Tema 1 - Nocions bàsiques d'Àlgebra PDF

Tema 1 – NOCIONS BÀSIQUES D'ÀLGEBRA 1.1. ÀLGEBRA MATRICIAL 1.1.1. Matriu. Tipus de matrius 1.1.2. Operacions amb matrius 1.1.3. Determinants 1.1.4. Matriu inversa 1.1.5. Rang d’una matriu 1.2. SISTEMES D'EQUACIONS 1.2.1. Sistemes d'equacions lineals...

Tema 1 – NOCIONS BÀSIQUES D'ÀLGEBRA 1.1. ÀLGEBRA MATRICIAL 1.1.1. Matriu. Tipus de matrius 1.1.2. Operacions amb matrius 1.1.3. Determinants 1.1.4. Matriu inversa 1.1.5. Rang d’una matriu 1.2. SISTEMES D'EQUACIONS 1.2.1. Sistemes d'equacions lineals 1.2.2. Sistemes d'equacions no lineals 1 1.1. ÀLGEBRA MATRICIAL 1.1.1. MATRIU. TIPUS DE MATRIUS Definició - Matriu Una matriu d'ordre mxn és una taula A de nombres reals ordenats en m files i n columnes. a a12... a1n  fila 1  11  a a22... a2n   21  A=     a amn   m1 am2... fila m columna 2 TIPUS DE MATRIUS Matriu quadrada: m=n. És a dir, nre. columnes= nre. files La diagonal principal d'una matriu quadrada són els elements aii Matriu nul·la: Matriu mxn els elements de la qual són tots 0 Matriu fila: Matriu 1xn Matriu columna: Matriu mx1 Matriu diagonal: Matriu quadrada A=(aij) amb aij=0 per a i ≠ j Matriu identitat d'ordre n, In: Matriu diagonal nxn amb tots els elements de la diagonal igual a 1. A·In = In·A = A Matriu simètrica: Una matriu quadrada és simètrica si coincideix amb la seua transposada: 2 A = At 1.1.2. OPERACIONS AMB MATRIUS Suma: Si A=(aij) i B=(bij) són matrius mxn, aleshores A+B=(aij+bij) i és una matriu mxn Producte per un escalar: Si α∈ℝ i A=(aij) és una matriu mxn, aleshores αA=(αaij) i és una matriu mxn. Producte de matrius: Si A=(aij) és mxn i B=(bij) és nxr, aleshores C=AB és la matriu mxr tal que cij=ai1b1j+…+ainbnj NOTA: En general, A B ≠ B A Transposició: Si A=(aij) és una matriu mxn, aleshores la seua transposada, At, és la matriu nxm que resulta de canviar files per columnes 3 1.1.3. DETERMINANTS Tota matriu quadrada A té associat un nombre real anomenat determinant, que es representa per |A| o també per det(A) i que s'obté de la manera següent: Matrius 1x1: |A| =|a11| = a11 Matrius 2x2: a 11 a 12 |A| = a = a11a22 – a12a21 21 a 22 Matrius 3x3: (regla de Sarrus) a11 a12 a13 |A| = a 21 a 22 a 23 = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 – a13a22a31 – a23a32a11 – a33a12a21 a 31 a 32 a 33 a11 a12 a13 a11 a12 a13 |A| = a21 a22 a23 = a21 a22 a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 4 Matrius nxn (n≥4): (mètode d'adjunts) Menor complementari de l'element aij és el determinant de la matriu d'ordre n-1 obtinguda eliminant la fila i i la columna j de A. Aij Adjunt de l'element aij és el producte de (-1)i+j pel menor complementari de aij. Desenvolupament de |A| per la fila i |A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ain Ain Desenvolupament de |A| per la columna j |A| = a1jA1j + a2jA2j + … + anjAnj 5 Exemple Calcula el determinant de la matriu següent pels elements de la fila 2 1 0 −2 3   2 1 1 −2  A= −1 1 −1 1   3 0 0 3 1 0 −2 3 0 −2 3 1 −2 3 1 0 3 1 0 −2 2 1 1 −2 = 2(−1) 2 +1 1 − 1 1 + 1(−1) 2 + 2 − 1 − 1 1 + 1(−1) 2 + 3 − 1 1 1 + (−2)(−1) 2 + 4 − 1 1 − 1 = −1 1 −1 1 0 0 3 3 0 3 3 0 3 3 0 0 3 0 0 3 = -12 - 6 + 6 - 12 = - 24 Exemple Calcula el determinant de la matriu anterior pels elements de la columna 2 1 0 −2 3 1 −2 3 1 −2 3 2 1 1 −2 = 1(−1) 2 + 2 − 1 − 1 1 + 1(−1)3+ 2 2 1 − 2 = - 6 - 18 = - 24 −1 1 −1 1 3 0 3 3 0 3 3 0 0 3 6  Propietats dels determinants Si una fila o columna de A és de zeros, aleshores el determinant val 0. Si dues files o columnes són iguals (o proporcionals), aleshores el determinant val 0. Si intercanviem dues files (o columnes), el determinant de la matriu obtinguda és igual a -|A|. Si a una fila (o columna) li’n sumem una altra multiplicada per un nombre, el determinant de la matriu obtinguda és igual a |A|. Exemple 1 0 −2 3   Calcula el determinant de la matriu 2 1 1 −2  A= −1 1 −1 1   3 0 0 3  A la fila 3 li sumem la fila 2 multiplicada per -1 1 0 −2 3 1 −2 3 0 1 −2 3 2 1 1 −2 2 1 1 −2 = = 1(−1) 2 + 2 − 3 − 2 3 = - 24 −1 1 −1 1 −3 0 −2 3 3 0 3 3 0 0 3 3 0 0 3 Desenvolupant pels elements de la columna 2 7   -2 5 0 -1 3   Exemple 1 0 3 7 -2  Calcula el determinant de la matriu següent: A= 3 -1 0 5 -5    2 6 -4 1 2  3  0 -3 -1 2 Fila 2 + Fila 5 multiplicada per 3 Fila 4 + Fila 5 multiplicada per -4 Desenvolupant pels elements de la columna 3 −2 5 0 −1 3 −2 5 0 −1 3 − 2 5 −1 3 1 0 3 7 −2 1 − 9 0 13 7 1 − 9 13 7 3 −1 0 5 − 5 = 3 −1 0 5 − 5 = −1( −1)5 + 3 = 3 −1 5 −5 2 6 −4 1 2 2 18 0 − 7 − 10 2 18 − 7 − 10 0 − 3 −1 2 3 0 − 3 −1 2 3 Fila 1 + Fila 2 multiplicada per 2 Fila 3 + Fila 2 multiplicada per -3 Fila 4 + Fila 2 multiplicada per -2 0 − 13 25 17 − 13 25 17 1 − 9 13 7 = (−1) = (−1) 1 (−1) 2 +1 26 − 34 − 26 = −1032 0 26 − 34 − 26 36 − 33 − 24 0 36 − 33 − 24 Desenvolupant pels elements de la columna 1 8 1.1.4. MATRIU INVERSA Definició- Matriu inversa Siga A una matriu quadrada d'ordre n. Si |A | ≠ 0, ∃ una matriu A-1 / A-1 A = A A -1 = In Es diu, en aquest cas, que A és una matriu INVERTIBLE o REGULAR La matriu A-1 s’anomena INVERSA de A. Definició- Matriu adjunta Siga A una matriu quadrada d'ordre n. S’anomena matriu ADJUNTA de A, i es representa per Adj(A), la matriu quadrada d'ordre n els elements de la qual són els adjunts dels elements de A. És a dir, si A =(aij) Adj(A) =(Aij) 4 0 1   Exemple Calcula la matriu adjunta de la matriu A =  2 -1 1 1 3 1  −1 1 2 1 2 −1 A11 = (−1)1+1 = −4 A12 = (−1)1+ 2 = −1 A13 = (−1)1+ 3 =7 3 1 1 1 1 3  -4 -1 7  0 1 4 1 4 0   A 21 = (−1) 2 +1 3 1 =3 A 22 = (−1) 2 + 2 1 1 =3 A 23 = (−1) 2 + 3 1 3 = −12 Adj(A) =  3 3 - 12   1 -2 -4    0 1 4 1 4 0 A 31 = (−1)3+1 =1 A 32 = (−1)3+ 2 = −2 A 33 = (−1)3+ 3 = −4 9 −1 1 2 1 2 −1  t t -1(Adj(A)) Adj(A ) Càlcul de la matriu inversa: A = = A A Exemple 4 0 1   Obtingueu, si existeix, la inversa d’aquesta matriu: A = 2 -1 1 1 3 1 4 0 1  A = 2 - 1 1 = - 9 ≠ 0 ⇒ ∃ A -1 1 3 1  4 1 1  − −   -4 -1 7  - 4 3 1  9 3 9   A -1 =    1 1 2  Adj(A) =  3 3 - 12  (Adj(A)) =  - 1 3 - 2  t −  1 -2 -4   7 - 12 - 4  9 3 9       7 4 4   −   9 3 9  NOTA: Si Ax =b i A és una matriu invertible, aleshores x = A-1b 10 1.1.5. RANG D’UNA MATRIU Definició- Rang d’una matriu Siga A una matriu d’ordre m x n. S’anomena RANG de A, i es representa per rg(A), a l’ordre de la major submatriu quadrada de A amb determinant no nul. rg(A) ≤ min(m,n) Si A es la matriu nul·la, es diu que rg(A) = 0 1 0 0 1 0 Exemple   1 0 1 1 0 Calcula el rang de la següent matriu: A= 0 0 2 2 1   2 1 0 1 0  a21 = 1 ≠ 0 a11 a12 1 0 a 21 a 22 1 0 a 21 a 23 1 1 = =0 = =0 = =2≠0 a 21 a 22 1 0 a 31 a 32 0 0 a 31 a 33 0 2 a11 a12 a13 1 0 0 a 21 a 22 a 23 1 0 1 a 21 a 22 a 23 = 1 0 1 =0 a 31 a 32 a 33 = 0 0 2 = -2 ≠ 0 a 31 a 32 a 33 0 0 2 a 41 a 42 a 43 2 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 =2≠0 Per tant, rg(A) = 4 0 0 2 2 2 1 0 1 1.2. SISTEMES D'EQUACIONS 1.2.1. SISTEMES D'EQUACIONS LINEALS EQUACIÓ LINEAL amb incògnites x1, …, xn a1x1 + a2x2 + … + anxn = b a1 , …, an , b ∈ ℝ } SISTEMA DE m EQUACIONS LINEALS amb n incògnites a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1... am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm Expressió matricial: Ax = b a..... a1n   x1   b1   a11..... a1n b1   11   : : :   :   :   : : : :  A=  x =  b=  (A b) =   : : :   :   :  : : : :  a a mn  x       m1.....  n  bm   a m1..... a mn b m  Matriu de coeficients Matriu d'incògnites Matriu de termes Matriu ampliada 12 independents CLASSIFICACIÓ (segons el nombre de solucions) Sistema Compatible si té solució Compatible Determinat si la solució és única Compatible Indeterminat si posseeix infinites solucions Sistema Incompatible si no té solució SISTEMES EQUIVALENTS Dos sistemes són equivalents si tenen les mateixes solucions. Per passar d'un sistema a un altre d’equivalent es poden realitzar algunes de les operacions següents:  Canviar l'ordre de les equacions  Multiplicar alguna equació per un escalar diferent de zero  Sumar a una equació una altra multiplicada per un escalar 13  RESOLUCIÓ DE SISTEMES LINEALS MÈTODE DE GAUSS Consisteix a obtenir un sistema triangular equivalent. Exemple x + 2y − z = 3  1 2 −1 3  1 2 −1 3   1 2 −1 3        2x − y + 3z = 6  2 -1 3 6  0 - 5 5 0   0 - 5 5 0   -1 1 4 0 3 3 6 0 0 6 6 −x + y + 4z = 3  3      El sistema anterior és equivalent al sistema: x + 2y − z = 3 −5y + 5z = 0 6z = 6 molt fàcil de resoldre per substitució 6z = 6 → z=1 -5y + 5 = 0 → y = 1 x+2–1=3 → x=2 14 Exemple x +2y + z = 4 1 2 1 4 1 2 1 4  1 2 1 4  1 2 1 4         2x + y − z = 2  2 1 -1 2  0 - 3 - 3 - 6  0 - 3 - 3 - 6  0 1 1 2  7 8 1  0 - 6 - 6 - 12  0 0 0 0  0 0 0 0 7x + 8y + z = 16  16        El sistema anterior és equivalent al sistema: x + 2y + z = 4 y+z=2 que és compatible indeterminat, amb solució general: x=z y=2-z Exemple 2x − y + 3z = 2  2 −1 3 2  1 1 −1 1  1 1 −1 1       x+y−z=1  1 1 -1 1 0 - 3 5 0 0 - 3 5 0 4x + y + z = 6 4 1 1 6  0 - 3 5 2  0 0 0 2     El sistema anterior és equivalent al sistema: x+y−z=1 -3y + 5z = 0 0=2 que, òbviament, és incompatible. 15 Exercici x + y − 2z +w = 4 2x + 2y + z +2w = 3 16 1.2.2. SISTEMES D'EQUACIONS NO LINEALS EQUACIÓ NO LINEAL x2+y=3, xy=7, x+3y+z2=2, sin(x)+3y+z=-2, ln(x1x22)+(x1+x3)1/3 = 7 SISTEMA NO LINEAL amb n incògnites Almenys una de les equacions que formen el sistema és no lineal. Solució: Es poden resoldre per substitució. Nota: Una equació amb una variable pot tenir 0, 1 o més solucions! Exemples x2 - 2x + y - 7 = 0 log x + log y = 4 x - ey = 5 3x - y + 1 =0 log x - log y = 2 2x + 3ey = 11 17  Exemple xy - 4x = 0 x(y – 4) = 0 xy + y2 – 2y = 0 y(x + y – 2) = 0 x=0 x(y – 4) = 0 y–4=0 y=4 La primera equació x(y – 4) = 0 només es compleix si x = 0 o bé y = 4 Cas 1: x = 0 En aquest cas, la segona equació és y(y – 2) = 0, que només es compleix si y = 0 o y = 2 Cas 2: y = 4 En aquest cas, la segona equació és 4(x + 2) = 0, que només es compleix si x = -2 Per tant, el sistema té 3 solucions: Solució 1: x = 0 y=0 Solució 2: x = 0 y=2 Solució 3: x = -2 y=4 18