Cours: Rappels sur la théorie des tests d'hypothèses PDF

Contexte Les étapes de la séquence Ce qu’il faut retenir Séquence 3 : Rappels sur la théorie des tests d’hypothèses Olivier MANIOC Université des Antilles 22 septembre 2023...

Contexte Les étapes de la séquence Ce qu’il faut retenir Séquence 3 : Rappels sur la théorie des tests d’hypothèses Olivier MANIOC Université des Antilles 22 septembre 2023 1 / 12  Contexte Les étapes de la séquence Ce qu’il faut retenir 1 Contexte 2 Les étapes de la séquence Qu’est-ce qu’un test d’hypothèses ? La démarche des tests d’hypothèses La loi normale et ses dérivées 3 Ce qu’il faut retenir 2 / 12  Contexte Les étapes de la séquence Ce qu’il faut retenir 1 Contexte 2 Les étapes de la séquence Qu’est-ce qu’un test d’hypothèses ? La démarche des tests d’hypothèses La loi normale et ses dérivées 3 Ce qu’il faut retenir 3 / 12  Contexte Les étapes de la séquence Ce qu’il faut retenir L’inférence statistique On considère une population - un ensemble de N unités statistiques sur lequel se porte notre attention. Du fait de la taille de la population, il n’est pas possible de procéder à une étude exhaustive pour en déterminer les caractéristiques et il faut s’intéresser à un échantillon - un sous-ensemble de n unités statistiques issues de la population étudiée. On répond à des interrogations qui portent sur des paramètres inconnus de la population à partir de grandeurs calculées sur l’échantillon. Définition L’inférence statistique est la démarche qui consiste à tirer des conclusions sur les paramètres inconnus de la population à partir de constats établis sur un échantillon. C’est un raisonnement qui va du particulier vers le général. 3 / 12  Contexte Qu’est-ce qu’un test d’hypothèses ? Les étapes de la séquence La démarche des tests d’hypothèses Ce qu’il faut retenir La loi normale et ses dérivées 1 Contexte 2 Les étapes de la séquence Qu’est-ce qu’un test d’hypothèses ? La démarche des tests d’hypothèses La loi normale et ses dérivées 3 Ce qu’il faut retenir 4 / 12  Contexte Qu’est-ce qu’un test d’hypothèses ? Les étapes de la séquence La démarche des tests d’hypothèses Ce qu’il faut retenir La loi normale et ses dérivées Qu’est-ce qu’un test d’hypothèses ? Définition Un test d’hypothèses est une procédure statistique qui permet de porter un jugement sur une hypothèse et d’évaluer le degré de validité de celle-ci à partir d’un ou de plusieurs échantillons. Il existe plusieurs types de tests d’hypothèses : Test de conformité : On cherche à vérifier si un paramètre de la population est conforme à une norme. Les tests de conformité seront particulièrement utilisés dans ce cours. Exemple : Le cahier des charges d’une unité de production de confiture précise que la quantité moyenne de sucre dans un pot de 250g de produit fini est de 125g. Au regard de l’échantillon utilisé, peut-on accepter l’hypothèse que la norme est respectée ? 4 / 12  Contexte Qu’est-ce qu’un test d’hypothèses ? Les étapes de la séquence La démarche des tests d’hypothèses Ce qu’il faut retenir La loi normale et ses dérivées Qu’est-ce qu’un test d’hypothèses ? Test d’homogénéïté (ou comparaison) de deux populations : On cherche à vérifier si deux populations sont identiques en comparant leur(s) paramètre(s) Exemple : Un praticien s’intéresse à l’influence du cadre de vie sur le rythme cardiaque humain. Il considère deux sous populations (une cohorte urbaine et une cohorte rurale). Peut-on affirmer qu’il existe une différence significative entre les rythmes cardiaques moyens des deux populations ? Test d’ajustement (test du khi-deux) : On cherche à vérifier si la distribution statistique d’une variable aléatoire est conforme à une loi particulière Exemple : Un pédiatre étudie le poids de naissance de nouveaux-nés. La distribution observée peut-elle être ajustée par une loi normale ? 5 / 12  Contexte Qu’est-ce qu’un test d’hypothèses ? Les étapes de la séquence La démarche des tests d’hypothèses Ce qu’il faut retenir La loi normale et ses dérivées Qu’est-ce qu’un test d’hypothèses ? Test d’indépendance (test du khi-deux) : On cherche à vérifier si deux variables aléatoires sont indépendantes Exemple : Un expert d’assurance analyse les niveaux de gravité des accidents routiers et l’âge des conducteurs. L’âge des conducteurs a t’il une influence sur la gravité des sinistres routiers ? 6 / 12  Contexte Qu’est-ce qu’un test d’hypothèses ? Les étapes de la séquence La démarche des tests d’hypothèses Ce qu’il faut retenir La loi normale et ses dérivées La démarche des tests d’hypothèses On veut tester la validité d’une hypothèse H0 (Hypothèse nulle) contre son complémentaire H1 (Hypothèse alternative) : ( H0 : une proposition P H1 : le complémentaire P̄ Quatre situations sont envisageables : Accepter H0 Rejeter H0 H0 vraie Décision correcte Erreur de 1ère espèce (α) H1 vraie Erreur de 2ème espèce (β) Décision correcte On appelle : - α est l’erreur de première espèce - la probabilité de rejetter H0 alors qu’elle est vraie - β est l’erreur de seconde espèce - la probabilité d’accepter H0 alors qu’elle est fausse (peu utilisée dans ce cours). 7 / 12  Contexte Qu’est-ce qu’un test d’hypothèses ? Les étapes de la séquence La démarche des tests d’hypothèses Ce qu’il faut retenir La loi normale et ses dérivées La démarche des tests d’hypothèses Les étapes du test sont les suivantes : 1 Choisir les hypothèses H0 et H1 2 Calculer la variable de décision ou statistique de test sous H0 sur la base de l’échantillon considéré 3 Choisir le niveau de risque α et déterminer les valeurs critiques qui déterminent la région d’acceptation ou par opposition la région de rejet de H0 4 Comparer la statistique de test et la valeur critique 5 Conclure le test en appliquant la règle de décision de celui-ci 8 / 12  Contexte Qu’est-ce qu’un test d’hypothèses ? Les étapes de la séquence La démarche des tests d’hypothèses Ce qu’il faut retenir La loi normale et ses dérivées La démarche des tests d’hypothèses Affirmation La règle de décision implique toujours la comparaison entre : une statistique de test (grandeur calculée pour la réalisation de ce dernier) et une valeur critique souvent lue dans des tables statistiques (normale, student, Fischer, chi-deux,...) pour un niveau de risque α qui délimite le domaine d’acceptation de l’hypothèse H0. La règle de décision dépend du test mis en œuvre. Elle conduit à accepter (rejetter) l’hypothèse H0. 9 / 12  Contexte Qu’est-ce qu’un test d’hypothèses ? Les étapes de la séquence La démarche des tests d’hypothèses Ce qu’il faut retenir La loi normale et ses dérivées La loi normale et ses dérivées Combinaison linéaire de variables aléatoires normales indépendantes Si (Xi i = 1,..., n) sont n variables aléatoires indépendantes de paramètres N µi , σi2 et que ai sont des constantes alors :
! X X X ai Xi ∼ N ai µ i , ai2 σi2 i i i Variable du chi-deux Si (Xi i = 1,..., n) sont n variables aléatoires indépendantes de paramètres N (0, 1) alors Y défine comme la somme des carrés des variables Xi est telle que : X Y = Xi2 ∼ χ2n i 10 / 12  Contexte Qu’est-ce qu’un test d’hypothèses ? Les étapes de la séquence La démarche des tests d’hypothèses Ce qu’il faut retenir La loi normale et ses dérivées La loi normale et ses dérivées (suite) Variable de student Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes avec X qui est une v.a. normale N (0, 1) et Y est un chi-deux χ2n alors Z définie par : X Z=p ∼ Tn Y/n Variable de Fischer Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes avec X qui est un chi-deux χ2n et Y qui est un chi-deux χ2m alors Z défine par : X/n Z= Y/m ∼ F (n, m) 11 / 12  Contexte Les étapes de la séquence Ce qu’il faut retenir 1 Contexte 2 Les étapes de la séquence Qu’est-ce qu’un test d’hypothèses ? La démarche des tests d’hypothèses La loi normale et ses dérivées 3 Ce qu’il faut retenir 12 / 12  Contexte Les étapes de la séquence Ce qu’il faut retenir Ce qu’il faut retenir 1 Faire de l’économétrie, c’est faire de l’inférence statistique. Les raisonnements statistiques sont rigoureux mais les résultats sont empreints de doute. 2 Faire de l’économétrie, c’est faire des tests, des tests, des tests et encore des tests. 3 La démarche générale de mise en oeuvre de tests d’hypothèses est toujours identique. 4 La lecture des tables usuelles (normale, Student, Fischer et chi-deux) est essentielle 5 L’utilisation de logiciels économétriques est incontournable 12 / 12