Assertions et Prédicats en Logique

Study Notes

Une assertion ou proposition est une phrase à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité, soit "vrai" (V) ou "faux" (F), mais jamais les deux en même temps, selon la loi du tiers-exclu.
Exemples:
- "8 est un nombre pair" est une assertion vraie.
- "1/3 est un nombre décimal" est une assertion fausse.
- "Il pleuvra à Casablanca le 1er décembre 2030" n'est pas une assertion, car elle ne peut être ni vérifiée ni réfutée.
- "n est un nombre pair" n'est pas une assertion car elle contient la variable n. Elle devient une assertion lorsqu'on attribue une valeur à n.

Un prédicat est une proposition qui contient une ou plusieurs variables.
Exemple: "x est pair" est un prédicat.
Pour que le prédicat devienne une assertion, on doit donner une valeur à la variable x.
Un prédicat peut être utilisé pour définir des ensembles:
- L'ensemble des entiers pairs est défini par le prédicat "x est pair", où x est un entier.

Une tautologie est une proposition qui est toujours vraie, indépendamment des valeurs de vérité des propositions qui la composent.
Exemple: "p ∨ ¬p", où p est une proposition quelconque.
La tautologie est un outil important en logique, car elle permet de déduire de nouvelles vérités à partir de vérités déjà connues.

Les règles logiques sont des règles permettant de déduire de nouvelles propositions à partir de propositions déjà connues.
Certaines règles logiques courantes sont:
- Modus ponens: Si p ⇒ q est vraie, et si p est vraie, alors q est vraie.
- Modus tollens: Si p ⇒ q est vraie, et q est fausse, alors p est fausse.
- Syllogisme: Si p ⇒ q et q ⇒ r sont vraies, alors p ⇒ r est vraie.

Les quantificateurs sont des symboles utilisés en logique pour exprimer la quantité d'objets qui vérifient une certaine propriété.
Les deux principaux quantificateurs sont:
- Le quantificateur universel (∀): signifie "pour tout", "pour chaque".
- Le quantificateur existentiel (∃): signifie "il existe", "il y a".

Le raisonnement mathématique est le processus de déduction de nouvelles vérités à partir de vérités déjà connues.
Les principales méthodes de démonstration utilisées en mathématiques sont:
- Démonstration directe: elle consiste à déduire la conclusion à partir des prémisses en utilisant des règles logiques.
- Démonstration par contraposition: elle consiste à démontrer que la conclusion inverse est vraie.
- Démonstration par l'absurde: on suppose que la conclusion est fausse, et on montre que cela conduit à une contradiction.
- Démonstration par disjonction des cas: on divise le problème en plusieurs cas, et on démontre la conclusion pour chaque cas.
- Démonstration de P ∨ Q: on montre que si P est fausse, alors Q est vraie.
- Raisonnement par contre-exemple: on cherche un exemple qui contredit la proposition.
- Démonstration par récurrence: on montre que la proposition est vraie pour le cas de base, puis on montre que si elle est vraie pour un cas donné, alors elle est vraie pour le cas suivant.