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# Comparaison de nombres complexes ## Forme algébrique $z=a+i b, \quad a, b \in \mathbb{R}$ $a=\operatorname{Re}(z), \quad b=\operatorname{Im}(z)$ ## Forme trigonométrique $z=r(\cos \theta+i \sin \theta), \quad r \geq 0, \quad \theta \in \mathbb{R}$ $r=|z|, \quad \theta=\arg (z)$ ## Forme exp...

# Comparaison de nombres complexes ## Forme algébrique $z=a+i b, \quad a, b \in \mathbb{R}$ $a=\operatorname{Re}(z), \quad b=\operatorname{Im}(z)$ ## Forme trigonométrique $z=r(\cos \theta+i \sin \theta), \quad r \geq 0, \quad \theta \in \mathbb{R}$ $r=|z|, \quad \theta=\arg (z)$ ## Forme exponentielle $z=r e^{i \theta}, \quad r \geq 0, \quad \theta \in \mathbb{R}$ $r=|z|, \quad \theta=\arg (z)$ ## Formules de Moivre et d'Euler $\cos \theta=\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}$ $\sin \theta=\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2 i}$ $e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$ $(\cos \theta+i \sin \theta)^{n}=\cos (n \theta)+i \sin (n \theta)$ ## Conjugué $\bar{z}=a-i b=r e^{-i \theta}$ $z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z=\bar{z}$ $z \in i \mathbb{R} \Leftrightarrow z=-\bar{z}$ $\overline{z+z^{\prime}}=\bar{z}+\overline{z^{\prime}}$ $\overline{z z^{\prime}}=\bar{z} \overline{z^{\prime}}$ $\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime}}\right)}=\frac{\bar{z}}{\overline{z^{\prime}}}$ $\overline{z^{n}}=(\bar{z})^{n}, \quad n \in \mathbb{N}$ ## Module $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{z \bar{z}}=r$ $|z|=0 \Leftrightarrow z=0$ $|z|^{2}=z \bar{z}$ $|z w|=|z||w|$ $\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}$ $|z+w| \leq|z|+|w|$ (inégalité triangulaire) $|z+w|=|z|+|w| \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R}_{+}: w=\lambda z$ $|z-w| \geq|| z|-| w||$ ## Argument $\arg (z)=\theta[2 \pi]$ $\arg (z w)=\arg (z)+\arg (w)[2 \pi]$ $\arg \left(\frac{z}{w}\right)=\arg (z)-\arg (w)[2 \pi]$ $\arg \left(z^{n}\right)=n \arg (z)[2 \pi], \quad n \in \mathbb{Z}$ $\arg (\bar{z})=-\arg (z)[2 \pi]$