Engineering Mechanics: Past Paper - University of Patras

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Επικ. Καθηγήτρια Μ. Φαββατά A (5, -5, 5) z F1 = 10 𝟐 kN 𝑭𝟏 = 𝟖 𝒊Ԧ + 𝟔 𝒋Ԧ + 𝟏𝟎...

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Επικ. Καθηγήτρια Μ. Φαββατά A (5, -5, 5) z F1 = 10 𝟐 kN 𝑭𝟏 = 𝟖 𝒊Ԧ + 𝟔 𝒋Ԧ + 𝟏𝟎𝒌 F2 = 20 kN B (0, -4, 0) 𝑭𝟐 = 𝟐𝟎 𝒋Ԧ 𝟏 𝝀𝟎 = 𝑨𝑩 = (−𝟓 𝒊Ԧ + 𝒋Ԧ − 𝟓𝒌) 𝟓𝟏 Γ Δ 5m A 𝒓𝟏 = 𝑨𝑶 = −𝟓 𝒊Ԧ + 𝟓𝒋 − 𝟓𝒌 𝑭𝟐 B 𝑭𝟏 𝒓𝟐 = 𝑨𝚪 = − 𝒊Ԧ + 𝟓𝒋 Ο y 4m 𝟒𝟎 𝚳𝟏 = − 𝒌𝑵𝒎 𝟓𝟏 𝟔𝟎 𝑴= = 𝟖. 𝟒𝟎 𝒌𝑵𝒎 3m 𝟏𝟎𝟎 𝟓𝟏 𝚳𝟐 = 𝒌𝑵𝒎 x 𝟓𝟏 Ροπή της συνισταμένης δύναμης 𝑹 ως προς A Ροπή της συνισταμένης δύναμης 𝑹 ως προς O Να γίνει σχολιασμός των αποτελεσμάτων Θεώρημα Varignon «Το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ενός συστήματος ως προς σημείο Ο ισούται με την ροπή της συνισταμένης δύναμης του συστήματος ως προς το ίδιο σημείο» 𝑛 ෍ 𝑟Ԧ𝑖 × 𝐹Ԧ𝑖 = 𝑟Ԧ × R 𝑖=1 𝒏 𝑹 = ෍ 𝑭𝒊 = 𝑹𝒙 𝒊 + 𝑹𝒚 𝒋Ԧ + 𝑹𝒛 𝒌 𝒊=𝟏 1  ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Επικ. Καθηγήτρια Μ. Φαββατά Διανυσματικές εκφράσεις δυνάμεων 𝐅𝒊 : 𝑭𝟏 = 𝟐𝟓 𝟑 𝒊 − 𝟐𝟓 𝒋 𝑭𝟐 = −𝟓𝟎 𝒊 − 𝟓𝟎 𝟑 𝒋 𝑭𝟑 = −𝟐𝟎 𝒊 + 𝟒𝟎 𝒋 𝑭𝟒 = 𝟔𝟎 𝒊 + 𝟒𝟓 𝒋 Συνισταμένη Δύναμη 𝐑 : 𝑹 = 𝟑𝟑. 𝟑 𝒊 − 𝟐𝟔. 𝟔 𝒋 𝑹 = (𝟐𝟓 𝟑 −𝟏𝟎) 𝒊 + (𝟔𝟎 − 𝟓𝟎 𝟑) 𝒋 Διανυσματικές εκφράσεις ροπών 𝚳𝒊 ως προς Ο 𝑴𝟏 = −𝟕𝟓 𝟑 𝒌 y' 𝑴𝟐 = −𝟐𝟓𝟎 𝟑 𝒌 𝑴𝟑 = 𝟏𝟖𝟎 𝒌 33.3kN x' 𝑴𝟒 = −𝟒𝟓 𝒌 𝟑𝟖. 𝟔0 Συνισταμένη ροπή 𝚳 ως προς Ο 26.6kN 𝑹(42.62 kN) 𝑴 = 𝑴𝟏 + 𝑴𝟐 + 𝑴𝟑 + 𝑴𝟒 = (−𝟑𝟐𝟓 𝟑 +𝟏𝟑𝟓) 𝒌 𝑴 = − 𝟒𝟐𝟕. 𝟗𝟐 𝒌 𝑹 = 𝟑𝟑. 𝟑 𝒊 − 𝟐𝟔. 𝟔 𝒋 𝑴 = − 𝟒𝟐𝟕. 𝟗𝟐 𝒌 y' Y 33.3kN x' 𝟑𝟖. 𝟔0 26.6kN 𝑹(42.62 kN) O 𝚳 (427.92 kNm) X 2  ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Επικ. Καθηγήτρια Μ. Φαββατά Διανυσματικές εκφράσεις δυνάμεων 𝐅𝒊 : 𝑭𝟏 = 𝟐𝟓 𝟑 𝒊 − 𝟐𝟓 𝒋 𝑭𝟐 = −𝟓𝟎 𝒊 − 𝟓𝟎 𝟑 𝒋 𝑭𝟑 = −𝟐𝟎 𝒊 + 𝟒𝟎 𝒋 𝑭𝟒 = 𝟔𝟎 𝒊 + 𝟒𝟓 𝒋 Συνισταμένη Δύναμη 𝐑 : 𝑹 = 𝟑𝟑. 𝟑 𝒊 − 𝟐𝟔. 𝟔 𝒋 𝑹 = (𝟐𝟓 𝟑 −𝟏𝟎) 𝒊 + (𝟔𝟎 − 𝟓𝟎 𝟑) 𝒋 Διανυσματικές εκφράσεις ροπών 𝚳𝒊 ως προς Ο 𝑛 𝑴𝟏 = −𝟕𝟓 𝟑 𝒌 ෍ 𝑟Ԧ𝑖 × 𝐹Ԧ𝑖 = 𝑟Ԧ × R 𝑴𝟐 = −𝟐𝟓𝟎 𝟑 𝒌 𝑖=1 𝑴𝟑 = 𝟏𝟖𝟎 𝒌 𝑴𝟒 = −𝟒𝟓 𝒌 Συνισταμένη ροπή 𝚳 ως προς Ο 𝒊 𝒋 𝒌 𝑴 = 𝒓 × 𝑹 = 𝒓𝒙 𝒓𝒚 𝟎 𝑴 = 𝑴𝟏 + 𝑴𝟐 + 𝑴𝟑 + 𝑴𝟒 = (−𝟑𝟐𝟓 𝟑 +𝟏𝟑𝟓) 𝒌 𝟑𝟑, 𝟑 −𝟐𝟔, 𝟔 𝟎 𝑴 = − 𝟒𝟐𝟕. 𝟗𝟐 𝒌 Y 𝑹 = 𝟑𝟑. 𝟑 𝒊 − 𝟐𝟔. 𝟔 𝒋 𝑴 = − 𝟒𝟐𝟕. 𝟗𝟐 𝒌 33.3kN 𝟑𝟖. 𝟔0 26.6kN 𝒓 𝑹 (42.62 kN) 𝒓 X O 𝚳 (427.92 kNm) 𝒓 𝒓 3  ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Επικ. Καθηγήτρια Μ. Φαββατά 𝒓 = 𝒙 ∙ 𝒊Ԧ (16.09, 0.0) Y 𝑹 = 𝟑𝟑. 𝟑 𝒊 − 𝟐𝟔. 𝟔 𝒋 𝑴 = − 𝟒𝟐𝟕. 𝟗𝟐 𝒌 33.3kN 𝒓 = 𝒚 ∙ 𝒋Ԧ 𝟑𝟖. 𝟔0 26.6kN (12.85, 0.0) 𝑹 (42.62 kN) 𝒓 𝒓 X 𝒓 O 𝚳 (427.92 kNm) 𝒓 (0.0, 12.85) 𝑴 = − 𝟒𝟐𝟕. 𝟗𝟐 𝒌 33.3kN 𝑹 = 𝟑𝟑. 𝟑 𝒊 − 𝟐𝟔. 𝟔 𝒋 𝟑𝟖. 𝟔0 26.6kN 𝑹 (42.62 kN) (16.09, 0.0) 𝚳 (427.92 kNm) φορέας ενέργειας της R 𝒊 𝒋 𝒌 𝒊 𝒋 𝒌 𝑴 = 𝒓 × 𝑹 = 𝟏𝟔, 𝟎𝟗 𝟎 𝟎 𝑴= 𝒓 × 𝑹= 𝟎 𝟏𝟐, 𝟖𝟓 𝟎 𝟑𝟑, 𝟑 −𝟐𝟔, 𝟔 𝟎 𝟑𝟑, 𝟑 −𝟐𝟔, 𝟔 𝟎 4  ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Επικ. Καθηγήτρια Μ. Φαββατά (0.0, 12.85) 𝑴 = − 𝟒𝟐𝟕. 𝟗𝟐 𝒌 33.3kN 𝑹 = 𝟑𝟑. 𝟑 𝒊 − 𝟐𝟔. 𝟔 𝒋 𝟑𝟖. 𝟔0 26.6kN 𝑹 (42.62 kN) (16.09, 0.0) 𝚳 (427.92 kNm) φορέας ενέργειας της R 𝜽𝒙 = −38.6ο 𝜽𝒚 = 𝟐𝟑𝟏. 𝟒ο Συστήματα Δυνάμεων και Ροπών Ομάδα δυνάμεων που ασκούνται σε ένα ή περισσότερα υλικά σώματα. Διακρίνονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τις γεωμετρικές ιδιότητες των φορέων των δυνάμεων: (α) Σύστημα συντρεχουσών δυνάμεων οι φορείς των δυνάμεων συντρέχουν σε κάποιο σημείο στο χώρο 𝑴𝐤 (β) Σύστημα συνεπιπέδων δυνάμεων οι φορείς των δυνάμεων βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (γ) Σύστημα παραλλήλων δυνάμεων 𝑴𝟏 οι φορείς των δυνάμεων είναι όλοι παράλληλοι μεταξύ τους 𝑴2 (δ) Γενικό σύστημα δυνάμεων οι φορείς των δυνάμεων έχουν τυχαίες διευθύνσεις στο χώρο 5  ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Επικ. Καθηγήτρια Μ. Φαββατά Ισοδύναμα Συστήματα Δυνάμεων και Ροπών z Αναγωγή δύναμης ενός συστήματος σε ένα σημείο του χώρου A O Ορισμός: Παράλληλη μετατόπιση του φορέα της y δύναμης F στο εν λόγω σημείο (π.χ. σημείο Ο) x Αποτέλεσμα: Στο σημείο αναγωγής εφαρμόζονται y 𝑭 𝑭 (α) δύναμη παράλληλη, ομόρροπη και ίση κατά μέτρο με την F και 𝒓 Ο x (β) ροπή Μο Α (ροπή της δύναμης 𝐹Ԧ ως προς σημείο Ο) 𝜧𝝄 ⊥ xy 𝑭 Ισοδύναμα Συστήματα Δυνάμεων και Ροπών Ροπή Ζεύγους Δυνάμεων Ζεύγος δυνάμεων: Δύο παράλληλες δυνάμεις ίσες κατά μέγεθος με αντίθετη φορά. Το ζεύγος δυνάμεων τείνει να περιστρέψει το σώμα στο οποίο ενεργεί. Η δράση του ζεύγους δυνάμεων αποκλείει οποιαδήποτε τάση για μετατόπιση σώματος. B B 𝑭 𝒓𝑨𝑩 𝑭 𝒓𝑩𝑨 −𝑭 −𝑭 Α Α 𝑴 𝑴 Vector mechanics for engineers: statics and dynamics Ferdinand Beer et al.— 10th ed. 6  ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Επικ. Καθηγήτρια Μ. Φαββατά Ισοδύναμα Συστήματα Δυνάμεων και Ροπών Ροπή Ζεύγους Δυνάμεων Ζεύγος δυνάμεων: Δύο παράλληλες δυνάμεις Ροπή Ζεύγους δυνάμεων: Ισούται με τη ροπή ίσες κατά μέγεθος με αντίθετη φορά. της μιας από τις δυο δυνάμεις που συνιστούν το ζεύγος ως προς τυχαίο σημείο του φορέα της Το ζεύγος δυνάμεων τείνει να περιστρέψει το άλλης. σώμα στο οποίο ενεργεί. 𝚳 = 𝒓𝑨𝑩 × 𝑭 = (−𝒓𝑩𝑨 ) × 𝑭 Η δράση του ζεύγους δυνάμεων αποκλείει οποιαδήποτε τάση για μετατόπιση σώματος. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων B παραμένει σταθερή ως προς 𝑭 𝒓𝑨𝑩 B οποιοδήποτε σημείο του χώρου. 𝑭 𝒓𝑩𝑨 −𝑭 και Α −𝑭 ανεξάρτητη της θέσης του κέντρου Α 𝑴 𝑴 ροπών (ελεύθερο διάνυσμα) Ισοδύναμα Συστήματα Δυνάμεων και Ροπών Ροπή Ζεύγους Δυνάμεων Η ροπή ζεύγους είναι το μέγεθος που καθορίζει πλήρως το ζεύγος δυνάμεων. Ροπή και ζεύγος δυνάμεων είναι έννοιες ταυτόσημες. Ροπή δύναμης ως προς οποιοδήποτε σημείο μπορεί να αντικατασταθεί με ένα ζεύγος δυνάμεων και αντίστροφα. y 𝑭 −𝑭 B B d 𝑭 𝒓𝑨𝑩 𝑭 𝒓𝑩𝑨 −𝑭 Ο x Α −𝑭 Α 𝑴 𝑴 M= F∙ d 𝜧𝝄 ⊥ xy 7  ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Επικ. Καθηγήτρια Μ. Φαββατά Να προσδιορισθεί πάνω στον μοχλό η απόσταση από το Ο στην οποία θα πρέπει να εφαρμοσθεί μια μόνο δύναμη η οποία θα είναι ισοδύναμη ως προς το σύστημα δυνάμεων που φαίνονται στο σχήμα. Vector mechanics for engineers: statics and dynamics Ferdinand Beer et al.— 10th ed. Να προσδιορισθούν οι συνιστώσες του μοναδικού ζεύγους δυνάμεων που είναι ισοδύναμο με τα δυο ζεύγη που φαίνονται στο σχήμα. 0.18m 0.30m 𝚳 = −𝟔𝟗 𝒊 + 𝟑𝟎 𝒋 + 𝟐𝟑 𝒌 150N 100N 0.23m 0.23m 100N 150N Να αντικαταστήσετε κάθε φόρτιση με ένα ισοδύναμο σύστημα δυνάμεων στο άκρο Α. Ποιες από τις φορτίσεις είναι ισοδύναμες. Vector mechanics for engineers: statics and dynamics Ferdinand Beer et al.— 10th ed. 8  ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Επικ. Καθηγήτρια Μ. Φαββατά Να προσδιορισθεί το ισοδύναμο σύστημα ζεύγος δύναμης στο σημείο Α. 𝑹 = -420Ԧ𝒊 - 50 𝒋Ԧ - 250 𝒌 𝑴 = 30.8 𝒋Ԧ - 22 𝒌 Vector mechanics for engineers: statics and dynamics Ferdinand Beer et al.— 10th ed. 9