Sinusfunktionen – Wissen und Übungen PDF

Ma 11 | Schuljahr 2023 / 24 | Gymnasium Antonianum | Sinusfunktion | Rei | November 2023 Sinusfunktionen – Wissen1 und Übungen (Dr. Pallack, A. (Hrsg.) et al (2017). Fundamente der Mathematik 10. Gymnasium G9 NDS. Berlin: Cornelsen Verlag GmbH.) Wissen zur Graphentransformation Einstiegsaufgaben 1) 2) 1 Die komplette Zusammenfassung findet man unter: https://www.nibis.de/uploads/nlq-ludewig/Basiswissen-Sinus-Kosinus.pdf oder im IServ. a) f(x) = 3 ,5 x 5x Schnittpunkt (013 5) , Gerade die sich dem Graph anschmiegt X = < ; f(1) 55 = 3, 17 5 · = , keinz waagerechte Asymptote b) f(x) = 4 - 0, 25 sp = COB x= 1 ; f(1) 4 = - 0, 21 = 3 ,8 Waagegerechte Asymptote 4 = f(x) = 3x + 4 sp = (015) f(r) zV+ 4 7 Die Funktion beschreibt den Zerfall des Kohlenstoff-Isotops über die = Waagegerechte Asymptote 4 = Zeit. Hierbei ist die Zeit in Jahren seit dem Tod von Ötzi, und die Basis zeigt an, dass sich die Menge an alle 5730 Jahre halbiert. Die d) f(x) 2x 5 Anfangsmenge beträgt 100 Prozent. = - 3. - Sp = (0) 8) - D (s) f() = 3. 21 - 5= - 11 f( + ) = 100. (E) Waagegerechte Asymptote = -5 Umformung (E) 3) = 0. 99988 t f(t) = 100 (0 99988) Exponenztialfunktionnen haben immer die x-.. Achse als Asymptote (y=0). Außer wenn der Graph (E) 30) C sich verschoben hat, dann bewegt sich die 57 = 100 · Asymptote mit. 0. 57 so (0 5 = 4768 log(0 , 57) = (Eso). (og. S & alternierend Ma 11 | Schuljahr 2024 / 25 | Gymnasium Antonianum | Potenzfunktionen | Rei Funktionstypen vergleichen Exponential-, Sinus- und Potenzfunktionen gegeneinander abgrenzen Sinusfunktion Exponentialfunktion Potenzfunktion Potenzfunktion f (x) = b x (Gerader Exponent) f (x) = x n, n ∈ ℤ (Ungerader Exponent) f (x) = x n, n ∈ ℤ Graphen Ex S 2x Tr Gleichung f (x) = sin(x) 1 f (x) = x 2 oder f (x) = x −2 f (x) = x 3 oder f (x) = x −3 Beispiel f (x) = 2x oder f (x) = ( ) x 2 Punktsymmetrisch Achsensymmetrie y-Achse , Punktsymmetric Symmetrie - Periode 2π - - Global- Er schwankt zwischen 1 und -1 b > 1 : lim f (x) = S n > 0 : lim f (x) = & n > 0 : lim f (x) = O verhalten x→∞ x→∞ x→∞ lim f (x) = O lim f (x) = O lim f (x) = O x→−∞ x→−∞ x→−∞ 0 < b < 1 : lim f (x) = O n < 0 : lim f (x) = O n < 0 : lim f (x) =I x→∞ x→∞ x→∞ lim f (x) = O lim f (x) = O lim f (x) = j x→−∞ x→−∞ x→−∞ Nullstellen 0 ; 1; 2 ; 35 ; Positiver Exponent: Unterschiedlich Positiver Exponent: Unterschiedlich - Negativer Exponent: - ncG Negativer Exponent: positiv negativ Definitions- 𝔻 = IR 𝔻 =R 𝔻= R He 50 & 𝔻 = IR menge + IRT Werte- 𝕎 = [ 1i 9 - 𝕎=R + 𝕎 = IR 𝕎 =R menge Alle Funktionen lassen sich f(x) ==-g(x) = = (3. x)) = 3x 3x = 9x2 = x (3)g(x) = 3. x (b)gx) 23x * f(x) = 2 = * = (25 = - ähnelt D Ma 11 | Schuljahr 2024 / 25 | Gymnasium Antonianum | Potenzfunktionen | Rei Aufgaben zu den elementaren Funktionstypen (Andreae, K. et al (2022). Fundamente der Mathematik E. Einführungsphase. Gymnasium G9 NDS. Berlin: Cornelsen Verlag GmbH.) Ei 2. sin(x) - 1- 4 7 5 so 2 / N- 3. a) Der Graph wird gestaucht b) Der Graph wird gestreckt c) Der Graph wird nach rechts verschoben um 1 al Der Graph wird gespiegelt. e) Der Grap wird um 4 nach Links verschoben Änderungen Um Änderungsrate Wie stark ändert sich eine Größe Cz B. Bakterienbestand). in einem bestimmten Zeitraum ? Oft auch Wachstumsrate genannt Je Steigung. die der Bestandsgraphen größer S · · - Ma 11 | Schuljahr 2024 / 25 | Gymnasium Antonianum | Änderungen | Rei Informationen – Änderungen graphisch erfassen · Ma 11 | Schuljahr 2024 / 25 | Gymnasium Antonianum | Änderungen | Rei Informationen – Änderungen graphisch erfassen · & Nr 7 Nr 9.. 1 : Ma 11 | Schuljahr 2024 / 25 | Gymnasium Antonianum | Mittlere Änderungsrate | Rei Im Zug nach Westerland – Mittlere Änderungsraten untersuchen Im Folgenden ist das im Einstieg beschriebene t -s-Diagramm gegeben. Dies beschreibt die Ausfahrt eines Zugs aus dem Osnabrücker Hauptbahnhof, indem zu jedem Zeitpunkt die zurückgelegte Strecke dargestellt wird. Es lässt sich feststellen, dass der Graph eine insgesamt positive Änderung aufweist, also die Änderungsrate, hier der Geschwindigkeitszuwachs, ebenfalls positiv sein muss. Wie lässt sich die durchschnittliche Geschwindigkeit dieses Zugs mithilfe von Steigungsbetrachtungen ermitteln? Aufgaben: 1) Geben Sie das Intervall an, in welchem der Intercity kurzzeitig steht. von Obis 1 da , der Steigungswert O ist 2) Karl meint: „Die mittlere Änderungsrate ist die mittlere Steigung des Graphen und muss hier im Kontext die Durchschnittsgeschwindigkeit sein“. Erläutern Sie diese korrekte Aussage, indem sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Intercity zwischen der 6. und 16. Sekunde bestimmen. Machen Sie Ihre Rechnung zeichnerisch mithilfe des Diagramms deutlich. X Sekante 7 09 · , I As 14m= As = 16,3m X A+ = 10s i. 1 + 15s = 2 ,7 m 14 2n 16, 4m = = , = 1 , 45 Zusatz: Untersuchen Sie, auf welchem Zeitintervall der Intercity die größte Durchschnittsgeschwindigkeit aufweist. Hilfen Mittlere ÄnderungsrateS ↑ a( 1(1) - & - 1010 5=1 x 4 = 15- = 4 + 1 = 4 - C - 1) Am = -co = = - 1 / S 97 Nr 3.. a S 98 Nr 5 a( x).. + S 49 Nr 9 ab.. Nr 3. a 0 0 # Okm = = #= = S 30 Um =1 1 Nr 5 S. My x(218) 8 - - 2 = (-21 -8) x 8 - S 14 X (312772 = 27 =Z 27- 1.3 1= (111) i ↑ 2 Ma 11 | Schuljahr 2024 / 25 | Gymnasium Antonianum | Lokale Änderungsrate| Rei Wie schnell ist der Intercity in einem bestimmten Zeitpunkt? – Annäherung an die lokale Änderungsrate Die mittlere Änderungsrate beschreibt eine Änderung bezogen auf ein vorgegebenes Intervall. Wir sprechen im Kontext von der durchschnittlichen Geschwindigkeit. In den letzten Stunden haben wir uns mit den Durchschnittsgeschwindigkeiten eines Intercitys von Osnabrück nach Westerland beschäftigt. Wie lässt sich die Momentangeschwindigkeit des Zugs in einem bestimmten Zeitpunkt ermitteln? Aufgaben: Der Intercity von Osnabrück nach Westerland fährt los. Den Zusammenhang zwischen der zurückgelegten Strecke s und der dafür benötigten Zeit t lässt sich dem uns bereits bekannten Diagramm entnehmen. Weiterhin kann abkürzend ein Term, im Sinne einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung, angegeben werden: s(t) = 0,065t 2. 1) Bestimmen Sie die Momentangeschwindigkeit des Zugs in t = 16 möglichst genau, indem Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Intercitys für immer kleinere Zeitintervalle Δt tabellarisch berechnen. t1 (s) t2 (s) s (t1) (m) s (t2 ) (m) Zeitspanne Strecken- Durchschnittsgeschwindigkeit (m/s) Δt (s) unterschied Δs (m) Δs s (t2 ) − s (t1) = t2 − t1 Δt t2 − t1 s (t2 ) − s (t1) 15,000 16,000 14,625 16,64 1,000 2,015 2,015 15,500 16,000 15,61625 16,64 0.5 112375 , 2 , 2475 1575 16,000 16,1240625 16,64 0 , 250 5159375 , 2 , 06375 15 90 ! 16,000 16 43265 , 16 ,6399998 16,64 0,1 0, 207352 ,0735 15 99999999 16,000 16,64 0, 00000001 0 000000002 2 , , 1 2) Mikas beschriebenes Näherungsverfahren aus dem Einstieg lässt sich als Grenzprozess deuten. Erläutern Sie dies mithilfe Ihrer Ergebnisse aus 1). „Stimmt … aber man kann doch einfach eine sehr kleine Zeitspanne, z.B. Δt = 0,01 s, nehmen. Dann kommen wir nah an die Momentangeschwindigkeit dran.“ Zusatz: Mikas Freund, ein Hobbymathematiker, kritisiert das aufwändige Verfahren von Mika. 16,64 m m Es gelte doch s(16) = 16,64 [m] und damit für die Momentangeschwindigkeit: v = ≈1. 16 s s Beurteilen Sie die Aussage. Lokale Änderungsrate Die Lokale beschreibt die Änderungsrate einer Größe Cz B die Streckel Änderungsrate.. in einem CZeit Dunkt Dies. lässt sich im Kontext B als Moment Geschwindigkeit deuten. z.. Sie stellt das Ergebnis Grenzprozesses ausgehend eines , von der mittlerer Änderungsrate , dar Wir : bezeichnen die Lokale Änderungsrate f die Funktion f in einer Stelle Bsp: Man notiert (16) für den Zeitpunkt 16 * y. Nation : S & hi Ma 11| Schuljahr 2024 / 25 | Gymnasium Antonianum | Lokale Änderungsrate | Rei Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate – Die Ableitung Die lokale Änderungsrate einer Funktion f in einer Stelle x 0 bzw. die Steigung des Graphen der Funktion f in nur einem Punkt ist das Ergebnis eines Grenzprozesses. Es wird die mittlere Änderungsrate von f auf immer kleineren Intervallen der Länge Δx betrachtet. Man bezeichnet die lokale Änderungsrate in x 0 auch als Ableitung f′(x 0 ). (Hinweis: Alternativ schreiben wir für Δx = x − x0 oder aber auch Δx = h.) Graphisch nähert sich die Sekante(nsteigung) der entsprechenden Tangente(nsteigung) an. f (x0 ) − f (x0 − Δx) f (x) − f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 ) Notation: f′(x0 ) = lim = lim = lim Δx→0 Δx x→x 0 x − x0 h→0 h Deutungsmöglichkeiten der Ableitung Deutung 1: Deutung 2: Mathematischer Ausdruck Vokabel Graphisch Kontextbezogen Sekantensteigung zwischen zwei Durchschnittliche Änderungsrate von f f (x) − f (x0 ) f (x + h) − f (x) Diﬀerenzenquotient = Punkten P und Q des Graphen von f auf [x; x 0 ] x − x0 h -> z. B. Durchschnittsgeschwindigkeit Tangentensteigung in einem Punkt P Momentane Änderungsrate von f in x 0 f (x) − f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 ) Diﬀerentialquotient lim = lim des Graphen von f (für x → x 0 bzw. h → 0) x→x 0 x − x0 h→0 h -> z. B. Momentangeschwindigkeit Ableitung f′(x 0 ) Ma 11 | Schuljahr 2024 / 25 | Gymnasium Antonianum | Lokale Änderungsrate| Rei Übungen zur lokalen Änderungsrate / Ableitung HA (Dippel, M. et al (2022). Mathematik Neue Wege. Arbeitsheft Einführungsphase. Braunschweig: Westermann-u.a.-Verlag.) Information: Aufgaben: * I 4 , 641 0 , 00 % 3 , 439 173 , 521 - 4, 060401 0 , 00000 1 48 , 240901 - 3 , 940399 - 3 996 4 086004 0 , 000000000148 , 016001 , , 3 9996 - 4 , 0006 0, 000000000000148 , 0016 , 0000004 - 21 48 , 000048 - 3 , 999996 4 , E I 7 6 - 3. , 2 , 2 05 - Z , 2 X 93 - 1 2. - 2 , Ma 11 | Schuljahr 2024 / 25 | Gymnasium Antonianum | Potenzfunktionen & Änderungen | Rei Aufgaben zur Klausurvorbereitung (Dybowski, G. et al (2017). Elemente der Mathematik. Einführungsphase. Braunschweig u.a.: Westermann u.a. Verlag) Aufgabe 1: Graphenzuordnung Entscheiden Sie, welcher Graph zu welchem Funktionstypen inkl. der jeweiligen Eigenschaft gehört, indem Sie zuordnen. · (i) Potenzfunktion mit ungeradem, positiven Exponenten (ii) Potenzfunktion mit ungeradem, negativen Exponenten (iii) Exponentialfunktion (fallend) (iv) Exponentialfunktion (steigend) vernen Aufgabe 2: Graphentransformation Erläutern Sie, aus welcher elementaren Funktion durch welche Transformationen die folgenden Funktionen hervorgehen. a) f (x) = 3x 2 − 2 b) g(x) = 3 ⋅ 2x−2 c) h(x) = x −2−2 d) i(x) = − 5 sin(3x) Aufgabe 3: Abgrenzung von elementaren Funktionen a) Skizzieren Sie grob den Verlauf der vier elementaren Funktionen. b) Benennen Sie mindestens 2 Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Funktionstypen untereinander. c) Geben Sie das Verhalten im Unendlichen mithilfe der „Limes“-Notation an. 1 von 3 Ma 11 | Schuljahr 2024 / 25 | Gymnasium Antonianum | Potenzfunktionen & Änderungen | Rei Aufgabe 4: Kontextaufgabe zu Exponentialfunktionen Bei einer schlecht eingeschenkten Maß Bier beträgt die Schaumhöhe anfangs 10 cm. Um das Bier einigermaßen trinken zu können, wartet der Gast eine gewisse Zeit. Nach 3 Minuten ist die Schaumhöhe auf die Hälfte zurückgegangen. a) Geben Sie einen Term für die Funktion h(t), die in Abhängigkeit von der Zeit in Minuten die Resthöhe in cm beschreibt, an. b) Berechnen Sie die Höhe des Schaums nach 5 Minuten. c) Ermitteln Sie, wann die Schaumhöhe auf 1 cm zurückgegangen ist. Hinweis zum GTR: Verwendung des log() im GTR: log2(8) wird als log(8,2) im GTR eingegeben. Aufgabe 5: Hinweis: Nutzen Sie dafür SinReg. c) Ermitteln Sie mithilfe des Graphen, zu welcher Uhrzeit eine Temperatur von exakt 1 °C erreicht ist. d) Erläutern Sie anhand dieser Sachsituation die Begriﬀe Amplitude und Periodenlänge. 2 von 3 Ma 11 | Schuljahr 2024 / 25 | Gymnasium Antonianum | Potenzfunktionen & Änderungen | Rei Aufgabe 6: Änderungen a) Skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktionen sowie deren Steigungsgraphen jeweils in ein Koordinatensystem: 1 (a) f (x) = x3 (b) g(x) = (c) sin(x) x2 b) Die Funktion f gibt die Anzahl an Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit in Stunden an. Deuten Sie folgende mathematische Ausdrücke. Δf (a) f (1) − f (0) (b) (c) f (x) = 2000 (d) Δ f Δx Aufgabe 7: Änderungsraten Es sei die Funktion f mit f (x) = 2x 3 − 1 gegeben. a) Berechnen Sie die Sekantensteigung für die Punkte P(0 | f (0)) und Q(3 | f (3)) und anschließend die Tangentensteigung in Punkt Q mithilfe des im Unterricht thematisierten Näherungsverfahrens. b) Erläutern Sie das in a) angewandte Näherungsverfahren. c) Erläutern Sie den Unterschied zwischen mittlerer und momentaner Änderungsrate. Wiederholung: Sie sollten die Basisbegriﬀe zur Funktionslehre kennen: - Definitionsbereich - Wertebereich - Monotonie - Verhalten im Unendlichen - Symmetrie - … 3 von 3 11 ma | Schuljahr 2024 / 25 | Gymnasium Antonianum| Klausurvorbereitung Nr. 2 | Rei Klausurvorbereitung – Themen, Kompetenzen und Übungsaufgaben Parametervariation / Graphentransformation Ihr könnt... … erläutern, welche Auswirkung die Transformation der kennengelernten Parameter auf den Funktionsgraphen hat. · … anhand eines gegebenen Funktionsterms erläutern, aus welcher Grundfunktion dieser wegen Transformationen hervorgegangen ist. … anhand gegebener Transformationen den entsprechenden Funktionsterm angeben. … eine Fallunterscheidung bei den Transformationen durchführen, also z. B. entscheiden, für welche Werte der Graph in x-Achsenrichtung gestreckt oder gestaucht wird. … begründen, dass bei einer Streckung in y-Achsenrichtung der Funktionsgraph gestaucht wird und umgekehrt. Sinus- und Exponentialfunktionen Ihr könnt... … diese funktionalen Zusammenhänge kontextbezogen anwenden, um Probleme zu lösen. … die charakteristischen Eigenschaften dieser Funktionstypen erläutern. … diese Funktionstypen gegenüber Potenzfunktionen abgrenzen. … zu beschriebenen Transformationen den entsprechenden Funktionsterm angeben. … zu gegebenen, transformierten Funktionstermen begründen, welche Transformationen durchgeführt worden sind. … ihr könnt mit sin−1 und log() umgehen. … ihr könnt vom Bogen- ins Gradmaß umrechnen und umgekehrt. Änderungen Ihr könnt... … die Begriﬀe Änderung, Bestand und Änderungsrate anhand eines eigenen Beispiels erläutern. … angeben, dass die Steigung eines Bestandsgraphen ein Maß für die Änderungsrate der jeweiligen Funktion ist. … den Graphen der Änderungsrate (oder Ableitung) qualitativ skizzieren und die auch begründen. … begründet entscheiden, welche Begriﬀe im Kontext einen Bestand bzw. eine Änderungsrate beschreiben. Änderungsraten / Ableitung Ihr könnt... … die mittlere Änderungsrate berechnen. … die mittlere Änderungsrate einer Funktion graphisch als Sekantensteigung deuten und bestimmen. … den Term für die mittlere Änderungsrate (Diﬀerenzenquotient) angeben und damit umgehen. … die lokale Änderungsrate / Ableitung näherungsweise ermitteln. … das Näherungsverfahren als Grenzprozess zur Ermittlung der lokalen Änderungsrate ( Ableitung) erläutern. … den Term (Diﬀerentialquotient) für die lokale Änderungsrate angeben und damit umgehen. … die lokale Änderungsrate / Ableitung einer Funktion graphisch als Tangentensteigung an der Stelle deuten. … die mittlere bzw. lokale Änderungsrate sowohl kontextbezogen als auch innermathematisch bestimmen. Seite 1 von 2 Ma 11 | Schuljahr 2024 / 25 | Gymnasium Antonianum | Potenzfunktionen & Änderungen | Rei Aufgabe 4: Kontextaufgabe zu Exponentialfunktionen Bei einer schlecht eingeschenkten Maß Bier beträgt die Schaumhöhe anfangs 10 cm. Um das Bier einigermaßen trinken zu können, wartet der Gast eine gewisse Zeit. Nach 3 Minuten ist die Schaumhöhe auf die Hälfte zurückgegangen. a) Geben Sie einen Term für die Funktion h(t), die in Abhängigkeit von der Zeit in Minuten die Resthöhe in cm beschreibt, an. b) Berechnen Sie die Höhe des Schaums nach 5 Minuten. c) Ermitteln Sie, wann die Schaumhöhe auf 1 cm zurückgegangen ist. Hinweis zum GTR: Verwendung des log() im GTR: log2(8) wird als log(8,2) im GTR eingegeben. Aufgabe 5: Hinweis: Nutzen Sie dafür SinReg. c) Ermitteln Sie mithilfe des Graphen, zu welcher Uhrzeit eine Temperatur von exakt 1 °C erreicht ist. d) Erläutern Sie anhand dieser Sachsituation die Begriﬀe Amplitude und Periodenlänge. 2 von 3 Ma 11 | Schuljahr 2024 / 25 | Gymnasium Antonianum | Potenzfunktionen & Änderungen | Rei Aufgabe 6: Änderungen a) Skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktionen sowie deren Steigungsgraphen jeweils in ein Koordinatensystem: 1 (a) f (x) = x3 (b) g(x) = (c) sin(x) x2 b) Die Funktion f gibt die Anzahl an Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit in Stunden an. Deuten Sie folgende mathematische Ausdrücke. ⋅f (a) f (1) − f (0) (b) (c) f (x) = 2000 (d) ⋅ f ⋅x Aufgabe 7: Änderungsraten Es sei die Funktion f mit f (x) = 2x 3 − 1 gegeben. a) Berechnen Sie die Sekantensteigung für die Punkte P(0 | f (0)) und Q(3 | f (3)) und anschließend die Tangentensteigung in Punkt Q mithilfe des im Unterricht thematisierten Näherungsverfahrens. b) Erläutern Sie das in a) angewandte Näherungsverfahren. c) Erläutern Sie den Unterschied zwischen mittlerer und momentaner Änderungsrate. Wiederholung: Sie sollten die Basisbegriﬀe zur Funktionslehre kennen: - Definitionsbereich - Wertebereich - Monotonie - Verhalten im Unendlichen - Symmetrie - … 3 von 3 Klausur Nr. 2 - Aufgaben-Lösungen 1) 2) a) Streckung um 3 in y-Achsenrichtung Verschiebung um 2 LE in y-Achsenrichtung nach unten f > - (c) b) g -> (iv) Streckung um 3 in y-Achsenrichtung Verschiebung um 2 LE in x-Achsenrichtung nach rechts h > - (iii) c) i + (ii) Verschiebung um 2 LE in x-Achsenrichtung nach rechts und um 2 LE in y-Achsenrichtung nach unten. d) Streckung um den Faktor -5 in y-Achsenrichtung Streckung um den Faktor 3 in x-Achsenrichtung * Trigonometrische Funktionen besitzen als einzige eine Periode Exponentialfunktionen besitzen keine Symmetrie Potenzfunktionen bzw. deren Graphen sind immer symmetrisch. Trigonometrische Funktionen haben keine Asymptote. sin i = 0 Limice-o X- - D X- + a alternierend ↓ limf(x) = + limg(x) = 0 limh(x) = undet. X- In X- Ia X-> I 4) a) h(t) = 10 - at => h(t) = 10 - 0794t ! Wir wissen : h(3) = 5 = 10. 931 10 : = a = 0, 794 b) h(5) = 10. 0. 7945 = 3 156(m) , h(t) 1 = 10 97547/ 10 : c) - = 0 0754t/log = 10g 0 , 754(h) = 7 = gemin] ode Gir : t = 5 982[win) Zietliept 1 Ye = : , = 10- 0794t & a) & 6 S 7 - & & 2 - & & 1 - 8 D -It''''t'de'de d es S -1 - & & - 2- -3 - o & -4 -. -5- 2 - 6 = ① & - 7 - - 8 - ↑ E 9 - & - G -10 D 2 J b) 1) Stat-edit-Tabelle eintippen : Zit 2) Ind + stat plot 3) Graph + Zoom + S 4) Stat - calc > - CisinRey 5) Term : 6 531 sin 10 262x 0534) , · , , - 3, 023 = f(x) c) f(x) = 10 Gir : 1 Y1 = y = 6 331 , · Sin(---) - 3 03 , interest-Befehl liefert : Xn 4, 4014hhrmd 24 win (0 401 ,. 60 min) X2 = 11 , 672 = 114h und 46 in (0, 64 Gown) Amplitude: d) Abstand von Mininum zu Maximum geteilt durch 2 Die durchschnittliche Temperatur schwankt am Tag zwischen + und - 6,931°C. Periode: Dauer, bis sich Verlauf wiederholt ca. 24 Stunden wegen des Temperaturverlaufs über den Tag Mittelwert ca - 5. % C A , tr Die Tep. schwankt zischen % 3 52 6 521 %E 10 5 C - - - , , , - > 5 C , % +6 , 531% = 3 , 5C * & b) a) Bakterienänderung von Stunde 0 zu Stunde 1 b) Die mittlere Änderungsrate der Bakterienzahl (durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit) c) Es ist die Zeit in Stunden gesucht, wenn die Bakterienzahl 2000 beträgt. d) Dies gibt die Änderung des Bakterienbestands an. 0 7) 2. = - 1 ↑ a) P(o)f(o) > - P(o) 1)- Q (3) f(3)) + Q(3(53) ↑ 2. 33 - 1 = 53 i) ii) Wähle einen Punkt R, der sehr nach am & liegt , z , B. Rass, f'() =-1) 53 , 58 b) Um die Steigung genau in Punkt Q abschätzen zu können, ermitteln wir die mittlere Steigung zwischen einem Punkt R, der sehr nah an P liegt und P selbst. Je kleiner der Unterschied auf der x-Achse (im Grenzfall strebt der Unterschied gegen 0), desto genauer der Wert. In a) lässt sich als Grenzwert 54 abschätzen. Es gilt also f‘(3) =54. c) Die mittlere Änderungsrate (z. B. Durchschnittsgeschwindigkeit) bezieht sich auf eine Zeitspanne, wobei die lokale Änderungsrate (z. B. Momentangeschwindigkeit) sich lediglich auf einen Zeitpunkt bezieht. Graphisch interpretiert entspricht die mittlere Änderungsrate der mittleren Steigung des Graphen der Funktion auf dem betrachteten Zeitintervall. Die lokale Änderungsrate gibt die Steigung des Graphen in genau einem Punkt an. Die mittlere Änderungsrate visualisiert man mit Sekanten (Geraden, die durch zwei Punkte verlaufen) und die lokale mit Tangenten (Geraden, die den Graphen lediglich in einem Punkt berühren).

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