Optimización Dinámica PDF

Introducción "intertemporal" puede entenderse combinando el prefijo "inter-" (que significa martes, 3 de setiembre de 2024 22:43 "entre" o "a lo largo") con "temporal", lo que implicaría "a lo largo del tiempo". SistemaÊDi...

Introducción "intertemporal" puede entenderse combinando el prefijo "inter-" (que significa martes, 3 de setiembre de 2024 22:43 "entre" o "a lo largo") con "temporal", lo que implicaría "a lo largo del tiempo". SistemaÊDinámico (Un sistemaÊdinámico es uno que evoluciona con el tiempo, donde su estado cambia continuamente en función de sus condiciones pasadas y presentes) Un sistema económico es dinámico cuando las relaciones que establece entre las variables endógenas son intertemporales. (Esto significa que los valores de solución de las variables endógenas de un periodo no son independientes de la solución del periodo anterior)La solución de este sistema es el equilibrio dinámico. Este equilibrio implica que, mantenitndose constante el valor de las variables exógenas, los valores de solución de las variables endógenas variaran con el paso del tiempo. En un sistema dinámico, entonces, los valores de equilibrio de las variables endógenas son una función del tiempo. Luego, para valores dados de las variables exógenas, las variables endógenas describirán una trayectoria determinada. Ejemplos: La economía de un determinado país es un sistema que evoluciona en el tiempo,.por lo que es un sistema dinámico, En un determinado momento, el estado de dicha economía se recoge en un cuadro macroeconómico, donde aparecen los valores que toman las siguientes variables,por ejemplo: consumo privado, consumo público, formación bruta de capital fijo, variación de existencias, demanda interna, exportaciones, importaciones, PIB, tasa de paro e inflación (son las variables de estado) Optimización Optimización Estatica:Es elegir, según un criterio específico, la mejor alternativa posible (un valor) de la variable de elección para obtener un valor máximo o mínimo de nuestra función objetivo en un momento específico. Optimización Dinámica: Es elegir, según un criterio específico, la mejor trayectoria o conjunto de puntos que maximice o minimice nuestro funcional a lo largo de un periodo de tiempo. Otra definición: Es lo mejor que puede hacer un agente económico a lo largo de su vida (un conjunto de puntos óptimos) ¿Por qué no hacer una optimización estatica en cada periodo o momento? No es recomendable porque las decisiones tomadas en un solo periodo no consideran cómo se conectan con el pasado y cómo afectarán el futuro (la relación intertemporal entre variables). La optimización estática ignora que los valores de las variables endógenas de un periodo dependen de decisiones anteriores y que las decisiones actuales influirán en el futuro. Ejemplo: Imagina que una empresa de producción de bienes decide optimizar su nivel de producción para un solo día, utilizando todos sus recursos (optimización estática). Esto podría maximizar sus beneficios en ese día específico. Sin embargo, al hacerlo, puede agotar sus recursos, lo que significa que en los días siguientes no tendrá suficientes materias primas o capacidad productiva para seguir operando al mismo nivel. Por otro lado, si la empresa realiza una optimización dinámica, considerará cómo distribuir el uso de sus recursos a lo largo del tiempo, asegurando que pueda mantener una producción estable y maximizar sus beneficios no solo hoy, sino también en el futuro. Caracterizacion de un problema de optimizacion dinamica: Tiempo discreto Aunque la optimización dinámica se suele plantear en términos de una secuencia temporal, también es posible concebir el horizonte de planificación como una secuencia de etapas de un proceso económico. En ese caso, l a optimización dinámica puede considerarse un problema de toma de decisiones en varias etapas. Sin embargo , la característica distintiva sigue siendo el hecho de que la solución óptima implicaría más de un valor único p ara la variable de elección Caracterizacion de un problema de optimizacion dinamica: tiempo continuo Ahora vemos que cada camino posible pasa por un número infinito de etapas en el intervalo [0, T]. Ejemplo Econmico En la mayoría de los problemas que se analizan a continuación, la variable de etapa representará el tiempo; p or lo tanto, las curvas de la figura 1.2 representarán las trayectorias temporales. Como ejemplo concreto, consi dere una empresa con un stock de capital inicial igual a A en el momento 0 y un stock de capital objetivo pr edeterminado igual a Z en el momento T. Muchos planes de inversión alternativos a lo largo del intervalo de t iempo [0, T] son capaces de lograr el capital objetivo en el momento T. Y cada plan de inversión implica una trayectoria de capital específica y conlleva una ganancia potencial específica para la empresa. En este caso, po demos interpretar las curvas de la figura 1.2 como posibles trayectorias de capital y sus valores de trayectoria como las ganancias correspondientes. El problema de la empresa es identificar el plan de inversión (y, por lo t anto, la trayectoria de capital) que produce la máxima ganancia potencial. La solución del problema, por supue sto, dependerá fundamentalmente de cómo se relaciona la ganancia potencial con la configuración de la traye ctoria de capital y de cómo ésta la determina. De la discusión anterior debería quedar claro que, independientemente de si las variables son discretas o conti nuas, un tipo simple de problema de optimización dinámica contendría los siguientes ingredientes básicos: 1 un punto inicial dado y un punto terminal dado; 2 un conjunto de caminos admisibles desde el punto inicial hasta el punto terminal; 3 un conjunto de valores de camino que sirven como índices de rendimiento (costo, beneficio, etc.) asociados a los diversos caminos; y 4 un objetivo específico, ya sea maximizar o minimizar el valor de la ruta o el índice de rendimiento eligiendo la ruta óptima. De la discusión anterior debería quedar claro que, independientemente de si las variables son discretas o conti nuas, un tipo simple de problema de optimización dinámica contendría los siguientes ingredientes básicos: 1 un punto inicial dado y un punto terminal dado; 2 un conjunto de caminos admisibles desde el punto inicial hasta el punto terminal; 3 un conjunto de valores de camino que sirven como índices de rendimiento (costo, beneficio, etc.) asociados a los diversos caminos; y 4 un objetivo específico, ya sea maximizar o minimizar el valor de la ruta o el índice de rendimiento eligiendo la ruta óptima. Conceptos Previos i. Forma funcional: Concepto (Una función de una función) Una función que le asigna un valor (R+) a una tratyectoria admisisble (que se puede trazar). Es lo que siempre se va optmizar, es decir, maximizar o minimizar. Notación matematica: Ejemplo en la economía elemental Competencia perfecta Q* = Q*(P0) Comeptencia Imperfecta Q* = Q*[IM] ii. Estado de la variable: El estado de la variable en un modelo de optimización dinámica es el valor de la variable económica en un momento específico del tiempo. Se puede representar, por ejemplo, como el estado inicial y(0) y el estado final y(T) El intervalo de tiempo se representa por y [0,T] Valores del punto final En nuestra declaración anterior del problema de optimización dinámica, simplificamos las cosas al suponer un p unto inicial dado (un par ordenado dado (0, A)} y un punto terminal dado [un par ordenado dado (T, Z)]. La s uposición de un punto incial dado puede no ser excesivamente restrictivo, porque, en el problema habitual, el plan de optimización debe empezar desde alguna posición inicial específica, por ejemplo, la posición actual. La posición terminal, por otra parte, puede muy bien resultar una cuestión flexible, sin necesidad inherente de que esté predeterminada. Por otra parte, también se nos puede asignar un estado terminal especificado rígidamente (por ejemplo, una tasa de inflación objetivo), pero somos libres de seleccionar el tiempo terminal (cuándo alcanzar el objetivo). En tal caso, el punto terminal se convierte en parte de la elección óptima. En esta sección discutiremos brevemente algunos tipos básicos de puntos terminales variables. Tipos de puntos terminales variables i. Estado final libre Como primer tipo de punto terminal variable, podemos tener un tiempo terminal fijo T, pero un estado terminal libre. El estado de la variable final se determina en el problema En línea con esta imagen visual, nos referiremos alternativamente al problema de tiempo fijo c omo el problema de la línea terminal vertical. Para dar un ejemplo económico de tal problema, supongamos que una empresa monopolística busca establecer  una trayectoria de precios óptima (suave) durante un período de planificación determinado, digamos 12 meses, con el fin de maximizar sus ganancias. El precio actual entra en el problema como estado inicial. Si no hay ninguna restricción legal de precio vigente, el precio terminal quedará en manos de la empresa. Sin embargo, como los precios negativos son inadmisibles, debemos eliminar de la consideración todos los P < 0. El resultado es una línea terminal vertical truncada, que es lo que de hecho muestra la figura 1.5a ii. Instante final libre El segundo tipo de problema de punto terminal variable invierte los papeles desempeñados por el tiempo term inal y el estado terminal; ahora el estado terminal Z está estipulado, pero el tiempo terminal es libre. El periodo final se determina en el problema En la figura 1.5b, la línea horizontal y = Z constituye el conjunto de puntos terminales admisible s Ejemplo: Considera el caso en que el Banco Central busca reducir la inflación a un nivel del 2%. Aquí, el objetivo final (2% de inflación) está definido, pero el tiempo que tomará alcanzar este objetivo es flexible. iii. Problema de la Curva terminal libre En este tipo de problema, ni el estado final Z ni el tiempo terminal T están fijados de manera independiente. En su lugar, están relacionados por una ecuación o restricción del tipo Z = ∅(T). Como se ilustra en la figura 1.5c, dicha ecuación se representa gráficamente como una curva terminal (o, en una dimensión superior, una superficie terminal) que asocia un tiempo terminal particular (por ejemplo, T1) con un estado terminal correspondiente (por ejemplo, Z1). Aunque el problema deja tanto a T como a Z flexibles, el planificador en realidad solo tiene un grado de libertad en la elección del punto terminal. Aun así, el campo de elección es obviamente más amplio que si el punto terminal está completamente prescrito. Para dar un ejemplo económico de una curva terminal, podemos citar el caso de un pedido personalizado de un producto, para el cual el cliente está interesado en tener (1) una fecha de entrega temprana y (2) una car acterística de calidad particular, digamos, baja fragilidad. Siendo consciente de que ambas cosas no se pueden lograr simultáneamente, el cliente acepta un compromiso entre las dos consideraciones. Tal compromiso puede aparecer como la curva Z = c/J(T) en la Figura 1.5c, donde y denota fragilidad. NOTA: TiempoÊterminalÊT: Es el punto en el tiempo en que finaliza el análisis o el proceso de optimización. Representa el final del intervalo de tiempo. HorizonteÊdeÊtiempo: Se refiere a la duración total del periodo desde el tiempo inicial (generalmente t=0) hasta el tiempo terminal T. El análisis anterior se refiere a problemas con un horizonte de planificación finito, donde el tiempo terminal T es un número finito. Más adelante también nos encontraremos con problemas en los que el horizonte de plani ficación es infinito (T + oo) Condiciones de Transversalidad La condición de transversalidad te permite identificar el valor final óptimo en un problema donde el punto terminal no está fijo. Al hacerlo, también te ayuda a determinar la trayectoria óptima que te lleva a ese valor final. La característica común de los problemas de punto terminal variable es que el planificador tiene un grado más de libertad que en el caso de punto terminal fijo. Pero este hecho implica automáticamente que, al derivar la solución óptima, se necesita una condición adicional para determinar con precisión la ruta exacta elegida Interpretación en el Contexto de Capital: Si la derivada de la función objetivo respecto al capital es positiva al final del periodo: Esto indica que el nivel de capital al final del periodo no es óptimo. Específicamente, sugiere que podrías haber aumentado la utilidad total acumulada si hubieras acumulado más capital anteriormente. En otras palabras, estás dejando de aprovechar una oportunidad de generar más utilidad porque el capital final no está en el nivel óptimo. Si la derivada es negativa: Indica que has acumulado demasiado capital. Podrías haber obtenido una mayor utilidad total si hubieras acumulado menos capital anteriormente. El capital en el final del periodo está más allá del nivel óptimo necesario, lo que implica que una menor acumulación previa de capital habría sido más beneficiosa. Ejemplo con Capital Supongamos que tu objetivo es maximizar la utilidad total a lo largo de varios periodos, y decides cómo asignar el capital en cada periodo. Al final del horizonte de planificación, las condiciones de transversalidad te dicen lo siguiente: Derivada Positiva: Tu capital final está en un nivel que sugiere que podrías haber maximizado más tu utilidad si hubieras acumulado más capital en el pasado. Esto refleja una gestión subóptima del capital a lo largo del tiempo. Derivada Negativa: Tu capital final está en un nivel que sugiere que acumulaste demasiado capital. Esto refleja que podrías haber maximizado más tu utilidad si hubieras utilizado menos capital en el pasado. Nota: Punto inicial variable Aunque hemos asumido que sólo el punto terminal puede variar, la discusión en esta sección puede adaptarse también a un punto inicial variable. Forma funcional como objetivo de optimizacion Es la suma de los valores de arco(porción de una curva), esto viene del hecho de que una trayectoria óptima es la que optimiza el funcional y cada longitud del arco se le asigna un valor y como la trayectoria es un recorrido o un conjunto de tramos es una suma de valores. En el marco del tiempo discreto , el valor de la ruta es la suma de los valores que pertenecen a la longitud de las rectas. En el marco del tiempo continuo, el valor de la ruta es la suma de los valores de sus arcos que pertenecen a la longitud infinitesimal de los arcos o en otras palabras asumimos que la variación del tiempo tiende a cero y cada recta se vuelve un punto, el cual un conjunto de puntos forma un arco. Este valor que le da el funcional a cada tramo pertenece a un periodo de tiempo o intervalo o variación, como es discreto asumiria el triangulo del tiempo. Es decir un consumo de un año no da 3 de utilidad, el consumo de otro años nos puede dar 5 y asi, pero cada consumo esta asociado a un intervalo de tiempo. La funcional seria una sumatoria, aquí no es que se multiplique cada valor por una variación, porque se entiende que es por cada periodo. En tiempo continuo como cada longitud del arco esta asociado al periodo de la variable, entonces se asume que el intervalo de tiempo es la diferencial del tiempo. Por eso cuando se se quiere obtener la suma de cada valor que pertenece a cada longitud de arco se utiliza una integral. Se podría entender como que cada valor del consumo se multiplica por su intervalo la variación del tiempo que cuando es infinitesimal por el cálculo esta suma es una integral. Además,cada arco se puede identicar por: La etapa (tiempo) inicial de la que parte el arco: t El valor inicial de la variable de estado (en dicha etapa) de la que parte el arco: y(t) La direccion en la que se dibuja el arco, ya que pueden existir varios arcos diferentes que partan del mismo punto y(t) = dy dt Si existe una funcion F que le asigne un valor a cada arco debe depender de estos elementos, es decir, F = F(t y(t) y(t)). De tal manera que dado un arco que empieza en el tiempo inicial t0, el valor del arco podra escribirse como F(t0 y(t0) y(t0)). Igualmente, para otro arco el valor inicial y la pendiente en el instante t0 (es decir, en el mismo instante que para el caso anterior) sera yI(t0) y yI(t0), respectivamente y el valor del arco sera F(t0 yI(t0) yI(t0)). Una vez definido el valor de cada arco podemos entender el valor asociado a la trayectoria, definido por la forma funcional- la suma de valores de los distintos arcos que forman la trayectoria-, que puede generalizarse escribiendolo como la integral definida: Vale la pena repetir que, como lo enfatiza el símbolo V[y], es la variación en la trayectoria la que altera la magnitud de "V". Cada trayectoria "y" diferente consta de un conjunto diferente de arcos en el intervalo de tiempo [0, T], que, a través de la Función F como asignadora de valores, toma un conjunto diferente de valores de arco. La integral definida suma esos valores de arco en cada trayectoria y en un valor de trayectoria. En forma discreta seria: Si hay dos variables de estado, y y z, en el problema, se deben tener en cuenta los valores de los arcos en amb as trayectorias y y z. La función objetivo debería aparecer entonces como: Ejemplos: 1. A Microeconomic Example Un ejemplo en la microeconomía es el caso de una empresa monopolística que maximiza sus beneficios y realiza una planificación a largo plazo con una función de demanda dinámica, como: Estableciendo Qd=Qs (para no permitir la acumulación o desacumulación de inventario), la producción de la empresa debe ser Qd= D(P,P') de modo que su función de ingresos totales es: 𝐼𝑇 = 𝑃𝑄 = 𝑅(𝑃, 𝑃′) Suponiendo que la función de costo total depende únicamente del nivel de producción, podemos escribir la función compuesta De ello se deduce que el beneficio total también depende de P y P': Sumando pi durante, digamos, un período de cinco años, se obtiene el resultado funcional objetivo: Aquí el funcional no depende de t. Sin embargo, lo podríamos agregar a traves del factor de descuento. A cada trayectoria de precios en el intervalo de tiempo [0, 5), debe corresponder una cifra particular de beneficio a cinco años, y el objetivo de la empresa es encontrar la trayectoria de precios óptima P*[O, 5] que maximice la cifra de beneficio a cinco años. 2. A Macroeconomis Example Supongamos que el bienestar social de una economía en cualquier momento se mide por la utilidad derivada del consumo, U = U(C). El consumo es, por definición, la parte de la producción que no se ahorra (ni se invierte). Si adoptamos la función de producción Q = Q(K, L) y suponemos que no hay depreciación, podemos escribir: donde K' = I denota inversión neta. Esto implica que la función de utilidad puede reescribirse como Si el objetivo social es maximizar la suma de utilidades durante un período [0, T], entonces su funcional objetivo toma la forma Esto ejemplifica la función en (1.2), donde las dos variables de estado y y z se refieren en el presente ejemplo a K y L, respectivamente. Tipos de funcionales 1. Problema de Lagrange: Es el tipo de funcional que estamos viendo hasta ahora, en el cual importa cada tramo en la trayectoria que esta asociado a un valor del funcional. 2. Problema de Mayer: Aquí el criterio de optimización de un problema puede no depender de ninguna posición intermedia por la que pase la trayectoria, sino que puede depender exclusivamente de la posición del punto terminal alcanzado. En ese caso, no surge ninguna integral definida, ya que no es necesario sumar los valores de los arcos en un intervalo. En cambio, la función objetivo aparece como: 3. Problema de Bolza: Es una mezcla del proble de Lagrange y de Mayer. Aunque el problema de Bolza puede parecer la formulación más general, la verdad es que los tres tipos de problemas (estándar, Mayer y Bolza) son todos convertibles entre sí. Por ejemplo, el funcional de Mayer puede transformarse en la forma (1.1) definiendo una nueva variable La función de (1.3), G[T, y(T)], puede reemplazarse por la integral de (1.7) en la nueva variable z(t). El integrando, z'(t) = dG[t, y(t)]jdt, se reconoce fácilmente como un caso especial de la función F[t, z(t), z'(t)], sin los argumentos t y z(t) ; es decir, la integral de (1.7) sigue teniendo la forma general de la función objetivo (1.1). De este modo, hemos transformado un problema de Mayer en un problema estándar. Una vez que hemos encontrado la trayectoria óptima de z , la trayectoria óptima de y puede deducirse mediante la relación de (1.6).