Laplace Transforms PDF

4 ลาปลาสทรานฟอรม Laplace Transforms วัตถุประสงค 1. เพื่อใหเขาใจถึงหลักการเปลี่ยนรูปลาปลาส 2. เพื่อใหเขาใจถึงการใชการเปลี่ยนรูปลาปลาสและการเปลี่ยนรูปลาปลาสยอนกลับ เพื่อใชในการ แกสมการเชิงอนุพันธ 3. เพื่อใหเขาใจถึงการใชทฤษฏีคาเริ่มตน และทฤษฏีคาสุ...

4 ลาปลาสทรานฟอรม Laplace Transforms วัตถุประสงค 1. เพื่อใหเขาใจถึงหลักการเปลี่ยนรูปลาปลาส 2. เพื่อใหเขาใจถึงการใชการเปลี่ยนรูปลาปลาสและการเปลี่ยนรูปลาปลาสยอนกลับ เพื่อใชในการ แกสมการเชิงอนุพันธ 3. เพื่อใหเขาใจถึงการใชทฤษฏีคาเริ่มตน และทฤษฏีคาสุดทาย 4.1 บทนํา (Introduction) Laplace transforms หรือการเปลี่ยนรูปลาปลาส ซึ่งเปนวิธีการทางคณิตศาสตรที่ใชเปลี่ยนรูปจาก สมการอนุพันธเปนสมการพีชคณิต ทําใหการแกสมการของระบบควบคุมเพื่อหาคําตอบหรือการตอบสนอง เปนไปโดยสะดวกและคลองตัวขึ้น ดังนั้นเนื้อหาในบทนี้จะเปนการแนะนําเกี่ยวกับหลักการเปลี่ยนรูปลาปลาส รวมทั้งการแกสมการอนุพันธดวยการเปลี่ยนรูปลาปลาส เพื่อ ความเขา ใจในหลักการเปลี่ ยนรูป ลาปลาส จะขอยกตัวอยา งวิ ธีทางคณิ ตศาสตรซึ่ งมี ลักษณะ เชนเดียวกับการเปลี่ยนรูปลาปลาส ซึ่งไดแกการเปลี่ยนรูปโดยใชหลักการลอการิทึม หรือที่เรียกวา Logarithm transforms ไมวาจะเปนการใชลอการิทึมรวมกับการคูณ การหาร และการยกกําลัง ทั้งนี้ก็เพื่อเปนการ เปลี่ยนตัวเลขชุดเดิมใหเปนเลขยกกําลังฐาน 10 (หรือฐานอื่นๆ เชน e) ซึ่งจะไดตัวเลขชุดใหม และยังทําใหการ คูณเปลี่ยนไปเปนการบวก หรือการหารเปลี่ยนไปเปนการลบ จึงทําใหกระบวนการทางคณิตศาสตรงายขึ้น และเมื่อไดคําตอบแลวก็สามารถเปลี่ยนใหกลับมาเปนตัวเลขธรรมดาไดโดยการใช Inverse logarithm หรือ Antilogarithms ดังแสดงกระบวนการในรูปที่ 4.1 และในสมการดานลาง ถากําหนดให A มีคาดังแสดงในสมการดานลาง A = BC 4.1  130 ลาปลาสทรานฟอรม จากสมการดังกลาวสามารเปลี่ยนรูปโดยใชหลักการลอการิทึมไดคือ logA = logBC = logB + logC 4.2 เมื่อกําหนดให D = logB + logC ดังนั้นจะไดวา log A = D 4.3 จากสมการที่ 4.3 สามารถที่จะหาคา A โดยการ Inverse logarithm ซึ่งจะไดวา A = log-1 D 4.4 การคูณ Logarithm การบวก Inverse transformation หรือ การลบ transformation ผลลัพธ หรือ การหาร รูปที่ 4.1 แสดงการเปลี่ยนรูปลอการิทึม ที่มา: Bolton, W. (1998) สําหรับการเปลี่ยนรูปลาปลาส ก็มีลักษณะเชนเดียวกับการเปลี่ยนรูปลอการิทึม กลาวคือเปนการ เปลี่ยนรูปของตัวแปรหลักของสมการ ซึ่งไดแกเวลา (t) ใหอยูในรูปอื่นซึ่งไดแก s (Laplace transform operation) ซึ่งเปนตัวแปรที่ไมไดอยูในรูปของเวลา หรือสามารถกลาวไดวา การเปลี่ยนรูปลาปลาสคือ การ เปลี่ยนรูปสมการเชิงอนุพันธที่เปนฟงกชั่นของโดเมนเวลา (Time-domain) ใหเปนสมการพีชคณิตธรรมดาที่ เปนฟงกชั่นของโดเมน s (S-domain) ทําใหการหาคําตอบของสมการงายขึ้น และเมื่อไดคําตอบที่อยูในรูปของ โดเมน s แลวก็สามารถเปลี่ยนมาอยูในรูปของโดเมนเวลา โดยอาศัยการเปลี่ยนรูปยอนกลับ (Inverse transformation) หรือการเปลี่ยนรูปลาปลาสยอนกลับ (Inverse Laplace transform) ดังแสดงในรูปที่ 4.2 แบบจําลองของระบบที่อยูในรูป Laplace สมการพีชคณิต Inverse ผลลัพธ ของสมการอนุพันธ transformation (โดเมนของ s) transformation (โดเมนเวลา) (โดเมนเวลา) รูปที่ 4.2 แสดงการเปลี่ยนรูปลาปลาส ที่มา: Bolton, W. (1998)  ลาปลาาสทรานฟออรม 1331 4 การรเปลี่ยนรูรูปลาปลลาส 4.2 (Thhe Laplaace traansform mation)) นักคณิณิตศาสตรชาวฝรั ช ่งเศศส ชื่อ P..S. de Laaplace (1749-18 ( 827) เปนผูคนพบกการเปลี่ยนรู น ปลาปลลาส เพื่อใชชเปนวิธีการหาผลเฉ า ฉลยของสสมการอนุนุพันธ โดยยหลักการรแลวจะเปปนการคูณ ณทุกพจนในสมการ ใ รอนุพันธดดว ย e-st หหลังจากนันั้นจะหาปริพันธของทุกพจนนจาก 0 ถึง ฅ โดยย s เปนคคาคงที่ที่มีมีหนวยเปปนความถีถี่ ผลที่ไดจาก จ จากกาารกระทําดัดงกลาวจจะเรียกวาการเปลี า ่ย ปลาปปลาส ดังแสดงในสม ยนรู แ มการดานนลาง ฅ Laplace transfo ๒ orms = ( term ) e - st dt o เนื่องจาากโดยปกกติแลวเทออมที่เปนฟฟงกชันขอองเวลานิยมเขี ย ยนในนรูป f (tt ) และเนืนื่องจากเมืมื่อเปลี่ยนรู นป ลาปลาาสไปแลวจะอยูในโโดเมน s จึงนิยมเขีขียนในรูป F (s ) ดังนั้นจะไไดวา F (s ) = Lf (t ) = ๒ f (t ) e - st dt ฅ 0 4 4.5 4.2.11 การเปลีลี่ยนรูปลาาปลาสสําาหรับฟงกกชันแบบบขั้นบันไดด (The Laplace L Transfoorm for a Step FFunctioon) สําหรับการพิ บ จารณาหลั า ก กการเบื ้องต อ นของงการเปลี่ยนรู ย ปลาปปลาส เพืพื่อการพัฒนาการเ ฒ เปลี่ยนรูปลา ป ปลาสใในลําดับตตอไป จะพพิจารณากการเปลี่ยนรูปของฟฟงกชันขัั้นบันไดทีี่อยูในรูปของโดเมน ข นเวลา มาาเปนฟงกชัน ในโดเมมน s สําหรั ห บอินพุทของระบ ท บบที่อยูในรู น ปของฟงกชันขั้นบับนไดที่สามารถเจอ า อไดบอยคครั้งในชีวิตตประจําวันก็ เชนกาารเปลี่ยนแแปลงแรงเคลื่อนไฟฟฟาอยางกกะทันหันนโดยการเปปดสวิทซไฟอย ไ างรรวดเร็ว เปปนตน f (tt) 1 เ (t) เวลา 0 รูปที ป ่ 4.3 แสดงฟ แ งกชชันขั้นบันไดขนาด น 1 หนวย ที่มา: Boltton, W. (1998)  1322 ลาปปลาสทรานฟฟอรม สําหรั ห บรูปที่ 44.3 แสดงงฟงกชันขัั้นบันไดขนนาด 1 หนวย ที่มีลลัักษณะฟฟงกชันดังนี้คือ ์0 ; t < 0 f (t ) = ํ ๎1 ; t ณ 0 จากสมการแสสดงการเปปลี่ยนรูปลาปลาสคื ล คือ ฅ F (s ) = ๒ f (t ) e - st dt 0 ดังนั้นจะไดวา ฅ F (s ) = ๒ 1 e - stt dt 0 =- s [ ] 1 -st e ฅ 0 ซึ่งจะะไดวา 1 F (s ) = 4.6 s สําหรั ห บฟงกชันขั้นบันไดดทั่วๆไปทีที่มีขนาด a ดังแสดดงในรูปที่ี 4.4 จะมีมีลักษณะฟฟงกชันดังนี ง ้คือ ์0 ; t < 0 f (t ) = ํ ๎a ; t ณ 0 f (t) a 0 เวลา (t) รูปที่ 4.44 แสดงฟงก ง ชันขั้นบันไดขนาด a หนวย ที่มา: Boolton, WW. (1998)) จากสมการแสสดงการเปปลี่ยนรูปลาปลาสคื ล คือ ฅ F (s ) = ๒ f (t ) e - st dt 0  ลาปลาสทรานฟอรม 133 ดังนั้นจะไดวา ฅ F (s ) = ๒ a e - st dt 0 =- s e [ ] a -st ฅ 0 ดังนั้นจะไดวา a F (s ) = s เราจะเห็นวาคาที่ไดจะเปลี่ยนแปลงไปจากคาฟงชันขั้นบันไดหนึ่งหนวย คือเพียงแตคูณคาขนาด a เพิ่มเขาไปเทานั้นเอง ตัวอยางที่ 4.1 จากฟงกชันที่กําหนดใหในดานลาง จงใชหลักการการเปลี่ยนรูปลาปลาสเพื่อเปลี่ยนโดเมนของ ฟงกชันดังกลาวใหอยูในโดเมนของ s f (t ) = e at วิธีทํา: จากสมการแสดงการเปลี่ยนรูปลาปลาสดังแสดงในดานลางคือ ฅ F (s ) = ๒ f (t ) e - st dt 0 ดังนั้นจะไดวา ฅ F (s ) = ๒ e at e - st dt 0 ฅ = ๒ e ( a - s )t dt 0 = 1 a-s [ e ( a - s )t ] ฅ 0 1 = (0 - 1) a-s ดังนั้นจะไดวา 1 1 F (s ) = - = ANS a-s s-a  134 ลาปลาสทรานฟอรม 4.2.2 การใชการเปลี่ยนรูปลาปลาส (Using Laplace Transforms) แมวาการเปลี่ยนรูปลาปลาสจะมีพื้นฐานจากการหาคาจากปริพันธ แตในทางปฏิบัติแลวไมจําเปนที่ จะตองหาคาปริพันธสําหรับการเปลี่ยนรูปทุกครั้ง แตเราจะพยายามจัดรูปของฟงกชันดังกลาวใหอยูในรูป มาตรฐาน แลวใชกฎพื้นฐานของการเปลี่ยนรูปลาปลาสมาชวยในการเปลี่ยนรูป สําหรับกฎพื้นฐานตาง ๆ มี ดังนี้คือ 1) กฎการบวก เมื่อนําฟงกชันสองฟงกชันมารวมกัน คือ f1 (t ) + f 2 (t ) เมื่อมีการเปลี่ยนรูปลาปลาส ฅ แลวจะเปลี่ยนเปน F1 (s ) + F2 (s ) = ๒0[ f1 (t ) + f 2 (t )] e -st dt 2) กฎการลบ เมื่อนําฟงกชันสองฟงกชันมาลบกัน คือ f1 (t ) - f 2 (t ) เมื่อมีการเปลี่ยนรูปลาปลาส ฅ แลวจะเปลี่ยนเปน F1 (s ) - F2 (s ) = ๒0 [ f1 (t ) - f 2 (t )]e - st dt 3) การคูณ เมื่อมีการนําฟงกชันใดๆ มาคูณกับคาคงที่ a คือ af (t ) เมื่อมีการเปลี่ยนรูปลาปลาส ฅ แลวจะเปลี่ยนเปน aF1 (s ) = ๒0 af1 (t ) e - st dt 4) สําหรับฟงกชันใดๆ ที่ถูกหนวงหรือทําใหเลื่อนดวยเวลา T (Time delay) คือ f (t - T ) เมื่อมีการ ฅ เปลี่ยนรูปลาปลาสแลวจะเปลี่ยนเปน e -Ts F (s ) = ๒0 f (t - T ) e -st dt เมื่อ T ณ 0 df (t ) 5) สําหรับฟงกชันอนุพันธอันดับหนึ่งใดๆ คือ เมื่อมีการเปลี่ยนรูปลาปลาสแลวจะเปลี่ยนเปน dt sF (s ) - f (0) เมื่อ f (0) เปนคาของ f (t ) เมื่อ t=0 d 2 f (t ) 6) สํ า หรั บ อนุ พัน ธ อัน ดั บ สองใดๆ คื อ เมื่ อมี ก ารเปลี่ ยนรู ป ลาปลาสแล วจะเปลี่ ยนเป น dt 2 df (0 ) s 2 F (s ) - sf (0) - เมื่อ f (0 ) และ df (0) เปนคาฟงกชันเมื่อ t=0 dt dt d n f (t ) 7) สํ า หรั บ อนุ พัน ธ อั น ดั บ n ใดๆ คื อ เมื่ อ มี ก ารเปลี่ ย นรู ป ลาปลาสแล ว จะเปลี่ ย นเป น dt n d n-1 f (0) s n F (s ) - s n-1 f (0) -... - dt n-1 8) สําหรับปริพันธของฟงกชันใดๆ ระหวางเวลา 0 ถึง t คือ ๒0 f (t )dt เมื่อมีการเปลี่ยนรูปลาปลาส t แลวจะเปลี่ยนเปน 1 F (s ) s สําหรับตารางที่ 4.1 ดังแสดงในดานลาง จะใหคาทั่วๆ ไปของการเปลี่ยนรูปลาปลาส ที่ตรงกันกับ ฟงกชันของเวลา  ลาปลาสทรานฟอรม 135 ตารางที่ 4.1 แสดงการการเปลี่ยนรูปลาปลาสที่อยูในรูปทั่วๆไป ที่ตรงกันกับฟงกชันของเวลา ที่มา: Bolton, W. (1998); Dorf, R.C., et al. (2008) Laplace transform Time function Description of time function 1 δ(t ) Unit impulse 1 u(t ) Unit step function s e - st Delay unit step function s 1 - e - st Rectangular pulse of s duration T 1 t Unit slope ramp function s2 1 t2 s3 2 1 e - at Exponential decay s+a 1 te-at ( s + a) 2 n! t n e -at ( s + a) n +1 a 1 - e - at Exponential growth s( s + a) a (1 - e - at ) 2 t- s (s + a) a a2 1 - e -at - ate- at s(s + a) 2 s (1 - at )e - at ( s + a) 2 1 e - at - e - bt ( s + a)(s + b) b-a ab b -at a -bt 1- e + e s ( s + a )( s + b) b-a b-a 1 e -at e -bt + ( s + a)(s + b)(s + c) (b - a)(c - a) (c - a)(a - b) e -ct + (a - c)(b - c) w Sine wave sin wt (s + w2 ) 2  136 ลาปลาสทรานฟอรม ตารางที่ 4.1 (ตอ) แสดงการการเปลี่ยนรูปลาปลาสที่อยูในรูปทั่วๆ ไปที่ตรงกันกับฟงกชันของเวลา Laplace transform Time function Description of time function s cos wt Cosine wave ( s + w2 ) 2 w Damped sine wave e -at sin wt ( s + a) 2 + w 2 s+a Damped cosine wave e -at cos wt ( s + a) 2 + w 2 w2 1 - cos wt s ( s 2 + w2 ) w2 w ; z