Tema 3 - Matemáticas Discretas - PDF

Aristóteles La lógica es la ciencia formal y rama tanto de la filosofía como de las matemáticas que estudia los principios de la demostración y la inferencia valida, las falacias, las paradojas y la noción de verdad. Historia El pasaje del algebra de la lógica a la lógica matemática se produce cua...

Aristóteles La lógica es la ciencia formal y rama tanto de la filosofía como de las matemáticas que estudia los principios de la demostración y la inferencia valida, las falacias, las paradojas y la noción de verdad. Historia El pasaje del algebra de la lógica a la lógica matemática se produce cuando la lógica se formaliza y se axiomatiza. La formalización es iniciada ya por G. Peano (1858-1932); en su obra fundamental Formulaire de mathématiques, aparecida en cinco ediciones (1894-1908), cada teorema matemático y algunas de sus demostraciones son analizadas lógicamente y se los expresa mediante símbolos. Podemos decir que históricamente el pasaje a la lógica matemática concuerda con el instante en que se advierte que la lógica de enunciados es la teoría fundamental de la lógica. Alrededor de 1880, Peirce manifiesta esta punto de vista. Los estoicos construyeron una lógica de enunciados, esto es, una lógica que estudia las formas de argumentación sobre enunciados que, a su vez, son encadenamientos de enunciados. La lógica tuvo su origen en los estudios que llevo a cabo Aristóteles (384-322 a.C.), quien introdujo los cuantificadores universal (∀) y existencial (∃) que ahora se usan frecuentemente en lógica de predicados. Posteriormente en la época de oro de los griegos se trato de usar la lógica para llevar a cabo la demostración formal de las principales leyes matemáticas conocidas, y mucho tiempo después fue Giusseppe Peano el que le dio el nombre de “lógica matemática”. Un desarrollo importante de la lógica matemática ocurrió a mediados del siglo XIX, cuando Leibniz trato de potenciar el razonamiento representando un problema por medio de hipótesis para llegar a una conclusión. También en este siglo George Boole y Augusto De Morgan diseñaron una nueva manera de representar un problema usando para ello los principios fundamentales de la lógica matemática. A finales del siglo XIX y principios del XX el matemático Británico Alfred North Whitehead y su discípulo Bertrand Russell publicaron los resultados de sus investigaciones que afirmaban que todas las leyes matemáticas se pueden traducir en proposiciones lógicas verdaderas, lo cual significa que el vocabulario matemático es un subconjunto del vocabulario lógico y por lo tanto cualquier demostración lógica es equivalente a cualquier demostración matemática. Pero fue a mediados del siglo XX cuando la lógica matemática adquirió una destacada importancia con la creación y desarrollo de la computadora, y ahora en el siglo XXI la importancia es mayor al tratar de dotar a las computadoras y robots de una inteligencia artificial que les permita tomar decisiones, al relacionar la información conocida y aplicar reglas de inferencia para llegar a una conclusión. Historia LA LÓGICA ANTIGUA, OBRA DE ARISTOTELES, LOS MEGARICOS Y LOS ESTOICOS. LA IDEA DE UN LENGUAJE ÚNICO, COMPLETO Y EXACTO PARA RAZONAR, SUEÑO AL QUE ASPIRABAN RAMÓN LlUll Y LEIBNIZ. ARISTOTELES SIGLO III TEORÍA ORGANON LÓGICA ORÍGENES PRODUCTO A. DE C. SILOGISTA ∀∃ LOS PROGRESOS EN ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA AL COMIENZO DEL SIGLO XIX, Y EL DESARROLLO DE UN CÁLCULO COMPLETO, OBRA DE FREGE. YA EN EL SIGLO XX, BERTRAND RUSSELL Y WHITEHEAD, CULMINARON EL PROCESO DE CREACIÓN DE LA LÓGICA. 3.1 Lógica proposicional. INFERENCIAS TEOREMAS VERACIDAD SILOGISMOS LÓGICA FALSEDAD PROPOSICIONAL MÉTODOS DE RAZONAMIENTO PROPOSICIONES LÓGICAS LÓGICA FORMAL LÓGICA LÓGICA DE PRIMER ORDEN LÓGICAS DESCRIPTIVAS REGLAS Lisp RuleML-XML La lógica proposicional es el sistema lógico más simple y básico que existe. Sus constantes lógicas son las conectivas ^ ν y la negación − ~ ¬, las primeras vinculan dos oraciones para formar una nueva oración compuesta, y la última opera sobre una sola oración. Parece natural comenzar por una clase de conectivas sugerida por la restricción a oraciones declarativas, es decir, a oraciones que son o bien verdaderas o bien falsas. Para aclarar cuáles son, primero debemos introducir el concepto de valor de verdad. Decimos que el valor de verdad de una oración es V si la oración es verdadera y F si la oración es falsa. Aquí nos ocupamos sólo de oraciones que son verdaderas o falsas, de manera que su valor de verdad es o bien V o bien F. El principio de composicionalidad requiere que el significado (y, por ende, el valor de verdad) de una oración compuesta dependa sólo del significado (los valores de verdad) de las oraciones que la componen. A manera de ilustración, considérense las siguientes oraciones: (1) Juan se golpeó la cabeza y está llorando. (2) Juan está llorando porque se golpeó la cabeza. (3) Juan está llorando. (4) Juan se golpeó la cabeza. 3.1.1 Concepto de proposición. Una afirmación como Un computador puede ser El calculo proposicional es el Una proposición o enunciado programado para tomar estudio de las relaciones es una oración, frase o 1+1=3 decisiones basadas en si lógicas entre objetos expresión matemática ciertos enunciados ---por llamados proposiciones, que que puede ser falsa o La cual es verdadera o falsa, ejemplo, "El numero que se frecuentemente pueden verdadera, pero no ambas a pero no ambas cosas a la ha computado es mayor que interpretarse como la vez. vez, se llama proposición. 100"--- son verdaderos o afirmaciones que tienen falsos. A la verdad o falsedad algún significado en de un enunciado se le llama contextos de la vida real. valor de verdad; un Para nosotros, una enunciado es verdadero o proposición será cualquier falso, pero no ambas cosas. frase que sea verdadera o falsa, pero no ambas. Nomenclatura Se usan letras minúsculas, como a, b, o c, para denotar las proposiciones. Se empleara también la notación, a: Bere es alta para definir que a es la proposición Bere es alta. Precedencia de conectivas lógicas. Grado Conectiva Significado 1 {} [] () Paréntesis, Llave, Corchete 2 − ~ ¬ Negación (No) ^ y 3 ν o Condicional, implicación sencilla (Solo si) → 4 Bicondicional, doble implicación (Si y solo ↔ si) 3.1.2 Proposiciones compuestas. Proposición Simple Compuesta Compuesta Compuesta Compuesta Conectiva no (¬a) Conectiva conjunción, Conectiva disyunción, Conectiva Conectiva (a ^ b) (a ν b) condicional, (a → b) bicondicional (a ↔ b) Simbólicamente, Simbólicamente, Simbólicamente, Simbólicamente, Simbólicamente, ¬a a ^ b aνb a→b a↔b denota la negación de a. denota la conjunción denota la disyunción denota la condicional denota la bicondicional a y b. a o b. a solo si b. a si y solo si b La tabla de verdad de ¬a es la siguiente: La tabla de verdad de La tabla de verdad de La tabla de verdad de La tabla de verdad de a a ^ b es la siguiente: a ν b es la siguiente: a → b es la siguiente: ↔ b es la siguiente: a ¬a a b a^ b a b aνb a b a→b a b a↔b V F V V V V V V V V V V V V F V V F F V F V V F F V F F F V F F V V F V V F V F F F F F F F F F V F F V Ejemplos; Proposición Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional a:París esta en Francia a : París esta en Francia a : París esta en Francia a : París esta en Francia a : París esta en Francia b : 2 + 2 = 4. b : 2 + 2 = 4. b : 2 + 2 = 4. b : 2 + 2 = 4. a b a^ b a b aνb a b a→b a b a↔b a ¬a V V V V V V V V V V V V V F V F F V F V V F F V F F F V F V F F V V F V V F V F F F F F F F F F V F F V París esta en Francia y París esta en Francia o París esta en Francia París esta en Francia París no esta en Francia 2+2=4 2+2=4 solo si 2 + 2 = 4 si y solo si 2 + 2 = 4 París esta en Francia Paris esta en Francia y Paris esta en Francia o Paris esta en Francia Paris esta en Francia 2+2=5 2+2=5 solo si 2 + 2 = 5 si y solo si 2 + 2 = 5 Paris esta en México y Paris esta en México o Paris esta en México Paris esta en México 2+2=4 2+2=4 solo si 2 + 2 = 4 si y solo si 2 + 2 = 4 Paris esta en México Paris esta en México Paris esta en México y Paris esta en México o solo si 2 + 2 = 5 si y solo si 2 + 2 = 5 2+2=5 2+2=5 3.1.3 Tablas de verdad. Las tablas de valores de verdad son una herramienta desarrollada por Charles Peirce en la década de 1880, siendo sin embargo, mas popular el formato que Ludwig Wittgenstein desarrollo en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1918 por Bertrand Russell. Se emplean en lógica para determinar los posibles valores de verdad de una expresión o proposición. Por ejemplo. Encuentre la tabla de verdad de ¬ (a ν ¬ b) No. Filas = 𝟐𝒏 , donde n = 2 ∴ No. Filas = 𝟐𝟐 = 4 No. columnas = 5 a b ¬b (a ν ¬ b) ¬ (a ν ¬ b) V V F V F V F V V F F V F F V F F V V F 3.1.4 Tautologías, contradicción y contingencia. Tautologías, contradicción y contingencia Tautologías Contradicción Contingencia Algunas proposiciones A(a, b,...) una proposición A(a, b,...) se llama Las Proposiciones A(a, b,...) que al contienen solamente valores de contradicción si contiene ser evaluadas generan valores de verdad Verdaderos en la ultima solamente valores de verdad verdad verdaderos y falsos en su columna de sus tablas de verdad, Falsos en la ultima columna de su ultima columna se conocen como a tales proposiciones se les llama tabla de verdad. contingencia, indeterminaciones o tautologías. falacias. Ejemplo. Ejemplo. Ejemplo. a b (a ^ b) a ¬a (a ν ¬ a) a ¬a (a ^ ¬ a) V V V V F V V F F V F F F V V F V F F V F F F F 3.1.5 Equivalencias lógicas. Se dice que dos proposiciones A(a, b,...) y B(a, b,...) son lógicamente equivalentes, o sencillamente equivalentes o iguales, denotado por A(a, b,...) ≡ B(a, b,...) Si tienen idénticas tablas de verdad. Por ejemplo, considere las tablas de verdad de ¬ (a ^ b) y ¬ a ν ¬ b: a b (a ^ b) ¬ (a ^ b) a b ¬a ¬b ¬a ν ¬b V V V F V V F F F V F F V V F F V V F V F V ≡ F V V F V F F F V F F V V V Como las tablas de verdad son las mismas, mejor dicho, ambas proposiciones son falsas en el primer caso y verdaderas en los otros tres casos, las proposiciones ¬ (a ^ b) y ¬ a ν ¬ b son lógicamente equivalentes y podemos escribir: ¬ (a ^ b) ≡ ¬ a ν ¬ b 3.1.6 Reglas de inferencia. Especialmente en lógica proposicional, una regla de inferencia establece relaciones sintácticas entre un conjunto de fórmulas llamados premisas y una afirmación llamada conclusión, algunas de las reglas de inferencia más conocidas son las siguientes: Modus Ponendo Ponens (Modo que Afirmando Afirma) Si A, entonces B A Por lo tanto, B Ejemplo, Si estudio, entonces aprobare física estudio. por lo tanto, aprobare física Modus Ponendo Tollens (Modo que Afirmando Niega) o bien A, o bien B A Por lo tanto, no B Ejemplo, o bien estudio, o bien voy al teatro. estudio. Por lo tanto, no voy al teatro Modus tollendo ponens (Modo que Negando Afirma) es el caso que A, o es el caso que B no A Por lo tanto, B Ejemplo, o esta lloviendo o hace sol. No esta lloviendo. Por lo tanto, hace sol. Modus tollendo tollens (Modo que Negando Niega) si A entonces B No B Por lo tanto, no A Ejemplo, si estudio entonces aprobare el examen. no aprobé el examen. Por lo tanto, no estudie. Silogismo hipotético si P entonces Q si Q entonces R Por lo tanto, si P entonces R Ejemplo, P Q Si no estudio, no aprobare el examen. Q R Si no apruebo el examen, no tomare el siguiente curso. P R Por lo tanto, si no estudio no tomare el siguiente curso.  Leyes de idempotencia 1a. p v p ≡ p 1b. p ^ p ≡ p Leyes de asociativas 2a. ( p v q ) v r ≡ p v ( q v r ) 2b. ( p ^ q ) ^ r ≡ p ^ ( q ^ r ) Leyes de conmutativas 3a. p v q ≡ q v p 3b. p ^ q ≡ q ^ p Leyes de distributivas 4a. p v ( q ^ r ) ≡ ( p v q ) ^ ( p v r ) 4b. p ^ ( q v r ) ≡ ( p ^ q ) v ( p ^ r ) Leyes de identidad 5a. p v f ≡ p 5b. p ^ v ≡ p 6a. p v v ≡ v 6b. p ^ v ≡ f Leyes de complementos 7a. p v ¬ p ≡ v 7b. p ^ ¬ p ≡ f 8a. ¬ v ≡ f 8b. ¬ f ≡ v Ley de involución o doble negación 9. ¬ ¬ p ≡ p Leyes de DeMorgan 10a. ¬ ( p v q ) ≡ ¬ q ^ ¬ p 10b. ¬ ( p ^ q ) ≡ ¬ q v ¬ p Leyes de cubierta 11a. p v ( p ^ q ) ≡ p 11b. p ^ ( p v q ) ≡ p Leyes de combinación 12a. ( p ^ q ) v ( p ^ ¬ q ) ≡ p 12b. ( p v q ) ^ ( p v ¬ q ) ≡ p Leyes de consenso 13a. ( p ^ q ) v (¬ p ^ r ) v ( q ^ r ) ≡ ( p ^ q ) v (¬ p ^ r ) 13b. ( p v q ) ^ (¬ p v r ) ^ ( q v r ) ≡ ( p v q ) ^ (¬ p v r ) Ejemplo 1. Demostrar que las Leyes de DeMorgan 10a. ¬ ( p v q ) ≡ ¬ q ^ ¬ p y 10b. ¬ ( p ^ q ) ≡ ¬ q v ¬ p son validas.  Analíticamente Asignamos los valores de verdad a las Asignamos los valores de verdad a las variables p y q; de la siguiente manera.. variables p y q; de la siguiente manera.. p=v q=f p=v q=f 1. Sustituyendo los valores en las variables 1. Sustituyendo los valores en las variables p y q se tiene.. p y q se tiene.. ¬( v v f ) ≡ ¬ f ^ ¬ v ¬ ( v ^ f ) ≡ ¬ f v ¬ v 2. Evaluando la disyunción del lado 2. Evaluando la conjunción del lado izquierdo se tiene.. izquierdo se tiene.. ¬( v ) ≡ ¬f^¬v ¬( f ) ≡ ¬f v¬v 3. Evaluando la conectiva de negación se 3. Evaluando la conectiva de negación se tiene.. tiene.. f ≡ v^f v ≡ v v f 4. Evaluando la conjunción se tiene.. 4. Evaluando la disyunción se tiene.. f ≡ f v ≡ v 5. Por lo tanto concluimos que la Ley de 5. Por lo tanto concluimos que la Ley de DeMorgan 10a. ¬ ( p v q ) ≡ ¬ q ^ ¬ p, es DeMorgan 10b. ¬ ( p ^ q ) ≡ ¬ q v ¬ p, es valida. valida. Ejemplo 1. Demostrar que las Leyes de DeMorgan 10a. ¬ ( p v q ) ≡ ¬ q ^ ¬ p y 10b. ¬ ( p ^ q ) ≡ ¬ q v ¬ p son validas.  Gráficamente ( tabla de verdad ) Para la ley 10a. ¬ ( p v q ) ≡ ¬ q ^ ¬ p se tiene.. p q (pvq) ¬(pvq) p q ¬p ¬q ¬q^¬p V V V F V V F F F Por lo tanto concluimos que la Ley de DeMorgan V F V F ≡ V F F V F 10a. ¬ ( p v q ) ≡ ¬ q ^ ¬ p, es valida. F V V F F V V F F F F F V F F V V V Para la ley 10b. ¬ ( p ^ q ) ≡ ¬ q v ¬ p se tiene.. p q (p^q) ¬(p^q) p q ¬p ¬q ¬qv¬p V V V F V V F F F Por lo tanto concluimos que la Ley de DeMorgan V F F V ≡ V F F V V 10b. ¬ ( p ^ q ) ≡ ¬ q v ¬ p es valida. F V F V F V V F V F F F V F F V V V 3.2 Lógica de predicados Sea la proposición: p: La puerta es verde. ¿Que pasa si la puerta es verde a medias, es decir, si tiene espacios sin pintar? A pesar de esto, en la lógica proposicional se tiene que especificar si p es falsa o verdadera. La lógica de predicados, o lógica de conjuntos, se basa en que las proposiciones son conjuntos de elementos que tienen una propiedad o característica llamada “predicado”, y en este contexto una proposición puede ser verdadera para un grupo de elementos de un conjunto, pero falsa para otros. Con el fin de ilustrar los conceptos, considérese el siguiente ejemplo: Sean: U = {x | x es un habitante del continente africano) p: “Hablan francés" A partir de esto se tiene que p(x): “x habla francés” o bien p(x): “Todos los africanos hablan francés” ∀x p(x): “Todos los africanos hablan francés” ∃x p(x): “Algún o algunos africanos hablan francés” 3.2.1 Cuantificadores Los nuevos símbolos que introduciremos se llaman "cuantificadores". Supongamos que { p(x) | x ∈ U } es una familia con índices en un conjunto U que puede ser infinito; el conjunto U se llama el universo del discurso o dominio del discurso. El cuantificador universal ∀, se utiliza para construir proposiciones compuestas de la forma ∀x p(x) que se lee como "para toda x, p(x)." Otra traducción de ∀ es "para cada" o bien "para cualquier." A la proposición compuesta ∀x p(x) se le asignan valores de verdad de la manera siguiente: ∀x p(x) es verdadero si p(x) es verdadera para toda x en U; en cualquier otro caso ∀x p(x) es falsa. El cuantificador existencial ∃, se utiliza para formar proposiciones como ∃x p(x) que se lee "existe x tal que p(x)", "hay una x tal que p(x)" o "para alguna x, p(x)." La proposición compuesta ∃x p(x) tiene los siguientes valores de verdad: ∃x p(x) es verdadero si p(x) es verdadera para al menos una x en U; ∃x p(x) es falso si p(x) es falsa para toda x en U. 3.2.2 Representación y evaluación de predicados Ejemplo 1. Sea ℕ el universo de discurso y para cada n en ℕ sea p(n) la proposición " 𝒏𝟐 = 𝒏", determine el valor de verdad de " 𝒏𝟐 = 𝒏", para los cuantificadores ∀ y ∃. solución. Resolviendo para ∀ ∀n p(n) es verdadero si p(n) es verdadera para toda n en U; en cualquier otro caso ∀n p(n) es falsa. para n = 0 𝟎𝟐 = 𝟎 𝟎 = 𝟎 para n = 1 𝟏𝟐 = 𝟏 𝟏 = 𝟏 para n = 2 𝟐𝟐 = 𝟐 𝟒 ≠ 𝟐 ∴ " 𝒏𝟐 = 𝒏", ∀n p(n) es falso Resolviendo para ∃ ∃n p(n) es verdadero si p(n) es verdadera para al menos una n en U; ∃n p(n) es falso si p(n) es falsa para toda n en U. para n = 0 𝟎𝟐 = 𝟎 𝟎 = 𝟎 para n = 1 𝟏𝟐 = 𝟏 𝟏 = 𝟏 para n = 2 𝟐𝟐 = 𝟐 𝟒 ≠ 𝟐 ∴ " 𝒏𝟐 = 𝒏", ∃ n p(n) es verdadero Ejemplo 2. Sea ℕ el universo de discurso y para cada b en ℕ sea p(b) la proposición " (𝒃 + 𝟏)𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝟐𝒃 + 𝟏", determine el valor de verdad de " (𝒃 + 𝟏)𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝟐𝒃 + 𝟏 ", para los cuantificadores ∀ y ∃. solución. Resolviendo para ∀ ∀b p(b) es verdadero si p(b) es verdadera para toda b en U; en cualquier otro caso ∀b p(b) es falsa. para b = 0, (𝒃+𝟏)𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝟐𝒃 + 𝟏 1=1 para b = 1, (𝒃 + 𝟏)𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝟐𝒃 + 𝟏 4=4 para b = 3, (𝒃 + 𝟏)𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝟐𝒃 + 𝟏 16 = 16 para b = 9, (𝑏+𝟏)𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝟐𝒃 + 𝟏 100 = 100 ∴ " (𝑏+𝟏)𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝟐𝒃 + 𝟏", ∀n p(n) es verdadero Resolviendo para ∃ ∃b p(b) es verdadero si p(b) es verdadera para al menos una b en U; ∃b p(b) es falso si p(b) es falsa para toda b en U. para n = 0, (𝒃 + 𝟏)𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝟐𝒃 + 𝟏 1=1 para n = 1, (𝒃 + 𝟏)𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝟐𝒃 + 𝟏 4=4 para n = 6, (𝒃 + 𝟏)𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝟐𝒃 + 𝟏 49 = 49 para n = 5, (𝒃 + 𝟏)𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝟐𝒃 + 𝟏 36 = 36 ∴ " (𝑏+𝟏)𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝟐𝒃 + 𝟏 ", ∃ n p(n) es verdadero 3.3 Algebra declarativa Lo que algunos llaman álgebra declarativa no es otra cosa que el álgebra proposicional, o sea, la estructura algebraica que se forma con expresiones utilizando los conectivos lógicos. Empezaremos por definir formalmente cómo se construye una fórmula en lógica. Una expresión sintácticamente correcta se le llama fórmula bien formada (fbf) o simplemente fórmula y su definición es: Una fórmula en lógica de proposiciones se obtiene al aplicar una ó más veces las siguientes reglas: (B) si p es una proposición lógica, es una fbf. (R) si p es una fórmula bien formada (fbf) también lo es (¬p). (R) si p, q son fbf entonces también lo es ( p ? q ) donde ? es uno de los operadores lógicos,^ v → ↔. Nota: Para saber si una expresión en lógica es una fórmula bien formada construimos su árbol sintáctico aplicando recursivamente un árbol con una raíz y dos nodos para un conectivo lógico y un árbol con la raíz y un sólo nodo para la negación. Cualquier expresión que no se pueda obtener mediante una aplicación finita de las reglas anteriores, no es una fórmula bien formada en lógica de proposiciones. Si las hojas son proposiciones simples ó atómicas y cada rama es la aplicación de una regla recursiva (R) entonces es una fórmula bien formada (fbf). Ejemplo 1: determinar si ( p → ¬ r) es una fbf. árbol sintáctico ( p → ¬ r) raíz p ¬ r hoja hoja raíz r hoja hoja Pasos para determinar si una proposición lógica es una fbf. 1. Escribir la fórmula con un número arriba de cada operador que indique su jerarquía. 2. Se escriben los enteros positivos en orden, donde el número 1 corresponde al operador de mayor jerarquía, 3. Cuando dos operadores tengan la misma jerarquía, se le asigna el número menor al de la izquierda, 4. Construir el árbol sintáctico empezando con la fórmula en la raíz y utilizando en cada caso el operador de menor jerarquía. O sea, del número mayor al menor. Ejemplo 2. Compruebe que ( p → ¬ q) v ( ¬ p v r ) es una fbf. Solución: Seguimos los pasos anteriormente mencionados con la fórmula ( p → ¬ q ) v ( ¬ p v r ) 2 1 5 3 4 ( p → ¬ q) v ( ¬ p v r ) (p→¬q) ( ¬ p v r ) p ¬q ¬p r q p ∴ es una fbf Ejemplo 3. Compruebe que x → ¬ y v ¬ z es una fbf. Solución: Seguimos los pasos anteriormente mencionados con la fórmula x → ( ¬ y v ¬ z ). 4 1 3 2 x→(¬y v ¬z) x (¬y v ¬z) ¬y ¬z y z 3.5 Aplicación de la lógica matemática en la computación