Лекции 2,3. Числовые последовательности PDF

Лекции 2,3. Глава 3. Числовые последовательности 3.1. Основные понятия Числовую функцию y f n , n N , y R , заданную на множестве N натуральных чисел, называют числовой последовательностью. Число f n называют n-м элементом последовательности, а число n - его номером. Элементы числовой последов...

Лекции 2,3. Глава 3. Числовые последовательности 3.1. Основные понятия Числовую функцию y f n , n N , y R , заданную на множестве N натуральных чисел, называют числовой последовательностью. Число f n называют n-м элементом последовательности, а число n - его номером. Элементы числовой последовательности обозначают: y n , xn , а всю числовую последовательность - y1 , y 2 ,, y n ,  или y n. Если задана формула общего элемента числовой последовательности, то по его номеру можно вычислить любой элемент последовательности. Например, равенство 1 yn (2n 1)(2n 1) задает числовую последовательность 1 1 1 , , ,. 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) Числовую последовательность иногда задают при помощи рекуррентного соотношения. В этом случае n-й элемент последовательности определяется равенством через предыдущие элементы. Например, формула общего элемента арифметической прогрессии an an 1 d , n 2, 3,  задает числовую последовательность a1 , a 2 ,  a n , . Пусть дана числовая последовательность 1 1 1 1, , , , , . 2 3 n Очевидно, что элементы этой последовательности с неограниченным увеличением n приближаются к значению 0. Говорят, что числовая последовательность сходится к числу 0. Уточним значение слов «последовательность сходится». Число а называется пределом числовой последовательности xn , если для любого 0 найдется такой номер N N , что для всех n N выполняется неравенство: xn a. Этот факт записывается следующим образом: lim xn a. n Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; последовательность, не имеющая предел, называется расходящейся.  1 Докажем, что lim 0, используя определение предела числовой n n последовательности. Возьмем произвольное 0. Решая неравенство 1 0 , n 1 1 1 относительно n, получим или n. Так как число не всегда n 1 натуральное, то положим N , где x – целая часть х. Пусть теперь 1 1 n N и для всех элементов xn справедливо неравенство 0. n n Поясним определение предела числовой последовательности. Если n-й элемент последовательности удовлетворяет неравенству xn a , то это означает, что xn принадлежит промежутку a ; a ( -окрестности точки а). Если же неравенство xn a выполняется для всех n N , то это означает, что промежутку a ; a принадлежит бесконечное число членов последовательности. Вне этого промежутка находится конечное число членов этой последовательности. Чем меньше , тем больше номер N ( ) , но всегда в -окрестности точки а находится бесконечное число элементов последовательности, а вне еѐ может быть лишь конечное их число. Следовательно, определение предела числовой последовательности можно сформулировать и так: число а называется пределом числовой последовательности xn , если для любой -окрестности найдется такой номер N , что все элементы с номерами n N принадлежат - окрестности точки a. Числовая последовательность xn называется постоянной, если все элементы равны одному и тому же числу. Предел постоянной последовательности равен этому числу. Числовая последовательность xn называется ограниченной сверху, если существует такое число , что для всех n xn. Числовая последовательность xn называется ограниченной снизу, если существует такое число B, что для всех n x n. Последовательность, ограниченная снизу и сверху, называется просто ограниченной, если найдется такое положительное число A, что для всех натуральных n выполняется неравенство xn. 1 Например, последовательность ограничена сверху числом 1, а снизу – 0; n n n sin – неограниченная последовательность. 2  Числовая последовательность xn называется возрастающей (убывающей), если для всех элементов выполняется строгое неравенство xn 1 xn ( xn 1 xn ). Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными. xn Числовая последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если для всех элементов выполняется строгое неравенство xn 1 xn ( xn 1 xn ). Неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными. 3.2. Действия над числовыми последовательностями Суммой, разностью, произведением и частным двух числовых последовательностей xn и y n называются последовательности, элементы которых равны суммам, разностям, произведениям и частным соответствующих элементам исходных последовательностей xn y n , xn y n , xn y n , xn / y n , y n 0. 1 Пример 1. Пусть заданы две последовательности x n n2 и yn. n Тогда сумма, разность, произведение и частное этих последовательностей соответственно равны: 1 1 1 xn yn n2 2, 4 , 9 , , n 2 3 1 1 2 xn yn n2 0, 3 , 8 , , n 2 3 1 xn y n n2 n 1, 2, 3, , n 1 xn / y n n2 : n3 1, 8, 27,. n Основные теоремы. Теорема 1.Сходящаяся последовательность имеет единственный предел. Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена. Обратное утверждение неверно. Ограниченная последовательность может быть расходящейся. Например, ограниченная последовательность ( 1) n не имеет предела. Теорема 3. Монотонная ограниченная последовательность сходится. Теорема 4. Если lim x n a n и lim y n a , n то xn a b 0. lim x n yn a b , lim x n y n a b , lim , n n n yn b Теорема 5. Если lim n xn a и, начиная с некоторого номера xn b , то a b.  Теорема 6. Если xn и yn – сходящиеся последовательности и, начиная с некоторого номера, справедливо неравенство xn yn , тогда и их пределы удовлетворяют неравенству lim n x n lim y n. n Теорема 7. Если для трѐх последовательностей xn , yn , z n , начиная с xn y n z n некоторого номера справедливо неравенство , а последовательности xn и z n сходятся к одному числу a ( lim xn a и n lim z n a ), то и последовательность yn сходится к этому же числу n ( lim y n a ). n 3n 2 10n 6 Пример 2. Вычислить lim. n 4n 2 5n 7 Выражение, стоящее под знаком предела, преобразуем, поделив числитель и знаменатель на старшую степень n, т.е. на n 2 : 10 6 10 6 2 n 2 (3 ) 3 3n 10 n 6 n n2 n n2. 4n 2 5n 7 5 7 5 7 n 2 (4 ) 4 n n2 n n2 Затем, последовательно применяя свойства пределов последовательностей, получим 10 6 10 6 3 lim (3 ) 3n 2 10n 6 n n2 n n n2 lim lim n 4n 2 5n 7 n 5 7 5 7 4 lim (4 ) n n2 n n n2 10 6 1 1 lim 3 lim lim 2 lim 3 10 lim 6 lim 2 n n n n n n n n n n 3 0 0 3. 5 7 1 1 4 0 0 4 lim 4 lim lim 2 lim 4 5 lim 7 lim 2 n n n n n n n n n n 3.3. Число e Рассмотрим задачу о начислении процентов. Пусть первоначальный вклад в банк составляет A денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно p% годовых. Необходимо найти величину вклада St через t лет. Если применяется схема простых процентов, то вклад ежегодно p увеличивается на величину A и через t лет, будет равным 100 pt St A1. 100 При расчете по долгосрочным кредитам, охватывающим несколько полных лет, используют схему сложных процентов. Она состоит в том, что если за 1- p p й год сумма A возрастает в 1 раз и становится равной S1 A 1 , то 100 100 p p за второй год сумма S1 A 1 возрастает в 1 раз, значит, 100 100 2 3 p p S2 A1. Далее, нетрудно получить S 3 A1. Теперь можно 100 100 получить общую формулу для вычисления величины вклада за t лет при расчете по схеме сложных процентов: t p St A1. 100 В финансовых расчетах применяются схемы, когда начисление сложных процентов производится несколько раз в году. При этом устанавливается годовая ставка p и количество начислений за год n. Как правило, начисления производятся через равные промежутки времени, то есть длина каждого промежутка t составляет часть года (квартал, месяц, неделя, день). Тогда при годовой ставке p процент начисления за n -ю часть p года составит % и размер вклада за t лет составит n nt p St A1. 100 n В финансовом анализе часто встречается понятие «непрерывно начисляемый процент». Чтобы перейти к непрерывно начисляемому проценту, необходимо в последней формуле неограниченно увеличивать n и вычислить: nt nt p p St lim A 1 A lim 1. n 100 n n 100 n n 1 Из этого равенства можно выделить последовательность 1 , вычислим n еѐ предел. Докажем, что эта последовательность возрастающая и ограниченная. Применив формулу бинома Ньютона n nn 1 n2 n n 1 2 1 n a b an na n 1b a b  b , 1 2 1 2 n 1 n запишем формулу общего элемента последовательности  n 1 1 nn 1 1 n n 1 (n 2) 1 n n 1 2 1 1 xn 1 1 n  n n 1 2 n2 1 2 3 n3 1 2 n 1 n nn 1 1 1 1 2 1 1 2 n 1 2 1 1 1  1 1  1. 2! n 3! n n n! n n n Так как 1 1 1 1 2 1 1 2 n 1 xn 2 1 1 1  1 1 1 , 2! n 3! n n n! n n n то следующий элемент последовательности xn 1 1 1 1 1 2 1 1 2 n 2 1 1 1  1 1 1 2! n 1 3! n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1! Теперь, учитывая, что все слагаемые в формулах x n , x n 1 положительны и неравенства 1 1 1 1 ,1 1 , n 1 n n 1 n можно сделать вывод, что x n 1 x n , следовательно, последовательность n 1 1 – возрастающая. n Далее, очевидно, что x n 2 , значит, последовательность ограничена снизу. Для оценки последовательности сверху учтем, что n! 2 n 1 , n 1,2,.. То, что при n значения n! растут быстрее, чем 2 n 1 , покажем при помощи таблицы: n n! 2n 1 1 1 1 2 2 2 3 6 4 4 24 8 5 120 16    Следовательно, для x n справедливо неравенство n 1 1 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 xn 2  2  2 2 1 3. 2! 3! n! 2 22 2n 1 2 1 2 1 2 Значит, для всех членов последовательности доказаны неравенства 2 xn 3.  n 1 Последовательность 1 возрастает и ограниченна, а поэтому n сходится. Еѐ пределом является иррациональное число e 2,7182818284 5, служащее основанием натуральных логарифмов. Таким образом, n 1 lim 1 e. n n Полученную формулу можно применять для вычисления пределов вида lim a n b n , где a n 1, b n при n. n Пример 3. n 1 2n 3 Вычислить lim. n 2n 1 Решение. При вычислении данного предела применим формулу n 1 lim 1 e. n n Для этого выражение, находящееся под знаком предела преобразуем: n 1 n 1 n 1 2n 3 2n 1 2 2 lim lim lim 1. n 2n 1 n 2n 1 n 2n 1 Далее получим 2n 1 2 n 1 n 1 2 ( n 1) 2 2 2 2n 1 lim 2n 1 lim 1 lim 1 e n e. n 2n 1 n 2n 1 3.4. Задачи для самостоятельного решения В задачах 3.1-3.10 записать первые три или следующие три элемента последовательности. n 1 3.1. xn n2 n 1. 3.2. xn. n2 ( 1) n n ( 1) n n 3.3. xn. 3.4. xn. n 1 n2 1  n ( n 1) n2 n 2 2 ( 1) ( 1) n 3.5. xn. 3.6. xn 2n. 2n 2 1 1 1 1  1 2 3  n 2 4 2n. 3.7. xn. 3.8. xn 2n 1 1 1 1  n 3 9 3 xn 2 xn 1 4 3.9. xn , x1 2, x 2 4. 3.10. xn , x1 1. 2 1 xn 1 В задачах 3.11-3.20 записать формулу общего элемента последовательности. 1 1 1 1 1 1 3.11. 1, , , ,. 3.12. 1, , , ,. 2 4 8 3 9 27 1 1 1 1 1 1 3.13. 2,1 , 1 ,1 ,. 3.14. , , ,. 2 3 4 1 2 2 3 3 4 3.15. 9, 3, 81, 9, 729,. 3.16. 1, 8, 4, 32,16,128 . 2,3,, x1 3.17. xn xn 1 2, n 2,3,, x1 1. 3.18. xn 3x n 1 , n 3. 1 1 2 3.19. xn , x1. 3.20. xn , x1 1. 2 xn 1 2 xn 1 1 В задачах 3.21-3.30 определить, является ли последовательность ограниченной, монотонной, строго монотонной? n 1 n 1 3.21. x n. 3.22. x n. n 2 n ( 1) n ( 1) n 1 3.23. xn. 3.24. xn. n n2 1 3.25. x n n2 2n 2. 3.26. x n n2 4n 3. 3.27. x n ln(1 n 2 ). 3.28. x n 2 n. 2n 1 3.29. x n sin. 3.30. x n cos. 2 n2 В задачах 3.31-3.40 доказать равенство lim xn a по определению предела n последовательности. Указать, начиная с какого номера, все элементы последовательности находятся в - окрестности точки a. n 1 1 4n 3 3.31. lim , 0,1; 0,01. 3.32. lim 4, 0,1; 0,001. n 2n 1 2 n n 2 1 ( 1) n 3.33. lim 0, 0,01; 0,0001. 3.34. lim 0, 0,1; 0,01. n n2 n n2 1 n2 3n 2 4 3.35. lim 1, 0,1; 0,001. 3.36. lim 2 3, 0,1; 0,01. n n2 1 n n 2 1 1 3.37. lim 0, 0,1; 0,01. 3.38. lim 3 0, 0,1; 0,001. n n n n 2n 1 3n 1 1 3.39. lim 0, 0,1; 0,001. 3.40. lim 0, 0,1; 0,001. n 2n n 3 n В задачах 3.41-3.50 вычислить предел последовательности при помощи теорем суммы, разности, произведения и частного пределов последовательностей. 2n 2 n 1 3n3 n 4 3.41. lim 2. 3.42. lim 3. n n 3n 4 n n 3n 2 1 2n 1 3 27 n 3 6n 2 5 3.43. lim. 3.44. lim. n 4n 2 n 6 n n 4 n3 n2 n 1 n2 n 1 3.45. lim. 3.46. lim. n 4 n 4 n n 1 n n 1 3.47. lim n 1 n 2 n. 3.48. lim n n(n 2). n n 2 3n 4 3n 1 1 3.49. lim. 3.50. lim 0, 0,1; 0,001. n 3n 1 n 3 n В задачах 3.51-3.60 вычислить предел последовательности, предварительно преобразовав формулу общего элемента последовательности. 1 1 1 1 1 1 3.51. lim . 3.52. lim . n 1 2 2 3 n(n 1) n 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 1 2 3  n 1 3 5  (2n 1) 3.53. lim. 3.54. lim. n 4n 2 1 n n2 n 1  1 3 5  (2n 1) 2n 1 2 4 6  2n 3.55. lim. 3.56. lim (n 1). n n 1 2 n n 4 1 1 1 1 1 1 1 1 3.57. lim . 3.58. lim 1  ( 1) n 1 n 1. n 2 4 8 2n n 3 9 27 3 1 1 1 1  3.59. lim 2 4 2 8 2 2n 2. 3.60. lim 2 4 2n. n n 1 1 1 1  n 3 9 3 В задачах 3.61-3.70 вычислить предел последовательности. n n 2 7 3.61. lim 1. 3.62. lim 1. n n n n n n n 2 2n 7 3.63. lim. 3.64. lim. n n 1 n 2n 1 3.65. lim n n ln( n 4) ln n. 3.66. lim n n ln( n) ln( n 1). (n 2)! n! (n 1)! (n 2)! 3.67. lim. 3.68. lim. n (n 1)! n (n 3)! n sin n! 3 n 2 cos n! 3.69. lim. 3.70. lim. n n2 1 n n2 n 1 Решение задачи 3.1. Необходимо записать первые три элемента последовательности x n n2 n 1. Для этого последовательно подставим значения n 1,2,3 в формулу общего элемента и найдем x1 3, x 2 7, x3 13. Решение задачи 3.11. Необходимо записать общую формулу элемента последовательности 1 1 1 1, , , ,. 2 4 8 Знаменатель каждого элемента последовательности содержит степень числа 1 2, поэтому x n , n 1,2, . 2n 1 Решение задачи 3.21. n 1 Необходимо определить свойства последовательности x n. n 2 Исследуем сначала последовательность на монотонность. Для этого рассмотрим разность n 2 n 1 1 xn 1 xn. n 3 n 2 (n 3)(n 2) Полученная дробь положительна при любых натуральных n , значит, xn 1 xn 0, n 1, 2,. Следовательно, последовательность строго монотонная, возрастающая. Формулу элемента последовательности преобразуем следующим образом: n 1 n 2 1 1 xn 1. n 2 n 2 n 2 1 1 Так как дробь при всех натуральных n может принимать значения от n 2 3 2 до 0, то x n [ ;1), n 1, 2, , значит, последовательность ограничена. 3 Решение задачи 3.31. n 1 1 Необходимо доказать равенство lim по определению предела n 2n 1 2 последовательности.  Пусть 0 , найдем номер N ( ) такой, что для n N ( ) выполняется n 1 1 неравенство. Решая это неравенство, получаем: 2n 1 2 n 1 1 1 1 1 1 , , ,n 2. 2n 1 2 2(2n 1) 2(2n 1) 4 1 1 Отсюда N ( ) 2 и, следовательно, равенство доказано. 4 Если 0,1, то N ( ) 2 , значит, для n 2 все элементы последовательности принадлежат интервалу (0,4;0,6) , а при 0,01 N ( ) 24 и все элементы последовательности с номерами n 24 принадлежат интервалу (0,49;0,51). Решение задачи 3.41. 2n 2 n 1 Вычислить lim 2. n n 3n 4 Данный предел находим по аналогии с решением примера 2: 1 1 2 2n 2 n 1 n n2 lim 2 lim 2. n n 3n 4 n 3 4 1 n n2 Решение задачи 3.51. 1 1 1 Вычислить lim . n 1 2 2 3 n(n 1) При вычислении этого предела нельзя применять теорему о пределе суммы последовательностей, так как в этом случае количество слагаемых под знаком предела зависит от n , а данная теорема применима только для конечного числа слагаемых. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, разложив каждую дробь на простейшие дроби и приведя подобные: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   1. 1 2 2 3 n(n 1) 1 2 2 3 3 4 n 1 n n n 1 n 1 Теперь вычисление предела выполняется обычным образом: 1 1 1 1 lim  lim 1 0. n 1 2 2 3 n(n 1) n n 1 Решение задачи 3.61. n 2 Вычислить lim 1. n n n 2 1 Так как lim 1 1, lim n , то применим формулу lim 1 e: n n n n n n n 2 n 2 2 2 2 2 2 lim 1 lim 1 lim 1 e2. n n n n n n Ответы. 3 4 1 1 2 3 1 1 1 3.1. 3, 7,13. 3.2. 2, ,. 3.3. 0,1,. 3.4. , ,. 3.5. , ,. 4 9 2 2 5 10 2 4 8 1 1 3 1 1 6 9 63 81 7 13 3.6. , ,. 3.7. , ,. 3.8. , ,. 3.9. 2, 4, 3, ,. 3.10. 4 8 64 3 5 35 8 52 64 2 4 4 12 1 1 n 1 1 1, 2, ,. 3.11. n 1. 3.12. n 1. 3.13. ( 1) n. 3.14. ( 1) n 1. 3 7 2 3 n n(n 1) ( 1) n ( 1) n n 3.15. 3n. 3.16. 2 n. 3.17. 2n 1. 3.18. 3 n. 3.19.. 3.20. 1. n 1 2 3.21. Ограниченная, x n [ ;1) , строго монотонная, возрастающая. 3.22. 3 Ограниченная, xn (1;2] , строго монотонная, убывающая. 3.23. Ограниченная, 1 1 1 xn [ 1; ) , не монотонная. 3.24. Ограниченная, x n [ ; ] , не монотонная. 2 5 2 3.25. Ограниченная снизу, xn [5; ) , строго монотонная, возрастающая. 3.26. Ограниченная сверху, xn ( ; 8] , строго монотонная, убывающая. 3.27. Ограниченная снизу, xn [ln 2; ] , строго монотонная, возрастающая. 3.28. 1 Ограниченная, xn [ ;0) , строго монотонная, убывающая. 3.29. 2 Ограниченная, x n 1;1 , не монотонная. 3.30. Ограниченная, xn [ 1;1] , не монотонная. 3.31. 0,1 , n 2 ; 0,01 , n 24. 3.32. 0,1 , n 48 ; 0,01 , n 498. 3.33. 0,01 , n 10 ; 0,0001 ,. n 100 ; 3.34. 0,1 , n 3 ; 0,01 , n 9. 3.35. 0,1 , n 3 ; 0,001 , n 31. 3.36. 0,1 , n 4 ; 0,01 , n 14. 3.37. 0,1 , n 100 ; 0,001 , n 1000000. 3.38. 0,1 , n 1000 ; 0,001 , n 1000000000. 3.39. 0,1 , n 3 ; 0,001 , n 9. 3.40. 0,1 , n 3 ; 0,001 , n 7. 3.41. 2. 3.42. 3. 3.43. 1. 3.44. 3. 3.45.. 3.46. 0. 3.47. 1. 3.48. -1. 3. 49. 2. 1 1 3 4 3.50. 2. 3.51. 1. 3.52.. 3.53.. 3.54. 1. 3.55.. 3.56. -4. 3.57. 1. 3.58.. 2 8 2 3 4 3.59. 2. 3.60.. 3.61. e 2. 3.62. e 7. 3.63. e. 3.64. e 3. 3.65. 4. 3.66. -1. 3.67.. 3 3.68. 0. 3.69. 0. 3.70. 0.