A Study of Mathematics Errors and Misconceptions in Ratio and Percentage of Prathomsuksa 6 Students PDF

การศึกษาข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ เรื่อง อัตราส่วนและร้อยละ ของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 โรงเรียนสังวาลย์วิท ๗ A Study of Mathematics Errors and Misconceptions in the Ratio and Percentage of Prathomsuksa 6 Students Sangwanwit 7 school...

การศึกษาข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ เรื่อง อัตราส่วนและร้อยละ ของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 โรงเรียนสังวาลย์วิท ๗ A Study of Mathematics Errors and Misconceptions in the Ratio and Percentage of Prathomsuksa 6 Students Sangwanwit 7 school พัชรา ผาลิบุตร¹* และ นพพร แหยมแสง² ¹สาขาวิชาคณิตศาสตรศึกษา คณะศึกษาศาสตร์ มหาวิทยาลัยรามคำแหง ประเทศไทย ²คณะศึกษาศาสตร์ มหาวิทยาลัยรามคำแหง ประเทศไทย *ผู้รับผิดชอบบทความ Patchara Palibut¹* and Nopporn Yamsang² ¹ Mathematics Education, Faculty of Education, Ramkhamhaeng University, Thailand ² Faculty of Education, Ramkhamhaeng University, Thailand *Corresponding author: [email protected] บทคัดย่อ การศึกษาวิจัยนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษาข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่ คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ เรื่อง อัตราส่วน และร้ อ ยละ ของนั ก เรี ย นชั ้ น ประถมศึ กษาปี ท ี ่ 6 โรงเรี ย นสั ง วาลย์ ว ิ ท ๗ กลุ ่ ม ตั ว อย่ า งที ่ ใ ช้ ใ นการวิ จ ั ย เป็ น นั กเรี ย น ชั้ น ประถมศึ กษาปี ท ี ่ 6 ปี การศึ กษา 2565 จำนวน 63 คน ได้ จ ากการสุ ่ ม ตั ว อย่ า งแบบง่ า ย เครื ่ องมื อที ่ ใช้ ในการวิ จั ย เป็นแบบทดสอบวินิจฉัยข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ สำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 เรื ่ อง อั ต ราส่ ว นและร้ อยละ แบบเลื อกตอบ 4 ตั ว เลื อก จำนวน 24 ข้ อ เพื ่ อนำไปวิ เคราะห์ ข้ อบกพร่ องและมโนทัศน์ ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ เรื่อง อัตราส่วนและร้อยละ 3 ด้านประกอบด้วย (1) ด้านทฤษฎีบท บทนิยาม (2) ด้านการ คิดคำนวณ และ (3) ด้านการตีความจากโจทย์ปัญหา วิเคราะห์ข้อมูลโดยหาค่าความถี่ ร้อยละ ผลการวิจัยพบว่า กลุ่มตัวอย่างมีข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ โดยเรียงลำดับจากมาก ไปน้อยได้ ดังนี้ (1) ข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ด้านการตีความจากโจทย์ปัญหา คิดเป็นร้อยละ 68.27 (2) ข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ด้านทฤษฎี บท บทนิยาม คิดเป็นร้อยละ 58.40 และ (3) ข้ อ บกพร่ อ งและมโนทั ศ น์ ท ี ่ ค ลาดเคลื ่ อ นทางคณิ ต ศาสตร์ ด ้ า นการคิ ด คำนวณ คิ ด เป็ น ร้ อ ยละ 50.98 คำสำคัญ: การวินิจฉัยมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อน; อัตราส่วนและร้อยละ; แบบทดสอบวินิจฉัย Abstract This research aims to study the Mathematics Errors and Misconception in the Ratio and Percentage of Prathomsuksa 6 Students Sangwanwit 7 school. The sample group that used in this study is 63 students of Prathomsuksa 6 Students of Sangwanwit 7 school of the academic year 2022, by simple random sampling.  Tools used in this research is the concept of mathematical diagnostic test on the Ratio and Percentage consist of 24 items 4-multiple choices. There were three types of mathematics errors and misconceptions in the Ratio and Percentage as follows (1) theorems and definitions, (2) technical errors, and (3) interpretation. The data were analyzed with frequency and percentage. The results showed that mathematical errors and misconceptions categories were ranked from the highest to the lowest as follows: (1) interpretation as 68.27 percent, (2) theorems and definitions as 58.40 percent, and (3) technical errors as 50.98 percent. Keywords: Diagnosis of misconceptions; Ratio and Percentage; Diagnostic test บทนำ รายวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง อัตราส่วนและร้อยละ เป็นเนื้อหาที่มีความสัมพันธ์กันในเรื่องของตัวเลขและจำนวน ซึ่งใน ชีวิตประจำวันของเรานั้น ตัวเลขและจำนวนเหล่านี้ก็สามารถพบเห็นได้ในข้อมูลที่เกี่ยวกับปริมาณของสิ่งของในสถานการณ์ ต่าง ๆ เช่น การนับจำนวน การซื้อขาย ระยะทาง เวลา เป็นต้น อีกทั้งต้องอาศัยวิธีการคำนวณทางคณิตศาสตร์เข้ามาเกี่ยวข้อง ในการแก้ปัญหาต่าง ๆ ที่อยู่รอบตัวเรา ซึ่งในการทดสอบระดับชาติ(O-NET) จากข้อมูลที่ศึกษาจะเห็นได้ว่ามีการนำเอาเนื้อหา เรื่อง อัตราส่วนและร้อยละ มาใช้ในการทดสอบระดับชาติ(O-NET) ในทุกปี(ปีการศึกษา 2561-2564) โรงเรียนสังวาลย์วิท ๗ เป็นโรงเรียนที่ก่อตั้งขึ้นโดยราษฎรในหมู่บ้านใกล้เคียงร่วมกับตำรวจตระเวนชายแดน จัดสร้าง อาคารและบ้านพักครูชั่วคราวขึ้นในที่ดินที่ราษฎรบริจาคให้ โดยตั้งชื่อโรงเรียนนี้ว่า “โรงเรียนชายแดนพิทักษ์ประชา” ต่อมา สมเด็จพระศรีนครินทราบรมราชชนนีได้เสด็จมาเป็นประธานเปิดอาคารเรียน พร้อมทั้งพระราชทานนามใหม่ว่า “โรงเรียน สังวาลย์วิท ๗” เนื่องจากเป็นโรงเรียนแห่งที่ 7 ที่พระองค์ทรงก่อตั้ง ซึ่งโรงเรียนสังวาลย์วิท ๗ เป็นโรงเรียนที่อยู่สุดเขต ชายแดนของจังหวัดนครศรีธรรมราช ตั้งอยู่ในอำเภอบางขัน มีเขตพื้นที่ติดกับตำบลบางดี อำเภอห้วยยอด จังหวัดตรัง และ ตำบลดินแดง อำเภอลำทับ จังหวัดกระบี่ เปิดสอนในระดับชั้นอนุบาลจนถึงระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 โรงเรียนสังวาลย์วิท ๗ มีคะแนนผลการทดสอบระดับชาติ(O-NET) รายวิชาคณิตศาสตร์ ปีการศึกษา 2561 คือ 32.14 โดยในปีการศึกษานั้นคะแนน เฉลี่ยระดับประเทศ คือ 37.50 ซึ่งในสาระที่ 1 จำนวนและการดำเนินการ มาตรฐาน ค 1.2 ป.6/2 มีสาระการเรียนรู้เรื่อง โจทย์ปัญหาร้อยละในสถานการณ์ต่าง ๆ รวมถึงโจทย์ปัญหาร้อยละเกี่ยวกับการหากำไร ขาดทุน การลดราคา การหา ราคาขาย การหาราคาทุน และดอกเบี้ย ได้นำมาออกข้อสอบในปีนั้น ซึ่งร้อยละของนักเรียนที่ตอบถูกระดับโรงเรียนในตัวชี้วัด นี้คือ 30.00 น้อยกว่าร้อยละของนักเรียนที่ตอบถูกระดับประเทศคือ 38.96 (สถาบันทดสอบทางการศึกษาแห่งชาติ , 2562, Online) คะแนนผลการทดสอบระดับชาติ( O-NET) รายวิชาคณิตศาสตร์ ปีการศึกษา 2562 คือ 31.08 โดยปีการศึกษานั้น มีคะแนนเฉลี่ยระดับประเทศ คือ 32.90 ซึ่งในสาระที่ 1 จำนวนและการดำเนินการ มาตรฐาน ค 1.2 ป.6/2 มีสาระการเรียนรู้ เรื่อง โจทย์ปัญหาร้อยละในสถานการณ์ต่าง ๆ รวมถึงโจทย์ปัญหาร้อยละเกี่ยวกับการหากำไร ขาดทุน การลดราคา การหา ราคาขาย การหาราคาทุน และดอกเบี้ยเช่นเดียวกับปีการศึกษา 2561 ได้นำมาออกข้อสอบในปีนั้น มีร้อยละของนักเรียน ที่ตอบถูกระดับโรงเรียนในตัวชี้วัดนี้คือ 16.67 น้อยกว่าร้อยละของนักเรียนที่ตอบถูกระดั บประเทศ คือ 31.99 (สถาบัน ทดสอบทางการศึ ก ษาแห่ ง ชาติ , 2563, Online) และคะแนนผลการทดสอบระดั บ ชาติ ( O-NET) รายวิ ช าคณิ ต ศาสตร์ ปีการศึกษา 2563 คือ 25.60 โดยปีการศึกษานั้นมีคะแนนเฉลี่ยระดับประเทศ คือ 29.99 ซึ่งในสาระการเรียนรู้ที่ 1 จำนวน และพีชคณิต มาตรฐาน ค 1.1 ป.6/1 – 2, ป.6/11 – 12 มีสาระการเรียนรู้เรื่อง อัตราส่วน อัตราส่วนที่เท่ากัน มาตราส่วน การแก้โจทย์ปัญหาอัตราส่วนและมาตราส่วน การแก้โจทย์ปัญหาร้อยละ ก็ได้มีการนำมาออกข้อสอบ โดยมีร้อยละของ นักเรียนที่ตอบถูกระดับโรงเรียนในตัวชี้วัดนี้คือ 34.00 และ 6.00 น้อยกว่าร้อยละของนักเรียนที่ตอบถูกระดับประเทศ คือ 37.53 และ 15.72 ตามลำดับ (สถาบันทดสอบทางการศึกษาแห่งชาติ , 2564, Online) ในส่วนของปีการศึกษา 2564 โรงเรียนสังวาลย์วิท ๗ ไม่ได้ทำการทดสอบการศึกษาระดับชาติ(O-NET) จากข้อมูลดังกล่าว จะเห็นได้ว่า คะแนนการทดสอบ ระดับชาติ(O-NET) รายวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียนสังวาลย์วิท ๗ ตั้งแต่ปีการศึกษา 2561 - 2563 มีคะแนนผลการทดสอบ ระดับชาติ(O-NET) ลดลงทุกปี และคะแนนเฉลี่ยของโรงเรียนต่ำกว่าผลคะแนนเฉลี่ยระดับประเทศทุกปี สาระการเรียนรู้ที่ เกี่ยวกับอัตราส่วนและร้อยละที่นำมาออกข้ อสอบ มีคะแนนร้อยละของนักเรียนที่ตอบถูกระดับโรงเรียนต่ำกว่าร้อยละของ นักเรียนที่ตอบถูกระดับประเทศทุกปี (สถาบันทดสอบทางการศึกษาแห่งชาติ, 2562-2564, Online) ผู้วิจัยซึ่งเป็นครูผู้สอนที่รับผิดชอบการสอนในรายวิชาคณิตศาสตร์ ประจำปีการศึกษา 2565 จึงได้สนใจที่จะศึก ษา ข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ เรื่อง อัตราส่วนและร้อยละ ของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 โรงเรียนสังวาลย์วิท ๗ เพื่อนำข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนไปปรับปรุงและพัฒนาการ จัดกิจกรรมการเรียนการสอนของนักเรียนให้นักเรียนมีมโนทัศน์ในเรื่อง อัตราส่วนและร้อยละ พร้อมทั้งพัฒนาข้อบกพร่องของ นักเรียนเพื่อให้นักเรียนมีผลสัมฤทธิ์ที่สูงขึ้น วัตถุประสงค์ เพื่อศึกษาข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ เรื่อง อัตราส่วนและร้อยละ ของนักเรียน ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 โรงเรียนสังวาลย์วิท ๗ ขอบเขตของการวิจัย 1. ประชากรและกลุ่มตัวอย่าง ประชากรที่ใช้ในการวิจัยครั้งนี้ คือ นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 โรงเรียนสังวาลย์วิท ๗ ปีการศึกษา 2565 จำนวน 2 ห้องเรียน จำนวนนักเรียนทั้งหมด 74 คน กลุ่มตัวอย่างที่ใช้ในการวิจัยครั้งนี้ คือ นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 โรงเรียนสังวาลย์วิท ๗ ปีการศึกษา 2565 จำนวน 63 คน (Krejcie & Morgan, 1970, pp. 607-610) ได้จากการสุ่มตัวอย่างแบบง่าย (Simple Random Sampling) 2. ตัวแปรที่ศึกษา ตัวแปรที่ใช้ในการศึกษา คือ ข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ เรื่อง อัตราส่วนและร้อยละ ของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 โรงเรียนสังวาลย์วิท ๗ ปีการศึกษา 2565 ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับ 1. ทราบถึงข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ เรื่อง อัตราส่วนและร้อยละ ของนักเรียน ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 โรงเรียนสังวาลย์วิท ๗ 2. เป็นแนวทางในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ โดยเน้นการแก้ไขข้อบกพร่องและมโนทัศน์ ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ที่นักเรียนเข้าใจผิด 3. เป็นแนวทางแก่ผู้ที่สนใจในการศึกษาข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่น ๆ ทบทวนวรรณกรรม การวิจัยครั้งนี้ได้ศึกษาค้นคว้าเอกสารและงานวิจัยที่เกี่ยวข้องและได้นำเสนอตามหัวข้อต่อไปนี้ ความหมายของมโนทัศน์ สุดารัตน์ เกียรติจรุง พันธ์ (2559, หน้า 228-233) ได้ให้ความหมายไว้ว่า มโนทัศน์ หมายถึง แนวคิดที่ได้ จ าก ประสบการณ์และเป็นความรู้ที่ได้จากสถานการณ์ต่าง ๆ จากการลงมือปฏิบัติ แล้วทำการประมวล จัดลำดับความสัมพันธ์ แล้วสรุปเป็นความเข้าใจของตนเอง ขวัญชนก กิจเธาว์ (2565, หน้า 146) ได้ให้ความหมายของมโนทัศน์ทางคณิ ตตศาสตร์ว่า เป็นความคิด และความ เข้าใจเกี่ยวกับเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ของแต่ละบุคคล ที่สามารถจัดกลุ่มหรือประเภทของสิ่งเร้าที่มีคุณสมบัติบางประการ ร่วมกัน โดยผ่านกระบวนการเรียนรู้ ที่ทำให้ผู้เรียนสามารถสรุปหรืออธิบายความเข้าใจออกมาในรูปของนิยาม ทฤษฎีบท ความหมาย และเป็นข้อสรุปทางคณิตศาสตร์นั้น ๆ กล่าวโดยสรุป มโนทัศน์ เป็นความรู้ ความเข้าใจหรือความคิดรวบยอดเกี่ยวกับเรื่องใดเรื่องหนึ่ง ซึ่งมโนทัศน์ได้มา จากความรู้ที่เกิดจากการเรียนรู้จากประสบการณ์ที่ได้รับมา การลงมือปฏิบัติแล้วทำการประมวลสรุปเป็นความเข้าใจ ของตนเอง ความหมายของข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ พรธิดา สุขกรม (2557) ได้ให้ความหมายของมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนว่าเป็นความเข้าใจผิดหรือการมีความคิด รวบยอดที่ผิดไปจากความเป็นจริงของแต่ละบุคคล ซึ่งเกิดจากการเรียนรู้ที่สร้างขึ้นจากพื้นฐา นความรู้ที่ได้เรียนรู้ก่อนหน้า ที่ไม่สมบูรณ์หรือไม่ถูกต้อง เกิดจากประสบการณ์หรือการรับรู้ที่ไม่ถูกต้องหรือถูกต้องไม่หมด ไม่มีความชัดเจน ภัทริยา อำพันธ์ (2564) ได้ให้ความหมายของมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ว่า เป็นความคิดและความ เข้าใจผิดไปจากความหมายหรือกฎเกณฑ์ที่ตั้งไว้ นอกจากมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ที่เป็นอุปสรรคต่อการเรียน คณิตศาสตร์ของนักเรียนแล้ว ยังมีข้อบกพร่องทางการเรียนที่อาจเกิดขึ้นจากความผิดพลาดของนักเรียนที่เป็นอุปสรรคและ ปัญหาต่อการเรียนรู้ของนักเรียน ดังนั้นในการจัดการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ให้ประสบความสำเร็จนั้น ครูต้องรู้ว่านักเรียน มีข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ด้านใดบ้าง โดยการศึกษาเกี่ยวกับข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่ คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ จะทำให้ครูสามารถหาแนวทางและวิธีการแก้ไขในข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่ค ลาดเคลื่อนทาง คณิตศาสตร์ของนักเรียน รวมทั้งเป็นแนวทางในการปรับปรุงและพัฒนาการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนในครั้งต่อไป ให้มีประสิทธิภาพ กล่าวโดยสรุปว่า ข้อบกพร่องทางการเรียนคณิตศาสตร์ หมายถึง ข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในขณะที่มีการดำเนินการทาง คณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นปัญหาและอุปสรรคต่อการเรียนรู้ทางคณิตศาสตร์ และมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ความคิดและความเข้าใจที่ผิดไปจากความหมายหรือกฎเกณฑ์ที่ตั้งไว้ ซึ่งเป็นปัญหาและอุปสรรคในการเรียนคณิตศาสตร์ และ เป็นสาเหตุที่ทำให้ไม่ประสบผลสำเร็จในการเรียนคณิตศาสตร์ ลักษณะการเกิดมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ เวชฤทธิ์ อังกนะภัทรขจร (2546) ได้แบ่งลักษณะของการเกิดมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนไว้ 4 ด้าน ดังนี้ 1. ด้านการตีความจากโจทย์ เป็นความคลาดเคลื่อนที่เกิดจากการเปลี่ ยนประโยคภาษาทั่วไปให้เป็นประโยค สัญลักษณ์ได้ไม่ถูกต้อง และมีการนำข้อมูลที่โจทย์ไม่ได้กำหนดมาให้หรือนำข้อมูลที่ผิดไปใช้ในการคิดคำนวณ ไม่นำข้อมูลที่ โจทย์กำหนดให้ไปใช้ในการแก้ปัญหา ไม่สามารถเขียนหรือแปลความหมายจากสิ่งที่โจทย์ให้หาได้หรือหาได้ไม่ครบถ้วนหรือ เกินและผิดพลาดหรือไม่ชัดเจน มีการกำหนดตัวแปรแทนสิ่งที่ โจทย์กำหนดให้หาหรือสิ่งที่โจทย์กำหนดให้ผิด ไม่เข้าใจ ความหมายของตัวแปรที่โจทย์กำหนดหรือนำข้อมูลที่โจทย์กำหนดให้มาใช้ผิด  2. ด้านการใช้ทฤษฎีบท สูตร กฎ บทนิยาม และสมบัติ เป็นความคลาดเคลื่อนที่เกิดจากการขาดความรู้พื้นฐาน เกี่ยวกับทฤษฎีบท สูตร กฎ บทนิยาม และสมบั ติ หรือไม่สามารถประยุกต์ใช้ทฤษฎีบท สูตร กฎ บทนิยามและสมบัติได้ จำทฤษฎีบท สูตร กฎ บทนิยามและสมบัติผิด 3. ด้านการคิดคำนวณ เป็นความคลาดเคลื่อนที่เกิดจากการขาดความเข้าใจในหลักพีชคณิตคือไม่สามารถแก้สมการ อสมการหรือแยกตัวประกอบได้หรือขาดความระมัดระวังในหารคิดคำนวณ ขาดความเข้าใจในหลักเลขคณิตเบื้องต้น 4. ด้านการตรวจสอบการแก้ปัญหา เป็นความคลาดเคลื่อนที่เกิดจากการไม่หาคำตอบตามที่โจทย์ต้องการหรือ ทำไม่เสร็จ สรุปคำตอบจากโจทย์ไม่ถูกต้อง ไม่ครบทุกกรณี ไม่สรุปคำตอบให้เป็นผลสำเร็จตามหลักคณิตศาสตร์หรือแสดง วิธีการตรวจคำตอบไม่ครบไม่ชัดเจน ผิดพลาด Wylie and Ciofalo (2010) ได้แบ่งประเภทของมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ไว้ ดังนี้ 1. ความบกพร่องในการใช้แผนภาพ โมเดลและการนำเสนอในรูปแบบอื่น ซึ่งแผนภาพ โมเดลและการนำเสนอ ในรูปแบบต่าง ๆ นั้นถูกใช้ทางคณิตศาสตร์ และบางครั้งอาจเกิดความไม่แน่นอน ไม่สมบูรณ์หรือข้อจำกัดที่ไม่ชัดเจน ในขณะที่ ครูอาจเข้าใจข้อจำกัด แต่นักเรียนยังคงพิจารณาแค่ตามตัวอักษร อย่างเช่น นักเรียนชั้นเล็ก ๆ ไม่ค่อยได้พบเห็นรูปสามเหลี่ยม ที่มีฐานที่ไม่ใช่ตามแนวพื้นราบและอาจอธิบายว่าเป็นสามเหลี่ยมที่คว่ำลง 2. ความบกพร่องในการอ้างอิงในรูปทั่วไปหรือทำให้เป็นรูปอย่างง่าย โดยลักษณะและรายละเอียดของวิธีการทาง คณิตศาสตร์การแสดงออกหรือแนวคิด ที่อาจมีความเป็นนามธรรมลักษณะทั่วไปหรือง่ายจนเกินไป อย่างเช่น นักเ รียนต้อง เข้าใจบางอย่างเมื่อความจริงทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถประยุกต์ใช้ได้ทั่ว ๆ ไป เช่น การบวกจะมีผลต่อการขยายจำนวนเสมอ (ซึ่งไม่ถูกต้องหากเป็นจำนวนลบ) 3. ความสับสนในการใช้ภาษาและคำศัพท์ ซึ่งคำศัพท์และวลีที่ถูกใช้ในการสื่อสารในทั่ว ๆ ไปสามารถสร้างความ สับสนหรือมีความหมายที่ แตกต่างกับ การสื่ อสารทางคณิต ศาสตร์ เช่น คำว่า "mean", "plane", "point" มีความหมาย แตกต่างจากภาษาที่ใช้สื่อสารในทั่ว ๆ ไป 4. ความบกพร่องในการยอมรับข้อความจริง โดยข้อความจริงที่มีพื้นฐานจากสัญชาติญาณเพียงอย่างเดียวหรือจาก การให้เหตุผลที่ผิดพลาดสามารถทำให้เกิดความเข้าใจผิดได้ อย่างเช่น บางครั้งนักเรียนมีความคิดที่ผิดว่าหลักแรกไปทาง ขวามือของทศนิยมเป็นตำแหน่งที่หนึ่ง (พยายามที่จะสมมาตรรอบจุดทศนิยม) 5. ความบกพร่องในการยอมรับการเทียบเท่าที่ เป็นเท็จ วิธีการทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ หรือแนวคิดที่บางครั้ง ดูเทียบเท่าไม่ถูกต้อง อย่างเช่น นักเรียนอาจพยายามที่จะจัดการกับเศษส่วนโดยใช้การให้เหตุผลเรื่องของจำนวนจริง หรือการ สมมติว่าการลบและการหารมีสมบัติการสลับที่เช่นเดียวกับการบวกและการคูณ จากการศึกษาลักษณะของการเกิดมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนของนักการศึกษาที่กล่าวมาข้างต้น พบว่านักเรียนมี มโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนได้หลายรูปแบบที่แตกต่างกัน ซึ่งขึ้นอยู่กับเกณฑ์การแบ่งของนักการศึกษาและนักวิจัยแต่ละท่าน แบบทดสอบวินิจฉัยทางคณิตศาสตร์ การวินิจฉัยข้อบกพร่องทางการเรียน หมายถึง การค้นพบปัญหา สาเหตุ หรืออุปสรรคที่เกิดขึ้ นจากการเรียน ซึ่งทำ ให้นักเรียนไม่ประสบความสำเร็จทางการเรียน การวินิจฉัยข้อบกพร่องทางการเรียนคณิตศาสตร์ หมายถึง การเก็บรวบรวม ปัญหา อุปสรรคและข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในการเรียนคณิตศาสตร์ โดยการวัดจากแบบทดสอบวินิจฉัยทางคณิตศาสตร์ เพื่อนำ ผลการวินิจฉัยนี้มาปรับปรุงและพัฒนาการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ให้มีประสิทธิภาพยิ่งขึ้น และมีนักการศึกษาได้นำเสนอ แนวความคิดเกี่ยวกับแบบทดสอบวินิจฉัยทางคณิตศาสตร์ไว้ ดังนี้  บุญชม ศรีสะอาด (2553, หน้า 50) ให้ความหมายของแบบทดสอบวินิจฉัยว่า เป็นแบบทดสอบที่สร้างขึ้นทำให้ทราบ ถึงจุดด้อย ซึ่งเป็นสาเหตุที่ทำให้ไม่ประสบผลสำเร็จ ในการเรียนของนักเรียน ด้วยเหตุนี้จึงจำเป็นต้องหาทางแก้ไขสิ่งนี้ให้ ตรงจุด เพื่อที่จะแก้ไขในสิ่งที่ทำให้ไม่ประสบผลสำเร็จทางด้านการเรียนของนักเรียนและสามารถเกิดการเรียนรู้และพัฒนาการ เรียนรู้ได้เป็นอย่างดี อรรถโกวิท ไชยประเสริฐ (2555) ได้ให้ความหมายไว้ว่า แบบทดสอบวินิจฉัย หมายถึง แบบทดสอบที่ใช้ค้นหาความ บกพร่องทางการเรียนของนักเรียนรายบุคคล ผลจากการตอบแบบสอบถามสามารถบอกได้ว่านักเรียนบกพร่องในทักษะใด รวมทั้งบอกสาเหตุของความบกพร่องนั้น ข้อบกพร่องอาจเป็นความบกพร่องของนักเรียนหรือของครูผู้สอนก็ได้ กล่าวโดยสรุปว่า แบบทดสอบวินิจฉัยทางคณิตศาสตร์ หมายถึง แบบทดสอบที่ใช้วัดข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่ คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน โดยอาจมีสาเหตุมาจากครูผู้สอน หรือตัวนักเรียนเอง ซึ่งแบบทดสอบวินิจฉัยทาง คณิตศาสตร์มีทั้งแบบทดสอบที่เป็นมาตรฐานและแบบทดสอบที่ครูสร้างขึ้นมา โดยมีทั้งแบบทดสอบที่เป็นข้อสอบปรนัยและ อัตนัย การสร้างแบบทดสอบวินิจฉัย นันทิดา บุญตา (2559) ได้นำเสนอขั้นตอนในการสร้างแบบทดสอบมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ไว้ ดังนี้ 1. ศึกษาหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 และคู่มือครูรายวิชาคณิตศาสตร์ รวมทั้งเอกสาร ต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์เพื่อเป็นแนวทางในการสร้างแบบทดสอบวัดมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ 2. สืบค้นและศึกษางานวิจัยที่เกี่ยวข้องกับการวัดมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ทั้งในประเทศและต่างประเทศ 3. วิเคราะห์มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับเนื้อหางานวิจัย 4. สร้างแบบทดสอบวัดมโนทัศน์ทางคณิต ศาสตร์ บนพื้นฐานงานวิจัยภายในขอบเขตเนื้ อหา เพื่อพัฒนาเป็ น แบบทดสอบวัดมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ก่อนเรีย นและหลังเรียน โดยแต่ละมโนทัศน์จะเป็นแบบทดสอบแบบอัตนัยที่ไม่เน้น การคำนวณ และแบบทดสอบหลังเรียนจะใช้ข้อสอบชุดเดียวกันกับแบบทดสอบก่อนเรียน แต่จะเพิ่มจำนวนข้อในแต่ละ มโนทัศน์อีก 1 ข้อ เพื่อใช้ในการตรวจสอบลักษณะการเปลี่ยนแปลงมโนทัศน์โดยไม่นำมาคิดคะแนนรวมกับข้ อที่มีอยู ่ใน แบบทดสอบทดก่อนเรียน 5. นำแบบทดสอบวัดมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ เสนอต่อผู้เชี่ยวชาญเพื่อตรวจสอบความถูกต้อง ความชัดเจนของ เนื้อหา การใช้ภาษา รวมทั้งเกณฑ์การให้คะแนนและทำการปรับปรุงแก้ไขตามคำแนะนำของผู้เชี่ยวชาญ 6. ปรับปรุงแบบทดสอบวัดมโนทัศน์ทางคณิต ศาสตร์ให้เหมาะสมตามคำแนะนำและนำแบบทดสอบไปใช้ในการ เก็บรวบรวมข้อมูล กล่าวโดยสรุปว่า การสร้างแบบทดสอบวินิจฉัยมีขั้นตอน ดังต่อไปนี้ 1. ศึกษาหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 และเอกสารอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง เพื่อเป็นแนวทาง ในการสร้างแบบทดสอบวัดมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ 2. วิเคราะห์มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ในสาระ และกำหนดจุดประสงค์การเรียนรู้ 3. ศึกษาลักษณะของข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางการเรียนจำแนกรายด้าน 4. สร้างแบบทดสอบวินิจฉัยที่สอดคล้องกับสาระการเรียนรู้และจุดประสงค์การเรียนรู้ตามโครงสร้างที่กำหนดไว้ 5. นำแบบทดสอบวินิจฉัยข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ไปให้ผู้เชี่ยวชายตรวจสอบความ ตรงเชิงเนื้อหา 6. ปรับปรุงข้อสอบและนำไปทดลองใช้กับกลุ่มที่ไม่ใช่กลุ่มตัวอย่าง (try-out)  7. นำผลการทดสอบมาวิ เคราะห์ หาคุ ณ ภาพค่ า ความสอดคล้ องของการกระจายคำตอบของข้ อสอบคู ่ ข นาน ค่าอำนาจจำแนกของข้อสอบรายข้อ และค่าความเชื่อมั่นของแบบทดสอบ 8. คัดเลือก ปรับปรุงข้อสอบให้ได้ข้อสอบวินิจฉัยข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ งานวิจัยที่เกี่ยวข้อง งานวิจัยในประเทศ ภัทริยา อำพันธ์ (2564) ได้ทำการวิจัยเรื่อง การศึกษาข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ เรื่อง อสมการเชิ ง เส้ น ตั ว แปรเดี ย ว ของนั กเรี ย นชั ้ น มั ธ ยมศึ กษาปี ท ี ่ 3 กลุ ่ ม ตั ว อย่ า งที ่ ใช้ ในการวิ จ ั ย ในครั ้ ง นี ้ เป็ น นั ก เรี ย น ชั ้ น มัธ ยมศึ กษาปีท ี่ 3 ที ่ กำลังศึ กษาอยู ่ท ี่ โรงเรีย นชิโนรสวิท ยาลั ย กรุ ง เทพมหานคร ภาคเรี ย นที ่ 1 ปี การศึกษา 2564 จำนวน 102 คน ซึ่งได้จากการสุ่มตัวอย่างแบบกลุ่ม (cluster random samping) เครื่องมือที่ใช้ในการวิจัยคือ แบบทดสอบ วินิจฉัยข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ เรื่อง อสมการเชิงเส้นตัวแปรตัว โดยเป็นแบบทดสอบคู่ขนาน ชนิดปรนัย 4 ตัวเลือก จำนวน 32 ข้อ เพื่อนำไปวิเคราะห์ข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ เรื่อง อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 5 ด้าน ประกอบด้วย (1) ด้านการบิดเบือนทฤษฎีบท กฎ สูตร บทนิยามและสมบัติ (2) ด้าน การตีความด้านภาษา (3) ด้านการใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ (4) ด้านการดำเนินการทางพีชคณิต และ (5) ด้านการสรุป คำตอบของปัญหา สถิติที่ใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูล ได้แก่ ความถี่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต และค่าเฉลี่ยร้อยละ ผลการวิจัยพบว่า กลุ่มตัวอย่างมีข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ โดยเรียงลำดับจากมากไป น้ อยได้ ดั งนี ้ (1) ข้ อบกพร่ องและมโนทัศน์ ที่ คลาดเคลื ่อนทางคณิต ศาสตร์ด ้านการสรุปคำตอบของปั ญหา โดยมีความ คลาดเคลื่อนเฉลี่ยคิดเป็นร้อยละ 74.5 (2) ข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ด้านการดำเนินการ ทางพีชคณิต โดยมีความคลาดเคลื่อนเฉลี่ยคิดเป็นร้อยละ 62.6 (3) ข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ ด้านการใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ โดยมีความคลาดเคลื่อนเฉลี่ยคิดเป็นร้อยละ 60.0 (4) ข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่ คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ด้านการตีความด้านภาษา โดยมีความคลาดเคลื่อนเฉลี่ยคิดเป็นร้อยละ 51.0 งานวิจัยในต่างประเทศ Muzangwa and Chifamba (2012, pp. 1-10) ทำการวิจัย การวิเคราะห์ข้อผิดพลาดและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อน ในการเรียนแคลคูลัสของนักศึกษาระดับปริญญาตรีในมหาวิทยาลัยเกรทซิมบับเว ซึ่งข้อมูลเป็นข้อมูลที่ได้มาจากการรวบรวม ผ่านการทำแบบฝึกหัดแคลคูลัส 1 และ 2 กับนักศึกษาที่ผ่านการเรียนแคลคูลัส 1 ในเทอมแรกโดยให้นักศึกษาทำแบบทดสอบ ก่อนเรียนในตอนเริ่มต้นเพื่อประเมินระดับของผู้เรียนในตอนแรกและเพื่อตรวจสอบว่าสาเหตุของความเข้าใจผิดบางอย่างเป็น เพราะพื้นฐานของผู้เรียน จากนั้นจะทำการทดสอบหลังเรียนเมื่อจบการเรียน (60 ชั่วโมง) จุดมุ่งหมายของงานวิจัยนี้ให้ความ สนใจในเนื้อหาแคลคูลัสเบื้องต้น ได้แก่ ฟังก์ชันลิมิตความต่อเนื่องพื้นฐานการอนุพันธ์และพื้นฐานปริพันธ์ จากการวิจัยพบว่า มโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนเป็นผลมาจากพื้นฐานความรู้ของแคลคูลัสเบื้องต้นที่ไม่ดี อีกทั้งสาเหตุหลักของข้อผิดพลาดคือช่องว่าง ระหว่างความรู้ในพีชคณิตพื้นฐาน Schnepper and Mccoy (2013, pp. 1-7) ทำการวิจัย การวิเคราะห์มโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนในวิชาคณิตศาสตร์ ของนักเรียนระดับมัธยมปลาย กลุ่มตัวอย่างทั้งหมด 38 คน ประกอบด้วยนักเรียนชายจำนวน 19 คน และนักเรียนหญิง จำนวน 19 คน ผู้วิจัยทำการวิเคราะห์การทำงานของนักเรียนที่เข้าร่วมวิ จัยทุกคน จากนั้นคัดเลือกนักเรียนมาสัมภาษณ์ถึง ขั้นตอนและวิธีการแก้ปัญหาจำนวน 5 คน ซึ่งผู้เข้าร่วมจะได้รับการสอนเนื้อหาก่อน จากนั้นผู้วิจัยจะทำการประเมินโดยการ ทดสอบสอบย่อยและผู้วิจัยจะทำการวินิจฉัย วิเคราะห์หาจุดที่ผิดพลาดของนักเรียน โดยระหว่างเรียนข้อผิดพลา ดเหล่านี้ จะได้รับการสอนใหม่อีกครั้ง และในตอนท้ายของบทเรียนนักเรียนจะได้รับการทดสอบท้ายบทซึ่งจะวัดในเรื่องของความรู้ เชิงกระบวนการและความรู้เชิงมโนทัศน์ นอกจากนี้ผู้วิจัยจะทำการแบ่งประเภทของข้อผิดพลาดออกเป็น 5 ประเภท ได้แก่ คำตอบที่ไม่สมบูรณ์ , การใช้ข้อมูลที่ผิด , ข้อผิดพลาดทางเทคนิค , ข้อผิดพลาดที่เกิดจากมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนที่ได้เรียน มาก่อนหน้าและการบิดเบือนทางบทนิยาม โดยจากการวินิจฉัยพบข้อผิดพลาดที่ไม่ซ้ำกันจำนวน 143 จุด จากทั้งหมด 265 จุด ซึ่งหากเรียงลำดับข้อผิดพลาดที่พบจากมากไปน้อยเป็น ร้อยละ(รวมข้อผิดพลาดจุดที่ซ้ำ) ดังนี้ คำตอบที่ไม่สมบูรณ์ , การใช้ข้อมูลที่ผิด , ข้อผิดพลาดทางเทคนิค , ข้อผิดพลาดที่เกิดจากมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนที่ได้เรียนมาก่อนหน้านี้และ การบิดเบือนทางบทนิยามตามลำดับ วิธีดำเนินการวิจัย 1. ประชากรและกลุ่มตัวอย่าง ประชากร ประชากรที่ใช้ในการวิจัยครั้งนี้ คือ นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 โรงเรียนสังวาลย์วิท ๗ ปีการศึกษา 2565 จำนวน 2 ห้องเรียน จำนวนนักเรียนทั้งหมด 74 คน กลุ่มตัวอย่าง กลุ่มตัวอย่างที่ใช้ในการวิจัยครั้งนี้ คือ นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 โรงเรียนสังวาลย์วิท ๗ ปีการศึกษา 2565 จำนวน 63 คน (Krejcie & Morgan, 1970, pp. 607-610) ได้จากการสุ่มตัวอย่างแบบง่าย (Simple Random Sampling) 2. เครื่องมือที่ใช้ในการวิจัย เครื่องมือที่ใช้ในการวิจัยครั้งนี้ เป็นแบบทดสอบวินิจฉัยข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ สำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 เรื่อง อัตราส่วนและร้อยละ ซึ่งเป็นแบบทดสอบประเภทเลือกตอบ 4 ตัวเลือก จำนวน 30 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน โดยมีขั้นตอนในการสร้าง ดังต่อไปนี้ 1. ศึกษาและกำหนดขอบเขตของข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ 3 ด้าน ดังนี้ 1.1 ด้านทฤษฎีบท บทนิยาม 1.1.1 การขาดความเข้าใจพื้นฐาน เกี่ยวกับ ทฤษฎีบท บทนิยาม 1.1.2 การจำทฤษฎีบท บทนิยามไม่ได้ 1.1.3 การขาดทักษะในการเลือกทฤษฎีบท บทนิยามที่เหมาะสมมาใช้ และการประยุกต์ใช้ ทฤษฎีบท บทนิยามไม่ถูกต้อง 1.2 ด้านการคิดคำนวณ 1.2.1 การขาดความเข้าใจหลักการดำเนินการเบื้องต้น 1.2.2 การขาดทักษะในการดำเนินการผิดขั้นตอน 1.2.3 การขาดความระมัดระวังในการคิดคำนวณ 1.3 ด้านการตีความจากโจทย์ปัญหา 1.3.1 การแปลความหมายหรือสื่อความหมายจากประโยคภาษาเป็นประโยคสัญลักษณ์ไม่ถูกต้อง 1.3.2 การนำข้อมูลมาใช้ผิด 2. สร้ า งแบบทดสอบวิ น ิ จ ฉั ย ข้ อ บกพร่ อ งและมโนทั ศ น์ ท ี ่ ค ลาดเคลื ่ อ นทางคณิ ต ศาสตร์ สำหรั บ นั ก เรี ย น ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 เรื่อง อัตราส่วนและร้อยละ ตามมาตรฐานการเรียนรู้และตัวชี้วัด กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 เป็นหลักขอบเขตเนื้อหาเพื่อที่จะ เชื่อมโยงไปยังข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์  3. นำแบบทดสอบวินิจฉัยข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ที่สร้างขึ้น ไปให้อาจารย์ที่ปรึกษา ตรวจสอบ และนำไปให้ผู้เชี่ยวชาญตรวจสอบความเที่ยงตรงเชิงเนื้อหา (IOC) พิจารณาค่าดัชนีความเที่ยงตรงเชิงเนื้อหาของ แบบทดสอบคู่ขนานทั้ง 2 ชุดได้คะแนน 1.00 ซึ่งเป็นข้อสอบที่ใช้ได้ และปรับปรุงแก้ไขตามคำแนะนำของผู้เชี่ยวชาญ 4. นำแบบทดสอบวินิจฉัยข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ไปใช้กับกลุ่มทดลอง และหา คุณภาพของข้อสอบวินิจฉัย โดยตรวจสอบความสอดคล้องของการกระจายคำตอบของข้อสอบคู่ขนานด้วยการทดสอบ ไคกำลังสอง (𝑥 2 - test) พบว่า ค่าความสอดคล้องของการกระจายคำตอบของการตอบข้อสอบทั้ง 2 ชุด โดยใช้วิธีไคสแควร์ (𝑥 2 - test) พบว่าการกระจายคำตอบที่นักเรียนเลือกระหว่างแบบทดสอบคู่ขนานชุดที่ 1 และ ชุดที่ 2 ในข้อที่ 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, และ 15 มีความสอดคล้องกันที่นัยสำคัญทางสถิติที่ระดับ.05 ส่วนข้อสอบ ข้อที่ 6, 11, และ 14 ไม่มีความสอดคล้องกันที่นัยสำคัญทางสถิติที่ระดับ.05 ผู้วิจัยจึงตัดข้อสอบที่ไม่มีความสอดคล้องของ คำตอบในชุดที่ 1 และ ชุดที่ 2 ออกชุดละ 3 ข้อ 5. เมื่อตัดข้อสอบที่ไม่มีความสอดคล้องของการกระจายคำตอบของข้อสอบคู่ขนานในชุดที่ 1 และชุดที่ 2 ออกแล้ว นำไปหาค่าอำนาจจำแนกของข้อสอบรายข้อ พบว่า ค่าอำนาจจำแนก (r) ของแบบทดสอบคู่ขนานทั้ง 2 ชุด จำแนกรายข้อ พบว่าข้อสอบทั้ง 2 ชุด มีค่าอำนาจจำแนกตั้งแต่ 0.269 – 0.716 ซึ่งหมายถึงแบบทดสอบจำแนกได้เป็นข้อสอบที่ดี 6. นำแบบทดสอบวินิจฉัยข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ที่ได้จากกลุ่มทดลองมาวิเคราะห์ หาค่าความเชื่อมั่นของแบบทดสอบโดยใช้โปรแกรมสำเร็จรูป โดยใช้วิธีสัมประสิทธิ์แอลฟาของ Cronbach (∝ - coefficient) ได้ค่าความเชื่อมั่นของข้อสอบ 0.914 ซึ่งอยู่ในเกณฑ์ที่กำหนด 7. นำแบบทดสอบวินิจฉัยข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ สำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษา ปีที่ 6 เรื่อง อัตราส่วนและร้อยละ ที่ผ่านการคัดเลือก 24 ข้อ ไปใช้ทดสอบกับนักเรียนชั้นประถมศึ กษาปีที ่ 6 ที่เป็น กลุ่มตัวอย่างที่ใช้ในการวิจัย 3. การเก็บรวบรวมข้อมูลและการวิเคราะห์ข้อมูล 1. ผู ้ ว ิ จ ั ย ดำเนิ น การเก็ บ รวบรวมข้ อ มู ล ด้ ว ยตนเอง โดยแจกแบบทดสอบวิ น ิ จ ฉั ย ข้ อ บกพร่ อ งและมโนทั ศ น์ ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ สำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 เรื่อง อัตราส่วนและร้อยละ ให้กลุ่มตัวอย่างรายบุคคล จำนวน 63 คน 2. นำผลการทดสอบมาตรวจให้คะแนน 3. การวิเคราะห์ข้อมูลครั้งนี้เป็นผลจากการวินิจฉัยข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ เรื่อง อัตราส่วนและร้อยละ 3 ด้าน คือ ด้านทฤษฎีบท บทนิยาม ด้านการคิดคำนวณ และด้านการตีความจากโจทย์ปัญหา ของ นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 โรงเรียนสังวาลย์วิท ๗ ปีก ารศึกษา 2565 จำนวน 63 คน วิเคราะห์ข้อมูลโดยหาค่าความถี่ ร้อยละ ผลการวิจัย ตาราง ผลการวิเคราะห์ข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ เรื่อง อัตราส่วนและร้อยละ ของนักเรียน ชั้นประถมศึกษาที่ 6 โรงเรียนสังวาลย์วิท ๗ เรียงลำดับจากมากไปน้อย ประเภทของข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ คิดเป็นร้อยละ ด้านการตีความจากโจทย์ปัญหา 68.27 ด้านทฤษฎีบท บทนิยาม 58.40 ด้านการคิดคำนวณ 50.98 สรุปและอภิปรายผลการวิจัย สรุปผลการวิจัย จากการวินิจฉัยข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ เรื่อง อัตราส่วนและร้อยละ 3 ด้าน คือ ด้านทฤษฎีบท บทนิยาม ด้านการคิดคำนวณ และด้านการตีความจากโจทย์ปัญหา ของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 โรงเรียนสังวาลย์วิท ๗ ปีการศึกษา 2565 จำนวน 63 คน โดยใช้ แบบทดสอบวินิจฉัยข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อน ทางคณิตศาสตร์ สำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 เรื่อง อัตราส่วนและร้อยละ ซึ่งเป็นแบบทดสอบประเภทเลือกตอบ 4 ตัวเลือก จำนวน 24 ข้อ ข้อละ 1 คะแนน ผลการวิจัยพบว่า ด้านการตีความจากโจทย์ปัญหา ข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ด้านการตีความจากโจทย์ปัญหา คิดเป็นร้อยละ 68.27 จาก แบบทดสอบวินิจฉัยด้านการตีความจากโจทย์ปัญหา มีทั้งหมด 6 ข้อ ประกอบด้วย ข้อที่ 10, 11, และ 12 ของข้อสอบชุดที่ 1 และข้อสอบชุดที่ 2 ข้อที่มีนักเรียนตอบผิดมากที่สุด คือข้อสอบข้อที่ 10 ของข้อสอบชุดที่ 1 โจทย์คือ ร้านขายเซรามิกแห่ง หนึ่งมีจำนวนจานต่อจำนวนชามในอัตราส่วน 7 : 6 เมื่อนับแล้วมีชามอยู่ 180 ใบ และพบจานชำรุด 5 ใบ ร้านขายเซรามิก มีจานที่ไม่ชำรุดกี่ใบ เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ต ามข้อใด เมื่อพิจารณาคำตอบของนักเรียนพบว่า สาเหตุที่ทำให้เกิด มโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ คือ นักเรียนขาดทักษะในการแปลความหมาย การตีความจากประโยค นำข้อมูลจาก ที่โจทย์กำหนดมาใช้ผิด ด้านทฤษฎีบท บทนิยาม ข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่ อนทางคณิตศาสตร์ด ้านทฤษฎีบท บทนิยาม คิดเป็นร้อยละ 58.40 จาก แบบทดสอบวินิจฉัยด้านทฤษฎีบท บทนิยาม มีทั้งหมด 10 ข้อ ประกอบด้วยข้อที่ 1, 2, 3, 4, และ 5 ของข้อสอบชุดที่ 1 และ ข้อสอบชุดที่ 2 ข้อที่มีนักเรียนตอบผิดมากที่สุด คือข้อสอบข้อที่ 1 ของข้อสอบชุดที่ 2 โจทย์คือ ข้อความในข้อใดต่อไปนี้เป็น ความสัมพันธ์ที่สามารถนำไปเขียนเป็นอัตราส่วนได้ เมื่อพิจารณาคำตอบของนักเรียนพบว่า สาเหตุที่ทำให้เกิดมโนทัศน์ที่ คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ คือ นักเรียนขาดความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับความหมายของอัตราส่วนว่าเป็นการเปรียบเทียบ ปริมาณตั้งแต่ 2 ปริมาณขึ้นไป ที่อาจมีหน่วยต่างกันหรือเหมือนกันก็ได้ ด้านการคิดคำนวณ ข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ด้านการคิดคำนวณ คิดเป็นร้อยละ 50.98 จากแบบทดสอบ วินิจฉัยด้านการคิดคำนวณ มีทั้งหมด 8 ข้อ ประกอบด้วยข้อที่ 6, 7, 8, และ 9 ของข้อสอบชุดที่ 1 และข้อสอบชุดที่ 2 ข้อที่มี นักเรียนตอบผิดมากที่สุด คือข้อสอบข้อที่ 7 ของข้อสอบชุดที่ 1 โจทย์คือ อัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วน 45 : 50 คือข้อใด เพราะเหตุใด เมื่อพิจารณาคำตอบของนักเรียนพบว่า สาเหตุที่ทำให้เกิดมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ คือ นักเรียน ขาดความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับอัตราส่วนที่เท่ากัน ว่าการใช้การคูณหรือการหารเพื่อ “ปรับ” อัตราส่วน คือการเพิ่มหรือลด ตัวเลขทั้งสองให้สอดคล้องกัน การคูณหรือการหารอัตราส่วนด้วยตัวเลขเดียวกันจะทำให้อัตราส่วนนั้นเท่ากับอัตราส่วนเดิม อภิปรายผลการวิจัย จากผลการวินิจฉัยข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ เรื่องอัตราส่วนและร้อยละ ของนักเรียน ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 โรงเรียนสังวาลย์วิท ๗ ปีการศึกษา 2565 จำนวน 63 คน ทั้ง 3 ด้าน คือ ด้านทฤษฎีบท บทนิยาม ด้ า นการคิ ด คำนวณ และด้ า นการตี ความจากโจทย์ ป ั ญ หา จากผลการวิ เคราะห์ น ั ก เรี ย นมี ข ้ อบกพร่ อ งและมโนทั ศ น์ ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์เรียงลำดับจากมากไปน้อย ดังนี้ 1. ด้านการตีความจากโจทย์ปัญหา พบว่านักเรียนไม่สามารถตีความจากประโยคภาษาเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ เช่น ข้อที่มีนักเรียนตอบผิดมากที่สุด คือข้อสอบข้อที่ 10 ของข้อสอบชุดที่ 1 โจทย์กำหนดข้อความว่า ร้านขายเซรามิก แห่งหนึ่งมีจำนวนจานต่อจำนวนชามในอัตราส่วน 7 : 6 เมื่อนับแล้วมีชามอยู่ 180 ใบ และพบจานชำรุด 5 ใบ ร้านขายเซรามิกมีจานที่ไม่ชำรุดกี่ใบ เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ตามข้อใด ในข้อนี้นักเรียนนำข้อมูลที่โจทย์กำหนดมาใช้ผดิ คือ โจทย์ได้กำหนดจำนวนจานต่อจำนวนชามในอัตราส่วน 7 : 6 นักเรียนควรตีความจากโจทย์ได้ว่าจำนวนของจานต้องมี 7 ส่วนและจำนวนของชามต้องมี 6 ส่วน และโจทย์ให้จำนวนของชามมา 180 ใบ ดังนั้น 180 ใบต้องเท่ากับ 6 ส่วน ไม่ใช่ 7 ส่วน ดังนั้นจำนวนของชามที่โจทย์กำหนดให้ต้องนำไปหารด้วย 6 ก่อนเพื่อหาว่า 1 ส่วนเท่ากับกี่ใบ แล้วจึงนำไปคูณด้วย 7 เพื่อหา จำนวนของจานทั้งหมด จากนั้นจะต้องนำไปลบด้วยจำนวนจานที่ชำรุด 5 ใบ จึงจะได้คำตอบว่าเหลือจานที่ไม่ชำรุดกี่ใบ แต่นักเรียนกลับนำจำนวนที่โจทย์กำหนดให้ 180 ใบ ไปหารด้วย 7 ก่อนเพราะสับสนและขาดความรอบคอบหรือไม่เข้าใจ ประเด็นที่โจทย์กำหนดจึงคิดว่าจำนวนที่กำหนดมาให้ 180 ใบ เป็นจำนวนแรกของอัตราส่วนเพราะนักเรียนต้องการหาจำนวน ของจาน ซึ่งเป็นการนำข้อมูลจากที่โจทย์กำหนดมาใช้ผิด นักเรียนจึงเลือกตอบตัวเลือกลวงที่ 4) [(180 ÷ 7) × 6] – 5 = มากที่สุด ในทำนองเดียวกันข้อสอบข้อคู่ขนานของข้อที่ 10 ในข้อสอบชุดที่ 2 นักเรียนก็เลือกตอบในทำนองเดี ยวกันและ มีจำนวนนักเรียนที่ตอบผิดใกล้เคียงกัน จึงเห็นได้ชัดว่านักเรียนยังแปลความจากข้อความได้ไม่ถูกต้องและนำข้อมูลที่โจทย์ กำหนดมาใช้ผิด ขาดความรอบคอบในการแก้ปัญหาทำให้นักเรียนไม่สามารถสร้างประโยคสัญลักษณ์ที่ถูกต้องได้ ดังนั้น ครูผู้สอนจึงควรพัฒนาการจั ดกิจกรรมการเรียนการสอนที่ส่งเสริมให้นักเรียนได้ฝึกฝนการวิเคราะห์โจทย์ปัญหาให้มากยิ่งขึ้น สอดคล้องกับ Wylie and Ciofalo (2010) กล่าวว่าความสับสนในการใช้ภาษาและคำศัพท์ ซึ่งคำศัพท์และวลีที่ถูกใช้ในการ สื่อสารในทั่ว ๆ ไปสามารถสร้างความสับสนหรือมีความหมายที่แตกต่ างกับการสื่อสารทางคณิตศาสตร์ และ Egodawatte (2011) ได้ศึกษาเกี่ยวกับข้อผิดพลาดและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนของนักเรียนระดับมัธยมศึกษาในวิชาพีชคณิต กล่าวไว้ว่า การแปลภาษาพูดให้เป็นภาษาทางพีชคณิตเป็นเรื่องที่ยาก และสอดคล้องกับงานวิจัยของ พรธิดา สุขกรม (2557) ก ล่าวว่า การเกิดข้อผิดพลาดทางด้านภาษาและสัญลักษณ์อาจมีสาเหตุมาจากนักเรียนขาดการฝึกฝนในการเขียนประโยคสัญลักษณ์ รวมไปถึงการไม่เข้าใจความหมายของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์หรือคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์บางคำ 2. ข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ที่รองลงมาคือด้านทฤษฎีบท บทนิยาม จากการวิเคราะห์ แบบทดสอบและการสัมภาษณ์ พบว่า นักเรียนขาดความเข้า ใจเกี่ย วกับความหมายของอัต ราส่ วน จำความหมายของ อัตราส่วนไม่ได้ ขาดทักษะในการนำความหมายเรื่องอัตราส่วนมาประยุกต์ใช้ เช่น ข้อสอบข้อที่ 1 ชุดที่ 2 โจทย์ถามว่า ข้อความในข้อใดต่อไปนี้เป็นความสัมพันธ์ที่สามารถนำไปเขียนเป็นอัตราส่วนได้ เมื่อพิจารณาตัวเลือกที่มีนักเรียนเลือกตอบ มากที่สุด คือตัวเลือกที่ 2) คุณยายขายขนมบัวลอยกับขนมเปียกปูนได้เงิน 980 บาท ได้กำไร 15% ซึ่งมีนักเรียนตอบผิดถึง ร้อยละ 92.10 ของนักเรียนทั้งหมด จากโจทย์เห็นได้ชัดว่ าการที่นักเรียนจะตอบคำถามข้อนี้ได้ นักเรียนจะต้องเข้าใจว่า ข้อความที่จะสามารถนำไปเขียนเป็นอัตราส่วนได้ จะต้องเป็นข้อความที่แสดงการปรียบเทียบปริมาณตั้งแต่ 2 ปริมาณขึ้นไป ที่อาจมีหน่วยต่างกันหรือเหมือนกันก็ได้ แต่คำว่า กำไร 15% ในตัวเลือกที่นักเรียนเลือกตอ บยังถือว่าเป็นปริมาณไม่ได้ เนื่องจากยังไม่ทราบว่าเป็นกำไร 15% จากต้นทุนกี่บาท ในอีกส่วนหนึ่งที่น่าสนใจของการตอบคำถามข้อนี้เมื่อสัมภาษณ์ นักเรียนที่เลือกตอบตัวเลือกนี้ พบว่า ในตัวเลือกนี้ผู้ออกข้อสอบได้มีการลวงที่เป็นจุดสนใจของนักเรียนคือมีการใช้คำว่า เปอร์เซ็นต์ในตัวเลือกนั้นซึ่งจะทำให้นักเรียนเลือกข้อนี้เพราะนักเรียนเห็นว่ากำลังเรียนเรื่องอัตราส่วนและร้อยละจึงเลือกข้อที่ เกี่ยวข้องกับเปอร์เซ็นต์ จะเห็นได้ชัดว่านักเรียนยังไม่มีมโนทัศน์ในเรื่องของอัตราส่วนซึ่งเป็นสิ่งที่ครูผู้สอนเองควรพัฒนา กิ จ กรรมการเรี ย นการสอนให้ น ั ก เรี ย นเกิ ด มโนทั ศ น์ ใ นเรื ่ อ งความหมายของอั ต ราส่ ว นที ่ เ ป็ น พื ้ น ฐานในการเรี ย น เรื่อง อัตราส่วนและร้อยละของนักเรียน เนื่องจากข้อสอบข้อคู่ขนานซึ่งก็คือข้อสอบข้อที่ 1 ชุดที่ 1 นักเรียนเลือกตอบ ในทำนองเดียวกันและมีจำนวนนักเรียนที่ตอบผิดใกล้เคียงกัน และในส่วนของข้อสอบข้อที่ 4 และข้อที่ 5 ของข้อสอบทั้ง 2 ชุด จะเห็นว่ามีนักเรียนตอบถูกเป็นจำนวนมากที่สุดและมีจำนวนนักเรียนตอบถูกใกล้เคียงกันทั้ง 2 ชุด ผู้วิจัยจึงเห็นว่าครูผู้สอน สามารถพัฒนาและส่งเสริมผู้เรียนในเรื่องนี้ให้มีประสิทธิภาพได้มากยิ่งขึ้น อาจจะใช้รูปแบบการสอนที่ซับซ้อนขึ้นหรือท้าทาย ความสามารถของนักเรียนเพื่อส่งเสริมให้นักเรียนเกิดการเรียนรู้ได้ดี มีการคิดขั้นสูง(Higner-order Thinking) เพื่อให้นักเรียน ได้ใช้การคิดในหลายขั้นตอนเนื่องจากนักเรียนมีมโนทัศน์เกี่ยวกับความหมายของร้อยละที่เป็นพื้ นฐานสำหรับการเรียน การ เชื่อมโยงความรู้และการให้เหตุผลในการแก้ปัญหาได้ ผู้วิจัยจึงเห็นว่าเป็นสิ่งที่ครูผู้สอนสามารถนำประโยชน์จากส่วนนี้ไปใช้ได้ สอดคล้องกับงานวิจัยของ Muzangwa and Chifamba (2012, pp. 1-10) ทำการวิจัยเกี่ยวกับการวิเคราะห์ข้อผิดพลาด และมโนทัศน์ ที่คลาดเคลื่อนในการเรียนแคลคูลัส จากการวิจัยพบว่ามโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนเป็นผลมาจากพื้นฐานความรู้ ของแคลคูลัสเบื้องต้นที่ไม่ดี และสอดคล้องกับงานวิจัยของ ภานุวัฒน์ บุราณ (2563) ทำวิจัยเรื่อง การศึกษาข้อบกพร่องและ มโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ เรื่อง การบวกและการลบเศษส่วน ของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ซึ่งผลการวิจัย พบว่านักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 สาเหตุที่ทำให้เกิดข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ คือนักเรียน ขาดความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับหลักการบวกเศษส่วน 3. ข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ด้านการคิดคำนวณ สาเหตุที่ทำให้เกิดข้อบกพร่องและ มโนทั ศ น์ ท ี ่ ค ลาดเคลื ่ อนทางคณิ ต ศาสตร์ คื อ นั กเรี ย นขาดความเข้ า ใจพื ้ น ฐานเกี ่ ย วกั บ อั ต ราส่ ว นที ่ เท่ า กั น หรื อเลื อ ก การดำเนินการที่ไม่สอดคล้องในการแก้ปัญหา เช่น ข้อสอบข้อที่มีนักเรียนตอบผิดมากที่สุด คือข้อสอบ ข้อที่ 7 ของข้อสอบ ชุดที่ 1 โจทย์ถามว่า อัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วน 45 : 50 คือข้อใด เพราะเหตุใด ตัวเลือกที่มีนักเรียนเลือกตอบผิดมากที่สุด คือตัวเลือกที่ 2) 50 : 55 เนื่องจาก 45 + 5 = 50 และ 50 + 5 = 55 จากตัวเลือกที่นักเรียนเลือกตอบจะเห็นว่านักเรียนใช้ การบวกอัตราส่วนด้วยตัวเลขเดียวกัน ในข้อสอบที่เป็นข้อสอบข้อคู่ขนานนักเรียนก็เลือกใช้วิธีดำเนินการในทำนองเดียวกันคือ นำจำนวนไปบวกหรือลบกับอัตราส่วนที่โจทย์กำหนดให้และมีจำนวนนักเรียนที่ตอบผิดใกล้เคียงกัน ผู้วิจัยจึงเห็นว่าควร พัฒนาการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนให้นักเรียนมีมโนทัศน์ว่า การใช้การคูณหรือการหารเพื่อ “ปรับ” อัตราส่วน คือการ เพิ่มหรือลดตัวเลขทั้งสองให้สอดคล้องกัน การคูณหรือการหารอัตราส่วนด้วยตัวเลขเดียวกันจะทำให้อัตราส่วนนั้นเท่ากับ อัตราส่วนเดิม นักเรียนจะใช้การบวกหรือการลบอัตราส่วนด้วยตัวเลขเดียวกันไม่ได้ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญที่ครูผู้สอนจะต้อง ออกแบบและพัฒนากิจกรรมการเรียนการสอนให้นักเรียนมีมโนทัศน์ให้ได้ สำหรับข้อสอบข้อที่ 8 และ 9 ของข้อสอบทั้ง 2 ชุด มีจำนวนนักเรียนตอบถูกมากกว่าจำนวนนักเรียนตอบผิด คือนักเรียนสามารถหาค่าร้อยละและเปอร์เซ็นต์ได้ถูกต้อง ดังนั้น ครูผู้สอนสามารถพัฒนากิจกรรมการเรียนการสอนให้มีความซับซ้อนขึ้นได้เพื่อเป็นการส่งเสริมนักเรียนให้มีทักษะการคิด เนื ่ อ งจากนั ก เรี ย นมี พ ื ้ น ฐานในการหาค่ า ร้ อ ยละและเปอร์ เ ซ็ น ต์ สอดคล้ อ งกั บ งานวิ จ ั ย ของ Luneta and Makonye (2010, pp. 35-45) ทำวิจัยเกี่ยวกับการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนของนักเรียนเกรด 12 ในแอฟริกาใต้ เพื่อศึกษาธรรมชาติของข้อผิดพลาดและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนที่นักเรียนตอบสนองต่อคำถามหรือโจทย์ในวิชาแคลคูลัส จากการวิเคราะห์พบว่า ข้อผิดพลาดและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนส่วนใหญ่เกิดจากช่องว่างทางความ รู้ในเรื่องพื้นฐานทาง พีชคณิต และสอดคล้องกับงานวิจัยของ ภัทริยา อำพันธ์ (2564) ทำการวิจัยเกี่ยวกับการศึกษาข้อบกพร่องและมโนทัศน์ที่ คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ เรื่อง อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ผลการศึกษาพบว่านักเรียน มีความบกพร่องและมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ด้านการคิดคำนวณ คือนักเรียนมีความคลาดเคลื่อนเกี่ยวกับการ ดำเนินการทางพีชคณิต ลำดับการดำเนินการไม่ถูกต้องหรือเข้าใจผิดเกี่ยวกับการดำเนินการของพหุนาม ข้อเสนอแนะในการวิจัย จากผลการวิจัยครั้งนี้ แสดงให้เห็นถึงมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ทางการเรียนวิชาคณิต?