Note despre Intersecții și Reuniuni ale Intervalelor PDF
Document Details
Uploaded by DazzledIllumination2030
Tags
Summary
Aceste note oferă o introducere în intersecția și reuniunea intervalelor. Sunt incluse formule și exemple pentru calcularea intersecției și reuniunii a două intervale. De asemenea, se discută despre axiomele lui Euclid și piramidele tetraedrale, inclusiv volumul și aria totală ale unui tetraedru.
Full Transcript
1. Intersecția și reuniunea intervalelor Intersecția intervalelor: Intersecția dintre două intervale este setul tuturor elementelor comune ambelor intervale. Exemplu: Dacă 𝐴 = [ 1 , 5 ] A=[1,5] și 𝐵 = [ 3 , 7 ] B=[3,7], intersecția lor este 𝐴 ∩ 𝐵 = [ 3 , 5 ] A∩B=[3...
1. Intersecția și reuniunea intervalelor Intersecția intervalelor: Intersecția dintre două intervale este setul tuturor elementelor comune ambelor intervale. Exemplu: Dacă 𝐴 = [ 1 , 5 ] A=[1,5] și 𝐵 = [ 3 , 7 ] B=[3,7], intersecția lor este 𝐴 ∩ 𝐵 = [ 3 , 5 ] A∩B=[3,5]. Formula generală pentru intersecția a două intervale [ 𝑎 1 , 𝑏 1 ] [a 1 ,b 1 ] și [ 𝑎 2 , 𝑏 2 ] [a 2 ,b 2 ] este: 𝐴 ∩ 𝐵 = [ max ( 𝑎 1 , 𝑎 2 ) , min ( 𝑏 1 , 𝑏 2 ) ] A∩B=[max(a 1 ,a 2 ),min(b 1 ,b 2 )] Dacă max ( 𝑎 1 , 𝑎 2 ) > min ( 𝑏 1 , 𝑏 2 ) max(a 1 ,a 2 )>min(b 1 ,b 2 ), intersecția este mulțimea vidă ∅ ∅. Reuniunea intervalelor: Reuniunea este setul tuturor elementelor care apar în oricare dintre intervale. Exemplu: Dacă 𝐴 = [ 1 , 3 ] A=[1,3] și 𝐵 = [ 2 , 6 ] B=[2,6], reuniunea lor este 𝐴 ∪ 𝐵 = [ 1 , 6 ] A∪B=[1,6]. Dacă intervalele nu se suprapun, reuniunea devine o combinație de două intervale: Dacă 𝐴 = [ 1 , 2 ] A=[1,2] și 𝐵 = [ 3 , 5 ] B=[3,5], atunci 𝐴 ∪ 𝐵 = [ 1 , 2 ] ∪ [ 3 , 5 ] A∪B=[1,2]∪[3,5]. Formula pentru reuniunea intervalelor [ 𝑎 1 , 𝑏 1 ] [a 1 ,b 1 ] și [ 𝑎 2 , 𝑏 2 ] [a 2 ,b 2 ] este: 𝐴 ∪ 𝐵 = [ min ( 𝑎 1 , 𝑎 2 ) , max ( 𝑏 1 , 𝑏 2 ) ] A∪B=[min(a 1 ,a 2 ),max(b 1 ,b 2 )] dar doar dacă intervalele se suprapun sau se ating. 2. Axioma lui Euclid (Postulatul paralelelor) Această axiomă este esențială în geometria euclidiană. Ea afirmă că: Printr-un punct exterior unei drepte date, se poate trasa o singură dreaptă paralelă acelei drepte. Implicații: Această axiomă definește proprietățile unice ale geometriei plane. Fără această axiomă, geometria devine ne-euclidiană (de exemplu, în geometria sferică sau hiperbolică). 3. Piramida Tetraedrului Tetraedrul este o piramidă cu baza triunghiulară și patru fețe triunghiulare. Este un corp tridimensional cu următoarele proprietăți: Are 4 vârfuri. Are 6 muchii. Fiecare dintre cele 4 fețe este un triunghi echilateral (în cazul tetraedrului regulat). Volum: Formula volumului pentru un tetraedru regulat cu latura 𝑎 a este: 𝑉 = 𝑎 3 2 12 V= 12 a 3 2 Exemplu: Dacă latura tetraedrului este 𝑎 = 2 a=2, atunci volumul său este: 𝑉 = 2 3 2 12 = 8 2 12 = 2 2 3 V= 12 2 3 2 = 12 8 2 = 3 2 2 Aria totală: Aria totală a unui tetraedru se calculează adunând aria celor patru fețe. Dacă fiecare față este un triunghi echilateral, aria unei fețe este: 𝐴 = 𝑎 2 3 4 A= 4 a 2 3 Aria totală este: 𝐴 total = 4 ⋅ 𝑎 2 3 4 = 𝑎 2 3 A total =4⋅ 4 a 2 3 =a 2 3 4. Exerciții cu modul, determinarea planului și a dreptelor Modulul (valoarea absolută): Modulul unui număr real 𝑥 x este distanța sa față de 0 pe axa numerelor reale, indiferent de semn: ∣ 𝑥 ∣ = { 𝑥 , dac a ˘ 𝑥 ≥ 0 − 𝑥 , dac a ˘ 𝑥 < 0 ∣x∣={ x, −x, dac a ˘ x≥0 dac a ˘ x
