Manual Ganga Matematicã Clasa a XI-a PDF

 Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului MIRCEA GANGA MATEMATICã MANUAL PENTRU CLASA a XI-a TRUNCHI COMUN + CURRICULUM DIFERENȚIAT (3 ORE) Filierra teoretică, profil real, specializarea științe ale naturii (TC + CD) Fil...

 Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului MIRCEA GANGA MATEMATICã MANUAL PENTRU CLASA a XI-a TRUNCHI COMUN + CURRICULUM DIFERENȚIAT (3 ORE) Filierra teoretică, profil real, specializarea științe ale naturii (TC + CD) Filiera tehnologică, toate calificările profesionale (CD) EDITURA MATHPRESS 2006 Manualul este aprobat prin Ordinul ministrului Educației și Cercetării nr. 4446 din 19.06.2006 în urma evaluării calitative organizate de către Consiliul Național pentru Evaluare și Difuzarea Manualelor și este realizat în conformitate cu programa analitică aprobată prin ordin al ministrului Educației și Cercetării nr. 3252/13.02.2006. Referenți: prof.gr. I ION NEDELCU, Colegiul Național „Mihai Viteazu“, Ploiești prof.gr. I RADU SIMION, Colegiul Național „Mihai Viteazu“, Ploiești Descrierea CIP a Bibliotecii Naționale a României GANGA, MIRCEA Matematică: manual pentru clasa a XI-a : TC + CD (3 ore) / Mircea Ganga. – Ploiești : Mathpress, 2006 ISBN (10) 973-8222-24-9 ; ISBN (13) 978-973-8222-24-3 51(075.35) Toate drepturile asupra acestei cărți aparțin editurii MATHPRESS. Copyright © 2006 MATHPRESS Editura MATHPRESS, Ploiești Tel./fax: 0244.592.118 e-mail: [email protected] Tiparul executat la S.C. LUMINA TIPO s.r.l. – str. Luigi Galvani nr. 20 bis, sect. 2, București Tel./fax 021/211.32.60; E-mail: [email protected]; www.luminatipo.com Comenzi țară Comenzi București Tel: 0244.596.118 Tel.: 021.327.26.23 021.351.01.11 021.351.01.11 0722.745.965 0721.679.326 0723.955.444  ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ŞI SISTEME DE ECUAŢII LINIARE 3 4  1. MATRICE În acest capitol analizăm conceptul de matrice şi anumite operaţii algebrice cu matrice. De asemenea, sunt introduse matricele ca structuri în care se pot stoca şi prelucra date. Operaţiilor de adunare şi înmulţire de pe
li se asociază operaţii similare pentru adunarea matricelor şi respectiv înmulţirea cu scalari a matricelor. Conceptul matematic care a generat noţiunea de matrice şi a perfectat operaţiile cu matrice este cel de aplicaţie liniară. Se defineşte conceptul de înmulţire a două matrice, care n-are corespondent între operaţiile pe
. Se dau proprietăţi fundamentale pentru operaţiile cu matrice. Numeroase aplicaţii practice prezentate vin să sublinieze importanţa cunoaşterii operaţiilor cu matrice în rezolvarea multor probleme din viaţa cotidiană. Istoric. Matricele au fost descoperite de doi matematicieni englezi Arthur Cayley (1821-1895 – cu studii la celebrul „Trinity College” în Cambridge) şi James Joseph Sylvester (1814-1897 – în 1878 creează celebra „The American Journal of Mathematics”) colaborator al lui Cayley, el fiind cel care în 1850 foloseşte termenul de matrice (termenul latin fiind „matrix” pentru matcă). Lor li se adaugă W. Hamilton (1805-1865) şi A. Cauchy (1789-1857). În matematică o matrice este un „container” de informaţie evaluabilă. Matrice...................................5 Probleme propuse............34 Operaţii cu matrice.............11 Teste de evaluare.............43 1.1. MATRICE Tabel de tip matriceal Poate nici un capitol al matematicii studiate în liceu nu beneficiază de atât de multe aplicaţii în cele mai diverse domenii ale vieţii sociale. De aceea am ilustrat fiecare operaţie prin aplicaţii diferite. Multe probleme practice se rezolvă utilizând operaţiile aritmetice asupra unor date asociate problemelor. Suntem obligaţi să folosim matrice atunci când vorbim de articole care au două caracteristici. Printr- o organizare adecvată a datelor în blocuri de numere, putem utiliza aceste operaţii aritmetice într-o manieră eficientă. Scrierea lor astfel face prelucrarea uşoară cu ajutorul computerului. De exemplu, o reţea actuală de comunicaţii conţine un număr mare de vârfuri şi muchii (de ordinul milioanelor). Reprezentarea ei plană este practic imposibilă. O alternativă la realizarea ei în plan este utilizarea matricelor. 5 Exemplul 1. Vânzările în leasing (pe 3 ani) a următoarelor mărci de autoturisme (număr de bucăţi) BMW, MERCEDES, FORD, TOYOTA, RENAULT, în cele patru trimestre ale unui an sunt sintetizate în tabelul de mai jos. Trimestrul I II III IV Marca BMW 173 191 203 215 MERCEDES 112 123 106 137 FORD 98 107 109 126 TOYOTA 75 82 76 93 RENAULT 205 211 200 273 În acest tabel pe linii se citesc mărcile de autoturisme, iar pe coloane citim numărul de exemplare vândute în leasing în cursul unui anume trimestru. De exemplu, în linia întâi, corespunzătoare mărcii BMW, şi coloana trei, corespunzătoare trimestrului III, găsim numărul 203, ceea ce înseamnă că în trimestrul III al anului s-au vândut 203 autoturisme BMW. În linia trei, corespunzător mărcii FORD şi coloana a doua, corespunzător trimestrului al II-lea, întâlnim numărul 107, ceea ce se traduce prin aceea că în trimestrul al II-lea s-au vândut 107 autoturisme  173 191 203 215  marca FORD. Datele din acest tabel le putem sintetiza într-o  112 123 106 137  formă restrânsă astfel:  98 107 109 126  Observăm că acest tabel are cinci linii (corespunzătoare celor  75 82 76 93  cinci mărci de autoturisme) şi patru coloane (corespunzătoare  205 211 200 273  celor patru trimestre).   Un astfel de tabel în care datele sunt aşezate pe linii şi coloane îl numim tabel de tip matriceal. Tabelele de tip matriceal stau la baza noţiunii matematice de matrice. Elementele tabelului matriceal, numerele din tabel, le-am închis între paranteze pentru a preciza că aceasta este toată mulţimea de elemente. Observăm că indicând un număr din tabel trebuie să-i precizăm două elemente: linia şi coloana pe care se află. Deci pentru identificarea unui element avem nevoie de doi indici: unul pentru linie şi altul pentru coloană. Tabelul de mai sus îl putem reprezenta sub forma alăturată:  a11 a12 a13 a14  a a a a  unde, de exemplu, a11 = 173 , a12 = 191 , a22 = 123 , a43 = 76 , a54 = 273.  21 22 23 24   a31 a32 a33 a34  Cât sunt: a24 , a33 , a42 , a53 ? Care este semnificaţia lor? a a a a  Exemplul 2. Clasamentul diviziei A la fotbal în 2005, în urma etapei a  a a 41 42 43 44  a a  XIX-a, pentru primele cinci echipe arată astfel:  51 52 53 54  1. STEAUA 12 5 2 41  12 5 2 41  2. DINAMO 12 0 7 36  12 0 7 36  3. RAPID 10 5 4 35  10 5 4 35  4. FARUL 10 4 5 34   5. F.C. NAŢIONAL 8 6 5 30  10 4 5 34  unde pe prima coloană este trecut numărul de meciuri câştigate, pe a  8 6 5 30  doua numărul de meciuri egale, pe a treia numărul de meciuri pierdute, iar pe ultima coloană numărul de puncte (3 p pentru victorie, 1 p pentru meci egal şi 0 p pentru înfrângere). Tabelul de tip matriceal este reprezentat mai sus. 6 Fie
, mulţimea numerelor complexe, N m = {1, 2, … , m} , N n = {1, 2, …, n} , m, n ∈  *. Definiţie. Se numeşte matrice de tip ( m, n ) sau încă ( m × n ) cu elemente din
o funcţie A : N m × N n →
. Valorile funcţiei A ( i, j ) = aij , i = 1, m , j = 1, n se numesc elementele matricei. Notaţii. Matricea A se reprezintă printr-un tabel  a11 a12 … a1n  dreptunghiular cu m linii şi n coloane, corespunzător celor    a21 a22 … a2n  mn elemente. Ţinând seama de aranjarea elementelor în tabel pe linii        şi coloane în loc de matrice de tip ( m, n ) vom spune  am1 am 2 … amn  matrice cu m linii şi n coloane. Uneori, pentru simplitatea scrierii, această matrice se notează A = aij ( )i=1,m sau j =1, n ( ) când nici o confuzie nu-i posibilă, doar A = aij.Pentru elementul a ij , indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice j indică pe ce coloană este situat. Liniile matricei sunt mulţimile ordonate: L1 = ( a11 a12 … a1n ) , L2 = ( a21 a22 … a2n ) ,..., Lm = ( am1 am 2 … amn ). Elementele din linii le citim de la stânga la dreapta. Coloanele matricei sunt mulţimile ordonate:  a11   a12   a1n         a21   a22   a2 n  C1 = , C2 = , …, Cn =                 am1   am 2   amn  Elementele din coloane le citim de sus în jos. Vom nota matricele cu litere mari A , A1 , A' , B , B1 , B' , …, X , X 1 , X' ,… Mulţimea matricelor de tip ( m, n ) cu elemente complexe o notăm cu M m, n (
). Analog, notăm M m, n (  ) , M m, n (  ) , M m, n (  ) , M m, n (  ) pentru mulţimile de matrice de tip ( m, n ) cu elemente numere reale, raţionale, întregi şi respectiv naturale. Cum  ⊂  ⊂  ⊂  ⊂
, deducem M m, n (  ) ⊂ M m, n (  ) ⊂ M m, n (  ) ⊂ M m, n (  ) ⊂ M m, n (
). 7  Exemple  1 2 1) A =   ∈ M 2, 2 (  ) ; 1   3 4 2 −3 0  −1 0 3   5  1 B=  ∈ M 2, 3 (  ) ; C = 2  ∈ M 3, 3(  )  4 −2 5   4 3 D= 1 π( ) 3 ∈ M 1, 3 (  ) ; 1 2 1  −   3 5  3i  E =   ∈ M 2, 1(
).  −5  Matrice particulare 1) O matrice de tipul (1, n ) (cu o linie şi n coloane) se numeşte matrice linie (sau vector linie) şi are forma A = ( a1 a2 … an )       Exemple. a) Un vector u din plan, în reperul (O, i , j ) , u = xi + yj poate fi gândit ca o  matrice linie cu două coloane de forma u = ( x , y ). b) În exemplul practic prezentat la începutul capitolului, pentru marca MERCEDES avem matricea linie ( 112 123 106 137 ). Aceste patru numere corespund vânzărilor din cele patru trimestre ale anului considerat. 2) O matrice de tipul ( m,1) (cu m linii şi o coloană) se numeşte  a1    matrice coloană (sau vector coloană) şi are forma: a      A= 2  Exemple. a) Vectorul u = xi + yj din planul (O, i , j ) îl putem gândi ca o       matrice coloană cu două linii de forma u =    x  am  y   b) În exemplul practic analizat, vânzările de autoturisme din trimestrul al treilea le putem reprezenta prin coloana:  203  3) O matrice de tip ( m, n ) cu toate 0 0 … 0  106     109  elementele egale cu zero se numeşte  0 0 … 0   Om,n = matricea zero (nulă). Se notează cu Om,n … … … …   76     200  sau simplu O. 0 0 … 0 4) Dacă numărul de coloane este egal cu numărul de linii, adică m = n , atunci matricea se numeşte pătratică de ordin n. Are forma:  a11 a12 … a1n    Sistemul ordonat de elemente ( a11 , a22 ,..., ann )  a21 a22 … a2 n  A= reprezintă diagonala principală a matricei A, iar … … … …   suma acestor elemente a11 + a22 +... + ann se numeşte  an1 an 2 … ann  8  n urma matricei A, notată Tr ( A ) = ∑ aii i =1 (Tr provine din prescurtarea cuvântului francez trace = urmă). Sistemul ordonat de elemente ( a1n , a2n −1 ,..., an1 ) se numeşte diagonala secundară a matricei A. Mulţimea matricelor pătratice de ordin n cu elemente numere complexe o notăm M n (
) în loc de M n,n (
).  1 −1  Exemple. 1) A =   ∈ M 2 (  ) , are diagonala principală (1, 2) şi Tr ( A) = 1 + 2 = 3 , iar 0 2 diagonala secundară ( −1, 0 ).  − 1 2 −3   2) A =  4 −5 6  ∈ M 3 (  ) , are diagonala principală ( −1, − 5, 9 ) şi    7 −8 9  Tr ( A) = −1 − 5 + 9 = 3 , iar diagonala secundară ( −3, −5, 7 ). 1 0 … 0 3) Printre matricele pătratice de ordin n, una este foarte   importantă. Aceasta este: 0 1 … 0 In =  şi se numeşte matricea unitate de ordin n (pe diagonala … … … …   principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt 0 0 … 1   elementele egale cu zero). Uneori pentru scrierea ei se utilizează 1, dacă i = j simbolul lui Kronecker δij =  0, dacă i ≠ j. Deci, I n = δij ( ) i , j =1, n.  1 0 0  1 0   Matricele unitate de ordin 2 şi respectiv 3 sunt: I 2 =   , I3 =  0 1 0.  0 1  0 0 1   5) Matricea pătratică A∈ M n(
) se numeşte triunghiulară dacă are una din formele:  a11 a12 a13 … a1n   a11 0 0 … 0       0 a22 a23 … a2n   a21 a22 0 … 0  A= 0 0 a33 … a3n  sau A =  a31 a32 a33 … 0      … … … … …  … … … … …  0 0 0 … ann  a    n1 an 2 an3 … ann  6) Matricea pătratică A∈ M n (
) se numeşte diagonală dacă  a11 0 … 0   0 a … 0  A= 22 … … … …    0 0 … ann  În particular, dacă a11 = a22 =... = ann = α , atunci matricea A se numeşte scalară. 9 Utilizarea matricelor în reprezentarea datelor Prezentăm aici câteva aplicaţii extrem de interesante ale matricelor în modelarea unor probleme practice, asupra cărora vom reveni atunci când vom vorbi despre operaţiile cu matrice pentru a traduce semnificaţia lor la nivelul problemei discutate. 1) Reprezentarea relaţiilor utilizând matricele. Fie A = {a1 , a2 ,..., am } , B = {b1 , b2 ,..., bn } , iar ℜ o relaţie de la A la B. Această relaţie o reprezentăm printr-o matrice Mℜ = mij , unde ( ) 1, dacă ai , b j ∈ ℜ, deci dacă ai se află în relaţia ℜ cu b j ( ) mij =  0, în caz contrar Matricea Mℜ se numeşte matricea zero-unu. Exemplu. Fie A = {1, 2, 3} , B = {1, 2} ,. Atunci aℜb ⇔ ( a ∈ A, b ∈ B , a > b ). 0 0 Avem ℜ = {( 2,1) , ( 3,1) , ( 3, 2 )} , iar matricea asociată acestei relaţii este Mℜ =  1 0 . 1 1   Prezenţa lui 1 în matrice arată că perechile ( 2, 1) , ( 3, 1) , ( 3, 2 ) , aparţin relaţiei ℜ , iar 0 arată că nici o altă pereche nu aparţine lui ℜ. 2) Grafurile şi matricele. Teoria grafurilor este unul dintre cele mai importante capitole ale matematicilor aplicate (studiul reţelelor de telecomunicaţii, problema transporturilor etc.). Un graf neorientat G, este format din două mulţimi: 1) o mulţime V ale cărei elemente sunt numite vârfuri (sau puncte sau noduri) ale lui G şi 2) o mulţime M, de perechi neordonate ale vârfurilor numite muchii ale lui G. Graful G se notează G ( V, M ) , pentru a pune în evidenţă cele două mulţimi. Două vârfuri u,v sunt adiacente dacă există o muchie m = {u,v}. În acest caz u,v se numesc capetele muchiei m, iar m se spune că uneşte u şi v sau încă m este incidentă în fiecare din capetele u,v. Grafurile se reprezintă în plan prin diagrame. Fiecare vârf v ∈ V este reprezentat v printr-un punct sau un cerc mic şi fiecare muchie m m = {u,v} este reprezentată printr-un segment (curbă) care uneşte capetele u,v. Fiecare muchie reprezintă o v m legătură de comunicare directă între două noduri ale m reţelei. Fie graful cu diagrama din Fig.1. Atunci V = {v1 , v2 , v3 , v4 } , M = {m1 , m2 , m3 , m4 , m5 } , unde m v m1 = {v1 , v2 } , m2 = {v2 , v3 } , m3 = {v3 , v4 } , m4 = {v2 , v4 } , m m5 = {v1 , v4 }. v Matricea A = ( aij ) asociată acestui graf are elementele Fig. 1  1, dacă vi , v j este muchie în graf { } aij =  v1 v 2 v 3 v 4  0, în caz contrar v1  0 1 0 1 v 2   1 0 1 1 Matricea A se numeşte matricea adiacentă grafului. Aici : A= v3  0 1 0 1 Suma elementelor dintr-o linie dă gradul vârfului din acea linie   v4  1 1 1 0 (adică numărul de muchii incidente din acel vârf). Pentru v avem 2 grad ( v2 ) = 3 (avem muchiile m1 , m2 , m4 ), pentru v3 avem grad ( v3 ) = 2 (avem muchiile incidente m2 , m3 ). Un graf G ( V, M ) se numeşte orientat dacă mulţimea M este 10 formată din perechi ordonate de elemente din V. Se utilizează o săgeată de la u la v pentru a indica direcţia muchiei ( u, v ). Cu acest tip de grafuri se pot modela comportarea unor grupuri de oameni, rezultatele unui turneu de fotbal (tenis, etc.), Grafuri influenţă. În studiul comportării unui grup este de observat că anumite persoane pot influenţa gândirea altora. Un graf orientat numit graf influenţă poate fi utilizat pentru modelarea acestui comportament. Fiecare persoană este reprezentată printr-un vârf. Avem o muchie de la a la b dacă persoana reprezentată prin a influenţează persoana reprezentată prin b. Matricea adiacentă este: 1 2 3 4 5 Graful turneului Într-un turneu de fotbal fiecare 1 0 1 0 0 0    echipă joacă cu fiecare altă echipă 2  0 0 1 0 0  exact o dată. La fiecare meci o A = 3  1 0 0 1 1  echipă este câştigătoare. Echipele   4  0 0 0 0 1  participante sunt {A.C. Milan (1), 5  0 0 0 0 0  Bayern München (2), F.C. Barcelona (3), Ajax (4), Manchester United (5)}. Graful orientat al turneului este (am notat cu ( a,b ) muchia dacă echipa a bate echipa b (Fig.2)). Scrieţi matricea Fig.2 adiacentă asociată grafului. 1.2. OPERAŢII CU MATRICE 1) Egalitatea a două matrice Cum matricea este o funcţie are sens să vorbim de egalitatea a două matrice. Reamintim că dacă f : A → B , g : C → D sunt două funcţii, atunci spunem că ele sunt egale dacă: 1) A = C (domeniile sunt egale), 2) B = D (codomeniile sunt egale) şi 3) f ( x ) = g ( x ) , ∀ x ∈ A (punctual funcţiile coincid). Acum putem formula următoarea: Definiţie. Fie matricele A : Nm × Nn → K , B : N m1 × N n1 → K1 , K, K1 ⊆
. Spunem că matricele A şi B sunt egale dacă: 1) m = m1 şi n = n1 (matricele au acelaşi tip), 2) K = K1 şi 3) A ( i, j ) = B ( i, j ) , ∀i = 1, m , ∀ j = 1, n (sau aij = bij , ∀ i = 1, m , ∀ j = 1, n , elementele corespunzătoare sunt egale). Scriem A = B. Două elemente, aij din matricea A şi bij din matricea B, sunt corespunzătoare dacă sunt situate pe aceeaşi linie şi aceeaşi coloană în fiecare din matrice. Observaţie. Deci două matrice A, B ∈ M m,n(
) , de acelaşi tip, sunt egale dacă elementele coespunzătoare sunt egale. 11 Exemplu. Să se determine x , y , z , t ∈  astfel încât să avem egalitatea matricelor:  y +1 3 − 2  4 x 1  x  2z + 1 = . Din definiţie avem egalităţile y+1=4, 3 − 2 = 1,  0   −2 t − 3  x 3 2 z + 1 = −2 , 0 = t − 3 , adică y = 3 , 3 = 3 ⇔ x = 1, z = − , t = 3. 2 2) Transpusa unei matrice Este o primă operaţie simplă care se efectuează asupra matricelor. Definiţie. Fie A ∈ M m, n(
). Transpusa matricei A este matricea notată t A ∈ M n, m (
) , care se obţine din A prin schimbarea liniilor în coloane t (sau a coloanelor în linii): linia întâi din A devine coloana întâi în A , linia a doua din A devine coloana a doua în t A , etc. Operaţia prin care fiecărei matrice A ∈ M m, n(
) i se asociază matricea t A ∈ M n, m (
) se numeşte operaţia de transpunere a matricelor. Observaţii. 1) Prin operaţia de transpunere a unei matrice pătratice de ordin n, elementele de pe diagonala principală rămân pe loc – cei doi indici fiind egali – ceea ce înseamnă că Tr ( t A) = Tr ( A). 2) t ( t A) = A , ∀A ∈ M n (
).  1 Exemple. 1) A = (1 0 −1) ∈ M 1,3(  ) ⇒ t A =  0  ∈ M 3,1(  )    −1   1   2) A =  −2  ∈ M 3, 1(  ) ⇒ t A = (1 −2 3) ∈ M 1,3 (  )  3      2 −1 3  2 π   3) A=  t 1 ∈ M 2,3 (  ) ⇒ A =  −1 1 ∈ M 3,2 (  )  π 1 −   2  1  3 −   2 4) Matrice simetrică. O matrice pătratică de ordin n, A ∈ M n(
) se numeşte simetrică dacă A = t A , ceea ce-i echivalent cu aij = a ji , ∀ i = 1, n , ∀ j = 1, n. Prin urmare, într-o matrice simetrică elementele de pe diagonala principală rămân pe loc, iar celelalte sunt simetrice în raport cu această diagonală. Deci este suficient să ştim elementele de pe diagonala principală şi de deasupra acesteia, pentru a completa celelalte elemente prin simetrie faţă de diagonala principală. Dacă A este o matrice simetrică, atunci forma ei este: 12  x a b a b   a) pentru n = 2 , A =   ∈ M 2 (
) ; b) pentru n = 3 , A =  a y c  ∈ M 3(
). b c b   c z Matrice antisimetrică. O matrice pătratică de ordin n, A ∈ M n(
) se numeşte t antisimetrică dacă A = − A , adică echivalent cu aij = − a ji , ∀ i = 1, n , ∀ j = 1, n. Dacă punem i = j , atunci din aii = − aii , rezultă aii = 0 , ∀ i = 1, n , ceea ce arată că într-o matrice antisimetrică elementele de pe diagonala principală sunt egale cu zero. În plus, dacă se cunosc elementele de deasupra acestuia, atunci pentru a le obţine pe cele de sub diagonala principală le simetrizăm pe cele de deasupra diagonalei şi le schimbăm semnul. Analog se procedează dacă se cunosc elementele de pe diagonala principală şi de sub aceasta. Dacă A este o matrice antisimetrică, atunci forma ei este:  0 a b  0 a   a) pentru n = 2 , A =   ∈ M 2 (
) ; b) pentru n = 3 , A =  − a 0 c  ∈ M 3(
).  − a 0     −b − c 0  3) Adunarea matricelor Am văzut că dacă f , g : A ⊆  →  , atunci suma funcţiilor f, g este funcţia f + g : A →  , definită prin ( f + g )( a ) = f ( a ) + g ( a ) , ∀ a ∈ A. Cum şi matricele sunt funcţii are sens să vorbim de adunarea lor. Mai precis are loc următoarea: ( ) ( ) ( ) Definiţie. Fie A = aij , B = bij , C = cij ∈ M m,n (
). Matricea C se numeşte suma matricelor A şi B dacă cij = aij + bij , ∀ i = 1, m , ∀ j = 1, n. Operaţia prin care oricăror două matrice de acelaşi tip li se asociază suma lor se numeşte adunarea matricelor. Observaţii. 1) Se pot aduna numai matrice care sunt de acelaşi tip, adică au acelaşi număr de linii şi respectiv acelaşi număr de coloane. Rezultatul este o matrice de acelaşi tip. Deci A, B ∈ M m,n (
) ⇒ A + B ∈ M m,n(
). 2) Explicit adunarea matricelor A, B înseamnă  a11 a12 … a1n   b11 b12 … b1n       a21 a22 … a2n  +  b21 b22 … b2n  = … … … …  … … … …      am1 am 2 … amn   bm1 bm 2 … bmn   a11 + b11 a12 + b12 … a1n + b1n    a +b a22 + b22 … a2 n + b2n  =  21 21  … … … …     am1 + bm1 am 2 + bm 2 … amn + bmn  13 Spunem că adunarea matricelor se face pe componente. 3) Dacă A, B sunt matrice linie (sau matrice coloană) de aceleaşi dimensiuni, atunci adunarea lor coincide cu adunarea vectorilor. Exemple. Să se calculeze A + B pentru: 1) A = ( −2 3 5 ) , B = ( 4 −2 1) ;  1 1 0 1  1 −1 0  1 0 2) A =   , B=  ; 3) A =  , B= .  −1 1  1 0  0 2 3 0 1 R. 1) Observăm că A, B ∈ M 1,3 (  ). Avem adunarea a doi vectori. Obţinem: A + B = ( −2 + 4 3 + ( −2) 5 + 1) = ( 2 1 6 ) 2) Cele două matrice sunt de acelaşi tip, A, B ∈ M 2(  ). Deci are sens suma lor. Avem: A + B =   1 1 0 1  1+ 0 1 + 1  1 2   + 1  =  −1 + 1 =   −1 1  0  1 + 0  0 1 3) Cum A ∈ M 2,3(  ) , B ∈ M 2(  ) sunt de tipuri diferite ele nu se pot aduna. Proprietăţi ale adunării matricelor Ţinând seama de proprietăţile pe care le are adunarea numerelor complexe şi egalitatea a două matrice, se stabilesc uşor următoarele proprietăţi: A1) (Asociativitatea adunării) Adunarea matricelor este asociativă, adică ( A + B ) + C = A + ( B + C ) , ∀A, B, C ∈ M m,n(
). A2) (Comutativitatea adunării) Adunarea matricelor este comutativă, adică A + B = B + A , ∀A, B ∈ M m,n (
). A3) (Element neutru) Adunarea matricelor admite matricea nulă ca element neutru, adică A + Om,n = A , ∀A ∈ M m,n (
). A4) (Elemente opuse) Orice matrice A∈ M m,n(
) are o opusă, notată cu − A ∈ M m,n(
) astfel încât A + ( − A ) = Om,n. ( ) ( ) Dacă A = aij , atunci − A = −aij , adică opusa lui A, − A , se obţine din A prin schimbarea semnelor tuturor elementelor sale. Observaţii. 1) Mulţimea M m,n (
) înzestrată cu operaţia de adunare şi având proprietăţile A1) – A4) spunem că formează un grup comutativ (sau abelian). 2) În loc să scriem A + ( − B ) , notăm A − B şi spunem că facem diferenţa dintre matricea A şi matricea B. Deci, în scăderea a două matrice elementele se scad pe componente. 2 3 −4   −2 −3 4  Exemple. 1) Fie A =  . Atunci − A =  .  1 −5 0  −1 5 0  14   1 −2  3 1 0 2) Fie A =  0 3  , B = .  −4  2 − 3 1   5   1 −2   3 2   −2 − 4  Atunci A, B ∈ M 3,2(  ) : A − B =  0 3  −  1 −3  =  −1 6 . ( t ) t     −4 5   0 1   −4 4     3) În virtutea proprietăţilor A1) – A4), regulile de calcul relative la adunarea matricelor sunt identice cu acelea de la adunarea numerelor complexe. Dacă avem de adunat trei matrice de acelaşi tip A, B, C, atunci efectuăm, de exemplu, suma dintre matricea A şi matricea B, care este matricea A + B , iar aceasta o adunăm cu matricea C. De altfel, operaţiile indicate pentru matrice le păstrăm pentru elementele corespunzătoare ale matricelor. Exemplu. Fie matricele A =   1 −1 0 3   −2 1 0 5   0 1 0 1  , B =  3 − 1 1 1  , C =  −1 0 − 1 0   0 2 4 1      pentru care să calculăm A − B − C.  1 − ( −2 ) − 0 −1 − 1 − 1 0−0−0 3 − 5 − 1  3 −3 0 −3  Avem: A − B − C =   =  −2  ( )  0 − 3 − −1 ( ) 2 − −1 − 0 4 − 1 − −1 ( ) 1 − 1 − 0  3 4 0 t t t 4) Se verifică imediat egalitatea ( A + B ) = A+ B , ∀A, B ∈ M m , n
( ) (transpusa sumei a două matrice este egală cu suma transpuselor matricelor). Aplicaţii la adunarea matricelor 1. Animaţia şi matricele. O figură în plan poate fi stocată în calculator ca o mulţime de vârfuri. Vârfurile pot fi marcate şi unite prin segmente pentru a obţine figura. Dacă sunt n vârfuri ele pot fi stocate într-o matrice 2 × n. Abscisele x sunt stocate în prima linie, iar ordonatele y în a doua linie. Fiecare două vârfuri consecutive se unesc printr-un segment. Fie A ( 4, 6 ) , ( ) ( ) B 6, 4 , C 4, 1 , D 2, 4 ( ) şi patrulaterul ABCD este un “zmeu”. (Fig.3) Matricea asociată acestui “zmeu” este 4 6 4 2 S = . Fie matricea 6 4 1 4 3 3 3 3 T =  -2 . -2 -2 -2   Atunci S + T =  7 9 7 5  şi avem Fig.3 4 2 -1 2  punctele A' ( 7, 4 ) , B' ( 9, 2 ) , C' ( 7, -1) , ( ) D' 5, 2 , adică „zmeul” A'B'C'D' se obţine din ABCD printr-o translaţie de-a lungul axei Ox cu 3 unităţi şi o coborâm pe verticală cu 2 unităţi. 15  Fig.4 2. Criptologia şi matricele. Criptologia (cripto = ascuns) este la fel de veche ca şi limbajul. Odată cu transmiterea de mesaje, oamenii au avut nevoia ca acestea ajunse în mâinile unor persoane indezirabile să nu poată fi decodificate şi deci citite. Astăzi dezvoltarea tot mai rapidă a telecomunicaţiilor, a comunicaţiilor electronice, a tranzacţiilor bancare, a plăţilor cu cărţi de credit, etc. au impus tot mai mult criptologia. Scopul criptologiei este de a transmite şi proteja informaţiile, asigurându-le confidenţialitatea dintr-un mesaj. Criptografia este studiul tehnicilor utilizate pentru a codifica un text inteligibil (clar). După codificarea textului, printr-un anumit procedeu, se obţine textul cifrat (sau codificat), care odată ajuns la destinatar acesta pentru a-l aduce la forma textului iniţial (inteligibil) trebuie să-l decodifice având la îndemână procedeul utilizat de expeditor, făcând astfel operaţia inversă realizată de expeditor. (Fig.4) Un procedeu de codificare a unui mesaj este cel realizat prin substituţii literale, când textul clar este cifrat literă cu literă sau prin grupuri de două sau trei litere. Cifrul lui Iuliu Cesar (împărat roman). Este unul din cifrurile cele mai simple. Pentru a-şi cifra o parte a corespondenţei realiza o decalare a alfabetului clar cu 3 poziţii. b Cheia cifrului este această decalare. De exemplu, textul “te ador” se codifică şi devine cu acest cifru un text total neinteligibil “WHDGRU”. Destinatarului nu-i rămâne decât să ia alfabetul cifrat şi să observe că lui W îi corespunde t în alfabetul clar, adică W → t , H → e , D → a , G → d , R → o , U → r şi obţine mesajul iniţial “te ador”. Dezavantajul acestui cod este acela că odată descoperită o singură literă permite descifrarea întregului mesaj. Se spune că “am spart” codul. Pătratul lui Polybe (≈ 207-130 î.C.). În acest caz fiecărei litere din textul clar îi corespunde numărul format din două cifre (numărul liniei şi numărul coloanei pe care se află litera). Textul clar al expeditorului: te ador Textul codificat al destinatarului: 44 15 11 14 34 42 Destinatarul face operaţia inversă de decodificare a textului utilizând Pătratul lui Polybe. Putem complica codificarea mesajelor observând că fiecărei litere îi corespund două cifre sub formă de  1 1 5 coloană: a →   , b →   , …, z →   , unde 1   2   5   primul element este numărul liniei, iar al doilea este numărul coloanei pe care se află litera în Pătratul lui Polybe. 16 Textului “te ador” îi corespunde matricea A =  4 1 1 1 3 4 .Considerăm matricea 4 5 1 4 4 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 … M= . 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 … Pentru matricea A, considerăm M cu atâtea coloane câte are A, adică cu 6. Deci M =  1 2 3 4 5 1 5 3 4 5 8 5 . Calculăm S = A + M =  9 9 4 6 5 7  şi mesajul cifrat 5 4 3 2 1 5   devine: 59 39 44 56 85 57. Mesajul obţinut nu poate fi decodificat cu Pătratul lui Polybe. Cifrele 6, 7, 8, 9 nu figurează în cod. Ajuns la destinatar acesta îl pune sub forma S, apoi din S scade matricea M şi rezultă A. De aici cu ajutorul Pătratului lui Polybe decriptarea este imediată. 4) Înmulţirea cu scalari a matricelor   Am văzut la vectori că dacă λ ∈  şi u = ( x, y ) , atunci vectorul λ u are  componentele obţinute din cele ale vectorului u prin înmulţire cu scalarul λ , adică  λ u = ( λx, λy ). O situaţie similară are loc dacă înmulţim o matrice cu un scalar. Mai precis are loc următoarea: ( ) Definiţie. Fie A = aij ∈ M m,n (
) şi λ ∈
. Se numeşte produsul dintre scalarul λ ∈
şi matricea A, matricea notată λA ∈ M m ,n (
) definită ( prin λ A = λaij. ) A înmulţi o matrice cu un scalar revine la a înmulţi toate elementele matricei cu acest scalar. Operaţia prin care fiecărui număr complex λ şi fiecărei matrice A∈ M m ,n (
) li se asociază produsul λA ∈ M m ,n (
) , se numeşte înmulţirea cu scalari a matricelor.  λa11 λa12 … λa1n    λa λa22 … λa2 n  Deci, λA =  21.  … … … …     λam1 λam 2 … λamn  Observaţii. 1) Dacă A este o matrice linie sau coloană, atunci înmulţirea ei cu scalari coincide cu înmulţirea vectorilor cu scalari. 2) Arătaţi că t ( λA ) = λ t A , ∀ λ ∈
, ∀A ∈ M m ,n (
). Exemplu. Dacă A =   1 −2 0   3 −6 0   , atunci 3 A =  −9 12 15 .  −3 4 5   17 Proprietăţi ale înmulţirii matricelor cu scalari Au loc următoarele proprietăţi: S1) λ ( µA ) = ( λµ ) A , ∀λ, µ ∈
, ∀A ∈ M m,n (
). S2) λ ( A + B ) = λA + λB , ∀λ ∈
, ∀A, B ∈ M m,n (
). S3) ( λ + µ ) A = λA + µA , ∀λ, µ ∈
, ∀A ∈ M m,n (
). S4) 1 ⋅ A = A , 1∈
, ∀A ∈ M m,n (
). Verificarea proprietăţilor este imediată (se face apel la asociativitatea înmulţirii numerelor complexe, a distributivităţii înmulţirii numerelor complexe în raport cu adunarea acestor numere etc.). Mulţimea M m,n (
) , împreună cu operaţiile de adunare a matricelor şi înmulţirii cu scalari din
şi proprietăţile A1) – A4), S1) – S4), formează un spaţiu vectorial peste
. Aplicaţii practice la înmulţirea matricelor cu scalari XL XXL M 1. Matricea alăturată conţine preţurile de vânzare (în euro) pentru diferite sortimente de cămăşi (de mărimi albastru  12 13, 5 14  diferite: XL, XXL, M şi culori diferite: albastru, alb, alb  11 12 12, 5  verde, roşu). P= verde  12, 5 13 13, 5    roşu  12 12, 5 13  Ca urmare a creşterii costurilor de producţie s-a decis majorarea preţului fiecărui articol cu 2%. Determinaţi matricea corespunzătoare noilor preţuri. R. Dacă x este preţul vechi al unui articol, atunci după majorare noul preţ va fi  2  1 +  x = 1, 02 x. Deci, matricea noilor preţuri va fi:  100   1, 02 × 12 1, 02 × 13, 5 1, 02 × 14   12, 24 13, 77 14, 28   1, 02 × 11 1, 02 × 12 1, 02 × 12, 5   11, 22 12, 24 12, 75  P' = 1, 02P =  = 1, 02 × 12, 5 1, 02 × 13 1, 02 × 13, 5   12, 75 13, 26 13, 77       1, 02 × 12 1, 02 × 12, 5 1, 02 × 13   12, 24 12, 75 13, 26  Ce semnifică în această matrice: p'23 , p'32 , p'41 ? 2. Animaţia şi matricele. Fie A, matricea asociată unei figuri din plan, iar c o constantă reală. Atunci cA este matricea asociată noii figuri. Dacă 0 < c < 1 , atunci noua figură este o contracţie, iar dacă c > 1 , atunci noua figură este o dilatare a figurii date. 18  Exemplu. Fie triunghiul OAB , O ( 0, 0 ) , A ( 2, -2 ) , B ( 4, 4 ) (Fig.5). Atunci matricea Triunghiul OAB definit Dilatarea de factor 2 Contracţia de factor 1/2 de matricea T Fig.5 asociată este T =  0 2 4 0 4 8 . Pentru c = 2 (dilatare), avem 2T =  0 - 4 8  şi figura 0 - 2 4   asociată OA'B'. Pentru c = 1 (contracţie), avem 1 0 1 2 T=  pentru care avem 2 2 0 -1 2 triunghiul OA"B". 3. Criptografia şi matricele. Transmiteţi unui coleg de clasă un mesaj codificat, utilizând Pătratul lui Polybe, în care matricea asociată o înmulţiţi cu un coeficient număr natural (pe care nu uitaţi să-l comunicaţi colegului în vederea decodificării). Probleme rezolvate  1  2 t 1. Se consideră matricele: A =  -2  , B = ( -3 1 0 ) , C =  -1 . Calculaţi: 3A - 4 B + 2C.  3  4        -12   4   19  3 t R. Avem: 3A - 4 B + 2C =  -6  -  4  +  -2  =  -12 .  9   0   8   17          2. Determinaţi numerele x , y , z , t dacă are loc egalitatea: 1 -1   z -3 t   -1 1  3  - 2 = . x -2 y   1 5  1 2 R. Egalitatea se scrie succesiv:   3 -3   2z -6 t   -1 1  - =  sau  3 x -6 y   2 10   1 2   3 - 2z -3 + 6 t   -1 1   3x - 2 = .  -6 y - 10   1 2   3 - 2 z = -1 -3 + 6t = 1 Din ultima egalitate de matrice rezultă sistemul:  3x - 2 = 1   y - 10 = 2 -6 19  2 cu soluţia x = 1 , y = -2 , z = 2 , t =. 3 3. Să se determine matricea X dacă: 2  1 0  1 0  - 4 X = 3  0 1.  -2 1   R. Această egalitate este o ecuaţie matriceală. Operaţiile din membrul stâng au sens dacă X ∈ M 2(
). Izolăm termenul care conţine necunoscuta şi avem:  1  3 0  2 0  1 0 - 4 0 -4 X = -  sau - 4 X =  4 1 . De aici X =  1. 0 3 - 4 2    -1 -   4 Observaţie. Se poate lua X ∈ M 2(
) de forma X =  a b  şi se aduce membrul stâng la o  c d matrice pătratică de ordinul doi. Se egalează cei doi membri şi se ajunge la un sistem de patru ecuaţii cu patru necunoscute.   0 2  X + Y =  2 0  4. Determinaţi matricele X, Y pentru care:  2 X - Y =  3 1    1 -3  R. Este un sistem de ecuaţii matriceale. Pentru rezolvarea lui vom aplica metoda reducerii. Adunăm cele două ecuaţii, membru cu membru, şi se obţine (am redus 3 3 1 3 3 1 1 necunoscuta Y): 3 X =   , iar de aici: X =   =  . Din prima ecuaţie:  3 -3  3  3 - 3  1 - 1 0 2  0 2   1 1   -1 1  Y =  - X =  2 0  -  1 -1  =  1 1 . 2 0       5) Înmulţirea matricelor Următoarea operaţie pentru matrice, cea de înmulţire, este mai dificilă. Prezentarea ei prin definiţie poate ridica semne de mirare. Utilizarea ei în probleme economice ar justifica o astfel de definiţie. Dar resorturile produsului a două matrice, se va vedea, ţin de schimbarea de bază pentru mulţimea vectorilor din plan. Aplicaţie practică. O staţie de benzină vinde într-o zi 1600 litri de motorină, 1000 litri benzină Premium şi 800 litri benzină fără plumb. Ştiind că preţurile în Euro în acea zi au fost 0,85 €/l Benzină Benzină Motorină motorină, 0,95 €/l benzină Premium şi 0,97 €/l benzină Premium fără Plumb fără plumb, să se determine valoarea totală a C = (1600 1000 800 ) încasărilor realizate în acea zi la benzinărie. matrice linie de tip (1, 3) R. Vânzările de carburanţi din acea zi de la benzinărie pot fi reprezentate sub formă de matrice  0, 85  Motorină linie, matricea C ∈ M1,3 (  ). P =  0, 95  Benzină Premium   Preţurile carburanţilor per litru le punem sub formă  0, 97  Benzină fără Plumb matrice coloană de tip (3, 1) de matrice coloană: P ∈ M3,1 (  ). 20 Primul element din C dă numărul de litri de motorină vânduţi în acea zi la staţia de benzină, iar primul element din P dă preţul unui litru de motorină, iar produsul 1600 ⋅ 0, 85 = 1360 € dă valoarea totală încasată din vânzarea motorinei din acea zi. Interpretări similare au elementele al doilea şi al treilea din cele două matrice. Făcând produsul elementelor corespunzătoare din matricele C şi P şi apoi suma acestor produse obţinem totalul încasărilor din vânzarea combustibililor din acea zi de la staţia de benzină. Deci 1600 ⋅ 0, 85 + 1000 ⋅ 0, 95 + 800 ⋅ 0, 97 = 1360 + 950 + 776 = 3086 €. Pe scurt avem următoarea scriere:  0, 85  C ⋅ P = 1600 1000 800 ⋅  0, 95  = 1600 ⋅ 0, 85 + 1000 ⋅ 0, 95 + 800 ⋅ 0, 97 = 3086. ( )  0, 97    Dacă gândim cele două matrice ca fiind doi vectori, regula de calcul dă produsul scalar al acestor vectori. Cu aceste elemente formulăm următoarea: Definiţie. Definim produsul a două matrice astfel:  b1    b a) Dacă A = ( a1 a2 … an ) ∈ M 1,n(
) şi B =  2  ∈ M n, 1(
) , …    bn  atunci produsul matricelor A, B este matricea A ⋅ B = ( a1b1 + a2b2 + … + an bn ) ∈ M 1, 1(
) şi reprezintă produsul scalar al lui A cu B. b) Dacă ( ) A = aij ∈ M m, n(
) şi ( ) B = b jk ∈ M n, p (
) , atunci produsul lui A cu B, în această ordine, este matricea de tip ( m, p ) , ( ) C = cij ∈ M m, p (
) , unde  b1 j     b2 j  n ( cij = ai1 ai 2 … ain  )  = ∑ aik bkj , i = 1, m , j = 1, p.  …  k =1  b   nj  Observaţii. 1) Produsul AB a două matrice nu se poate efectua întotdeauna decât dacă A ∈ M m, n(
) , B ∈ M n, p (
) adică dacă numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B, când se obţine o matrice 21  C = AB ∈ M m, p (
) (A ; B( C = AB după schema: (m, n) (n, p) (m, p) 2) Pentru a obţine elementul cij din matricea C se ia vectorul de pe linia i (linia i) din matricea A (prima matrice) şi vectorul de pe coloana j (coloana j, de sus în jos) şi se face produsul lor scalar ca mai jos: j j   b1 j  … … … …       b2 j    i  ai1 ai 2 … ain   = i  … cij …  … … … …             bnj     cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + … + ain bnj Se aşează linia i din matricea A peste coloana j din matricea B, se înmulţesc elementele corespunzătoare şi se adună rezultatele. Dacă se consideră matricea A definită prin cele m linii L1 , L2 ,..., Lm , iar  L1     L2  matricea B prin cele p coloane, C1 , C2 ,..., C p , adică A = şi respectiv       Lm  ( ) B = C1 C2 … C p , atunci elementele matricei C sunt numerele cij = Li C j , adică explicit:  L1   L1C1 L1C2 … L1C p  L     L2C1 L2C2 … L2C p  AB =   C1 C2 … C p =  2 ( ) … … … … …       Lm   LmC1 LmC2 … LmC p    Regula prezentată mai sus este cunoscută sub numele de „regula de înmulţire a liniilor cu coloanele”. Să observăm că elementele liniei i din matricea C se obţin înmulţind pe rând linia i din matricea A, cu coloanele matricei B. 22 Exemplu. Să se calculeze produsul AB pentru:  3 1 1 −2 3  B =  −1 −1  ∈ M 3,2 . A=  ∈ M 2,3  , ( ) ( ) 0 1 −1   0 1   Cum A este de tipul (2, 3), iar B de tipul (3,2), matricea produs C = AB are sens (numărul de coloane (3) din A este egal cu numărul de linii (3) din B) şi este de tipul (2, 2). Avem:  3 1  1 AB =  −2 3   −1  −1  =  c11 c12   0 1 −1  0   c21 c 22   1  unde elementele liniei întâi din matricea produs c11 , c12 sunt date de: ( ) ( −1 ) + 3 ⋅ 0 = 5 , c11 = 1 ⋅ 3 + −2 c12 = 1 ⋅ 1 + −2( ) ( −1 ) + 3 ⋅ 1 = 6. (în scriere s-au haşurat linia întâi din prima matrice şi cele două coloane din a doua matrice, care contribuie la determinarea elementelor din prima linie a matricei produs; săgeţile indică modul în care se fac produsele pentru a obţine elementul c11 ). Pentru a obţine elementele liniei a doua ( c 21 , c 22 ) din matricea produs, se consideră linia a doua din prima matrice şi coloanele matricei a doua. Avem c 21 = 0 ⋅ 3 + 1 ( −1) + ( −1) ⋅ 0 = −1 (produsele din sumă au factorii daţi de săgeţi):  3 1 AB =  1 −2 3    −1 −1  =  c11 c12  0 1 −1     c 21 c 22   0 1  5 6 ( ) ( ) c22 = 0 ⋅ 1 + 1 −1 + −1 ⋅ 1 = −2. Deci AB =  .  −1 −2  Desfăşurat, procesul de determinare al elementelor matricei AB este redat mai jos: 3) Dacă matricele sunt pătratice A, B ∈ M n(
) , atunci are sens întotdeauna atât AB cât şi BA. În general, AB ≠ BA , adică înmulţirea matricelor nu este comutativă. Dacă AB = BA , atunci se spune că matricele comută. 23 Exemplu. Dacă A =  1 2  −1 0  1 2  −1 −2  , B=  , atunci AB =   , iar BA =   şi 0 −1   1 1  −1 −1   1 1 observăm că AB ≠ BA. Proprietăţi ale înmulţirii matricelor Următoarele proprietăţi vin să faciliteze calculul algebric cu matrice. Are loc următoarea: Teoremă. I1) (Asociativitatea înmulţirii) Înmulţirea matricelor este asociativă, adică ( AB ) C = A ( BC ) , ∀A ∈ M m,n (
) , ∀B ∈ M n, p (
) , ∀C ∈ M p, q (
). I2) (Distributivitatea înmulţirii în raport cu adunarea) Înmulţirea matricelor este distributivă (la dreapta şi la stânga) în raport cu adunarea matricelor, adică A ( B + C ) = AB + AC , ( A + B ) C = AC + BC , ∀A, B, C matrice pentru care au sens operaţiile de adunare şi înmulţire. I3) (Elementul neutru) Înmulţirea matricelor din M n (
) are element neutru, adică există I n , matricea unitate de ordin n astfel încât A ⋅ I n = I n ⋅ A = A , ∀A ∈ M n (
). Se spune că matricea unitate I n , este element neutru în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor pe M n (
). ( ) ( ) Demonstraţie I1) Fie A = aij ∈ M m,n (
) , B = b jk ∈ M n, p (
) , C = ( ckl ) ∈ M p,q (
) , AB = ( dik ) ∈ M m,n (
) , BC = ( e jl ) ∈ M n,q (
) , ( AB ) C = ( fil ) ∈ M m,q (
) , ( AB ) C = ( gil ) ∈ M m,q (
). Avem: p p  n  p n n  p  fil = ∑ dik ckl = ∑  ∑ aij b jk ckl = ∑∑ aij b jk ckl = ∑  ∑ b jk ckl aij =     k =1 k =1  j =1  k =1 j =1 j =1  k =1  n n = ∑ e jl aij = ∑ aij e jl = gil , ∀ i = 1, m , ∀ l = 1, q. j =1 j =1 I2) Temă. 1, dacă i = j ( ) I3) Fie A = aij ∈ M n(
) , I n = δij =  ( ) , AI n = bij , ( ) 0, în rest ( ) I n A = cij ∈ M n(
). n n Atunci: bij = ∑ aik δkj = aij δ jj = aij şi cij = ∑ δik akj = δii aij = aij , ∀i, j = 1, n. k =1 k =1 24  t Observaţii. 1) Arătaţi că: a) ( AB ) = t B ⋅ t A , ∀A ∈ M m,n (
) , ∀B ∈ M n, p (
) ; b) Tr ( AB ) = Tr ( BA ) , ∀A, B ∈ M n (
). 2) Matricea A∈ M n(
) se numeşte inversabilă dacă există matricea A' ∈ M n (
) astfel încât A ⋅ A' = A' ⋅ A = I n. Matricea A' , dacă există este unică şi se notează A' = A−1 (citim: A la minus unu) şi se numeşte inversa matricei A. 3) Fie A, B ∈ M n (
). Dacă A = On sau B = On , atunci AB = On. Reciproca nu 0 1 1 0 este adevărată. Avem contraexemplul A =   ≠ O2 , B =   ≠ O2 când 0 0 0 0 AB = O2.  1 2 0 1 −1  Exerciţii. 1) Fie A =   , B =  0 −1 . Calculaţi transpusele matricelor A, B, AB, 2 −3 4   1 3   t BA şi verificaţi egalităţile ( AB ) = t B ⋅ t A , t ( BA) = t A ⋅ t B.  1 −3 −1  x y z −1 2) Să se determine inversa matricei A =  −1 4 1  luând A =  m n p.  1 9 −2  u v    z Aplicaţii la înmulţirea matricelor 1. Migraţia populaţiei şi înmulţirea matricelor. Se aşteaptă ca în fiecare an 3% din populaţia curentă cu reşedinţa în oraş să se mute în suburbiile acestuia, iar 6% din populaţia curentă cu reşedinţa în suburbii să se mute în oraş. În prezent, 65% din totalul populaţiei locuieşte în oraş, iar restul de 35% au domiciliul în suburbii. Presupunem că totalul populaţiei din oraş şi suburbii este constant, care va fi distribuţia populaţiei un an mai târziu? Dar după doi ani? R. Arborele diagramă asociat problemei este: 25 Deci peste un an 65,15 % din populaţie va trăi la oraş, iar 34,85% starea viitoare ( 0, 65 ⋅ 0, 03 + 0, 35 ⋅ 0, 94 = 0, 3485 ) va avea domiciliul în suburbii. 1 2 Procesul descris mai sus este un lanţ Markov cu două stări: starea 1  0, 97 0, 03  starea 1 („locuieşte în oraş”), starea 2 („locuieşte în suburbii”). T = curentă 2  0, 06 0, 94  Matricea de trecere asociată lanţului Markov este:   Distribuţia probabilităţilor iniţiale a populaţiei o reprezentăm Starea 1 Starea 2 ca o matrice linie: (matricea stării X 0 = ( 0, 65 0, 35 ) iniţiale)  1 2  De fapt X 0 este o variabilă aleatoare X 0 :  .  0, 65 0, 35  Starea 1 Starea 2 Punând: X1 = ( 0,6515 0, 3485) (distribuţia după un an)observăm că X 1 = X 0T. Analog, dacă X 1 este distribuţia probabilităţilor după un an, iar X 2 este distribuţia Starea 1 Starea 2 2 probabilităţilor după doi ani, atunci: X 2 = X 1 T = X 0T = ( 0, 6529 0, 3471) Aceasta înseamnă că după doi ani 65,29 % din populaţie are domiciliul în oraş, iar 34,71 % din populaţie este domiciliată în suburbii. 2. Animaţia şi înmulţirea matricelor. Se numeşte transformare liniară a planului P în el  x'   x însuşi o aplicaţie f : P → P , f ( P ) = P' , P ( x , y ) , P' ( x ', y ' ) şi   = A   , unde A este  y'   y o matrice pătratică de ordinul doi. De obicei A se notează A ( f ) pentru a indica transformarea căreia se asociază matricea. Fie f, g : P → P două transformări liniare ale lui P , iar A ( f ) , B ( g ) ∈ M 2(  ) matricele asociate transformărilor. Care este legătura între coordonatele punctului P'' ( x'', y'' ) şi cele ale punctului P ( x , y ) , dacă P'' = ( g f )( P ) ?  x'   x Fie f ( P ) = P' cu   = A ( f )  . Avem echivalent  y'   y  x'  =  a11  y'   a    21 a12   x  { x' = a11 x + a12 y   ⇔ y' = a x + a y a22   y  21 22 ( ) Din g f ( P ) = g ( P' ) = P'' , deducem  x''  = ( )  x'y'  ⇔  x''   11 b b12   x'   y''  B g  = b          21 b22   y'  y''  x'' = b11 ( a11 x + a12 y ) + b12 ( a21 x + a22 y ) ⇔ { x'' = b11 x' + b12 y' y'' = b21 x' + b12 y' ⇔  y'' = b21 ( a11 x + a12 y ) + b22 ( a21 x + a22 y ) ⇔  x'' = ( b11a11 + b12 a21 ) x + ( b11a12 + b12 a22 ) y  x''   y'' = b a + b a x + b a + b a y ⇔  y''  = ( ) ( )  xy . B g A f  ( 21 11 22 21 ) ( 21 12 22 22 )     26 În concluzie, dacă transformarea liniară f este definită prin matricea A, iar transformarea liniară g prin matricea B, atunci transformarea liniară g
f este definită prin matricea BA. a) Simetria în raport cu axa Ox. Fie punctul P ( x, y ). Simetricul lui în raport cu axa Ox este punctul P' ( x', y' ) , unde x' = 1 ⋅ x + 0 ⋅ y = x , y' = 0 ⋅ x - 1 ⋅ y = - y. Din această scriere îi asociem simetriei în raport cu axa Ox, matricea AOx =  1 0 . Dacă punem coordonatele 0 -1   x lui P sub formă de matrice coloană X =   şi ale lui P' , de asemenea X' =   , atunci  x'   y  y'  legătura între coordonatele acestor puncte este dată de egalitatea matriceală 1 0  x   x'  AOx X = X' ⇔    =  y' . 0 -1  y    Exemplu. Fie triunghiul OAB, O ( 0, 0) , A ( 2, -2) , B ( 4, − 4). Determinaţi simetricul lui în raport cu axa Ox. (Fig.6) R. Fie T =  0 2 4  matricea asociată triunghiului (celor trei puncte). Atunci  0 -2 4   0 2 4  dă coordonatele simetricelor vârfurilor O, A, B în raport cu axa Ox. AOx T =    0 2 −4  Acestea sunt punctele O ( 0, 0) , A' ( 2, 2) , B ' ( 4, − 4) (Fig.6) b) Simetria în raport cu axa Oy. Analog simetricul lui P ( x , y ) în raport cu axa Oy este P " ( x ", y ") , unde x " = −1 ⋅ x + 0 ⋅ y = − x , y" = 0 ⋅ x + 1 ⋅ y = y. Acestei simetrii îi asociem matricea AOy =   -1 0  , iar legătura între coordonatele punctelor P şi P" este dată de   0 1 egalitatea   -1 0  x   x"    =  . 0 1  y   y"  Exemplu. Pentru a obţine simetricul triunghiului OAB, de la a), în raport cu axa Oy 0 -2 -4  calculăm AOy T =  . Deci avem punctele ( ) ( ) ( O 0, 0 , A'' -2, -2 , B'' -4, 4 ) (Fig.6).  0 -2 4 Triunghiul definit de T Simetria în raport cu Ox Simetria în raport cu Oy Fig.6 27 3. Prognoza vremii şi înmulţirea matricelor. Să presupunem că probabilitatea de a ploua mâine depinde numai de condiţia de a ploua sau nu astăzi. Presupunem că dacă azi plouă, atunci mâine va ploua cu probabilitatea p ≥ 0. Dacă azi nu plouă, atunci probabilitatea ca mâine să plouă este q ≥ 0. Constatăm că suntem în cazul unui lanţ Markov cu două stări: 0 „plouă”, 1 „nu plouă”. stări viitoare 0 1 0 p 1 - p Matricea probabilităţilor de trecere este: P = stări curente   1 q 1 - q 1 1  2  şi X =  1 4 1 Dacă P =  2  (distribuţia iniţială, pentru azi; = probabilitatea ca 1 2 0  5 5 5   3 3 4  11 19  azi să plouă şi să nu plouă), atunci X 1 = X 0 P =   reprezintă distribuţia 5  30 30  11 probabilităţilor pentru mâine. Mâine va ploua cu probabilitatea şi nu va ploua cu 30 19 probabilitatea. Predicţia vremii pentru ziua de poimâine este dată de matricea 30  71 109  71 X 2 = X1 P =  . De aici probabilitatea ca poimâine să plouă este egală cu şi  180 180  180 109 să nu plouă. 180 6) Ridicarea la putere a unei matrice Dacă a ∈  , atunci a 2 = a ⋅ a (înmulţirea lui a cu el însuşi), iar a n = a n−1 ⋅ a , ∀n ∈  , n ≥ 2. Observăm că înmulţirea unui număr real cu el însuşi are loc întotdeauna. Dacă A∈ M m ,n (  ) , atunci pentru a vorbi de A ⋅ A , trebuie să aibă sens operaţia de înmulţire. Aceasta este definită dacă m = n , adică pentru A, matrice pătratică de ordin n. Ţinând seama de proprietatea de asociativitate de la înmulţirea matricelor se poate defini ridicarea la putere a unei matrice pătratice astfel:  A, k = 1 Ak =  k −1  A ⋅ A, k ≥ 2, k ∈  Se verifică imediat următoarele proprietăţi: k 1) Am ⋅ Ak = Am + k , Am ( ) k = Amk , ( αA ) = α k ⋅ Ak , ∀ m, k ∈  * , ∀A ∈ M n (  ). k 2) Dacă A, B ∈ M n (  ) şi AB = BA (matricele comută) atunci ( AB ) = Ak B k , 28  ( ) ∀ k ∈  * , A p − B p = ( A − B ) A p −1 + A p − 2 B +... + B p −1 , ∀p ∈ , p ≥ 2 ( A + B ) p = A p + C1p A p −1B +... + C kp A p −k B k +... + B p (binomul lui Newton). Aplicaţii la ridicare la putere a unei matrice Matricele se pot utiliza în rezolvarea aplicaţiilor în care un şir de evenimente se repetă în timp. 1. Proprietarii şi alegerea surselor de căldură. Într-un oraş, comisia de verificare a surselor de căldură în locuinţe a realizat un studiu pe o perioadă de 10 ani. Ca surse de căldură sunt folosite: electricitatea (E), gazul natural (G), motorina (M), energia solară (S). Matricea de trecere de la o formă la alta de stări viitoare încălzire este: Ε G Μ S Printre proprietari 20 % utilizează pentru încălzire curentul electric, 35 % gazul natural, E  0, 7 0, 15 0, 05 0, 1  40 % motorină şi 5 % energia solară. Precizaţi G 0 0, 9 0, 02 0, 08  care este distribuţia proprietarilor care T = stări curente M 0 0, 2 0, 75 0, 05  utilizează fiecare tip de sursă de căldură în a   S  0 0, 05 0 0, 95  treia decadă. R. Fie X 0 = ( 0, 2 0, 35 0, 4 0, 05 ) distribuţia iniţială. Atunci distribuţia după prima decadă este X1 = X 0T , după a doua decadă X 2 = X1T = X 0T 2 şi în fine după a treia decadă X 3 = X 2T = X 0T 3. Găsim X 3 = ( 0, 069 0,502 0, 204 0, 225) , ceea ce înseamnă că după a treia decadă (după 30 de ani) 6,9 % utilizează pentru încălzire curentul electric, 50,2 % gazul natural, 20,4 % motorina, iar 22,5 % energia solară. 2. Bibliotecara şi opţiunile elevilor. Bibliotecara unui colegiu a constatat că în fiecare lună 0,8 % dintre elevi au optat pentru romane în detrimentrul cărţilor de poezie şi numai 0,1 % dintre pasionaţii de romane au preferat cărţile de poezie. În prezent, în colegiu 88 % dintre elevi preferă cărţile de poezie şi doar 12 % sunt pasionaţi de romane. Care va fi ponderea elevilor pasionaţi de romane sau cărţi de poezie după patru luni ? stări viitoare R. Considerăm distribuţia iniţială X 0 = ( 0,88 0,12) şi P R matricea de trecere este: P  0, 992 0, 008  T = stări curente După o lună distribuţia este: R  0, 001 0, 999   număr de elevi număr de elevi  X1 = X 0T =  ;  pasiona ţi de poezie pasionaţi de romane  după două luni: X 2 = X1T = X 0T 2 ,... ,  număr de elevi număr de elevi  iar după n luni: X n = X n-1T = X 0T n =  .  pasionaţi de poezie pasionaţi de romane  Probleme rezolvate 1. Fie A, B ∈ M 2(  ) , A =  1 1 1 2 , B= . 1 −1  1 0 Să se calculeze AB, BA, AB – BA, Tr(AB – BA) şi deduceţi că AB − BA ≠ I 2. 1 1  1 2   1⋅1 + 1⋅1 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 0  2 2 R. Avem: AB =   = =  1 −1  1 0   1 ⋅ 1 + −1 ⋅ 1 1 ⋅ 2 + −1 ⋅ 0   0 2  ( ) ( ) 29  1 2  1 1   1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ −1 ( ) =  3 −1  BA =   = 1 0  1 −1   1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ −1 ( )   1 1  Observăm că AB ≠ BA. Acum AB − BA =  2 2   3 −1   −1 3  − =  pentru care Tr ( AB − BA) = − 1 + 1 = 0. 0 2   1 1   −1 1  Dacă prin absurd AB − BA = I 2 , atunci ar trebui ca şi Tr ( I 2 ) să fie tot zero. ( ) Ori vedem că Tr I 2 = 1 + 1 = 2 ≠ 0. Deci AB − BA ≠ I 2. 2. Să se arate că oricare matrice A ∈ M 2(
) verifică ecuaţia 2 ( ) ( ) X − Tr A X + det A I 2 = O2 , numită ecuaţia Cayley – Hamilton. a b R. Într-adevăr fie A =   pentru care Tr ( A) = a + d şi det ( A) = ad − bc. Avem: c d 2 2 a b  a b   a + bc ab + bd  A = A⋅ A =   = şi deci c d  c d   ac + dc bc + d 2     a 2 + bc ab + bd  2 ( ) A − Tr A A + det A I 2 =  ( ) 2 ( − a+d )  ac b (  + ad − bc )  10 01   ac + dc bc + d   d    a 2 + bc ab + bd   a 2 + ad ab + bd   ad − bc 0 0 0 = 2 − 2 + = .  ac + dc bc + d   ac + dc ad + d   0 ad − bc   0 0  1 −1  2 3 3. Fie A =  . Să se calculeze A , A şi apoi f A , unde ( ) 0 2 3 2 ( ) f X = X − 3 X + 2X − 5I2. R. Avem A = A ⋅ A =  2 1 −1  1 −1  1 −3    = 0  şi 0 2  0 2  4 3 2 1 −3   1 −1  1 −7  A = A ⋅A=   = 0 . 0 40 2  8 Acum f ( A ) are exprimarea 3 2  1 −7  − 3  1 −3  1 −1  1 0 ( ) f A = A − 3 A + 2 A − 5 I2 =     + 20  − 50 = 0 8 0 4  2  1 1 −7   3 −9   2 −2   5 0   −5 0 = − + − = . 0 8   0 12   0 4 0 5  0 −5  Observaţie. Matricea A∈M 2  ( ) verifică ecuaţia Cayley – Hamilton şi deci 2 A − 3 A + 2 I 2 = O2 , Tr ( A ) = 3 , ( ) det A = 2. Acum ( ) ( 2 ) f A = A A − 3 A + 2 I 2 − 5 I 2 = A ⋅ O 2 − 5 I 2 = −5 I 2. Fie M = {Aα =   cos α sin α  4.  α∈. }  − sin α cos α  30 a) Să se arate că dacă Aα , Aβ ∈ M , atunci Aα ⋅ Aβ ∈ M ; (se spune că mulţimea de matrice M este parte stabilă a lui M 2  ( ) în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor). n b) Calculaţi Aα , n ∈  *. { c) Arătaţi că funcţia f : M → zα = cos α + i sin α α ∈  , f ( Aα ) = zα } ( ) verifică egalitatea: f Aα ⋅ Aβ = f ( Aα ) ⋅ f Aβ , ∀Aα , Aβ ∈ M. ( ) R. a) Avem pentru Aα , Aβ ∈ M , Aα ⋅ Aβ =   cos α sin α   cos βsin β   cos α cos β − sin α sin β cos α sin β + sin α cos β    = =  − sin α cos α   − sin β cos β   − sin α cos β − sin β cos α − sin α sin β + cos α cos β   ( ) cos α + β sin ( α + β )  =  = Aα+β ∈ M.  − sin ( α + β ) cos ( α + β )  b) Avem Aα ⋅ Aα ⋅... ⋅ Aα = Aα+α+...+α = Anα. Aşadar Aα =   n  cos nα sin nα    − sin nα cos nα  n n ( ) ( ) c) Avem: f Aα ⋅ Aβ = f Aα+β = zα+β = cos ( α + β ) + i sin ( α + β ) = ( = cos α + i sin α ) ( cos β + i sin β ) = zα ⋅ zβ = f ( Aα ) ⋅ f ( Aβ ). 5. Fie matricele: A =  1 1 1 x , B=y , x, y ∈ . 2 2  1 a) Calculaţi AB, BA; b) Determinaţi x, y pentru care AB = BA. R. a) Avem: 1 1  1 x  1+ y x + 1 1 x  1 1  1 + 2x 1 + 2x  AB =    = 2 + 2y  şi BA =  y  = y+2 . 2 2  y 1  2x + 2  1  2 2   y+2  1 + y = 1 + 2 x x + 1 = 1 + 2x b) Din cerinţa AB = BA rezultă sistemul  cu soluţia x = y = 0. 2 + 2y = y + 2  2 x + 2 = y + 2  5 4 . Să se determine a , b ∈  pentru care A2 = aA + bI şi apoi 6. Fie matricea A =   2  −4 −3  n arătaţi că A = nA + ( 1 − n ) I 2 , ∀n ∈  *. 2 R. Numerele reale a, b se vor determina din cerinţa A = aA + bI 2. Avem: A = A ⋅ A =  2  5 4   5 4  =  9 8  şi deci      − 4 − 3   − 4 − 3   −8 − 7   9 8  5 4  1 0  9 8   5a + b 4a   −8  = α  −4  + b  0 1  sau  −8 −7  =  −4a .  −7   −3       −3 a + b  31  5a + b = 9 4a = 8 2 De aici avem sistemul  cu soluţia a = 2 , b = −1. Aşadar A = 2 A − I 2. − 4 a = −8   −3 a + b = −7 n Pentru a proba egalitatea A = nA + ( 1 − n ) I 2 ∀n ∈  * vom proceda prin inducţie matematică. Pentru n = 1 relaţia devine A = A , adevărat. 2 Pentru n = 2 avem de arătat că A = 2 A − I 2 , ceea ce s-a văzut mai sus. k Presupunem că afirmaţia este adevărată pentru n = k , A = kA + ( 1 − k ) I 2 şi vom arăta k +1 că pentru n = k + 1 relaţia A = ( k + 1) A + ( − k ) I 2 este adevărată. k +1 k 2 Într-adevăr A = A ⋅ A =  kA + ( 1 − k ) I 2  A = kA + ( 1 − k ) A = ( ) ( ) ( ) = k 2 A − I 2 + 1 − k A = 1 + k A − kI 2 , unde în a doua egalitate am utilizat ipoteza de inducţie, iar în a patra egalitate am uzat de 2 A = 2 A − I 2 probată la început. Aşadar relaţia este adevărată pentru orice n ∈  *. 7. Determinaţi mulţimea matricelor X ∈ M 2(  ) care comută cu matricea A =  3 1 . 5 2 (Matricea X comută cu matricea A dacă XA = AX ). R. Considerăm matricea X =   x y  pentru care trebuie să avem AX = XA sau  z t  3 x + z 3 y + t  =  3 x + 5 y x + 2 y  , iar de aici rezultă efectuând produsul de matrice      5 x + 2 z 5 y + 2 t   3 z + 5t z + 2t  3 x + z = 3 x + 5 y z = 5 y ( 1) 3 y + t = x + 2 y y − x + t = 0 ( 2). sistemul:  sau   5 x + 2z = 3z + 5t  5 x − z − 5t = 0 ( 3) 5 y + 2 t = z + 2 t z = 5 y ( 4) Punem z = 5 y în ecuaţiile ( 2 ) şi ( 3 ) şi avem sistemul  z = 5 y  y − x + t = 0 sau  x − y − t = 0 { z = 5y x− y−t =0. Notând variabilele y = λ ∈  , t = µ ∈  , atunci x = λ + µ , z = 5λ. Deci forma matricelor X este X =  λ + µ λ  , λ, µ ∈ .  5λ λ 32 REZUMATUL CAPITOLULUI Noţiuni Definiţie Notaţie. Descriere A ( i , j ) = aij , i = 1, m, j = 1, n Matrice sunt elementele matricei A de tip ( m, n ) , A : Nm × Nn →   a11 a12 … a1n    cu m linii şi N k = {1, 2,..., k} , k ∈ ∗ a a22 … a2 n  A =  21 n coloane … … … …    a  m1 am2 … amn  A ' = t A, t A ( i , j ) = A ( j , i ) = a ji ,