القوى المركزية للنظام ذو الجسمين PDF

# القوى المركزية للنظام ذو الجسمين Two-Body Central Forces في هذا الفصل سندرس وتناقش حركة حسمين يؤثر كل منهم على الآخر بقوة مركزية محافظة بدون إعتبار أي قوى خارجية. للتذكير القوة المركزية تعني قوة خط عمل line of action يقع على المحور الواصل بين مركزي الجبيعين. من الأمثلة حركة كوكب حول الشمس تحت...

# القوى المركزية للنظام ذو الجسمين Two-Body Central Forces في هذا الفصل سندرس وتناقش حركة حسمين يؤثر كل منهم على الآخر بقوة مركزية محافظة بدون إعتبار أي قوى خارجية. للتذكير القوة المركزية تعني قوة خط عمل line of action يقع على المحور الواصل بين مركزي الجبيعين. من الأمثلة حركة كوكب حول الشمس تحت تأثير قوة الثقالة والتي تعتبر قوة مركزية. المشكل يوضح محتلين 1 و 2 الكتلة *m₁* و *m₂* تتعرفى لقوة *F₁₂* يفعل الكتلة *m₂*. كذلك الكتلة *m₂* تتعرض لقوة *F₂₁* يفعل الكتلة *m₁*، حيث أن $F₁₂ = \frac{Gm₁m₂}{r₁₂²}$ - خط عمل *F₁₂* *r₁₂*- - القوى على *r₁₂*- - القوى مركزية *Gm₁m₂* - = - الحركة تمار *F₂₁* *F₁₂*- - تلاحظ أن *F₂₁* = - *F₁₂* حسب قانون نيوتن الثالث. إن جهدان التفاعل بين الجسمين يفعل *F₁₂*- *Gm₁m₂* - = *r*- في المقابل هناك مثال آخر للقوى المركزية ، الا وهي قوه كولوم $F₁₂ = -ke 9₁9₂$ حيث *F₁₂* مثل قوة التسافر الكولومي التي تؤثر في المنتخمة *q₂* - على الشخنة *q₁* . كذلك فان *F₂₁* $F₂₁ = ke 9₂ 9₁$ # نظام مركز الكتلة CM ، الإحداثيات النسبية والكتلة المختزلة للنظام الموضح في الشكل فإن مركز الكتلة بعطى من خلال $R = \frac{m₁r₁ + m₂r₂}{m₁+m₂} = \frac{m₁r₁ + m₂r₂}{M}$ - حيث *M* هي الكتلة الكلية للنظام، أي $M = m₁+ m₂$ - من الشكل، *r₁* و *r₂* هما موقعا *m₁* و *m₂* بالنسبة ل *CM*، على الترتيب. تجد من الشكل $r̃₁ = r̃ + R$ $r̃₂ = r̃₂ + R$ - في العلاقة (1-54) عكين أن نكتب $R = \frac{m₁r̃₁ + m₂r̃₂}{M} + \frac{m₂r̃₂-m₂r̃₁}{M} $ - $R = -\frac{m₂}{M} r̃$ - أو $r̃₁ = R + \frac{m₂}{M}r̃$ - بنفس الطريقة لو جمعنا وطرحها في العلاقة (1-54) فإننا سنحصل على $r̃₂ = R - \frac{m₁}{M}r̃$ - # وبالتالي فإن طاقة الحركة للنظام تصبح $T = \frac{1}{2}m₁r̃₁² + \frac{1}{2}m₂r̃₂² = \frac{1}{2}m₁(R + \frac{m₂}{M}r̃)² + \frac{1}{2}m₂(R - \frac{m₁}{M}r̃)²$ $ = \frac{1}{2}m₁[R² + 2\frac{m₂}{M}r̃R +(\frac{m₂}{M})²r̃² ] + \frac{1}{2}m₂[R² - 2\frac{m₁}{M}r̃R+(\frac{m₁}{M})²r̃² ]$ $ = \frac{1}{2}(m₁+m₂)R² + \frac{1}{2}[m₁ (\frac{m₂}{M})² + m₂(\frac{m₁}{M})² ]r̃² - \frac{m₁m₂}{M}R̃r̃$ $ = \frac{1}{2}MR² + \frac{1}{2}\frac{m₁m₂}{M}(m₂ + m₁)²r̃² = \frac{1}{2}MR² + \frac{1}{2}\frac{m₁m₂}{M}r̃²$ ## ### ### ### ### ### ### ### ### كتلة مختزلة ### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### ### ### ### ### ### ### ### ### ### ### ### ### ### ### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### #### ### ### ### ### ### ### ### ### ### # حفظ الزخم الزاوي حول مركز الكتلة. الزخم الزاوي الكلي حول *CM* يعطى من خلال $L = r̃₁ × m₁ r̃₁̇ + r̃₂ × m₂ r̃₂̇ = m₁r̃₁ × Ṙ + m₂r̃₂ × Ṙ = (m₁r̃₁ + m₂r̃₂) × Ṙ = MṘ × Ṙ = 0$ - $L = m₁r̃₁ × r̃₁̇ + m₂r̃₂ × r̃₂̇ $ - التراوي الزاوي للجسم *m₂* الزخم الزاوي للحسيم رقم 1 $L = m₁r̃₁ × r̃₁̇ + m₂r̃₂ × r̃₂̇$ في احداثيات مركز الكتلة (0-2) جان (5-56) متحقق حيث $L = m₁( \frac{m₂}{M}r̃ ) × r̃̇ + m₂( \frac{m₁}{M}r̃ ) × r̃̇ = \frac{m₁m₂(M₁+m₁)}{M} × r̃ × r̃˙$ $L = m₁m₂ × r̃ × r̃˙ = μr̃ × r̃˙$ - العلاقة (3-57) تغني أن الزخم الزاوي الكلي في إحداثيات مركز الكتلة نكافي تماماً الزخم الزاوي الجسيم منفرد كتلته *μ* ويقع عند *r̃* . بما أن الزخم الزاوي محفوظ فان الاة ثانية ( مقداراً وإغماها ) - ان ثبات الاتجاه يعنى أن كلا المتخيه # ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## # معادلتي الحركة في الإحداثيات القطبية تعلم أن. $r̃ = r r̂+ rẇ ∅̂$ $ẇ²=rzr² + r²∅̇²$ - لتصبح طاقة الحركة $T = \frac{1}{2}mr̃²= \frac{1}{2}m(ṙ²+r²∅̇²)$ - ليصبح اللاجرانجيان (6-56) $L= \frac{1}{2}m(ṙ²+r²∅̇²)-U(r)$ - تلاحظ أن اللاجرانجيان لا يعتمد على *∅*. أي أن لا إحداثيات غائبة أو مهملة. وعليه فإن معادلة الحركة المقابلة لله تصبح $\frac{d}{dt}(\frac{∂L}{∂ṙ}) - \frac{∂L}{∂r} = 0$ - هذا يعني $\frac{d}{dt}(mṙ) - mr∅̇² = \frac{∂U}{∂}$. - ## ## ## ## ## ## # إحداثيات مركز الكتلة واذا أختنا نقطه الأصل " "*O* " عند مركز الكتلة ( ثاني الشكل ) $R=0⇒R=0$ - وعليه من (5-54) و (8 - 54) يصبح $r̃₂= r̃₂ = -\frac{m₁}{M}r̃$ $r̃₁ = r̃₁ = \frac{m₂}{M}r̃$ - خان *R=0* في (3 - 55) ليصبح للإجرانغيان ما في نظام *R=0* $L = ½µr̃² - U(r)$ # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #