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# Analisi Matematica 1 - Ing. Edile-Architettura ## 11 Febbraio 2022 ### Parte A 1. **\[4 punti]** Calcolare il seguente limite: $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 3\log x}{x(\log x + x)}$ 2. **\[5 punti]** Studiare la funzione $f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}$ (Dominio, segno, eventua...

# Analisi Matematica 1 - Ing. Edile-Architettura ## 11 Febbraio 2022 ### Parte A 1. **\[4 punti]** Calcolare il seguente limite: $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 3\log x}{x(\log x + x)}$ 2. **\[5 punti]** Studiare la funzione $f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}$ (Dominio, segno, eventuali intersezioni con gli assi, asintoti, derivata prima, eventuali punti di max/min relativo, derivata seconda, eventuali punti di flesso). 3. **\[4 punti]** Calcolare il seguente integrale: $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 - x^4}} dx$ 4. **\[4 punti]** Stabilire il carattere della seguente serie: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n + 2}{n^3 + 3}$ 5. **\[4 punti]** Risolvere il seguente problema di Cauchy: $\begin{cases} y' = \frac{2x}{1 + x^2}y \\ y(0) = 2 \end{cases}$ ### Parte B 1. **\[4 punti]** Sia $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R})$ tale che $f(3) = 2$ e $f'(3) = -1$. Calcolare la derivata in $x_0 = 0$ della funzione $g(x) = f(3 + \sin x)$. 2. **\[5 punti]** Sia $f \in \mathcal{C}^0([a, b])$. Mostrare che esiste $c \in [a, b]$ tale che $\int_{a}^{b} f(x) dx = f(c)(b - a)$ 3. **\[4 punti]** Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat.