Tema 1 - Nociones Básicas de Álgebra

Una colección de números reales organizados en filas y columnas.

Una matriz con el mismo número de filas y columnas.

Una matriz donde todos sus elementos son 0.

Una matriz con solo una fila.

Una matriz con solo una columna.

Una matriz cuadrada donde los elementos fuera de la diagonal principal son 0.

Una matriz cuadrada con 1 en los elementos de la diagonal y 0 en los demás.

Una matriz que coincide con su transpuesta.

El rango de una matriz A, denotado como rg(A), es el orden (tamaño) de la mayor submatriz cuadrada de A que tiene un determinante distinto de cero.

Si A es la matriz nula, entonces su rango es 0.

Una ecuación lineal con las incógnitas x1, ..., xn se expresa como a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, donde a1, ..., an, b son números reales.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se escribe como: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm, donde ai j y bi son números reales.

La expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales es Ax = b, donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas y b es el vector de términos independientes.

El rango de una matriz está limitado por el número de filas o columnas de la matriz. rg(A) ≤ min(m, n), donde m es el número de filas y n el número de columnas.

Un sistema lineal es compatible si tiene al menos una solución.

Un sistema lineal es compatible determinado si tiene exactamente un solo solución.

Un sistema lineal es compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones.

Un sistema lineal es incompatible si no tiene ninguna solución.

Dos sistemas lineales se consideran equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.

Si dues files o columnes d'una matriu són iguals o proporcionals entre si, llavors el determinant de la matriu val 0.

Si intercanviem dues files o columnes d'una matriu, el determinant de la matriu resultant canvia de signe.

Si a una fila o columna d'una matriu li sumem una altra fila o columna multiplicada per un nombre, el determinant de la matriu no canvia.

El determinant d'una matriu es pot calcular desenvolupant pel mètode de Laplace, que consisteix en calcular una suma de determinants de submatrius.

Per a un determinant de 3x3, es pot calcular mitjançant la regla de Sarrus, que consisteix en un procediment de multiplicació i suma.

El determinant d'una matriu triangular (superior o inferior) és igual al producte dels elements de la diagonal principal.

Si el determinant d'una matriu és diferent de zero, llavors la matriu és invertible.

El determinant d'una matriu representa el volum del paral·lelepíped format pels vectors que representen les files o columnes de la matriu.

Si la matriu representa una transformació lineal, el determinant de la matriu indica la relació entre els volums dels objectes abans i després de la transformació.

El determinant d'una matriu es pot utilitzar per a resoldre sistemes d'equacions lineals, utilitzant la regla de Cramer.

Una matriz cuadrada de orden n se considera invertible o regular si su determinante es diferente de 0. En ese caso, existe una matriz inversa, denotada como A⁻¹, que cumple la propiedad A⁻¹A = AA⁻¹ = In, donde In es la matriz identidad de orden n.

La matriz adjunta de una matriz cuadrada A, representada por Adj(A), es una matriz cuadrada del mismo orden que A. Sus elementos son los adjuntos de los elementos correspondientes de A.

El adjunto de un elemento aij de una matriz A es el determinante de la submatriz obtenida al eliminar la fila i y la columna j, multiplicado por (-1)^(i+j)

La matriz inversa de una matriz cuadrada A, denotada como A⁻¹, es una matriz que, al multiplicarla por A, produce la matriz identidad. Solo existe si A es invertible (determinante ≠ 0).

El determinante de una matriz cuadrada A, denotado como |A|, es un escalar que representa ciertas propiedades de la matriz. Se calcula utilizando una fórmula específica que depende del orden de la matriz.

Para calcular la inversa de una matriz A, primero se calcula su matriz adjunta (Adj(A)). Luego, se calcula la transpuesta de Adj(A) y se divide por el determinante de A.

Si A es invertible, la solución del sistema de ecuaciones lineales Ax = b se puede encontrar multiplicando ambos lados por la inversa de A: x = A⁻¹b.

La inversa de una matriz representa la transformación inversa de la transformación representada por la matriz original. Esto significa que la inversa deshace la transformación original.

El cálculo de la inversa de una matriz es un proceso fundamental en álgebra lineal, con aplicaciones en diversas áreas como la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, la inversión de matrices en problemas de optimización y la representación de transformaciones geométricas.

Un sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado cuando tiene una única solución.

Un sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.

Un sistema de ecuaciones lineales es incompatible cuando no tiene ninguna solución.

Un sistema de ecuaciones lineales se puede resolver por sustitución resolviendo una variable en una de las ecuaciones y sustituyéndola en las demás ecuaciones.

Un sistema de ecuaciones lineales se puede representar en forma matricial escribiendo los coeficientes de las variables en una matriz, las variables en un vector y los términos independientes en otro vector.

El rango de una matriz está limitado por el número de filas o columnas de la matriz.