonces π(T ) = {tN | t ∈ T } = T N/N , |π(T )| ≤ |T | y |π(T )| = |T | ⇐⇒ T ∩ N = 1 f ) Si G es abeliano, entonces G/N es abeliano. g) Si G es cı́clico, entonces G/N es cı́clico. 6. Demuestra que si un grupo G es producto directo externo de dos grupos H y K, entonces existen subgrupos H̄ y K̄ en G tales que a) H ∼ = H̄ y K ∼ = K̄, b) G = H̄ K̄, c) H̄ ∩ K̄ = 1 y d ) H̄ E G, K̄ E G. Es decir, G es el producto directo interno de los subgrupos H̄ y K̄. 7. Demuestra que el recı́proco del ejercicio anterior también es cierto: si G es producto directo interno de dos subgrupos, entonces G es isomorfo al producto directo externo que forman dichos subgrupos. 8. Dados g, h ∈ G, recuerda que la notación g h := hgh−1 ∈ G. Dicho elemento recibe el nombre de conjugado de g por h. Demuestra que o(g) = o(g h ), para todo g, h ∈ G. 1.1. Grupos de orden bajo (≤ 15) El objetivo de esta sección es clasificar todos los grupos de orden igual o inferior a 15. De esta manera, tendremos ejemplos de grupos pequeños con los que poder trabajar en las secciones siguientes. Para empezar, sabemos que si el orden de G es un primo, entonces G es nece- sariamente un grupo cı́clico. Además, para cada n ≥ 1 podemos construir el grupo cı́clico de orden n. Y, en general, recordemos que la Teorı́a de Sylow nos permite dar el siguiente teorema de estructura de cualquier grupo finito abeliano: 6 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Teorema 1.1 Si G es un grupo abeliano, G es producto directo de grupos cı́clicos. Ası́ que, de momento, podemos rellenar la tabla con esa información: Orden grupos abelianos grupos no abelianos 2 C2 – 3 C3 – 4 C4 , C2 × C2 – 5 C5 – 6 C6 ? 7 C7 – 8 C8 , C2 × C4 , C2 × C2 × C2 ? 9 C9 , C3 × C3 – 10 C10 ? 11 C11 – 12 C12 , C2 × C6 ? 13 C13 – 14 C14 ? 15 C15 ? Definición 1.2 Dado un número primo p, diremos que un grupo finito G es p- elemental abeliano si G es abeliano y el orden de todos los elementos no triviales de G es p. Proposición 1.3 Si G es p-elemental abeliano, entonces |G| = pn y (n G∼ = Cp × · · · ×Cp. Los grupos finitos abelianos p-elementales (p primo) tienen propiedades espe- ciales que aparecerán a lo largo del curso. Lema 1.4 Si G es un grupo tal que o(g) = 2 para todo g ∈ G \ {1}, entonces G es 2-elemental abeliano. Nota 1.5 ¿Es cierto el Lema anterior si cambiamos el primo 2 por otro cualquiera p? Investigación 1.6 Busca un grupo G que tenga orden 27 y exponente 3 y que no sea abeliano. 1.1. GRUPOS DE ORDEN BAJO (≤ 15) 7 Vamos ahora con los grupos no abelianos. Es fácil demostrar que un grupo de orden 4 es necesariamente abeliano (en realidad, de la Teorı́a de Sylow se desprende que todo grupo de orden p2 con p primo es abeliano). Por lo tanto, un grupo no abeliano tendrá orden mayor o igual a 6. Para continuar rellenando la tabla, hay que recordar lo que ya sabemos de Sn = Σn , el grupo simétrico de grado n, que tiene orden n! y cuyos elementos son todas las permutaciones posibles de n elementos. S3 es el grupo no abeliano más que pequeño, tiene orden 6. Ejercicio 1.7 Demuestra que, salvo isomorfismos, S3 es el único grupo no abeliano de orden 6 (ver Ejercicio 1.14) Pasamos a los grupos no abelianos de orden 8. De momento conocemos los grupos diédricos Dm , construidos a partir de todas las simetrı́as de un polı́gono regular de m lados. Estos grupos tienen orden 2m y no son abelianos si m ≥ 3. Si m = 3 se tiene, por construcción, que D3 = S3. El grupo diédrico de grado 4 es un subgrupo de S4 , tiene orden 8 y está formado por las posibles rotaciones de 90 grados y reflexiones (respecto a los ejes de coordenadas y a las diagonales) del cuadrado. D4 = {(1234)i , (14)(23), (12)(34), (13), (24) | i = 1, 2, 3, 4} Si llamamos a = (1234) y b = (24), se puede comprobar que D4 se puede expresar en términos de generadores y relaciones como D4 = ha, b | a4 = b2 = 1, ab = a−1 i = {1, a, a2 , a3 , b, ab, a2 b, a3 b} Ejercicio 1.8 Dibuja el retı́culo de subgrupos de D4 , destacando qué subgrupos son normales y quién es Z(D4 ). Nota 1.9 Supongamos que a y b son dos elementos de un grupo G y que o(a) = m y o(b) = n. ¿Qué podemos decir sobre el orden del elemento ab? Se puede demostrar que no podemos decir absolutamente nada, es decir, si m > 1 y n > 1, para cada r > 1 podemos construir un grupo finito G y elementos a, b ∈ G tales que o(a) = m, o(b) = n y o(ab) = r. (ver Milne, pag. 28) Ejercicio 1.10 En el grupo de las matrices regulares sobre Z de orden 2, GL2 (Z), se consideran los elementos:     0 −1 0 1 a= b=. 1 0 −1 −1 Demuestra que a4 = 1, b3 = 1 pero ab tiene orden infinito. Deduce que el grupo ha, bi es infinito. 8 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Otro grupo de orden 8 no abeliano es el grupo de los cuaternios, que de- notaremos Q8. El nombre hace referencia a los números cuaterniones, que son una generalización de los números complejos tal que el producto es no conmutativo (los números cuaterniones fueron ideados por Hamilton en 1843). En Teorı́a de Grupos, el grupo de los cuaternios, Q8 , es un grupo no abeliano de orden 8 que es isomorfo a cierto subconjunto de los números cuaterniones con la correspondiente multiplica- ción (Ver Figura 1.1). Este grupo viene dado por la siguiente presentación (1.1) Q8 = h−1, i, j, k | (−1)2 = 1, i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1i En particular, esto demuestra que Q8 está generado por cuatro elementos. Pero el cardinal de un conjunto de generadores de un grupo puede variar, y mucho. En nuestro ejemplo, Q8 , podemos encontrar un conjunto de generadores formado por dos elementos (será un conjunto de generadores minimal). Figura 1.1: Representación gráfica del producto de cuaterniones. Ejercicio 1.11 Demuestra que el grupo Q8 dado en (1.1) también admite la si- guiente expresión por generadores y relaciones: Q8 = ha, b | a4 = 1, a2 = b2 , ab = a−1 i = {1, a, a2 , a3 , b, ab, a2 b, a3 b} 1.1. GRUPOS DE ORDEN BAJO (≤ 15) 9 Ejercicio 1.12 Dibuja el retı́culo de subgrupos de Q8 , destacando qué subgrupos son normales y quién es Z(Q8 ). Concluye que D4 y Q8 no son isomorfos. Proposición 1.13 Si G es un grupo no abeliano de orden 8, entonces G ∼ = D4 o ∼ G = Q8. De orden 10, tenemos el grupo diédrico D5 , de las simetrı́as del pentágono. En términos de generadores y relaciones se expresa como D5 = ha, b | a5 = b2 = 1, ab = a−1 i = {1, a, a2 , a3 , a4 , b, ab, a2 b, a3 b, a4 b}. Y, en general, Dm = ha, b | am = b2 = 1, ab = a−1 i = {1, a,... , am−1 , b, ab,... , am−1 b} es el grupo diédrico de orden 2m. Ejercicio 1.14 Demuestra que D5 es el único grupo no abeliano de orden 10. Si p 6= 2 es primo, ¿podemos generalizar el resultado y decir que Dp es el único grupo no abeliano de orden 2p? A continuación vamos a ver que existen tres grupos no abelianos de orden 12. Los dos primeros ya los conocemos: A4 el grupo alternado de grado 4 y D6 , el grupo de las simetrı́as del hexágono. Ejercicio 1.15 Dibuja el retı́culo de subgrupos de A4 , destacando qué subgrupos son normales y quién es Z(A4 ). Ejercicio 1.16 Dibuja el retı́culo de subgrupos de D6 , destacando qué subgrupos son normales y quién es Z(D6 ). Vamos a construir el tercer grupo no abeliano de orden 12. Para ello, necesita- mos el siguiente resultado cuya demostración utiliza la Teorı́a de Sylow y la Teorı́a de Acción de Grupos vistas el curso pasado. Proposición 1.17 Si G es un grupo no abeliano de orden 12 no isomorfo a A4 , entonces G posee un elemento de orden 6. Corolario 1.18 Existen exactamente 3 grupos no abelianos de orden 12. Ejercicio 1.19 Demuestra que no hay grupos no abelianos de orden 15. Indicación: utiliza a Teorı́a de Sylow. Ası́ pues, la tabla completa es la siguiente: 10 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Orden grupos abelianos grupos no abelianos 2 C2 – 3 C3 – 4 C4 , C2 × C2 – 5 C5 – 6 C6 S3 7 C7 – 8 C8 , C2 × C4 , C2 × C2 × C2 D4 , Q8 9 C9 , C3 × C3 – 10 C10 D5 11 C11 – 12 C12 , C2 × C6 A4 , D6 , C3 o C4 13 C13 – 14 C14 D7 15 C15 – 1.2. Automorfismos de un grupo Si α : G1 −→ G2 es un isomorfismo de grupos, esto es, un homomorfismo de grupos biyectivo, entonces debe quedar claro, por ejemplo, que el centro queda invariante, es decir, α(Z(G1 )) = Z(G2 ). Es fácil comprobar, haciendo la demostra- ción, que esto es ası́, pero es importante, además, tener presente que esta igualdad debe ser ası́: un isomorfismo de grupos debe recoger toda la información teórica de un grupo, de forma que la estructura, como grupo, queda invariante por cualquier isomorfismo de grupos. Un caso muy importante a estudiar es cuando G1 = G2 : Definición 1.20 Dado un grupo G, un automorfismo de G es un homomorfismo de grupos f : G −→ G tal que f es biyectivo. Denotamos Aut(G) = {f : G −→ G | f es automorfismo de G} Es fácil demostrar que Aut(G) es un grupo, con la composición de aplicaciones. También es fácil ver que si G y H son grupos isomorfos, entonces Aut(G) ∼ = Aut(H). Conocer el grupo de automorfismos de un grupo dado es muy útil para la construcción de grupos, como veremos en el Tema 2. Como hemos dicho antes, un isomorfismo de grupos lleva el centro del primer grupo al centro del segundo grupo. Ası́ pues, deducimos que, si G es un grupo, el centro de G, queda invariante por cualquier automorfismo del grupo. Este es un ejemplo de subgrupo caracterı́stico: 1.2. AUTOMORFISMOS DE UN GRUPO 11 Definición 1.21 Dado un grupo G y H un subgrupo de G, diremos que H es un subgrupo caracterı́stico de G si f (H) = H, para cualquier f ∈ Aut(G). Lo denotaremos H car G. El centro de un grupo es un subgrupo caracterı́stico y, en general, cualquier subgrupo definido utilizando solamente propiedades teóricas del grupo, también lo será. Ejercicio 1.22 Si G es un grupo y H es un subgrupo finito de G, entonces para cada f ∈ Aut(G) se tiene que: 1. f (H) es un subgrupo de G tal que |f (H)| = |H|. 2. Si H = hh1 ,... , hr i, entonces f (H) = hf (h1 ),... , f (hr )i y la imagen de un elemento generador de H es elemento generador de f (H). 3. o(f (g)) = o(g), para todo g ∈ G. Ejercicio 1.23 Utilizando el ejercicio anterior, demuestra que si G es un grupo finito cı́clico, todos sus subgrupos son caracterı́sticos. Investigación 1.24 ¿Es cierto el recı́proco del ejercicio anterior? Si G es tal que todos sus subgrupos son caracterı́sticos, entonces ¿G es cı́clico? Ejercicio 1.25 Utilizando el ejercicio 1.22, demuestra que si P es un subgrupo de Sylow de un grupo G tal que P es normal en G, entonces P es caracterı́stico en G. Ejercicio 1.26 Sea G un grupo cı́clico, demuestra que: a) Si G es infinito, entonces Aut(G) ∼ = C2. b) Si G ∼ = Cn , entonces Aut(G) ∼ = Z∗n , el grupo multiplicativo de las unidades de Zn. En particular, este ejercicio pone de manifiesto que el grupo de automorfismos de un grupo cı́clico siempre es un grupo abeliano. Un ejemplo de automorfismo muy importante es el automorfismo interno: Definición 1.27 Dado un grupo G y g ∈ G, se define la aplicación θg : G −→ G tal que θg (x) := gxg −1 , para cada x ∈ G. Se suele denotar xg := gxg −1 , que recibe el nombre de elemento conjugado de x por g. 12 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Es fácil demostrar que θg : G −→ G x 7−→ θg (x) = xg = gxg −1 es un automorfismo de G, que llamaremos automorfismo interno θg. Al conjunto de todos los automorfismos internos de G lo denotamos Inn(G). Si H es un subgrupo de G, entonces θg (H) = gHg −1 = H g es el subgrupo conjugado de H por g. Notas 1.28 1. Claramente, si el grupo G es abeliano, el único automorfismo interno es la identidad (sin embargo, en grupos abelianos existe otro automorfismo que es muy interesante: la aplicación θ(x) = x−1 ). 2. Si H es un subgrupo de G, entonces se tiene que H E G ⇐⇒ θg (H) = H, para todo θg ∈ Inn(G). En particular, todo subgrupo caracterı́stico es normal. Pero el recı́proco no es cierto. Ejercicio 1.29 Sean H y K dos grupos y consideramos G = H × K, el producto directo. Demuestra que H × 1 E G y que 1 × K E G. Sin embargo, estos subgrupos no son necesariamente caracterı́sticos en G. (Rose) Proposición 1.30 Sea G un grupo y A, B subgrupos de G. Entonces a) A E B E G 6=⇒ A E G. b) A car B car G =⇒ A car G. c) A car B E G =⇒ A E G. (Para un contraejemplo del apartado a), ver Rose). Investigación 1.31 Si un grupo es abeliano, entonces todos sus subgrupos son normales. ¿Es cierto el recı́proco? Investiga sobre los grupos de Dedekind. Investigación 1.32 Un grupo se dice que es simple si no tiene subgrupos normales propios. Si un grupo es abeliano y simple, es cı́clico de orden primo. Los grupos simples no abelianos están completamente clasificados (ver la tabla de los grupos simples). 1.2. AUTOMORFISMOS DE UN GRUPO 13 Un grupo se dice que es caracterı́sticamente simple si no tiene subgrupos carac- terı́sticos propios. ¿Qué podemos decir de estos grupos? ¿Los podemos caracterizar? (ver Ejercicio 7). Recuerda que, si G es un grupo, el conjunto SG = ΣG formado por todas las aplicaciones biyectivas de G en G es un grupo, con la composición de aplicaciones. Ası́ pues, tenemos los siguientes contenidos de conjuntos Inn(G) ⊆ Aut(G) ⊆ ΣG. Pero en realidad, tenemos mucho más: Teorema 1.33 Dado un grupo G, se tiene que: a) Aut(G) es un grupo, con la composición de aplicaciones. b) Inn(G) es un subgrupo normal de Aut(G). Ası́ pues, podemos escribir Inn(G) E Aut(G) ≤ ΣG. Nota 1.34 Si G es un grupo y N es un subgrupo normal en G, entonces N g = N , para todo g ∈ G. Es decir, θg (N ) = gN g −1 = N , para todo g ∈ G. En particular, esto implica que θg |N : N −→ N es un automorfismo de N. Teorema 1.35 Si G es un grupo y N es un subgrupo normal de G, entonces CG (N ) = {g ∈ G | ng = gn, para todo n ∈ N } es un subgrupo normal de G y se tiene que el cociente G/CG (N ) es isomorfo a un subgrupo de Aut(N ). En particular, si N = G obtenemos que G/Z(G) ∼ = Inn(G). Ejercicio 1.36 Dado un subgrupo H de un grupo G, recuerda el normalizador en G de H, se define como NG (H) = {g ∈ G | H g = H}. Demuestra que a) NG (H) es un subgrupo de G 14 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES b) H es un subgrupo normal en NG (H). c) CG (H) es un subgrupo normal en NG (H). d) Podemos generalizar el Teorema 1.35 y afirmar que el cociente NG (H)/CG (H) es isomorfo a un subgrupo de Aut(H). Estos dos últimos resultados serán muy útiles para la construcción de gru- pos finitos, con la ayuda del producto semidirecto de grupos. Esto lo veremos en el Tema 2, donde se pondrá de manifiesto la importancia de conocer el grupo de automorfismos de un grupo dado. 1.3. Ejercicios 1. Sea H un subgrupo de un grupo G. Llamaremos clausura normal de H en G al subgrupo H G = hH g | g ∈ Gi = hhg | h ∈ H, g ∈ Gi. Demuestra que: a) H ≤ H G ≤ G. b) H G es un subgrupo normal de G. c) H G es el menor subgrupo normal de G que contiene a H. 2. En cada uno de los siguientes casos, calcula la clausura normal H G de H en G y también el core en G de H, es decir, coreG (H) = ∩g∈G H g. a) H ≤ G, siendo G simple. b) H ≤ G, siendo G abeliano. c) H ≤ G, siendo G = Q8. d ) H = h(123)i en G = A4. e) H = h(123)i en G = S4. f ) H = h(12)(34)i en G = S4. g) H = h(12)i en G = S4. 3. Sea Dm un grupo de tipo diédrico, Dm = ha, b | am = b2 = 1, ab = a−1 i. Demuestra que Dm está generado por dos involuciones, es decir, dos elementos de orden 2. 1.3. EJERCICIOS 15 4. Demuestra que el recı́proco del ejercicio anterior es cierto: si D es un grupo finito no abeliano generado por dos involuciones, entonces D es un grupo de tipo diédrico. 5. Dado un primo p, denotemos Fp el cuerpo de p elementos. El objetivo de este ejercicio es demostrar que si G es un grupo p-elemental abeliano de orden pn , entonces Aut(G) ∼ = GL(n, Fp ). Para ello, seguiremos los siguientes pasos: a) Si V es un Fp -espacio vectorial, entonces el conjunto GL(V ) = {f : V −→ V | f es una aplicación lineal y biyectiva } es un grupo, con la composición de aplicaciones. GL(V ) es el grupo general lineal de V. b) Si V tiene dimensión n sobre Fp , entonces GL(V ) es isomorfo a GL(n, Fp ), el grupo formado por todas las matrices invertibles de orden n × n con entradas en Fp. c) Demuestra que |GL(n, Fp )| = (pn − 1)(pn − p) · · · (pn − pn−1 ) d ) Demuestra que si G es un grupo p-elemental abeliano de orden pn , en- tonces G tiene estructura de Fp -espacio vectorial de dimensión n. e) Concluye que Aut(G) ∼ = GL(n, Fp ) y, en particular, Aut(V4 ) ∼ = S3. 6. Con la ayuda del ejercicio anterior y el ejercicio 1.36, calcula CS4 (V4 ). 7. Demuestra que si G es un grupo p-elemental abeliano, entonces G no tiene subgrupos caracterı́sticos propios. 8. Demuestra que si G es abeliano y tal que todos sus subgrupos son caracterı́sti- cos, entonces G es cı́clico. 16 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Capı́tulo 2 Grupos actuando sobre grupos 2.1. Acción de un grupo sobre un conjunto: revi- sión 2.1.1. Definición y primeras propiedades Definición 2.1 Sea G un grupo y X un conjunto no vacı́o. Diremos que G actúa (por la izquierda) sobre X si existe una aplicación ϕ : G × X −→ X (g, x) 7−→ g · x verificando: A1) 1G · x = x, para todo x ∈ X A2) (g2 g1 ) · x = g2 · (g1 · x), para todo g1 , g2 ∈ G y x ∈ X. Esta es la definición de una acción a izquierda del grupo G sobre el conjunto X. De la misma manera, se puede definir una acción a derecha. Ejemplos 2.2 1. Recuerda que si X es un conjunto no vacı́o, SX denota el grupo de todas las aplicaciones biyectivas de X en X, (SX es grupo con la composición de aplicaciones). Si G es un subgrupo de SX , entonces G actúa sobre X, ya que podemos definir ϕ : G × X −→ X (g, x) 7−→ g · x := g(x) = imagen de x por la biyección g 17 18 CAPÍTULO 2. GRUPOS ACTUANDO SOBRE GRUPOS 2. Sea K un cuerpo y V un K-espacio vectorial. Entonces el grupo multiplicativo K ∗ = K \ {0} actúa (a izquierda) sobre el conjunto V : ϕ : K∗ × V −→ V (k, ~v ) 7−→ k~v := ley externa del espacio vectorial V 3. Sea G un grupo. Entonces G actúa sobre G (como conjunto) por traslación a izquierda (se puede definir la acción por traslación a derecha de forma análoga). ϕ : G × G −→ G (g, x) 7−→ g · x := gx = ley de composición interna de G Esta acción recibe el nombre de acción regular (a izquierda) de G sobre G. 4. Recuerda que si G es un grupo y x ∈ G, el conjugado de x por el elemento g ∈ G es xg = gxg −1. Podemos definir una acción del grupo G sobre G (como conjunto) por conjugación: ϕ : G × G −→ G (g, x) 7−→ g · x := xg = gxg −1 5. Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Consideramos X = {xH | x ∈ G}, el conjunto de las clases laterales a izquierda de H. Entonces G actúa sobre X vı́a: ϕ : G × X −→ X (g, xH) 7−→ g · (xH) := (gx)H 2.1.2. Acción y homomorfismo representación Teorema-Definición 2.3 Sea G un grupo actuando sobre un conjunto X, con una aplicación ϕ : G × X −→ X tal que ϕ(g, x) = g · x. Entonces: a) Para cada g ∈ G, la aplicación ϕg : X −→ X tal que ϕg (x) = g · x es biyectiva. b) Existe un homomorfismo de grupos ϕ̄ : G −→ SX g 7−→ ϕg que llamaremos homomorfismo representación de G, correspondiente a la acción ϕ. Veamos que el recı́proco del apartado b) del teorema anterior también es cierto: 2.1. ACCIÓN DE UN GRUPO SOBRE UN CONJUNTO: REVISIÓN 19 Teorema 2.4 Sea G un grupo y X un conjunto. Supongamos que existe un homo- morfismo de grupos ρ : G −→ SX. Entonces, el grupo G actúa sobre X, ya que podemos definir la acción ϕ : G × X −→ X (g, x) 7−→ g · x := (ρ(g))(x) = imagen de x por la biyección ρ(g) Ası́ pues, la existencia de una acción de un grupo sobre un conjunto es equi- valente a la existencia de un homomorfismo representación del grupo. Definición 2.5 Con la notación del Teorema 2.3, por el primer teorema de iso- morfı́a, obtenemos que G/ ker(ϕ̄) es isomorfo a un subgrupo de SX. Diremos que la acción ϕ de G sobre X es fiel si ker(ϕ̄) = 1, es decir, si G es isomorfo a un subgrupo de SX. Notas 2.6 1. Las acciones definidas en los ejemplos 1, 2 y 3 de Ejemplos 2.2, son acciones fieles. 2. La acción regular de G sobre G (tercer ejemplo de Ejemplos 2.2), nos propor- ciona el Teorema de Cayley: todo grupo G es isomorfo a un subgrupo de SG ; dicho de otra forma, todo grupo se sumerge en el grupo de sus permutaciones. 3. El homomorfismo representación asociado a la acción regular de G sobre G es la representación regular de G. Definición 2.7 Dado un grupo G actuando sobre un conjunto X, para cada x ∈ X, definimos el conjunto Gx = {g ∈ G | g · x = x}, que recibe el nombre de estabilizador de x en G y también se suele denotar StabG (x) o StG (x). Proposición 2.8 Sea G actuando sobre un conjunto X y x ∈ X. Entonces a) Gx es siempre un subgrupo de G. b) Si h ∈ G, entonces (Gx )h = hGx h−1 = Gh·x. Es decir, el conjugado de un estabilizador vuelve a ser un estabilizador. Ejemplos 2.9 20 CAPÍTULO 2. GRUPOS ACTUANDO SOBRE GRUPOS 1. Consideremos un grupo G actuando sobre G por conjugación (ver el cuarto ejemplo de Ejemplos 2.2). Para cada x ∈ G, se tiene que Gx = {g ∈ G | xg = x} = CG (x). 2. En cambio, si consideramos ahora un grupo G actuando sobre G por traslación a izquierda, para cada x ∈ G, se tiene que Gx = {g ∈ G | gx = x} = {1G } Proposición 2.10 Sea G un grupo actuando sobre un conjunto X con una acción ϕ y sea ϕ̄ el homomorfismo representación de G asociado. Entonces \ ker(ϕ̄) = Gx. x∈X Ejemplo 2.11 Consideremos un grupo G actuando sobre G por conjugación y sea ρ el homomorfismo representación asociado a dicha acción. Se tiene que \ ker(ρ) = CG (x) = Z(G). x∈G 2.1.3. Teorema de la órbita estabilizadora Una de las aplicaciones más importantes de las acciones es contar, como ve- remos en esta sección. Vamos a definir una relación de equivalencia asociada a una acción. Definición 2.12 Sea G un grupo actuando sobre un conjunto X. Para cada x1 , x2 ∈ X definimos la siguiente relación: x1 ∼ x2 ⇐⇒ ∃g ∈ G : x2 = g · x1. Se trata de una relación de equivalencia: es reflexiva, simétrica y transitiva. La clase de equivalencia de un elemento x ∈ X se llama órbita de x y se denota por Ox. Ası́, Ox = {g · x | g ∈ G} ⊆ X Dado que se trata de clases de equivalencia, las órbitas forman una partición de X. Ası́, si la relación da lugar a n órbitas, T1 ,... , Tn , entonces n [ X= Ti i=1 Además, como la unión es disjunta, si X es finito, se tiene que |X| = |T1 | + · · · + |Tn |. 2.1. ACCIÓN DE UN GRUPO SOBRE UN CONJUNTO: REVISIÓN 21 Ejemplo 2.13 Consideremos un grupo G actuando sobre G por conjugación. En este caso, si x ∈ G Ox = {xg | g ∈ G} =: Cl(x), la órbita de x es precisamente su clase de conjugación. Teorema 2.14 Sea G un grupo actuando sobre un conjunto X y x ∈ X. Existe una biyección entre el conjunto Ox y el conjunto de las clases laterales {g(Gx ) | g ∈ G} del subgrupo Gx en G. En particular, si G es finito, Ox es un conjunto finito y |G : Gx | = |Ox |, luego el cardinal de una órbita siempre divide al orden del grupo que actúa. Ejemplo 2.15 Sea G un grupo finito y consideremos la acción de G sobre G por conjugación. Para cada x ∈ G sabemos que Ox = Cl(x) y que Gx = CG (x), por tanto, el teorema anterior nos dice que |G : CG (x)| = |Cl(x)| En particular, Cl(x) = {x} ⇐⇒ |Cl(x)| = 1 ⇐⇒ G = CG (x) ⇐⇒ x ∈ Z(G). Sean x1 ,... , xt ∈ G representantes de las órbitas de longitud mayor que 1, es decir, |Cl(xi )| = |G : CG (xi )| > 1, para todo i = 1,... t. Si el centro de G está formado por Z(G) = {y1 ,... , ys }, entonces las órbitas de la acción son {y1 },... , {ys }, Cl(x1 ),... , Cl(xt ) Por tanto, G, como conjunto, es la unión disjunta de estas órbitas y tomando car- dinales obtenemos t X t X (2.1) |G| = |Z(G)| + |Cl(xi )| = |Z(G)| + |G : CG (xi )| i=1 i=1 Esta ecuación es conocida como ecuación de las clases de un grupo G. Ejercicio 2.16 Halla las clases de conjugación del grupo D4. Ejercicio 2.17 Utilizando la ecuación de las clases, demuestra que si G es un grupo de orden pn , con p primo y n ≥ 1, entonces Z(G) 6= 1. Concluye, en particular, que si |G| = p2 , entonces G es un grupo abeliano. 22 CAPÍTULO 2. GRUPOS ACTUANDO SOBRE GRUPOS Ejercicio 2.18 Sea G un grupo de orden pn , con p primo y n ≥ 1. Demuestra que si N es un subgrupo normal de G, no trivial, entonces N ∩ Z(G) 6= 1. Ejercicio 2.19 Demuestra que si G es un grupo simple no abeliano, entonces |G| es divisible al menos por dos primos distintos. Definición 2.20 Diremos que la acción de G sobre X es transitiva si existe x ∈ X tal que Ox = X. Es decir, la acción es transitiva si sólo hay una órbita. Proposición 2.21 La acción de G sobre X es transitiva si, y sólo si, para todo x1 , x2 ∈ X, existe g ∈ G tal que x2 = g · x1. Proposición 2.22 Supongamos que G es un grupo finito que actúa sobre X tran- sitivamente. a) Si X es un conjunto finito, de n elementos y x ∈ X, entonces |G| = n|Gx |. b) Todos los estabilizadores son conjugados (y por tanto isomorfos). Es decir, si x1 , x2 ∈ X entonces existe g ∈ G tal que Gx2 = (Gx1 )g. Ejemplos 2.23 1. La acción de G sobre G por conjugación no es transitiva en general. (¿Cuándo es transitiva?). 2. La acción de G sobre G por traslación a derecha siempre es transitiva. 3. Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Consideremos la acción de G sobre el conjunto X = {xH | x ∈ G}, dada por g · (xH) = (gx)H, para cada g ∈ G. Esta acción tiene las siguientes propiedades: a) Es una acción transitiva. b) Si xH ∈ X, entonces GxH = H x = (conjugado de H por x). c) Si ρ : G −→ SX es el homomorfismo representación de G asociado a esta acción, entonces \ ker(ρ) = H x =: CoreG (H) x∈G es la intersección de todos los subgrupos conjugados de H en G, conocido como el core en G de H. Este subgrupo es muy importante y verifica las siguientes tres propiedades que lo caracterizan: 1) CoreG (H) es un subgrupo normal de G. 2) CoreG (H) ≤ H. 2.2. ACCIÓN DE UN GRUPO SOBRE UN GRUPO 23 3) CoreG (H) es el mayor subgrupo normal de G contenido en H. d ) Teorema de Cayley generalizado: G/CoreG (H) es isomorfo a un sub- grupo de SX , es decir G/CoreG (H). SX. En particular, si X es un conjunto finito, entonces sabemos que |X| = |G : H|, luego G/CoreG (H). S|G:H|. Ejercicio 2.24 Sea G un grupo finito y p el menor primo que divide al orden de G. Demuestra que si H es un subgrupo de G tal que |G : H| = p, entonces H es un subgrupo normal de G. 2.2. Acción de un grupo sobre un grupo Vamos a estudiar un caso particular de acción sobre un conjunto: supongamos que el conjunto X de la sección anterior es un grupo, que ahora llamaremos N. Y supongamos que tenemos un grupo H actuando sobre N vı́a ϕ. En este caso, resulta natural exigir que, para cada h ∈ H, la aplicación ϕh : N −→ N sea un automorfismo de N (y no sólo una permutación). Para ello, dado que ϕh ya es una aplicación biyectiva, sólo es necesario comprobar que es homomorfismo, es decir, que ϕh (xy) = ϕh (x)ϕh (y), para todo x, y ∈ N. Definición 2.25 Diremos que un grupo H actúa sobre un grupo N vı́a automor- fismos cuando existe un homomorfismo de grupos φ : H −→ Aut(N ). Ası́ pues, dados h1 , h2 ∈ H, se tiene que φ(h1 h2 ) = φ(h1 ) ◦ φ(h2 ). Dados n ∈ N y h ∈ H, escribiremos nφ(h) para denotar φ(h)(n). Ası́, para cada h ∈ H se tiene que φ(h) : N −→ N n 7−→ φ(h)(n) = nφ(h) Es usual utilizar la notación exponencial nφ(h) en vez de la notación de punto n·h, cuando tenemos una acción H sobre N vı́a automorfismos. Incluso muchas veces escribiremos nh para referirnos a nφ(h). En principio, esta notación hace pensar en la conjugación en un grupo (que puede no tener sentido entre N y φ(H)), sin embargo veremos más adelante (ver Teorema 2.32) que cada acción vı́a automorfismos es esencialmente una acción por conjugación (en el grupo que pertoque). Esto justifica la notación exponencial. Ejemplos 2.26 24 CAPÍTULO 2. GRUPOS ACTUANDO SOBRE GRUPOS 1. Si H es un subgrupo de Aut(N ), entonces H actúa de forma natural sobre N , vı́a la inmersión de H en Aut(N ). 2. Si N es un subgrupo normal de un grupo G, entonces G actúa sobre N vı́a conjugación: para cada g ∈ G, podemos definir el homomorfismo φg : N −→ N tal que φg (n) = ng = gng −1 , para todo n ∈ G. Por tanto, basta definir φ : G −→ Aut(N ) tal que φ(g) = φg , para todo g ∈ G. Claramente, el núcleo de esta acción es ker(φ) = CG (N ). 3. Dados dos grupos H y N , siempre existe una acción de H sobre N , que es la acción trivial: basta considerar el homomorfismo trivial φ : H −→ Aut(N ), tal que φ(h)(n) = n, para todo n ∈ N y todo h ∈ H. Ejercicio 2.27 Sea N = hai ∼ = C12. Define dos grupos H1 y H2 que actúen sobre N. Ejercicio 2.28 Sea N = h(123)i el subgrupo de orden 3 de S3. Halla el núcleo de la acción de S3 sobre N por conjugación. 2.2.1. Producto semidirecto El siguiente resultado nos explica por qué nos interesan las acciones de grupos sobre grupos: es una forma de construir nuevos grupos. Teorema 2.29 Supongamos que el grupo H actúa sobre el grupo N vı́a el homo- morfismo φ : H −→ Aut(N ). Entonces el conjunto N o H = {(n, h) | n ∈ N, h ∈ H} adquiere estructura de grupo con la siguiente operación interna: φ(h1 ) (n1 , h1 )(n2 , h2 ) = (n1 n2 , h1 h2 ) Este grupo se conoce como producto semidirecto de N por H (vı́a la acción φ). En particular, si N y H son grupos finitos, N o H también lo es y |N o H| = |N | · |H| 2.2. ACCIÓN DE UN GRUPO SOBRE UN GRUPO 25 La notación N o H es incompleta, ya que no especifica la acción φ que se está considerando y que es esencial en la definición del grupo N o H. Cuando definimos este grupo siempre hay que especificar cuál es la acción. También se suele denotar N oφ H Ejemplos 2.30 1. Si consideramos un grupo H actuando trivialmente sobre un grupo N , entonces el producto semidirecto asociado es simplemente el producto directo N × H. 2. Dado un grupo N , siempre podemos considerar la acción natural de Aut(N ) sobre N. Llamamos holomorfo de N , y lo denotaremos Hol(N ), al producto semidirecto asociado. Ası́ por ejemplo, dado que Aut(C3 ) ∼ = C2 , se tiene que Hol(C3 ) = C3 o C2 ∼ = S3 Ejercicio 2.31 Sea A = hai ∼ = Cn , un grupo cı́clico de orden n. Demuestra que la aplicación η : A −→ A tal que η(a) = a−1 es un automorfismo de A, es decir η ∈ Aut(A). Demuestra que, si n ≥ 3, entonces o(η) = 2. Sea B = hηi ≤ Aut(A) y considera el grupo semidirecto asociado A o B. Demuestra que A o B ∼ = Dn , el grupo diédrico generalizado de orden 2n. Teorema 2.32 Sea H un grupo actuando sobre otro grupo N vı́a φ y denotemos G = N o H, el producto semidirecto asociado. Si consideramos N̄ = {(n, 1H ) | n ∈ N } y H̄ = {(1N , h) | h ∈ H}, se tiene que: i) N̄ y H̄ son subgrupos de G, ii) N̄ E G, iii) G = N̄ H̄, iv) N̄ ∩ H̄ = 1G , v) N̄ ∼ = N y H̄ ∼ = H. vi) La acción H sobre N es equivalente a la restricción a H̄ de la acción por conjugación de G sobre N̄. 26 CAPÍTULO 2. GRUPOS ACTUANDO SOBRE GRUPOS En lo que sigue, y de manera usual, identificaremos N con N̄ y H con H̄ en el grupo G del teorema anterior. Regla mnemotécnica para el sı́mbolo o: es como un × (producto directo) al que se le ha añadido una lı́nea vertical a la derecha. Esta pequeña lı́nea nos recuerda que el subgrupo H no es normal en G. 2.2.2. Escisión y complemento En esta sección lo que vamos a hacer es analizar un poco mejor los papeles que juegan los grupos N y H en el producto semidirecto G = N o H. Definición 2.33 Si N es un subgrupo normal de un grupo G, diremos que G se escinde sobre N si existe un subgrupo H de G tal que G = N H y N ∩ H = 1. Al subgrupo H lo llamamos complemento de N en G. En tal caso, diremos que G es una extensión escindida (separada) de N por H. Notad que si H complementa a N en G, entonces H = H/(N ∩ H) ∼ = N H/N = G/N y, por tanto, todos los complementos de N en G son isomorfos a G/N , luego también isomorfos entre sı́. Ejemplo 2.34 Dado un grupo G y un subgrupo normal N de G, no siempre es cierto que G se escinde sobre N. Por ejemplo, si G ∼ = C4 y N es un subgrupo de G de orden 2, entonces G no se escinde en N. Ejercicio 2.35 Sea G el 4-grupo de Klein, halla un subgrupo normal N de G de orden 2 tal que G se escinda en N , dando todos los complementos posibles de N en G. Repite el ejercicio si G ∼ = S3 , con N de orden 3. Ejercicio 2.36 Demuestra que si H es un complemento de N en G, entonces cada g ∈ G se escribe de forma única como producto de un elemento de H por un elemento de N. Teorema 2.37 i) Si H actúa sobre N vı́a φ : H −→ Aut(N ) y G = N o H es el producto semidi- recto asociado, entonces G se escinde sobre N̄ , con complemento H̄ (siguiendo la notación del Teorema 2.32). 2.3. EJERCICIOS 27 ii) Sea G un grupo y N E G tal que G se escinde sobre N con complemento H. Si consideramos la acción φ de H sobre N vı́a conjugación, entonces G ∼ = N oφ H. Nota 2.38 Sean H y N dos grupos. Se dice que un grupo G es una extensión de N por H si existe N̄ E G tal que N̄ ∼= N y G/N̄ ∼= H. Este el Problema de la Extensión, problema abierto en general en Teorı́a de Grupos, y sólo resuelto de forma parcial en casos muy concretos. Notad que una extensión escindida es un tipo particular de extensión. Para este tipo de extensiones sı́ podemos abordar el Problema de la Extensión. Salvo isomorfismo, ¿cuántos grupos G podemos construir tales que N sea normal en G y H sea un complemento? El teorema anterior permite reformular el Problema de la Extensión Escindida de la siguiente manera: tendremos tantas posibles extensiones escindidas de N por H como posibles acciones de H sobre N vı́a automorfismos. Por ejemplo, ¿cuántos grupos G puedo construir tales que existan N E G, H ≤ G, G = N H y N ∩ H = {1}, con N ∼ = D4 y H ∼= C5 ? Evidentemente, El producto directo D4 × C5 , de pares ordenados y producto componente a componente, siempre responde afirmativamente a la pregunta. Pero, ¿hay más formas de extender D4 con complemento C5 ? Para responder a esta pregunta necesitamos conocer Aut(D4 ): si tiene subgrupos de orden 5, existirán grupos G con las condiciones planteadas y, además, habrá tantos grupos G como subgrupos de orden 5 actuando de forma distinta sobre D4. Nota 2.39 Si el Problema de la Extensión estuviese completamente resuelto, serı́amos capaces de construir, de manera recursiva, todos los grupos finitos. Demostración. Trabajando por inducción, supongamos que n > 1 y que ya tenemos construidos todos los grupos hasta orden n − 1. Consideremos ahora un grupo G de orden n. Si G es simple, entonces G ya es un grupo conocido. Si G no es simple, podemos tomar N un subgrupo normal no trivial maximal de G. Entonces G/N es un grupo simple, luego G/N ∼ = H, que es un grupo conocido. Y N también es un grupo conocido, pues |N | < |G|.Entonces, dado que el Problema de Extensión está resuelto, podemos clasificar G. 2.3. Ejercicios 1. Si H actúa sobre N vı́a automorfismos y N 6= 1, demuestra que la acción no es transitiva. 2. Sea G un grupo que actúa sobre G por conjugación y sea Γ = G o G el producto semidirecto asociado. Demuestra que Γ ∼ = G × G (aunque la acción no sea trivial). 28 CAPÍTULO 2. GRUPOS ACTUANDO SOBRE GRUPOS 3. Si H actúa sobre K vı́a φ y la acción no es trivial, demuestra que el grupo G = K oφ H no es abeliano (aunque H y K lo sean). 4. Sean H y K dos grupos tales que H actúa sobre K vı́a φ y denotemos G = K oφ H, analiza si la siguiente afirmación es cierta: H̄ = {1} × H E G ⇐⇒ G ∼ =K ×H. 5. Sean p y q dos primos tales p > q. Demuestra que: a) La única acción vı́a automorfismos de un grupo de orden p sobre un grupo de orden q es la trivial. b) La única acción vı́a automorfismos de un grupo de orden p sobre un grupo de orden q 2 es la trivial, excepto si p = 3 y q = 2. 6. Demuestra que si H es un complemento de N en G, entonces cada conjugado H g de H en G también complementa N. 7. Dado un grupo G con N E G y H ≤ G, demuestra que las siguientes afirma- ciones son equivalentes: a) G = N H y N ∩ H = {1G }. b) Para cada g ∈ G, existe un único n ∈ N y un único h ∈ H tales que g = nh. c) Para cada g ∈ G, existe un único h ∈ H y un único n ∈ N tales que g = hn. d ) Si ι : H −→ G es la inmersión natural de H en G y π : G −→ G/N es la proyección natural, la composición π ◦ ι es un isomorfismo entre H y el grupo cociente G/N. e) Existe un homomorfismo de G en H que es la identidad en H y cuyo núcleo es N. 8. Da un ejemplo de un grupo G con dos complementos H1 y H2 de un mismo subgrupo N normal en G tales que H1 y H2 no sean conjugados. 9. Demuestra que S4 ∼ = Hol(V4 ). 10. Sea G un grupo y N un subgrupo normal de G. Supongamos que G se escinde sobre N. Si N ≤ T ≤ G demuestra que T también se escinde sobre N. 11. Sea G un grupo y N ≤ Z(G). Demuestra que si G se escinde sobre N y H es un complemento, entonces G es producto directo (interno) de N y H. 2.3. EJERCICIOS 29 12. Sea P un p-grupo no abeliano, siendo p un primo. Demuestra que P no se escinde sobre Z(P ). 13. * Se dice que un subgrupo H de G es un complemento de Frobenius en G si H ∩ H g = 1, para todo g ∈ G \ H. Dado un grupo G con N, H subgrupos tales que 1 6= N EG = N H y N ∩H = 1. Demuestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) H es un complemento de Frobenius en G. b) CN (h) = 1, para todo h ∈ H \ {1}. 30 CAPÍTULO 2. GRUPOS ACTUANDO SOBRE GRUPOS Capı́tulo 3 Grupos resolubles El concepto de resolubilidad de grupos fue introducido por Galois, en los pri- meros comienzos de la teorı́a de grupos. De hecho, el nombre resoluble hace referencia a la conexión directa que Galois descubrió entre la posibilidad de resolver una ecua- ción polinómica por radicales y cierta propiedad del grupo que Galois asoció a dicha ecuación. 3.1. Definiciones y propiedades básicas Definición 3.1 Diremos que un grupo G es resoluble si posee una serie abeliana, es decir, si existe una cadena de subgrupos {Gi }ni=0 de G 1 = G0 E G1 E · · · E Gn = G tal que cada cociente Gi+1 /Gi es un grupo abeliano, para i = 0,... , n − 1 Ejemplos 3.2 1. Si G es cı́clico, G es resoluble. 2. Si G es abeliano, G es resoluble. 3. Σ3 , A4 y Σ4 son grupos resolubles. 4. A5 no es resoluble. Proposición 3.3 Sea G un grupo. a) Si G es resoluble y H es un subgrupo de G, entonces H es resoluble. 31 32 CAPÍTULO 3. GRUPOS RESOLUBLES b) Si G es resoluble y N es un subgrupo normal de G, entonces G/N es resoluble. c) Propiedad extensiva: Si existe un subgrupo N normal en G tal que N y G/N son grupos resolubles, entonces G es resoluble. d) Si G1 y G2 son grupos resolubles, entonces el producto directo G1 ×G2 es resoluble. Ejemplos 3.4 1. Si n ≥ 5, entonces Σn es un grupo no resoluble. 2. Si G es un p-grupo, con p primo, entonces G es resoluble. Corolario 3.5 Si M y N son dos subgrupos normales y resolubles de un grupo G entonces el subgrupo M N también es resoluble. De este resultado se desprende que cada grupo finito tiene un único subgrupo normal maximal resoluble (el producto de todos los subgrupos normales y resolu- bles), que se conoce como subgrupo radical resoluble de G. 3.2. Aplicaciones de la teorı́a de Sylow a la reso- lubilidad de un grupo Como hemos visto, todo p-grupo es resoluble. En esta sección, utilizaremos la teorı́a de Sylow para obtener más ejemplos de grupos resolubles, a partir de la aritmética de orden. Proposición 3.6 Sea G un grupo. a) Si |G| = pq, con p, q primos, entonces G es resoluble. b) Si |G| = p2 q, con p, q primos, entonces G es resoluble. c) Si |G| = pqr, con p, q, r primos, entonces G es resoluble. d) Si |G| = pm q, con p, q primos y m ≥ 1, entonces G es resoluble. e) Si |G| = p2 q 2 , con p, q primos, entonces G es resoluble. f ) Teorema de Burnside: Si |G| = pa q b , con p, q primos, a, b ≥ 1, entonces G es resoluble. 3.3. SERIE DERIVADA 33 g) Teorema de Feit-Thompson: Si el orden de G es impar, entonces G es reso- luble. El siguiente teorema clasifica todos los grupos cuyo orden es producto de dos primos distintos. Teorema 3.7 Sea G un grupo de orden |G| = pq, con p, q primos distintos y p > q. Entonces, a) Si q - p − 1, entonces G ∼ = Cpq , grupo cı́clico de orden pq. b) Si q | p − 1, entonces o bien G ∼ = Cpq o bien G es un grupo no abeliano que admite la presentación G = ha, b | ap = 1, bq = 1, bab−1 = ar i siendo r tal que r 6≡ 1 mód p y rq ≡ 1 mód p 3.3. Serie derivada Se desprende de la definición de un grupo resoluble que para estudiar la reso- lubilidad, nos interesan los subgrupos que dan cocientes abelianos. Ello motiva la siguiente definición. Definición 3.8 En un grupo G, se define el conmutador de dos elementos x, y ∈ G como el elemento: [x, y] = xyx−1 y −1 = y x y −1 El subgrupo de G generado por todos los conmutadores es el subgrupo derivado de G: [G, G] = G0 := h[x, y] | x, y ∈ Gi Diremos que un grupo G es perfecto si G = G0. Claramente, dos elementos x, y ∈ G conmutan si, y sólo si, [x, y] = 1. Ası́ pues, podemos pensar en el conmutador [x, y] como en la “diferencia” entre xy e yx. También está claro que si G es abeliano, el subgrupo derivado G0 será trivial. La siguientes propiedades caracterizan completamente al subgrupo derivado: Proposición 3.9 Sea G un grupo y G0 su subgrupo derivado. a) G0 car G. 34 CAPÍTULO 3. GRUPOS RESOLUBLES b) El grupo cociente G/G0 es abeliano. c) G0 es el menor subgrupo normal de G que da cociente abeliano. Es decir, si H es un subgrupo normal de G entonces G/H es abeliano ⇐⇒ G0 ≤ H. Ejemplos 3.10 1. Un grupo G es abeliano si, y sólo si, G0 = 1. 2. A5 es un grupo perfecto, es decir, A5 = A05. Y, en general, An es perfecto, para todo n ≥ 5. 3. Σ03 = A3 ∼ = C3. 4. A04 = V4. 5. Σ04 = A4. 6. D40 = Z(D4 ). 7. Q08 = Z(Q8 ). Ejercicio 3.11 Demuestra que H ≤ G =⇒ H 0 ≤ G0. Definición 3.12 Dado un grupo G, definimos la siguiente sucesión de subgrupos: G = G(0) , G0 = G(1) , (G(1) )0 = G(2) ,... , (G(i) )0 = G(i+1) ,... Se trata de una cadena de subgrupos de G en el que cada eslabón es caracterı́stico en el siguiente: G(i+1) car G(i) car · · · car G(1) car G Esta cadena recibe el nombre de serie derivada de G. Ejemplo 3.13 Sea G = Σ4. Se tiene que G0 = A4 , G(2) = A04 = V4 y G(3) = V40 = 1. Luego la serie derivada de Σ4 es 1 car V4 car A4 car Σ4 El siguiente resultado nos da la conexión entre resolubilidad y serie derivada. Proposición 3.14 Un grupo G es resoluble si, y sólo si, existe un entero i ≥ 0 tal que G(i) = 1. Si G es resoluble, al menor entero i tal que G(i) = 1, lo llamaremos longitud derivada de G. 3.4. EJERCICIOS 35 Notas 3.15 1. El único grupo perfecto y resoluble es el trivial. 2. G tiene longitud derivada 0, si, y sólo si, G = 1. 3. G tiene longitud derivada menor o igual a 1 si, y sólo si, G es abeliano. 4. A los grupos de longitud derivada menor o igual a 2 los llamamos metabe- lianos. 3.4. Ejercicios 1. Supongamos que G es un grupo que posee dos subgrupos normales H y K tales que G/H y G/K son grupos resolubles. Demuestra que entonces G/(H ∩ K) es un grupo resoluble. 2. Sea G un grupo tal que todos sus subgrupos propios son resolubles. ¿Podemos afirmar que G será resoluble? 3. Sea G un grupo no trivial. Diremos que N es un normal minimal de G si N es subgrupo normal de G, N 6= 1 y si K ≤ N con K subgrupo normal de G, entonces K = 1 o K = N. Demuestra que si G es resoluble y N es un normal minimal de G, entonces existe un primo p tal que N es un grupo p-elemental abeliano. 4. Sea G un grupo resoluble no trivial y M un subgrupo maximal de G. Demuestra que |G : M | = pα , para algún primo p y α ≥ 1. (Pista: utiliza inducción sobre |G| y el ejercicio anterior). 5. Sea G un grupo resoluble y M un subgrupo maximal de G tal que CoreG (M ) = 1. Sea N un subgrupo normal minimal de G. Demuestra que: a) N M = G y N ∩ M = 1. b) CM (N ) = 1. c) CG (N ) = N. d ) N es el único subgrupo normal minimal de G. 6. Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Supongamos que H es maximal como subgrupo resoluble de G. Demuestra que H = NG (H). 7. Demuestra que Dn , el grupo diédrico de orden 2n, es resoluble para todo n ≥ 1. 36 CAPÍTULO 3. GRUPOS RESOLUBLES 8. Demuestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) Todo grupo de orden impar es resoluble. b) Todo grupo finito simple y no abeliano es de orden par. 9. Sea G un grupo de orden 306. Demuestra que: a) G no es simple. (Pistas: Razona que si G fuese simple, entonces n17 6= 1. Después cuenta elementos.) b) G es resoluble. 10. Demuestra que todo grupo de orden 1892 es resoluble. 11. Si H y K son dos subgrupos de un grupo G, se define el conmutador de H y K como [H, K] = h[h, k] | h ∈ H, k ∈ Ki. Demuestra que: a) [h, k] = [k, h]−1 , para todo h ∈ H y k ∈ K. b) [H, K] = [K, H] c) [H, G] ≤ H si, y sólo si, H E G. Y, en general, [H, K] ≤ H ⇐⇒ K ≤ NG (H) d ) H y K normalizan al subgrupo [H, K], es decir [H, K] E hH, Ki e) Si H y K son normales en G y K ≤ H, entonces [H, G] ≤ K ⇐⇒ H/K ≤ Z(G/K) 12. Sea G un grupo y A un subgrupo normal abeliano de G. Supongamos que G se escinde sobre A y sea H un complemento. Demuestra que CG (A) = AHG , donde HG denota el core en G de H. Capı́tulo 4 Grupos nilpotentes. Subgrupos de Fitting y de Frattini Los grupos nilpotentes, que vamos a estudiar en este tema, son una generali- zación de los p-grupos (grupos cuyo orden es potencia de un número primo). Vamos a ver que algunos de los resultados que hemos visto para p-grupos en realidad son ciertos para una familia más grande de grupos (los grupos nilpotentes). Ası́ por ejemplo, vimos que si G es un p-grupo y P es un subgrupo de G propio, entonces P está estrictamente contenido en su normalizador. También vimos que los subgrupos maximales de un p-grupo son normales y tienen ı́ndice p. Veremos a continuación que estos (y otros) resultados son ciertos para cualquier grupo nilpotente. 4.1. Definición y primeras propiedades Definición 4.1 Diremos que un grupo G es nilpotente si posee una serie central, es decir, si existe una cadena de subgrupos {Gi }ni=0 normales de G 1 = G0 ≤ G1 ≤ · · · ≤ Gn = G tal que cada cociente Gi+1 /Gi está contenido en el centro de G/Gi , es decir, Gi+1 /Gi ≤ Z(G/Gi ), para todo i = 0,... , n − 1. O, equivalentemente, cada cociente Gi+1 /Gi verifica que [Gi+1 , G] ≤ Gi , para todo i = 0,... , n − 1. La longitud mı́nima n de una serie central de G es la clase de nilpotencia de G, y la denotaremos c(G) = n. 37 38CAPÍTULO 4. GRUPOS NILPOTENTES. SUBGRUPOS DE FITTING Y DE FRATTINI Claramente, si G 6= 1 es nilpotente, entonces Z(G) 6= 1. Ejemplos 4.2 1. Si G es abeliano, entonces G es nilpotente y c(G) = 1. 2. Si G 6= 1 es nilpotente y c(G) = 1, entonces G es abeliano. 3. Si G es nilpotente y c(G) ≤ 2, entonces G/Z(G) es abeliano. 4. S3 no es nilpotente. 5. Una serie central es en particular una serie abeliana, por tanto, cualquier grupo nilpotente es resoluble. El recı́proco no es cierto (piensa en S3 ). Los siguientes ejercicios nos servirán para demostrar la Proposición 4.5 Ejercicio 4.3 Sea K un subgrupo normal de un grupo G. Demuestra que: a) Para cada x, y ∈ G, se tiene que [xK, yK] = [x, y]K en G/K. b) Si H, J son subgrupos de G, entonces [HK/K, JK/K] = [H, J]K/K. c) (G/K)0 = G0 K/K. Ejercicio 4.4 Supongamos que G = M × N. a) Si m1 , m2 ∈ M y n1 , n2 ∈ N , entonces [(m1 , n1 ), (m2 , n2 )] = ([m1 , m2 ], [n1 , n2 ]) b) Si M1 , M2 son subgrupos de M y N1 , N2 son subgrupos de N , entonces [M1 × N1 , M2 × N2 ] = [M1 , M2 ] × [N1 , N2 ] Proposición 4.5 Sea G un grupo finito. a) Si G es nilpotente y H es un subgrupo de G, entonces H es nilpotente y c(H) ≤ c(G). b) Si G es nilpotente y N es un subgrupo normal de G, entonces G/N es nilpotente y c(G/N ) ≤ c(G). c) Si G1 y G2 son grupos nilpotentes, entonces el producto directo G1 × G2 es nil- potente y c(G1 × G2 ) = máx{c(G1 ), c(G2 )}. 4.1. DEFINICIÓN Y PRIMERAS PROPIEDADES 39 d) Z-propiedad: Si G/Z(G) es nilpotente, entonces G es nilpotente. Nota 4.6 A diferencia de los grupos resolubles, los nilpotentes no tienen la propie- dad extensiva: si G es un grupo que tiene un subgrupo normal N tal que N y G/N son nilpotentes, no es cierto, en general que G sea nilpotente (¿ejemplo?). Ejercicio 4.7 Demuestra que si G es un p-grupo finito, entonces G es nilpotente. La siguiente definición proporciona una serie central concreta que, en la prácti- ca, nos ayudará a calcular la longitud de nilpotencia de un grupo nilpotente. Definición 4.8 Si G es un grupo, llamaremos serie central superior de G a la serie central, 1 = Z0 (G) ≤ Z1 (G) ≤ · · · ≤ Zi (G) ≤ Zi+1 (G) ≤ · · · ≤ G tal que Zi+1 (G)/Zi (G) = Z(G/Zi (G)), para i = 0,... , n − 1. O, equivalentemente [Zi+1 (G), G] ≤ Zi (G), para i = 0,... , n − 1. Ejercicio 4.9 1. Halla la serie central superior de los siguientes grupos: V4 ; D4 ; S3 ; A4 ; S4 2. Busca un grupo G tal que Z(G) 6= 1, pero que su serie central superior no llegue a G. Ejercicio 4.10 Dado un grupo G, analiza si la serie central superior de G es una serie caracterı́stica de G o no. Proposición 4.11 G es un grupo nilpotente si, y sólo si, existe un c ≥ 0 tal que G = Zc (G). Además, en tal caso, la clase de nilpotencia c(G) de G coincide con la longitud de la serie central superior de G. Vamos a dar varias caracterizaciones básicas de los grupos nilpotentes. Para ello, utilizaremos los siguientes resultados: 40CAPÍTULO 4. GRUPOS NILPOTENTES. SUBGRUPOS DE FITTING Y DE FRATTINI Lema 4.12 (Argumento de Frattini) Sea G un grupo finito y N un subgrupo normal de G. Si P ∈ Sylp (N ), entonces G = NG (P )N. Lema 4.13 Sea G un grupo finito y K E G. Entonces, K es subgrupo maximal en G ⇐⇒ |G : K| = p , para un cierto primo p Proposición 4.14 Sea G un grupo finito. Las siguientes afirmaciones son equiva- lentes: a) G es nilpotente; b) Existe un entero c ≥ 0 tal que Zc (G) = G. c) Si H < G, entonces H < NG (H). d) Si M es un subgrupo maximal de G, entonces M es normal en G. e) Cada subgrupo de Sylow de G es normal en G. f ) G es producto directo de sus subgrupos de Sylow. Ejercicio 4.15 Demuestra que si N es un subgrupo normal no trivial de un grupo G nilpotente, entonces N ∩ Z(G) 6= 1. 4.2. Subgrupos de Fitting y de Frattini Hemos visto en la sección anterior que todo grupo nilpotente es producto directo de sus subgrupos de Sylow. Esta caracterización de la nilpotencia nos va a servir para definir, en un grupo finito dado, el mayor subgrupo normal nilpotente: el subgrupo de Fitting. Recordemos que, dado un grupo G, y un subgrupo H de G, el \ CoreG (H) := Hg g∈G es el mayor subgrupo normal de G contenido en H. Definición 4.16 Dado un grupo G y p un primo divisor del orden de G, conside- ramos P ∈ Sylp (G) y definimos: \ Op (G) := CoreG (P ) = Pg g∈G que será el mayor p-subgrupo normal de G. Es decir, cualquier p-subgrupo normal de G está contenido en Op (G). 4.2. SUBGRUPOS DE FITTING Y DE FRATTINI 41 Ejercicio 4.17 Demuestra que Op (G) es un subgrupo caracterı́stico de G, para todo primo p. Definición 4.18 Definimos el subgrupo de Fitting de G, denotado por F (G), como el producto de todos los subgrupos Op (G) , donde p recorre todos los divisores primos del orden de G. Y F (G) := Op (G) p||G| Notas 4.19 Las siguientes propiedades del F (G) se desprenden fácilmente de la definición. a) Op (G) ∈ Sylp (F (G)), para cada p divisor del orden de G. b) F (G) es un subgrupo caracterı́stico de G. c) F (G) es producto directo de sus subgrupos de Sylow. d) F (G) es nilpotente. Proposición 4.20 F (G) es el mayor subgrupo normal y nilpotente de G. Es decir, si N es un subgrupo normal de G y es nilpotente, entonces N ≤ F (G). De la proposición anterior se sigue que el subgrupo de Fitting es el producto de todos los subgrupos normales y nilpotentes. Por esto, el subgrupo de Fitting también es conocido como el subgrupo radical nilpotente de G. Ejercicio 4.21 Si H y K son dos subgrupos normales y nilpotentes de un grupo G, demuestra que el producto HK también es nilpotente. Proposición 4.22 Sea G un grupo finito y F (G) el subgrupo de Fitting de G. G es nilpotente ⇐⇒ G = F (G) Otro subgrupo caracterı́stico relevante en el estudio de grupos nilpotentes es el subgrupo de Frattini que definimos a continuación: Definición 4.23 Sea G un grupo finito. El subgrupo de Frattini de G se denota Φ(G). Si G = 1, definimos Φ(G) := 1. Si G 6= 1, entonces definimos Φ(G) como la intersección de todos los subgrupos maximales de G: Φ(G) := ∩{M : M < · G} 42CAPÍTULO 4. GRUPOS NILPOTENTES. SUBGRUPOS DE FITTING Y DE FRATTINI Si ϕ es un autormorfismo de un grupo G y M es un subgrupo maximal de G, está claro que ϕ(M ) vuelve a ser un subgrupo maximal de G. Ası́ pues, se tiene que Φ(G) es un subgrupo caracterı́stico de G. La propiedad más importante del subgrupo de Frattini es la siguiente: es el conjunto de los elementos de G que no “generan” nada. Proposición 4.24 Si H es un subgrupo de un grupo G tal que G = HΦ(G), enton- ces G = H. Proposición 4.25 Sea G un grupo y N un subgrupo normal de G. Se tiene que: a) Φ(N ) ≤ Φ(G). b) Φ(G)N/N ≤ Φ(G/N ). c) Si N ≤ Φ(G), entonces Φ(G)/N = Φ(G/N ). En particular el subgrupo del Frat- tini de G/Φ(G) es siempre trivial. Ejercicio 4.26 1. Calcula F (G) y Φ(G), para G ∈ {V4 , S3 , D4 , Q8 , D5 , A4 , S4 }. 2. Busca un grupo G y N subgrupo normal de G tales que Φ(G)N/N sea un subgrupo propio de Φ(G/N ). Concluye que el contenido del apartado b) de la Proposición anterior puede ser estricto. 3. Busca un grupo G y H subgrupo de G tales que Φ(H) no esté contenido en Φ(G). Concluye que la normalidad del subgrupo en el apartado a) de la Proposición anterior es indispensable. El siguiente resultado nos dice que es suficiente que el cociente G/Φ(G) sea nilpotente para que G lo sea también. Teorema 4.27 Sea G un grupo finito. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) G es nilpotente; b) G/Φ(G) es abeliano; es decir G0 ≤ Φ(G). c) G/Φ(G) es nilpotente. Ejercicio 4.28 4.3. EJERCICIOS 43 1. Sea G un p-grupo para algún primo p. Demuestra que G/Φ(G) es un grupo p-elemental abeliano y que Φ(G) es el menor subgrupo normal de G que da cociente p-elemental abeliano. 2. Demuestra que si G es nilpotente, entonces G/Φ(G) es producto directo de grupos cı́clicos de orden primo. Para ello, demuestra primero que el subgrupo de Frattini de un producto directo de grupos es el producto directo de los subgrupos de Frattini de los factores del producto. Ejercicio 4.29 Demuestra que Dm es nilpotente si, y sólo si, m es una potencia de 2. Teorema 4.30 Sea G un grupo finito y supongamos que Φ(G) ⊆ N E G. Entonces N es nilpotente ⇐⇒ N/Φ(G) es nilpotente El corolario que sigue proporciona una fórmula que relaciona el subgrupo de Fitting con el subgrupo de Frattini. Corolario 4.31 Sea G un grupo finito. Entonces: a) Φ(G) es nilpotente. En particular Φ(G) ≤ F (G). b) F (G/Φ(G)) = F (G)/Φ(G). 4.3. Ejercicios 1. * Define la serie central inferior de un grupo G. Demuestra que un grupo es nilpotente si, y sólo si, su serie central inferior alcanza el 1. Y demuestra que, además, en tal caso, La clase de nilpotencia del grupo coincide con la longitud de la serie central inferior. 2. Demuestra que si K es normal en G, entonces F (K) ≤ F (G). 3. Demuestra que si G 6= 1 es resoluble, entonces F (G) 6= 1. 4. Sea G un grupo y N un normal minimal de G. Demuestra que F (G) ≤ CG (N ). 5. Si K es un subgrupo normal de G, diremos que un subgrupo H de G es un suplemento de K en G si HK = G. Y diremos que H es un suplemento minimal de K en G si ningún subgrupo propio de H suplementa a K en G. Demuestra que si H es un suplemento minimal de K en G, entonces H ∩ K ≤ Φ(H). 44CAPÍTULO 4. GRUPOS NILPOTENTES. SUBGRUPOS DE FITTING Y DE FRATTINI 6. Sea G resoluble y N un normal minimal de G que posee un suplemento propio en G. Demuestra que entonces N está complementado en G. 7. Sea N un normal minimal de un grupo G nilpotente. Demuestra que existe un primo p tal que N ∼ = Cp. 8. Si A es un subgrupo normal y abeliano de G tal que A ∩ Φ(G) = 1, entonces A está complementado en G. 9. Sea G un grupo. Demuestra que G0 ∩ Z(G) ≤ Φ(G). 10. Demuestra que si G 6= 1 es resoluble, entonces Φ(G) < F (G). 11. Sea G un grupo nilpotente de orden n y sea m un divisor de n. Demuestra que existe H subgrupo de G tal que |H| = m. Capı́tulo 5 Subnormalidad En general, la normalidad no es una relación transitiva en el conjunto de los subgrupos de un grupo (ver Proposición 1.30). Dicho de otra forma, si K E H y H E G, no podemos concluir que K E G. Siguiendo los pasos de Helmut Wielandt (1910-2001), que desarrolló la mayor parte de la teorı́a de este capı́tulo, definimos una nueva relación que sı́ es transitiva en el conjunto de subgrupos de un grupo: la subnormalidad. Definición 5.1 Diremos un subgrupo S de un grupo G es subnormal en G si existen subgrupos Hi de G tales que (5.1) S = H0 E H1 E · · · E Hn = G. En esta situación, escribiremos S E E G (o también S sn G). La subnormalidad es pues una relación transitiva que extiende la noción de normalidad. Ası́, un subgrupo normal es, en particular, subnormal. El recı́proco no es cierto en general (¿ejemplo?). Por otra parte, si H es subnormal en G, pueden existir varias cadenas del tipo (5.1). Llamaremos longitud subnormal de H a la longitud de una cadena minimal, es decir, al menor entero n posible en (5.1). Ası́, G tiene longitud subnormal 0 en G, y los subgrupos normales de G tienen longitud subnormal 1. Cualquier subgrupo subnormal en G de longitud subnormal mayor o igual que 2 no es normal en G. 5.1. Subnormalidad y nilpotencia El siguiente resultado pone de manifiesto la gran importancia de los subgrupos subnormales: 45 46 CAPÍTULO 5. SUBNORMALIDAD Proposición 5.2 Sea G un grupo finito. Las siguientes afirmaciones son equiva- lentes: a) G es nilpotente. b) Todos los subgrupos de G son subnormales. Vamos a continuar explorando la conexión entre la nilpotencia y la subnorma- lidad. En un grupo G, el subgrupo de Fitting F (G) es el mayor subgrupo normal y nilpotente de G. Vamos a ver que F (G) contiene, además, todos los subgrupos subnormales y nilpotentes de G. Teorema 5.3 Sea H un subgrupo de un grupo G. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) H ≤ F (G). b) H es nilpotente y subnormal en G. En este tema aparecerá con frecuencia el subgrupo generado por un conjunto determinado, ası́ que vamos a recordar este concepto: En general, si X es un subconjunto de un grupo G, denotamos por hXi al subgrupo de G generado por X. Las siguientes definiciones de hXi son equivalentes: 1. hXi es el menor subgrupo de G que contiene al conjunto X. 2. hXi es la intersección de todos los subgrupos de G que contienen a X. 3. hXi = {xk11 · · · xknn | n ∈ N, xi ∈ X, ki ∈ Z, para i = 1,... , n}. Ejercicio 5.4 Demuestra que F (G) es el subgrupo de G generado por todos los subgrupos nilpotentes y subnormales de G, es decir F (G) = hH ≤ G | H E E G y H es nilpotentei 5.2. El retı́culo de los subgrupos subnormales Si H y K son dos subgrupos normales de un grupo G, sabemos que H ∩ K es normal en G y que el producto HK también es un subgrupo normal en G. En esta situación, decimos que los subgrupos normales forman un retı́culo y podemos hablar 5.2. EL RETÍCULO DE LOS SUBGRUPOS SUBNORMALES 47 del retı́culo formado por los subgrupos normales de un grupo. Dicho retı́culo es un subretı́culo del retı́culo formado por todos los subgrupos del grupo G. Vamos a ver ahora que podemos obtener exactamente la misma conclusión con los subgrupos subnormales: la intersección de subgrupos subnormales es un subgrupo subnormal y el subgrupo generado por dos subgrupos subnormales es de nuevo subnormal. Sin embargo, las demostraciones de estos resultados no son tan fáciles como en el caso de la normalidad. Lema 5.5 Sea G un grupo y S un subgrupo subnormal de G. Si T ≤ G entonces T ∩ S es subnormal en T. El resultado anterior, permite afirmar que los subgrupos subnormales forman retı́culo inferior: Corolario 5.6 Si S y T son dos subgrupos subnormales de G, entonces S ∩ T es subnormal en G. Si H y K son dos subgrupos normales de un grupo G, sabemos que permutan, es decir HK = KH y por tanto el producto es subgrupo y coincide con el grupo generado: hH, Ki = HK. Lamentablemente esto no es ası́ en el caso de subgrupos subnormales: el producto de subgrupos subnormales no es un grupo en general. Ejercicio 5.7 Busca un ejemplo que ponga de manifiesto que los subgrupos sub- normales no permutan en general. Sin embargo, si el grupo G es finito, vamos a ver que el grupo generado por dos subgrupos subnormales vuelve a ser un subgrupo subnormal. Para ello, necesitamos antes algunos resultado previos: Lema 5.8 Sean M y N dos subgrupos normales de un grupo G. Si M ∩ N = 1, entonces cada elemento de M permuta con cada elemento de N. Definición 5.9 Dado N un subgrupo de un grupo no trivial G, diremos que N es un subgrupo normal minimal de G si N 6= 1G es normal en G y el único subgrupo normal de G contenido propiamente en N es el 1G. Se define el socle de G como el subgrupo de G generado por todos los sub- grupos normales minimales. Lo denotaremos Soc(G). Como se trata de subgrupos normales, podemos también decir que Soc(G) es el producto de todos los subgrupos normales minimales de G. Ejercicio 5.10 Demuestra que Soc(G) es un subgrupo caracterı́stico de G. 48 CAPÍTULO 5. SUBNORMALIDAD Ejemplos 5.11 1. Si G 6= 1, entonces Soc(G) 6= 1. 2. Si G es simple se tiene que Soc(G) = G. Ejercicio 5.12 Calcula el socle de S3 , D4 , Q8 , A4 y S4. Ejercicio 5.13 Demuestra que F (G) ≤ CG (Soc(G)). Teorema 5.14 Sea G un grupo finito y S un subgrupo subnormal de G. Si N es un subgrupo normal minimal de G, entonces N ≤ NG (S). En particular, Soc(G) ≤ NG (S). Ejercicio 5.15 Sea N un subgrupo normal de un grupo G y sea π : G −→ G/N la proyección canónica de G sobre G/N , es decir, π(g) = gN , para todo g ∈ G. Demuestra que a) π es un epimorfismo de grupos tal que ker(π) = N. b) Si S es un subgrupo de G, entonces π(S) = SN/N. c) Si S y H son dos subgrupos de G, entonces hS, T iN/N = π(hS, T i) = hπ(S), π(T )i = hSN/N, T N/N i Ahora ya podemos demostrar el resultado más importante de este capı́tulo: Teorema 5.16 Sea G un grupo finito. Si S y T son dos subgrupos subnormales de G, entonces el subgrupo generado hS, T i es de nuevo un subgrupo subnormal de G. Corolario 5.17 Los subgrupos subnormales de un grupo G forman un subretı́culo del retı́culo formado por todos los subgrupos de G. 5.3. Ejercicios 1. Demuestra que si G es simple, entonces G no tiene subgrupos subnormales propios. 2. Sea G un grupo y S un subgrupo de G tal que S es subnormal en T , para todo T subgrupo propio de G. Demuestra que si g ∈ G y R es un subgrupo propio de G tal que S g ≤ R, entonces S g es subnormal en R. 5.3. EJERCICIOS 49 3. Sea D2n el grupo diédrico de orden 2n+1 , con n ≥ 2. Halla dos subgrupos H y K de D2n tales que tanto H como K sean subnormales en D2n pero HK no sea un subgrupo de D2n. 4. Dado un subgrupo H de G, considera la siguiente serie de subgrupos de G: G = J0 ≥ J1 ≥ J2 ≥ · · · donde, para cada entero i ≥ 0, se define Ji = H Ji−1 , la clausura normal de H en Ji−1. Demuestra que H es subnormal en G si, y sólo si, existe un entero n ≥ 0 tal que H = Jn. 5. Sea D2n = ha, b | am = b2 = 1, ab = a−1 i el grupo diédrico de orden 2n+1 , con n ≥ 2. Sea H = hbi. Demuestra que a) H es subnormal en D2n. b) La clausura normal de H en D2n es H D2n = ha2 , bi.