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# Algèbre linéaire ## Définition des espaces vectoriels Un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ est un ensemble $E$ muni de deux opérations: * Addition: $E \times E \rightarrow E$, $(u, v) \mapsto u + v$ * Multiplication scalaire: $\mathbb{K} \times E \rightarrow E$, $(\lambda, u) \maps...

# Algèbre linéaire ## Définition des espaces vectoriels Un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ est un ensemble $E$ muni de deux opérations: * Addition: $E \times E \rightarrow E$, $(u, v) \mapsto u + v$ * Multiplication scalaire: $\mathbb{K} \times E \rightarrow E$, $(\lambda, u) \mapsto \lambda u$ qui satisfont les huit axiomes suivants: Pour tous $u, v, w \in E$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$: 1. Associativité de l'addition: $(u + v) + w = u + (v + w)$ 2. Commutativité de l'addition: $u + v = v + u$ 3. Élément neutre pour l'addition: Il existe un élément $0 \in E$ tel que $u + 0 = u$ 4. Élément inverse pour l'addition: Il existe un élément $-u \in E$ tel que $u + (-u) = 0$ 5. Compatibilité de la multiplication scalaire avec la multiplication du corps: $\lambda(\mu u) = (\lambda \mu)u$ 6. Élément neutre pour la multiplication scalaire: $1u = u$ 7. Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle: $\lambda(u + v) = \lambda u + \lambda v$ 8. Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition dans le corps: $(\lambda + \mu)u = \lambda u + \mu u$ ## Exemples d'espaces vectoriels * $\mathbb{K}^n$: L'ensemble des n-uplets d'éléments de $\mathbb{K}$, avec l'addition et la multiplication scalaire définies composante par composante. * $\mathbb{K}[X]$: L'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$, avec l'addition et la multiplication scalaire usuelles. * $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})$: L'ensemble des matrices $m \times n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$, avec l'addition et la multiplication scalaire définies composante par composante. * $\mathcal{F}(X, \mathbb{K})$: L'ensemble des fonctions de $X$ dans $\mathbb{K}$, avec l'addition et la multiplication scalaire définies ponctuellement. ## Sous-espaces vectoriels Un sous-ensemble $F$ d'un espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si $F$ est lui-même un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ lorsqu'il est muni des opérations induites par celles de $E$. **Théorème:** Un sous-ensemble $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si: 1. $F$ est non vide. 2. Pour tous $u, v \in F$, $u + v \in F$. 3. Pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$ et tout $u \in F$, $\lambda u \in F$. **Exemples:** * $\{0\}$ et $E$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$. * L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}[X]$. * Le noyau et l'image d'une application linéaire sont des sous-espaces vectoriels. ## Combinaisons linéaires Soient $u_1, \dots, u_n$ des vecteurs d'un espace vectoriel $E$. Une combinaison linéaire de ces vecteurs est un vecteur de la forme: $\lambda_1 u_1 + \dots + \lambda_n u_n$ où $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{K}$. L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de $u_1, \dots, u_n$ est appelé le sous-espace vectoriel engendré par $u_1, \dots, u_n$, et est noté $\text{Vect}(u_1, \dots, u_n)$. ## Indépendance linéaire Des vecteurs $u_1, \dots, u_n$ sont linéairement indépendants si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui est égale au vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls: $\lambda_1 u_1 + \dots + \lambda_n u_n = 0 \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0$ Dans le cas contraire, les vecteurs sont dits linéairement dépendants. ## Bases et dimension Une base d'un espace vectoriel $E$ est une famille de vecteurs qui est à la fois libre (linéairement indépendante) et génératrice (tout vecteur de $E$ peut être écrit comme une combinaison linéaire de ces vecteurs). Si $E$ admet une base finie, alors toutes les bases de $E$ ont le même nombre d'éléments. Ce nombre est appelé la dimension de $E$, et est noté $\dim(E)$. **Exemples:** * La base canonique de $\mathbb{K}^n$ est $\{(1, 0, \dots, 0), (0, 1, \dots, 0), \dots, (0, 0, \dots, 1)\}$, et $\dim(\mathbb{K}^n) = n$. * La base canonique de $\mathbb{K}[X]$ est $\{1, X, X^2, \dots\}$, et $\mathbb{K}[X]$ est de dimension infinie. * La base canonique de $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})$ est $\{E_{ij} \mid 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n\}$, où $E_{ij}$ est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui en position $(i, j)$ qui vaut 1, et $\dim(\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})) = mn$.