Kinematika - Mechanikos šaka PDF

Kinematika – Mechanikos šaka. Mechanika – fizikos šaka, tirianti materialiųjų kūnų mechaninį judėjimą ir jų tarpusavio sąveiką. Mechanika skirstoma į Kinematiką ir Dinamiką. Kinematika nagrinėja judėjimą be jį sukėlusių priežasčių. Dinamika tiria kūno judėjimo pobūdį priklausomai nuo jį sukėlusi...

Kinematika – Mechanikos šaka. Mechanika – fizikos šaka, tirianti materialiųjų kūnų mechaninį judėjimą ir jų tarpusavio sąveiką. Mechanika skirstoma į Kinematiką ir Dinamiką. Kinematika nagrinėja judėjimą be jį sukėlusių priežasčių. Dinamika tiria kūno judėjimo pobūdį priklausomai nuo jį sukėlusių priežasčių ir, atvirkščiai, pagal judėjimo pobūdį nustato tas priežastis. Slenkamojo ir sukamojo judėjimo kinematika Kinematika – [gr. Kinematos – judėjimas] - fizikos šaka, nagrinėjanti įvairaus pobūdžio mechaninį judėjimą, neįvertindama jį sukeliančių priežasčių. Judėjimas – kūnų ar jų dalių tarpusavio padėties kitimas erdvėje ir laike. Judėjimo tipai: – 1. Pagal judėjimo kitimą laike. 1.1 Tolygus, 1.2 Tolygiai kintantis, 1.3 Netolygiai kintantis. 2. Pagal krypties kitimą erdvėje. 2.1 Slenkamasis, 2.2 Sukamasis, 2.3 Kreivaeigis. Atskaitos sistema Judėjimas visada turi kryptį (juda kažkurio kito kūno atžvilgiu). Kūnas, kurio atžvilgiu nagrinėjamas kito kūno judėjimo, vadinamas atskaitos kūnu. Koordinačių sistema, susieta su atskaitos kūnu, vadinama atskaitos sistema. Paprasčiausias objektas, kurio judėjimą nagrinėja klasikinė mechanika yra materialusis taškas. Materialiuoju tašku vadinamas m masės makroskopinis kūnas, į kurio matmenis ir formą konkrečiomis sąlygomis galima nekreipti dėmesio. Padėtis Padėties charakteristika erdvėje nusakoma padėties vektoriumi Dydžiai, kurie nusakomi moduliu ir kryptimi erdvėje, vadinami vektoriais. Dydžiai, kuriuos apibūdina tik jų skaitinė vertė, vadinami skaliarais. Materialiojo taško padėtį erdvėje galima nusakyti padėties vektoriumi stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje. Padėties vektorius konkrečiu laiko momentu:     r (t )  x(t )i  y (t ) j  z (t )k ; Vektoriaus projekcijos: x  r cos  y  r cos  z  r cos  Vektoriaus modulis: r  x2  y2  z 2 ; Trajektorija ir Poslinkis Materialiojo taško padėties kitimas erdvėje (judėjimas) nusakomas šiomis charakteristikomis: 1. Trajektorija – tai linija, kurią brėžia vektoriaus galas. Pagal trajektorijos formą judėjimas yra tiesiaeigis arba kreivaeigis. Kelias S lygus trajektorijos ilgiui. 2. Poslinkis – tai kryptinė atkarpa jungianti pradinę padėtį su momentine padėtimi: Jo modulis: Padėties kitimo sparta – Greitis – Tolygus judėjimas Tolygaus judėjimo atveju materialiojo taško padėties kitimo sparta, arba greitis išreiškiamas poslinkio vektoriaus ir laiko pokyčio santykiu. x   x v const x t t t v t Greičio kitimo sparta–Pagreitis–Tolygiai kintamas judėjimas Tolygiai kintamo judėjimo atveju materialiojo taško greitis, bėgant laikui kinta tolygiai, o greičio kitimo sparta, arba pagreitis išreiškiamas greičio pokyčio per atitinkamą laiko intervalą ir to laiko intervalo santykiu. v   v v a const t t t a t Netolygiai kintamas judėjimas - Greitis Netolygiai kintamo judėjimo atveju materialiojo taško greitis, bėgant laikui kinta netolygiai, todėl jis išreiškiamas per poslinkio išvestinę laiko atžvilgiu. Todėl, greitis apibūdinamas kaip objekto padėties erdvėje kitimo sparta. Pvz.: v v išskaidymas į projekcijas: v t t t modulis: Netolygiai kintamas judėjimas - Pagreitis Netolygiai kintamo judėjimo atveju materialiojo taško pagreitis, bėgant laikui gali kisti tolygiai arba netolygiai, todėl jis išreiškiamas per greičio išvestinę laiko atžvilgiu: a Todėl, pagreitis apibūdinamas kaip objekto judėjimo greičio kitimo sparta.  a  f (t ) t t a t Netolygiai kintamas judėjimas – kinematinės lygtys Netolygiai kintamo judėjimo kinematinės lygtys yra bendrines trijų tipų slenkamajam judėjimui:  2  dv d r a  2 , dt dt   dr v , dt  r  f (t ).   2 Tolygiai kintamas judėjimas – lygtys  dv d r a  2 , dt dt Kinematines lygtis galima pritaikyti tolygiai kintamo ir  tolygaus judėjimo charakteristikoms gauti.  dr v ,  dt Tolygiai kintamam judėjimui: a const     r  f (t ).  dv Kadangi: a  ir dv adt , tai greičio vektorių gausime integruojant: dt t         v t   adt at  C at  v,0 t.y.: v t  at,  v0  0   dr   o kadangi: v  ir dr v dt, tai padėties vektorių gausime integruojant: dt t 2 2    at  ,t.y.:  at   r t   at  v0 dt  r t   ,  v0 t  r0  0 2  v0 t  r0 2 Tolygiai kintamas judėjimas – lygtys Tolygiai kintamo judėjimo kinematinės lygtys užrašomos: Diferencialine forma: Funkcine forma:  2  dv d r  a  2 a const dt dt   dr    v v t  at  v0 dt  2 r  f t   at   r t    v0 t  r0 2 Tolygiai kintamas tiesiaeigis judėjimas – lygtys ir grafikai Tolygiai kintamajam slenkamajam judėjimui poslinkio vektoriaus modulis sutampa su kelio reikšme, todėl vektorines lygtis galime išreikšti skaliarine forma:     2 a const v t  at  v0  at   r t    v0 t  r0 2 vt  at  v0 at 2 st    v0 t 2 Tolygus tiesiaeigis judėjimas – lygtys ir grafikai Tolygiam slenkamajam judėjimui poslinkio vektoriaus modulis sutampa su kelio reikšme, todėl vektorines lygtis galime išreikšti skaliarine forma:       a 0 v t  v0 const r t  v0 t  r0 vt  v0 const xt  v0 t  x0 Judėjimo nepriklausomumo dėsnis Judėjimo nepriklausomumo dėsnis teigia: jeigu taškas vienu metu dalyvauja keliuose judėjimuose, tai to taško atstojamasis judėjimas yra lygus vektorinei sumai visų poslinkių, kuriuos taškas atlieka per tą patį laiką, dalyvaudamas kiekviename judėjime atskirai.     r (t )  x(t )i  y (t ) j  z (t )k ; Judėjimo nepriklausomumo dėsnis Judėjimo nepriklausomumo dėsnis teigia: jeigu taškas vienu metu dalyvauja keliuose judėjimuose, tai to taško atstojamasis judėjimas yra lygus vektorinei sumai visų poslinkių, kuriuos taškas atlieka per tą patį laiką, dalyvaudamas kiekviename judėjime atskirai. Todėl padėties, greičio ir pagreičio projekcijos nepriklauso viena nuo kitos. x(t )  y (t )  z (t ) v x (t )  v y (t )  v z (t ) a x (t )  a y (t )  a z (t ) Jas galima aprašinėti atskirai viena nuo kitos ir ieškoti sprendinio nepriklausomai viena nuo kitos. Kreivaeigis judėjimas ir jo pagreitis Kreivaeigis judėjimas yra dvimatis. Jo metu visada yra įcentrinis (normalinis) pagreitis , šis pagreitis apibūdina linijinio greičio krypties kitimo spartą: Tangentinis (liestinis) pagreitis apibūdina linijinio greičio modulio kitimo spartą: Taško pilnas pagreitis: O jo modulis: Sukamasis judėjimas ir jo kinematinės lygtys Judėjimas apskritimu apibūdinamas: spinduliu spindulio posūkio kampu  kampiniu greičiu kampiniu pagreičiu Kampinio greičio modulis lygus padėties vektoriaus apskritimo spindulio posūkio kampo pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu: Kampinis pagreitis apibūdina kampinio greičio kitimo spartą ir lygus jo pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu: Sukamasis judėjimas Kinematinės charakteristikos: Normalinio ir tangentinio pagreičio ryšys su linijiniu greičiu: v2 an  R 2 R dv d a   ( R ) R dt dt