Cours Circuits Électriques PDF 2024/2025

UNIVERSITE SAINT JEAN PAUL II – YAOUNDE CIRCUITS ELECTRIQUES Support de cours rédigé par M. ETIBI OBAM JOSE ROBERTO Enseignant – Chercheur en Science d’Ingénierie Electrique Année académique 2024/2025 Circuits électriques SOMMAIRE SOMMAIRE................................................................................................................ 1 CHAPITRE I : CONCEPTS DE BASE SUR LES CIRCUITS ELECTRIQUES........... 3 I.1. Circuit électrique......................................................................................................... 3 I.2. Charge et courant électrique....................................................................................... 3 I.2.1. La charge................................................................................................................. 3 I.2.2. Le courant électrique................................................................................................ 4 I.3. La tension électrique................................................................................................... 6 I.4. Puissance et énergie électrique.................................................................................. 7 I.5. Eléments de circuit électrique..................................................................................... 9 I.5.1. Les dipôles électriques............................................................................................. 9 I.5.2. Les sources électriques ou générateurs..................................................................10 I.6. Conventions de signe.................................................................................................12 I.7. Des applications pratiques industrielles et de la vie quotidienne................................13 I.7.1. Le tube cathodique TV............................................................................................13 I.7.2. La facture d’électricité.............................................................................................15 I.8. Questions de cours (série 1)......................................................................................16 I.9. Exercices...................................................................................................................16 CHAPITRE 2 : LES LOIS FONDAMENTALES DES CIRCUITS ELECTRIQUES... 18 II.1. Introduction...............................................................................................................18 II.2. Associations des dipôles électriques.........................................................................18 II.2.1. Dipôles passifs linéaires.........................................................................................18 II.2.2. Les lois d’association.............................................................................................19 II.3. La loi d’Ohm..............................................................................................................20 II.3.1. La résistance électrique d’un matériau...................................................................20 II.3.2. Enoncé de la loi d’Ohm..........................................................................................21 II.3.3. La conductance électrique.....................................................................................21 II.4. Régimes électriques..................................................................................................22 II.4. La loi de Kirchhoff en régime continu........................................................................23 II.4.1. Nœuds, branches et boucles.................................................................................23 II.4.2. Loi des nœuds (ou première loi de Kirchhoff ou loi des courants de Kirchhoff)......23 II.4.3. Loi des mailles (ou deuxième loi de Kirchhoff ou loi des tensions de Kirchhoff).....24 II.4.2. Loi des nœuds généralisée....................................................................................25 II.5. Questions de cours (série 2).....................................................................................29 II.6. Exercices..................................................................................................................29 CHAPITRE 3 : THEOREMES GENERAUX DE L’ELECTRICITE EN REGIME CONTINU................................................................................................................. 31 III.1. Introduction..............................................................................................................31 III.2. Théorème de Millman..............................................................................................31 III.3. Principe de superposition.........................................................................................32 III.4. Pont diviseur de tension...........................................................................................36 III.5. Pont diviseur de courant..........................................................................................36 III.6. Théorèmes de Thévenin et de Norton......................................................................37 III.6.1. Théorème de Thévenin.........................................................................................37 III.6.2. Théorème de Norton.............................................................................................39 III.6.3. Équivalence Thévenin - Norton.............................................................................40 Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 1 Circuits électriques III.7. Théorème de Kennelly.............................................................................................40 II.8. Questions de cours (série 3).....................................................................................41 TPE N°1 : Questions Binaires (Q.B)..................................................................................42 TPE N°2 : Application du principe de superposition dans un circuit à trois générateurs....42 TPE N°3 : Calcul d’une différence de potentiels à partir du théorème de Millman.............43 TPE N°4 : Calcul d’un courant par transformations Thévenin Norton successives............43 TPE N°5 : Calcul de la résistance équivalente d’un circuit complexe................................44 Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 2 Circuits électriques CHAPITRE I : CONCEPTS DE BASE SUR LES CIRCUITS ELECTRIQUES I.1. Circuit électrique La théorie des circuits électriques et la théorie électromagnétique sont les deux théories fondamentales sur lesquelles toutes les branches de l’ingénierie électrique sont construites. Un circuit électrique est une interconnexion entre éléments électriques afin de communiquer ou de transférer l’énergie d’un point à un autre. D’une manière générale, tout circuit électrique peut se représenter sous la forme d’un générateur d’énergie alimentant un récepteur chargé de transformer l’énergie électrique reçue en une autre forme exploitable, les deux dispositifs étant reliés par des conducteurs. I.2. Charge et courant électrique I.2.1. La charge Le fonctionnement d’un circuit électrique est décrit par un transfert de charges entre ces deux éléments. Il est couramment admis de représenter ce transfert par un flux d’électrons. La charge électrique est une propriété électrique des particules atomiques qui composent la matière, elle est mesurée en coulombs (C). Chaque atome est constitué d’électrons, de protons et de neutrons. Nous savons aussi que la charge e d’un électron est négative et est égale à 1,602 x 10-19 C, tandis que le proton porte une charge positive de même amplitude que l’électron. La présence d’un nombre égal de protons et d’électrons dans un atome maintient l’atome neutre. En effet, pour 1 C il y a 1/(1,602 x 10 -19) = 6,24 x 1018 électrons. La charge d’un électron ou charge élémentaire e = - 1,602 x 10-19 C. Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 3 Circuits électriques La loi de la conservation établit que les charges ne peuvent être ni créée ni détruites, seulement transformées. Ainsi, la somme algébrique des charges électriques ne change pas. I.2.2. Le courant électrique Quand un fil conducteur (composé d’atomes) est relié à une batterie (une source de force électromotrice) les charges sont obligées de se déplacer ; les charges positives se déplacent dans une direction alors que les charges négatives se déplacent dans la direction opposée. Ce déplacement de charges crée le courant électrique. Le courant électrique est le déplacement d'électrons libres dans un milieu dit conducteur formant un circuit électrique. Si on pouvait observer un point quelconque d'un circuit électrique en fonctionnement et y compter le nombre d'électrons passant pendant un temps donné, on mesurerait alors le « débit » d'électrons libres. Ce « débit d’électrons » est appelé intensité du courant électrique. L’intensité du courant électrique est le taux de variation de la charge, c’est-à- dire la quantité d'électrons libres qui traverse une section de conducteur en une seconde. Désignée par la lettre I, elle se mesure en Ampère [A]. Mathématiquement, la relation entre le courant i, la charge électrique q et le temps t est donnée comme suit : 𝑑𝑞 𝐼= 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐼 𝑒𝑛 𝐴; 𝑞 𝑒𝑛 𝐶 𝑒𝑡 𝑡 𝑒𝑛 𝑠 (1.1) 𝑑𝑡 Remarque : 1 ampère = 1 coulomb/seconde. La charge électrique transférée entre le moment t0 et t est obtenue par l’intégration de l’équation (1.1). Nous obtenons : Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 4 Circuits électriques 𝑡 𝑄 = ∫ 𝑖 𝑑𝑡 (1.2) 𝑡0 Si le courant ne change pas avec le temps, donc il demeure constant, on l’appellera courant continu (c.c.). Un courant continu (c.c.) est donc un courant indépendant du temps. Par convention, le symbole I est utilisé pour représenter Pour le variable un courant courant.avec le temps on utilise le symbole i. Un exemple bien connu d’un courant variable est le courant sinusoïdal ou courant alternatif (c.a.). continu Le courant alternatif (c.a.) est un courant électrique qui périodiquement change de sens. Exercice d’application I.1. Quelle est la charge électrique qui correspond à 4 600 électrons ? Solution : Chaque électron dispose d’une charge électrique de -1,602 x 10-19 C. Par conséquent, 4 600 électrons représentent une charge électrique de : -1,602 x 10-19 C/électron x 4 600 électrons = -7,369 x 10-16 C. Exercice d’application I.2. La charge totale circulant dans un conducteur est exprimée par l’expression q = 5t sin 4πt mC. Calculer le courant pour t = 0,5 s. Solution : 𝑑𝑞 𝑑 𝑖= = (5𝑡 sin 4𝜋𝑡 ) = (5 sin 4𝜋𝑡 + 20𝜋𝑡 cos 4𝜋𝑡 ) 𝑚𝐴 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Pour t=0,5 s, i = 5 sin 2π + 10 π cos 2π = 0 + 10π = 31,42 mA Exercice d’application I.3. Déterminez la valeur de la charge qui circule dans un conducteur pendant l’intervalle de temps t = 1 s et t = 2 s, si l’expression du courant est donnée par l’équation i = (3t2 – t) A. Solution : 2 2 2 2 3 𝑡2 1 𝑄 = ∫ 𝑖 𝑑𝑡 = ∫ (3𝑡 – 𝑡 ) 𝑑𝑡 = [𝑡 − ] = (8 − 2) − (1 − ) = 𝟓, 𝟓 𝑪 𝑡=1 𝑡=1 2 1 2 Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 5 Circuits électriques I.3. La tension électrique Le déplacement des électrons dans un conducteur suivant une direction particulière exige un certain travail ou transfert d’énergie. Ce travail est accompli par une force extérieure à la charge appelée force électromotrice (f.é.m.) généralement assurée par l’existence d’une source d’alimentation. Cette f.é.m. est également connue comme la tension ou différence de potentiel. La différence de potentiel vab entre deux points a et b d’un circuit électrique est l’énergie (ou le travail) nécessaire pour déplacer une charge électrique unitaire du point a au point b. Mathématiquement ceci s’exprime par l’équation : 𝑑𝑤 𝑣𝑎𝑏 = (1.3) 𝑑𝑞 où w est l’énergie, exprimée en joules (J) et q est la quantité de charges électriques, exprimée en coulombs (C). La différence de potentiel vab ou simplement v, est mesurée en volt (V). La tension (ou la différence de potentiel) mesurée en volts (V) est l’énergie nécessaire pour déplacer un électron à travers un conducteur électrique. Remarque : 1 volt = 1 joule/coulomb = 1 newton.mètre/coulomb La différence de potentiel vab peut être interprétée de deux façons : (1) le point a se trouve à un potentiel plus élevé que celui du point b, ou (2) le potentiel du point a par rapport au point b est vab. Il s’ensuit logiquement et en toute généralité que : vab = - vba. Exemple : Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 6 Circuits électriques Deux représentations conventionnelles de la même différence de potentiel vab : (a) le point a se trouve au potentiel + 9V par rapport au point b ; (b) le point b se trouve au potentiel – 9V par rapport au point a. I.4. Puissance et énergie électrique Bien que le courant électrique et la différence de potentiel soient les deux variables de base d’un circuit électrique, ceux-ci ne sont pas suffisants pour définir complètement le circuit. Pour des raisons pratiques, nous avons besoin de savoir la puissance qu’un circuit ou un dispositif électrique peut gérer. Nous savons tous de par l’expérience qu’une ampoule de 100 watts donne plus de lumière qu’une ampoule de 60 watts. Nous savons aussi que lorsque nous payons nos factures d’électricité, nous payons pour l’énergie électrique consommée pendant une certaine période de temps. Ainsi la puissance et l’énergie électrique sont des paramètres très importants dans l’analyse des circuits électriques. La puissance est la vitesse avec laquelle on consomme de l’énergie, mesurée en watts (W). Mathématiquement, la puissance se calcule comme suit : 𝑑𝑤 𝑑𝑤 𝑑𝑞 𝑝= = × = 𝑣. 𝑖 (1.4) 𝑑𝑡 𝑑𝑞 𝑑𝑡 La convention du signe passif est satisfaite lorsque le courant pénètre par la borne positive d’un élément de circuit et dans ce cas p = + vi. Si le courant entre par la borne négative, p = - vi. Exemple : Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 7 Circuits électriques En fait, la loi de conservation de l’énergie doit être respectée dans tout circuit électrique. Pour cette raison, la somme algébrique de la puissance dans un circuit, à tout instant, doit être égale à zéro : ∑𝑝 = 0 (1.5) De l’équation (1.4) l’énergie absorbée ou fournie par un élément pendant l’intervalle de temps de t0 à t est : 𝑡 𝑡 𝑤 = ∫ 𝑝 𝑑𝑡 = ∫ 𝑣𝑖 𝑑𝑡 (1.6) 𝑡0 𝑡0 L’énergie représente la capacité d’un circuit de fournir du travail, mesurée en joules (J). Remarque : Les fournisseurs d’énergie électrique mesurent l’énergie fournie en Wattheure (Wh), soit 1 Wh = 3 600 J. Exercice d’application I.4. Une source d’alimentation assure un courant de 2 A pendant 10 s à travers une lampe à incandescence. Si une énergie de 2,3 kJ se retrouve sous forme de lumière et chaleur, calculer la différence de potentiel aux bornes de cette lampe. Solution : La quantité totale de charge électrique est ∆𝑞 = 𝑖. ∆𝑡 = 2 × 10 = 20 𝐶 ∆𝑤 2,3×103 La différence de potentiel est 𝑣 = = = 𝟏𝟏𝟓 𝑽 ∆𝑞 20 Exercice d’application I.5. Pour t = 3 ms trouver la valeur de la puissance délivrée à un élément de circuit si le courant est entrant par la borne positive de celui-ci. Le courant est donné par l’équation i = 5 cos 60πt A et la différence de potentiel est : (a) v = 3i ; (b) v = 3 di/dt. Solution : Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 8 Circuits électriques (a) La différence de potentiel est v = 3i = 15 cos 60πt et par conséquent, la puissance électrique est p = vi = 75 cos2 60πt W Pour t = 3 ms on obtient : p = 75 cos2 (60π x 3 x 10-3) = 75 cos2 0,18π = 53,48 W (b) Nous pouvons calculer la différence de potentiel et la puissance de la manière suivante : 𝑑𝑖 𝑣=3 = 3(−60𝜋) × 5 sin 60𝜋𝑡 = −900 sin 60𝜋𝑡 𝑉 𝑑𝑡 p = vi = - 4500π sin 60πt cos 60πt W Pour t = 3 ms on obtient : p = - 4500π sin 0,18π cos 0,18π W p = - 14137,167 sin 32,4° cos 32,4° = 6,396 kW Exercice d’application I.6. Quelle est l’énergie consommée par une ampoule de 100W pendant deux heures de fonctionnement ? Solution : w = p t = 100 (W) x 2 (h) x 60 (min/h) x 60 (s/min) w = 200 Wh = 720 000 J = 720 kJ I.5. Eléments de circuit électrique I.5.1. Les dipôles électriques La plupart des circuits électriques sont constitués d’éléments qui possèdent deux bornes. Ce sont des dipôles électriques. Il existe deux types d’éléments de circuit : des éléments passifs (ou dipôles passifs) et des éléments actifs (ou dipôles actifs). Un dipôle actif est un élément de circuit capable de produire de l’énergie et il porte encore le nom de générateur ou source. Comme exemples, on cite les sources d’alimentation, les piles ou les batteries, les amplificateurs opérationnels. Un dipôle passif est un élément de circuit capable de consommer de l’énergie et il porte encore le nom de récepteur. Comme exemples, on cite les résistances électriques, les condensateurs et les inductances. Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 9 Circuits électriques I.5.2. Les sources électriques ou générateurs Il existe deux types de sources d’alimentation : les sources de tension (ou générateurs de tension) et les sources de courant (ou générateurs de courant). En général, ces différentes sources peuvent être présentées sous trois catégories : Les sources indépendantes idéales (ou générateurs parfaits) sont des éléments actifs qui assurent à ses bornes une différence de potentiel ou un courant bien précis qui, en plus est complètement indépendante des autres éléments du circuit. (c) (a) Source indépendante idéale de tension en c.a (b) Source indépendante idéale de tension en c.c (c) Source indépendante idéale de courant Dans d’autres documents vous trouverez d’autres symboles de source indépendante idéale comme suit : Remarque : On note que la source indépendante idéale de tension délivre une tension e (en volts) et l’impose au dipôle récepteur qui présente donc à ses bornes la même tension e. Le courant qui apparaît alors dans le circuit dépend de e et du récepteur. Cette tension e est la différence de potentiel VA − VB. La flèche symbolisant cette différence de potentiel est dirigée vers le potentiel le plus élevé. Comme les électrons sont attirés par le point correspondant au potentiel le plus élevé (A), le courant sera orienté, au sortir du générateur, par une flèche dirigée vers le potentiel le plus élevé. Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 10 Circuits électriques Et la source indépendante idéale de courant qui impose un courant i au dipôle récepteur. La tension qui apparaît alors aux bornes du dipôle récepteur dépend de i et du récepteur. Les sources dépendantes idéales (ou générateurs contrôlés) sont des éléments actifs dont le paramètre de sortie de cette source (courant ou différence de potentiel) est à son tour déterminé par un autre courant ou différence de potentiel. (a) Source dépendante idéale de tension (b) Source dépendante idéale de courant Remarque : Étant donné que le contrôle de la source est réalisé soit par une différence de potentiel (tension) soit par le courant d’un autre élément de circuit, il s’ensuit qu’il y a quatre types possibles de sources dépendantes : ▪ Source indépendante de tension commandée en tension (VCVS) ; ▪ Source indépendante de courant commandée en tension (CCVS) ; ▪ Source indépendante de tension commandée en courant (VCCS) ; ▪ Source indépendante de courant commandée en courant (CCCS). Les sources réelles (ou générateurs réels) : Dans la réalité, les générateurs ne sont pas parfaits et on considère qu’un modèle plus proche de la réalité consiste à associer une résistance en série avec un générateur de tension parfait, ou une résistance en parallèle avec un générateur de courant parfait. Ces résistances sont appelées résistances internes des générateurs. Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 11 Circuits électriques I.6. Conventions de signe Dans un circuit simple composé d’un générateur de tension et d’un dipôle récepteur, compte tenu du fait que la même tension règne aux bornes des deux éléments, et que le même courant circule dans tout le circuit, on note que du côté du générateur, courant et tension sont représentés par des flèches dirigées dans le même sens, alors que du côté du récepteur, elles sont dirigées en sens contraires. Par convention, nous dirigerons systématiquement les flèches des courants et des tensions dans le même sens pour le générateur (convention générateur), et en sens contraires pour tout récepteur (convention récepteur). La tension et l’intensité sont des grandeurs algébriques c'est-à-dire qu’elles peuvent prendre des valeurs positives ou négatives. Remarque : En règle générale, un circuit comprend un seul générateur. Toutefois, certains peuvent en contenir plusieurs. Dans ce cas, si un générateur est considéré comme appartenant à la partie réceptrice du circuit, c’est la convention récepteur que nous utiliserons. Exercice d’application I.7. On considère le schéma ci-dessous : Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 12 Circuits électriques Calculer la puissance électrique de chaque élément du circuit. Solution : Pour calculer p1 nous tenons compte du fait que le courant de 5 A quitte l’élément par la borne positive, donc : p1 = 20(-5) = - 100 W énergie fournie Concernant p2 et p3, le courant entre par la borne positive de chaque élément. p2 = 12(5) = 60 W énergie consommée p3 = 8(6) = 48 W énergie consommée Pour p4 il est à noter que la différence de potentiel est de 8 V (polarité positive pour la borne supérieure) la même différence de potentiel considérée pour calculer p3, parce que l’élément passif et la source dépendante sont tous les deux connectés aux bornes de même polarité. (Rappelons que la différence de potentiel est toujours mesurée entre les bornes d’un élément.) Par convention, le sens du courant est sortant par la borne positive de la source. p4 = 8(-0,2I) = 8(-0,2 x 5) = - 8 W énergie fournie Il faut remarquer que la source indépendante de tension de 20 V et la source dépendante de courant de 0,2I alimentent toutes les deux le schéma considéré, tandis que les deux éléments passifs sont des consommateurs. Nous avons ainsi : p1 + p2 + p3 + p4 = - 100 + 60 + 48 - 8 = 0 Ce qui satisfait les conditions de l’équation (1.5) : l’énergie fournie à un circuit est égale à l’énergie consommée. I.7. Des applications pratiques industrielles et de la vie quotidienne I.7.1. Le tube cathodique TV Une des plus importantes applications du déplacement des électrons est liée à la transmission et à la réception des signaux de télévision. Une caméra de télévision Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 13 Circuits électriques assure la conversion des images optiques en signaux électriques. Le balayage de l’image est assuré, dans la caméra par un faisceau d’électrons. Á la réception, l’image est reconstituée à l’aide d’un tube à rayons cathodiques (CRT) qui est la pièce maîtresse d’un poste TV. Schématiquement, le tube CRT est représenté à la figure ci-dessous. Le faisceau cathodique varie en intensité en fonction du signal d’entrée. Le canon à électrons, maintenu à un potentiel élevé, produit le faisceau d’électrons. Ce faisceau passe à travers les deux jeux de plaques subissant des déviations verticales et horizontales avant d’atteindre finalement l’écran fluorescent du tube TV. Lorsque le faisceau d’électrons frappe l’écran fluorescent du tube CRT, il émet de la lumière à cet endroit et nous assistons à la reconstitution sur l’écran de l’image réceptionnée sous forme des signaux électriques. Exercice d’application I.8. Le faisceau d’électrons d’un tube cathodique TV est porteur d’un nombre de 1015 électrons par seconde. Déterminer la différence de potentiel V0 nécessaire pour accélérer les électrons, en sachant que la puissance du faisceau est de 4 W. Solution : La charge électrique d’un électron est e = - 1,6 x 10-19 C. Si on suppose N le nombre d’électrons contenus par le faisceau, la charge électrique totale du faisceau est q = N e et par conséquent : 𝑑𝑞 𝑑𝑛 𝑖= =𝑒 = (−1,6 × 10−19 )(1015 ) = −1,6 × 10−4 𝐴 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 14 Circuits électriques Le signe négatif signifie que le sens du courant est opposé au sens de déplacement des électrons, comme illustré par la figure. La puissance du faisceau est : 𝑝 4 𝑝 = 𝑉0. 𝑖 => 𝑉0 = = = 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 𝑽 𝑖 1,6 × 10−4 I.7.2. La facture d’électricité Une société du service public d’électricité calcule les factures de ses clients. Le coût de l’électricité dépend de la quantité d’énergie consommée, mesurée en kilowattheures (kWh) (d’autres paramètres affectant le coût, comprennent la demande et le facteur de puissance seront ignorés, pour l’instant). Cependant, même si un consommateur ne consomme pas d’énergie, il y a un minimum de frais que le client doit payer pour rester connecté à la ligne électrique. Avec l’augmentation de la consommation d’énergie, le coût par kWh baissera, c’est le tarif dégressif. Le tableau ci-dessous présente les consommations moyennes mensuelles d’un ménage composé de cinq personnes. Exercice d’application I.9. La consommation d’électricité d’un ménage américain au mois de janvier s’élève à 700 kWh. Calculer la facture d’électricité en respectant les tarifs résidentiels suivants : Frais fixes mensuels : 12,00 $ Les premiers 100 kWh/mois avec un tarif de 0,16 $/kWh Les suivants 200 kWh/mois avec un tarif de 0,10 $/kWh Toute consommation dépassant les 300 kWh est comptabilisée avec un tarif de 0,06 $/kWh Solution : Frais mensuelles fixes : 12,00 $ Les premiers 100 kWh : 100 x 0,16 = 16,00 $ Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 15 Circuits électriques Les suivants 200 kWh : 200 x 0,10 = 20,00 $ Les 400 kWh restants : 400 x 0,06 = 24,00 $ Total facture : 72,00 $ 72 𝐶𝑜û𝑡 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 = = 𝟏𝟎, 𝟐 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒔/𝒌𝑾𝒉 100 + 200 + 400 I.8. Questions de cours (série 1) 1- Définir les termes suivants : Charge électrique – Courant électrique – Intensité du courant électrique – Tension électrique – Courant continu – Courant alternatif – Puissance électrique – Energie électrique – Dipôle électrique – Source électrique – Récepteur électrique. 2- Faire la différence entre les composants des circuits électriques suivants : ▪ Sources idéales ▪ Sources réelles 3- Faire la différence entre les composants des circuits électriques suivants : ▪ Sources indépendantes ▪ Sources dépendantes I.9. Exercices EXERCICE 1 : On considère ci-dessous les schémas illustratifs d’un fil conducteur (composé d’atomes) relié à une batterie (source de force électromotrice). 1.1 En une seule phrase, décrire le phénomène qui se produit dans ce fil conducteur. 1.2 Quelle est la grandeur électrique mise en évidence par ce phénomène ? En déduire alors sa définition la plus simple et sa formule mathématique. 1.3 Si la charge totale qui circule pendant une durée t = 0,5 s dans ce fil conducteur s’exprime par l’expression q = 5t sin 4πt mC, alors déterminer la valeur de cette grandeur électrique. i Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 16 Circuits électriques EXERCICE 2 : La transmission et à la réception des signaux de télévision sont liées au déplacement des électrons accéléré par une différence de potentielle. Une caméra de télévision assure la conversion des images optiques en signaux électriques. Le balayage de l’image est assuré, dans la caméra par un faisceau d’électrons. Á la réception, l’image est reconstituée à l’aide d’un tube à rayons cathodiques (CRT) qui est la pièce maîtresse d’un poste TV. Schématiquement, le tube CRT est représenté à des figures ci-dessous : Le faisceau d’électrons d’un tube cathodique TV est porteur d’un nombre de 2 x 10 16 électrons par seconde. Sachant que la puissance du faisceau est de 16 W et la charge électrique d’un électron est e = - 1,6 x 10-19 C : 2.1 Calculer la valeur de l’intensité du courant électrique qui circule. 2.2 Déterminer la valeur de la tension V0 nécessaire pour accélérer les électrons en kV. 2.3 Calculer la valeur de la résistance du tube cathodique TV en kΩ. 2.4 En déduire la valeur de la conductance électrique de ce tube cathodique TV en µS. Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 17 Circuits électriques CHAPITRE 2 : LES LOIS FONDAMENTALES DES CIRCUITS ELECTRIQUES II.1. Introduction Le premier chapitre a introduit les concepts de base tels que le courant, la tension et la puissance dans un circuit électrique. Déterminer réellement les valeurs de ces variables dans un circuit donné exige que nous comprenions certaines lois fondamentales qui régissent les circuits électriques. Ces lois, comme par exemple la loi d’Ohm et les lois de Kirchhoff, constituent le fondement sur lequel l’analyse des circuits électriques est construite. II.2. Associations des dipôles électriques II.2.1. Dipôles passifs linéaires Trois dipôles passifs sont couramment utilisés dans les circuits électriques. Ils ont la particularité de posséder un fonctionnement qui s’exprime sous la forme d’une équation différentielle simple, linéaire, à coefficients constants. L’équation de fonctionnement d’un dipôle lie la tension à ses bornes et le courant qui le traverse. En supposant que, dans le cas le plus général, ces deux grandeurs sont variables dans le temps, les lois de fonctionnement des trois dipôles passifs usuels sont présentées comme suit : 𝑑𝑖(𝑡) 1 𝑢(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡) 𝑢(𝑡) = 𝐿 𝑢(𝑡) = ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 La loi de fonctionnement d’une résistance est appelée loi d’Ohm. Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 18 Circuits électriques II.2.2. Les lois d’association Deux dipôles quelconques sont dits associés en série si une des bornes de l’un est relié à une des bornes de l’autre, l’ensemble formant un nouveau dipôle. Ils sont dits associés en parallèle si les paires de bornes sont connectées deux à deux. Dans le cas de l’association en série, les deux dipôles sont parcourus par le même courant. La tension totale aux bornes de l’ensemble est égale à la somme des deux différences de potentiel aux bornes de chacun des deux dipôles. Dans le cas de l’association en parallèle, la même différence de potentiel règne aux bornes de chacun des deux dipôles. Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 19 Circuits électriques II.3. La loi d’Ohm II.3.1. La résistance électrique d’un matériau Les différents matériaux présentent en général un comportement caractéristique à s’opposer à la circulation du courant électrique. Cette propriété physique, ou la capacité d’un matériel à s’opposer à la circulation d’un courant, est connue sous l’appellation de résistance électrique et est représenté par le symbole R. La résistance électrique d’un matériau dépend de sa section transversale A et de sa longueur l, comme le montre la figure suivante : Mathématiquement la résistance électrique est exprimée par l’équation : 𝑙 𝑅=𝜌 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑅 𝑒𝑛 𝑂ℎ𝑚 (Ω) (2.1) 𝐴 Où ρ est la résistivité du matériau, en ohm-mètre. Il existe des bons conducteurs, tels que le cuivre, l’aluminium et les métaux en général, qui présentent des faibles valeurs de résistivité, au contraire, d’autres matériaux appelés isolateurs, tels que le mica et le papier, présentent des valeurs élevées de résistivité. Les données ci-dessous présentent les valeurs de ρ pour certains matériaux et reprend les matériaux utilisés pour les conducteurs, isolants et semiconducteurs. Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 20 Circuits électriques II.3.2. Enoncé de la loi d’Ohm La loi d’Ohm est une loi physique permettant de relier l’intensité du courant électrique i traversant un résistor à la tension v à ses bornes. Cette loi s’exprime mathématiquement par : v = R.i (2.2) Et l’expression mathématique de la résistance R mesuré en ohms (Ω), est déduite dans l’équation (2.2) par : 𝑣 𝑅= (2.3) 𝑖 Remarques : ▪ 1Ω = 1 V/A ; ▪ Un court-circuit est un élément de circuit avec une résistance proche de zéro ; ▪ Un circuit ouvert est un élément de circuit avec une valeur de résistance qui tend vers l’infini. II.3.3. La conductance électrique Une grandeur utile dans l’analyse des circuits est l’inverse de la résistance R, connue sous le nom de conductance et désignée par G. 1 𝑖 (2.4) 𝐺= = 𝑅 𝑣 Ainsi, la conductance est la capacité d’un élément à laisser passer un courant électrique ; elle est mesurée en mhos ou en Siemens (S). Remarques : 1 S = 1 mho = 1 A/V ; Le même résistor peut être exprimé en ohms ou siemens. Par exemple, 10 Ω est la même que 0,1 S. De l’équation (2.4), on peut écrire : i = G.v (2.5) La puissance dissipée par un résistor peut être exprimée comme suit : 2 𝑣2 𝑝 = 𝑣. 𝑖 = 𝑖. 𝑅 = (2.6) 𝑅 Exercice d’application II.1. On considère le circuit électrique suivant : Calculer la valeur du courant i, la conductance G et la puissance absorbée p. Solution : Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 21 Circuits électriques La différence de potentiel aux bornes du résistor est la même qu’aux bornes de la source d’alimentation 30V). Ainsi, le courant tiré est : 𝑣 30 𝑖= = = 𝟔 𝒎𝑨 𝑅 5 × 103 La valeur de la conductance est : 1 𝐺= = 𝟎, 𝟐 𝒎𝑺 5 × 103 La puissance consommée est calculée comme suit : p = vi = 30(6 x 10-3) = 180 mW ou p = i2R = (6 x 10-3)2 x (5 x 10-3) = 180 mW ou p = v2G = (30)2 x (0,2 x 10-3) = 180 mW II.4. Régimes électriques Selon la forme de la tension (ou du courant) délivrée par le générateur qui alimente un circuit, on dit que ce circuit fonctionne selon un certain régime : ▪ S’il délivre une tension constante, le circuit fonctionne en régime continu. Les grandeurs continues seront notées avec des lettres majuscules (E pour une tension par exemple). ▪ S’il délivre une tension variable au cours du temps, nous serons dans le cas d’un régime variable et on désignera les grandeurs par des lettres minuscules : e(t), par exemple. ▪ Si la tension délivrée est sinusoïdale : e(t) = E0 cosωt, le régime sera dit sinusoïdal ou harmonique. Les régimes continus et sinusoïdaux font partie des régimes dits permanents ou établis. Souvent, les régimes variables surviennent lorsqu’un circuit passe d’un état permanent à un autre. On parle alors de régimes transitoires. Dans un circuit en régime continu, les tensions et courants dans le circuit sont en général continus. Dans un circuit en régime sinusoïdal, tensions et courants sont tous sinusoïdaux, de même fréquence que la source de tension, mais présentant a priori des déphasages. En régime continu, un élément inductif (une bobine) n’a aucun effet. Son équation de fonctionnement : 𝑑𝑖 𝑢(𝑡) = 𝐿 (2.7) 𝑑𝑡 montre bien que, parcourue par un courant constant quelconque, une bobine présentera toujours une différence de potentiel nulle à ses bornes. De même pour un condensateur, l’équation : 1 𝑢(𝑡) = ∫ 𝑖 (𝑡 )𝑑𝑡 (2.8) 𝐶 montre que si u(t) = Cte, on a bien : Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 22 Circuits électriques 𝑖 (𝑡 ) = 0 (2.9) Donc, en régime continu, aucun courant ne peut traverser un condensateur. En revanche, tout condensateur qui se voit imposer une tension U présente une charge emmagasinée Q telle que : 𝑄 = 𝐶𝑈 (2.10) Un condensateur parfait possède en outre la propriété de conserver cette charge emmagasinée, une fois retirée l’alimentation U. Ceci, bien évidemment, à condition qu’il soit isolé, c’est-à-dire que ses deux bornes ne soient reliées à aucun autre circuit. II.4. La loi de Kirchhoff en régime continu II.4.1. Nœuds, branches et boucles Circuit électrique : Toute association simple ou complexe de dipôles interconnectés, alimentée par un ou plusieurs générateurs. Branche : Partie dipolaire d’un circuit parcourue par un même courant. Noeud : Tout point du circuit commun à plus de deux branches. Maille : Ensemble de branches qui forment une boucle fermée. Considérons le circuit électrique suivant : L’association des résistances R1, R2, R3, R4 et R5 formant le dipôle AC constitue un circuit électrique (ou réseau électrique) alimenté par le générateur de tension E. A, B, C et D sont les nœuds de ce circuit. Le schéma montre trois mailles. Il en existe d’autres, par exemple, en partant du point A, on peut définir une maille qui comprend R2, R3, R5, qui passe par D, puis C et qui rejoint A en incluant R1. II.4.2. Loi des nœuds (ou première loi de Kirchhoff ou loi des courants de Kirchhoff) Considérons le circuit électrique suivant : Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 23 Circuits électriques La somme des intensités des courants qui entrent par un nœud est égale à la somme des intensités des courants qui en sortent. Au nœud A, on obtient : I0 = I1 + I2 Au nœud B, on obtient : I2 = I3 + I4 II.4.3. Loi des mailles (ou deuxième loi de Kirchhoff ou loi des tensions de Kirchhoff) Considérons le circuit électrique suivant : La somme algébrique des tensions le long d’une maille est constamment nulle. Mathématiquement, la loi des tensions de Kirchhoff se traduit par : 𝑀 ∑ 𝑉𝑚 = 0 (2.11) 𝑚=1 Ainsi, en appliquant cette loi dans l’exemple ci-dessus, on obtient : Maille 1 : E − E1 = 0 Maille 2 : E1 − E2 − E4 = 0 Maille 3 : E4 − E3 − E5 = 0 Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 24 Circuits électriques Remarque : Ces lois de Kirchhoff sont présentées ici en régime continu (lettres majuscules pour les tensions et les courants). En réalité, elles restent valables quel que soit le régime. Comme ces lois de Kirchhoff, la plupart des résultats présentés dans ce rappel de cours du premier chapitre sont également valables quel que soit le régime. Toutefois, les exercices qui suivent ne concernent que des circuits en régime continu. II.4.2. Loi des nœuds généralisée Dans un circuit électrique quelconque, la somme algébrique des courants entrant dans une surface fermée est nulle : 𝑀 ∑ 𝐼𝑛 = 0 (2.12) 𝑛=1 Cette équation peut être appliquée à la situation suivante : D’un point de vue pratique, cela signifie que dans un circuit complexe, on peut définir arbitrairement un contour fermé et appliquer la loi des nœuds aux bornes de ce contour. Prenons l’exemple ci-dessous : L’exemple d’application de cette loi des nœuds généralisée pousse à écrire directement : I0 − I1 − I4 − I3 = 0 Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 25 Circuits électriques Remarque : on constate que cette équation correspond à la combinaison des deux équations obtenues en appliquant successivement la loi des nœuds en A et en B. En appliquant la loi des nœuds généralisée, une seule opération est nécessaire pour obtenir ce résultat, au lieu de deux. Exercice d’application II.2. Calcul d’une résistance équivalente Déterminer la résistance équivalente Req du dipôle CD représenté sur la figure ci- dessous : Solution : Le dipôle CD est donc équivalent à l’association en série des résistances R1, r et R5. Sa résistance équivalente est donc : Req = R1 + r + R5 = 100 + 57,1 + 300 = 457,1Ω Exercice d’application II.3. Calcul du courant dans un circuit à deux générateurs Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 26 Circuits électriques Dans le circuit électrique ci-dessous, le dipôle AB formé de l’association en série d’une résistance et d’un générateur parfait de tension continue U, est alimenté par un générateur parfait de tension continue E = 15 V. Déterminer la valeur du courant I circulant dans le circuit. Solution : Le générateur E impose sa tension aux bornes du dipôle AB. En appliquant la convention récepteur aux bornes de R, et en tenant compte du sens de la tension U, on peut placer sur le schéma les flèches symbolisant les différences de potentiel (voir la figure ci-dessous). Il suffit de lire le schéma en considérant que la tension E est bien la somme des deux tensions RI et U : E = U + RI Soit, puisque l’on cherche le courant I : 𝐸 − 𝑈 15 − 10 𝐼= = = 𝟎, 𝟓 𝑨 𝑅 10 Exercice d’application II.4. Calcul de la tension aux bornes d’un générateur de courant Dans le circuit électrique ci-dessous, déterminer la valeur de la tension U aux bornes du générateur de courant. Solution : Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 27 Circuits électriques Le sens du courant I suggère que c’est le générateur E1 qui alimente le reste du circuit, puisque la convention générateur lui est appliquée. Plaçons les différentes tensions (voir la figure ci-dessous). Il vient, à la lecture du schéma : E1 = RI + E2 D’où 𝐸1 − 𝐸2 10 − 15 𝐼= = = 𝟐𝟓 𝒎𝑨 𝑅 200 Exercice d’application II.5. Calcul des différents courants dans un circuit à deux mailles Dans le circuit électrique ci-dessous, déterminer les valeurs des trois courants I1, I2, I0. Solution : Exprimons la loi d’Ohm aux bornes des résistances. La tension E règne aux bornes de R1. On a donc : E = R1.I1 Elle règne aussi aux bornes de l’association en série R2 + R3. Donc : E = (R2 + R3).I2 Soit : 𝐸 10 𝐼1 = = = 𝟐𝟓𝟎 𝒎𝑨 𝑅1 40 𝐸 10 𝐼2 = = = 𝟔𝟐, 𝟓 𝒎𝑨 𝑅2 + 𝑅3 100 + 60 En appliquant la loi des nœuds, on a : I0 = I1 + I2 = 312,5 mA Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 28 Circuits électriques Il vient, à la lecture du schéma : E1 = RI + E2 D’où 𝐸1 − 𝐸2 10 − 15 𝐼= = = 𝟐𝟓 𝒎𝑨 𝑅 200 II.5. Questions de cours (série 2) 1- Définir clairement dans le contexte de cette Unité d’Enseignement, les termes suivants : Résistance – Conductance – Régime continu – Régime variable – Régime harmonique – Régime transitoire – Branche – Nœuds – Maille. 2- Citer deux (02) matériaux conducteurs, deux (02) matériaux semi-conducteurs et deux (02) matériaux isolants les plus utilisés dans le monde. 3- Enoncer la loi d’Ohm et préciser la formule mathématique qui en découle. 4- En application de la loi d’Ohm, donner respectivement l’équation de fonctionnement des récepteurs suivants : résistor, bobine, condensateur. 5- Enoncer la première loi de Kirchhoff accompagnée d’un schéma d’illustration. 6- Enoncer la deuxième loi de Kirchhoff accompagnée d’un schéma d’illustration. 7- Enoncer la loi des nœuds généralisée accompagnée d’un schéma d’illustration II.6. Exercices Exercice 1 : On considère le circuit électrique suivant : Calculer la valeur du courant i, la conductance G et la puissance absorbée p. Exercice 2 : Déterminer la résistance équivalente Req du dipôle CD représenté sur la figure ci- dessous : Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 29 Circuits électriques Exercice 3 : En application des lois d’associations des dipôles, calculer la résistance équivalente du dipôle AB représenté sur la portion de circuit électrique ci-dessous : Exercice 4 : Dans le circuit électrique ci-dessous, le dipôle AB formé de l’association en série d’une résistance et d’un générateur parfait de tension continue U, est alimenté par un générateur parfait de tension continue E = 15 V. Déterminer la valeur du courant I circulant dans le circuit. Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 30 Circuits électriques CHAPITRE 3 : THEOREMES GENERAUX DE L’ELECTRICITE EN REGIME CONTINU III.1. Introduction Ici, nous aborderons un certain nombre d’outils sans aucun doute beaucoup plus puissants que les simples lois de Kirchhoff qui, malheureusement, conduisent en général à un grand nombre d’équations et à de nombreuses inconnues. Les théorèmes qui vont à présent être étudiés permettent d’alléger considérablement les calculs fastidieux et donc de limiter les risques d’erreurs. Nous les abordons, pour le moment, dans le cadre du régime continu mais nous verrons au chapitre suivant qu’ils s’appliquent aussi, d’une certaine manière, au régime sinusoïdal. III.2. Théorème de Millman Le théorème de Millman permet d’exprimer le potentiel en un nœud quelconque d’un réseau en fonction des potentiels aux nœuds voisins. Il est une conséquence de la loi des nœuds et peut donc être utilisé à sa place. L’avantage réside dans le fait qu’on exprime des relations sans courant, uniquement à l’aide de tensions. En utilisant à la fois le théorème de Millman et la loi des mailles, on dispose de deux outils qui permettent de résoudre pratiquement n’importe quel problème d’électrocinétique. Considérons un nœud quelconque d’un circuit électrique ci-dessous : Ce nœud est relié à n points du circuit par l’intermédiaire de n branches possédant chacune une résistance Ri. Soient Vi les tensions aux n points voisins du nœud X. Le potentiel VX s’exprime en fonction des potentiels aux nœuds voisins de la manière suivante : Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 31 Circuits électriques 𝑽𝟏 𝑽𝟐 𝑽𝒏 𝑽 ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒊 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 + ⋯ + 𝑹𝒏 𝑹𝒊 𝑽𝑿 = = 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 + + ⋯ + ∑𝒏𝒊=𝟏 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝑹𝒏 𝑹𝒊 On peut définir également la conductance d’un dipôle résistif par l’inverse de sa résistance. Soit : ∑𝒏𝒊=𝟏 𝑮𝒊 𝑽𝒊 𝑽𝑿 = 𝒏 ∑𝒊=𝟏 𝑮𝒊 Ce qui revient à dire que le potentiel en un nœud quelconque d’un circuit est la moyenne des potentiels aux nœuds voisins, pondérée par les conductances des différentes branches. Exercice d’application III.1. Dans le circuit électrique ci-dessous, calculer déterminer le potentiel au point A. R1 = 15Ω R2 = 10Ω E2 = 15V R3 = 25Ω E2 = 10V Solution : Appliquons le théorème de Millman au point A et on obtient : 𝐸1 0 𝐸1 15 10 𝑅1 𝑅3 + 𝑅2 + + 𝑉𝐴 = = 15 10 1 1 1 1 1 1 + + + + 𝑅1 𝑅3 𝑅2 15 25 10 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑽𝑨 = 𝟗, 𝟔𝟕 𝑽 III.3. Principe de superposition Dans un circuit linéaire possédant plusieurs générateurs de tension et à condition que ces sources soient indépendantes, tout potentiel en un point quelconque (ou tout courant dans une branche du circuit) est égal à la somme des potentiels (ou des courants) créés séparément par chaque générateur, les autres générateurs étant éteints, c’est-à-dire court-circuités. Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 32 Circuits électriques Si le circuit contient des générateurs de tension et des générateurs de courant, le principe reste valable, tant que les sources sont considérées comme indépendantes : on effectue les calculs avec chaque source prise séparément en court-circuitant les autres générateurs de tension et en ouvrant les générateurs de courant (autrement dit en les déconnectant). Les schémas de la figure ci-dessous illustrent ce principe : Trois sources alimentent un circuit dans lequel on recherche la valeur d’un courant I dans une résistance donnée. On calcule en fait ce courant en considérant d’abord uniquement la source de tension EA, les autres sources IB et EC étant éteintes (générateur de courant remplacé par un circuit ouvert et générateur de tension remplacé par un court-circuit). On trouve alors un courant I1. On recommence en calculant le courant I2 généré par la seule présence de IB, les deux générateurs de tension étant court-circuités. Enfin, on calcule I3, courant dû à la seule présence de EC. En appliquant le principe de superposition, on a immédiatement la valeur du courant I en présence des trois sources : I = I1 + I2 + I3 Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 33 Circuits électriques Le principe de superposition étant une conséquence directe de la linéarité des composants du circuit, il est tout à fait clair qu’il est généralisable à tout régime de fonctionnement et à tout circuit contenant uniquement des dipôles linéaires. Dès lors qu’un circuit contient des éléments non linéaires, par exemple des diodes, ce principe ne peut plus s’appliquer. Remarque : Lorsque les générateurs sont dépendants ou liés, ce qui peut arriver lorsque la modélisation de systèmes complexes conduit à introduire de telles sources, le principe de superposition ne peut s’appliquer car en éteignant une source donnée, on agirait sur une source qui lui serait liée. Exercice d’application III.2. Dans le circuit électrique ci-dessous, déterminer le courant I dans la résistance R3 présentée dans le circuit électrique ci-dessous : R1 = 15Ω R2 = 2Ω E1 = 15V R3 = 25Ω E2 = 10V Solution : Dans un premier temps, court-circuitons E2 et on obtient le circuit électrique ci-dessous et soit I1 le courant dans la résistance R3. R1 = 15Ω R2 = 2Ω E1 = 15V R3 = 25Ω Calculons ce courant I1 : il est clair que la connaissance du potentiel au point A nous permettra d’accéder à la valeur du courant I1. Appliquons le théorème de Millman au point A. Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 34 Circuits électriques 𝐸1 15 𝑅1 15 𝑉𝐴 = = = 1,64 𝑉 1 1 1 1 1 1 + + + + 𝑅1 𝑅2 𝑅3 15 2 25 On en déduit immédiatement la valeur de I1 : 𝑉𝐴 1,64 𝐼1 = = = 65,6 𝑚𝐴 𝑅3 25 Dans le second temps, court-circuitons E1 et on obtient le circuit électrique ci-dessous et soit I2 le courant dans la résistance R3. R1 = 15Ω R2 = 2Ω R3 = 25Ω E2 = 10V Calculons ce courant I2 : il est clair que la connaissance du potentiel au point A nous permettra d’accéder à la valeur du courant I2. Appliquons le théorème de Millman au point A. 𝐸2 10 𝑅2 2 𝑉𝐴 = = = 8,20 𝑉 1 1 1 1 1 1 + + + + 𝑅1 𝑅2 𝑅3 15 2 25 On en déduit immédiatement la valeur de I2 : 𝑉𝐴 8,20 𝐼2 = = = 328 𝑚𝐴 𝑅3 25 Appliquons le principe de superposition : en présence des deux générateurs E1 et E2, le courant I dans la résistance R3 vaut : I = I1 + I2 = 65,6 × 10−3 + 328 × 10−3 donc I = 393,6 mA Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 35 Circuits électriques III.4. Pont diviseur de tension Le schéma d’un pont diviseur de tension est donné à la figure suivante. Il s’agit d’une application directe de la mise en série de deux résistances : 𝐸 𝐸 = 𝑅1. 𝐼 + 𝑅2. 𝐼 𝑑′ 𝑜𝑢 𝐼 = 𝑅1 + 𝑅2 La tension aux bornes d’une résistance est égale au produit de sa valeur par l’intensité du courant qui la traverse. Par exemple la tension aux bornes de la résistance R2 va valoir : 𝑅2 𝑈=𝐸 𝑜ù 𝑈 < 𝐸 𝑅1 + 𝑅2 La tension ainsi obtenue est inférieure à E, d’où le nom donné à ce montage. Remarquons au passage, que d’une façon générale, la tension aux bornes d’une résistance placée dans un circuit série comportant n résistances, alimenté par une source de tension E est : 𝑹𝒌 𝑹𝒌 𝑼𝒌 = 𝑬. = 𝑬. 𝒏 𝑹𝟏 + 𝑹 𝟐 + ⋯ + 𝑹𝒏 ∑𝒍=𝟏 𝑹𝒍 III.5. Pont diviseur de courant Le schéma d’un pont diviseur de courant est donné à la figure suivante. Appelons « U » la différence de potentiel qui se trouve aux bornes des différents éléments en parallèle, nous obtenons : Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 36 Circuits électriques 𝑅1. 𝑅2 𝑅1 𝑈 = 𝑅2. 𝐼2 = 𝐼. (𝑅1 //𝑅2 ) = 𝐼. 𝑑 ′ 𝑜ù 𝐼2 = 𝐼. 𝑅1 + 𝑅2 𝑅1 + 𝑅2 Si, maintenant, nous divisons le numérateur et le dénominateur par le produit R1.R2, nous obtenons la relation suivante : 𝐺2 𝐼2 = 𝐼. 𝐺1 + 𝐺2 Cette relation est maintenant sous une forme comparable à celle trouvée pour le diviseur de tension. L’intensité obtenue est toujours inférieure à I, d’où le nom donné à ce montage. D’une façon plus générale, le courant traversant une résistance Ri placée dans un circuit parallèle comportant n résistances, alimenté par une source idéale de courant I, est : 𝑮𝒌 𝑮𝒌 𝑰𝒌 = 𝑰. = 𝑰. 𝒏 𝑮𝟏 + 𝑮 𝟐 + ⋯ + 𝑮𝒏 ∑𝒍=𝟏 𝑮𝒍 III.6. Théorèmes de Thévenin et de Norton Pour analyser le comportement d’un réseau électrique à plusieurs éléments pour différentes charges (calcul de la tension et du courant de sortie), il est préférable de recourir à un modèle simple sans la charge qui se met : ▪ Soit sous la forme d’une source réelle de tension : c’est le modèle de Thévenin, ▪ Soit sous la forme d’une source réelle de courant : c’est le modèle de Norton. Les théorèmes de Thévenin et de Norton permettent de modéliser le comportement d’un dipôle. Ces théorèmes montrent qu’indépendamment de la charge, un réseau quelconque vu entre deux de ces points peut toujours être représenté par une source réelle de tension ou par une source réelle de courant. III.6.1. Théorème de Thévenin Considérons un circuit électrique linéaire placé entre deux points A et B. Vis-à-vis des points A et B (c’est-à-dire vu d’un élément placé entre A et B), le circuit précédent peut être remplacé par un générateur équivalent de Thévenin de force électromotrice ETH et de résistance interne RTH. ▪ La valeur ETH est égale à la tension mesurée entre A et B à vide, c’est-à-dire lorsque le dipôle n’est pas connecté à d’autres éléments externes (charge déconnectée). ▪ La résistance interne RTH correspond à la valeur de la résistance vue entre A et B lorsque les sources indépendantes sont passivées. Considérons la situation illustrée par les montages de la figure ci-dessous : Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 37 Circuits électriques La tension de Thévenin est la tension obtenue à vide entre A et B. Cette tension obtenue aux bornes de R2 se calcule en appliquant le théorème du pont diviseur. La résistance RTH est obtenue en passivant la source de tension E. Il suffit de remplacer la source E par un court-circuit. 𝑹𝟐 𝑹𝟏. 𝑹𝟐 𝑬𝑻𝑯 = 𝑬. 𝒆𝒕 𝑹𝑻𝑯 = 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 Le générateur de Thévenin équivalent est donné à la figure (b). Exercice d’application III.3. Dans le circuit électrique ci-dessous, déterminer le générateur équivalent de Thévenin du dipôle AB représenté sur le circuit électrique ci-dessous en calculant successivement la résistance équivalente du dipôle puis sa tension à vide : E = 15V R2 = 15Ω R1 = 10Ω Solution : Le dipôle AB est équivalent au générateur de Thévenin représenté sur le circuit électrique ci-dessous ; Req représentant la résistance équivalente du dipôle lorsque E est court-circuité, et E0 la tension à vide du dipôle. Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 38 Circuits électriques Req se trouve être la résistance équivalente à l’association parallèle de R1 et R2. 𝑅1. 𝑅2 10 × 15 𝑅𝑒𝑞 = = =𝟔𝜴 𝑅1 + 𝑅2 10 + 15 Pour déterminer la tension à vide E0 du dipôle AB, il suffit d’écrire la loi des mailles dans le circuit dans le circuit d’origine. La tension aux bornes de R2 correspondra bien à cette tension à vide (voir la figure ci- dessous). E = 15V R2 = 15Ω R1 = 10Ω 𝐸0 = 𝑅2. 𝐼 On obtient alors { 𝐸 − 𝑅2. 𝐼 − 𝑅1. 𝐼 = 0 𝐸 𝐸 − 𝑅2. 𝐼 − 𝑅1. 𝐼 = 0 => 𝐼= 𝑅1 + 𝑅2 𝑅2. 𝐸 15 × 15 𝐸0 = 𝑅2. 𝐼 => 𝐸0 = = =𝟗𝑽 𝑅1 + 𝑅2 10 + 15 Le générateur de Thévenin équivalent au dipôle AB est donc un générateur de tension E0 = 9V et de résistance interne Req = 6Ω. III.6.2. Théorème de Norton Tout circuit électrique linéaire peut être remplacé par un dipôle équivalent vis-à-vis des points A et B, c’est-à-dire vu d’un élément placé entre A et B par un générateur de Norton équivalent de courant IN et de résistance interne RN. ▪ La valeur IN du générateur de courant équivalent est égale à l’intensité mesurée entre A et B dans un court-circuit (charge court-circuitée). ▪ La résistance interne RN correspond à la valeur de la résistance vue entre A et B lorsque les sources indépendantes sont passivées. Considérons la situation illustrée par les montages de la figure ci-dessous : Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 39 Circuits électriques Le courant IN est le courant obtenu en court-circuitant la résistance R2. La résistance RN est obtenue en passivant la source de tension E. Il suffit de remplacer la source E par un court-circuit. 𝑬 𝑹𝟏. 𝑹𝟐 𝑰𝑵 = 𝒆𝒕 𝑹𝑵 = 𝑹𝟏 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 Le générateur de Norton équivalent est donné à la figure (b). III.6.3. Équivalence Thévenin - Norton Considérons la situation illustrée par les montages de la figure ci-dessous : Le passage du modèle d’un générateur de Thévenin à celui d’un générateur de Norton conduit à trouver : 𝑹𝑻𝑯 = 𝑹𝑵 𝑬𝑻𝑯 = 𝑹𝑻𝑯. 𝑰𝑻𝑯 = 𝑹𝑻𝑯. 𝑰𝑵 Remarque : 𝐼𝑇𝐻 = 𝐼𝑁 III.7. Théorème de Kennelly Ce théorème permet de transformer le schéma d’un circuit en « 𝜋 » ou étoile en un schéma d’un circuit en « T » ou triangle qui est souvent beaucoup plus facile à étudier. Cette transformation est souvent appelée aussi transformation triangle-étoile. On va alors transformer le circuit électrique représenté par le schéma (a) en circuit électrique représenté par le schéma (b) et réciproquement (voir les figures ci-dessous). Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 40 Circuits électriques D’après le théorème de Kennelly appliqué à la situation schématisée précédemment, on obtient les formules suivantes : ▪ De l’étoile au triangle (∆ → 𝑌) : 𝑅𝐴𝐵.𝑅𝐴𝐶 o 𝑅𝐴 = 𝑅𝐴𝐵 +𝑅𝐵𝐶 +𝑅𝐴𝐶 𝑅𝐴𝐵.𝑅𝐵𝐶 o 𝑅𝐵 = 𝑅𝐴𝐵 +𝑅𝐵𝐶 +𝑅𝐴𝐶 𝑅𝐴𝐶.𝑅𝐵𝐶 o 𝑅𝐶 = 𝑅𝐴𝐵 +𝑅𝐵𝐶 +𝑅𝐴𝐶 ▪ Du triangle à l’étoile (𝑌 → ∆) : 𝑅𝐴.𝑅𝐵 +𝑅𝐴.𝑅𝐶 +𝑅𝐵.𝑅𝐶 o 𝑅𝐴𝐵 = 𝑅𝐶 𝑅𝐴.𝑅𝐵 +𝑅𝐴.𝑅𝐶 +𝑅𝐵.𝑅𝐶 o 𝑅𝐵𝐶 = 𝑅𝐴 𝑅𝐴.𝑅𝐵 +𝑅𝐴.𝑅𝐶 +𝑅𝐵.𝑅𝐶 o 𝑅𝐴𝐶 = 𝑅𝐵 II.8. Questions de cours (série 3) (a) Enoncer le théorème de Millman accompagné d’un schéma d’illustration et de la formule mathématique qui en découle. (b) Enoncer le Principe de superposition accompagné des schémas d’illustration et de la formule mathématique qui en découle. (c) Présenter le principe de pont diviseur de tension à travers un schéma d’illustration et la formule mathématique qui en découle. (d) Présenter le principe de pont diviseur de courant à travers un schéma d’illustration et la formule mathématique qui en découle. (e) Présenter le principe de théorème de Thévenin à travers un schéma d’illustration et la formule mathématique qui en découle. (f) Présenter le principe de théorème de Norton à travers un schéma d’illustration et la formule mathématique qui en découle. (g) Donner les différentes formules de passage du modèle d’un générateur de Thévenin à celui d’un générateur de Norton. (h) Présenter le principe de théorème de Kennelly à travers un schéma d’illustration et la formule mathématique qui en découle. Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 41 Circuits électriques TPE N°1 : Questions Binaires (Q.B) On donne les propositions suivantes. Répondre par vrai ou faux. 1. Le théorème de Millman permet de réduire le nombre d’équations au cours de la résolution d’un problème d’électricité. 2. Le théorème de Millman s’applique même lorsque l’une des branches reliées au point d’application comporte une source de courant. 3. Il est possible d’utiliser le principe de superposition lorsque le circuit contient des bobines et des condensateurs. 4. Le principe de superposition est une conséquence des propriétés de linéarité des dipôles. 5. Une source de courant éteinte est à remplacer par un court-circuit. 6. Si deux sources de tension sont liées, il est malgré tout possible d’utiliser le principe de superposition en gardant allumée ensemble toute paire de sources liées. 7. La tension de Thévenin d’un circuit dipolaire correspond à sa tension à vide. 8. Le générateur de courant de Norton d’un circuit dipolaire correspond à son courant à vide. 9. La résistance interne de Thévenin d’un circuit dipolaire est égale à la résistance interne du générateur de Norton équivalent. 10. Le théorème de Thévenin s’applique uniquement en régime continu. 11. Lorsqu’un circuit dipolaire complexe est relié à un générateur de tension parfait, la connaissance du dipôle équivalent de Thévenin de ce circuit permet de calculer directement le courant débité par le générateur. 12. L’équivalence Thévenin Norton permet de déterminer tous les courants circulant dans un circuit quelconque. TPE N°2 : Application du principe de superposition dans un circuit à trois générateurs Dans le circuit électrique représenté sur la figure ci-dessous, déterminer le courant I dans la résistance R2. Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 42 Circuits électriques TPE N°3 : Calcul d’une différence de potentiels à partir du théorème de Millman On considère le montage représenté sur la figure suivante. 1. Déterminer l’expression du potentiel VA en fonction de VB et de E. 2. Déterminer l’expression du potentiel VB en fonction de VA. 3. En déduire la valeur de la différence de potentiels VA − VB. TPE N°4 : Calcul d’un courant par transformations Thévenin Norton successives Déterminer le courant I dans la résistance R du circuit électrique représenté sur la figure ci-dessous, en n’utilisant que la technique de la transformation Thévenin-Norton. Application numérique : E1 = 10V, I2 = 100mA, E3 = 7V R1 = 60Ω, R2 = 100Ω, R3 = 40Ω, R = 30Ω Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 43 Circuits électriques TPE N°5 : Calcul de la résistance équivalente d’un circuit complexe On considère le montage représenté sur la figure suivante. Déterminer la résistance équivalente entre les points A et E. Application numérique : R1 = R5 = 2 kΩ, R3 = R7 = 3 kΩ, R2 = R6 = 5 kΩ, R4 = 1 kΩ R8 = R9 = 8 kΩ. Cours rédigé et dispensé par M. ETIBI OBAM José Roberto / Niveau 1, USJPII - Yaoundé Page 44

Cours Circuits Électriques PDF 2024/2025

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