수학 01 수와연산 PDF

수와 연산 □ 소수 지도 모델 전체는 1이고 부분은 크기와 모양이 격자 여러 사물을 가로 방향과 세로 방향으...

수와 연산 □ 소수 지도 모델 전체는 1이고 부분은 크기와 모양이 격자 여러 사물을 가로 방향과 세로 방향으로 일정하게 배열하여 전체적으로 직사각형 (배열) 영역 (1) 수의 체계 모델 동일한 것으로 10등분, 100등분으로 모델 과 같은 모양을 이루도록 한 것 분할된 모델 (정사각형이나 원) 반직선 형태를 일정한 간격으로 나눈 다음 호를 이용하여 일정한 간격 #모델 띠 모양의 임의의 단위 길이를 10등분, 100등분으로 분할한 모 의 크기를 도식화하여 나타낸 것(ex, 수 막대, 띠, 구슬 줄, 수직선 등) 직선 길이 델(막대, 자 수직선 등), 길이를 나타냄 비/비/수 (비비 모델 권혁수) 모델 모델 영/길/집 女:친구 / 男혁수 영/길/수 女:영 길집애 같애~~ 큰 정육면체를 1이라고 하면, 단위 정육면체는 0.001 묶/직/복 男:영 기를 수는 없을까? 수모형 정사각형 판을 1이라고 하면, 단위 정육면체는 0.01 #상황 女:묶지말고 복근을 길러보는 건 어때? 묶/직/배/조 (범자연수를 학습할 때 수모형 이용방법과 달라 어려워 할 수 있음) 그래서 묶지 말고 복근 있는 배를 보여죠!!! □ 덧셈과 뺄셈 문제 상황 변화를 일으키는 행위, 시간에 다른 변화에 관련되는 상황 □ 수세기 모델 □ 덧셈·뺄셈 지도 모델 첨가 시간차를 두어 한 집합에 다른 집합 보탭 수의 크기와 양이 비례하는 모델 10 묶는 활동 강조하여 십진법의 개념을 지도하고 표준 알고리 합병 동시에 존재하는 두 집합을 합하는 경우 즘을 지도하기 위한 것 (양을 바탕으로 둔 기수개념 표현) 묶음 제거 한 집합에서 일부를 떼어냄 ex. 다양한 산가지, 모델(연결큐브), 수모형, 화폐 모형, 자릿값 판 모델 비교 서로소인 두 집합의 크기를 비교하는 것 비례모델 *같은 상황 내에서도 어떤 양을 구하는지에 따라 덧셈or뺄셈이 됨 ex. 색막대(퀴즈네어막대), 수모형, 연결큐브 서수 개념과 연산자 개념을 동시에 가지는 것으로 세기를 기초 ⤷분리되지 않음 / 수의 크기를 비교할 때 good 최종수량 변화 수량 처음 수량 하여 연산으로 연결 크기와 상관없이 색깔이나 위치로 수의 크기를 나타내는 직선 ex. 수직선(수카드, 막대모양, 빈), 구슬 줄 새 5마리에 2마리가 더 새 5마리에 몇 마리가 나뭇가지에 새 2마리가 첨가 날아 왔을 때 더 날아와서 7마리 됨 날아와서 7마리가 됨 비비례모델 모델(비례모델보다 추상적) 모델 5+2=□ 5+□=7 □+2=7 ex. 모의 화폐, 칩, 주판 규칙성을 촉진하고 수의 묶음 인식을 발달하게 하고, 물 속 오리 4마리, 밖 3 물속 오리 4마리, 밖 오 물속 오리 + 밖 오리 기수적 측면과 서수적 측면을 동시에 가지고 있는 모델 합병 마리이면 총 몇 마리? 리 합하면 총 7, 밖? 3마리 합 7. 물 속? 자릿값을 이해하게 하는 데 가장 효율적인 모델 ex. 수판, 20주판, 100주판, 격자 배열 수판 모델 복합 4+3=□ 4+□=7 □+3=7 모델 주차장 차 5대 중 2대 주차장 5대 중 몇 대 나 주차장 차 중 2대 나가 제거 나가면 남은 차 몇 대? 가서 3대가 남음 서 3대 남음, 처음 차? * 사전상 정의) 서수 : 순서를 매기는 수 /기수 : 사물의 개수를 세는 것 5-2=□ 5-□=3 □-2=5 □ 분수 지도 모델 (영 길집) A 구슬 8개, B 5개이면 A는 B보다 3개 더 많은 A 5개, B는 A보다 3개 영역 영역이 전체이고 부분은 크기와 모양이 □ 곱셈 지도 모델 비교 A는 B보다 얼마나? 8개. B는 몇 개? 더 많으면 B는 몇 개? 모델 동일한 것으로 이루어진 모델 띠 모양의 임의의 단위길이를 등분할 한 모델 묶음 여러 사물을 몇씩 몇 묶음으로 8-5=□ 8-□=3 □-5=3 길이 모델 만들어서 나타내는 것 *변화 수량과 처음 수량은 실제 계산에서는 뺄셈(덧셈)으로 바뀜에 유의 모델 두 개 이상의 집합에서 만들 수 조합 있는 가능한 순서쌍을 알아보는데 집합 사물의 한 집합을 하나의 전체 모델 사용하는 모델 모델 (단위)로 사용 - 1 - □ 곱셉상황 □ 나눗셈 상황 #전략 포동포동 등 따땃 (포함제=단위 동일/등분제=다른 단위) □ 수 세기 전략 비비안이 머리를 묶으니까 인기 연령층이 배로 넓어졌다 어떤 양을 몇 개의 묶음으로 똑같이 나누었을 때 한 묶음의 ☞ (교학방유) : 수 세기가 필요한 장면에서 묶어세기, 뛰어세기의 방법으로 크기를 구하는 상황 수를 세어보고, 실생활 장면에서 짝수와 홀수를 직관적으로 이해한다. 이어 세기 2개 이상의 집합에서 집합의 크기를 비교하는 상황 등분제 어떤 수에서 출발하든 수 세기 시작 가능 (=앞으로 세기) ex. 수일이는 책을 3권 읽었고 도영이는 수일이의 3배만큼 읽 어떤 수에서 시작하여 반대 순서로 수 이름을 비교 었다. 도영이가 읽은 책은 모두 몇권일까? 거꾸로 세기 제시하는 전략 어떤 양을 몇 개씩 묶었을 때 묶음의 개수를 구하는 상황 ex. 22보다 3 작은 수 ­ 21, 20, 19 곱셈과 나눗셈에 대한 준비 학습 개별 항목의 수와 그에 해당하는 비율이 주어졌을 때, 전체의 뛰어 세기 2씩 뛰어세기 : 2, 4, 6, 8 값을 구하게 하는 상황 포함제 5씩 뛰어세기 : 5, 10, 15, 20 바퀴가 3개인 자전거가 7대 있다. 자전거 바퀴의 수는 모두 비율 몇 개인가? ♥포함제를 동수누감으로 연결짓는 활동은 나눗셈의 개념과 절차 를 동시에 고려한다는 측면에서 매우 중요♥ 곱셈의 개념 가운데 배의 개념과 동수누가를 동시에 설명하기 위해 제시되는 상황 □ 덧셈과 뺄셈 전략 8자루씩 묶여 있는 연필이 3묶음 있다. 구조화되지 않은 구체물, 반구체물 사용 묶음 직접 모델링에 연필은 모두 몇자루? 하나씩 세기, 이어세기, 묶어 세기, 거쭈러 세기, 기초한 전략 얼마까지 더하기, 짝 짓기 전략 등 구조화된 모델 사용 ex. 수판 수 세기에 기초한 직사각형 모양으로 가지런하게 대상이 정렬되어 있는 상황 이어세기, 거꾸러 세기, 두 배 전략, 하나 더 전략, 전략 체육시간에 학생들이 4명씩 3줄로 서있다. 하나 덜 전략 등 배열 학생들은 모두 몇 명인가? 수 지식에 기초한 시각적 이미지의 도움 없이 학생들이 알고 있는 수에 전략 관련된 다양한 지식을 활용하여 해결 직사각형의 가로와 세로의 길이가 주어졌을 때, 단위 넓이의 개수를 구하게 하는 상황 넓이 가로 5m, 세로 3m인 직사각형 모양의 땅의 넓이는? 두 가지 유형의 항목을 각각 짝 지어서 나타낼 때, 모든 경우 의 수를 구하게 하는 상황 조합 윗옷 2벌과 바지 3벌이 있다. 윗옷과 바지를 입을 수 있는 방법은 모두 몇 가지? - 2 - #자연수 지도 □ 수세기 원리 기초개념 (두 자리 수) : 기계적인 수 세기에서 합리적인 수 세기가 가능하다. 1. 동치표현의 지도 1~5 집합수, 순서수 → 6~9 집합수, 순서수 한 자리 수 16을 표현 → 1큰 수, 1작은 수 사물을 셀 때 마지막에 붙여진 수가 그 집합의 전체의 집합수의 원리 10개 묶음 1개 9 다음의 수(10) → 십몇→ 10개씩 묶어세기 수를 의미한다. 낱개묶음 16개 낱개묶음 6개 → 50까지의 수 → 수 비교(부등호 사용x) 두 자리 수 순서무관의 2. 자릿값에 대한 수 개념의 기초 형성 → 60,70,80,90 → 99까지의 수 수를 세는 것은 순서와 상관 없다, 원리 낱개 10개 묶음 → 10으로 인식→ → 수 비교(부등호 사용o) → 짝수와 홀수 수를 셀 때 사물 하나에 수사 하나씩 대응되어야 한다. 묶음의 수를 십 앞에 붙여 읽도록 함 세 자리 수 90보다 10 큰 수 → 몇백 → 세자리수 → 3. ab (읽기 : a십b) (어린아이들이 사물의 수가 많을 때 대상에 수사 하나이상 대 (자릿값 판) 999보다 1 큰 수(간단히 언급) 일대일 대응의 응시키면?→센 대상과 셀 대상을 구분짓는 것이 필요) 구체물 10개씩 묶어서 세고 수를 쓰는 활동 네 자리 수 100이 10개인 수(1000) →몇천 → 네 자리 수 → 10개씩 묶음 a개, 낱개 b개 원리 수를 세는 방법 1000이 10개인 수(10000) → 다섯자리 수 큰 수 수사 우리말 수사 하나, 둘, 셋.... 자릿값 (세 자리 수) → 자릿값판 씀 → 십만, 백만, 천만 → 억과 조 한자 수사 일, 이, 삼.... 약수와 배수의 의미 → 약수와 배수의 관계 수를 센다는 것은 변하지 않는 어떤 계열로 정렬된다는 약수와 배수 → 공약수와 최대공약수 → 공배수와 최소공배수 안정된 순서의 것을 의미한다. 반드시 정해진 수 계열을 이용해야만 한 (분수 사칙연산 - 약분과 통분의 선행학습 요소) 원리 다. □ 수 개념의 형성 구체적인 사물은 물론이고 상상의 것도 셀 수 있다는 추상의 원리 것이다. (눈에 보이지 않는 추상의 것도 셀 수 있다.) 반영적 추상화 사용 집합수 측면에서 수가 같음을 인식 □ 0지도 □ 명수법과 기수법 역할 ①자릿값 ②공집합 □ 자연수의 의미(x3) ☞ (교학방유) : 자연수가 개수, 순서, 이름 등을 나타내는 경우가 있음을 알 명수법 수를 읽는 방법 지도방법 1보다 1작은 수 (구체물 활용) 고, 실생활에서 수가 쓰이는 사례를 통하여 수의 필요성을 인식하게 한다. 수를 쓰는 방법 이름수 사물의 이름 대신에 사용하는 수 ex) 축구선수 등 번호 가법적 적혀 있는 숫자 모두 더한 합으로 나타내는 방법 기수법 (ex. 로마 숫자) □ 큰 수 지도 순서수 차례를 나타내는 것 ex)첫째, 열둘째 ☞ (교학방유) : 실생활에서 10000이상의 큰 수가 쓰이는 경우를 찾고 큰 수와 관련하 승법적 두 개의 수 기호가 나타내는 수 값을 서로 곱하여 두 어느 집합에 속하는 사물의 개수를 나타내는 것 기수법 기호의 수 값을 나타내는 방법 (ex. 한자) 여 이야기하는 활동을 통하여 큰 수에 대한 양감을 기르고 필요성을 인식하게 한다. 집합수 ex)사과 3개, 열 두째 각 숫자를 쓰는 자리에 자릿값을 미리 정하는 방법 ☞ (평방유) : 다섯 자리 이상의 수에 대해 평가할 때에는 수를 읽고 쓰는 것뿐만 아니 라 수에 대한 양감과 필요성을 인식하게 할 수 있는 문제를 다룬다. 특징 (영자 믿고 가~) □ 홀수와 짝수 기수법 ① 0의 사용 ① 자릿값의 작은 단위는 생략하는 경향이 있음. 단, 자릿 ☞ (교학방유) : 수 세기가 필요한 장면에서 묶어세기, 뛰어세기의 방법으로 ② 자릿값의 원리 : 왼쪽 10배, 오른쪽 1/10배 값의 작은 단위를 생략하는 것을 수의 어림과 연결 짓지 수를 세어보고, 실생활 장면에서 짝수와 홀수를 직관적으로 이해한다. 위치적 않을 것. ③ 자릿값 : 백의 자리 ­100, 십의 자리-10 기수법 ② 자리 수가 많아 한 눈에 알아보기 어려운 경우 일의 둘씩 짝을 지을 수 없는 수 ④ 기본적인 수 10이 있다. (밑이 10) 주안점 홀수 ⑤ 가법성 : 123=100+20+3 자리부터 네 자리씩 나누어 표시하여 읽는다. n번째 홀수 : (2n-1) / n번째 홀수 합 : n² ⑥ 알고리즘을 이용한 지필계산 (세로셈) ③ 억, 조 단위의 수를 숫자로 나타내기에 어려움이 있는 둘씩 짝을 지을 수 있는 수 짝수 경우 수를 나타낼 수 있는 표를 사용하여 알맞은 숫자를 n번째 짝수 : 2(n-1) / n번째 짝수 합 n(n-1) ♥ 자릿값 지도 : 묶기, 교환하기 넣어가며 나타내는 연습을 해보도록 한다. - 3 -  (자리수가 같은지 다른지 비교한다.) ④ 어떤 수의 약수에는 1과 자기자신이 포함되어있다. #분수 지도 ↓ ↓ ⑤ 약수의 수는 수가 크다고 항상 많은 것이 아니다. 분모, 분자 용어 도입 (같다) (다르다) 연속량의 등분할을 통한 분수의 이해 (6의 약수;1,2,3,6-4개/ 9의 약수:1,3,9-3개) 영역모델 사용 비교방법 ↓ ↓ ⑥ 약수의 수가 홀수인 수는 두 수를 2번 곱한 수(제곱수)이다. 시각적 이해 → 진분수와 단 (자리 수가 많은 쪽이 더 크다.) 분모가 같은 분수의 크기 비교 위 분수의 관계 ↓ 단위분수의 크기 비교 (가장 높은 자리 수부터 차례로 비교하여 수가 큰 쪽이 더 크다.) 배수 어떤 수를 1배, 2배, 3배 … 한 수 이산량의 등분할을 통한 분수의 이해 집합 모델 사용 공배수 두 수의 공통된 배수 □ 약수와 배수 (약분과 통분의 선행학습요소) 공배수 중에서 가장 큰 수 자연수의 분수 배 만큼 구하기 집합 모델→ 길이 모델 ☞ (교학방유) : 약수와 배수는 실생활에서 활용되는 경우를 찾아 자연수 범위에서 다룬 구하는 방법 분수의 유형 다. / 최대공약수와 최소공배수는 두 수에 대해서 구하게 한다. ① 두 수의 배수를 나열해서 구하기 분모가 같은 분수의 크기 비교 가분수, 대분수 ☞ (평방유) : 최대공약수와 최소공배수에 대한 평가에서 소인수의 곱으로 나타내어 구 하는 방법은 다루지 않는다. (지도 O, 평가 X) ② 곱셈식을 이용한 방법 ( 여러 수의 곱 / 두 수의 곱) □ 분수의 의미 약수-배수 어떤 수의 약수를 몇 배 하면 어떤 수가 되므로 배수가 최소 전체를 똑같이 나눈 것(등분할) 중 일부분의 크기를 나 관계 된다. 공배수 전체-부분의 타내는 분수 (전체를 몇으로 나눈 것 중에 몇) 약수 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수 의미 ♨ 연속량 : 치자 한 판을 5등분 했을 때 ③ 두 수의 공통인 약수를 이용하여 구하는 방법 (호제법) ♨ 이산량 : 전체 구슬 20개를 4개씩 묶었을 때 공약수 두 수의 공통된 약수 공약수 중에서 가장 큰 수 자연수 n을 자연수 m 으로 나눈 몫 (n/m)을 나타내는 몫의 의미 구하는 방법 분수 ① 두 수의 약수를 나열하여 구하기 두 양의 상대적인 크기인 비율을 뜻하는 분수 비의 의미 ① 어떤 수의 배수는 무수히 많다. (한 수를 기준으로 다른 수의 상대적인 크기를 나타낸다.) 배수의 ② 모든 자연수는 1의 배수이다.. 양의 측정 과정에서 나타내는 자투리를 나타내는 것 특징 ② 곱셈식을 이용한 방법 ( 여러 수의 곱 / 두 수의 곱) ③ 어떤 수의 배수 중 가장 작은 수는 자신이다. 측정의 의미 자연수의 단위로 사물을 정확하게 측정할 수 없을 때, 측정단위를 세분화하는 역할 최대 a/b만큼 확대하거나 축소하는 것을 뜻하는 분수 공약수 연산자의 의미 ♨ 연속량 : 도형을 1/5 만큼 축소하거나 확대 cf) 두 수의 곱으로 나타낸 경우 공 (곱셈의 연산자) 통으로 들어있는 수 중 가장 큰 수를 찾아 최대공약수를 구한다. ♨ 이산량 : 구슬 15개의 1/5에 해당하는 수 ③ 두 수의 공통된 약수를 이용하여 구하는 방법 (호제법) □ 분수의 유형 진분수 분자가 분모보다 작은 분수 (1보다 작은 분수) 가분수 분자가 분모와 같거나 큰 분수 (1도 포함) 자연수와 진분수로 이루어진 분수 대분수 ① 모든 자연수는 1로 나누어떨어지므로 1은 모든 수의 약수이다. (for 형식적 이해, ‘대분수=자연수와 진분수의 합’ 동시제시) 약수의 ② 어떤 수의 약수 중에서 가장 작은 약수는 항상 1이다. 단위 특징 분자가 1인 분수 1/2. 1/3, 1/4 … ③ 어떤 수의 가장 큰 약수는 항상 자기 자신이다. 분수 - 4 - □ 분수의 크기 비교 지도 방법 -분자가 클수록 더 크다. □ 소수점 이동 방법 ; 자릿값의 원리 이용 ① 소수를 10배 하면 소수점을 기준으로 수가 왼쪽으로 한 자리씩 이동 (2) 사칙연산 분모가 같은 진분수 ② 소수를 1/10배 하면 소수점을 기준으로 수가 오른쪽으로 한 자리씩 이동 #자연수 덧셈과 뺄셈(역연산 관계) □ 수의 합성과 분해 -분모가 클수록 더 크다. ① 9까지의 수 모·가 지도순서 ② 10~19까지의 수 모·가 모으기와 가르기 ③ 10을 이용하여 모·가 의미 보수개념 이해, 덧셈과 뺄셈의 기초 단위 분수 단위분수의 합으로 나타내기 방법 : 분모를 약분하여 분모의 약수 중 더해서 분자가 □ 덧셈과 뺄셈의 성질 나올 수 있는 것을 찾기 덧셈 (ex. 7/8 = 1/2+1/4+1/8) 덧셈에서는 더하는 순서를 바꾸어도 결과는 같다. 교환 법칙 유의점 전체가 똑같은 크기와 모양인 것으로 비교해야 함 ex) 3+8 = 8+3 세 수를 더할 때 더하는 순서를 바꾸어도 결과는 같다. 결합 법칙 ex) (2+6)+8 = 2+(6+8) #소수 지도 뺄셈 뺄셈에서 감수를 분해하는 방법 감감법 14-6 = 14-(4+2) = 14-4-2 = 8 소수 도입 상황 (측정상황을 통해서 세분화 할 수 있다는 것을 직관적 이해) 뺄셈에서 피감수를 분해나는 방법 감가법 분모가 10인 진분수를 통한 소수 한 자리 수의 이해 (순소수=소수) 13-8 = (10+3)-8 = (10-8)+3 = 5 mm와 cm 관계를 통한 소수 한 자리 수의 이해 (대소수=자연수+소수) □ 덧셈과 뺄셈의 관게 소수 한 자리 수의 크기 비교 → 서로 역연산 관계 cm와 m의 관계를 통한 소수 두 자리 수의 이해 m와 km의 관계를 통한 소수 세 자리 수의 이해 □ 세 수의 덧셈과 뺄셈 소수의 크기 비교 ① (몇)+(몇)=(십몇)이나 (십몇-몇)=(몇)을 이해하기 위한 기초가 된다. ② 10이 되는 더하기와 10에서 빼기는 이어지는 학습내용인 10을 만들어 소수 사이의 관계 더하기를 위한 선수 학습에 해당한다. *순소수 : 1보다 작은 크기의 소수 (정수 부분이 0) ③ 10의 보수관계에 익숙해진 다음 여러 수의 계산에서 10을 만드는 두 수를 *대소수 : 정수 부분이 0이 아닌 소수 파악하는 것이 강해진다. □ 어림셈 □ 소수의 크기 비교 정교하거나 정확한 계산을 하지 않고 타당한 의사결정을 하기에 분수로 고쳐서 비교 시각적으로 비교 의미 자연수 부분 → 소수 부분 단위소수 비교 충분한 답을 만들어 내는 과정 ① 정확한 계산을 하기 전 무엇을 구해야 하는지 알 수 ㅇ 활용 ② 계산을 하는 도중 계산을 바르게 하고 있는지를 확인할 수 ㅇ □분수와 소수와의 관계 ③ 계산을 한 후 결과에 대한 반성을 하고 그것이 타당한지 결정할 수 ㅇ 분모가 10, 100, 1000 …… 인 분수로 고친 다음 소수로 나타낸다. - 5 - □ 덧셈과 뺄셈 지도 4단계 #자연수 곱셈과 나눗셈 □ 곱셈 어림전략 생활 장면을 수의 크기를 나타내는 높은 자리에서 낮은 자리로 □ 곱셈의 개념 내려가면서 계산하는 방법 이용한 문제 제시 곱셈을 같은 수의 반복된 덧셈으로 정의하는 것 동수누가 개념 프런트-엔드 전략 100x7=700이므로 700보다 큰 수 (곱셈 값 구하는 알고리즘의 근거) 132x7 30x7=210이므로 어림값은 약 910 곱셈은 ①묶음의 크기(단위량)와 ②묶음의 수(배) (front-end) 3x5=15이므로 1500보다 큰 수 문제를 모델로 배의 개념 ③전체의 크기(전체량) 사이의 상호관계 32x54 30x4=120, 2x50=100이므로 나타내기 어림값은 약 1720이다. 곱집합 개념 곱 aXb는 집합 AXB 원소의 개수 (집합론에 근거) 끝 수를 처리하여 암산하기 쉬운 수를 만드는 것 덧셈 □ 곱셈의 성질 40을 50으로, 88을 90으로 올림하여 곱셉에서 곱하는 두 수의 순서를 바꾸어도 곱이 같다 끝수를 처리한다. 교환법칙 45x88 3×8=8×3 50x90=4500인데, 이 값은 올림하여 얻 세 수를 곱할 때 곱하는 순서를 바꾸어도 결과 같다 라운딩(rounding)전략 은 값이므로 4500보다 작다. 모델 결합법칙 32를 30으로, 51을 50으로 버림하여 3×(5×4)=(3×5)×4 → 일 모형 10개를 십 모형 1개로 바꾸어 십 모형 1개 끝수를 처리한다. 조작활동으로 덧셈에 대한 32x51 와 일 모형 1개로 나타낼 수 있습니다(받아올림) 7×16=7×(10+6)=7×10+7×6 30x50=1500데 이 값은 버림하여 얻은 답 구하기 분배법칙 뺄셈 값이므로 1500보다 크다. (원리이해) 앞의 두 가지 전략에서 발생한 수의 차이를 어림 □ 곱셈 지도 단계 해 조정하는 과정 2단 → 5단 → 3,6단(2배 전략) → 4,8단(2배 전략) → 7단 → 9단 → 1과 0의 곱 어림셈 할 때 올림하여 → 십 모형에서 1개를 일 모형 10개로 바꾸면 일 모형 조절(compensation) 600x4=2400으로 계산한 다음, ★ 곱셈 개념 지도 단계 전략 12개가 되어 12개에서 8개를 빼면 4개, 십 모형은 2개 578x4 22x4가 100정도 되므로 어림한 묶어세기 6씩 5묶음 (몇씩 몇 묶음) 가 남으므로 24입니다.(받아내림) 값은 2400-100=2300 으로 묶음을 ‘배’로 나타내기 덧셈 6의 5배 (몇의 몇 배) (배의 개념 도입) 조절하는 것 1단계 자리에 맞추어 수를 쓴다. 배를 동수누가로 나타내기 6+6+6+6+6 일의 자리 수끼리의 합이 10이거나 10을 넘으면 십 곱셈식과 덧셈식 연결하기 6+6+6+6+6 = 6X5 2단계 □ 여러가지 곱셈 방법 의 자리로 받아올림하고 받아올림 표시를 해준다. 조작 활동 받아올림 한 수는 십의 자리 수와 합하여 내려 쓴 곱셈 지도 단계 선 긋기 곱셈 방법 격자 곱셉 3단계 산가지나 수 모형과 같은 구체물로 하나씩 세거 과정을 다. 나 묶음으로 세기 발표하고 뺄셈 구체물을 이용한 조작활동 ①십집법 개념 /②곱셈에 대한 아이디어 경험/ ③세는 기호로 1단계 자리에 맞추어 수를 쓴다. 방법에서의 다양한 전략 나타내기 일의 자리 수끼리 뺄 수 없으면 십의 자리에서 일 서로 전략 공유(전략 만듬=십진법 이해했다는 것) 학생들이 만든 전략 ①의사소통 능력 ② 타인 배려, 존중 인성 문살 곱셈 방법 곱셈 막대 방법 (형식화) 2단계 의 자리에 받아내림하고 받아내림 표시를 해준다. 표준화된 알고리즘을 도입하기 전에 조작활동을 다) 69×5 일의 자리 위에 10을 쓰는 방법으로 나타낸다. 통해 학생 스스로가 알고리즘을 재발명하도록 해 일의 자리 수끼리 뺀다. 12에서 8을 뺀 수 4를 일 표준화된 알고리즘 3단계 야 함. 의 자리에 내려 쓴다. (학생 스스로 발견하도록 유도) 4단계 십의 자리 수 2는 그대로 내려 쓴다. 어림셈 결과 타당한지 검토 - 6 - □ 나눗셈의 몫과 나머지 #분수 덧셈과 뺄셈 □ 분수의 성질 자연수의 사칙연산 자연수와 분수는 승법적 사고를 기반으로 한다. 1. 자연수 덧셈과 뺄셈 차이점 (자연수는 가법적) 1. 분모와 분자에 0이 아닌 같은 수를 곱하여도 분수의 크기는 같다. 원리 수모형 묶기, 교환하기 성질 2. 분모와 분자에 0이 아닌 같은 수를 나누어도 분수의 크기는 같다. [받아올림] 덧셈 (→약분으로 이어짐) 형식화 일의 자리 수끼리의 합이 10이거나 10보다 클 때 일의 자 분수의 형태는 달라지나 크기는 달라지지 않는 분수 (양 변하지 x) 리에서 십의 자리로 받아올림 한다. □ 나눗셈 검산 지도 원리 수모형 묶기, 교환하기 ☞ (평방유) : 나눗셈에 대한 검산식에서는 나눗셈식을 보고 곱셈식으로 나타내는 것보 ① 분수의 성질 →(약분과 통분) 동치분수 [받아내림] 다 검산의 목적과 필요성을 이해하는지에 초점을 두고 평가한다. ★ ② 재귀적 분할 : 부분의 크기를 전체적 크기로 해석하기 위해 각 뺄셈 형식화 일의 자리 수끼리 뺄 수 없을 때 십의 자리에서 일의 자 부분을 다시 부분으로 분할하는 방법 →(분모가 다른 분수의 덧셈과 검산 방법 나누는 수 x 몫의 곱 + 나머지= 나누어지는 수 리로 받아내림한다. 뺄셈) 혼합계산은 5-6학년 군에서 배우기 때문에 유의점 16÷3=5…1을 혼합계산식(5x3+1)이 아닌 2.곱셈 □ 약분과 통분 5x3=15, 15+1=16 으로 나누어 제시한다. 묶어세기 ­ 배의개념 ­ 동수누가 - 곱의개념 ☞ (평방유) : 분수의 통분을 이용한 문제에서는 공통분모로 최소공배수 뿐만 아니라 분 원리 묶음모델을 활용한 수 모형 조작 모의 곱과 같은 공배수도 이용할 수 있게 한다. □ 잠정 몫 어림 전략 곱하는 [세로셈] 약분과 통분 선행학습 요소 : 최소공배수와 최대공약수, 분수의 성질 수 형식화 피승수를 자릿값에 따라 분배하여 분배법칙을 적용하여 부분 앞자리 수로 어림하기 후속학습 : 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 한자리 곱을 구해 더하는 알고리즘을 적용한다. 반올림하여 어림하기 공통분모 통분한 분모 ① 최소공배수 ② 분모의 곱과 같은 공배수 원리 배열모델을 활용한 수 모형 조작 곱하는 어울리는 수로 어림하기 약분 분모와 분자를 그들의 공약수로 나누어 간단히 하는 것 [세로셈] 수 기약분수 분모와 분자의 공약수가 1뿐인 분수 형식화 승수를 자릿값에 대해 분배하여 분배법칙을 적용하여 부분 곱 두자리 을 구해 더하는 알고리즘을 적용한다. □ 나눗셈 알고리즘 이분모 분수의 분모를 같게 하는 것 →이유 : 기준이 되는 단위의 통일 분배(표준) 알고리즘 누감 알고리즘 통분 3.나눗셈 →선개념 : 분수의 의미, 약분 통분 →오류 시 지도방안 : 분수의 의미, 어림해보기 ‘나머지가 있는’ 두자리 원리 수모형 조작 공통분모 통분한 분모 ① 최소공배수 ② 분모의 곱과 같은 공배수 ÷ [세로셈] ★이분모 분수의 덧셈과 뺄셈 : ‘어림’중요~양감, 수 감각, 수의 연산 감각 발달 必 형식화 한자리 [검산식] 必 but, 혼합계산 x 두자리 지도 곱셈을 통해 나눗셈의 몫을 구함 ÷ 방법 ex. 60÷12 두자리 (받아올림) 지도 오른쪽 분배법칙 사용 1/10 막대 10개를 1막대 1개로 바 세자리 방법 부분 몫 구하여 합함 꿈다. ÷ 잠정몫 -어울리는 수로 어림하기 (받아내림) 두자리 어림 -앞자리 수로 어림하기 1을 1/4 막대 4개로 바꾼다. 방법 -반올림하여 어림하기 형식화 세로셈 - 7 - 분수의 사칙연산 3. 나눗셈 2. 곱셈 제수 자연수 : 등분제 형식화는 자연수x자연수로 생각 1, 덧셈 제수 분수 : 포함제(동수누감) 원리 동수누가 (1) 분모의 크기가 같은 분수의 덧셈과 뺄셈 원리 영역모델 소x자 피승수의 소수점 이하의 자릿수만큼 곱의 소수 자÷자 형식화 원리 길이모델,영역모델 활용 형식화 나누어지는 수는 분자, 나누는 수는 분모로 하는 분수 점 자리를 옮긴다. 영역모델(넓이상황6차시, ), 등분제 자연수끼리, 분수끼리 더한다. 원리 분수의 곱셈 계산 원리 덧셈 2/3 ÷ 2 자x소 형식화 분수끼리의 합이 자연수가 되면 분수에서 자연수로 받아 올림 승수의 소수점 이하의 자릿수만큼 곱의 소수점 원리 형식화 분÷자 자리를 옮긴다. 한다. 원리 분수의 곱셈 계산 원리 원리 길이모델 소x소 피승수와 승수의 소수점 자릿수의 합만큼 곱의 형식화 나누는 수 대신 역수를 곱한다. 분수x1/자연수 형식화 길이모델, 포함제(동수누감) 소수점 자리를 옮긴다. 뺄셈 분수끼리 뺄 수 없을 때 자연수에서 1을 받내림하여 가분수로 자÷ 형식화 1÷1/4 바꾼다. 그리고 자연수끼리 분수끼리 뺀다. 원리 단위 3. 나눗셈 분수 소수점을 오른쪽으로 ㅁ자리씩 옮겨서 계산한다. 형식화 자연수와 단위분수 분모 곱셈 포함제(동수누감) 나머지가 있는 경우=피제수의 처음 소수점 위치 따름 (2) 분모의 크기가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 원리 -이중수직선 분자끼리의 나눗셈 통분이 必 -자연수 나눗셈 (자릿값 원리) t →이유 : 단위의 통일 : 피제수가 1/10배가 되면 몫도 1/10배가 됩니다 →선개념 : 분수의 의미, 약분 통분 분÷분 (몫과 피제수의 관계 이해) 원리 →오류 시 지도방안 : 분수의 의미, 어림해보기 (同) -분수의 나눗셈 형식화 원리 길이모델 활용 이해 못하면 구체물 이용 분모의 곱으로 통분(→공통분모 구하기 쉬움) 1)비례모델 덧셈 소÷자 형식화 분모의 최소공배수로 통분(→약분 필요 없고, 분자끼리 덧셈 2)비비례모델 분수의성질, 교환법칙 소수점 위치에 맞춰 결괏값에 소수점을 올려 찍는다. 쉬움) 분÷분 포함제(동수누감) 원리 (나누어떨어지지 않는 경우에는 나뉠 수의 오른쪽 끝자리에 0 (異) 통분 후 분자끼리의 나눗셈 원리 영역모델 포함제(동수누감) 이 계속 있는 것으로 생각한다.) 자÷분 원리 형식화 통분한다.(두 수의 곱, 최소공배수) 교환법칙으로 (소수 첫째짜리에서 내린 수를 나눌 수 없는 경우에는 몫의 뺄셈 형식화 분수끼리의 뺄셈이 되지 않을 때 소수 첫째자리에 0을 쓴 다음, 소수 둘째자리 수를 내려 계 자연수 부분에서 받아내림 산한다.) 소수의 사칙연산 분수의 나눗셈 원리 2. 곱셈 1. 덧셈과 뺄셈 자릿값의 원리 자÷자 분x자 동수누가 단위소수를 이용하여 범자연수적 접근 더 이상 계산할 수 없을 때 까지 내림을 하고, 내릴 수가 없 : 소수점끼리 맞추어 세로로 쓰고, 같은 자리수 끼리 더한다. 형식화 자x분 배의 개념(자x자 유추적 사고) 을 경우 0을 내려 계산합니다. 원리 들이모델 영역모델 형식화 소수점끼리 맞추어 세로로 쓰고 같은 자리수끼리 더하거나 뺀다. 소수점 동수누감, 자연수 나눗셈 위치 同 소수 정사각형 소÷소 분x분 소수점 단위소수 동수누감, 분수의 나눗셈 여러 방법 수직선 위치 異 if. 2/5 x 3/4 세로셈 원리 →전체 사각형 수 : 분모의 곱 →겹친 색 사각형 : 분자의 곱 자÷소 동수누감, 분수의 나눗셈 수모형 형식화 - 8 -  자연수의 곱셈과 나눗셈 곱셈 나눗셈 곱하는 수가 한자리 수 곱하는 수가 두자리 수 세자리수 X 몇십 나누는 수가 한자리인수 나누는 수가 두자리인 수 묶음모델(수모형) 배열모델(모눈종이) 배열모델 수모형 · 원 리 이 해 형 식 화 세 로 셈 형 식 화 발 문 - 9 -  분모가 같은 분수의 덧셈과 뺄셈 선행학습 요소 : 분수의 의미(전체-부분), *단위의 인식, 단위분수 (5차시 영역모델→길이모델) 덧셈 뺄셈 진분수 대분수 진분수 1과 진분수 대분수(받아내림x) 자연수-분수 대분수(받아내림o) 길이,영역 영역 길이,영역 길이,영역 영역 길이,영역,들이 영역,길이 원 리 이 해 ① 자연수 부분끼리 더하 ① 자연수에서 1만큼을 분 고 진분수 부분끼리 더해 ① 자연수 부분과 진분수 ① 자연수에서 1만큼을 분 수로 바꾸어(받아내림)하여 분모는 그대로 두고 분자 서 계산한다. 1을 n/n의 형태로 바꾸어 부분으로 나누어서 계산했 수로 바꾸어(받아내림)하여 자연수끼리, 분수끼리 빼서 ② 대분수를 가분수로 바 분모는 그대로 두고 분자 1-(진분수)의 계산을 분자 형 끼리 더한 다음 가분수이 습니다. 계산합니다. 나온 값을 더하여 계산합 꾸어 분자 부분만 더해서 끼리 뺍니다. 끼리 빼는 진분수의 뺄셈 식 면 대분수로 바꾼다. ② 가분수로 바꾸어 분자 ② 가분수로 바꾸어 계산 니다. 계산한다. 형태로 익히도록 한다. 화 부분만 빼서 계산합니다. 한다. ② 가분수로 바꾸어 계산 (대분수와 가분수의 관계 합니다. 이해가 바탕) ★ 자연수끼리 더하거나 배고 분수 부분끼리 더하거나 뺀다. ★ 분수 부분끼리 뺄 수 없을 때에는 자연수 부분에서 1을 분자와 분모가 같은 분수로 고쳐야 한다. (받아내림) *if) 학생이 만약 분모끼리 더하고 분자끼리 더한다면? 1. 자연수에서 학습했던 덧셈 계산의 방법의 영향일 수 있다. →지도방법 : 영역모델 사용 시 1이 무엇인지 파악해야 함 2. 분수의 덧셈을 학습할 때 학생들이 전체가 무엇인지, 즉 1이 무엇인지 이해하지 못했기 때문이다. - 10 -  분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 -분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈은 ★통분★을 이용해서 ★동치분수★로 만드는 것이 중요! -재귀적 분할 : 부분의 크기를 전체적 크기로 해석하기 위해 각 부분을 다시 부분으로 분할하는 방법 ex.1/2를 2/4로 만들 때 → 덧셈 뺄셈 받아올림x 받아올림o 받아내림x 받아내림o 동분모 분수에서 분모끼리 분자끼리 계산할 때 영역(재귀적 분할) 영역(재귀적 분할) 영역(재귀적 분할) 영역(재귀적 분할) ①오류 원인 -자연수에서 학습했던 덧셈 계산의 방법의 영 향일 수 있다. -분수의 덧셈을 학습할 때 학생들이 전체가 무엇인지, 즉 1이 무엇인지 이해하지 못했기 때 문이다. ②지도방법 -주어진 덧셈과 뺄셈상황에서나 이를 영역 모 델로 나타내었을 때 단위, 즉 1이 무엇인지 파 원 악하도록 한다. 리 이 이분모 분수에서 분모끼리 분자끼리 계산할 때 해 지도방법 - 분수의 의미를 강조 - 어림 방법을 활용 어림하지 못할 때 지도방법 - 동치분수 활용 단위 1 형식화를 통한 정확한 계산에 앞서 어림을 통한 결괏값을 예측해 보는 활동을 통해 분수 연산의 의미를 이해할 수 있도록 한다. 1/3 1/6 통분해도 고정된 전체단위는 변하지 않는다. 형 ( 기본 ) : 두 분모의 (곱)or(최소공배수)을 공통분모로 하여 통분한 후 계산합니다. 1 식 1/3이 3개인 1 (받아올림o) : 분수끼리의 합이 자연수가 되면 분수에서 자연수로 받아 올림 한다. 화 6/1이 2개인 3/1이 3개인 1 (받아내림o) : 이때 빼지는 수의 분수 부분이 빼는 수의 분수 부분보다 작으면 자연수 부분에서 1을 받아내림하여 가분수로 바꾸어 계산한다. (but, 곱셈은 전체의 의미(기준)가 바뀜!!!!!) - 11 -  분수의 곱셈 (분수)×(자연수) (자연수)×(분수) (분수)×(분수) (진분수)×(자연수) (대분수)×(자연수) (자연수)×(진분수) (자연수)×(대분수) (단위분수)×(단위분수) (진분수)×(진분수) (대분수)×(대분수) 영역모델 길이모델 영역모델 동수누가 분배법칙 배의 개념 원 리 이 해 형 1) 대분수를 가분수로 거 1) 대분수를 가분수로 거 식 쳐서 계산 쳐서 계산 분자는 분자끼리, 분모는 분 대분수를 가분수로 고친 뒤 분수와 자연수를 곱한 뒤 자연수와 분자를 곱한 뒤 분자는 그대로 두고 분모끼 화 2) 대분수를 자연수+진분 2) 대분수를 자연수+진분 모끼리 곱하는 과정에서 약 분자는 분자끼리, 분모는 분 약분 약분 리 곱함 발 수 형태로 고쳐서 계산 수 형태로 고쳐서 계산 분 모끼리 곱함. 문 (분배법칙 사용) (분배법칙 사용) - 12 -  분수의 나눗셈 (나머지 안 구함) 제수 분수 : 포함제 (동수누감) 제수 자연수 : 등분제 (똑같이 나눈다는 생각을 할 수 없다) (cf. 피제수가 크다는 전제 下) (자연수)÷(자연수) (분수)÷(자연수) (분수)÷(분수) (자연수)÷(분수) 몫이 1보다 작은 경우 몫이 1보다 큰 경우 분자가 제수(자연수)의 배수 분자가 제수(자연수)의 배x 분모 같은 분수÷분수 분모 다른 분수÷분수 영역모델 영역모델 영역모델 영역모델 영역모델 ① 배 개념(5차시) ② 넓이 상황(6차시) 원 리 ★★★★★ 이 해 형 (동치분수로 바꾸는 과정) 식 분수의 분모에 자연수를 곱 몫을 나누어지는 수를 분자, 나누는 수를 분모로 하는 분 (자연수의 나눗셈) 화 한다. 나누는 수의 분모와 분자를 바꾼 다음(역수) 곱한다. 수로 나타냄. 분자를 자연수로 나눈다. 발 자연수를 역수로 바꾼 다음 문 곱한다. - 13 -  소수의 덧셈과 곱셈 덧셈과 뺄셈 곱셈 덧셈 뺄셈 (소수)×(자연수) (자연수)×(소수) (소수)×(소수) 들이모델 들이모델 동수누가 분수의 곱셈 분수의 곱셈 원 리 이 해 -소수 정사각형 -단위소수 -수직선 -세로셈 -수모형 형 알고리즘 : 자연수의 곱셉 계산 원리 적용 식 화 소수점끼리 맞추어 세로로 쓰고 같으 자리수끼리 더하거나 뺍니다. 발 피승수의 소수점 이하의 자릿수만큼 승수의 소수점 이하의 자릿수만큼 곱 피승수와 승수의 소수점 자릿수의 합 문 곱의 소수점 자리를 옮긴다. 의 소수점 자리를 옮긴다. 만큼 곱의 소수점 자리를 옮긴다. - 14 -  소수의 나눗셈 원리 이해 형식화 자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 계산하고, 각 자리에서 분수로 고쳐서 계산 나누어지는 수의 소수점 위치에 맞춰 결괏값에 나누어 떨어지지 x 수직선으로 도입 자연수의 나눗셈 이용 소수점을 올려 찍는다. (자릿값의 원리) 몫이 1보다 작은 세로로 계산하고 소수점을 올린다. 그리고 소수 자연수 부분에 0을 쓴다. (1) 비례 모델 나누어떨어지지 않는 경우에는 나뉠 수의 오른 (소수)÷(자연수) 소수점 아래 0을 쪽 끝자리에 0이 계속 있는 것으로 생각한다. 계산해야 하는 경우 (계산이 끝나지 않으면 0을 하나 더 내려 계 산) 소수 첫째짜리에서 내린 수를 나눌 수 없는 경 우에는 몫의 소수 첫째자리에 0을 쓴 다음, 소 (2) 비비례 모델 몫의 소수 첫째 수 둘째자리 수를 내려 계산한다. 자리에 0이 있는 (계산하는 중에 수를 하나 내려도 나누어야 경우 할 수가 나누는 수보다 작은 경우에는 몫에 0 을 쓰고 수를 하나 더 내려 계산한다.) 분수의 나눗셈 이용 자연수의 나눗셈 이용(자릿값의 원리) 더 이상 계산할 수 없을 때 까지 내림을 하고, 내릴 수가 (자연수)÷(자연수) 없을 경우 0을 내려 계산한다. 소수점 ① 동수누감의 원리 적용(cf. 피제수가 크다는 전제 下) 나누는 수와 나뉠 수의 소수점을 각각 오른쪽으로 ㅁ자리씩 위치 ② 자연수의 나눗셈으로 바꾸어 계산(제수와 피제수의 소수점 위치 같을 때) 옮겨서 계산한다. 同 (소수)÷(소수) 소수점 ① 동수누감의 원리 적용(cf. 피제수가 크다는 전제 下) 나누는 수(나뉠 수)가 자연수가 되도록 나누는 수와 나뉠 수의 위치 ② 분수의 나눗셈 계산을적용 소수점을 각각 오른족으로 ㅁ자리씩 옮겨서 계산한다. 異 나머지 ① 동수누감의 원리(cf. 피제수가 크다는 전제 下) 없는 ② 분수의 나눗셈 계산을적용 나눗셈 (자연수)÷(소수) 나머지 있는 소수의 나눗셈에서 나머지를 구하는 것은 몫이 자연수이거나 나누는 수가 자연수인 경우에만 다루도록 하는 것이 바람직하다. 나눗셈 - 15 -