Engineering Mechanics (1) Lecture 2: Force Systems (2D) PDF

Engineering Mechanics (1) MEC 021 Lecture 2: Force Systems (2D) Dr. Mokhtar Mohamed Basic Science Engineering Department 2024-2025 Lecture 2 1 Dr. Mokhtar Mohamed ...

Engineering Mechanics (1) MEC 021 Lecture 2: Force Systems (2D) Dr. Mokhtar Mohamed Basic Science Engineering Department 2024-2025 Lecture 2 1 Dr. Mokhtar Mohamed  ‫‪1- Cartesian Vector Form‬‬ ‫‪1.1 The Point:‬‬ ‫النقطة‬ ‫‪ In 2-Dimensions plane‬‬ ‫النقطة فى المستوى‪:‬‬ ‫انطرٌقح األونى‪ :‬وهى انطرٌقح األساسٍح حٍث َحذد يقذار يسافتها عهى يحىر ‪ x‬ومسافتها على‬ ‫محور ‪ y‬مع مراعاة اإلتجاهات السالبة‬ ‫‪Lecture 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Dr. Mokhtar Mohamed‬‬  ‫الطرٌقة الثانٌة‪ :‬معطى مقدار ٌمثل بعد النقطة عن نقطة األصل ‪ origin‬وزاوٌة 𝜃 ٌصنعها مع‬ ‫أحد المحاور األساسٌة ‪x or y‬‬ ‫فً هذه الحالة وطبقا لقاعدة المثلث القائم الزاوٌة فإن‬ ‫𝑒𝑡𝑖𝑠𝑜𝑝𝑝𝑜‬ ‫مقابل‬ ‫𝑡𝑛𝑒𝑐𝑎𝑗𝑑𝑎‬ ‫مجاور‬ ‫= 𝜃 𝑛𝑖𝑠‬ ‫=‬ ‫= 𝜃 ‪cos‬‬ ‫=‬ ‫𝑒𝑠𝑢𝑛𝑒𝑡𝑜𝑝𝑦‪ℎ‬‬ ‫وتر‬ ‫𝑒𝑠𝑢𝑛𝑒𝑡𝑜𝑝𝑦‪ℎ‬‬ ‫وتر‬ ‫هُا َالحظ اٌ احذاثً ‪ y‬نهُقطح ًٌثم انًقاتم نهساوٌح وٌساوي ‪3 sin 30‬‬ ‫تًٍُا َجذ احذاثً ‪ x‬نهُقطح ًٌثم انًجاور نهساوٌح وٌساوي ‪3 cos 30‬‬ ‫)𝟓 ‪So, 𝐴 = (𝟐. 𝟔, 𝟏.‬‬ ‫‪Lecture 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Dr. Mokhtar Mohamed‬‬  ‫‪1.2 The Vectors :‬‬ ‫المتجهات‬ ‫‪The general form:‬‬ ‫الصورة العامة ألي متجه هً‬ ‫𝑗 𝑏 ‪𝑉= 𝑎 𝑖+‬‬ ‫‪in 2-D‬‬ ‫‪ -1‬خط أو متجه ٌصل بٌن نقطتٌن (فى المستوى)‪:‬‬ ‫‪In 2D,‬‬ ‫‪If 𝑨 𝟐, 𝟑 , 𝑩(𝟓, 𝟐),‬‬ ‫‪, then‬‬ ‫𝒋 ‪𝑨𝑩 = 𝑩 − 𝑨 = 𝟑𝒊 −‬‬ ‫‪ -2‬متجه معلوم مقداره والزواٌا التً ٌصنعها مع المحاور‪:‬‬ ‫‪In 2D,‬‬ ‫𝒋))𝟎𝟑(𝒏𝒊𝒔𝟔( ‪𝑨𝑩 = 𝟔𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎 𝒊 +‬‬ ‫‪Lecture 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Dr. Mokhtar Mohamed‬‬  ‫‪1.3 Force :‬‬ ‫القوة‬ ‫أوال‪ :‬القوة فى المستوى‬ ‫ٌتم تحوٌل القوة إلى متجه وتحلٌله بنفس طرٌقة تحلٌل‬ ‫المتجهات إلى مركبات أفقٌة ورأسٌة‬ ‫‪F  Fx i  Fy j‬‬ ‫𝑗 ‪𝐹 = 4.24 cos 45 𝑖 + 4.24 sin 45‬‬ ‫𝑗‪= 3𝑖 + 3‬‬ ‫‪Lecture 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪Dr. Mokhtar Mohamed‬‬  𝐹 = −6 cos 30 𝑖 + −6 sin 30 = −3 3𝑖 − 3𝑗 𝐹 = −20 cos 60 𝑖 + −20 sin 60 𝑗 = −10𝑖 − 10 3𝑗 Lecture 2 6 Dr. Mokhtar Mohamed  𝐹 = 15 cos 45 𝑖 + 15 sin 45 𝑗 Example Find the resultant force in x and y directions Lecture 2 7 Dr. Mokhtar Mohamed  ‫𝑗 )‪𝐹1 = 20cos(20) 𝑖 + 20sin(20‬‬ ‫𝑗 )‪𝐹2 = 15sin(20) 𝑖 − 15cos(20‬‬ ‫𝑗 )‪𝐹3 = − 10 cos 45 𝑖 − 10sin(45‬‬ ‫‪∴ 𝐹𝑥 = 20 cos 20‬‬ ‫‪+ 15 sin 20‬‬ ‫‪− 10 cos 45‬‬ ‫⋯=‬ ‫‪& 𝐹𝑦 = 20sin(20) − 15 cos 20‬‬ ‫‪− 10 sin 45‬‬ ‫⋯=‬ ‫إلٌجاد محصلة القوة النهائٌة فإننا نحتاج لمعرفة مقدار هذه القوة وزاوٌتها التى تصنعها مع محور ‪x‬‬ ‫ٌتم حساب المعٌار )‪ (Magnitude‬من العالقة ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= 𝐹‬ ‫𝑡𝑛𝑒𝑛𝑜𝑝𝑚𝑜𝑐𝑥‬ ‫𝑡𝑛𝑒𝑛𝑜𝑝𝑚𝑜𝑐𝑦 ‪+‬‬ ‫𝑝𝑚𝑜𝑐𝑦 ‪−1‬‬ ‫= 𝜙 مع مراعاة الربع المناسب‬ ‫( ‪tan‬‬ ‫)‬ ‫وٌتم حساب الزاوٌة من العالقة‬ ‫𝑝𝑚𝑜𝑐𝑥‬ ‫‪Lecture 2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪Dr. Mokhtar Mohamed‬‬  ‫‪2- Parallelogram and Trigonometric Laws‬‬ ‫طريقة متوازي األضالع والعالقات المثلثية‬ ‫انخطىج األونى‪:‬‬ ‫رسمنا موازٌات للقوى إلكمال متوازي أضالع‬ ‫نفس المحصلة ولكن‬ ‫شكل القوتٌن فى‬ ‫حٌث المحصلة هً القطر‬ ‫بعد استخدام الموازي‬ ‫المسألة‬ ‫للقوة الثانٌة‬ ‫انخطىج انثاٍَح‪ :‬استخذاو يثهث واحذ يٍ يتىازي األضالع وتطثٍق قاَىٌ ‪ cos‬نحساب انًعٍار‬ ‫وقاَىٌ ‪ sin‬نهساوٌح‬ ‫‪Lecture 2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪Dr. Mokhtar Mohamed‬‬  Example The screw eye in Fig. is subjected to two forces, F1 and F2. Determine the magnitude and direction of the resultant force. Lecture 2 10 Dr. Mokhtar Mohamed  Using Cartesian Vector Form 𝐹1 = 100 cos 15 𝑖 + 100sin(15) 𝑗 𝐹2 = 150 sin 10 𝑖 + 150 cos 10 𝑗 Then: 𝐹𝑅 = 100 cos 15 + 150 sin 10 𝑖 + 100 sin 15 + 150 cos 10 𝑗 = 122.64𝑖 + 173.6𝑗 𝐹𝑅 = 122.6 2 + 173.6 2 = 212.53 𝑁 −1 173.6 𝜙 = tan = 54.8𝑜 122.64 Lecture 2 11 Dr. Mokhtar Mohamed  ‫”‪Using Graphical Method “Parallelogram‬‬ ‫َرسى يىازٌاخ نهقىتٍٍ كًا تانشكم إلكًال يتىازي االضالع‬ ‫وَحسة انسواٌا‬ ‫خالل انًثهث األًٌٍ َطثق قاَىٌ ال ‪ cos‬نهًثهث نحساب يعٍار‬ ‫انقىج انًحصهح‬ ‫𝑅𝐹‬ ‫=‬ ‫‪100‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+ 150‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪− 2 100 150 cos(115‬‬ ‫𝑁‪= 212.55‬‬ ‫ولحساب الزاوٌة نطبق قانون ال ‪ sin‬داخل المثلث المقابل‬ ‫‪150‬‬ ‫‪212.55‬‬ ‫=‬ ‫‪sin(θ) sin 115‬‬ ‫‪Then: θ = 39.8o ,so ϕ = 39.8 + 15 = 54.8o‬‬ ‫‪Finally:‬‬ ‫‪FR ≅ 213N,‬‬ ‫‪ϕ = 54.8o‬‬ ‫‪Lecture 2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪Dr. Mokhtar Mohamed‬‬  Example The link is subjected to two forces F1 and F2. Determine the magnitude and orientation of the resultant force. Lecture 2 13 Dr. Mokhtar Mohamed  Solution 1: Using Cartesian Vector Form F1 = { 600cos30°}i + {600sin30° } j F2 = { -400sin45°}i + {400cos45°} j Thus, FR = F1 + F2 = (600cos30º - 400sin45º ) i + (600sin30º + 400cos45º ) j = {236.8 i + 582.8 j} N The magnitude and direction of FR are determined in the same manner as before. Lecture 2 14 Dr. Mokhtar Mohamed  Solution 2: Using Scalar Notaion FRx  Fx : FRx  600 cos 30N  400 sin 45N  236.8N FRy  Fy : FRy  600 sin 30N  400 cos 45N  582.8N  Lecture 2 15 Dr. Mokhtar Mohamed  Resultant Force FR  236.8N 2  582.8N 2  629 N  582.8 N    tan 1    236.8 N   67.9 Lecture 2 16 Dr. Mokhtar Mohamed Lecture 2 17 Dr. Mokhtar Mohamed