1.pdf

‫الريا ضيات‬ ‫ال صف الثاين ع شر‪ -‬الفرع العلمي‬ ‫الف صل الدرا سي األأول‬ ‫‪12‬‬ ‫فريـق الت أليـف‬ ‫(رئيسا)‬ ‫ً‬...

‫الريا ضيات‬ ‫ال صف الثاين ع شر‪ -‬الفرع العلمي‬ ‫الف صل الدرا سي األأول‬ ‫‪12‬‬ ‫فريـق الت أليـف‬ ‫(رئيسا)‬ ‫ً‬ ‫د‪.‬عمر محمد أبوغليون‬ ‫أ‪.‬د‪.‬محمد صبح صبابحه‬ ‫يوسف سليمان جرادات‬ ‫هـبـه ماهـر التميمـي‬ ‫النا شر‪ :‬املركز الوطني لتطوير املناهج‬ ‫يرس املركز الوطني لتطوير املناهج استقبال آرائكم وملحوظاتكم عىل هذا الكتاب عن طريق العناوين اآلتية‪:‬‬ ‫‪06-5376262 / 237‬‬ ‫‪06-5376266‬‬ ‫‪P.O.Box: 2088 Amman 11941‬‬ ‫‪@nccdjor‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪www.nccd.gov.jo‬‬ ‫ بنـا ًء عىل قـرار املجلس األعىل‬،‫قـررت وزارة الرتبيـة والتعليـم تدريـس هذا الكتـاب يف مدارس اململكـة األردنية اهلاشـمية مجيعها‬ َّ ،)2022/15( ‫ وقرار جملـس الرتبية والتعليم رقـم‬،‫ م‬2022/5/12 ‫ تاريـخ‬،)2022/3( ‫للمركـز الوطنـي لتطوير املناهج يف جلسـته رقـم‬.‫ م‬2023 / 2022 ‫ بـد ًءا من العام الـدرايس‬،‫ م‬2022/5/29 ‫تاريـخ‬ © HarperCollins Publishers Limited 2022. - Prepared Originally in English for the National Center for Curriculum Development. Amman - Jordan - Translated to Arabic, adapted, customised and published by the National Center for Curriculum Development. Amman - Jordan ISBN: 978 - 9923 - 41 - 411 - 8 ‫اململكة األردنية اهلاشمية‬ ‫رقم اإليداع لدى دائرة املكتبة الوطنية‬ )2023/2/787( 373.19 ‫ المركز الوطني لتطوير المناهج‬.‫األردن‬ ‫ المرك ــز الوطن ــي لتطوي ــر‬/‫ الص ــف الثان ــي عش ــر “الف ــرع العلم ــي” الفص ــل الدراس ــي األول‬:‫كت ــاب الطال ــب‬ 2023 ،‫ المرك ــز‬:‫عم ــان‬ ّ -.‫المناه ــج‬.‫) ص‬183( 2023/2/787 :.‫إ‬.‫ر‬ /‫التعليم اإلعدادي‬//‫أساليب التدريس‬//‫التمارين‬//‫الرياضيات‬/:‫الواصفات‬.‫المص َّنف عن رأي دائرة المكتبة الوطنية‬ ِّ ‫ وال ُي‬،‫المؤ ِّلف كامل المسؤولية القانونية عن محتوى ُمص َّنفه‬ ُ ‫عبر هذا‬ ُ ‫يتحمل‬ َّ All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, sorted in retrieval system, or transmitted in any form by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise , without the prior written permission of the publisher or a license permitting restricted copying in the United Kingdom issued by the Copyright Licensing Agency Ltd, Barnard's Inn, 86 Fetter Lane, London, EC4A 1EN. British Library Cataloguing -in- Publication Data A catalogue record for this publication is available from the Library. ‫ م‬2022 / ‫ هـ‬1443 )‫الطبعة األوىل (التجريبية‬ ‫ م‬2024 - ‫ م‬2023 ‫أعيدت طباعته‬  ‫المقدمة‬ ‫انطال ًقا من إيمان المملكة األردنية الهاشــمية الراسخ بأهمية تنمية قدرات اإلنسان األردني‪ ،‬وتسليحه بالعلم والمعرفة؛‬ ‫ســعى المركز الوطني لتطوير المناهج‪ ،‬بالتعاون مع وزارة التربية والتعليم‪ ،‬إلى تحديث المناهج الدراسية وتطويرها‪ ،‬لتكون‬ ‫ولما كان مبحث الرياضيات‬ ‫ُمعينًا للطلبة على االرتقاء بمستواهم المعرفي والمهاري‪ ،‬ومجاراة األقران في الدول المتقدمة‪ّ.‬‬ ‫وحل المشكالت‪ ،‬فقد َأ ْولى المركز مناهجه عناي ًة كبيرةً‪،‬‬ ‫ُنمي لدى الطلبة مهارات التفكير ِّ‬ ‫من أهم المباحث الدراســية التي ت ّ‬ ‫و َأعَدَّ ها وفق أفضل الطرائق الم َّتبعة عالميا على أيدي خبرات أردنية؛ لضمان انســجامها مع ِ‬ ‫الق َيم الوطنية الراسخة‪ ،‬وتلبيتها‬ ‫ًّ‬ ‫ُ َ‬ ‫َ‬ ‫لحاجات الطلبة‪.‬‬ ‫روعي في إعداد كتب الرياضيات للمرحلة الثانوية تضمينها أكثر الموضوعات الرياضية أهمي ًة واستخدا ًما في التطبيقات‬ ‫العلمية المختلفة؛ ُب ْغ َي َة إعداد الطلبة للدراســة الجامعية إعدا ًدا ج ِّيدً ا يتواءم مع مناهج الدول المتقدمة‪.‬وكذلك ُح ِرص على‬ ‫تدرجة تتيح للطلبة فرصة تع ُّلمها بعمق من دون عناء أو جهد كبيرين‪.‬‬ ‫تقديم هذه الموضوعات بطريقة بنائية ُم ِّ‬ ‫أيضا تقديــم الموضوعات بطريقة ُمن َّظمة‪ ،‬وجاذبــة‪ ،‬و ُمد َّعمة بتمثيالت بيانية‪ ،‬و ُم َّ‬ ‫زودة بإرشــادات تُعين الطلبة‬ ‫روعي ً‬ ‫على مواصلة تع ُّلمهم بسالســة من دون تع ُّثر؛ فهي تُذكِّرهم بالخبرات التعليمية التي اكتســبوها ساب ًقا‪ ،‬وتساعدهم على ربط‬ ‫الموضوعات الجديدة بعضها ببعض رب ًطا وثي ًقا‪ ،‬إضاف ًة إلى صلة كثير من أمثلتها ومسائلها بسياقات حياتية تُح ِّفز الطلبة على‬ ‫تع ُّلم الرياضيات بشغف‪ ،‬وتجعله ذا معنى‪.‬‬ ‫ناجع في ترســيخ المفاهيم الرياضية لديهم وتعزيز طالقتهم اإلجرائية؛‬ ‫ٌ‬ ‫نهج‬ ‫تدرب الطلبة على ِّ‬ ‫حل المســائل ٌ‬ ‫َّ‬ ‫وألن كثرة ُّ‬ ‫تضمن كتابا الطالب والتمارين عد ًدا كاف ًيا من التدريبات؛ بهدف توثيق عالقة الطلبة بالكتاب المدرســي‪ ،‬بوصفه مرج ًعا‬ ‫فقد َّ‬ ‫موثو ًقا ورصينًا يغنيهم عن البحث عن أ َّية مراجع أو مصادر إضافية‪ ،‬و ُيح ِّقق العدالة في التع ُّلم‪.‬‬ ‫ونحن إذ نُقدِّ م هذا الكتاب‪ ،‬نُؤ ِّمل ْ‬ ‫أن ينال إعجاب طلبتنا وأعضاء الهيئات التدريسية والتعليمية‪ ،‬ويجعل تعليم الرياضيات‬ ‫نستمر في تطويره في ضوء ما يصلنا من مالحظات سديدة‪.‬‬‫َّ‬ ‫وتع ُّلمها أكثر متع ًة وسهول ًة‪ ،‬ون َِعدُ ْ‬ ‫بأن‬ ‫المركز الوطني لتطوير المناهج‬ ‫‪3‬‬  ‫قائمة المحتويات‬ ‫الوحدة ‪ 1‬التفاضل ‪6‬‬ ‫الدرس ‪ 1‬مشتقة اقترانات خاصة ‪8‬‬ ‫الدرس ‪ 2‬مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا ‪26‬‬ ‫الدرس ‪ 3‬قاعدة السلسلة ‪39‬‬ ‫الدرس ‪ 4‬االشتقاق الضمني ‪56‬‬ ‫اختبار نهاية الوحدة ‪70‬‬ ‫‪4‬‬  ‫قائمة المحتويات‬ ‫الوحدة ‪ 2‬تطبيقات التفاضل ‪72‬‬ ‫الدرس ‪ُ 1‬‬ ‫المعدَّ الت المرتبطة ‪74‬‬ ‫الدرس ‪ِ 2‬‬ ‫الق َيم القصوى والتق ُّعر ‪90‬‬ ‫الدرس ‪ 3‬تطبيقات ِ‬ ‫الق َيم القصوى ‪116‬‬ ‫اختبار نهاية الوحدة ‪132‬‬ ‫ركبة ‪134‬‬ ‫الم َّ‬ ‫الوحدة ‪ 3‬األعداد ُ‬ ‫الدرس ‪ 1‬األعداد ُ‬ ‫المركَّبة ‪136‬‬ ‫الدرس ‪ 2‬العمليات على األعداد ُ‬ ‫المركَّبة ‪151‬‬ ‫الدرس ‪ 3‬المحل الهندسي في المستوى ُ‬ ‫المركَّب ‪164‬‬ ‫اختبار نهاية الوحدة ‪176‬‬ ‫ملحقات ‪178‬‬ ‫‪5‬‬  ‫التفاضل‬ ‫الوحدة‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Differentiation‬‬ ‫ما أهمية هذه‬ ‫الوحدة؟‬ ‫ُي َعدُّ التفاضل أحد أكثر فروع الرياضيات اســتخدا ًما في‬ ‫التطبيقات العلمية؛ إذ ي ِ‬ ‫مكن عن طريقه حســاب ُمعدَّ ل تغ ُّير‬ ‫ُ‬ ‫تحرك‬ ‫كمية ما بالنسبة إلى كمية ُأخرى‪ ،‬مثل سرعة الجسم ُ‬ ‫الم ِّ‬ ‫أيضا في‬ ‫ســتعمل التفاضل ً‬ ‫َ‬ ‫وتسارعه بالنسبة إلى الزمن‪.‬و ُي‬ ‫الحســابات الكيميائية إليجاد ُمعدَّ ل تغ ُّيــر كتلة المادة‬ ‫الم ِش َّعة بالنسبة إلى الزمن‪ ،‬وتحديد مقدار الكتلة‬ ‫ُ‬ ‫أي زمن‪.‬‬‫في ِّ‬ ‫‪6‬‬  ‫َّ‬ ‫سأتعلم في هذه الوحدة‪:‬‬ ‫ً‬ ‫َّ‬ ‫تعل ْم ُ‬ ‫سابقا‪:‬‬ ‫ت‬ ‫◂ إيجاد مشتقات اقترانات مختلفة‪.‬‬ ‫القوة‪.‬‬ ‫✔ إيجاد مشتقة اقترانات َّ‬ ‫◂  إيجاد مشــتقة ضرب اقترانين‪ ،‬ومشتقة قسمة‬ ‫✔  استعمال قاعدة السلسلة إليجاد مشتقة‬ ‫اقترانين‪.‬‬ ‫تركيب اقترانين‪.‬‬ ‫◂  إيجاد مشــتقات اقترانات باســتعمال قاعدة‬ ‫السلسلة‪.‬‬ ‫َّ‬ ‫ حــل مســائل وتطبيقــات حياتية على‬ ‫✔‬ ‫المشتقات‪.‬‬ ‫◂ إيجاد المشتقات للعالقات الضمنية‪.‬‬ ‫أســتعمل تدريبات (أســتعد لدراســة الوحدة) في الصفحــات (‪ )6-8‬من كتاب‬ ‫التمارين؛ لمراجعة هذه الموضوعات قبل ال َبدْ ء بدراسة الوحدة‪.‬‬ ‫‪7‬‬  ‫الدرس‬ ‫مشتقة اقترانات خاصة‬ ‫‪Differentiation of Special Functions‬‬ ‫‪1‬‬ ‫تعرف مفهوم قابلية االشتقاق‪.‬‬ ‫ُّ‬ ‫  ·‬ ‫فكرة الدرس‬ ‫ ‬ ‫· إيجاد مشتقات االقترانات اآلتية‪ :‬األُ ِّسي الطبيعي‪ ،‬اللوغاريتمي الطبيعي‪ ،‬الجيب‪ ،‬جيب التمام‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ قابل لالشتقاق‪ ،‬الموقع‪ ،‬السرعة المتجهة‪ ،‬التسارع‪ ،‬السرعة القياسية‪.‬‬ ‫المصطلحات‬ ‫ ‬ ‫ يهتز جسم ُمث َّبت في زنبرك أفق ًّيا على سطح أملس كما‬ ‫ُّ‬ ‫مسألة اليوم‬ ‫ ‬ ‫ﻣﻮﻗﻊ اﻻﺗﺰان‬ ‫في الشكل المجاور‪.‬و ُيم ِّثل االقتران‪x(t) = 8 sin t :‬‬ ‫موقع الجسم‪ ،‬حيث ‪ t‬الزمن بالثواني‪ ،‬و‪ x‬الموقع‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫بالسنتيمترات‪:‬‬ ‫= ‪.t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪  (1‬أجد موقع الجسم‪ ،‬وسرعته‪ ،‬وتسارعه عندما ‪π‬‬ ‫ ‬ ‫= ‪t‬؟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫يتحرك الجسم عندما ‪π‬‬ ‫أي اتجاه َّ‬ ‫‪ (2‬في ِّ‬ ‫ ‬ ‫االتصال واالشتقاق‬ ‫‪y‬‬ ‫تع َّل ْم ُت ســاب ًقا َّ‬ ‫أن مشــتقة االقتران )‪ f(x‬عند‬ ‫‪P‬‬ ‫‪L‬‬ ‫نقطة واقعة على منحناه هي ميل المنحنى عند‬ ‫هذه النقطة (ميل المماس عند نقطة التماس)‪،‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫وأنَّه ُير َمز إليها بالرمز )‪.f '(x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫أي اقتران عند‬ ‫ِ‬ ‫ولك ْن‪ ،‬هل ُيمكن إيجاد مشتقة ِّ‬ ‫أي نقطة تقع على منحناه؟‬ ‫ِّ‬ ‫يكــون االقتــران )‪ً f(x‬‬ ‫قاباًل لالشــتقاق (‪ )differentiable‬عندمــا ‪ x = a‬إذا كانت )‪f ' (a‬‬ ‫َّ‬ ‫أتذكر‬ ‫موجــودة‪.‬وفي هذه الحالة‪ ،‬يكــون لمنحنى االقتران )‪ f(x‬مماس غير رأســي عندما ‪،x = a‬‬ ‫ميل المستقيم الرأسي غير‬ ‫تنص عليه النظرية اآلتية‪:‬‬ ‫ً‬ ‫متصاًل‪ ،‬وهذا ما ُّ‬ ‫أيضا‬ ‫ويكون ً‬ ‫عرف‪.‬‬ ‫ُم َّ‬ ‫‪8‬‬  ‫الوحدة ‪1‬‬ ‫اتصال االقتران القابل لالشتقاق عند نقطة ما‬ ‫نظرية‬ ‫ً‬ ‫متصاًل عندما ‪.x = a‬‬ ‫إذا كان االقتران )‪ً f(x‬‬ ‫قاباًل لالشتقاق عندما ‪ ،x = a‬فإنَّه يكون‬ ‫أسـتنتج مـن النظريـة السـابقة أنَّـه إذا كان االقتـران )‪ f(x‬غيـر متصـل عندمـا ‪ ،x = a‬فإنَّـه ال‬ ‫ـم‪َّ ،‬‬ ‫فإن المشـتقة ال تكـون موجودة عنـد نقاط‬ ‫قابلا لالشـتقاق عندمـا ‪.x = a‬ومـن َث َّ‬ ‫يكـون ً‬ ‫عـدم االتصال‪.‬‬ ‫ً‬ ‫متصاًل عند نقطة ما‪ ،‬لكنَّه غير قابل لالشــتقاق عندها‪ ،‬وذلك عندما‬ ‫ي ِ‬ ‫مكــن ْ‬ ‫أن يكون االقتران‬ ‫ُ‬ ‫ُوضح التمثيالت‬ ‫يكــون لمنحناه رأس حاد‪ ،‬أو زاوية‪ ،‬أو مماس رأســي عند هذه النقطــة‪ ،‬وت ِّ‬ ‫البيانية اآلتية ثالث حاالت مختلفة لعدم وجود المشتقة‪:‬‬ ‫َّ‬ ‫أتعلم‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ينتج الرأس الحاد عندما‬ ‫يحدث تغ ُّيــر مفاجئ في‬ ‫اتجاه منحنــى االقتران؛‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫مــا يعنــي َّ‬ ‫أن ميل مماس‬ ‫عدم اتصال عندما‬ ‫مماس رأسي عندما‬ ‫رأس حاد‪ ،‬أو زاوية عندما‬ ‫المنحنى عند هذه النقطة‬ ‫‪x=a‬‬ ‫‪x=a‬‬ ‫‪x=a‬‬ ‫عرف‪.‬‬ ‫غير ُم َّ‬ ‫ي ِ‬ ‫مكن تلخيص العالقة بين االتصال واالشتقاق على النحو اآلتي‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫العالقة بين االتصال وقابلية االشتقاق‬ ‫ُم َّ‬ ‫لخص المفهوم‬ ‫ً‬ ‫متصاًل عندما ‪x = a‬؛‬ ‫·إذا كان االقتران )‪ً f(x‬‬ ‫قاباًل لالشتقاق عندما ‪ ،x = a‬فإنَّه يكون‬ ‫لذا‪َّ ،‬‬ ‫فإن قابلية االشتقاق تضمن االتصال‪.‬‬ ‫َّ‬ ‫أتعلم‬ ‫ً‬ ‫االتصال شرط ضروري‪،‬‬ ‫متصاًل عندما ‪ ،x = a‬وغير قابل لالشــتقاق عندما ‪x = a‬؛‬ ‫·قد يكون االقتران )‪f(x‬‬ ‫لكنَّه غيــر ٍ‬ ‫كاف‪ ،‬لوجود‬ ‫لذا‪َّ ،‬‬ ‫فإن االتصال ال يضمن قابلية االشتقاق‪.‬‬ ‫المشتقة‪.‬‬ ‫‪9‬‬  ‫مثال ‪1‬‬ ‫إرشاد‬ ‫ِ‬ ‫ُيب ِّين الشــكل اآلتي منحنى االقتران )‪ُ.t(x‬أحدِّ د ق َيم ‪ x‬للنقاط التي يكون عندها االقتران )‪t(x‬‬ ‫ســيقتصر البحــث فــي‬ ‫غير قابل لالشتقاق‪ُ ،‬م ِّبر ًرا إجابتي‪.‬‬ ‫هذا الدرس علــى قابلية‬ ‫‪y‬‬ ‫اشــتقاق االقترانات عند‬ ‫)‪y = t(x‬‬ ‫ِق َيم ‪ x‬الداخلية من خالل‬ ‫التمثيل البياني‪.‬‬ ‫َّ‬ ‫أتعلم‬ ‫‪x‬‬ ‫ُأالحظ َّ‬ ‫أن االقتران )‪t(x‬‬ ‫ِ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬ ‫متصل وقابل لالشــتقاق‬ ‫االقتــران )‪ t(x‬غيــر قابــل لالشــتقاق عندمــا ‪ ،x = b‬و‪ ،x = c‬و‪x = f‬؛ ألنَّــه غيــر متصــل‬ ‫عندمــا ‪ ،x = a‬و‪،x = g‬‬ ‫عنــد هــذه النقــاط‪ ،‬وهــو غيــر قابــل لالشــتقاق عندمــا ‪ ،x = i‬و‪x = d‬؛ نظـ ًـرا إلــى وجــود‬ ‫و‪ ،x = h‬و ‪x = e‬؛ َّ‬ ‫ألن‬ ‫نظــرا إلــى‬ ‫رأس حــاد عنــد هاتيــن النقطتيــن‪ ،‬وهــو غيــر قابــل لالشــتقاق عندمــا ‪x = j‬؛ ً‬ ‫منحنــاه متصــل وأملس‬ ‫وجــود ممــاس رأســي عنــد هــذه النقطــة‪.‬‬ ‫عند هذه النقاط‪.‬‬ ‫َّ‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫َّ‬ ‫أتعلم‬ ‫ُيب ِّيــن الشــكل اآلتــي منحنــى االقتــران )‪ُ.f(x‬أحــدِّ د ِق َيــم ‪ x‬للنقــاط التــي يكــون عندهــا‬ ‫يكون االقتران )‪ً f(x‬‬ ‫قاباًل‬ ‫بــر ًرا إجابتــي‪.‬‬ ‫االقتــران )‪ f(x‬غيــر قابــل لالشــتقاق‪ُ ،‬م ِّ‬ ‫لالشــتقاق علــى الفترة‬ ‫المفتوحة )‪ (a, b‬إذا كان‬ ‫‪y‬‬ ‫ً‬ ‫قاباًل لالشتقاق عند جميع‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫ِق َيم ‪ x‬التي تحويها الفترة‪،‬‬ ‫أ ّمــا إذا كان ‪ f‬غيــر قابل‬ ‫لالشــتقاق عنــد واحدة‬ ‫أو أكثــر من هــذه ِ‬ ‫الق َيم‪،‬‬ ‫فال ي ِ‬ ‫مكن القول إنَّه قابل‬ ‫ُ‬ ‫‪x 0 x1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x3 x 4‬‬ ‫‪x5‬‬ ‫‪x6‬‬ ‫‪x7‬‬ ‫‪x8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫لالشتقاق على )‪.(a, b‬‬ ‫‪10‬‬  ‫الوحدة ‪1‬‬ ‫مشتقة االقتران األُ ِّ‬ ‫سي الطبيعي‬ ‫تع َّل ْم ُت ســاب ًقا إيجاد مشتقة االقتران الثابت ومشــتقة اقتران َّ‬ ‫القوة باستعمال قواعد خاصة من‬ ‫دون حاجة إلى استعمال التعريف العام للمشتقة‪.‬‬ ‫ســأتع َّلم في هذا الدرس إيجاد مشتقة االقتران األُ ِّسي الطبيعي‪ ،‬ومشتقة االقتران اللوغاريتمي‬ ‫الطبيعي‪ ،‬ومشــتقة اقتران الجيب‪ ،‬ومشــتقة اقتران جيب التمام؛ وهي اقترانات يقبل ٌّ‬ ‫كل منها‬ ‫َّ‬ ‫أتذكر‬ ‫االشتقاق على مجاله‪.‬‬ ‫ســمى العدد ‪ e‬األساس‬ ‫ُي ّ‬ ‫كل منهما قريبة من األُخرى‪ ،‬وأنَّهما تقعان‬ ‫أن )‪ (x, y‬و )‪ (x + ∆x, y + ∆y‬نقطتان‪ٌّ ،‬‬ ‫أفترض َّ‬ ‫الطبيعــي‪ ،‬أو العــدد‬ ‫على منحنى االقتران‪.f(x) = e :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫النيبيري؛ وهــو عدد غير‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f(x) = e‬‬ ‫)‪(x + ∆x, y + ∆y‬‬ ‫إذن‪ ،‬الفرق بين اإلحداثي ‪ y‬للنقطتين هو‪:‬‬ ‫سمى االقتران‪:‬‬ ‫نسبي‪ ،‬و ُي ّ‬ ‫‪∆y = e‬‬ ‫‪x + ∆x‬‬ ‫‪-e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ f(x) = ex‬االقتــران‬ ‫‪∆y‬‬ ‫األُ ِّسي الطبيعي‪.‬‬ ‫)‪(x, y‬‬ ‫المار بالنقطتين‬ ‫ومنه‪َّ ،‬‬ ‫فإن ميل القاطــع ِّ‬ ‫‪∆x‬‬ ‫)‪ (x, y‬و )‪ (x + ∆x, y + ∆y‬هو‪:‬‬ ‫‪x + ∆x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪Δy‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪-e‬‬ ‫)‪e (e -1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪Δx‬‬ ‫‪Δx‬‬ ‫‪Δx‬‬ ‫َّ‬ ‫إذن‪ ،‬ميل المماس عند النقطة )‪ (x, y‬هو‪:‬‬ ‫أتذكر‬ ‫‪Δy‬‬ ‫)‪e (e -1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪e -1‬‬ ‫‪∆x‬‬ ‫ميل المماس عند نقطة ما‬ ‫‪m = f '(x) = lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪= e lim‬‬ ‫‪Δx→0 Δx‬‬ ‫‪Δx→0‬‬ ‫‪Δx‬‬ ‫‪Δx→0‬‬ ‫‪Δx‬‬ ‫يساوي مشــتقة االقتران‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫عند هذه النقطة‪.‬‬ ‫‪ lim‬؟‬ ‫ولك ْن‪ ،‬ما قيمة‪:‬‬ ‫‪Δx→0‬‬ ‫‪Δx‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫مكن االستعانة بجدول ِ‬ ‫الق َيم اآلتي إليجاد قيمة‪:‬‬ ‫ي ِ‬ ‫‪Δx→0‬‬ ‫‪Δx‬‬ ‫ُ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Δx‬‬ ‫‪-0.1‬‬ ‫‪-0.01‬‬ ‫‪-0.001‬‬ ‫‪0.001‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0.9516‬‬ ‫‪0.9950‬‬ ‫‪0.9995‬‬ ‫‪1.0005‬‬ ‫‪1.0050‬‬ ‫‪1.0517‬‬ ‫‪Δx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫أن ‪= 1‬‬ ‫ُأ ِ‬ ‫الحظ من الجدول السابق َّ‬ ‫‪Δx→0‬‬ ‫‪Δx‬‬ ‫إذن‪ ،‬ميل المماس عند النقطة )‪ (x, y‬هو‪:‬‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪m = f ' (x) = e lim‬‬ ‫‪=e‬‬ ‫‪Δx→0‬‬ ‫‪Δx‬‬ ‫أي نقطة تقع علــى منحنى االقتران األُ ِّســي الطبيعي هو‬ ‫وهــذا يعنــي َّ‬ ‫أن ميل المماس عنــد ِّ‬ ‫اإلحداثي ‪ y‬لهذه النقطة‪.‬‬ ‫‪11‬‬  ‫مشتقة االقتران األُ ِّ‬ ‫سي الطبيعي‬ ‫نظرية‬ ‫تنبيه‬ ‫إذا كان‪ ،f(x) = e :‬حيث ‪ e‬العدد النيبيري‪َّ ،‬‬ ‫فإن‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ال ُت َعــدُّ اإلجــراءات التي‬ ‫‪x‬‬ ‫ســبقت النظريــة برهانًــا‬ ‫‪f ' (x) = e‬‬ ‫ُمهد للنظرية‪،‬‬ ‫عليها‪ ،‬وإنَّما ت ِّ‬ ‫مثال ‪2‬‬ ‫تصو ًرا لها‪.‬‬ ‫وتُقدِّ م ُّ‬ ‫مما يأتي‪:‬‬ ‫أجد مشتقة كل اقتران ّ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f(x) = 3e‬‬ ‫َّ‬ ‫أتذكر‬ ‫‪f(x) = 3e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫االقتران المعطى‬ ‫)‪· (af(x))' = af '(x‬‬ ‫‪f '(x) = 3e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫قاعدتا مشتقة مضاعفات االقتران‪ ،‬ومشتقة االقتران األُ ِّسي الطبيعي‬ ‫‪· (xn )' = nxn-1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= )‪· (f±g)' (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f(x) = x + e‬‬ ‫)‪f '(x)± g' (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f(x) = x + e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫االقتران المعطى‬ ‫‪f ' (x) = 2x + e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫القوة‪ ،‬والمجموع‪ ،‬واالقتران األُ ِّسي الطبيعي‬ ‫قواعد مشتقات اقتران َّ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪∛x - 2xe‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫َّ‬ ‫أتذكر‬ ‫‪∛x - 2xe‬‬ ‫‪∛x‬‬ ‫‪2xe‬‬ ‫بتوزيع المقام على البسط‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪= x - x‬‬ ‫‪· a-n = 1n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫بكتابة االقتران في صورة ُأ ِّسية‬ ‫‪1/3‬‬ ‫‪2xe‬‬ ‫‪=x‬‬ ‫‪- x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪· a m/n = √am‬‬ ‫‪=x‬‬ ‫‪-2/3‬‬ ‫‪- 2e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪2 -5/3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫القوة‪ ،‬واالقتران األُ ِّسي‬ ‫قواعد مشتقات اقتران َّ‬ ‫‪=- 3 x‬‬ ‫‪- 2e‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫الطبيعي‪ ،‬ومضاعفات االقتران‬ ‫‪=-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪- 2e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫تعريف األُ ِّس السالب‪ ،‬والصورة الجذرية‬ ‫‪3 ∛x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫َّ‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫مما يأتي‪:‬‬ ‫أجد مشتقة كل اقتران ّ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a) f(x) = 5e + 3   b) f(x) = √x - 4e‬‬ ‫‪c) y = 8e +‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪√x‬‬ ‫‪12‬‬  ‫الوحدة ‪1‬‬ ‫مشتقة االقتران اللوغاريتمي الطبيعي‬ ‫َّ‬ ‫أتذكر‬ ‫ُيب ِّين الشكل اآلتي منحنيي االقترانين‪ ،f(x) = ex :‬و‪.g(x) = ln x‬‬ ‫االقتــران اللوغاريتمــي‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f(x) = e‬‬ ‫الطبيعــي‪y = ln x :‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪y=x‬‬ ‫هــو االقتران العكســي‬ ‫لالقتران األُ ِّسي الطبيعي‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.y = ex‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2 D‬‬ ‫‪g(x) = ln x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪-1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5x‬‬ ‫َّ‬ ‫أتذكر‬ ‫أن ميل المماس عنــد النقطة ‪ ،A‬الواقعة علــى منحنى االقتران‪:‬‬ ‫ُأ ِ‬ ‫الحــظ من التمثيــل البياني َّ‬ ‫االنعــكاس تحويــل‬ ‫هندســي ينقل الشــكل‬ ‫‪. CB‬إذن‪:‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪ ،g(x) = ln x‬هو‪:‬‬ ‫من إحــدى جهتي محور‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪CB‬‬ ‫=‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫االنعــكاس إلــى الجهة‬ ‫أن المثلث ‪ DEF‬هو انعكاس للـمثلث ‪ ABC‬حول المستقيم‪ ،y = x :‬فإنَّهما متطابقان؛ لذا َّ‬ ‫فإن‪:‬‬ ‫بما َّ‬ ‫األُخرى على ال ُب ْعد نفسه‬ ‫‪CB‬‬ ‫=‬ ‫‪FE‬‬ ‫من محور االنعكاس‪ ،‬من‬ ‫‪AB DE‬‬ ‫دون تغيير أبعاد الشــكل‬ ‫فإن‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫وبما َّ‬ ‫أن ‪ DE‬هو ميل المماس لمنحنى االقتران‪ f(x) = e :‬عند النقطة ‪َّ ،D‬‬ ‫أو تدويــره‪.‬وبوجه عام‪،‬‬ ‫‪FE‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫=‬ ‫‪CB‬‬ ‫=‬ ‫‪FE‬‬ ‫‪= DE‬‬ ‫‪1‬‬ ‫َّ‬ ‫فإن االقتران ‪ f‬واالقتران‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪AB DE‬‬ ‫‪FE‬‬ ‫العكســي لــه متماثالن‬ ‫أي نقطة تقع على منحنى االقتران األُ ِّســي الطبيعي هو اإلحداثي‬ ‫وبما َّ‬ ‫أن ميل المماس عنــد ِّ‬ ‫حول المحور ‪.y = x‬‬ ‫‪ y‬لهــذه النقطة‪ ،‬فهذا يعني َّ‬ ‫أن ميل المماس عند النقطة ‪ D‬هو اإلحداثي ‪ y‬للنقطة ‪.D‬وبســبب‬ ‫فإن اإلحداثي ‪ y‬للنقطة ‪ D‬هو اإلحداثي ‪ x‬للنقطة ‪.A‬وبذلك‪َّ ،‬‬ ‫فإن‪:‬‬ ‫االنعكاس؛ َّ‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪CB‬‬ ‫‪FE‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= DE = x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪AB DE‬‬ ‫‪FE‬‬ ‫مشتقة االقتران اللوغاريتمي الطبيعي‬ ‫نظرية‬ ‫َّ‬ ‫أتذكر‬ ‫إذا كان‪ ،f(x) = ln x :‬حيث‪َّ ،x > 0 :‬‬ ‫فإن‪:‬‬ ‫مجال االقتــران ‪ ln x‬هو‬ ‫‪f '(x) = x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)∞ ‪.(0,‬‬ ‫ي ِ‬ ‫مكن إثبات هذه النظرية الح ًقا باستعمال االشتقاق الضمني الوارد في الدرس الرابع من هذه الوحدة‪.‬‬ ‫ُ‬ ‫‪13‬‬  ‫تع َّلم ُت ساب ًقا قوانين الضرب والقسمة والقوة للوغاريتمات‪ ،‬وي ِ‬ ‫مكنني استعمال هذه القوانين‬ ‫ُ‬ ‫َّ‬ ‫ْ‬ ‫مع النظرية السابقة إليجاد مشتقة اقتران يحوي اللوغاريتم الطبيعي‪.‬‬ ‫قوانين اللوغاريتمات‬ ‫مراجعة المفهوم‬ ‫إذا كانت ‪ b, x, y‬أعدا ًدا حقيقي ًة موجب ًة‪ ،‬وكان ‪ p‬عد ًدا حقيق ًّيا‪ ،‬حيث‪َّ ،b ≠1 :‬‬ ‫فإن‪:‬‬ ‫ُأ ِّ‬ ‫‪logb xy = logb x + logb y‬‬ ‫· قانون الضرب‪:‬‬ ‫فكر‬ ‫شترط َّ‬ ‫أن ‪b ≠1‬؟‬ ‫لماذا ُي َ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪logb y = logb x - logb y‬‬ ‫· قانون القسمة‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪logb x = p logb x‬‬ ‫القوة‪:‬‬ ‫· قانون َّ‬ ‫مثال ‪3‬‬ ‫مما يأتي‪:‬‬ ‫أجد مشتقة كل اقتران ّ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪f(x) = ln (x‬‬ ‫) ‪f(x) = ln(x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫االقتران المعطى‬ ‫َّ‬ ‫أتذكر‬ ‫القوة في اللوغاريتمات‬ ‫اللوغاريتم الطبيعي ‪ln x‬‬ ‫‪= 4 ln x‬‬ ‫قانون َّ‬ ‫هو لوغاريتم أساسه العدد‬ ‫‪4‬‬ ‫قاعدتا مشتقة مضاعفات االقتران‪،‬‬ ‫الطبيعي ‪ ،e‬ومن الم ِ‬ ‫‪f ' (x) = x‬‬ ‫مكن‬ ‫ُ‬ ‫ومشتقة االقتران اللوغاريتمي الطبيعي‬ ‫كتابته في صورة‪.loge x :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪f(x) = ln (xe ) + ln (7x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪f(x) = ln (xe ) + ln (7x‬‬ ‫االقتران المعطى‬ ‫َّ‬ ‫أتذكر‬ ‫‪x‬‬ ‫‪= ln x + ln e + ln 7 + ln x‬‬ ‫قانون الضرب في اللوغاريتمات‬ ‫· ‪ln e = 1‬‬ ‫بالتبسيط‪ ،‬واستعمال الخصائص األساسية‬ ‫‪= 2 ln x + x + ln 7‬‬ ‫‪p‬‬ ‫· ‪ln e = p‬‬ ‫للوغاريتمات‬ ‫·  إذا كان‪،b ≠ 1 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫قواعد اشتقاق االقتران اللوغاريتمي الطبيعي‪،‬‬ ‫‪f ' (x) = x + 1‬‬ ‫حيث‪َّ ،b > 0 :‬‬ ‫فإن‪:‬‬ ‫القوة‪ ،‬والثابت‬ ‫واقتران َّ‬ ‫‪.logb bx = x‬‬ ‫َّ‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫مما يأتي‪:‬‬ ‫أجد مشتقة كل اقتران ّ‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪a) f(x) = √x + ln (4x) b) f(x) = ln (2x‬‬ ‫‪14‬‬  ‫الوحدة ‪1‬‬ ‫مشتقة اقتران الجيب‪ ،‬ومشتقة اقتران جيب التمام‬ ‫أن االقترانات المثلثية هي قواعد معطاة باستعمال النسب المثلثية‪.‬وسأتع َّلم اآلن‬ ‫تع َّل ْم ُت ساب ًقا َّ‬ ‫إيجاد مشتقة ٍّ‬ ‫كل من اقتران الجيب‪ ،‬واقتران جيب التمام‪.‬‬ ‫ُيب ِّيــن الشــكل اآلتــي ك ًُّاًّل مــن التمثيــل البيانــي لمنحنــى االقتــران‪ ،f(x) = sin x :‬حيــث ‪x‬‬ ‫قيــاس الزاويــة بالراديــان‪ ،‬والتمثيــل البيانــي لمنحنــى )‪ f ' (x‬الــذي ُر ِســم باســتعمال ميــل‬ ‫الممــاس لمنحنــى )‪.f(x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪f(x) = sin x‬‬ ‫‪f' (- 3π‬‬ ‫‪2)=0‬‬ ‫‪f' ( π2 ) = 0‬‬ ‫‪f' ( 5π‬‬ ‫‪2)=0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-3π‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪-π‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪(0, 0) π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫( '‪f‬‬‫‪-‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)=0‬‬ ‫( '‪f‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)=0‬‬ ‫‪f' ( 3π‬‬ ‫‪2)=0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(-2π, 1‬‬ ‫)‪(0, 1‬‬ ‫)‪(2π, 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-3π‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫‪-2π‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪-π‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‪(-3π, -1‬‬ ‫)‪(-π, -1‬‬ ‫)‪(π, -1‬‬ ‫)‪(3π, -1‬‬ ‫‪f'(x) = cos x‬‬ ‫أن منحنى )‪ُ f ' (x‬مطابِق تما ًما لمنحنى جيــب التمام؛ ما يعني َّ‬ ‫أن‪:‬‬ ‫يظهر من الشــكل الســابق َّ‬ ‫تنبيه‬ ‫أن مشتقة اقتران جيب التمام هي انعكاس‬ ‫مكن بطريقة مشابهة اســتنتاج َّ‬‫‪.f ' (x) = cos x‬وي ِ‬ ‫ُ‬ ‫ال ُي َعدُّ الرسم إثباتًا رياض ًّيا‬ ‫منحنى اقتران الجيب حول المحور ‪.x‬‬ ‫للنظريــة‪ ،‬ولكنَّــه يعطي‬ ‫تصو ًرا لها‪.‬‬ ‫ُّ‬ ‫مشتقة اقتران الجيب‪ ،‬ومشتقة اقتران جيب التمام‬ ‫نظرية‬ ‫· إذا كان‪َّ ،f(x) = sin x :‬‬ ‫فإن‪.f ' (x) = cos x :‬‬ ‫· إذا كان‪َّ ،f(x) = cos x :‬‬ ‫فإن‪.f ' (x) = -sin x :‬‬ ‫‪15‬‬  ‫مثال ‪4‬‬ ‫مما يأتي‪:‬‬ ‫أجد مشتقة كل اقتران ّ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f(x) = 3 sin x + 4‬‬ ‫‪f(x) = 3 sin x + 4‬‬ ‫االقتران المعطى‬ ‫قواعد مشتقات اقتران الجيب‪ ،‬ومضاعفات االقتران‪،‬‬ ‫‪f ' (x) = 3 cos x‬‬ ‫والثابت‪ ،‬والمجموع‬ ‫ُأ ِّ‬ ‫فكر‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y = e - 7 cos x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫لماذا يقبل اقترانا الجيب‬ ‫‪1‬‬ ‫االقتران المعطى‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y = 2 e - 7 cos x‬‬ ‫وجيب التمام االشــتقاق‬ ‫عنــد جميــع األعــداد‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫قواعد مشتقات االقتران األُ ِّسي الطبيعي‪ ،‬ومضاعفات‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪= 2 e + 7 sin x‬‬ ‫االقتران‪ ،‬واقتران جيب التمام‪ ،‬والمجموع‬ ‫الحقيقية؟‬ ‫َّ‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫مما يأتي‪:‬‬ ‫أجد مشتقة كل اقتران ّ‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫= ‪a) y‬‬ ‫‪+ 3 cos x b) f(x) = x + cos x + sin 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫تطبيقات‪ :‬معادلة المماس والعمودي عند نقطة ما‬ ‫أي من قواعد االشــتقاق التي تع َّل ْمتُها في هذا الدرس إليجاد معادلة المماس‬ ‫ِ‬ ‫ُيمكن استعمال ٍّ‬ ‫عند نقطة ما على منحنى االقتران‪.‬‬ ‫مثال ‪5‬‬ ‫مما يأتي‪:‬‬ ‫إذا كان االقتران‪ ،f(x) = ln ( xe ) :‬فأستعمل المشتقة إليجاد ٍّ‬ ‫كل ّ‬ ‫معادلة المماس عند النقطة )‪.(1, -1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫الخطوة ‪ :1‬أجد ميل المماس عند النقطة )‪.(1, -1‬‬ ‫َّ‬ ‫أتذكر‬ ‫) ‪f(x) = ln ( xe‬‬ ‫االقتران المعطى‬ ‫إذا كان‪،b ≠ 1 :‬‬ ‫حيث‪َّ ،b > 0 :‬‬ ‫فإن‪:‬‬ ‫‪= ln x - ln e‬‬ ‫قانون القسمة في اللوغاريتمات‬ ‫‪.logb b = 1‬‬ ‫‪= ln x - 1‬‬ ‫الخصائص األساسية في اللوغاريتمات‬ ‫‪16‬‬  ‫الوحدة ‪1‬‬ ‫‪f ' (x) = 1x‬‬ ‫قواعد مشتقات االقتران اللوغاريتمي الطبيعي‪ ،‬والثابت‪ ،‬والفرق‬ ‫‪f ' (1) = 1 = 1‬‬ ‫بتعويض ‪x = 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إذن‪ ،‬ميل المماس هو ‪.1‬‬ ‫الخطوة ‪ :2‬أجد معادلة المماس‪.‬‬ ‫)‪y - y1 = m(x - x1‬‬ ‫معادلة المستقيم بصيغة الميل ونقطة‬ ‫)‪y - (-1) = 1(x - 1‬‬ ‫بتعويض‪x1 = 1, y1 = -1, m = 1 :‬‬ ‫‪y=x-2‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫إذن‪ ،‬معادلة المماس هي‪. y = x - 2 :‬‬ ‫َّ‬ ‫أتذكر‬ ‫معادلة العمودي على المماس عند النقطة )‪.(1, -1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذا تعامد مستقيمان‪ٌّ ،‬‬ ‫كل‬ ‫منهمــا ليس رأســ ًّيا‪َّ ،‬‬ ‫فإن‬ ‫أن ميل المماس عند النقطة )‪ (1, -1‬هو ‪َّ ،1‬‬ ‫فإن ميل العمودي على المماس هو ‪.-1‬‬ ‫بما َّ‬ ‫حاصل ضرب ميليهما هو‬ ‫ومنه‪َّ ،‬‬ ‫فإن معادلة العمودي على المماس عند النقطة )‪ (1, -1‬هي‪:‬‬ ‫أي َّ‬ ‫إن ميل أحدهما‬ ‫‪ -1‬؛ ْ‬ ‫)‪y - (-1) = -1(x - 1‬‬ ‫يساوي ســالب مقلوب‬ ‫‪y = -x‬‬ ‫ميل اآلخر‪.‬‬ ‫َّ‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫مما يأتي‪:‬‬ ‫إذا كان االقتران‪ ،f(x) = ln √x :‬فأستعمل المشتقة إليجاد ٍّ‬ ‫كل ّ‬ ‫معادلة المماس عند النقطة ) ‪.(e, 12‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫معادلة العمودي على المماس عند النقطة ) ‪.(e, 12‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫تطبيقات‪ :‬الحركة في مسار مستقيم‬ ‫َّ‬ ‫يتحرك على خط أعداد انطال ًقا‬ ‫يتحرك في مسار مستقيم‪ ،‬أفترض َّ‬ ‫أن الجسم َّ‬ ‫عند دراســة جسم َّ‬ ‫أتذكر‬ ‫وأن اتجاه حركته يكون موج ًبا أو سال ًبا‪َّ ،‬‬ ‫من موقع ابتدائي‪َّ ،‬‬ ‫يأخذ موقع الجســم )‪s(t‬‬ ‫وأن موقع (‪ )position‬هذا الجسم‬ ‫ِق َي ًمــا موجبــ ًة‪ ،‬أو ِق َي ًمــا‬ ‫بالنسبة إلى نقطة األصل ُيم ِّثل اقترانًا بالنسبة إلى الزمن ‪ ،t‬و ُير َمز إليه بالرمز )‪.s(t‬‬ ‫سالب ًة‪ ،‬أو ً‬ ‫صفرا‪.‬‬ ‫‪17‬‬ ‫ُيط َلق على ُمعدَّ ل تغ ُّير اقتران الموقع )‪ s(t‬بالنسبة إلى الزمن اسم السرعة المتجهة (‪)velocity‬‬ ‫َّ‬ ‫أتعلم‬ ‫ستعمل لتحديد ٍّ‬ ‫كل من مقدار‬ ‫للجســم‪ ،‬و ُير َمز إليه بالرمز )‪.v(t‬وقد ُس ِّمي بهذا االســم ألنَّه ُي َ‬ ‫ُسمى النقطة ‪ 0‬على خط‬ ‫ت ّ‬ ‫سرعة الجسم‪ ،‬واتجاه حركته‪.‬‬ ‫األعداد نقطة األصل‪.‬‬ ‫يتحرك في االتجــاه الموجــب‪.‬وإذا كانت قيمة‬ ‫فــإذا كانت قيمــة ‪َّ ،v(t) > 0‬‬ ‫فإن الجســم َّ‬ ‫يتحرك في االتجاه السالب‪.‬وإذا كانت ‪َّ ،v(t) = 0‬‬ ‫فإن الجسم يكون‬ ‫‪َّ ،v(t) < 0‬‬ ‫فإن الجســم َّ‬ ‫في حالة سكون‪.‬‬ ‫َّ‬ ‫أتعلم‬ ‫ُيط َلق على ُمعدَّ ل تغ ُّير الســرعة المتجهة بالنســبة إلى الزمن اسم التسارع (‪،)acceleration‬‬ ‫المســافة كمية قياســية‬ ‫المط َلقة للســرعة المتجهة فت ّ‬ ‫ُســمى الســرعة القياســية‬ ‫و ُير َمز إليــه بالرمز )‪.a(t‬أ ّما القيمة ُ‬ ‫(ليست متجهة)‪ ،‬والموقع‬ ‫مقدارا‪ ،‬وال تُحدِّ د اتجاه الحركة‪.‬‬ ‫ً‬ ‫(‪ ،)speed‬وهي تُحدِّ د‬ ‫كمية متجهة‪.‬‬ ‫الحركة في مسار مستقيم‬ ‫مفهوم أساسي‬ ‫يتحرك في مسار مســتقيم‪َّ ،‬‬ ‫فإن سرعته المتجهة )‪v(t‬‬ ‫إذا م َّثل االقتران )‪ s(t‬موقع جســم َّ‬ ‫تعطى بالعالقة‪ ،v(t) = s'(t) :‬وتسارعه )‪ a(t‬يعطى بالعالقة‪.a(t) = v ' (t) = s '' (t) :‬‬ ‫أ ّما سرعته القياسية فهي |)‪.|v(t‬‬ ‫مثال ‪6‬‬ ‫ُيم ِّثل االقتران‪ s(t) = 6t - t , t ≥ 0 :‬موقع جسم َّ‬ ‫يتحرك في مسار مستقيم‪ ،‬حيث ‪ s‬الموقع‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫باألمتار‪ ،‬و‪ t‬الزمن بالثواني‪:‬‬ ‫إرشاد‬ ‫أجد سرعة الجسم وتسارعه عندما ‪.t = 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫نشــير إلــى َّ‬ ‫أن كلمــة‬ ‫(ســرعة) تعني الســرعة‬ ‫سرعة الجسم‪:‬‬ ‫المتجهة أينما وردت في‬ ‫أجد مشتقة اقتران الموقع‪ ،‬ثم ُأ ِّ‬ ‫عوض ‪ t = 2‬في المشتقة‪:‬‬ ‫هذا الكتاب‪.‬‬ ‫‪v(t) = s ' (t) = 12t - 3t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اقتران السرعة‬ ‫بتعويض ‪t = 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪v(2) = 12(2) - 3(2‬‬ ‫‪= 12‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫‪18‬‬  ‫الوحدة ‪1‬‬ ‫تسارع الجسم‪:‬‬ ‫أجد مشتقة اقتران السرعة‪ ،‬ثم ُأ ِّ‬ ‫عوض ‪ t = 2‬في المشتقة‪:‬‬ ‫‪a(t) = v ' (t) = s '' (t) = 12 - 6t‬‬ ‫اقتران التسارع‬ ‫)‪= 12 - 6(2‬‬ ‫بتعويض ‪t = 2‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫ُأ ِّ‬ ‫فكر‬ ‫‪=0‬‬ ‫ما معنى ْ‬ ‫أن يكون التسارع‬ ‫سرعة الجسم عندما ‪ t = 2‬هي ‪ ،12 m/s‬وتسارعه ‪0 m/s‬‬ ‫‪2‬‬ ‫فــي لحظة مــا مســاو ًيا‬ ‫أجد ِق َيم ‪ t‬التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫للصفر؟‬ ‫أي عندما ‪:v(t) = 0‬‬ ‫يكون الجسم في حالة سكون لحظي إذا كانت سرعته ‪0‬؛ ْ‬ ‫‪12t - 3t = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫بمساواة اقتران السرعة بالصفر‬ ‫‪3t(4-t) = 0‬‬ ‫بإخراج ‪ً 3t‬‬ ‫عاماًل مشتركًا‬ ‫‪   t = 0  or  t = 4‬‬ ‫ِّ‬ ‫بحل كل معادلة لـ ‪t‬‬ ‫إذن‪ ،‬يكون الجسم في حالة سكون لحظي عندما ‪ ،t = 0‬و‪.t = 4‬‬ ‫يتحرك الجسم عندما ‪t = 5‬؟‬ ‫أي اتجاه َّ‬ ‫في ِّ‬ ‫‪3‬‬ ‫َّ‬ ‫أتعلم‬ ‫‪v(t) = 12t - 3t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اقتران السرعة‬ ‫ُأ ِ‬ ‫الحظ َّ‬ ‫أن ســرعة الجسم‬ ‫بتعويض ‪t = 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪v(5) = 12(5) - 3(5‬‬ ‫ســالبة عندما ‪َّ ،t = 5‬‬ ‫وأن‬ ‫‪= -15‬‬ ‫بالتبسيط‬ ‫موقعه عند اللحظة نفسها‬ ‫يتحرك في االتجاه السالب عندما ‪.t = 5‬‬ ‫أن إشارة السرعة سالبة‪َّ ،‬‬ ‫فإن الجسم َّ‬ ‫بما َّ‬ ‫موجــب )‪(s(5) = 25‬؛‬ ‫ما يعني عدم وجود عالقة‬ ‫متى يعود الجسم إلى موقعه االبتدائي؟‬ ‫‪4‬‬ ‫بين موقع الجسم واتجاه‬ ‫يكون الجسم في موقعه االبتدائي َّأول َم َّرة عندما ‪.t = 0‬ومنه‪َّ ،‬‬ ‫فإن‪.s(0) = 0 :‬‬ ‫حركته‪.‬‬ ‫أح ُّل المعادلة‪:s(t) = 0 :‬‬ ‫إليجاد األوقات التي يعود فيها الجسم إلى هذه النقطة‪ُ ،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6t - t = 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫بمساواة اقتران الموقع بالصفر‬ ‫‪2‬‬ ‫‪t (6-t) = 0‬‬ ‫بإخراج ‪ً t 2‬‬ ‫عاماًل مشتركًا‬ ‫‪   t = 0  or  t = 6‬‬ ‫ِّ‬ ‫بحل كل معادلة لـ ‪t‬‬ ‫إذن‪ ،‬يعود الجسم إلى موقعه االبتدائي بعد ‪.6 s‬‬ ‫‪19‬‬  ‫الدعم البياني‪:‬‬ ‫َّ‬ ‫أتذكر‬ ‫المخ َّطط اآلتي اتجاهات حركة الجسم في المسار المستقيم‪.‬‬ ‫ُيب ِّين ُ‬ ‫ُّ‬ ‫يــدل الرمــز )‪ s(0‬على‬ ‫‪t=6‬‬ ‫الموقع االبتدائي لجســم‬ ‫‪s=0‬‬ ‫‪t=0‬‬ ‫‪t=4‬‬ ‫يتحرك في مسار مستقيم‪،‬‬ ‫َّ‬ ‫‪s=0‬‬ ‫‪s = 32‬‬ ‫ُّ‬ ‫تــدل العبارة‬ ‫فــي حيــن‬ ‫‪-16 -12 -8 -4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8 12 16 20 24 28 32‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪ s = 0‬علــى َّ‬ ‫أن موقــع‬ ‫الجسم هو نقطة األصل‪.‬‬ ‫َّ‬ ‫أتحقق من فهمي‬ ‫ُيم ِّثل االقتران‪ s(t) = t - 7t + 8, t ≥ 0 :‬موقع جســم َّ‬ ‫يتحرك في مســار مســتقيم‪ ،‬حيث‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ s‬الموقع باألمتار‪ ،‬و‪ t‬الزمن بالثواني‪:‬‬