Mathematik: Lineare Algebra - Kursbuch PDF

MATHEMATIK: LINEARE ALGEBRA DLBBIM01 MATHEMATIK: LINEARE ALGEBRA  IMPRESSUM Herausgeber: IU Internationale Hochschule GmbH IU International University of Applied Sciences Juri-Gagarin-Ring 152 D-99084 Erfurt Postanschrift: Albert-Proeller-Straße 15-19 D-86675...

MATHEMATIK: LINEARE ALGEBRA DLBBIM01 MATHEMATIK: LINEARE ALGEBRA  IMPRESSUM Herausgeber: IU Internationale Hochschule GmbH IU International University of Applied Sciences Juri-Gagarin-Ring 152 D-99084 Erfurt Postanschrift: Albert-Proeller-Straße 15-19 D-86675 Buchdorf [email protected] www.iu.de DLBBIM01 Versionsnr.: 001-2024-0717 N.N. Coverbild: Adobe Stock. © 2024 IU Internationale Hochschule GmbH Dieses Lernskript ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte vorbehalten. Dieses Lernskript darf in jeglicher Form ohne vorherige schriftliche Genehmigung der IU Internationale Hochschule GmbH (im Folgenden „IU“) nicht reproduziert und/oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet wer- den. Die Autor:innen/Herausgeber:innen haben sich nach bestem Wissen und Gewissen bemüht, die Urheber:innen und Quellen der verwendeten Abbildungen zu bestimmen. Sollte es dennoch zu irrtümlichen Angaben gekommen sein, bitten wir um eine dement- sprechende Nachricht. 2  INHALTSVERZEICHNIS MATHEMATIK: LINEARE ALGEBRA Einleitung Wegweiser durch das Lernskript.................................................... 6 Literaturempfehlungen............................................................ 7 Übergeordnete Lernziele.......................................................... 9 Lektion 1 Grundlagen 11 1.1 Lineare Gleichungssysteme................................................... 12 1.2 Grundbegriffe zu Matrizen.................................................... 13 1.3 Matrix Algebra............................................................... 17 1.4 Matrizen als kompakte Repräsentation linearer Gleichungssysteme............... 26 1.5 Inverse und Spur............................................................. 32 Lektion 2 Vektorräume 41 2.1 Definition................................................................... 42 2.2 Linearkombination und lineare Abhängigkeit................................... 45 2.3 Basis, lineare Hülle und Rang................................................. 52 Lektion 3 Lineare und affine Abbildungen 63 3.1 Matrix-Repräsentation linearer Abbildungen.................................... 64 3.2 Bild und Kern................................................................ 74 3.3 Affine Räume und Unterräume................................................ 77 3.4 Affine Abbildungen........................................................... 79 Lektion 4 Analytische Geometrie 83 4.1 Norm....................................................................... 85 4.2 Skalarprodukt............................................................... 92 4.3 Orthogonale Projektionen.................................................... 95 4.4 Ausblick: komplexe Zahlen.................................................. 106 3  Lektion 5 Matrix-Zerlegung 117 5.1 Determinante.............................................................. 118 5.2 Eigenwerte und Eigenvektoren............................................... 123 5.3 Cholesky-Zerlegung......................................................... 130 5.4 Eigenwertzerlegung und Diagonalisierung.................................... 134 5.5 Singulärwertzerlegung...................................................... 138 Anhang Literaturverzeichnis............................................................. 146 Abbildungsverzeichnis.......................................................... 147 4 EINLEITUNG  HERZLICH WILLKOMMEN WEGWEISER DURCH DAS LERNSKRIPT Dieses Lernskript bildet die Grundlage Deines Kurses. Ergänzend zum Lernskript stehen Dir weitere Medien aus unserer Online-Bibliothek sowie Videos zur Verfügung, mit deren Hilfe Du Dir Deinen individuellen Lern-Mix zusammenstellen kannst. Auf diese Weise kannst Du Dir den Stoff in Deinem eigenen Tempo aneignen und dabei auf lerntypspezifi- sche Anforderungen Rücksicht nehmen. Die Inhalte sind nach didaktischen Kriterien in Lektionen aufgeteilt, wobei jede Lektion aus mehreren Lernzyklen besteht. Jeder Lernzyklus enthält jeweils nur einen neuen inhaltlichen Schwerpunkt. So kannst Du neuen Lernstoff schnell und effektiv zu Deinem bereits vorhandenen Wissen hinzufügen. In der IU Learn App befinden sich am Ende eines jeden Lernzyklus die Interactive Quizzes. Mithilfe dieser Fragen kannst Du eigenständig und ohne jeden Druck überprüfen, ob Du die neuen Inhalte schon verinnerlicht hast. Sobald Du eine Lektion komplett bearbeitet hast, kannst Du Dein Wissen auf der Lernplatt- form unter Beweis stellen. Über automatisch auswertbare Fragen erhältst Du ein direktes Feedback zu Deinen Lernfortschritten. Die Wissenskontrolle gilt als bestanden, wenn Du mindestens 80 % der Fragen richtig beantwortet hast. Sollte das einmal nicht auf Anhieb klappen, kannst Du die Tests beliebig oft wiederholen. Wenn Du die Wissenskontrolle für sämtliche Lektionen gemeistert hast, führe bitte die abschließende Evaluierung des Kurses durch. Die IU Internationale Hochschule ist bestrebt, in ihren Lernskripten eine gendersensible und inklusive Sprache zu verwenden. Wir möchten jedoch hervorheben, dass auch in den Lernskripten, in denen das generische Maskulinum verwendet wird, immer Frauen und Männer, Inter- und Trans-Personen gemeint sind sowie auch jene, die sich keinem Geschlecht zuordnen wollen oder können. 6  LITERATUREMPFEHLUNGEN Hierbei handelt es sich um Standardwerke und vertiefende Literatur zum jeweiligen Kurs, die nicht prüfungsrelevant sind und nicht zwingend in den Datenbanken der Bibliothek verfügbar sein müssen. Vorhandene Titel sind mit einem Link versehen. ALLGEMEIN Arens, T. et al. (2013): Grundwissen Mathematikstudium. Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg. Deisenroth, M. P./Faisal, A./Ong C.-S. (2019): Mathematics for Machine Learning. Cambridge University Press, Cambridge. (URL: https://mml-book.com [letzter Zugriff: 05.02.2020]). Dreiseitl, S. (2018): Mathematik für Software Engineering. Springer Vieweg, Berlin. (Daten- bank: Springer). Fischer, G. (2017): Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie. 3. Auflage, Sprin- ger Spektrum, Wiesbaden. Lenze, B. (2020). Basiswissen Lineare Algebra : eine Einführung mit Aufgaben, Lösungen, Selbsttests und interaktivem Online-Tool. Springer Vieweg, Berlin. Modler, F./Kreh, M. (2018): Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1. Mathematik von Stu- denten für Studenten erklärt und kommentiert. 4. Auflage, Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg. LEKTION 1 Kaabar, M. K. A. (2014): A First Course in Linear Algebra: Study Guide for the Undergraduate Linear Algebra Course. CreateSpace, Charleston (SC). (Datenbank: EBSCOhost). Rapp, H./Rapp, J. M. (2018): Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskol- leg: 444 anwendungsorientierte Aufgaben mit ausführlichen Lösungen. Springer Vie- weg, Wiesbaden. (Datenbank: Springer). LEKTION 2 Dorier, J.-L. (1995): A General Outline of the Genesis of Vector Space Theory. In: Historia Mathematica, 22. Jg., Heft 3, S. 227–261. (Datenbank: Science Direct). Dreiseitl, S. (2018): Mathematik für Software Engineering. Springer Vieweg, Wiesbaden, Kapitel 5 (Lineare Algebra). (Datenbank: Springer). 7  LEKTION 3 Heise, W./Sörensen, K. (1991): Was Sie schon immer über affine Punkträume wissen wollten oder Keine Angst vor Translationen, In: Journal of Geometry, 41. Jg. Heft 1/2, S. 58–71. (Datenbank: Springer). Weller, H./Stachniss-Carp, S. (2003): Als die Bilder laufen lernten oder Lineare Abbildungen mit Matrizen. (Datenbank: EBSCOhost) LEKTION 4 Frohn, D./Bender, P./Gesellschaft für Didaktik der Mathematik. (2018): Die orthogonale Pro- jektion als fundamentale Idee in der elementaren und analytischen Geometrie. Vor- schläge zur Herausbildung von Grundvorstellungen. In: Beiträge zum Mathematikunter- richt 2018. Vorträge zur Mathematikdidaktik und zur Schnittstelle Mathematik/ Mathematikdidaktik auf der gemeinsamen Jahrestagung GDM und DMV 2018, WTM, Münster, S. 565–568. (Datenbank: EBSCO). Werner W. (2019): Vektoren und ihre Komponenten. In: Ders.: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 1, Springer Vieweg, Wiesbaden, S. 141–154. (Datenbank: Springer). LEKTION 5 Camarero, C. (2018): Simple, Fast and Practicable Algorithms for Cholesky, LU and QR Decomposition Using Fast Rectangular Matrix Multiplication. (Datenbank: EBSCO). Jordan, P. (2016): Wahrscheinlichkeits- und Matrizenrechnung für Sozialwissenschaftler. Rai- ner Hampp Verlag, München. (Datenbank: WISO). Makohon, I./Nguyen, D. T./Cetin, M. (2016): Java computer animation for effective learning of the Cholesky algorithm with transportation engineering applications. Journal of Soft- ware Engineering and Applications, 9. Jg., Heft 10, S. 491–500. (Datenbannk: EBSCO). 8  ÜBERGEORDNETE LERNZIELE Der Kurs Mathematik: Lineare Algebra führt in eines der Grundlagengebiete der Mathe- matik ein. Die historischen Ursprünge der linearen Algebra liegen in der Entwicklung von Lösungsmethoden für geometrische Probleme und – in engem Zusammenhang damit – von linearen Gleichungssystemen. Es ist daher nicht verwunderlich, dass eine Vielzahl von physikalisch-technischen Anwendungsfragen mit ihrer Hilfe gelöst werden kann. In die- sem Kurs werden die Grundlagen der linearen Algebra herausgearbeitet, ihre Grundbe- griffe, wie Vektoren und Matrizen, dargestellt und darauf aufbauend Lösungen für Prob- lemstellungen der analytischen Geometrie hergeleitet. Nach erfolgreichem Abschluss des Kurses bist Du in der Lage, die Grundbegriffe in Bezug auf lineare Gleichungssysteme zu erklären und lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß- Algorithmus zu lösen. Du kannst Vektorräume und Eigenschaften von Vektoren wiederge- ben und die Eigenschaften linearer und affiner Abbildungen darstellen. Du kennst die Zusammenhänge zwischen analytischer Geometrie und linearer Algebra. Des Weiteren bist Du mit der Zerlegung von Matrizen vertraut und kannst dazu konkrete Beispiele ange- ben. 9  LEKTION 1 GRUNDLAGEN LERNZIELE Nach der Bearbeitung dieser Lektion wirst Du in der Lage sein, … – den Aufbau von Vektoren und Matrizen zu beschreiben und spezielle Typen von Matri- zen zu erkennen. – mit Skalaren, Vektoren und Matrizen zu rechnen. – bestimmte Probleme mit linearen Gleichungssystemen darzustellen. – mithilfe des Gauß-Algorithmus lineare Gleichungssysteme zu lösen. – die Existenz der Inversen einer Matrix zu überprüfen und die Inverse mithilfe des Gauß- Algorithmus zu bestimmen.  1. GRUNDLAGEN Aus der Praxis Andrea setzt sich für die Wiedergewinnung von Rohstoffen aus nicht mehr benötigten Gegenständen ein, um daraus neue Materialen produzieren zu lassen. Aktuell hat sie genug gesammelt, um Neusilber herstellen zu können. Neusilber ist eine Legierung aus Kupfer, Nickel und Zink, die vor allem wegen ihrer Festigkeit und Korrosionsbeständigkeit häufig für Schlüssel, Besteck oder Musikinstrumente verwendet wird. Für einen aktuellen Auftrag soll Andrea Neusilber aus 63 % Kupfer, 11 % Nickel und 26 % Zink herstellen. Diese Rohstoffe sollen aus alten Münzen, nicht mehr verwendetem Silber- besteck und Messing wiedergewonnen werden. Andrea weiß, dass die Münzen aus 62 % Kupfer, 20 % Nickel und 18 % Zink bestehen. Das Silberbesteck besteht aus einer Legie- rung und enthält 60 % Kuper, 12 % Nickel und 28 % Zink. Im Messing sind 72 % Kupfer und 28 % Zink enthalten. Insgesamt konnte Andrea bisher 8 kg Münzen, 16 kg Silberbesteck und 9 kg Messing ein- sammeln. Da jedoch 30 kg Neusilber hergestellt werden sollen, möchte Andrea nun wis- sen, ob sie bereits genug Material gesammelt hat, oder ob noch etwas fehlt. Sie beginnt unsystematisch, sich die Gegebenheiten durchzurechnen, und merkt schnell, dass sie so nicht weiterkommt. Sie benötigt ein Schema, in das Aufgaben dieser Art übertragen wer- den können, um sie dann systematisch zu lösen. Andrea findet ganz hinten im Schrank dazu ein Buch über lineare Algebra. Interessiert beginnt sie zu lesen. 1.1 Lineare Gleichungssysteme Lineares Gleichungs- Unter einem linearen Gleichungssystem (LGS) versteht man eine Menge linearer Gleich- system (LGS) ungen, die von den Werten in der Lösungsmenge alle gleichzeitig erfüllt sein müssen. All- Eine Menge an linearen Gleichungen, die von der gemein besteht ein LGS aus m Gleichungen und n Unbekannten x1, x2, …, xn. Die reellen Lösung des LGS alle Koeffizienten der Unbekannten werden mit aij beschrieben, wobei der erste Index i, i = 1, gleichzeitig erfüllt sein müssen. …, m, sich auf die i-te Gleichung im System bezieht und der zweite Index j, j = 1, …, n, die jeweilige Unbekannte x1, x2, …, xn angibt, vor der der Koeffizient steht. Die soge- nannte rechte Seite der Gleichungen wird durch bi∈ ℝ, i = 1, …, m, gebildet. Mit diesen Bezeichnungen lautet die allgemeine Form eines LGS wie folgt: a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 ⋮ am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm Bezüglich der Lösbarkeit eines LGS kommen drei Fälle in Betracht. Entweder das LGS hat keine Lösung, genau eine Lösung oder viele Lösungen. 12 Überträgt Andrea ihr Problem in die Schreibweise eines LGS, so stellen die Unbekannten in diesem Fall die Menge des jeweiligen Ausgangsgegenstandes in kg dar. Also modelliert x1 die Menge in kg der benötigten Münzen, x2 die Menge in kg des Silberbestecks und x3 die Menge an Messing in kg. Damit ergeben sich die folgenden Gleichungen: x1 + x2 + x3 = 30, da 30 kg Neusilber hergestellt werden sollen, 0,62x1 + 0,60x 2 + 0,72x 3 = 18,9, da für 30 kg Neusilber 63 % Kupfer benötigt werden, was 30 · 0,63 = 18,9 kg entspricht. 0,20x1 + 0,12x2=3,3, da für 30 kg Neusilber 11 % Nickel benötigt werden, was 30 · 0,11 = 3,3kg entspricht. 0,18x1 + 0,28x2 + 0,28x3 = 7,8, da für 30 kg Neusilber 26 % Zink benötigt werden, was 30 · 0,26 = 7,8 kg entspricht. Dank der Darstellung mithilfe eines LGS ist das Problem nun schematisch erfasst. Die Werte, die für x1, x2, x3 eingesetzt alle vier Gleichungen gleichzeitig erfüllen, bilden die Lösung des LGS. Da Andrea wissen möchte, wie man diese systematisch bestimmt, liest sie die weiteren Abschnitte zur Einführung in die Matrizenrechnung. 1.2 Grundbegriffe zu Matrizen Tabellen mit Zahlen kommen in den unterschiedlichsten Anwendungen vor. Tabellenkal- kulationsprogramme gehören seit vielen Jahren zum Standard jeder Computerausstat- tung und sind vielseitig einsetzbar. Mithilfe von Tabellen lassen sich viele Sachverhalte übersichtlich und strukturiert darstellen. Lassen wir bei der Tabelle die Kopfzeile und die Randspalte weg, so bleiben nur die Zahlen in Zeilen und Spalten geordnet stehen. Ein rechteckiges Zahlenschema entsteht, welches als Matrix bezeichnet wird. Da eine Matrix Matrix keine Beschriftung der Zeilen und Spalten enthält, ist es entscheidend, dass die Bedeutun- Ein rechteckiges Zahlen- schema, in dem Elemente gen der Einträge in den Zeilen und in den Spalten im Vorfeld exakt angegeben und auch in Zeilen und Spalten nicht verändert werden. In einer Matrix hat jeder Eintrag seinen festen Platz, der durch die angeordnet sind. fortlaufende Nummerierung der Zeilen und Spalten mithilfe eines Doppelindex eindeutig adressiert werden kann. Eine Matrix besteht aus m Zeilen und n Spalten. Die Einträge aij können beliebige reelle Zahlen sein, wobei der erste Index i die Zeilennummer und der zweite Index j die Spaltennummer des Eintrags angibt. Dabei gilt, dass 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ n. Allgemein hat mit m ∈ N, n∈ N und aij∈ ℝ die Matrix A die folgende Form: a11 a12 a13 ⋯ a1j ⋯ a1n a21 a22 a23 ⋯ a2j ⋯ a2n a31 a32 a33 ⋯ a3j ⋯ a3n A= ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋮ ai1 ai2 ai3 ⋯ aij ⋯ ain ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ am1 am2 am3 ⋯ amj ⋯ amn 13  Kompakter schreibt man auch A = (aij), i = 1, 2,…,m, j=1, 2,…,n. Die Matrix A ist vom Typ (m;n) und wird m × n-Matrix (ge sproche n „m kreuz n“) genannt. Wichtig bei den Bezeichnungen ist, dass die Zeilenanzahl m immer zuerst adressiert wird und die Spalte- nanzahl n immer an zweiter Stelle steht. Die Matrix wird durch ihren Typ charakterisiert. Viele Eigenschaften von Matrizen (der Plural von „Matrix“) hängen von diesem Typ ab. Die Anzahl an Zeilen und Spalten wird auch Dimension, Ordnung oder Größe der Matrix genannt. Die Einträge aij heißen Elemente oder auch Komponenten. Bei Matrix A befindet sich beispielsweise das Element a32 im Schnittpunkt der 3. Zeile und der 2. Spalte. Eine Matrix wird immer in runden Klammern geschrieben. Der Name der Matrix wird mit einem Großbuchstaben angegeben, während die Elemente mit kleinen Buchstaben bezeichnet werden. Wie bei einer normalen Tabelle auch, bleibt grundsätzlich die Information erhalten, wenn die Einträge der Zeilen und Spalten vertauscht werden. Bei einer Matrix nennt man den Transponieren Vorgang des Vertauschens von Zeilen und Spalten Transponieren und das Ergebnis des Der Vorgang des Vertau- Vorgangs Transposition. Aus der m × n-Matrix A = (aij) wird durch das Transponie re n schens von Zeilen und T T Spalten bei einer Matrix die n × m-Matrix A = aij = aT T ji mit a ji = aij, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n. Das wird Transponieren genannt. Element a32 beispielsweise befindet sich in der transponierten Matrix nun an der Stelle aT 23. Wird die transponierte Matrix AT erneut transponiert, entsteht wieder die Ausgangsmatrix A. Es gilt also (AT)T = A. Wichtige Sonderfälle von Matrizen sind Spalten- und Zeilenvektoren. Ein Spaltenvektor besteht aus einer Spalte mit beliebig vielen Zeilen, während ein Zeilenvektor eine Matrix aus einer Zeile mit beliebig vielen Spalten darstellt. Mit der Matrixschreibweise ausge- drückt, ist eine m × 1-Matrix ein Spaltenvektor und eine 1 × n-Matrix ein Zeilenvektor. Vektoren werden in der Regel mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet. Häufig fin- det man in der Bezeichnung einen kleinen Pfeil über dem Buchstaben, so dass zum Bei- spiel a , b , c auf Vektoren hindeuten, zum Beispiel: a1 a2 a = a3 ⋮ am Wird ein Spaltenvektor transponiert, entsteht ein Zeilenvektor und umgekehrt. Daher T bezeichnet im Folgenden a einen Spaltenvektor und a den durch Transponieren aus a T T entstandenen Zeilenvektor. Damit bezeichnen zum Beispiel auch b , c Zeilenvektoren, T etwa b = b1 b2 b3 … bn. Insgesamt besteht eine m × n-Matrix somit aus m Zeilen- vektoren mit jeweils n Elementen oder aus n Spaltenvektoren mit jeweils m Elementen. 14 Sind alle Elemente einer m × n-Matrix gleich null, so wird die Matrix Nullmatrix genannt und mit 0 bezeichnet. Besitzt ein Vektor nur Elemente, die gleich null sind, so ist dies ein T Nullvektor mit der Bezeichnung 0 für den Spaltenvektor und 0 für den Zeilenvektor. Zum Beispiel sind: 0 00 0= 0 00 eine Nullmatrix der Ordnung 2 × 3, 0 0 = 0 0 ein Nullvektor mit 3 Zeilen und T 0 = 0 0 ein Nullvektor mit 2 Spalten. Die Elemente in einer Matrix mit gleichem Zeilen- und Spaltenindex, wie a11, a22, a33, …, amm für m ≤ n beziehungsweise a11, a22, a33, …, ann für n ≤ m bilden die Hauptdiagonale einer Matrix. Sind bei einer Matrix alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen null, so nennt man diese Matrix Diagonalmatrix. Die Nullmatrix ist nach dieser Definition auch eine Diagonal- Diagonalmatrix matrix, allerdings sind auch die Elemente auf der Hauptdiagonalen gleich null. Eine Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen null Bei einer Dreiecksmatrix sind alle Elemente oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagona- sind. len gleich null. Die von null verschiedenen Elemente bilden dann die Form eines Dreiecks. Dreiecksmatrix Eine Matrix, bei der alle Sind die Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen null, also aij = 0 für i > j, so befinden Elemente oberhalb oder sich mehr von null verschiedene Elemente im rechten oberen Bereich, so dass diese Art unterhalb der Hauptdia- der Matrix auch obere Dreiecksmatrix genannt wird. Sind die Elemente oberhalb der gonalen null sind. Hauptdiagonalen null, also aij = 0 für i < j, so befinden sich die von null verschiedenen Elemente hauptsächlich links unten, sodass eine solche Matrix als untere Dreiecksmatrix bezeichnet wird. Eine Diagonalmatrix ist somit sowohl eine obere als auch eine untere Dreiecksmatrix. Eine Matrix ist quadratisch, wenn ihre Zeilen- und Spaltenanzahl gleich ist. Eine quadrati- sche Matrix ist folglich von der Ordnung n × n. Die Hauptdiagonale reicht in diesem Fall von der linken oberen Ecke bis zur unteren rechten Ecke und besteht aus den Elementen a11, a22, a33, …, ann. 15  BEISPIELE Die Matrix 6 0 0 0 C= 2 7 0 0 0 1 3 0 ist eine untere Dreiecksmatrix der Ordnung 3 × 4 mit de n Hauptdiagonale le - me nte n c11 = 6, c22 = 7, c33 = 3. Die Matrix 1 2 D = 0 −3 0 0 ist eine obere Dreiecksmatrix der Ordnung 3 × 2 mit de n Hauptdiagonale le - me nte n d11 = 1, d22 = −3. Die Matrix 2 4 1 F = 1 −1 0 0 4 2 ist eine quadratische Matrix der Ordnung 3 × 3 mit den Hauptdiagonalelemen- ten f11 = 2, f22 = −1, f33 = 2. Eine spezielle quadratische Diagonalmatrix n-ter Ordnung ist die n × n-Einheitsmatrix En, bei der alle Hauptdiagonalelemente gleich 1 sind. Die Spalten- bzw. die Zeilenvektoren der T Einheitsmatrix En werden als kanonische Einheitsvektoren ei bzw. ei mit i = 1,2, …, n bezeichnet. BEISPIEL Die Einheitsmatrix E4 hat die Form 1 0 0 0 0 1 0 0 E4 = 0 0 1 0 0 0 0 1 16  mit den kanonischen Einheitsvektoren 1 0 0 0 0 1 0 0 e1 = ,e2 = ,e3 = ,e4 = 0 0 1 0 0 0 0 1 und T T T T e1 = 1 0 0 0 ,e2 = 0 1 0 0 ,e3 = 0 0 1 0 ,e4 = 0 0 0 1 Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn gilt, dass A = AT. Zum Beispiel ist 1 2 3 G = 2 0 −8 3 −8 2 eine symmetrische Matrix. 1.3 Matrix Algebra Addition von Matrizen Zwei Matrizen können dann elementweise addiert werden, wenn sie vom gleichen Typ sind, d. h., wenn bei beiden Matrizen die Anzahl der Zeilen und die Anzahl der Spalten übereinstimmen. Liegen zwei m × n-Matrizen A = (aij) und B = (bij) vor, dann ergibt die Summe A + B die Matrix C = (cij), die ebenfalls vom Typ m × n ist, durch (cij) = (aij) + (bij). BEISPIELE 1. Die Addition von 1 0 D = 1,4 −2 −4 3 17  und −1 2 E= 2 2,1 4 0 ergibt 1 + −1 0+2 0 2 D + E = 1,4 + 2 −2 + 2,1 = 3,4 0,1 −4 + 4 3+0 0 3 2. Die Matrizen −2 0 G= 1 3 und 1 2 3 H = 0 0 −1 0 0 6 können nicht addiert werden, da sie von unterschiedlichem Typ sind. Für die Subtraktion gelten dabei die gleichen Regeln wie für die Addition. Auch in diesem Fall müssen die beiden Matrizen die gleiche Ordnung besitzen. Ist dies nicht der Fall, so ist eine Subtraktion nicht möglich. Liegen identische Dimensionen vor, dann erfolgt die Sub- traktion elementweise. BEISPIEL Die Subtraktion von 1 0 D = 1,4 −2 −4 3 und −1 2 E = 2 2,1 4 0 ergibt die Differenz: 18  1 − −1 0−2 2 −2 D − E = 1,4 − 2 −2 − 2,1 = −0,6 −4,1 −4 − 4 3−0 −8 3 Für E – D ergibt sich die Differenz: −2 2 0,6 4,1 8 −3 Die Subtraktion von −2 0 G= 1 3 und 1 2 3 H = 0 0 −1 0 0 6 ist weder als G – H noch als H – G möglich. Sind die Matrizen gleichen Typs, dann übertragen sich die Rechenregeln für die Addition reeller Zahlen auf die Rechnung mit Matrizen. Es seien A, B, C beliebige m × n-Matrizen und 0 die m × n-Nullmatrix. So gelten die folgenden Rechenregeln: Kommutativgesetz: A + B = B + A. Assoziativgesetz: A + (B + C) = (A + B) + C. die Nullmatrix ist das neutrale Element der Matrixaddition, d. h. A + 0 = 0 + A = A. A – A = 0. (A + B)T = AT + BT. Die Addition und Subtraktion von Zeilen- und Spaltenvektoren erfolgt analog zu der für Matrizen, sofern die Anzahl der Elemente in den zu verknüpfenden Vektoren gleich ist. Skalarmultiplikation In Abgrenzung zu einer Matrix nennt man eine reelle Zahl auch Skalar. Multipliziert man eine Matrix mit einem Skalar, so wird jedes Element der Matrix mit dem Skalar multipli- ziert. Diese Rechenoperation wird Skalarmultiplikation genannt. Genauer ergibt die Multiplikation der m × n-Matrix A = (aij) mit dem Skalar λ ∈ ℝ (λ sprich: „lambda“) die Matrix C durch die Operation: 19  a11 a12 a13 ⋯ a1n a21 a22 a23 ⋯ a2n C = λ ⋅ A = λ ⋅ a31 a32 a33 ⋯ a3n ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ am1 am2 am3 ⋯ amn λ ⋅ a11 λ ⋅ a12 λ ⋅ a13 ⋯ λ ⋅ a1n λ ⋅ a21 λ ⋅ a22 λ ⋅ a23 ⋯ λ ⋅ a2n = λ ⋅ a31 λ ⋅ a32 λ ⋅ a33 ⋯ λ ⋅ a3n ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ λ ⋅ am1 λ ⋅ am2 λ ⋅ am3 ⋯ λ ⋅ amn BEISPIELE Für die Matrix −2 0 G= 1 3 und den Skalar λ = 2 ergibt sich die Skalarmultiplikation zu: −2 0 2 ⋅ −2 2 ⋅ 0 −4 0 λ⋅G=2⋅ = = 1 3 2⋅1 2⋅3 2 6 Für die Matrix 1 2 3 H = 0 0 −1 0 0 6 und den Skalar λ = –0,5 gilt: 1 2 3 λ ⋅ H = − 0,5 ⋅ 0 0 −1 = 0 0 6 −0,5 ⋅ 1 −0,5 ⋅ 2 −0,5 ⋅ 3 −0,5 −1 −1,5 −0,5 ⋅ 0 −0,5 ⋅ 0 −0,5 ⋅ − 1 = 0 0 0,5 −0,5 ⋅ 0 −0,5 ⋅ 0 −0,5 ⋅ 6 0 0 −3 Für die Skalarmultiplikation für beliebige m × n-Matrize n A und B sowie für beliebige Skalare λ, μ ∈ ℝ (μ sprich: „mü“) gelten die folgenden Rechengesetze: 20  Kommutativgesetz: λ · A = A · λ. Assoziativgesetz für die Skalarmultiplikation: λ · (μ · A) = (λ · μ) · A. Distributivgesetze für die Skalarmultiplikation: λ · (A + B) = λ · A + λ · B und (λ + μ) · A = λ · A + μ · A. Die reelle Zahl 1 ist das neutrale Element der Skalarmultiplikation: 1 · A = A · 1 = A. 0 · A = 0, mit 0 als reeller Zahl. (λ · A)T = λ · AT. Diese Rechenregeln gelten auch im Spezialfall für Spalten- und Zeilenvektoren. Skalarprodukt aus Vektoren Multipliziert man einen Zeilenvektor T a = a1 a2 … an mit n Elementen mit einem Spaltenvektor b1 b2 b = ⋮ bn mit ebenfalls n Elementen, so erhält man als Ergebnis einen Skalar, also eine reelle Zahl. Diese Operation wird Skalarprodukt genannt und wird wie folgt ausgeführt: b1 T b2 a ⋅ b = a1 a2 … an ⋅ = a1b1 + a2b2 + … + anbn ∈ ℝ ⋮ bn BEISPIEL Für T c = 1 −2 0,5 0 und 0 1 d = 6 −0,1 21  ergibt sich: 0 T 1 c ⋅ d = 1 −2 0,5 0 ⋅ = 1 ⋅ 0 + −2 ⋅ 1 6 −0,1 + 0,5 ⋅ 6 + 0 ⋅ −0,1 = 0 − 2 + 3 + 0 = 1 oder 0 T 1 d ⋅ d = 0 1 6 −0,1 ⋅ =0⋅0+1⋅1+6⋅6 6 −0,1 + −0,1 ⋅ −0,1 = 0 + 1 + 36 + 0,01 = 37,01 oder 1 T −2 c ⋅ c = 1 −2 0,5 0 ⋅ = 1 ⋅ 1 + −2 ⋅ −2 0,5 0 + 0,5 ⋅ 0,5 + 0 ⋅ 0 = 1 + 4 + 0,25 + 0 = 5,25 Für das Skalarprodukt aus beliebigen Vektoren a , b , c , 0 mit gleicher Anzahl an Elemen- ten und für einen beliebigen Skalar λ ∈ ℝ gelten die folgenden Rechenregeln: Kommutativgesetz: T T a ⋅ b = b ⋅ a Homogenität: 22  T T λ⋅ a ⋅ b =λ⋅ a ⋅ b Distributivgesetz: T T T T a + b ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c Positivität: T a ⋅ a ≥0 T 0 ⋅ a =0 T Aus a ⋅ a = 0 folgt, dass a der Nullvektor ist. Multiplikation von Matrizen Im Fall des Skalarprodukts haben wir gesehen, dass ein Zeilenvektor multipliziert mit einem Spaltenvektor eine reelle Zahl ergibt. Hierbei war es wichtig, dass wir die Reihen- folge der Vektorentypen nicht vertauschen. Was passiert aber, wenn wir einen Spaltenvek- tor mit einem Zeilenvektor mit gleicher Anzahl an Spalten und Zeilen multiplizieren? Diese Frage lässt sich auf allgemeine Matrizen erweitern, d. h., unter welchen Umständen ist es möglich, Matrizen zu multiplizieren und welche Form nimmt das Ergebnis an? Im Gegensatz zur Addition ist die Multiplikation von Matrizen nicht elementweise defi- niert. Es wird vielmehr für jede Zeile der einen Matrix mit jeder Spalte der anderen Matrix ein Skalarprodukt gebildet. Die Ergebnisse der einzelnen Skalarprodukte bilden dann die Elemente der Ergebnismatrix. Wie viele Skalarprodukte genau zu berechnen sind und wel- che Ordnung die Ergebnismatrix hat, hängt von der Anzahl der Zeilen und Spalten der Mat- rizen ab, die zu multiplizieren sind. Hier entscheidet sich auch, ob die Multiplikation über- haupt definiert ist. Wenn eine m × p-Matrix A und eine p × n-Matrix B vorliegen, wobei p bei beiden Matri- zen dieselbe Zahl sein muss, dann ist die Multiplikation A · B = C definiert. Die Ergebnis- matrix C ist dann vom Typ (m, n). Anders ausgedrückt: Es können zwei Matrizen nur dann miteinander multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmt. Die Ergebnismatrix verfügt dann über so viele Zeilen wie die erste Matrix und über so viele Spalten wie die zweite Matrix. Bezüg- lich der Ordnung muss also Folgendes gelten, damit die Matrixmultiplikation durchgeführt werden kann: A ⋅ B = C n×k k×m n×m Die Elemente der Ergebnismatrix C sind cij und ergeben sich aus dem Skalarprodukt des i- T ten Zeilenvektors ai von A und des j-ten Spaltenvektors b j von B. 23  BEISPIEL Gegeben sind die Matrizen 1 2 3 −1 2 2 4 1 A = 3 −2 −1 ,B = 2 −3 ,C = 1 −1 0 0,5 0 6 4 0 In diesem Fall sind die Multiplikationen A · C und B · A nicht definiert. Da A eine 3 × 3-Matrix und C eine 2 × 3-Matrix ist, entspricht die Anzahl der Spalten von A nicht der Anzahl der Zeilen von C. Bei B · A verhält es sich genauso. Die Multiplikation A · B ist hingegen definiert. Wir erhalten: 1 2 3 −1 2 A⋅B= 3 −2 −1 ⋅ 2 −3 0,5 0 6 4 0 = 1 ⋅ −1 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ −3 + 3 ⋅ 0 3 ⋅ −1 + −2 ⋅ 2 + −1 ⋅ 4 3 ⋅ 2 + −2 ⋅ −3 + −1 ⋅ 0 0,5 ⋅ −1 + 0 ⋅ 2 + 6 ⋅ 4 0,5 ⋅ 2 + 0 ⋅ −3 + 6 ⋅ 0 15 −4 = −11 12 23,5 1 =D Die Ergebnismatrix D ist eine 3 × 2-Matrix. Die Multiplikation B · C ergibt: −1 2 2 4 1 B ⋅ C = 2 −3 ⋅ 1 −1 0 4 0 −1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 −1 ⋅ 4 + 2 ⋅ −1 −1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 = 2 ⋅ 2 + −3 ⋅ 1 2 ⋅ 4 + −3 ⋅ −1 2 ⋅ 1 + −3 ⋅ 0 4⋅2+0⋅1 4 ⋅ 4 + 0 ⋅ −1 4⋅1+0⋅0 0 −6 −1 = 1 11 2 8 16 4 24  Analog zur Multiplikation von Matrizen wissen wir nun auch, wie ein Spaltenvek- tor mit einem Zeilenvektor zu multiplizieren ist, wenn die Anzahl der Elemente bei den Vektoren übereinstimmt. Es entsteht dabei eine Matrix, die dyadisches Produkt genannt wird: 0 T 1 d ⋅ c = ⋅ 1 −2 0,5 0 6 −0,1 0 0 0 0 1 −2 0,5 0 = 6 −12 3 0 −0,1 0,2 −0,05 0 Die Matrixmultiplikation ist im Gegensatz zur Multiplikation von reellen Zahlen keine kom- mutative Verknüpfung. Wie die Beispiele bereits verdeutlicht haben, darf die Reihenfolge der Matrizen bzw. Vektoren bei der Multiplikation nicht vertauscht werden, da sich sonst das Ergebnis verändert bzw. die Multiplikation nicht mehr möglich ist. Dennoch gilt für die Multiplikation eine Reihe weiterer Rechenregeln: (A · B)T = BT · AT. Assoziativgesetz: Es gilt (A · B) · C = A · (B · C), wenn die Typen der Matrizen so zueinander passen, dass alle Produkte definiert sind. Homogenität: Es gilt λ · (A · B) = (λ · A) · B = A · (λ · B), wenn alle vorkommen- den Matrixprodukte definiert sind und λ ∈ ℝ. Linksseitiges Distributivgesetz: Es gilt A · (B + C) = A · B + A · C, wenn der Typ von B und C gleich ist und die Anzahl der Spalten von A mit der Anzahl der Zeilen von B und C übereinstimmt. Rechtsseitiges Distributivgesetz: Es gilt (A + B) · C = A · C + B · C, wenn der Typ von A und B übereinstimmt und die Anzahl der Zeilen von C der Anzahl der Spalten von A und B entspricht. En · A = A gilt für die n × n-Einheitsmatrix En und für n × m-Matrizen A. A · En = A gilt für die n × n-Einheitsmatrix En und für m × n-Matrizen A. Das neutrale Element der Matrizenmultiplikation ist folglich die Einheitsmatrix, denn das Produkt einer beliebigen Matrix A mit der Einheitsmatrix En ist wieder die Aus- gangsmatrix A. Ist bei einem Matrixprodukt eine der beiden Matrizen die Nullmatrix, so ist das Matrix- produkt immer eine Nullmatrix: 0 · A = A · 0 = 0, wenn die entsprechenden Produkte definiert sind. 25  Allerdings kann bei der Matrixmultiplikation nicht aus einer Nullmatrix als Ergebnismatrix darauf geschlossen werden, dass eine der beiden multiplizierten Matrizen zwingender- weise eine Nullmatrix ist. Dies gilt bei der Multiplikation reeller Zahlen, aber nicht für das Skalarprodukt oder die Matrixmultiplikation. Beispielsweise gilt für 2 1 1 −3 A= ,B = −4 −2 −2 6 2 − 2 −6 + 6 0 0 A⋅B= = −4 + 4 12 − 12 0 0 Ähnlich wie bei den reellen Zahlen kann bei Matrizen die Potenz als wiederholte Multipli- kation definiert werden. Zum Beispiel kann A · A als A2 geschrieben werden, wenn A eine quadratische n × n-Matrix ist. Höhere Potenzen ergeben sich in diesem Fall analog: 3 A⋅A⋅A=A n A⋅…⋅A=A n‐mal Für die Potenz gelten die Potenzgesetze für natürliche Zahlen s und t: As + t = As · At As · t = (As)t 1.4 Matrizen als kompakte Repräsentation linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme (LGS) lassen sich mithilfe von Matrizen nicht nur kompakt und Gauß-Algorithmus übersichtlich darstellen, sondern auch mit dem Gauß-Algorithmus systematisch lösen. Der Gauß-Algorithmus ist Hierbei wird das LGS solange umgeformt, bis eine Dreiecksmatrix entsteht, aus der die ein Verfahren zur Lösung beliebiger linearer Gleich- Lösungen einfach abzulesen sind. Die zulässigen Umformungen des LGS, die die Lösungs- ungssysteme. menge nicht verändern, heißen elementare Zeilenoperationen. Diese sind: Elementare Zeilenopera- tionen Vertauschen zweier Gleichungen, d. h. Vertauschen zweier Zeilen bzw. zweier Spalten; Umformungen eines line- aren Gleichungssystems, Multiplikation aller Elemente einer Gleichung mit einer von null verschiedenen reellen die die Lösungsmenge Zahl; nicht verändern, bezeich- net man als elementare Überschreiben einer Gleichung mit der Summe aus dieser Gleichung und einer anderen Zeilenoperationen. Gleichung. Es ist möglich, die elementaren Zeilenoperationen zu kombinieren und gleichzeitig auszu- führen. 26 Ein LGS mit m Gleichungen und n Unbekannten x1, x 2, …, xn hat, wie bereits zuvor einge- führt, die allgemeine Form mit aij, bj∈ ℝ: a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 ⋮ am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm Koeffizientenmatrix Die Matrixdarstellung des LGS ist A ⋅ x = b mit der m × n-Koeffizientenmatrix: In einer Koeffizientenmat- rix werden alle Koeffizien- a11 a12 … a1n ten eines LGS, also die Faktoren der Variablen, a21 a22 … a2n zusammengefasst. A= ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ am1 am2 ⋯ amn dem Variablenvektor: x1 x2 x = ⋮ xn und der sogenannten rechten Seite: b1 b2 b = ⋮ bm Homogen Falls b = 0, so heißt das LGS homogen und besitzt die triviale Lösung x = 0. Andernfalls Bei einem homogenen heißt das LGS inhomogen. LGS ist die rechte Seite ist für jedes Element null. Fügt man die rechte Seite b an die Koeffizientenmatrix A, so entsteht die erweiterte m × (n + 1)-Matrix: a11 a12 … a1n b1 a21 a22 … a2n b2 A b = ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ am1 am2 … amn bm Mit diesen Vorarbeiten durchläuft der Gauß-Algorithmus auf der erweiterten Matrix A b die folgenden Schritte: 27  Falls a11 = 0 ist, werden die Zeilen vertauscht bis a11 ≠ 0. Ist dies nicht möglich, dann werden die Spalten vertauscht bis a11 ≠ 0. Erzeugung von Nullen in allen Zeilen der ersten Spalte unterhalb von a11 durch elemen- tare Zeilenoperationen. Es entsteht die Matrix: a11 a12 … a1n b1 1 1 1 0 a221 … a2n b2 1 A b = ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 1 b 1 0 am2 … amn m Entsteht durch die Umformungen eine Nullzeile, d. h. eine Zeile, in der alle Einträge gleich null sind, so kann diese Nullzeile aus der Matrix gestrichen werden. Diese enthält keine Information und trägt nicht zur Lösung bei. Falls a221 = 0, werden die Zeilen vertauscht bis a221 ≠ 0. Ist dies nicht möglich, dann werden die Spalten vertauscht bis a221 ≠ 0. Erzeugung von Nullen in allen Zeilen der zweiten Spalte unterhalb von a221 durch ele- mentare Zeilenoperationen. Es entsteht die Matrix: a11 a12 a13 ⋯ a1n b1 0 a221 a231 ⋯ a2n 1 b2 1 2 2 A b = ⋮ 0 a332 ⋯ a3n 2 b3 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 2 0 0 am3 ⋯ 2 amn bm2 Mit a332 und allen weiteren Diagonalelementen wird genauso verfahren wie mit den Dia- gonalelementen a11 und a221 zuvor. Wenn alle Elemente unterhalb der Diagonalelemente gleich null sind, ist nach r – 1 Schritten eine obere Dreiecksmatrix der Form a11 a12 ⋯ a1r ⋯ a1n b1 1 0 a221 ⋯ a2r1 ⋯ 1 a2n b2 2 G= ⋮ 0 ⋱ a3r2 ⋯ 2 a3n b3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 arrr − 1 ⋯ arnr − 1 brr − 1 entstanden. Bezüglich der Lösung sind nun mehrere Fälle denkbar: Falls r = n, hat die Matrix folgende Form: 28  a11 a12 … a1n b1 1 0 a221 … 1 a2n b2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 n−1 ann bnn − 1 und das LGS besitzt eine eindeutige Lösung, welche sich durch Einsetzen von unten nach oben ermitteln lässt. Falls r < n, gibt es bei r Gleichungen noch n Unbekannte. In diesem Fall nennt man das LGS unterbestimmt. Es können n – r Unbekannte beliebig gewählt werden. Die restli- Unterbestimmtes LGS chen r Unbekannten ergeben sich wie im ersten Fall. Existieren in einem LGS mehr Unbekannte als Falls in der umgeformten Matrix in einer Zeile alle Einträge bis auf den Eintrag im Vektor Gleichungen, ist das LGS unterbestimmt und es b in dieser Zeile gleich null sind , dann enthält das LGS einen Widerspruch und es gibt können die Werte für die keine Lösung. überzähligen Unbekann- ten beliebig gewählt wer- den. In realen Anwendungen kommen in der Regel sehr umfangreiche LGS mit vielen Unbe- kannten vor. Grundsätzlich ließe sich auch ein solches LGS mit dem Gauß-Algorithmus lösen, was jedoch relativ zeitaufwendig ist. Daher wurden für sehr große LGS numerische Verfahren, die die Lösung iterativ über die Verbesserung von Näherungslösungen bestim- men und effizienter sind, entwickelt. BEISPIELE 1. Es ist das folgende LGS gegeben: x1 − x2 = 1 2x1 = 4 3x1 − x2 = 5 Die erweitere Matrix zu diesem LGS ergibt sich wie folgt: 1 −1 1 A b = 2 0 4 3 −1 5 Um in der Spalte unter a11 = 1 mithilfe der elementaren Zeilenoperationen nur Nullen zu erzeugen, muss das (−2)-fache der ersten Zeile auf die zweite Zeile addiert werden und das (−3)-fache der ersten Zeile auf die dritte Zeile. Dann ergibt sich: 1 −1 1 1 1 A b = 0 2 2 0 2 2 29  Teilen wir zur Vereinfachung die zweite und die dritte Zeile jeweils durch 2, so entsteht: 1 −1 1 1 1 A b = 0 1 1 0 1 1 Das (−1)-fache der zweiten Zeile auf die dritte Zeile addiert, ergibt an der 1 Stelle a32 eine Null. Damit ist: 1 −1 1 2 2 A b = 0 1 1 0 0 0 In der dritten Zeile ist eine Nullzeile entstanden, welche komplett gelöscht werden kann. Übrig bleibt: 2 2 1 −1 1 A b = 0 1 1 Hieraus ergibt sich x2 = 1 und x1 – x2 = 1. Also x1 – 1 = 1 ⟺ x1 = 2. Die Probe im anfangs gegebenen LGS bestätigt den Lösungsvektor 2 x = 1 2. Für das LGS gegeben durch −2 3 2 A= 1 1,5 5 und −4 b = 3 ergibt sich die erweiterte Matrix: −2 3 2 −4 Ab = 1 1,5 5 3 1 Um an der Stelle von a21 eine Null zu erhalten, muss das -fache der ersten 2 Zeile auf die zweite Zeile addiert werden. Es ergibt sich: 1 1 −2 3 2 −4 A b = 0 3 6 1 30  In diesem Fall gibt es drei Unbekannte bei zwei Gleichungen. Da das LGS unterbestimmt ist, kann die Lösung für eine Unbekannte frei gewählt wer- den, z. B. x3 = t, t ∈ ℝ. Damit ergibt sich 3x2 + 6t = 1. Also 1 x2 = 3 − 2t Für x1 erhält man dann: 1 −2x1 + 3 3 − 2t + 2t = − 4 − 2x1 + 1 − 6t + 2t = − 4 − 2x1 = − 5 + 4t x1 = 2,5 − 2t Der Lösungsvektor entspricht dann: 2,5 − 2t 1 x = 3 − 2t ,t ∈ ℝ t 3. Andrea möchte den Gauß-Algorithmus nun auch zur Lösung ihres Problems verwenden, welches sie mit drei Unbekannten x1, x2, x3 für die Menge in kg der benötigten Münzen, Silberbesteck und Messing modelliert hatte. Wie bereits dargestellt, ergibt sich für dieses Problem das folgende LGS: x1 + x2 + x3 = 30 0,62x1 + 0,60x2 + 0,72x3 = 18, 9 0,20x1 + 0,12x2 = 3,3 0,18x1 + 0,28x2 + 0,28x3 = 7,8 Die erweiterte Matrix zu diesem LGS stellt Andrea wie folgt auf und beginnt zu rechnen: 1 1 1 30 0,62 0,6 0,72 18, 9 A b = 0,2 0,12 0 3, 3 0,18 0,28 0,28 7, 8 Nachdem Andrea alle Elemente in der ersten Spalte unter a11 = 1 zu null ge macht hat, lie gt die Matrix in folge nde r Form vor: 1 1 1 30 0 −0,02 0,1 0, 3 0 −0, 08 −0,2 −2, 7 0 0, 1 0,1 2, 4 31  Sind die Elemente auch unterhalb der Hauptdiagonale in der zweiten Spalte gleich null, ergibt sich folgende Matrix: 1 1 1 30 0 −0,02 0,1 0, 3 0 0 −0,6 −3, 9 0 0 0,6 3, 9 Beim nächsten Schritt ergibt die vierte Zeile eine Nullzeile, welche gestri- chen werden kann, sodass die gewünschte Dreiecksgestalt erreicht ist. Aus der dritten Gleichung im System ergibt sich x3 = 6,5. Einge se tzt in die zwe ite Gle ichung e rhält Andre a für x2 = 17,5. Damit ergibt sich x1 = 30 – x2 – x3 = 6. Die benötigte Menge in diesem Fall sind also 6 kg Münzen, 17,5 kg Silberbe- steck und 6,5 kg Messing. Wenn Andrea diese Mengen mit ihrem derzeitigen Bestand vergleicht, hat sie bereits ausreichend Münzen und Messing. Aller- dings fehlen ihr für die Herstellung von 30 kg Neusilber noch 1,5 kg an Sil- berbesteck. 1.5 Inverse und Spur Wird das inverse Element mit dem ursprünglichen Element verknüpft, ergibt dies das neutrale Element bezüglich der betrachteten Verknüpfung. Zum Beispiel ist das neutrale Element der Multiplikation der reellen Zahlen die Zahl 1. Das inverse Element einer reellen Zahl, die ungleich 0 ist, bezüglich der Multiplikation ergibt sich aus dem Kehrwert dieser Zahl. Es gilt: 1 1 x−1 ⋅ x = x ⋅x=x⋅ x = x ⋅ x−1 = 1 Gibt es so eine „Kehrmatrix“ auch für die Matrixmultiplikation? Und unter welchen Voraus- setzungen lässt sich diese berechnen? Wie bereits eingeführt, ist das neutrale Element der Matrixmultiplikation die Einheitsmat- rix En. Außerdem kann A · B = B · A = En nur gelten, wenn A eine quadratische n × n- Inverse Matrix Matrix ist. Dann kann es für A eine inverse Matrix B, ebenfalls vom Typ n × n, ge be n, Existiert zur Matrix A eine sodass das Erge bnis de r Multiplikation die Einhe itsmatrix ist. Die se Inve rse wird mit A–1 = Matrix B von gleichem Typ, die mit A multipli- B bezeichnet und es gilt A · A–1 = A–1 · A = En. Existiert die Matrix A–1 mit diesen Eigen- ziert eine Einheitsmatrix schaften, dann heißt A invertierbar oder regulär. Andernfalls heißt A nicht invertierbar ergibt, ist B die inverse Matrix zu A. oder singulär. Falls A invertierbar ist, so ist A–1 eindeutig. Invertierbar Eine Matrix, für die die inverse Matrix existiert, ist eine invertierbare Matrix. 32 Wenn die inverse Matrix gleich der transponierten Matrix ist, also A–1 = AT, dann heißt A orthogonal. Ist die Matrix darüber hinaus symmetrisch, dann ist die Matrix zu sich selbstin- vers, d. h.: A · A = En. Zum Beispiel ist die Einheitsmatrix selbstinvers, da En · En = En für alle n ∈ ℕ. Die Einheitsmatrix ist invertierbar. Die quadratische Nullmatrix ist dagegen nicht invertierbar. Woran kann man bei einer allgemeinen Matrix erkennen, ob sie invertierbar oder singulär ist? Da eine 1 × 1-Matrix A = (a11) einer reellen Zahl entspricht, ist diese genau dann inver- tierbar, wenn a11 ≠ 0. Eine allgemeine 2 × 2-Matrix a b A= c d ist dann invertierbar, wenn die Determinante det(A) = ad – bc ≠ 0 ist. Wenn dies der Determinante Fall ist, dann ist: Die Determinante ist eine Zahl, die sich aus den Ein- trägen einer quadrati- −1 1 d −b schen Matrix ergibt. A = ad − bc −c a BEISPIEL 4 2 Für A = ist die Determinante: 6 3 det A = 4 ⋅ 3 − 2 ⋅ 6 = 12 − 12 = 0 Damit ist A nicht invertierbar. 42 Für B = gilt: 23 det A = 4 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 8 ≠ 0 Somit ist B invertierbar und 3 1 3 −2 8 −4 −1 1 B = 8 = −2 4 1 1 −4 2 Die Probe ergibt: 33  3 1 6 2 4 2 8 −4 4 − 4 −1 + 1 1 0 −1 B⋅B = ⋅ = = 2 3 −1 1 3 − 3 1 −2 + 3 0 1 4 2 4 4 2 = E2 Eine quadratische Diagonalmatrix d1 0 … 0 0 d2 0 0 D= ⋮ 0 ⋱ 0 0 0 0 dn ist genau dann invertierbar, wenn die Elemente auf der Hauptdiagonalen von null ver- schieden sind, also d1 ≠ 0, d2 ≠ 0, …, dn ≠ 0. Dann ergibt sich: 1 d1 0 … 0 1 −1 0 d2 0 0 D = ⋮ 0 ⋱ 0 1 0 0 0 dn Eine quadratische Dreiecksmatrix ist ebenfalls dann invertierbar, wenn alle Elemente der Hauptdiagonalen von null verschieden sind. Ist die Matrix A invertierbar, dann gelten die folgenden Rechenregeln: (A–1)–1 = A (AT)–1=(A–1)T Ist A eine symmetrische Matrix, so ist auch A–1 symmetrisch. Für jeden Skalar λ ≠ 0 gilt: −1 1 −1 λ⋅A = λ ⋅A Um für beliebige Matrizen zu bestimmen, ob sie eine Inverse besitzen und wie sich diese Inverse dann berechnen lässt, kann der Gauß-Algorithmus verwendet werden. Die Matrix- gleichung A · X = En mit einer quadratischen n × n-Matrix A und der Einheitsmatrix En auf der rechten Seite besitzt die Inverse A–1 als Lösung, wenn diese existiert. Für die Lösung wird zunächst die erweiterte Matrix AEn aufgestellt. Durch elementare Zeilen- operationen wird der linke Teil A der erweiterten Matrix auf die Einheitsmatrix En über- 34 führt. Steht auf der linken Seite die Einheitsmatrix, dann kann auf der rechten Seite der erweiterten Matrix die Inverse A–1 abgelesen werden. Ergibt sich jedoch bei den Umfor- mungen eine Nullzeile, so existiert die Inverse von A nicht. BEISPIEL Es soll die Inverse der Matrix 1 0 1 −2 A= 1 −1 1 2 −1 1 0 bestimmt werden, wenn diese existiert. Die erweiterte Matrix dafür lautet: 1 0 1 −21 0 0 A E3 = 1 −1 1 0 1 0 2 0 0 1 −1 1 0 Da a11 = 0, vertauschen wir zunächst die zweite mit der ersten Zeile. Es entsteht: 1 1 −1 2 0 10 −21 00 1 0 1 0 01 −1 1 0 Damit a31 = 0 wird, addieren wir die erste Zeile auf die dritte und erhalten: 1 1 −1 2 0 1 0 1 0 1 −21 0 0 1 0 1 1 0 0 2 Multiplikation der dritten Zeile mit 2 ergibt: 1 1 −1 2 0 1 0 −21 0 0 1 0 1 0 2 2 0 0 1 Um nun auch oberhalb der Diagonalelemente Nullen zu erzeugen, addieren wir die zweite Zeile auf die erste: 35  1 0 0 1 1 0 1 0 1 −21 0 0 0 0 1 0 2 2 1 Im letzten Schritt wird das -fache der dritten Zeile auf die zweite Zeile addiert, 2 was auf der linken Seite zur Einheitsmatrix führt: 1 0 01 1 0 0 1 01 1 1 0 0 10 2 2 Da keine Nullzeile entstanden ist, ist die Inverse 1 1 0 −1 A = 1 1 1 0 2 2 Ist die Inverse A–1 einer quadratischen Koeffizientenmatrix A bekannt, so kann diese zur Lösung eines LGS verwendet werden. Wird nämlich A ⋅ x = b von links auf beiden Sei- −1 −1 ten mit A–1 multipliziert, so lässt sich A ⋅A⋅ x =A ⋅ b mit A–1 · A = En vereinfa- −1 chen zu x = A ⋅ b , was dem Lösungsvektor des LGS entspricht. BEISPIEL Gesucht ist der Lösungsvektor x der LGS mit Koeffizientenmatrix 1 0 1 −2 A= 1 −1 1 2 −1 1 0 wie im Beispiel zuvor und der rechten Seite 2 b = 3 1 Da 36  1 1 0 −1 A = 1 1 1 0 2 2 bekannt ist, ergibt sich die Lösung: 1 1 0 2 5 x = 1 1 1 ⋅ 3 = 6 0 2 2 1 8 Unter der Spur einer n × n-Matrix A versteht man die Summe der Hauptdiagonalele- Spur mente. Es gilt: Die Summe der Hauptdia- gonalelemente einer Mat- rix wird als deren Spur n bezeichnet. Spur A = ∑ aii i=1 Für beliebige quadratische Matrizen gilt, dass Spur(A · B) = Spur(B · A). Damit folgt für eine beliebige invertierbare Matrix T, dass Spur(T–1 · A · T) = Spur(A). BEISPIEL Es ergibt sich für die Matrix 3 4 A= 1 2 die Spur(A) = 3 + 2 = 5. Für die Matrix −2 5 B= 1 4 gilt, dass Spur(B) = −2 + 4 = 2. Die Matrixprodukte sind: −2 31 A⋅B= 0 13 und −1 2 B⋅A= 7 12 Damit ergibt sich: Spur(A · B) = 11 = Spur(B · A). 37  21 Es sei T = , dann gilt: 31 det T = 2 ⋅ 1 − 3 ⋅ 1 = − 1 Damit ist 1 1 −1 −1 1 T−1 = −1 = −3 2 3 −2 Das Matrixprodukt ist: −2 −2 2 1 −10 −4 T−1 ⋅ A ⋅ T = ⋅ = 7 8 3 1 38 15 Da Spur(T–1 · A · T) = 5 = Spur(A), veranschaulicht das Beispiel diese Eigen- schaft. Weitere Erklärungen, Beispiele und Übungsmöglichkeiten sind in den Literaturempfehlun- gen und vor allem in Mayer/Weber/Francas (2017), Modler/Kreh (2018) und in Arens et al. (2013) zu finden. ZUSAMMENFASSUNG In diesem Kapitel wurde zunächst die Darstellung von Vektoren und Mat- rizen eingeführt sowie Sonderfälle wie Diagonalmatrix oder Dreiecks- matrix beschrieben. Unter einer Matrix versteht man ein rechteckiges Zahlenschema, in dem die Elemente der Matrix einem eindeutigen Platz in einer Zeile und einer Spalte angeordnet sind. Dieser Platz wird mit- hilfe eines Doppelindex adressiert. Im folgenden Abschnitt wurden die wichtigsten Rechenoperationen auf Matrizen vorgestellt. Die Matrixaddition und -subtraktion wird dabei ele- mentweise durchgeführt. Das heißt, dass die Elemente, die den gleichen Index haben, entsprechend verknüpft werden. Damit dies funktionieren kann, muss vorausgesetzt werden, dass die zu verknüpfenden Matrizen vom gleichen Typ sind, also dieselbe Anzahl an Zeilen und Spalten besit- zen müssen. Im weiteren Verlauf wurden die Skalarmultiplikation, das Skalarprodukt und die allgemeine Matrixmultiplikation behandelt. Während bei der Skalarmultiplikation ein beliebiger Skalar, eine reelle Zahl, mit einer Matrix multipliziert wird, wird beim Skalarprodukt ein Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor multipliziert. Dass bei dieser Operation das Ergeb- 38 nis eine reelle Zahl ist, erklärt ihren Namen. Damit die allgemeine Mat- rixmultiplikation möglich ist, muss die Spaltenanzahl der „linken“ Matrix mit der Zeilenanzahl der „rechten“ Matrix übereinstimmen. Diese Opera- tion ist im Allgemeinen nicht kommutativ. Mithilfe von Matrizen können lineare Gleichungssysteme (LGS) kompakt dargestellt werden. Daher wurde im weiteren Abschnitt der Gauß-Algo- rithmus, ein Verfahren zum systematischen Lösen von LGS, eingeführt und angewendet. Eine weitere Anwendung des Gauß-Algorithmus ist die Berechnung der inversen Matrix zu einer gegebenen Matrix, wenn diese entsprechend existiert. In diesem Fall wird anstatt der rechten Seite die Einheitsmatrix eingesetzt und die ursprüngliche Matrix solange mit ele- mentaren Zeilenoperationen umgeformt, bis auf der linken Seite die Ein- heitsmatrix entstanden ist. Insgesamt wurden in diesem Kapitel alle grundlegenden Begriffe und Operationen auf Matrizen eingeführt. 39  LEKTION 2 VEKTORRÄUME LERNZIELE Nach der Bearbeitung dieser Lektion wirst Du in der Lage sein, … – die Axiome, die ein Vektorraum erfüllen muss, zu benennen. – die definierenden Eigenschaften von Unterräumen zu erklären. – Linearkombinationen zu charakterisieren und zu überprüfen, ob gegebene Vektoren linear unabhängig oder linear abhängig sind. – nachzuprüfen, ob eine Menge von Vektoren eine Basis eines Vektorraums ist. – die lineare Hülle von Vektoren und den Rang einer Matrix zu beschreiben.  2. VEKTORRÄUME Aus der Praxis Karl hat eine Farbmischmaschine konstruiert, mit der aus vier gegebenen Farben neue Farben gemischt werden können. Es befinden sich vier kleinere Behälter mit den Farben Rot, Gelb, Blau und Grün über einem größeren Behälter. Laufen die Farben aus den kleine- ren Behältern in einem bestimmten Mischungsverhältnis in dem größeren Behälter zusammen, entsteht dort eine neue Farbe. Das Mischungsverhältnis wird mithilfe eines Computers gesteuert und muss über ein Eingabefeld eingegeben werden. Die neue Maschine funktioniert sehr gut. Als Karl seine Konstruktion jedoch seinen Kollegen präsen- tiert, meinen sie, dass die Maschine zu aufwendig gebaut ist und dass es Karl auch einfa- cher hätte haben können. Wieder zurück in seiner Werkstatt denkt Karl noch mal darüber nach. 2.1 Definition In dieser Lektion sollen die Objekte Matrix, Vektor und Skalar sowie die betreffenden Rechenregeln und Gesetzmäßigkeiten verallgemeinert und in ein größeres theoretisches Vektorraum Konzept, den Vektorraum, eingebettet werden. Mit dem Begriff „Raum“ wird vermutlich Eine nichtleere Menge V in erster Linie ein dreidimensionales Koordinatensystem mit senkrecht aufeinander ste- mit zwei Verknüpfungen ⊕ und ⊙ heißt ein Vektor- henden Achsen verknüpft, da dies umgangssprachlich als „der Raum“ aufgefasst wird. raum über K oder K-Vek- Dies muss bei einem Vektorraum jedoch nicht der Fall sein. Zwar bildet auch ein dreidi- torraum, wenn alle Vek- mensionales Koordinatensystem mit den entsprechenden Vektoren und Verknüpfungen torraumaxiome erfüllt sind. einen solchen Vektorraum. Allerdings versteht man unter einem Vektorraum eine viel all- gemeinere algebraische Struktur, die sehr grundlegend für alle mathematischen Anwen- dungen ist. Damit jedoch eine beliebige algebraische Struktur ein Vektorraum ist, müssen einige Regeln erfüllt sein, die in der Definition angegeben sind. DEFINITION VEKTORRAUM Eine nichtleere Menge V mit zwei Verknüpfungen ⊕ (eine additive Verknüpfung, lies „plus mit Kreis“) und ⊙ (eine multiplikative Verknüpfung, lies „mal mit Kreis“) heißt ein Vektorraum über K oder auch K-Vektorraum, wenn folgende Axiome des Vektorraums für alle u, v, w ∈ V und λ, μ ∈ K gelten: (V1) v ⊕ w ∈ V und λ ⊙ v ∈ V, d. h., dass die additive Verknüpfung zweier Elemente aus V wieder auf ein Element aus V abbildet und dass die multipli- kative Verknüpfung aus einem Element aus K mit einem Element aus V wie- der ein Element aus V ergibt. Anders ausgedrückt sind die additive Verknüp- fung und die multiplikative Verknüpfung abgeschlossen. (V2) Es gilt das Assoziativgesetz der additiven Verknüpfung: u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w. 42  (V3) Es gilt das Kommutativgesetz der additiven Verknüpfung: u ⊕ v = v ⊕ u. (V4) Es gilt das Assoziativgesetz der multiplikativen Verknüpfung: λ ⊙ (μ ⊙ v) = (λ · μ) ⊙ v, wobei · der Multiplikation in K entspricht. (V5) Es gelten die Distributivgesetze: λ ⊙ (u ⊕ v) = λ ⊙ u ⊕ λ ⊙ v und (λ + μ) ⊙ v = (λ ⊙ v) ⊕ (μ ⊙ v), wobei + der Addition in K entspricht. (V6) Es gibt ein Element 0 ∈ V, sodass v ⊕ 0 = 0 ⊕ v = v. Das he ißt: Es existie rt e in ne utrale s Ele me nt be züglich de r additive n Ve rknüpfung. (V7) Es gibt e in Ele me nt 1 ∈ K, sodass 1 ⊙ v = v. Das heißt: Es existiert ein neutrales Element bezüglich der multiplikativen Verknüpfung. (V8) Es gibt zu jedem v ∈ V ein inverses Element v–1 ∈ V bezüglich der addi- tiven Verknüpfung, sodass v–1 ⊕ v = v ⊕ v–1 = 0. Im Folgenden werden wir für K in der Regel die Menge der reellen Zahlen ℝ einsetzen und ⊕ und ⊙ sind die übliche Addition + und Multiplikation · in ℝ. Die Elemente λ und μ aus der Definition des Vektorraums sind dann Skalare. Wenn nichts anderes angegeben ist, kann also von K = ℝ ausgegangen werden. Es ist auch möglich, statt mit den reellen Zah- len mit anderen Zahlenmengen zu arbeiten und so beliebige Vektorräume zu konstruieren. Dies wird im Folgenden dann explizit angegeben. Mit K = ℝ und V als die Menge aller m × 1-Matrize n, also alle r Spalte nve ktore n, e rgibt sich e in Be ispie l für e ine n Ve ktorraum. Die additive Ve rknüpfung de s Ve ktorraums e nt- spricht de r Addition von Matrize n für de n Spe zialfall von Spalte nve ktore n. Die multiplika- tive Ve rknüpfung im Ve ktorraum e ntspricht de r Skalarmultiplikation. Alle Spalte nve ktore n und alle Skalare e rfülle n dann die in de r De finition ge forde rte n Re che nre ge ln. Das ne ut- rale Ele me nt de r Addition bilde t de r Nullve ktor 0 0 = ⋮ 0 und das ne utrale Ele me nt de r Skalarmultiplikation ist die re e lle Zahl 1. Das inve rse Ele - me nt zu e ine m be lie bige n Spalte nve ktor b ist ge ge be n durch − b. Die Me nge de r Spal- te nve ktore n ist somit e in ℝ-Ve ktorraum. Ein zwe ite s Be ispie l für e ine n ℝ-Ve ktorraum e rhalte n wir für K = ℝ und V als die Menge aller m × n-Matrizen. Die additive Verknüpfung ist in diesem Fall die Matrixaddition und die multiplikative Verknüpfung ist die allgemeine Skalarmultiplikation. Die Rechenregeln sind auch im Fall beliebiger m × n-Matrizen erfüllt. Das neutrale Element der Addition ist hier die m × n-Nullmatrix und das ne utrale Ele me nt de r Skalarmultiplikation we ite rhin die re e lle Zahl 1. We nn be ispie lswe ise V die Menge aller Polynome vom Grad ≤ 2 ist, wird durch die se Me nge e in Ve ktorraum ge bilde t. Die Summe zwe ie r Polynome p1(x) = a0 + a1x + a2x2 und p2(x) = b0 + b1x + b2x2 ergibt wieder ein Polynom, nämlich: 43  p3 x = p1 x + p2 x = a0 + b0 + a1 + b1 x + a2 + b2 x2 Das Produkt einer reellen Zahl mit einem Polynom ist wieder ein Polynom vom Grad ≤ 2. Alle weiteren Eigenschaften der Definition sind in diesem Fall erfüllt. Angenommen, es gilt K = ℝ und V = ℤ, wobei ℤ für die Menge der ganzen Zahlen steht, mit einer additiven und multiplikativen Verknüpfung im üblichen Sinn, dann liegt kein Vektorraum vor, da die multiplikative Verknüpfung von Skalar mit ganzer Zahl nicht abge- schlossen ist. Werden zum Beispiel λ = 0,25 ∈ ℝ und v = 2 ∈ ℤ verknüpft, dann ergibt dies λ ⊙ v = 0,25 ⊙ 2 = 0,5 ∉ ℤ. Die multiplikative Verknüpfung ist in diesem Fall nicht abgeschlossen, sodass auch kein Vektorraum vorliegen kann. Kehren wir noch einmal zum ersten Beispiel zurück, in dem die Menge aller m × 1-Spal- tenvektoren einen Vektorraum bildet. Dieser Vektorraum wird auch ℝm genannt. Ein Unterraum Unterraum des ℝm ist so definiert, dass eine nichtleere Teilmenge U des ℝm einen Unter- Eine nichtleere Teilmenge raum bildet, wenn alle Vektorraumaxiome erfüllt sind. Daraus lassen sich folgende Eigen- U des ℝm bildet einen schaften herleiten: Unterraum des ℝm, wenn für alle Vektorrauma- xiome erfüllt sind. Jeder Unterraum des ℝm muss den Nullvektor, den Ursprung, enthalten. Der ℝm ist immer ein Unterraum des ℝm. Der Unterraum, der nur den Nullvektor enthält, ist immer ein Unterraum des ℝm. Zum Beispiel sind die Unterräume des ℝ2 der ℝ2 selbst, alle Ursprungsgeraden und der Ursprung. Die Unterräume des ℝ3 sind der ℝ3, alle Ursprungsebenen, alle Ursprungsger- aden und der Ursprung. Auf der anderen Seite ist der ℝn für n < m kein Unterraum des ℝm. Die verschiedenen Vek- torräume ℝm für unterschiedliche m enthalten Spaltenvektoren mit verschiedener Ord- nung. Diese stehen in keiner Beziehung zueinander. BEISPIEL Die Menge x U= ∈ ℝ2 x ∈ ℝ x stellt einen Unterraum des ℝ2 dar, in dem alle Vektoren enthalten sind, die für beide Koordinaten den gleichen Wert haben. Der senkrechte Strich in der Men- genklammer von U bedeutet übrigens „für die gilt“ und stellt somit eine Bedin- gung an die Elemente des Spaltenvektors aus x aus ℝ2 dar: die einzelnen Ele- x mente müssen reelle Zahlen sein. Insgesamt beschreibt U damit die Gerade, die durch den Ursprung verläuft und die Steigung 1 hat. Diese Menge ist bezüglich der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation abgeschlossen, da 44  x y x+y + = ∈U x y x+y und für k ∈ ℝ gilt x k⋅x k⋅ = ∈U x k⋅x Alle weiteren Eigenschaften werden vom ℝ2 auf U vererbt. 2.2 Linearkombination und lineare Abhängigkeit In diesem Abschnitt gehen wir davon aus, dass V den ℝm repräsentiert. Wenn eindeutig angegeben ist, dass Elemente aus ℝm gemeint sind, wird im Folgenden auf die Darstellung des Pfeils oberhalb der Vektoren verzichtet. Durch die Zugehörigkeit zum ℝm ist dann aus- reichend beschrieben, dass es sich um Vektoren handelt. LINEARKOMBINATION Eine lineare Verknüpfung der Form k1a1 + k2a2 + … + knan mit beliebigen Skalaren k1, k2, …, kn∈ ℝ wird Linearkombination der Vektoren Linearkombination a1, a2, …, an ∈ ℝm genannt. Eine Summe von Vekto- ren, bei der jeder Vektor mit einem Skalar multipli- ziert wird. Eine Linearkombination ist ebenfalls ein Vektor. Um zu überprüfen, ob ein gegebener Vek- tor b ∈ ℝm eine Linearkombination der Vektoren a1, a2, …, an ∈ ℝm ist, wird untersucht, ob k1a1 + k2a2 +... + knan = b eine Lösung besitzt. Dies lässt sich auf die Lösung eines LGS zurückführen, da: 45  k1a1 + k2a2 + … + knan = b