جزء أول رياضيات كلوريا 2018 PDF
Document Details
Uploaded by SweetheartPulsar
University of Aleppo
2018
الجمهورية العربية السورية
Tags
Summary
ورقة امتحان الرياضيات للصف الثاني عشر، الجزء الأول، لعام 2018 من سوريا. تغطي الورقة مواضيع مهمة في الرياضيات، مثل المتتاليات، والتحليل، والتفاضل والتكامل.
Full Transcript
اﶺﻬﻮرﻳّﺔ اﻟﻌﺮﺑ ّﻴﺔ اﻟﺴﻮرﻳّﺔ وزارة اﻟﱰﺑﻴﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰ اﻟﻮﻃﻨﻲ ﻟﺘﻄﻮﻳﺮ اﻟﻤﻨﺎﻫﺞ اﻟﺘﺮﺑﻮﻳﺔ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت...
اﶺﻬﻮرﻳّﺔ اﻟﻌﺮﺑ ّﻴﺔ اﻟﺴﻮرﻳّﺔ وزارة اﻟﱰﺑﻴﺔ اﻟﻤﺮﻛﺰ اﻟﻮﻃﻨﻲ ﻟﺘﻄﻮﻳﺮ اﻟﻤﻨﺎﻫﺞ اﻟﺘﺮﺑﻮﻳﺔ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت اﳉﺰء ا ٔﻻ ّول z Pb b P z ) A(z Pa a y O x ۲۰١٨ - ۲۰١٧م ۱٤٣٩ - ۱٤٣٨ھ اﻟﻤﺆﺳﺴﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻄﺒﺎﻋﺔ ُ 1. ّ 1 !" #$ ّ ّ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎﺕ ﺍﳉﺰء ﺍﻷﻭﻝ ّ ّ ۲۰١٧ - ۲۰١٦ﻣ ۱٤٣٨ - ۱٤٣٧ھ اﻟﻤﺆﺳﺴﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻄﺒﺎﻋﺔ *)(ُ ' &ٌ./0 ِ , % 11 1 1 2 % ّ % *)(ُ ٌ./0 ِ3 ِ34 %9 4 7 %8 %567 "ُ ?@١D - ?@١B 7 8 ;: 3ِ4ﻤ ــ أﻳﺸﻮع اﺳﺤﻖ ﻣﻴﻜﺎﺋﻴﻞ اﻟﺤﻤﻮد أ.د.ﻋﻤﺮان ﻗﻮﺑـﺎ ﻋﻴﺴﻰ ﻋﺜﻤﺎن وﻓﺎء ﺣﻤﺸﻮ د.ﺧﺎﻟﺪ ﺣﻼوة ﺣﺒﻴﺐ ﻋﻴﺴﻰ ﺧﺎﻟﺪ رﺿﻮان اﻷﺳﺘﺎذ اﻟﺪﻛﺘﻮر ﻋﻤﺮان ﻗﻮﺑﺎ اﻷﺳﺘﺎذ اﻟﺪﻛﺘﻮر ﻣﺤﻤﺪ ﺑﺸﻴﺮ ﻗﺎﺑﻴﻞ اﻷﺳﺘﺎذ اﻟﺪﻛﺘﻮر ﻓﻮزي اﻟﺪﻧﺎن ﺧﻄﺔ ﺗﻮزﻳﻊ ﻣﳯﺎج اﻟﺮايﺿﻴﺎت ﻳﺨﺼﺺ أرﺑﻊ ﺣﺼﺺ أﺳﺒﻮﻋﻴﺎً ﻟﻜﺘﺎب اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت اﻟﺠﺰء اﻷول ا ٔﻻﺳـﺒﻮع اﻟﺮاﺑﻊ ا ٔﻻﺳـﺒﻮع اﻟﺜﺎﻟﺚ ا ٔﻻﺳـﺒﻮع اﻟﺜﺎﱐ ا ٔﻻﺳـﺒﻮع ا ٔﻻول اﻟﺸﻬﺮ اﻟﱪﻫﺎن ﺑﺎﻟﺘﺪرﻳﺞ ﻋﻤﻮﻣﻴﺎت ﻋﻦ اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺎت ٔاﻳﻠﻮل ﲤﺮﻳﻨﺎت وﻣﺴﺎﺋﻞ ﻟﻨﺘﻌﻠﻢ اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﳊﺴﺎﺑﻴﺔ واﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﺒﺤﺚ اﳍﻨﺪﺳﻴﺔ اﻻﺳﺘﻤﺮار ﻣﱪﻫﻨﺎت اﳌﻘﺎرﻧﺔ ﺎﻳﺔ ﺗﺎﺑﻊ ﻋﻨﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﲤﺮﻳﻨﺎت وﻣﺴﺎﺋﻞ ﻗﺪﻣﺎً إﱃ ﺗﴩﻳﻦ ٔاول اﻟﺘﻮاﺑﻊ اﳌﺴﺘﻤﺮة وﺣﻞ ﺎﻳﺔ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺮﻛﺐ اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت اﻷﻣﺎم اﳌﻌﺎدﻻت -أﻧﺸﻄﺔ اﳌﻘﺎرب اﳌﺎﺋﻞ ﺎﻳﺔ ﺗﺎﺑﻊ ﻋﻨﺪ اﻟﻼﺎﻳﺔ ﻣﺸﺘﻘﺎت ﻣﻦ ﻣﺮاﺗﺐ ﻋﻠﻴﺎ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻣﺸﺘﻘﺎت ﺑﻌﺾ اﻟﺘﻮاﺑﻊ أﻧﺸﻄﺔ ﺗﴩﻳﻦ اثﱐ أﻧﺸﻄﺔ اﺷﺘﻘﺎق ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺮﻛﺐ اﳌﺄﻟﻮﻓﺔ ﲤﺮﻳﻨﺎت وﻣﺴﺎﺋﻞ ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت اﻻﺷﺘﻘﺎق اﻻﺷﺘﻘﺎق)ﺗﻌﺎرﻳﻒ( أﻧﺸﻄﺔ ﺗﻘﺎرب اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺎت اﳌﻄﺮدة ﺎﻳﺔ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻣﺴﺎﺋﻞ :ﻟﻨﺘﻌﻠﻢ اﻟﺒﺤﺚ ﰷﻧﻮن ٔاول ﲤﺮﻳﻨﺎت وﻣﺴﺎﺋﻞ :ﻟﻨﺘﻌﻠﻢ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺎت ﻣﺘﺠﺎورة ﻣﱪﻫﻨﺎت ﲣﺺ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت ﻣﺴﺎﺋﻞ :ﻗﺪﻣﺎً إﱃ ﻷﻣﺎم اﻟﺒﺤﺚ اﻣﺘﺤﺎن اﻟﻔﺼﻞ اﻷول و اﻟﻌﻄﻠﺔ اﻻﻧﺘﺼﺎﻓﻴﺔ ﰷﻧﻮن اثﱐ اﺷﺘﻘﺎق ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺮﻛﺐ دراﺳﺔ اﻟﺘﺎﺑﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻲ اﻟﺘﺎﺑﻊ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻲ اﻟﻨﻴﱪي ﻣﺴﺎﺋﻞ :ﻗﺪﻣﺎً إﱃ اﻷﻣﺎم ﺷـﺒﺎط ﺎﻳﺎت ﺗﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﺘﺎﺑﻊ ﻟﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ ﺟﺪاء ﺿﺮب اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻤﻲ ﺎﻳﺎت ﺗﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﺘﺎﺑﻊ اﻷﺳﻲ ﺧﻮاص اﻟﺘﺎﺑﻊ اﻷﺳﻲ اﻟﺒﺤﺚ وﻗﺪﻣﺎً إﱃ اﻷﻣﺎم أﻧﺸﻄﺔ آذار x ֏ ax دراﺳﺔ اﻟﺘﺎﺑﻊ دراﺳﺔ اﻟﺘﺎﺑﻊ اﻷﺳﻲ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺘﺎﺑﻊ اﻷﺳﻲ اﻟﻨﻴﱪي ﲤﺮﻳﻨﺎت ﻣﺴﺎﺋﻞ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﶈ ّﺪد وﺣﺴﺎب اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﶈ ّﺪد وﺧﻮاﺻﻪ اﻟﺘﻮاﺑﻊ اﻷﺻﻠﻴﺔ أﻧﺸﻄﺔ ﻧﻴﺴﺎن اﳌﺴﺎﺣﺔ ﻗﻮاﻋﺪ ﺣﺴﺎب اﻟﺘﻮاﺑﻊ اﻷﺻﻠﻴﺔ ﲤﺮﻳﻨﺎت وﻣﺴﺎﺋﻞ أﻧﺸﻄﺔ ،ﲤﺮﻳﻨﺎت وﻣﺴﺎﺋﻞ ٔااير 1. ُﻣﻘﺪّ ﻣﺔ 1 اﻝﺼﻔﻴن ِ ِ ﻝﻤﻨﻬﺎج اﻝرﻴﺎﻀﻴﺎت ﻓﻲ ّ ِ ﻤﻨﻬﺎج اﻝرﻴﺎﻀﻴﺎت ﻓﻲ ا ّ ﻝﺼف اﻝﺜّﺎﻝث اﻝﺜّﺎﻨوي اﻝﻌﻠﻤﻲ ُﻤﺘﻤﻤﺎً ُ ﻴﺄﺘﻲ اﻝﻤﻨﺎﻫﺞ اﻝﺘرﺒوﻴﺔ وﻓق اﻝﻤﻌﺎﻴﻴر ِ ِ ﻝﺘطوﻴر اﻝوطﻨﻲ إﻋدادﻩ ﻓﻲ اﻝﻤرﻜز ُ اﻷول واﻝﺜﺎﻨﻲ اﻝﺜّﺎﻨوﻴﻴن اﻝذي ﺠرى ّ ّ وﺘﻜﺎﻤِﻠﻬﺎ ،إ ْذ ﺘﺘطور اﻝﻤﻔﺎﻫﻴم ُ اﻝﺤﻠزوﻨﻲ ﻝﻠﻤﻔﺎﻫﻴم واﻝﻤﻬﺎرات ّ اﻝوطﻨﻴﺔُ ،ﻤﻌﺘﻤداً ﻓﻲ ﺒﻨﺎﺌِﻪ ﻋﻠﻰ اﻝﺘّراﻜم اﻝﻤﻌﺎرف ﺒﺎﻝﺤﻴﺎة اﻝﻌﻤﻠﻴﺔ وﺘُﻘ د ُم اﻝﻤﺎ دةُ اﻝﻌﻠﻤﻴﺔُ ﺒطراﺌق ﺴﻬﻠﺔ وﻤﺘﻨوﻋﺔ ﻘرن ٍ ٍ ُ واﻝﻤﻬﺎرات ﻓﻲ ﺒﻨﺎء ﻤﺘراﺒط ،ﻓﺘُ َ اﺴﻴﺔ اﻷﺨرى. ﺤﻴﺎﺘﻴﺔ وﺘﺘﻜﺎﻤ ُل ﻤﻊ اﻝﻤوا د ّ اﻝدر ّ ّ اﻗف ﻤدﻋﻤﺔ ﺒﻤو َ و ّ ٍ وﺤدات ﻤﺘﻀﻤﻨﺔ ﺘﺴﻌﺔ وﻋﺸرﻴن درﺴﺎً وﻴﻨﺘﻬﻲ ﻜل ﻴﺸﺘﻤ ُل ﻜﺘﺎب اﻝرﻴﺎﻀﻴﺎت اﻝﺠزء اﻷول ﻋﻠﻰ ﺴﺒﻊ درس ٍ ﺒﻌدد ﻤن اﻝﺘدرﻴﺒﺎت ﺘﻬدف إﻝﻰ ﺘﻘوﻴم اﻝطﺎﻝب وﺘﻤﻜﻨﻪ ﻤن اﻝﻤﻌﺎرف واﻝﻤﻬﺎرات اﻝﺘﻲ ﺘﻌﻠّﻤﻬﺎ ﻓﻲ اﻝدرس، ات اﻝﻤﻤﻴزِة اﻝﺘﻲ ُﻨ ْﺠ ِﻤﻠُﻬﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺄﺘﻲ: وﺤدة ﻋدداً ﻤن اﻝﻔﻘر ِ ٍ وﻨﺠد ﻓﻲ ﻜ ل ُ وﻝﻴﺘﺎﺒﻊ ﺒﻘﻴﺔ دروس اﻝوﺤدة ، اﺘﺠﺎﻫﺎت إﻴﺠﺎﺒﻴﺔ ﻨﺤو اﻝرﻴﺎﻀﻴﺎت واﺤﺘرام ﻤﺎ ٍ اﻝﻤﻘدﻤﺔ :وﻫﻲ ﻤﻘ دﻤﺔ ﺘﺤﻔﻴزّﻴﺔ ﺘﻬدف إﻝﻰ ﺘﻨﻤﻴﺔ ﻗدﻤﻪ اﻝﻌﻠﻤﺎء ﻤن إﺴﻬﺎﻤﺎت ﻓﻲ ﻤﻴﺎدﻴن اﻝﻌﻠوم اﻝﻤﺨﺘﻠﻔﺔ. ّ ﻴر اﻝﻤﻬﺎرات اﻷﺴﺎﺴﻴﺔ اﻝﺘﻲ ﻴﺤﺘﺎﺠﻬﺎ اﻝﻤﺘﻌﻠّم ﻤزودة ﺒﺄﺴﺌﻠﺔ ﺘﻬدف إﻝﻰ ﺘﻌز ِ ُ اﻨطﻼﻗﺔٌ ﻨﺸطﺔٌ: وﺸروﺤﺎت وﺘوﻀﻴﺤﺎت ﻜﻤدﺨل ﻝﻠوﺤدة واﻹﻀﺎءة ﻋﻠﻰ ﻤﻔﺎﻫﻴﻤﻬﺎ. أﻤﺜﻠﺔٌ :ﺘﺘﻀﻤن ﻤﺨﺘﻠف اﻝﻔﻘرات اﻝﻤوﺠودة ﻓﻲ اﻝدرس وﻫﻲ ﻓﻲ أﻏﻠب اﻷﺤﻴﺎن ﺘﻌرض ﺤﻠوﻻً ﻴﺠب اﺘﺒﺎﻋﻬﺎ ﻨﻤﺎذج ُ َ ﻝﺘﻜون ﻨﻤوذﺠﻴﺔ ﺠرى ﺼوﻏﻬﺎ ﺼﻴﺎﻏﺔ ﻝﻐوﻴﺔ ﺴﻠﻴﻤﺔ وﺒﺄﺴﻠوب ﻤﻨﻬﺠﻲ ﻋﻠﻤﻲ ّ ﻋﻨد ﺤ ل اﻷﻨﺸطﺔ واﻝﺘدرﻴﺒﺎت واﻝﻤﺴﺎﺌل. ﺘﻜرﻴﺴﺎً ﻝﻠﻔﻬم :ﺘطرح ﺴؤاﻻً ﻫﺎﻤﺎً ﻝﻠﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﻴﺘﻌﻠق ﺒﻔﻜرة اﻝدرس اﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻓﻲ ﻤﺎدة اﻝﺘﻌﻠم واﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻨﻪ ﺒطراﺌق ﻤﺘﻌددة ﻤوﻀﺤﺔ ﺒﺎﻷﻤﺜﻠﺔ اﻝﻤﻨﺎﺴﺒﺔ ﻝﺘﻜرﻴس اﻝﻔﻬم ﻋﻨد اﻝﻤﺘﻌﻠم ﺤﻴث ﺘﺘم إﻋﺎدة طرح أﻓﻜﺎر اﻝدرس ﺒﺄﺴﺎﻝﻴب ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ. أﺴﺎﺴﻴﺔ ﻓﻲ اﻝوﺤدة ﺤﻴث ّ وﻤﻔﺎﻫﻴم َ أﻓﻜﺎر ﻴﺠب ﺘﻤﺜﻠﻬﺎ :وﻫﻲ ﻓﻘرةٌ ﻴﺠري ﻓﻴﻬﺎ اﻝﺘﻨوﻴﻪُ إﻝﻰ ﻗﻀﺎﻴﺎ ﻤﺨﺘﺼر وﻤﺒ ﺴ ٍط. ٍ ٍ ﺒﺄﺴﻠوب ﻌﺎد ﺼﻴﺎﻏﺘُﻬﺎ ﺘُ ُ 5 ٍ إرﺸﺎدات ﻝﻠﻤﺘﻌﻠم ﻋﻠﻰ ﻜﻴﻔﻴﺔ اﻝﺘﻔﻜﻴر ﻗﺒل اﻝﺒدء ﻴﺠب اﻤﺘﻼﻜﻬﺎ :وﻫﻲ ﻓﻘرةٌ ﺘﺘﻀﻤن ﻤﻨﻌﻜﺴﺎت ٌ ُ ﺒﺎﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋن ﺴؤال ،وﻤﺎ ﻫو اﻝﻤﻨﻌﻜس اﻝﺴرﻴﻊ اﻝذي ﻴﺠب أن ﻴﺘﺒﺎدر إﻝﻰ ذﻫﻨﻪ وﻜﻴﻔﻴﺔ اﺴﺘﻌﻤﺎل ﺘوﻀﻴﺤﻴﺔ. ّ ﺴﺎﺴﻴﺔ ﻓﻲ أﻤﺜﻠﺔ ﻤﻔﺎﻫﻴم اﻷ ّ َ اﻝﻘﻀﺎﻴﺎ واﻝ ﻴﺠب ﺘﺠﻨَﺒﻬﺎ :ﺤﻴث ﺠرت اﻹﺸﺎرة إﻝﻰ ﺒﻌض اﻷﺨطﺎء اﻝﺸﺎﺌﻌﺔ اﻝﺘﻲ ﻴﻘﻊ ﻓﻴﻬﺎ اﻝطﻼب ُ أﺨطﺎء ٌ ﻋﺎدة ،أو اﻝﻤﻔﺎﻫﻴم اﻝﺘﻲ ﻴﺴﺘﻌﻤﻠﻬﺎ اﻝطﻼب ﻓﻲ ﻏﻴر ﻤﻜﺎﻨﻬﺎ ،أو ﺒﺄﺴﻠوب ﻤﻨﻘوص. أﻨ ّﺸطﺔ :ﻓﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻜل وﺤدة ﻤﺠﻤوﻋﺔ ﻤن اﻝﺘﻤرﻴﻨﺎت واﻝﺘطﺒﻴﻘﺎت اﻝﺤﻴﺎﺘﻴﺔ ﺼﻴﻐت ﻋﻠﻰ ﺸﻜل أﻨﺸطﺔ ﺘﻔﺎﻋﻠﻴﺔ. وﺘﺸﺠﻊُ اﻝﺘﻌﻠم اﻝذاﺘ ﻲ ﻋن ّ اﻝﺒﺤث :وﻫﻲ ﻓﻘرة ﺘُ َد رب اﻝﻤﺘﻌﻠّ َم ﻋﻠﻰ طراﺌق ﺤ ل اﻝﻤﺸﻜﻼت َ ِ ﻝﻨﺘﻌﻠم وﺠ ْﻌِﻠﻪ ﻴطرح ﻋﻠﻰ ﻨﻔﺴﻪ اﻷﺴﺌﻠﺔ اﻝﺼﺤﻴﺤﺔ طرﻴق ﺘزوﻴد اﻝطﺎﻝب ﺒﻤﻨﻬﺠﻴﺔ اﻝﺘﻔﻜﻴر اﻻﺴﺘﻘﺼﺎﺌﻲ َ ﺒﻬدف اﻝوﺼول إﻝﻰ ﺤﻠول اﻝﻤﺴﺎﺌل ﺜُّم ﺼﻴﺎﻏﺔ ﻫذﻩ اﻝﺤﻠول ﺒﻠﻐﺔ ﺴﻠﻴﻤﺔ. اﻷﻤﺎم :وﻫﻲ ﺘﻤﺎرﻴن وﻤﺴﺎﺌل ﻤﺘﻨوﻋﺔ وﻤﺘدرﺠﺔ ﻓﻲ ﺼﻌوﺒﺘﻬﺎ ﺘﺸﻤل ﻓﻲ ﺒﻌض اﻷﺤﻴﺎن ِ ﻗُ ُدﻤﺎً إﻝﻰ ﻝﻠﻤﺘَﻌﻠم ﻓَُرص ﺘﻌﻠم ﻜﺜﻴرة وﺘﻌزز ﻤﻬﺎرات ﺤل اﻝﻤﺴﺎﺌل واﻝﺘﻔﻜﻴر اﻝﻨﺎﻗد ﻝدﻴﻪ. ﺘﻴﺢ ُ ﻤواﻗف ﺤﻴﺎﺘﻴﺔ ﺘُ ُ -وﻫﻜذا ﻜﺎﻨت اﻝوﺤدة اﻷوﻝﻰ )ﺘذﻜرة ﺒﺎﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎت اﻹﺜﺒﺎت ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ أو اﻻﺴﺘﻘراء اﻝرﻴﺎﻀﻲ( وﻫﻲ ﻤراﺠﻌﺔ وﻤﺘ ﻤﻤﺔ ﻝﻤﺎ ﺘﻌﻠﻤﻪ اﻝطﺎﻝب ﻓﻲ ﺒﺤث اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎت ﻓﻲ ﻤﻨﻬﺎج اﻝﺜﺎﻨﻲ اﻝﺜﺎﻨوي. -اﻝوﺤدة اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ )اﻝﺘواﺒﻊ :اﻝﻨﻬﺎﻴﺎت واﻻﺴﺘﻤرار( ﻤﺘﻀﻤﻨﺔ ﻋدداً ﻤن اﻝدروس اﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻝﺘﻜون ﺘﻤﻬﻴداً ﻝوﺤدة ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ود ارﺴﺔ اﻝﺘواﺒﻊ ،ﺒدءاً ﻤن ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺘﺎﺒﻊ واﻝﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻝﻨﻬﺎﻴﺎت وﻤن ﺜم اﻝﻤﻘﺎرﺒﺎت واﻝﺘواﺒﻊ اﻝﻤﺴﺘﻤرة وﺤل اﻝﻤﻌﺎدﻻت واﻝذي ﻴﺠد اﻝطﻼب ﺒوﺠﻪ ﻋﺎم ﺼﻌوﺒﺔ ﻓﻲ اﺴﺘﻴﻌﺎﺒﻪ ﻋﻨد ﻋرﻀﻪ ﻝﻠﻤرة اﻷوﻝﻰ. -ﺜُّم ﺘﺄﺘﻲ اﻝوﺤدة اﻝﺜﺎﻝﺜﺔ )اﻻﺸﺘﻘﺎق( ﻝﺘﻀم ﻤراﺠﻌﺔ ﻝﻤﺎ ﺘﻌﻠﻤﻪ اﻝطﺎﻝب ﻓﻲ اﻝﺜﺎﻨﻲ اﻝﺜﺎﻨوي واﺸﺘﻘﺎق ﺘﺎﺒﻊ ﻤرﻜب وﻤﺸﺘﻘﺎت ﻤن ﻤراﺘب ﻋﻠﻴﺎ ،وﻋدداً ﻤن ﺘطﺒﻴﻘﺎت اﻻﺸﺘﻘﺎق ﻓﻲ دراﺴﺔ اطراد اﻝﺘواﺒﻊ وﻓﻲ ﺘﻌﻴﻴن اﻝﺤدﻴﺔ ﻤﺤﻠﻴﺎً واﻝﺘﻤﻬﻴد ﻝدراﺴﺔ اﻝﺘواﺒﻊ. ّ اﻝﻘﻴم -وﻨدرس ﻓﻲ اﻝوﺤدة اﻝراﺒﻌﺔ ﻤﻔﻬوم )ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ( ﻝﻴﺴﺘﻔﻴد اﻝطﺎﻝب ﻤن اﻝﺨﺒرات اﻝﺴﺎﺒﻘﺔ ﻝﺘطﺒﻴق ﻤﺎ ﺘﻌﻠّﻤﻪ ﻓﻲ دراﺴﺔ ﺘﻘﺎرب اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎت اﻝﻤطردة واﻝﺘﻌرف ﻋﻠﻰ اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎت اﻝﻤﺘﺠﺎورة. 6 ِ اﻝﺨﺎﻤﺴﺔ )اﻝﺘﺎﺒﻊ اﻝﻠوﻏﺎرﻴﺘﻤﻲ اﻝﻨﻴﺒري( وﻓﻲ اﻝوﺤدة اﻝﺴﺎدﺴﺔ )اﻝﺘﺎﺒﻊ اﻷﺴﻲ(، ِ اﻝوﺤدة -وﻨﺘﻌرف ﻓﻲ اﻝﺨواص واﻝﻤﺸﺘﻘﺎت وﻨﻬﺎﻴﺎت ﺘﺘﻌﻠق ﺒﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ ،ودراﺴﺔ ﺘواﺒﻊ ﺘﺸﺘﻤل ﻋﻠﻰ ﺘواﺒﻊ أﺴﻴﺔ وﻝوﻏﺎرﻴﺘﻤﻴﺔ. -واﺨﻴ اًر ﻨﺘﻌرف أداة رﻴﺎﻀﻴﺎﺘﻴﺔ ﻓﺎﺌﻘﺔ اﻷﻫﻤﻴﺔ ﺘﻔﻴد ﻓﻲ اﻝﻌدﻴد ﻤن اﻝﻤﺠﺎﻻت اﻝﺘطﺒﻴﻘﻴﺔ واﻝﺒﺤﺘﺔ وﻓﻲ اﻝﻤﻴﻜﺎﻨﻴك وﻫﻲ )اﻝﺘﻜﺎﻤل واﻝﺘواﺒﻊ اﻷﺼﻠﻴﺔ(. أن ﺘﺤﻘﻴق اﻷﻫداف اﻝﻤرﺠوة ﻤن اﻝﻜﺘﺎب ﻓﻲ ﺘﻨﻤﻴﺔ ﻤﻬﺎرات اﻝﺘﻔﻜﻴر اﻝﻤﺨﺘﻠﻔﺔ وﻫﻨﺎ ﻨرﻴد اﻝﺘﺄﻜﻴد ﻋﻠﻰ ّ ﻤوﺠﻪ اﻝﻤدرس أن ﻴؤدي دور اﻝ ُﻤﻴﺴر واﻝ ّ ّ وﺨﺎﺼﺔ ﻤﻬﺎرات اﻝﺘﻔﻜﻴر اﻝﻨﺎﻗد واﻝﺘﻔﻜﻴر اﻹﺒداﻋﻲ ،ﻴﺘطﻠّب ﻤن ﻤﻨطﻘﻴﺎً، اﻝﻤﻨﺎﺴﺒﺔ ،وﻴﺨﺘﺎر اﻝﻤﻨﺎﺴب ﻤن اﻷﻤﺜﻠﺔ ،وﻴرﺘب اﻷﻓﻜﺎر ﺘرﺘﻴﺒﺎً ّ ﻝﻠﻌﻤﻠﻴﺔ اﻝﺘﻌﻠﻤﻴﺔ ،ﻓﻴطرح اﻝﺘﺴﺎؤﻻت ُ اﻝﺴﺒورة. وﻴوﺠﻪ ﻤﻤﻬداً اﻝطرﻴق ﻝﺤل اﻝﻤﺴﺎﺌل ،وﻴﺼوغ اﻝﺤﻠول ﺼﻴﺎﻏﺔ ﻝﻐوﻴﺔ ﺴﻠﻴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ّ ﻨﺘوﺠﻪ ﺒﺎﻝﺸﻜر إﻝﻰ ﻋدد ﻤن اﻝزﻤﻼء اﻝذﻴن ﻗدﻤوا إﻝﻴﻨﺎ أﺸﻜﺎﻻً ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻤن وﻓﻲ اﻝﻨﻬﺎﻴﺔ ،ﻨرﻴد أن ّ اﻝﻤﺴﺎﻋدة ،ﻓﻤﻨﻬم ﻤن أﺒدى ﻤﻼﺤظﺎﺘﻪ ﻋﻠﻰ اﻝﻤﺴودات اﻷوﻝﻰ ﻤن اﻝوﺤدات ،وﻤﻨﻬم ﻤن ﺤ ّل اﻝﻤﺴﺎﺌل أو ﺘﺤﻘّق ﻤن ﺼﺤﺘﻬﺎ ،وﻤﻨﻬم ﻤن ﺴﺎﻫم ﻓﻲ إﻋﺎدة ﺼﻴﺎﻏﺔ ﺒﻌض اﻝﻔﻘرات ،وﻨﺨص ﺒﺎﻝذﻜر اﻷﺴﺘﺎذ ﺨﻠدون اﻝﺸﻤﺎع واﻷﺴﺘﺎذ ﻨﻀﺎل ﺘﻔﺎﺤﺔ. وﻜذﻝك ﻨﺨص ﺒﺎﻝﺸﻜر واﻝﻌرﻓﺎن اﻷﺴﺘﺎذ اﻝدﻜﺘور ﻓوزي اﻝدﻨﺎن واﻷﺴﺘﺎذ اﻝدﻜﺘور ﻤﺤﻤد ﺒﺸﻴر ﻗﺎﺒﻴل ﻋﻠﻰ ﻤﻼﺤظﺎﺘﻬﻤﺎ اﻝﻘﻴﻤﺔ وﻗراءﺘﻬﻤﺎ اﻝدﻗﻴﻘﺔ ﻝﻬذا اﻝﻜﺘﺎب. اﻝﺒﻨﺎءة وأﺨﻴ اًر ﻨﺄﻤل ﻤن زﻤﻼﺌﻨﺎ اﻹﺴﻬﺎم ﻤﻌﻨﺎ ﻓﻲ إﻨﺠﺎح ﻫذﻩ اﻝﺘﺠرﺒﺔ اﻝﺠدﻴدة وﺘزوﻴدﻨﺎ ﺒﻤﻘﺘرﺤﺎﺘﻬم ّ اﻝﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﻬذا اﻝﻜﺘﺎب ﻤﺘﻌﺎوﻨﻴن ﻤﻌﺎً ﻝﺘطوﻴر اﻝﻜﺘﺎب اﻝﻤدرﺴﻲ ﺒﺎﺴﺘﻤرار. ﻌدون اﻝﻤ ّ ُ 7 اﶈﺘﻮى 13........................... & ، ! "#$% اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎت 14...................................................................................................................... .1ﻋﻤوﻤﻴﺎت ﻋن اﻝرﻴﺎﻀﻲ 19............................................................................................. .2اﻝﺒرﻫﺎن ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ أو ﺒﺎﻻﺴﺘﻘراء وﻤﺴﺎﺌل 22.......................................................................................................................................... ﺘﻤرﻴﻨﺎت 27.................................. # ' () :+ اﻝﻼﻨﻬﺎﻴﺔ 31........................................................................................................................ .1ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺘﺎﺒﻊ ﻋﻨد ﺤﻘﻴﻘﻲ 35................................................................................................................... .2ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺘﺎﺒﻊ ﻋﻨد ﻋدد اﻝﻨﻬﺎﻴﺎت 39......................................................................................................................... .3اﻝﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻝﻤﻘﺎرﻨﺔ 43................................................................................................................................... .4ﻤﺒرﻫﻨﺎت ﻤرﻜب 47................................................................................................................................... .5ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺘﺎﺒﻊ 50..................................................................................................................................... .6اﻝﻤﻘﺎرب اﻝﻤﺎﺌل اﻻﺴﺘﻤرار52............................................................................................................................................... .7 اﻝﻤﻌﺎدﻻت55......................................................................................................... .8اﻝﺘواﺒﻊ اﻝﻤﺴﺘﻤرة وﺤل 64......................................................................................................................................................... أﻨﺸطﺔ وﻤﺴﺎﺌل 67.......................................................................................................................................... ﺘﻤرﻴﻨﺎت 77........................................... , -.' : + )ﺘذﻜرة(79..................................................................................................................................... .1ﺘﻌﺎرﻴف )ﺘذﻜرة( 82................................................................................................ .2ﻤﺸﺘﻘﺎت ﺒﻌض اﻝﺘواﺒﻊ اﻝﻤﺄﻝوﻓﺔ اﻻﺸﺘﻘﺎق 85.................................................................................................................................. .3ﺘطﺒﻴﻘﺎت ﻤرّﻜب 90................................................................................................................................ .4اﺸﺘﻘﺎق ﺘﺎﺒﻊ ﻋﻠﻴﺎ 95..................................................................................................................... .5اﻝﻤﺸﺘﻘﺎت ﻤن ﻤراﺘب 98......................................................................................................................................................... أﻨﺸطﺔ وﻤﺴﺎﺌل 104........................................................................................................................................... ﺘﻤرﻴﻨﺎت 8 113 1 0 1 2 ﺘذﻜرة 115.............................................................................................................................. .1ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ : 120...................................................................................................................... .2ﻤﺒرﻫﻨﺎت ﺘﺨص اﻝﻨﻬﺎﻴﺎت اﻝﻤطردة 124...................................................................................................................... .3ﺘﻘﺎرب اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎت ﻤﺘﺠﺎورة 129.................................................................................................................................... .4ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎت 135.......................................................................................................................................................... أﻨﺸطﺔ وﻤﺴﺎﺌل 137........................................................................................................................................... ﺘﻤرﻴﻨﺎت 147 3 ) 4 5 + اﻝﻨﻴﺒري 151...................................................................................................................... .1اﻝﺘﺎﺒﻊ اﻝﻠوﻏﺎرﻴﺘﻤﻲ 155........................................................................................................................... .2ﻝوﻏﺎرﻴﺘم ﺠداء ﻀرب 159................................................................................................................ ln .3دراﺴﺔ اﻝﺘﺎﺒﻊ اﻝﻠوﻏﺎرﻴﺘﻤﻲ 163................................................................................................................ ln u .4ﻤﺸﺘق اﻝﺘﺎﺒﻊ اﻝﻤرﻜب اﻝﻠوﻏﺎرﻴﺘﻤﻲ 163............................................................................................... .5ﻨﻬﺎﻴﺎت ﻤﻬﻤﺔ ﺘﺘﻌﻠق ﺒﺎﻝﺘﺎﺒﻊ 168.......................................................................................................................................................... أﻨﺸطﺔ وﻤﺴﺎﺌل 171........................................................................................................................................... ﺘﻤرﻴﻨﺎت 181 6 + اﻝﻨﻴﺒري183............................................................................................................................... .1اﻝﺘﺎﺒﻊ اﻷﺴﻲ 187............................................................................................................................ .2ﺨواص اﻝﺘﺎﺒﻊ اﻷﺴﻲ 191............................................................................................................................... .3دراﺴﺔ اﻝﺘﺎﺒﻊ اﻷﺴﻲ 195...................................................................................................... .4ﻨﻬﺎﻴﺎت ﻤﻬﻤﺔ ﺘﺘﻌﻠق ﺒﺎﻝﺘﺎﺒﻊ اﻷﺴﻲ 200.......................................................................................... (a > 0) x ֏ a x .5دراﺴﺔ ﺘواﺒﻊ ﻤن اﻝﻨﻤط ﺒﺴﻴطﺔ 204...................................................................................................................... .6ﻤﻌﺎدﻻت ﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ 208.......................................................................................................................................................... أﻨﺸطﺔ وﻤﺴﺎﺌل 209........................................................................................................................................... ﺘﻤرﻴﻨﺎت 9 217 1 76 + 80 9 اﻷﺼﻠﻴﺔ 219....................................................................................................................................... .1اﻝﺘواﺒﻊ اﻻﺼﻠﻴﺔ 223.................................................................................................... .2ﺒﻌض ﻗواﻋد ﺤﺴﺎب اﻝﺘواﺒﻊ وﺨواﺼﻪ 228........................................................................................................................ اﻝﻤﺤدد ّ .3اﻝﺘﻜﺎﻤل اﻝﻤﺴﺎﺤﺔ237.......................................................................................................... اﻝﻤﺤدد وﺤﺴﺎب ّ .4اﻝﺘﻜﺎﻤل أﻨﺸطﺔ 242.......................................................................................................................................................... وﻤﺴﺎﺌل 244........................................................................................................................................... ﺘﻤرﻴﻨﺎت 251 1 : ;! un +1 وﺘﻜون اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ( un )n ≥nﻤﺘزاﻴدة إذا وﻓﻘط إذا ﺘﺤﻘّق اﻝﺸرط 0 ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜن n0 ≤ nﻴﻜن . un ≤ un +1 ﻜﻤﺎ ﺘﻜون اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ( un )n ≥nﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ إذا وﻓﻘط إذا ﺘﺤﻘّق اﻝﺸرط 0 ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜن n0 ≤ nﻴﻜن . un ≥ un +1 وأﺨﻴ اًر ﺘﻜون اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ( un )n ≥nﺜﺎﺒﺘﺔ إذا وﻓﻘط إذا ﺘﺤﻘّق اﻝﺸرط 0 ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜن n0 ≤ nﻴﻜن . un = un +1 ﻨطﻠق ﻋﻠﻰ اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎ ت اﻝﺘﻲ ﺘﺤﻘّق أﺤد اﻝﺸروط اﻝﺴﺎﺒﻘﺔ اﺴم ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎ ت ﻤطّردة ،وﻴﺒﻴن ﻝﻨﺎ ﻤﺜﺎل اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ اﻝﻤﻌرﻓﺔ ﺒﺎﻝﻌﻼﻗﺔ ّ un = ( −1 )nأﻨﻪ ﺘوﺠد ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎت ﻏﻴر ﻤطّردة. ّ ( un )n ≥ 0 ﻝدراﺴﺔ اطراد ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ، ( un )n ≥ 0ﻨﻘﺎرن ،أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ ، nاﻝﻌددﻴن unو un +1وذﻝك un + 1 واﻝﻌدد 1ﻓﻲ ﺤﺎل ﻜون ﺤدود اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﺒدراﺴﺔ إﺸﺎرة اﻝﻔرق ، un +1 − unأو ﺒﻤﻘﺎرﻨﺔ اﻝﻨﺴﺒﺔ un ﻤوﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎً. "! .3.1 ﺗﻌﺮﻳﻒ 2 ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ إذا ُو ِﺠ َد ﻋدد ﺤﻘﻴﻘﻲ rوﺘﺤﻘّﻘت اﻝﻌﻼﻗﺔ اﻝﺘدر ّ ﻴﺠﻴﺔ ّ إن اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ (un )n ≥0ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻨﻘول ّ اﻝﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ّ ﻨﺴﻤﻲ اﻝﻌدد rأﺴﺎس اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ّ ّ un +1 = un + rأﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ . n ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻨﻨﺘﻘل ﻤن ﺤ د إﻝﻰ اﻝﺤ د اﻝذي ﻴﻠﻴﻪ ﺒﺈﻀﺎﻓﺔ اﻝﻌدد اﻝﺤﻘﻴﻘﻲ ﻨﻔﺴﻪ. ّ . (un )n ≥0إذن ﻓﻲ ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ 15 وﻓﻲ ﻫذﻩ اﻝﺤﺎﻝﺔ ،أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌددان اﻝطﺒﻴﻌﻴﺎن mو ، pﻜﺎن um = u p + ( m − p ) r ٕواذا ﻜﺎن Sﻤﺠﻤو َ ع nﺤداً ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎً ّأوﻝﻬﺎ aوآﺨرﻫﺎ ℓﻤن ﺤدود ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ،ﻜﺎن )n(a + ℓ =S 2 وﺒوﺠﻪ ﺨﺎص )n(n + 1 = 1+ 2 + 3 +⋯+ n 2 #$% .4.1 ﺗﻌﺮﻳﻒ 3 ﻫﻨدﺴﻴ ٌﺔ إذا ُو ِﺠ َد ﻋدد ﺤﻘﻴﻘﻲ qوﺘﺤﻘّﻘت اﻝﻌﻼﻗﺔ اﻝﺘدر ّ ﻴﺠﻴﺔ ّ إن اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔَ ( un )n ≥0ﻤﺘﺘﺎﻝﻴ ٌﺔ ﻨﻘول ّ اﻝﻬﻨدﺴﻴﺔ . ( un )n ≥ 0 ّ ﻨﺴﻤﻲ اﻝﻌدد qأﺴﺎس اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ّ un +1 = q × unأﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ ّ. n ﻫﻨدﺴﻴﺔ ﻨﻨﺘﻘل ﻤن ﺤ د إﻝﻰ اﻝﺤ د اﻝذي ﻴﻠﻴﻪ ﺒﺎﻝﻀرب ﺒﺎﻝﻌدد اﻝﺤﻘﻴﻘﻲ ذاﺘﻪ. ّ إذن ﻓﻲ ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻋﻨدﺌذ :أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌددان اﻝطﺒﻴﻌﻴﺎن mو ، pﻜﺎن um = u pq m −p ٕواذا ﻜﺎن Sﻤﺠﻤو َ ع nﺤداً ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎً ّأوﻝﻬﺎ aﻤن ﺤدود ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ أﺴﺎﺴﻬﺎ ، q ≠ 1ﻜﺎن 1 − qn S =a 1−q وﺒوﺠﻪ ﺨﺎص 1 − qn = 1 + q + q 2 + ⋯ + q n −1 1−q ﻤطﺎﺒﻘﺔ ﻤﻔﻴدة: ) x n − a n = (x − a )( x n −1 + x n −2a + x n −3a 2 + ⋯ + a n −1 إن x n − a nﻫو ﺠداء ﻀرب ) (x − aﺒﻤﺠﻤوع ﺠﻤﻴﻊ اﻷﻋداد x αa βﺤﻴث αو βﻋددان أي ّ طﺒﻴﻌﻴﺎن ﻤﺠﻤوﻋﻬﻤﺎ ﻴﺴﺎوي . n − 1ﻓﻨﺠد ﻤﺜﻼً ) x 5 − a 5 = (x − a )( x 4 + x 3a + x 2a 2 + xa 3 + a 4 a = qﻓﻲ ﻓﻲ اﻝﺤﻘﻴﻘﺔ ،اﻝﻤﺴﺎواة واﻀﺤﺔ ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ x = aأو . x = 0وﻓﻴﻤﺎ ﻋدا ذﻝك ،ﻨﻌوض x 1 − qn = 1 + q + q 2 + ⋯ + q n −1 1−q 16 ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ 2 n −1 n n a a a x −a 1+ + 2 + ⋯ + n −1 = n −1 x x x ) x (x − a وﻨﺠد اﻝﻤطﺎﺒﻘﺔ اﻝﻤرﺠوة ﻋﻨدﻤﺎ ﻨﻀرب طرﻓﻲ اﻝﻤﺴﺎواة اﻷﺨﻴرة ﺒﺎﻝﻌدد ) . x n −1(x − a ﺗﻜﺮﻳﺴﺎً ﻟﻠﻔﻬﻢ ﻛﻴﻒ ﻧﺪرس ﺟﻬﺔ اﻃﺮاد ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ (un )n ≥0؟ ﺜﻤﺔ ﺜﻼث طراﺌق: دراﺴﺔ إﺸﺎرة اﻝﻔرق . un +1 − un n2 + 1 = unﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ . n ≥ 1ﻝدﻴﻨﺎ ﻨﺘﺄﻤل اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ( un )n ≥1اﻝﻤﻌرﻓﺔ وﻓق اﻝﺼﻴﻐﺔ ﻝ ّ ﻣﺜﺎل 2n (n + 1)2 + 1 n 2 + 1 n 2 + n − 1 = un +1 − un − = )2(n + 1 2n )2n(n + 1 ﻓﺈن n − 1 ≥ 0و n 2 > 0إذن ﻷن ، n ≥ 1 إﺸﺎرة un +1 − unﺘﻤﺎﺜل إﺸﺎرة . n + n − 1و ّ 2 n 2 + n − 1ﻤوﺠب ﺘﻤﺎﻤﺎً ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ . n ≥ 1إذن ( un )n ≥1ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻤﺘزاﻴدة ﺘﻤﺎﻤﺎً. ﻜﺘﺎﺒﺔ ) ، un = f (nإن أﻤﻜن ،ﺜم دراﺴﺔ اطراد اﻝﺘﺎﺒﻊ . fﻓﺈذا ﻜﺎن اﻝﺘﺎﺒﻊ fﻤطّرداً ﻋﻠﻰ اﻝﻤﺠﺎل [∞ [n 0, +ﻜﺎﻨت ﺠﻬﺔ اطراد ( un )n ≥nﻫﻲ ﻨﻔﺴﻬﺎ ﺠﻬﺔ اطراد . f 0 ﻝﻨﺘﺄﻤل اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ (vn )n ≥0اﻝﻤﻌرﻓﺔ ﺒﺎﻝﺼﻴﻐﺔ vn = (n − 1)2ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ . n ≥ 0ﻨرﻤز ﺒﺎﻝرﻤز ّ ﻣﺜﺎل ﻷن fإﻝﻰ اﻝﺘﺎﺒﻊ اﻝﻤﻌرف ﻋﻠﻰ Rوﻓق ). x ֏ (x − 1ﻋﻨدﺌذ ). f ′(x ) = 2(x − 1و ّ 2 أن fﻤﺘزاﻴد ﺘﻤﺎﻤﺎً ﻋﻠﻰ [ ∞. [1, +ﻓﺎﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ (vn )n ≥1 f ′(x ) > 0ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ، x > 1اﺴﺘﻨﺘﺠﻨﺎ ّ ﻤﺘزاﻴدة ﺘﻤﺎﻤﺎً ﺒدءاً ﻤن اﻝﺤد ذي اﻝدﻝﻴل . n0 = 1 un +1 واﻝﻌدد . 1 ﻋﻨدﻤﺎ ﺘﻜون اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ (un )n ≥0ذات ﺤدود ﻤوﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎً ،ﻴﻤﻜن أن ﻨﻘﺎرن ﺒﻴن un 2 n wnﻤوﺠﺒﺔ ﻝﻨﺘﺄﻤل اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ( wn )n ≥0اﻝﻤﻌرﻓﺔ ﻋﻠﻰ ℕوﻓق . wn = ﺠﻤﻴﻊ ﺤدودﻫﺎ ّ ﻣﺜﺎل 3 wn +1 2 أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ . nإذن ،أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ ، nﻜﺎن = ﺘﻤﺎﻤﺎً ،وﻝدﻴﻨﺎ wn 3 wn +1 أو . wn +1 < wnﻓﺎﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ( wn )n ≥0ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎً. 0أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ . n 1 = unﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ. أﺜﺒت أن اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ( un )n ≥0اﻝﻤﻌرﻓﺔ ﺒﺎﻝﻌﻼﻗﺔ vn اﺴﺘﻨﺘﺞ ﻋﺒﺎرة vnﺒدﻻﻝﺔ . n ادرس ﺠﻬﺔ اطراد ﻜل ﻤن اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎت اﻵﺘﻴﺔ. 2n − 1 3 = un = un 3n + 1 = un n+4 n2 n 3n + 1 1 = un = un = un n n −2 2 10 n +1 u0 = 1, u 0 = 1, u 0 = 2, 1 un +1 = 2un un +1 = un u n +1 = un − 3 2 18 اﻟﺒﺮﻫﺎن ﺑﺎﻟﺘﺪرﻳﺞ ،أو ﺑﺎﻻﺳﺘﻘﺮاء اﻟﺮﻳﺎﺿﻲ '.1.2ﳘ ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ ﻤوﺠب ﺘﻤﺎﻤﺎً nﻨرﻤز ﺒﺎﻝرﻤز ) E (nإﻝﻰ اﻝﻤﺴﺎواة: » E (n ) « 13 + 23 + ⋯ + n 3 = (1 + 2 + ⋯ + n )2 ﻷن . 13 + 23 = ( 1 + 2 )2ﻜﻤﺎ إ ن أن ) E (1ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻷ ن . 13 = 12و ) E (2ﺼﺤﻴﺤﺔ ، ﻤن اﻝواﻀﺢ ّ ) E (3ﺼﺤﻴﺤﺔ ، ﻷن . 13 + 23 + 33 = ( 1 + 2 + 3 )2 وﻝﻜن ،أَﺘﻜون ) E (nﺼﺤﻴﺤﺔ أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد n؟ وﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ اﻹﻴﺠﺎب ،ﻜﻴف ﻴﻜون اﻹﺜﺒﺎت وﻨﺤن ﻻ ﻨﻤﺘﻠك اﻝﻘدرة ﻋﻠﻰ اﻝﺘﺤﻘق ﻋدداً ﻏﻴر ٍ ﻤﻨﺘﻪ ﻤن اﻝﻤرات؟ َ '.2.2 اﻟﺪرﺟﺔ p + 1 وﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ pﻳﻤﻜﻨﻨﺎ اﻹﺜﺒﺎت ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ أو اﻻﺴﺘﻘراء اﻝرﻴﺎﻀﻲ ﻴﻨص ﻋﻠﻰ اﻟﺪرﺟﺔ p اﻟﺼﻌﻮد إﻟﻰ اﻟﺪرﺟﺔ p + 1 اﻝﺴﻠّم واﻝوﺼول إﻝﻰ أﻴﺔ درﺠﺔ ّأﻨﻪ ﻜﻲ ﺘﺘﻤﻜن ﻤن ﺼﻌود ُ دﻝﻴﻠﻬﺎ nﻴﺤﻘق ، n ≥ n0ﻴﻜﻔﻲ أن ﺘﺘﻤﻜن ﻤن اﻝﺼﻌود إﻝﻰ اﻝدرﺠﺔ اﻝﻘﺎﻋدﻴﺔ اﻝﺘﻲ دﻝﻴﻠﻬﺎ ، n0وأن ﻴﻜون ﺒﺈﻤﻜﺎﻨك اﻝﺼﻌود ﻤن أﻴﺔ درﺠﺔ دﻝﻴﻠﻬﺎ pإﻝﻰ اﻝدرﺠﺔ اﻝﺘﻲ دﻝﻴﻠﻬﺎ اﻟﺪرﺟﺔ n 0 + 2 p + 1اﻝﺘﻲ ﺘﻌﻠوﻫﺎ ﻤﺒﺎﺸرة. اﻟﺪرﺟﺔ n 0 + 1 اﻟﺪرﺟﺔ n 0 ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺑﻠﻮغ اﻟﺪرﺟﺔ n 0 ﺨﺎﺼﺔ ) E (nﺘﺘﻌﻠّق ﺒﺎﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ nﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ . n ≥ n0 ّ رﻴﺎﻀﻴﺎﺘﻴﺔ ،ﻹﺜﺒﺎت ﺼﺤﺔ ّ وﺒﺼﻴﺎﻏﺔ اﻝﺨﺎﺼﺔ ﻓﻲ اﻝﺤﺎﻝﺔ اﻝﻘﺎﻋدﻴﺔ . n = n0 ّ ﻨﺜﺒت ﺼﺤﺔ ﻫذﻩ ﺼﺤﺔ ). E (p + 1 ﺼﺤﺔ ) E (pﺘﻘﺘﻀﻲ ّ أن ّ ﻨﺜﺒت ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ّ p ≥ n0 اﻝﺨﺎﺼﺔ ) E (nأﻴﺎً ﻜﺎﻨت ﻗﻴﻤﺔ nأﻜﺒر أو ﺘﺴﺎوي . n0 ّ ﺼﺤﺔ وﻋﻨدﻫﺎ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ّ 19 ﺗﻜﺮﻳﺴﺎً ﻟﻠﻔﻬﻢ ﻣﺘﻰ ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ اﻹﺛﺒﺎت ﺑﺎﻟﺘﺪرﻳﺞ ؟ ﺨﺎﺼﺔ ﺘﺘﺒﻊ ﻤﺘﺤوﻻً طﺒﻴﻌﻴﺎً nﻴﺘﺤول ﻓﻲ ℕأو ّ ﻨﺴﺘﻌﻤل اﻝﺒرﻫﺎن ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ ﻋﻨدﻤﺎ ﻨرﻴد إﺜﺒﺎت ﺼﺤﺔ ﻓﻲ ﻤﺠﻤوﻋﺔ ﻤن اﻝﻨﻤط } . {n ∈ ℕ : n ≥ n 0 ﻛﻴﻒ ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ اﻹﺛﺒﺎت ﺑﺎﻟﺘﺪرﻳﺞ اﺳﺘﻌﻤﺎﻻً ﺻﺤﻴﺤﺎً ؟ اﻹﺜﺒﺎت ﺒﺎﻝﺒرﻫﺎن ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ وﻓق اﻝﺨطوات اﻵﺘﻴﺔ: ُ ﻴﺠري اﻝﺨﺎﺼﺔ ) E (nاﻝﺘﻲ ﺘﺘﻌﻠّق ﺒﺎﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ nواﻝﺘﻲ ﻨرﻏب ّ أوﻻً ﻴﺠب أن ﻨﻜﺘب وﺒوﻀوح ﺒﺈﺜﺒﺎت ﺼﺤﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ . n ≥ n0وﻓﻲ أﻏﻠب اﻷﺤﻴﺎن ﻴﻜون n0 = 0أو . n0 = 1 اﻝﺨﺎﺼﺔ ﻓﻲ اﻝﺤﺎﻝﺔ اﻝﻘﺎﻋدﻴﺔ ، n = n0أي ﺼﺤﺔ ) . E (n 0 ّ ﻨﺜﺒت ﺼﺤﺔ ﻫذﻩ ﺼﺤﺔ ). E (p + 1 ﻨﻔﺘرض ﺼ ّﺤﺔ ) E (pﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﻋدد pأﻜﺒر أو ﻴﺴﺎوي n0وﻨﺒرﻫن ّ أﺜﺒت ّأﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ اﻝﻤوﺠب ﺘﻤﺎﻤﺎً nﻜﺎن ﻣﺜﺎل n 2 (n + 1)2 = 13 + 23 + ⋯ + n 3 4 اﻟﺤﻞ اﻝﺨﺎﺼﺔ اﻝﻤطﻠوﺒﺔ ) E (nﻫﻲ اﻝﻤﺴﺎواة: ّ n 2 (n + 1)2 = E (n ) « 13 + 23 + ⋯ + n 3 » 4 وﻨرﻴد إﺜﺒﺎت ﺼﺤﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ) . n ≥ 1(= n0 2 2 )1 (1 + 1 = . 13 اﻝﺨﺎﺼﺔ ) E (1ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻷﻨﻬﺎ ﺘﻨص ﻋﻠﻰ اﻝﻤﺴﺎواة اﻝواﻀﺤﺔ ّ 4 n 2 (n + 1)2 = . 13 + 23 + ⋯ + n 3ﻋﻨدﺌذ ﻨﻔﺘرض أن ) E (nﺼﺤﻴﺤﺔ ،أي 4 13 + 23 + ⋯ + n 3 + (n + 1)3 = 1 3 + 23 + ⋯ + n 3 + (n + 1)3 n 2 (n + 1)2 = + (n + 1)3 4 (n + 1)2 2 = 4 ) ( n + 4n + 4 (n + 1)2 (n + 2)2 = 4 اﻝﺨﺎﺼﺔ ) ، E (n + 1ﻓﻨﻜون إذن ﻗد أﺜﺒﺘﻨﺎ ﺼﺤﺘﻬﺎ اﻋﺘﻤﺎداً ﻋﻠﻰ ﺼﺤﺔ ) . E (nإذن ّ وﻫذﻩ ﻫﻲ ﺘﺤدﻴداً ) E (nﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻬﻤﺎ ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ اﻝﻤوﺠب ﺘﻤﺎﻤﺎً . n 20 أن ﻝﻘد رأﻴﻨﺎ ﻋﻨد دراﺴﺔ اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎت اﻝﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ّ )n(n + 1 = 1+ 2 +⋯+n 2 إذن n 2 (n + 1)2 = (1 + 2 + ⋯ + n )2 4 أن ﻓﺈذا اﺴﺘﻔدﻨﺎ ﻤن اﻝﻤﺜﺎل اﻝﺴﺎﺒق اﺴﺘﻨﺘﺠﻨﺎ ّ 13 + 23 + ⋯ + n 3 = (1 + 2 + ⋯ + n )2 ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ أي ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ ﻤوﺠب ﺘﻤﺎﻤﺎً . n أﺜﺒت ّأﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ nﻜﺎن 4n + 2ﻤﻀﺎﻋﻔﺎً ﻝﻠﻌدد . 3 ﻣﺜﺎل اﻟﺤﻞ اﻝﺨﺎﺼﺔ ) E (nاﻝﻤطﻠوﺒﺔ ﻫﻲ ﻤﻀﺎﻋف ﻝﻠﻌدد E (n ) « 3 ٌ » 4n + 2 أن ، 40 + 2 = 1 + 2 = 3ﻤﻀﺎﻋف ﻝﻠﻌدد . 3 اﻝﺨﺎﺼﺔ ) E (0ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻷﻨﻬﺎ ﺘﻨص ﻋﻠﻰ ّّ أن ﻤﻀﺎﻋف ﻝﻠﻌدد . 3ﺜُّم ﻨﻼﺤظ ّ ٌ ﻨﻔﺘرض أن ) E (nﺼﺤﻴﺤﺔ ،أي إ ّن 4n + 2 4n +1 + 2 = 4n × 4 + 2 = (4n + 2) × 4 − 8 + 2 = 4(4n + 2) − 6 ﻤﻀﺎﻋف ﻝﻠﻌدد ، 3وﻤن ﺜَّم ﻴﻜون ٌ ﻤﻀﺎﻋف ﻝﻠﻌدد ، 3إذن )4(4n + 2 ٌ ﺒﺤﺴب اﻓﺘراﻀﻨﺎ4n + 2 ، 4(4n + 2) − 6ﻤﻀﺎﻋﻔﺎً ﻝﻠﻌدد 3ﻷﻨﻪ ﻤﺠﻤوع ﻤﻀﺎﻋﻔﻴن ﻝﻠﻌدد . 3ﻓﺎﻝﻘﻀﻴﺔ ) E (n + 1ﺼﺤﻴﺤﺔ.إذن ) E (nﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻬﻤﺎ ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ . n ب ﺗَﺪ ر ْ ﻨﻌرف ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ n ≥ 1اﻝﻤﻘدار ، Sn = 12 + 22 + 32 + ⋯ + n 2 اﺤﺴب S1و S2و S 3و . S 4ﺜُّم ﻋﺒر ﻋن Sn +1ﺒدﻻﻝﺔ Snو . n أﺜﺒت ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ ّأﻨﻪ ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ أﻴﺔ ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ n ≥ 1ﻝدﻴﻨﺎ : )n(n + 1)(2n + 1 = . Sn 6 ﻝﻴﻜن . x > −1ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ nﻨرﻤز ) E (nإﻝﻰ اﻝﻤﺘراﺠﺤﺔ . (1 + x )n ≥ 1 + nxأﺜﺒت أن اﻝﻤﺘراﺠﺤﺔ ) E (nﻤﺤﻘّﻘﺔ أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ . n ّ 21 ﻤﻌﻴن .( n0 ﺤد ّي اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺎت ( un )n ≥ 0اﻵﺘﻴﺔ ﻤطّردة )رﺒﻤﺎ ﺒدءاً ﻤن ّ ّﺒﻴن أ 1 n +1 un = 2n = un un = −3n + 1 1 n +2 n2 1 1 n = un un = 1 + un = − !n n2 n u 0 = 2 u0 = 8 1 1 3 3 un = 1 + + ⋯⋯ + u = un + 2 u = un + 2 2 2n +1 n 4 n +1 4 أن n ! = n × (n − 1) × ⋯ × 1ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ nﻤوﺠب ﺘﻤﺎﻤﺎً وأن . 0! = 1 ﺘذ ّﻜر ّ اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ( un )n ≥ 0ﻤﻌرﻓﺔ وﻓق u0 = 2واﻝﻌﻼﻗﺔ اﻝﺘدرﻴﺠﻴﺔ un +1 = 2un − 3ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ أي 2 ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ . n اﺤﺴب u5 ، u4 ، u3 ، u2 ، u1ﺜ م ﺨ ﻤ ْن ﻋﺒﺎرة unﺒدﻻﻝﺔ . n ﺒﺤﺴﺎب ﻋﺒﺎرة un − 3ﻋﻨد ﻜل ، n ≥ 0ﻋﺒ ْر ﻋن unﺒدﻻﻝﺔ . n اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ (un )n ≥0ﻤﻌرﻓﺔ وﻓق u0 = 3و un +1 = −un + 4ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ . n 3 اﺤﺴب u5 ، u 4 ، u3 ، u2 ، u1وﺨ ﻤ ْن ﻋﺒﺎرة unﺒدﻻﻝﺔ nﺜ م ﺤدد unﺒدﻻﻝﺔ . n اﻝﺨﺎﺼﺘﻴن اﻵﺘﻴﺘﻴن ّ أﺜﺒت ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ ﺼﺤﺔ 4 . 1 + 2 × 2! + 3 × 3! + ⋯ + n × n! = (n + 1)! − 1 . n ! ≥ 2n −1 1 1 1 un = 1 + + + ⋯ +و . vn = u2n − unأﺜﺒت ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ ، n ≥ 1ﻝﻴﻜن 5 2 3 n أن اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ) ( vnﻤﺘزاﻴدة ﺘﻤﺎﻤﺎً. aو bو cﺜﻼﺜﺔ أﻋداد ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ و . a ≠ 0ﻨﻌﻠم أن aو bو cﻫﻲ ﺜﻼﺜﺔ ﺤدود ﻤﺘﻌﺎﻗﺒﺔ ﻤن 6 ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ ،ﻨرﻤز إﻝﻰ أﺴﺎﺴﻬﺎ ﺒﺎﻝرﻤز . qﻜﻤﺎ ﻨﻌﻠم أن 3aو 2bو cﻫﻲ ﺜﻼﺜﺔ ﺤدود ﻤﺘواﻝﻴﺔ ﻤن ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ.اﺤﺴب . q 22 ﻟ ّ ﻨﺘﻌﲅ اﻟﺒﺤﺚ ﻣﻌ ًﺎ ّ ُ ً 7 ﻨﺘﺄﻤل اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ (un )n ≥0اﻝﻤﻌرﻓﺔ ﺘدرﻴﺠﻴﺎً وﻓق u0 = 7و un +1 = 10un − 18ﻋﻨد ﻜل ﻋدد ّ طﺒﻴﻌﻲ . nﻨﻬدف ﻓﻲ ﻫذا اﻝﺘﻤرﻴن إﻝﻰ اﻝﺘﻌﺒﻴر ﻋن unﺒدﻻﻝﺔ . n اﻟﺤﻞ ﻧﺤﻮ ّ ﻨﻌﻠم أّﻨﻪ ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻤﻌرﻓﺔ ﺒﻌﻼﻗﺔ ﺘدرﻴﺠﻴﺔ ،ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺤﺴﺎب unﺒﺸرط أن ﻨﻜون ﻗد ﻋرﻓﻨﺎ اﻝﺤدود اﻝﺘﻲ ﺘﺴﺒﻘﻪ.واﻝﻤطﻠوب ﻫﻨﺎ ﻫو إﻴﺠﺎد طر ٍ ﻴﻘﺔ ﻝﺤﺴﺎب unﻤﺒﺎﺸرةً ﺒدﻻﻝﺔ . nﻓﻲ ﻫذا اﻝﻨﻤط اﻝﺤد ودﻝﻴﻠﻪ. ﻤن اﻝﻤﺴﺎﺌل ،ﻨﺤﺴب ﺤدوداً أوﻝﻰ ﻤن اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﺜ م ﻨﺤﺎول ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻝﺔ اﻝرﺒط ﺒﻴن ﻗﻴﻤﺔ ّ اﺤﺴب ... u5 ، u4 ، u3 ، u2 ، u1 أن ﻜل ﺤد ﻤن اﻝﺤدود اﻝﻤﺤﺴوﺒﺔ ﻴﺒدأ ﻤن اﻝﻴﺴﺎر ﺒﺎﻝرﻗم 5وﻴﻨﺘﻬﻲ ﺒﺎﻝرﻗم ، 2وﻴوﺠد ﺒﻴﻨﻬﻤﺎ ٌ ﻋدد ﻨﺠد ﻤن اﻷﺼﻔﺎر ﻴﺘﻌﻠق ﺒﻘﻴﻤﺔ ، nأي ﺒدﻝﻴل ﻫذا اﻝﺤد.ﺒﺎﻝﺘﺄﻜﻴد ،ﺴﻴﺴﻤﺢ ﻝك ﻫذا ﺒﺎﻝﺘﻌﺒﻴر ﻋن un ﺒدﻻﻝﺔ . n ﻋﻴن ﻋدد اﻷﺼﻔﺎر اﻝﻤﺸﺎر إﻝﻴﻪ أﻋﻼﻩ ﻋﻨدﻤﺎ ﺘﺄﺨذ nاﻝﻘﻴم 4 ، 3 ، 2 ، 1و . 5 ّ .1 ﻤﺎ ﻋدد اﻷﺼﻔﺎر ﺒدﻻﻝﺔ . n .2 أن uk = 5 × 10k + 2ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ kﻤن } . {1,2, 3, 4, 5 .3ﺘﺤﻘّق ّ ﻝﻠﺤد unﺒدﻻﻝﺔ . nﺜُم أﺜﺒت ﺼﺤﺔ اﻗﺘراﺤك أﻴﺎً ﻜﺎﻨت . n .4اﻗﺘرح ﺼﻴﻐﺔ ّ أﻧﺠ ِﺰ اﻟﺤﻞ واﻛﺘﺒﻪ ٍ ﺑﻠﻐﺔ ﺳﻠﻴﻤﺔ. ّ !"$% !"&' ( !"# 8 ﻨﺘﺄﻤل اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ (un )n ≥0اﻝﻤﻌرﻓﺔ ﺘدرﻴﺠﻴﺎً وﻓق ّ 1 )∗( = un +1 u + n2 + n و u0 = s 2 n ﻋﻴن ﻜﺜﻴر ﺤدود ﻤن اﻝدرﺠﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ Pﺒﺤﻴث ﺘُﺤﻘّق اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ (tn )n ≥0اﻝﺘﻲ ﺤدﻫﺎ اﻝﻌﺎم ّ 1 ) tn = P (nاﻝﻌﻼﻗﺔ اﻝﺘدرﻴﺠﻴﺔ )∗( ﻨﻔﺴﻬﺎ أي tn +1 = tn + n 2 + nأﻴﺎً ﻜﺎﻨت . n 2 أﺜﺒت أن اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ (vn )n ≥0اﻝﺘﻲ ﺤدﻫﺎ اﻝﻌﺎم vn = un − tnﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ. اﻜﺘب ﻋﺒﺎرة vnﺜ م unﺒدﻻﻝﺔ nو . s 23 ﻧﺤﻮ ّ اﻟﺤﻞ ﻨﺒﺤث ﻋن ﻜﺜﻴر ﺤدود ﻤن اﻝدرﺠﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ . Pﻝﻨﻜﺘﺒﻪ إذن ﺒﺎﻝﺼﻴﻐﺔ . P (n ) = an 2 + bn + c ﻝﺘﻌﻴﻴن اﻷﻤﺜﺎل aو bو cﻨﺴﺘﻔﻴد ﻤن ﻜون اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ اﻝﺘﻲ ﺤدﻫﺎ اﻝﻌﺎم ) tn = P (nﺘُﺤﻘق اﻝﻌﻼﻗﺔ اﻝﺘدرﻴﺠﻴﺔ. أن (tn )n ≥0ﺘﺤﻘق اﻝﻌﻼﻗﺔ اﻝﺘدرﻴﺠﻴﺔ )∗( إذا وﻓﻘط إذا ﻜﺎن ّﺒﻴن ّ .1 a − 1 n 2 + 2a + b − 1 n + a + b + c = 0 2 2 2 أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ . n .2اﺴﺘﻨﺘﺞ ﻤن ذﻝك ﺠﻤﻠﺔ ﺒﺴﻴطﺔ ﻤن اﻝﻤﻌﺎدﻻت ﺘﺤﻘﻘﻬﺎ aو bو . cﺜُّم ﻋﻴن ﻫذﻩ اﻷﻋداد. ، vn +1 أن اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ (vn )n ≥0ﻫﻨدﺴﻴﺔ ،ﻴﻜﻔﻲ أن ﻨﺠد ﻋددًا qﺒﺤﻴث ﺘﺘﺤﻘق اﻝﻤﺴﺎواة = qvn ﻹﺜﺒﺎت ّ ﻋﻴن . qّ ﻷﻨﻨﺎ ﻨﻌرف tnﻴﻤﻜﻨﻨﺎ إﻨﺠﺎز اﻝﻤطﻠوب. ﺒﻤﻌرﻓﺔ v0و qﻴﻤﻜﻨﻨﺎ اﺴﺘﻨﺘﺎج ، vnﺜُّم ّ أﻧﺠ ِﺰ اﻟﺤﻞ واﻛﺘﺒﻪ ٍ ﺑﻠﻐﺔ ﺳﻠﻴﻤﺔ. ّ ﻗُﺪُ ﻣ ًﺎ إﱃ ا ٔﻻﻣﺎم ﻨﺘﺄﻤل اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ (vn )n ≥0اﻝﺘﻲ ﺘﺤﻘق ُ 9ﻨﻌطﻰ ﻋددﻴن ﺤﻘﻴﻘﻴﻴن aو bوﻨﻔﺘرض ّ أن ّ. a ≠ 1 ، vn +1 = avn + bأﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ . n ﻋﻴن ﺘﺎﺒﻌﺎً fﻴﺤﻘق ) vn +1 = f (vnأﻴﺎً ﻜﺎﻨت ﻗﻴﻤﺔ . n ≥ 0 ّ اﺤﺴب ℓﺤ ّل اﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ . f (x ) = x أن (un )n ≥0ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ ،واﺴﺘﻨﺘﺞ ﻨﻌرف اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ (un )n ≥0ﺤﻴث . un = vn − ℓأﺜﺒت ّ ّ اﻝﻤﻌﺎﻤﻼت. unﺒدﻻﻝﺔ nو aو bو . v0ﺜُّم اﺴﺘﻨﺘﺞ vnﺒدﻻﻝﺔ ﻫذﻩ ُ ﻨﺘﺄﻤل ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ّ (un )n ≥0 ﻤﻌرﻓﺔ ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ وﻓق: ّ 10 u 0 = 1, u1 = 4, un +1 = 5un − 6un −1 )(n ≥ 1 ﻋﻴن ﻋددﻴن ﺤﻘﻴﻘﻴﻴن aو bﻴﺤﻘﻘﺎن a + b = 5و . ab = 6 ّ أﺴﺎﺴﻬﺎ . b ُ ﻝﺘﻜن (vn )n ≥0اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ . vn = un +1 − aunأﺜﺒت أن (vn )n ≥0ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ أﺴﺎﺴﻬﺎ . a ُ أن (wn )n ≥0ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻫﻨدﺴﻴﺔ ﻝﺘﻜن (wn )n ≥0اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ . wn = un +1 − bunأﺜﺒت ﻋﺒ ْر ﻋن vnو wnﺒدﻻﻝﺔ . nﺜُّم اﺴﺘﻨﺘﺞ ﻋﺒﺎرة unﺒدﻻﻝﺔ . n ّ 24 !")*'+ !, 11 أﺜﺒتّ ،أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ ، n ≥ 2 ، n أن. 3 × n 2 ≥ (n + 1)2 : ﻨرﻤز ﺒﺎﻝرﻤز ) E (nإﻝﻰ اﻝﻘﻀﻴﺔ » .« 3n ≥ 2n + 5 × n 2 ﻤﺎ أﺼﻐر ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴر ﻤﻌدوم ، nﺘﻜون ) E (nﺼﺤﻴﺤﺔ ﻋﻨدﻩ؟ أﺜﺒت أن ) E (nﺼﺤﻴﺤﺔّ ،أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ nاﻝذي ﻴﺤﻘق اﻝﺸرط . n ≥ 5 ﻨرﻤز ﺒﺎﻝرﻤز ) E (nإﻝﻰ اﻝﻘﻀﻴﺔ » .« 3n ≥ (n + 2)2 12 أَﺘﻜون اﻝﻘﻀﺎﻴﺎ ) E (0و ) E (1و ) E (3و ) E (4ﺼﺤﻴﺤﺔ؟ أﺜﺒت ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ أن اﻝﻘﻀﻴﺔ ) E (nﺼﺤﻴﺤﺔ ﻋﻨد ﻜل ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ nﻴﺤﻘق اﻝﺸرط . n ≥ 3 أﺜﺒت ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ ،ﺼﺤﺔ ﻜل ﻤن اﻝﺨواص اﻵﺘﻴﺔ أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ . n 13 ﻤﻀﺎﻋف ﻝﻠﻌدد .« 7 ٌ » 23n − 1 ﻤﻀﺎﻋف ﻝﻠﻌدد .« 3 ٌ » 4n + 5 ﻤﻀﺎﻋف ﻝﻠﻌدد .« 7 ٌ » 32n +1 + 2n + 2 ﻤﻀﺎﻋف ﻝﻠﻌدد .« 3 ٌ » n 3 + 2n اﻝﻌدد « 10n + 1ﺒﺎﻝرﻤز ) ، E (nﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ . n ∈ ℕ َ اﻝﻌدد 9 ُ ﻴﻘﺴم 14ﻨرﻤز إﻝﻰ اﻝﻘﻀﻴﺔ » ُ أﺜﺒت ّأﻨﻪ إذا ﻜﺎﻨت ) E (nﺼﺤﻴﺤﺔ ﻋﻨد ٍ ﻗﻴﻤﺔ ﻝﻠﻌدد ، nﻜﺎﻨت ﻋﻨدﺌذ ) E (n + 1ﺼﺤﻴﺤﺔ. أﺘﻜون اﻝﻘﻀﻴﺔ ) E (nﺼﺤﻴﺤﺔ ﻋﻠﻰ ℕ؟ ﺒرْر إﺠﺎﺒﺘك. (un )n ≥0ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻤﻌرﻓﺔ وﻓق u0 = 1و un +1 = 2 + unﻋﻨد ﻜل . n ≥ 0 15 أﺜﺒت أن ّ ، 0 ≤ un ≤ 2أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝطﺒﻴﻌﻲ . n أﺜﺒت أن اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ (un )n ≥0ﻤﺘزاﻴدة ﺘﻤﺎﻤﺎً. 3un + 2 = un +1ﻋﻨد ﻜل . n ≥ 0 (un )n ≥0ﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ ﻤﻌرﻓﺔ وﻓق u0 = 1و 16 2un + 6 3x + 2 أن ّ ، 21 < un ≤ 1أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد . n اﻴد ﺘﻤﺎﻤﺎً واﺴﺘﻨﺘﺞ ّ أن اﻝﺘﺎﺒﻊ x ֏ 2x + 6ﻤﺘز ٌ أﺜﺒت أﺜﺒت أن اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ (un )n ≥0ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎً. 25 ﻨﻌرف اﻝﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ (un )n ≥0وﻓق ﻋدد ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻤن اﻝﻤﺠﺎل . 0, 2 ﺜُّم ّ π ﻝﻴﻜن ٌ θ 17 u0 = 2 cos θو un +1 = 2 + unﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ . n ∈ ℕ اﺤﺴب u1و . u2 θ . un = 2 cos أﺜﺒت ﺒﺎﻝﺘدرﻴﺞ ، أن 2n ﻤﺴﺎﻋدة :ﺘذ ﻜ ْر أن . 1 + cos 2θ = 2 cos2 θ ﻤﺴﺘو ، Pﻤﺤ دث ﺒﻤﻌﻠم ﻤﺘﺠﺎﻨس H ،ﻫﻲ ﻤﺠﻤوﻋﺔ اﻝﻨﻘﺎط ) M (x , yاﻝﺘﻲ ﺘﺤﻘق إﺤداﺜﻴﺎﺘﻬﺎ ٍ ﻓﻲ 18 اﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ . x 2 − 5y 2 = 1ﻝﻴﻜن fاﻝﺘﺎﺒﻊ اﻝذي ﻴﻘرن ﺒﻜل ﻨﻘطﺔ ) M (x , yﻤن اﻝﻤﺴﺘوي Pاﻝﻨﻘطﺔ ) ، M ′(9x + 20y, 4x + 9yأي . f (M ) = M ′ﻝﺘﻜن S 0اﻝﻨﻘطﺔ اﻝﺘﻲ إﺤداﺜﻴﺎﺘﻬﺎ ) ، (1, 0ﺜُّم أن Sn ﻝﻨﺘﺄﻤل ﻓﻲ اﻝﻤﺴﺘوي Pﻤﺘﺘﺎﻝﻴﺔ اﻝﻨﻘﺎط (Sn )n ≥0اﻝﻤﻌرﻓﺔ وﻓق. Sn +1 = f (Sn ) :أﺜﺒت ّ ﻨﻘطﺔ ﻤن اﻝﻤﺠﻤوﻋﺔ Hو ّ أن إﺤداﺜﻴﺎﺘﻬﺎ أﻋداد ﺼﺤﻴﺤﺔ. ﻴرﻤز xإﻝﻰ ﻋدد ﺤﻘﻴﻘﻲ وﻴرﻤز nإلى ﻋدد طﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴر ﻤﻌدوم.ﻨﻀﻊ 19 ) Sn = cos x + cos(3x ) + cos(5x ) + ⋯ + cos((2n − 1)x ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل دﺴﺎﺘﻴر ﻤﺜﻠﺜﺎﺘﻴﺔ ﺘﻌرﻓﻬﺎ ،أﺜﺒت أن: 1 sin(2a ) = 2 sin a cos a و = sin a ⋅ cos b ) )( sin(a + b) + sin(a − b 2 ﺤول ﻜﻼً ﻤن اﻝﻌﺒﺎرﺘﻴن اﻵﺘﻴﺘﻴن ﻤن ﺠداء ﻨﺴﺒﺘﻴن ﻤﺜﻠﺜﻴﺘﻴن إﻝﻰ ﻤﺠﻤوع ﻨﺴﺒﺘﻴن ﻤﺜﻠﺜﻴﺘﻴن. sin nx ⋅ cos nx و ) sin x ⋅ cos((2n + 1)x ) sin(nx × ) ، Sn = cos(nxأﻴﺎً ﻴﻜن n ≥ 1و ) . x ≠ k π ( k ∈ Z أﺜﺒت أن sin x 26 اﻟﺘﻮاﺑﻊ :اﻟﳯﺎايت والاﺳـﳣﺮار ُ !ّ#$ ' &% *)( $ (* %+ ,$(- . 27 ﻳﺴﻜﻦ ﻋﺪانن ﺳﻔﺢ ﺟﺒﻞ ﻋﺎلٍ ،و ٔاراد ﻳﻮﻣ ًﺎ زايرة ﺑﻴﺖ ﻳﱰﺑّﻊ ﻋﲆ ﳃﺔ اﳉﺒﻞ.ﻫﻨﺎك ﺟﺪّﻩ اذلي ﻳﻘﲓ ﰲ ٍ ﻃﺮﻳﻖ واﺣﺪة ﻣﻦ ﺑﻴﺖ ﻋﺪانن إﱃ ﺑﻴﺖ ﺟﺪّ ﻩ واﻟﺮﺣةل ﺗﺴـﺘﻐﺮق ﳖﺎر ًا ﰷﻣ ًﻼ ﻣﻦ ﴍوق اﻟﺸﻤﺲ إﱃ ﻏﺮوﲠﺎ. ٔاﻋﺪّ ﻋﺪانن ﻋُﺪّ ﺗﻪ واﻧﻄﻠﻖ ﰲ رﺣﻠﺘﻪ ﰲ اﻟﺼﺒﺎح اﻟﺒﺎﻛﺮ ﻣﻊ ٔا ّول ٔاﺷﻌﺔ اﻟﺸﻤﺲ اﻟﺒﺎزﻏﺔ، وﰷن ﰲ رﺣةل ﺻﻌﻮدﻩ ﻳﺴﱰﱖ ﻣﻦ وﻗﺖ إﱃ آﺧﺮ وﻳﺴـﳣﺘﻊ ابﳌﻨﺎﻇﺮ اﳋﻼﺑﺔ ،وﰲ ﺑﻌﺾ ا ٔﻻﺣﻴﺎن ﻳﺮﺟﻊ ﻋﲆ ٔاﻋﻘﺎﺑﻪ ﻟﻴﻘﻄﻒ زﻫﺮة ٔاو ﲦﺮة ﻣﻦ ﴭﺮة. رﺣﻠﺔ اﻹﻳﺎب رﺣﻠﺔ اﻟﺬﻫﺎب وﺻﻞ ﻋﺪانن إﱃ ﺑﻴﺖ ﺟﺪﻩ ﻋﻨﺪ اﻟﻐﺮوب ﻛﲈ ﰷن ﻣﺘﻮﻗّﻌ ًﺎ ،ﻓﺎﻟﺘﻘﻰ ﺟﺪّ ﻩ وﺗﺴﺎﻣﺮا و ّهجﺰ ﻧﻔﺴﻪ ﻟﺮﺣةل اﻟﺒُﻌﺪ ﻋﻦ ﻣﻨﺰل ﻋﺪﻧﺎن اﻟﻌﻮدة ﰲ اﻟﻴﻮم اﻟﺘﺎﱄ.اﻧﻄﻠﻖ ﻋﺪانن ﻋﺎﺋﺪ ًا إﱃ ﻣﲋهل ﻣﻊ ﺑﺰوغ اﻟﺸﻤﺲ ،ﰷﻧﺖ رﺣةل اﻟﲋول ٔاﺳﻬﻞ ،ﻓﺮاح اﻟﻮﻗﺖ ﻳ ُﴪع ٔاﺣﻴﺎ ًان وﻳُﺒﻄﺊ ٔاﺣﻴﺎ ًان ٔاﺧﺮى ،وﻳﺘﻮﻗّﻒ ﻟﺘﻨﺎول ﺷﺮوق اﻟﺸﻤﺲ ﻏﺮوب اﻟﺸﻤﺲ اﻟﻄﻌﺎم.وﺻﻞ ﻋﺪانن إﱃ ﻣﲋهل ﻣﻊ ﻏﺮوب اﻟﺸﻤﺲ. َٔاﺗﻌﲅ ٔاﻧ ّﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﻮﻗﻊ ﻋﲆ اﻟﻄﺮﻳﻖ ٔاﺷﺎرت ﻋﻨﺪﻩ ﺳﺎﻋﺔ ﻋﺪانن إﱃ اﻟﻮﻗﺖ ﻧﻔﺴﻪ ﰲ رﺣةل اذلﻫﺎب وﰲ رﺣةل اﻟﻌﻮدة؟ ﻫﺬﻩ ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﻦ ﻣﱪﻫﻨﺔ اﻟﻘﳰﺔ اﻟﻮﺳﻄﻰ اﻟﱵ ﺳـﻨﺪرﺳﻬﺎ ﰲ ﻫﺬﻩ اﻟﻮﺣﺪة. 28 : اﻧﻄﻼﻗﺔ ﻧﺸﻄﺔ ﺣ ﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻻت ﻧﺸﺎط 1 اﻷﺸﻜﺎل اﻵﺘﻴﺔ ﻫﻲ اﻝﺨطوط اﻝﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻝﺘواﺒﻊ fﻤﻌرﻓﺔ ﻋﻠﻰ . ℝ y y y d k d k 3 k d O x O x Cf Cf Cf O x اﻝﺤل اﻝﻬﻨدﺴﻲ ﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ f (x ) = kﻫو اﻝﺒﺤث ﻋن وﺠود ﻨﻘﺎط ﻤﺸﺘرﻜﺔ ﺒﻴن اﻝﺨط اﻝﺒﻴﺎﻨﻲ C fﻝﻠﺘﺎﺒﻊ f واﻝﻤﺴﺘﻘﻴم dاﻝذي ﻤﻌﺎدﻝﺘﻪ . y = kﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﻜﺜﻴر ﺤدود ﻤن اﻝدرﺠﺔ اﻝﺜﺎﻨﻴﺔ ،ﻨﻌﻠم ّأﻨﻪ ﻴﻤﻜن ﺤل اﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ f (x ) = kﺤﻼً ﺠﺒرﻴﺎً.وﻝﻜن ﻗد ﻴﺴﺘﺤﻴل ﺤﻠﻬﺎ ﻓﻲ اﻝﺤﺎﻝﺔ اﻝﻌﺎﻤﺔ.ﻋﻨدﻫﺎ ﻨرﺴم اﻝﺨط اﻝﺒﻴﺎﻨﻲ C fﻝﻠﺘﺎﺒﻊ f وﻨرﺴم اﻝﻤﺴﺘﻘﻴم dاﻝذي ﻤﻌﺎدﻝﺘﻪ ، y = kﻓﺘﻜون ﻓواﺼل اﻝﻨﻘﺎط اﻝﻤﺸﺘرﻜﺔ ﺒﻴن C fو dﺤﻠوﻻً ﻝﻠﻤﻌﺎدﻝﺔ y f (x ) = kإن ﻜﺎن ﻝﻬﺎ ﺤﻠول. 5 ﻤﻌرف ﻋﻠﻰ ّ رﺴﻤﻨﺎ ﻓﻲ اﻝﺸﻜل اﻝﻤﺠﺎور اﻝﺨط اﻝﺒﻴﺎﻨﻲ ﻝﺘﺎﺒﻊ f اﻝﻤﺠﺎل ]. [0, 4أﻴﺎً ﻜﺎن اﻝﻌدد اﻝﺤﻘﻴﻘﻲ kاﻝﻤﺤﺼور ﺒﻴن اﻝﻌددﻴن 1 و ، 5ﻜﺎن ﻝﻠﻤﻌﺎدﻝﺔ f (x ) = kﺤﻠول. ﻷن اﻝﺨط اﻝﺒﻴﺎﻨﻲ ﻝﻠﺘﺎﺒﻊ f 1 ﻤﻜون ﻤن »ﻗطﻌﺔ واﺤدة«.ﻨﻘول ﻓﻲ ﻫﻜذا ﺤﺎﻝﺔ إن اﻝﺘﺎﺒﻊ ﻤﺴﺘﻤر ّ O 1 4 x ﻋﻠﻰ اﻝﻤﺠﺎل ]. [0, 4 y 5 أﻤﺎ ﻓﻲ اﻝﺸﻜل اﻝﻤﺠﺎور ﻓﻨﺠد أﻴﻀﺎً اﻝﺨط اﻝﺒﻴﺎﻨﻲ ﻝﺘﺎﺒﻊ fﻤﻌرف ّ ﻋﻠﻰ اﻝﻤﺠﺎل ]. [0, 4وﻝﻜن ﻝﻴس ﻝﻠﻤﻌﺎدﻝﺔ f (x ) = kﺤﻠول ﻋﻨدﻤﺎ أن اﻝﺨط اﻝﺒﻴﺎﻨﻲ ﻝﻴس ﻗطﻌﺔ واﺤدة.ﺘﻜون . 3 < k ≤ 4ﻻﺤظ ّ 1 ﻨﻘول ﻓﻲ ﻫﻜذا ﺤﺎﻝﺔ إن اﻝﺘﺎﺒﻊ fﻏﻴر ﻤﺴﺘﻤر ﻋﻠﻰ اﻝﻤﺠﺎل ]. [0, 4 O 1 4 x )ﻫو ﺒﺎﻝﺘ?
